MODELOS PARA PERDAS DO CIRCUITO MAGNÉTICO DE TRANSFORMADORES
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Elétrica Orientador: Prof. Dr. Nelson Sadowski Coorientador: Prof. Dr. Jean Vianei Leite
Florianópolis 2018
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.
de Oliveira, Luiz Fernando
Modelos para perdas do circuito magnético de transformadores / Luiz Fernando de Oliveira ; orientador, Nelson Sadowski, coorientador, Jean Vianei Leite, 2018.
150 p.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2018. Inclui referências.
1. Engenharia Elétrica. 2. Transformador de potência. 3. Circuitos magnéticos. 4. Perdas por corrente parasita. 5. Perdas no tanque. I. Sadowski, Nelson. II. Leite, Jean Vianei. III.
Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. IV. Título.
MODELOS PARA PERDAS DO CIRCUITO MAGNÉTICO DE TRANSFORMADORES
Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de “Mestre em Engenharia Elétrica” e aprovada em sua forma final pelo
Programa Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Florianópolis, 22 de agosto de 2018.
________________________ Prof. Bartolomeu Ferreira Uchoa-Filho, Dr.
Coordenador do Curso Banca Examinadora:
________________________ Prof.ª Nelson Sadowski, Dr.ª
Orientador
Universidade Federal de Santa Catarina
________________________ Prof. Patrick Kuo Peng, Dr. Universidade Federal de Santa Catarina
________________________ Prof. Sérgio Henrique Lopes Cabral, Dr. Fundação Universidade Regional de Blumenau
Para Dayane, fonte inesgotável de inspiração e alegria.
A minha esposa, pelo apoio e compreensão mesmo na minha ausência. Pelo amor, dedicação e companhia constantes.
Ao meu amigo Odirlan Iaronka, pela companhia e parceria nas viagens a Florianópolis e nos momentos de estudo.
Aos docentes da UFSC, mais especificamente do GRUCAD, que além de ensinar os conceitos e aspectos técnicos que norteiam os projetos de dispositivos eletromagnéticos, mostraram como um profissional engajado na sua missão pode influenciar positivamente quem busca conhecimento.
À WEG-WTD por permitir a flexibilização do horário de trabalho para comparecimento às cadeiras do curso.
À FURB e aos docentes do CCT, Sérgio H. L. Cabral e Luiz H. Meyer, que disponibilizaram a licença do COMSOL para as simulações numéricas.
Aos professores orientadores, Nelson Sadowski e Jean Vianei Leite, que contribuíram na revisão do trabalho escrito e proveram aconselhamento ao longo de todo o curso.
Transformadores elétricos de potência podem ser modelados por circuitos equivalentes para prever o comportamento do equipamento quando submetido a determinado sinal de tensão. Uma revisão dos modelos de circuitos equivalentes é apresentada. São desenvolvidos modelos para os componentes circuitais não disponíveis na pesquisa bibliográfica. Um projeto de transformador de potência é elaborado para simulação dos circuitos propostos. São apresentados os resultados das simulações do transformador de potência definido quando submetido a diferentes formas de operação e tais resultados são comparados com simulações, utilizando o Método dos Elementos Finitos.
Palavras-chave: Transformador de potência. Circuitos magnéticos. Perdas por corrente parasita. Perdas no tanque.
Electric power transformers can be modeled by equivalent circuits to predict the equipment behavior when it's subjected to a voltage signal. A review of equivalent circuit models is presented. Models are developed for the components not available in bibliographic research. A power transformer design is defined for simulation of proposed circuits. The results of the simulations of the power transformer when submitted to different forms of operation are presented and compared with Finite Elements Method simulations.
Keywords: Power transformer. Magnetic circuits. Eddy current losses. Tank wall losses.
Figura 1 – Transformador ideal em vazio ... 32
Figura 2 – Circuito equivalente de um transformador ideal em vazio ... 35
Figura 3 – Transformador real em curto-circuito ... 36
Figura 4 – Circuito equivalente de um transformador real ... 37
Figura 5 – Esquema circuital do ensaio em vazio ... 40
Figura 6 – Esquema circuital simplificado para o ensaio em vazio. ... 40
Figura 7 – Esquema circuital do ensaio em curto. ... 42
Figura 8 – Esquema circuital do ensaio em vazio ... 43
Figura 9 – Tipos geométricos de excitação de perdas no tanque 52 Figura 10 - Aspecto construtivo do transformador fictício ... 57
Figura 11 – Vista frontal do transformador de potência ... 58
Figura 12 – Vista lateral do transformador de potência ... 59
Figura 13 – Diagrama de Ampere-Espira ... 62
Figura 14 – Símbolo para fonte de tensão senoidal ... 66
Figura 15 – Símbolo para resistência elétrica ... 66
Figura 16 – Símbolo para indutância ... 67
Figura 17 – Símbolos para enrolamento de transformador (a) no circuito elétrico e (b) no circuito magnético ... 68
Figura 18 – Símbolos para relutância linear ... 68
Figura 19 – Símbolos para relutância não-linear ... 69
Figura 20 – Área de interesse da lateral do tanque ... 70
Figura 21 – Símbolo para lateral de tanque ... 73
Figura 22 – Arranjo de circuito magnético ... 77
Figura 23 – Circuito equivalente para (a) alimentação do primário, (b) curto-circuito no secundário e (c) discretização da geometria do transformador por relutâncias ... 78
Figura 24 – Circuito magnético do transformador de potência no sentido do núcleo ... 83
Figura 25 – Circuito magnético do transformador de potência no sentido do tanque ... 84
Figura 26 – Circuito magnético completo do transformador fictício ... 85
Figura 27 – Circuito elétrico para alimentação do transformador fictício em vazio para os enrolamentos (a) primário e (b) secundário... 87
Figura 28 – Formas de onda de tensão dos enrolamentos de AT e BT e corrente de excitação ... 88
Figura 29 – Formas de onda das induções magnéticas nas colunas principais e de retorno (em vazio) ... 89
Figura 30 – Laço de histerese do núcleo magnético para as colunas do núcleo (em vazio) ... 90
Figura 31 – Componentes de potência instantânea da coluna principal (em vazio) ... 91
Figura 32 – Potência instantânea das colunas principal e de retorno (em vazio) ... 92
Figura 33 – Indução magnética máxima nas laterais do tanque (em vazio)... 92
Figura 34 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais próxima dos enrolamentos (em vazio) ... 93
Figura 35 – Decaimento da indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque (em vazio) ... 94
Figura 36 – Circuito elétrico para alimentação do transformador fictício em curto-circuito para os enrolamentos (a) primário e (b) secundário ... 95
Figura 37 – Formas de onda de tensão dos enrolamentos de AT e BT e corrente nominal de BT ... 96
Figura 38 – Formas de onda das induções magnéticas nas colunas principais e de retorno (em curto-circuito) ... 97
Figura 39 – Laço de histerese para as colunas principal e de retorno (em curto-circuito) ... 98
Figura 40 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais próxima dos enrolamentos (em curto-circuito) ... 98
Figura 41 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais distante dos enrolamentos (em curto-circuito) ... 99
Figura 42 – Decaimento da indução magnética ao longo da espessura das laterais do tanque (em curto-circuito) ... 100
Figura 43 – Potência instantânea das laterais do tanque (em curto-circuito) ... 101 Figura 44 – Circuito elétrico para alimentação do transformador em operação para os enrolamentos (a) primário e (b) secundário ... 103
Figura 45 – Formas de onda de tensão dos enrolamentos de AT e BT e correntes de BT e AT ... 104
Figura 46 – Formas de onda das induções magnéticas nas colunas principais e de retorno (em operação) ... 105
Figura 48 – Potência instantânea das colunas principal e de retorno (em operação) ... 106
Figura 49 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais próxima dos enrolamentos (em operação) ... 107
Figura 50 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais distante dos enrolamentos (em operação) ... 108
Figura 51 – Potência instantânea das laterais do tanque (em operação) ... 108
Figura 52 – Modelagem típica de transformadores em 2D pela região da janela... 109
Figura 53 – Curva BxH anisterética (trecho de 0 a 1,8T) utilizada no modelo do núcleo ... 111
Figura 54 – Curva BxH anisterética (trecho de 1,8 a 2,0T) utilizada no modelo do núcleo ... 112
Figura 55 – Malha utilizada para descrição da geometria nas simulações ... 115
Figura 56 – Detalhe dos elementos da malha na superfície do tanque ... 115
Figura 57 – Formas de onda de tensão dos enrolamentos de AT e BT e corrente de excitação obtidas no COMSOL ... 117
Figura 58 – Formas de onda das induções magnéticas nas colunas principais e de retorno (em vazio) obtidas no COMSOL ... 117
Figura 59 – Curvas BxH do núcleo magnético para as colunas do núcleo (em vazio) obtido no COMSOL ... 118
Figura 60 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais próxima dos enrolamentos (em vazio) obtida no COMSOL ... 119 Figura 61 – Densidade de perdas no tanque (vista da lateral de BT, mais próxima aos enrolamentos) [𝑊/𝑚³] (em vazio) ... 120
Figura 62 – Densidade de perdas na lateral do tanque [𝑊/𝑚³], vetores 𝐽 𝐴/𝑚𝑚² por setas e 𝐻 𝐴/𝑚 por cones (em vazio) ... 121
Figura 63 – Densidade de fluxo magnético no tanque [𝑇], vetores de 𝐻 𝐴/𝑚 por cones (em vazio) ... 122
Figura 64 – Formas de onda de tensão dos enrolamentos de AT e BT e corrente nominal de BT obtidas no COMSOL ... 124
Figura 65 – Formas de onda das induções magnéticas nas colunas principais e de retorno (em curto-circuito) obtidas no COMSOL ... 125
Figura 66 – Curva BxH para a coluna principal (em curto-circuito) obtida no COMSOL ... 125
Figura 67 – Curva BxH para as colunas de retorno (em curto-circuito) obtida no COMSOL... 126 Figura 68 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais próxima dos enrolamentos (em curto-circuito) obtida no COMSOL ... 127
Figura 69 – Potência instantânea das laterais do tanque (em curto-circuito) obtidas no COMSOL ... 128 Figura 70 – Densidade de perdas no tanque (vista da lateral de BT, mais próxima aos enrolamentos) [𝑊/𝑚³] (em curto-circuito) ... 128
Figura 71 – Densidade de perdas na lateral do tanque [𝑊/𝑚³], vetores 𝐽 𝐴/𝑚𝑚² por setas e 𝐻 𝐴/𝑚 por cones (em curto-circuito) ... 129
Figura 72 – Densidade de fluxo magnético no tanque [𝑇], vetores de 𝐻 𝐴/𝑚 por cones (em curto-circuito) ... 130
Figura 73 – Formas de onda de tensão dos enrolamentos de AT e BT e correntes de BT e AT obtidas no COMSOL ... 132
Figura 74 – Formas de onda das induções magnéticas nas colunas principais e de retorno (em operação) obtidas no COMSOL ... 133
Figura 75 – Curvas BxH para as colunas principal e de retorno (em operação) obtidas no COMSOL ... 133
Figura 76 – Indução magnética ao longo da espessura da lateral do tanque mais próxima dos enrolamentos (em operação) ... 134
Figura 77 – Potência instantânea das laterais do tanque (em operação) ... 135
Figura 78 – Densidade de perdas no tanque (vista da lateral de BT, mais próxima aos enrolamentos) [𝑊/𝑚³] (em operação) ... 136
Figura 79 – Densidade de perdas na lateral do tanque [𝑊/𝑚³], vetores 𝐽 𝐴/𝑚𝑚² por setas e 𝐻 𝐴/𝑚 por cones (em operação) ... 137
Figura 80 – Densidade de fluxo magnético no tanque [𝑇], vetores de 𝐻 𝐴/𝑚 por cones (em operação) ... 138
Tabela 1 – Especificação do transformador de potência ... 56
Tabela 2 – Parâmetros construtivos do transformador de potência ... 60
Tabela 3 – Valores das constantes do Diagrama de Ampere-Espira ... 61
Tabela 4 – Parâmetros do modelo para o núcleo magnético ... 88
Tabela 5 – Comparativo das simulações em vazio ... 123
Tabela 6 – Comparativo das simulações em curto-circuito ... 131
Tabela 7 – Comparativo das simulações da condição de operação ... 139
𝑎 – Constante de transformação entre um par de enrolamentos 𝐴 – Vetor potencial magnético, em weber por metro
AT – Alta Tensão
ATP – Alternative Transient Program 𝐵 – Indução magnética, em tesla
𝐵𝑛 – Valor de pico da indução nominal do núcleo de um projeto de transformador de potência, em tesla
BT – Baixa Tensão
Cigré – Comitê Internacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica
CRGO – Cond Rolled Grain Oriented CTC – Condutor Transposto Continuamente
𝛿 – Profundidade de penetração de campo magnético, em metro 𝑑𝑙𝑎𝑚 – Espessura individual da laminação, em metro
𝑓 – Frequência elétrica, em hertz
ℱ – Força magnetomotriz, em ampère-espira FURB – Universidade Regional de Blumenau
𝜙 – Fluxo magnético que percorre um tubo de fluxo, em weber 𝜙𝐿𝑖 – Fluxo de dispersão do enrolamento de índice 𝑖, em weber 𝜙𝑚 – Valor instantâneo do fluxo mútuo entre enrolamentos, em weber 𝜙𝑚𝑝 – Valor de pico do fluxo mútuo entre enrolamentos, em weber 𝐻 – Intensidade de campo magnético, em ampères por metro
𝐻𝑒𝑑𝑑𝑦 – Campo magnético drenado pelas perdas por corrente parasita, em ampère por metro
𝐻𝑒𝑞 – Altura magnética equivalente de um enrolamento, em metro 𝐻𝑒𝑥𝑐 – Campo magnético drenado pelas perdas excedentes, em ampère
por metro
𝐻ℎ𝑖𝑠𝑡 – Campo magnético drenado pelas perdas por histerese, em ampère por metro
𝐻𝑤 – Altura magnética de um enrolamento, em metro 𝑖1′, 𝐼
1′ – Valor instantâneo e eficaz da corrente de carga do enrolamento primário, em ampères
𝐼𝑐 – Valor eficaz da parcela resistiva da corrente do ramo de magnetização, em ampères
IEC – International Electrotechnical Commission IEEE – Institute of Electrical and Electronic Engineers
𝑖𝑖, 𝐼𝑖 – Valor instantâneo e eficaz da corrente que circula o enrolamento de índice 𝑖, em ampères
𝐼𝑚 – Valor eficaz da parcela indutiva da corrente do ramo de magnetização, em ampères
𝑖0, 𝐼0 – Valor instantâneo e eficaz da corrente em vazio, em ampères 𝐽 – Densidade de corrente elétrica, em ampère por metro quadrado 𝑘𝑒𝑥𝑐 – Constante de perdas excedentes, em watt por metro cúbico 𝐾𝑅 – Fator de Rogowski para um enrolamento
𝑙 – Comprimento de um condutor elétrico ou de um tubo de fluxo, em metro
𝜆 – Fluxo concatenado, em weber MEF – Método dos Elementos Finitos
𝑀𝑟𝑒𝑣, 𝑀𝑖𝑟𝑟, 𝑀𝑎𝑛, 𝛿, 𝑀𝑠, 𝛼, 𝑎, 𝑘 e 𝑐 – Variáveis e parâmetros do modelo de histerese de Jiles-Atherton
MT – Média Tensão
𝜇 – Permeabilidade magnética, em henry por metro
𝜇0 – Permeabilidade magnética do vácuo, em henry por metro 𝜇𝑟 – Permeabilidade magnética relativa
𝑁𝑖 – Número de espiras do enrolamento de índice 𝑖
𝑃𝑒𝑑𝑑𝑦 – Componente de perdas por corrente parasita, em watt 𝑃𝑒𝑥𝑐 – Componente de perdas excedentes, em watt
𝑃ℎ𝑖𝑠𝑡 – Componente de perdas por histerese, em watt 𝑃0 – Perdas em vazio, em watt
𝜃0 – Defasamento entre a tensão em vazio e a corrente em vazio, em radianos
𝑅𝑐 – Resistência do ramo de magnetização referente as perdas em vazio, em ohm
𝑅𝑒𝑞1 – Resistência equivalente calculada com os dados do ensaio de curto-circuito, em ohm
𝑅𝑖 – Resistência ôhmica do enrolamento de índice 𝑖, em ohm
𝑅𝑖′ - Resistência ôhmica do enrolamento de índice 𝑖 referida ao enrolamento base, em ohm
RL – Circuito composto por componentes resistivos e indutivos RMS – Root Mean Square (em português, valor eficaz)
𝑆 – Seção transversal de um condutor elétrico ou de um tubo de fluxo, em metro quadrado
𝑆𝑇𝑁 – Seção transversal do núcleo de um projeto de transformador de potência, em metro quadrado
𝑆𝑇𝑅 – Potência do transformador de potência, em volt-ampère 𝑡 – Valor instantâneo da variável independente tempo, em segundos 𝑢𝑒 – Valor instantâneo da tensão induzida em uma espira de enrolamento,
em volts
𝑢𝑖, 𝑈𝑖 – Valor instantâneo e eficaz da tensão induzida no enrolamento de índice 𝑖, em volts
𝑉𝑐𝑐 – Tensão aplicada durante o ensaio de curto-circuito, em volts 𝑣𝑖, 𝑉𝑖 – Valor instantâneo e eficaz da tensão aplicada (ou induzida) nos
terminais do enrolamento de índice 𝑖, em volts
𝑉𝑜𝑙 – Volume de um tubo de fluxo magnético, em metro cúbico 𝜔 – Frequência angular, em radianos por segundo
𝑋𝐷𝐼𝑆𝑃 – Reatância de dispersão calculada para o transformador de potência, em ohm
𝑋𝑒𝑞1 – Reatância equivalente calculada com os dados do ensaio de curto-circuito, em ohm
𝑋𝐿𝑖 – Reatância de dispersão do enrolamento de índice 𝑖, em ohm 𝑋𝐿𝑖′ – Reatância de dispersão do enrolamento de índice 𝑖 referida ao
enrolamento base, em ohm
𝑋𝑚 – Reatância indutiva do ramo de magnetização, em ohm
𝑍𝑒𝑞1 – Impedância equivalente calculada com os dados do ensaio de curto-circuito, em ohm
𝑍𝑖 – Impedância equivalente do enrolamento de índice 𝑖, em ohms 𝑍𝑖′ – Impedância equivalente do enrolamento de índice 𝑖 referida ao
enrolamento base, em ohm
SUMÁRIO 1 Introdução ... 25 1.1 MOTIVAÇÃO ... 25 1.2 Justificativa ... 26 1.3 Objetivos ... 26 1.3.1 Objetivo geral ... 26 1.3.2 Objetivos específicos ... 27 1.4 Estrutura do trabalho ... 27 2 Transformadores elétricos ... 29 2.1 Princípio de funcionamento ... 31 2.1.1 O transformador ideal ... 31 2.1.2 O transformador real ... 36 2.2 Projetos de transformadores ... 38 2.3 Propósito dos ensaios ... 39 2.3.1 Ensaio em vazio ... 39 2.3.2 Ensaio em curto-circuito ... 42 3 Modelagem de transformadores ... 45 3.1 Modelos circuitais disponíveis para transformadores ... 46 3.2 Formulações para modelagem de componentes ... 48 3.2.1 Relutância linear ... 48 3.2.2 Relutância de núcleo ferromagnético ... 48 3.2.3 Lateral (parede) de tanque de contenção ... 51 4 Dimensionamento de um transformador de potência ... 55 4.1 Especificação... 55 4.2 Dimensionamento ... 56 4.3 Parâmetros de desempenho resultantes ... 60 5 Modelo por circuitos elétricos e magnéticos acoplados .... 65 5.1 Elementos circuitais ... 65 5.1.1 Fonte de tensão ... 65
5.1.2 Resistência ... 66 5.1.3 Indutância ... 67 5.1.4 Enrolamento ... 67 5.1.5 Relutância linear ... 68 5.1.6 Relutância não-linear... 68 5.1.7 Lateral de tanque ... 69 5.2 EXEMPLO DE SOLUÇÃO DE CIRCUITO ... 76 5.3 Simulação do transformador de potência ... 81 5.3.1 Condição em vazio ... 86 5.3.2 Condição em curto-circuito ... 94 5.3.3 Condição de operação ... 101 6 Modelo utilizando o método dos elementos finitos ... 109 6.1.1 Condição em vazio ... 116 6.1.2 Condição em curto-circuito ... 123 6.1.3 Condição de operação ... 131 7 Conclusão ... 141 8 REFERÊNCIAS ... 143
1 INTRODUÇÃO
Transformadores elétricos de potência são equipamentos utilizados extensivamente e desempenham um papel fundamental nos sistemas de potência atuais. São também os componentes mais caros e mais críticos dos sistemas de transmissão. Embora os conceitos de projeto de transformadores estejam consolidados entre praticamente todos os fabricantes, há ainda muita pesquisa na área de engenharia buscando aperfeiçoamentos. Entidades como Cigré, IEEE e IEC fomentam constantemente a pesquisa para caracterizar cada vez melhor os fenômenos eletromagnéticos e térmicos mais diversos que ocorrem durante a operação de transformadores.
Assim como em outros equipamentos elétricos, a temperatura de operação é determinante na vida útil de transformadores. Geralmente, o ponto mais quente se encontra na parte superior dos enrolamentos e o controle dessa variável é uma das principais preocupações durante o projeto do equipamento. Contudo, devido ao aumento da potência ou de características específicas de projeto (como alta impedância) alguns transformadores possuem grandes componentes de campos dispersos que podem vir a atingir anteparos metálicos como as vigas de sustentação do núcleo magnético ou as laterais do tanque. Este fenômeno pode ocasionar pontos quentes localizados que levam à deterioração precoce da pintura ou à geração de gases combustíveis.
Os fabricantes são plenamente cientes destes fenômenos e utilizam simulações eletromagnéticas para prever o comportamento (perdas e temperatura) destes pontos específicos. Em geral, nos programas disponíveis comercialmente há uma vasta gama de variáveis sobre às quais podem ser feitas aproximações para reduzir o custo computacional. As bobinas podem ser excitadas por corrente ou tensão, a simulação pode ser feita no domínio do tempo ou da frequência e os materiais podem ser considerados lineares ou não-lineares. Cada uma destas variantes pode levar a resultados diferentes e a questão é saber se para cada problema específico as aproximações foram válidas e levarão às condições similares àquelas reais de operação.
1.1 MOTIVAÇÃO
O autor deseja de estudar o comportamento de transformadores elétricos em operação ou sob condições de ensaios, utilizando simulações por circuitos equivalentes para prever perdas geradas no núcleo e em
anteparos magnéticos, investigando o impacto das aproximações eventualmente utilizadas.
Mais especificamente deseja que:
Um transformador de potência (especificado e projetado, porém ainda não construído) seja dimensionado e avaliado de forma a permitir a reprodução em trabalhos futuros;
Se conheçam os impactos das diferentes formas de excitação de bobinas no cálculo das perdas por simulações utilizando o MEF (Método dos Elementos Finitos);
Estejam claros os impactos da modelagem de perdas em anteparos metálicos em transformadores mediante a utilização de materiais lineares ou não-lineares;
A utilização de circuitos elétricos e magnéticos acoplados possa ser uma alternativa mais rápida à simulação com o MEF. 1.2 JUSTIFICATIVA
Em projetos de dispositivos eletromagnéticos é comum a utilização de técnicas analíticas combinadas com métodos numéricos. O que geralmente se busca é a possibilidade de avaliação rápida de uma configuração de projeto dentro de uma precisão aceitável.
Durante muitas décadas, foram utilizados ábacos elaborados com base em medições para dimensionar transformadores que não possuíam simetria suficiente para uma abordagem analítica. Com o advento dos computadores, novas técnicas puderam ser desenvolvidas, mas muitos aspectos críticos ainda carecem de maneiras rápidas de avaliação.
Mesmos nos dias atuais, ábacos ainda se mostram úteis como, por exemplo, na avaliação das temperaturas desenvolvidas nas superfícies metálicas do tanque de contenção durante a operação de um transformador. A técnica mais confiável é a simulação por MEF, que pode levar horas para modelar em três dimensões, apresentando tempos típicos de solução de seis horas ou mais. A existência de métodos mais rápidos ainda que não tenham o mesmo nível de precisão pode ser de grande valia para a indústria de transformadores durante a etapa de projeto, que precisa testar várias alternativas de projeto de maneira ágil.
1.3 OBJETIVOS 1.3.1 Objetivo geral
Este trabalho visa desenvolver um método para cálculo das perdas no circuito magnético do transformador de maneira tecnicamente viável,
ou seja, com tempo de processamento inferior a uma simulação completa típica usando MEF, porém com resultados suficientemente precisos a ponto de poder ser utilizado para projeto de transformadores ou outras máquinas elétricas afins, onde muitas opções precisam ser testadas rapidamente.
1.3.2 Objetivos específicos
Os objetivos metodológicos são os seguintes:
Identificar o estado da arte dos métodos disponíveis atualmente para o cálculo das perdas em circuitos magnéticos de transformadores;
Avaliar a aplicabilidade, vantagens e deficiências de cada método;
A partir da avaliação das formulações dos métodos investigados, definir a formulação a ser utilizada nos elementos do circuito eletromagnético;
Criar um algoritmo computacional capaz de receber os dados de forma facilitada, calcular a solução do circuito e exibir os resultados dos diferentes componentes do circuito;
Definir um transformador de potência para avaliação do programa computacional desenvolvido;
Propor estudos futuros para aprimoramentos da técnica. 1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
O capítulo 2 traz uma revisão teórica sobre transformadores, seu funcionamento e as técnicas adotadas para obtenção dos parâmetros geralmente utilizados nos circuitos elétricos equivalentes. Os conceitos são abordados para que sirvam como base teórica de apoio ao longo do trabalho e o modelo de circuito equivalente mais tradicional para transformadores é apresentado.
No capítulo 3, apresenta-se a revisão de literatura contendo os modelos circuitais encontrados na pesquisa de referência que visam caracterizar fenômenos peculiares de transformadores e que foram utilizados como base para maior parte do trabalho.
O capítulo 4 é utilizado para definir um projeto de transformador de potência. A definição de tal transformador será útil para permitir a reprodução adequada dos resultados obtidos neste trabalho em outros trabalhos futuros. O projeto do transformador de potência permite
também que o método desenvolvido seja comparado com outras metodologias disponíveis.
O capítulo 0 trata de desenvolver a formulação adequada para cada um dos componentes do circuito eletromagnético, abordar as técnicas numéricas utilizadas no programa computacional e de aplicar a modelagem proposta ao transformador de potência definido neste trabalho.
O capítulo 6 discorre sobre as simulações elaboradas em programa comercial para modelagem por MEF. São apresentadas as condições de contorno consideradas e os resultados são comparados com aqueles obtidos no capítulo anterior.
2 TRANSFORMADORES ELÉTRICOS
Um transformador elétrico é um dispositivo essencialmente estático que transfere energia elétrica de um circuito para outro por meio de indução eletromagnética, sem alteração na frequência. Por permitir a conexão de circuitos em diferentes níveis de tensão, foi decisivo na universalização do uso de sistemas de corrente alternada para transmissão e distribuição de energia elétrica. Vários componentes do sistema de potência como geradores, linhas de transmissão e distribuição e finalmente as cargas puderam ser operadas no nível de tensão mais adequado para tal. Hoje os transformadores formam uma conexão vital entre as estações geradoras e os pontos de utilização (Kulkarni, et al., 2004).
Em um transformador a energia recebida no enrolamento primário é convertida em energia magnética e então reconvertida em energia elétrica disponível em outros enrolamentos (secundário, terciário, etc.). Portanto, os enrolamentos primário e secundário não são conectados diretamente, mas acoplados magneticamente (com exceção do autotransformador). A designação de enrolamentos primário e secundário remete à direção do fluxo de potência que vai sempre do primário para o secundário, como um mesmo transformador pode operar tanto na função abaixador como na função elevador isso pode causar alguma ambiguidade. Por este motivo, durante o projeto de transformadores os enrolamentos geralmente são designados por outros nomes, como AT (Alta Tensão) e BT (Baixa Tensão) ou ainda MT (Média Tensão). Outra maneira é designá-los pelo valor de tensão nominal (Kulkarni, et al., 2004).
Qualquer transformador elétrico utiliza alguns componentes básicos para realizar sua função primária. Embora desde a sua invenção a técnica tenha sido modernizada, o conceito fundamental e os componentes principais permaneceram intocados desde então. Tais componentes são designados:
a) Circuito magnético: é responsável por confinar e
transportar a energia magnética entre os enrolamentos. Essencialmente é composto por um material ferromagnético com permeabilidade magnética elevada. Geralmente, as ligas recebem adição de silício para redução da condutividade elétrica e consequentemente, das perdas por correntes induzidas. Por este motivo é
chamado de aço-silício. O processo de manufatura utiliza ainda técnicas de laminação a frio e orientação magnética dos grãos, daí a denominação CRGO (do inglês Cold Rolled Grain Oriented). Durante a operação, todo tipo de perda magnética ocorre neste material e a característica tipicamente não-linear torna as abordagens precisas rotineiramente complexas;
b) Enrolamentos: constituídos de espiras (voltas completas
em torno do núcleo magnético), têm por objetivo a transformação da tensão elétrica de seus terminais em fluxo magnético, ou vice-versa; constituem parte vital de qualquer transformador. Há uma ampla variedade de tipos de enrolamentos, as principais características específicas são:
Seção transversal do condutor: circular, retangular, lâmina, CTC (condutor transposto continuamente), entre outros;
Isolamento dos condutores: papel, aramida, poliéster, entre outros;
Construção: camadas, discos, hélice, etc.; Material condutor: cobre ou alumínio.
A escolha dos tipos de cada um dos enrolamentos de um transformador depende dos respectivos níveis de tensão, corrente e perdas. O objetivo é que estes suportem as solicitações dielétricas, térmicas e mecânicas oriundas da operação dos transformadores no sistema elétrico em que se encontra conectado.
c) Sistema de refrigeração: como o funcionamento do núcleo e dos enrolamentos acarreta em perdas na forma de calor e os materiais utilizados apresentam algum limite térmico específico, é necessário dissipar tais perdas para manter a temperatura dentre de limites especificados. O primeiro elemento do sistema de refrigeração é o meio que deve ser ao mesmo tempo isolante elétrico e capaz de transportar calor. Os mais comuns são o óleo (mineral ou vegetal) e o ar (transformador seco). O fluido refrigerante absorve as perdas nos elementos geradores e transporta o calor até os elementos dissipadores, sejam aletas,
trocadores de calor ou o ambiente externo no caso de transformadores a seco. Obviamente, transformadores isolados a óleo necessitam de um tanque de contenção para reter e preservar o fluido. Eventualmente o tanque acaba se tornando parte do circuito magnético do transformador, inclusive apresentando perdas e, portanto, tornando-se parte inclusiva deste trabalho;
d) Acessórios: para monitorar todo o equipamento e a condição de obsolescência do transformador são utilizados os mais diversos dispositivos acessórios. Medidores de nível, pressão, tensão, contadores de operação de comutadores e descargas atmosféricas, entre muitos outros. Em geral são posicionados fora do tranque de contenção e não fazem parte integrante do circuito magnético, dessa forma não serão tratados neste trabalho. 2.1 PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO
2.1.1 O transformador ideal
Transformadores funcionam fazendo uso do princípio de indução eletromagnética onde uma tensão é induzida em uma espira se esta concatena um fluxo magnético variável. A Figura 1 exibe um transformador monofásico composto por dois enrolamentos envolvendo um núcleo magnético, desta forma, ambos os enrolamentos concatenam um fluxo mútuo 𝜙𝑚 [𝑊𝑏]. O enrolamento 1 encontra-se conectado a uma fonte sinusoidal de tensão com frequência 𝑓 [𝐻𝑧] e o enrolamento 2 encontra-se sem carga. Uma pequena corrente de excitação 𝑖0 (valor instantâneo) circula no enrolamento 1, gerando o fluxo 𝜙𝑚 no núcleo. Assume-se que todo o fluxo fica confinado ao núcleo (não há dispersão). Os enrolamentos 1 e 2 possuem 𝑁1 e 𝑁2 espiras, respectivamente.
Figura 1 – Transformador ideal em vazio
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Usando a Lei de Faraday da indução magnética (1) e considerando que a tensão induzida 𝑢𝑒 [𝑉] em uma espira corresponde a (2) tem-se que a tensão induzida 𝑢 em um enrolamento completo é a soma da tensão induzida em cada uma de suas espiras (𝑢𝑖 = 𝑁𝑖 𝑢𝑒). Finalmente considerando a definição de fluxo magnético (3) chega-se a tensão induzida em um enrolamento descrita por (4). Esta última equação relaciona a tensão induzida em um enrolamento com o fluxo magnético que esta envolve e será usada extensivamente ao longo deste trabalho. A ausência do sinal negativo em (4) é intencional e depende do ponto de vista adotado (força contra eletromotriz).
∮ 𝑬 𝑑𝒍 𝑙(𝑆) = − 𝜕 𝜕𝑡∫𝑆(𝑉)𝑩 𝑑𝑺 (1) 𝑢𝑒= ∮ 𝑬 𝑑𝒍 𝑙(𝑆) (2) 𝜙𝑚= ∫ 𝑩 𝑑𝑺 𝑆(𝑉) (3) 𝑢1 = 𝑁1 𝜕𝜙𝑚 𝜕𝑡 (4)
Assumindo que os enrolamentos possuem resistência elétrica nula: 𝑣1= 𝑢1. Sendo 𝑣1 o valor instantâneo de uma fonte de tensão sinusoidal de frequência 𝑓, o fluxo 𝜙𝑚 deve apresentar também natureza sinusoidal com frequência 𝑓. Uma possível representação do fluxo é a apresentada em (5):
𝜙𝑚 = 𝜙𝑚𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑡) (5)
Sendo 𝜙𝑚𝑝 o valor de pico do fluxo mútuo 𝜙𝑚 e 𝜔 = 2 𝜋 𝑓 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]. Substituindo (5) em (4) chega-se a:
𝑢1= 𝑁1 𝜔 𝜙𝑚𝑝cos(𝜔 𝑡) (6)
Para calcular o valor RMS da tensão induzida 𝑢1, divide-se o valor de pico por √2. Ainda substituindo as demais constantes, obtém-se:
𝑈1 = 4.44 𝜙𝑚𝑝 𝑓 𝑁1 (7)
Dados os valores do número de espiras e da frequência, de acordo com (7), o fluxo (e a densidade de fluxo) é completamente determinado pela tensão aplicada ao enrolamento primário. As tensões nos demais enrolamentos podem ser calculadas utilizando-se (7) com os respectivos números de espiras. Finalmente é definida a constante conhecida como relação de transformação (𝑎): 𝑈1 𝑈2 =4.44 𝜙𝑚𝑝 𝑓 𝑁1 4.44 𝜙𝑚𝑝 𝑓 𝑁2 =𝑁1 𝑁2 = 𝑎 (8)
A corrente 𝑖0 indicada na Figura 1 é de natureza magnetizante e considerando características lineares (desprezando a saturação) para o material magnético que constitui o núcleo onde o fluxo magnético 𝜙𝑚 está confinado, a corrente (𝑖0 [𝐴]) estará em fase com o fluxo magnético.
A partir do momento que uma carga é conectada ao circuito do secundário (fechamento da chave na Figura 1) uma corrente (𝑖2 [𝐴]) passa a circular na carga e no enrolamento secundário. Esta corrente emerge da Lei de Lenz tal que a força magnetomotriz, 𝑖2 𝑁2, se opõe às variações do fluxo mútuo 𝜙𝑚. Em um transformador ideal (𝑣1= 𝑢1) o fluxo magnético depende apenas da tensão aplicada ao primário. Portanto, a corrente 𝑖2 só pode existir se uma corrente adicional (𝑖1′ [𝐴]) circular no enrolamento
primário de forma a neutralizar a força magnetomotriz1 demandada pelo
secundário. Em notação RMS:
𝐼1′ 𝑁1= 𝐼2 𝑁2 (9)
Pode-se definir 𝐼1 [𝐴] como uma soma vetorial entre a corrente emergente da força eletromotriz demandada pela carga e a corrente de magnetização 𝐼𝑚 [𝐴], tal que:
𝐼1 = 𝐼1′+ 𝐼𝑚 (10)
Porém, considerando o material magnético como de infinita permeabilidade, 𝐼𝑚 tende a zero e a equação (9) torna-se:
𝐼1 𝑁1= 𝐼2 𝑁2 (11)
Com (11), conclui-se que para o transformador ideal o Ampère-Espira do primário é igual ao Ampère-Ampère-Espira do secundário. O mesmo resultado pode ser obtido aplicando a Lei de Ampere que estabelece que a força magnetomotriz em um caminho fechado é dada por:
∮ 𝑯 𝑑𝒍 𝑙(𝑆)
= 𝑖 (12)
Sendo 𝑖 a corrente líquida que atravessa a superfície 𝑆 (delimitada pela linha fechada 𝑙 que é o caminho médio do núcleo onde circula 𝜙𝑚 na Figura 1) e 𝐻 [𝐴/𝑚] a intensidade do campo magnético. Tomando a relação constitutiva 𝐵 = 𝜇 𝐻: ∮ 𝑯 𝑑𝒍 𝑙(𝑆) = ∮ (𝑩 𝝁) 𝑑𝒍 𝑙(𝑆) = 𝑖1 𝑁1− 𝑖2 𝑁2 (13) Considerando infinita a permeabilidade do material magnético do núcleo, a integral do campo magnético no caminho fechado tende a 0. Então, em notação RMS:
𝐼1 𝑁1− 𝐼2 𝑁2= 0 (14)
Observa-se que (14) é o mesmo resultado obtido em (11). A constatação é uma das regras básicas aplicadas em projetos de
1 Em projetos de transformadores a força magnetomotriz exercida por um enrolamento é geralmente chamada por Ampère-Espira de um enrolamento específico.
transformadores. A soma do Ampere-Espira em qualquer janela do núcleo2 deve sempre ser nula.
Finalmente, para um transformador ideal (onde os enrolamentos têm resistência nula, não há dispersão de fluxo magnético, a permeabilidade magnética do núcleo é infinita e o núcleo não tem perdas), resume-se: 𝑈1 𝑈2 =𝑉1 𝑉2 =𝑁1 𝑁2 =𝐼2 𝐼1 (15) E, 𝑉1 𝐼1 = 𝑉2 𝐼2 (16)
O circuito equivalente do transformador ideal é exibido na Figura 2. A polaridade dos enrolamentos é relativa e arbitrária, mas pode ser relevante no caso de ligações mais complexas.
Figura 2 – Circuito equivalente de um transformador ideal em vazio
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Considerando que a carga da Figura 1 é definida como uma impedância 𝑍2, obtém-se: 𝑍2=𝑉2 𝐼2 (17) Substituindo (15) em (17) para 𝑉2 e 𝐼2:
2 Em projetos de transformadores, entende-se por janela do núcleo a superfície encerrada por caminhos magnéticos do núcleo e “cortada” pelos condutores dos enrolamentos (melhor definida em [34]). Um exemplo é a janela formada pelos trechos de núcleo da Figura 3 onde a corrente líquida é 𝑁1 𝐼1− 𝑁2 𝐼2.
𝑍2=
(𝑁2 / 𝑁1) 𝑉1 (𝑁1 / 𝑁2) 𝐼1
(18) Então, a impedância referida ao lado do enrolamento 1 (primário) é: 𝑍2′ = 𝑉1 𝐼1 = (𝑁2 𝑁1 ) 2 𝑍2 (19)
Desta mesma forma, qualquer impedância pode ser referida entre os enrolamentos utilizando a relação quadrática.
Resumindo (15), (16) e (19) para o transformador ideal: tensões são transformadas proporcionalmente à relação de espiras, correntes no inverso da relação de espiras e impedâncias no quadrado da relação de espiras, enquanto a relação de Volt-Amperes e potência permanece inalterada.
2.1.2 O transformador real
A apresentação do transformador ideal teve por objetivo apresentar os fundamentos do funcionamento do transformador, contudo, tal transformador não pode existir e o circuito de um transformador mais realístico e factível, como na Figura 3, deve ser contemplado.
Figura 3 – Transformador real em curto-circuito
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Sempre que um material magnético é submetido à magnetização cíclica, três tipos de perdas se desenvolvem no material. Perdas por
histerese, por correntes parasitas e excedentes pelo movimento dos domínios magnéticos, uma explicação detalhada é dada em (Bertotti, et al., 1987). Essas perdas são minimizadas pela utilização de ligas metálicas cada vez mais desenvolvidas e pela redução da espessura da laminação. Observando o circuito, exposto na Figura 4, a corrente de excitação total 𝐼0 [𝐴] consiste nas componentes de magnetização do núcleo (𝐼𝑚) que produz 𝜙𝑚 e de perdas do núcleo (𝐼𝑐 [𝐴]) que fornecem energia para as perdas ativas do núcleo. A componente 𝐼𝑐 está em fase com a tensão induzida e adiantada em 90° em relação à componente de magnetização 𝐼𝑚. Assim, quando o enrolamento secundário encontra-se sem carga, o circuito equivalente do transformador é predominantemente indutivo, já que (𝐼𝑚 é geralmente muito maior que 𝐼𝑐 (Kulkarni, et al., 2004)). Figura 4 – Circuito equivalente de um transformador real
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Na Figura 4 a componente de magnetização é representada pela reatância indutiva 𝑋𝑚 [Ω] e a componente de perdas ativas é levada em consideração pela resistência 𝑅𝑐 [Ω], juntas formam o ramo de magnetização. Assume-se 𝑅1 [Ω] e 𝑅2 [Ω] como as resistências dos enrolamentos 1 e 2, respectivamente. Em um transformador real, certa parte do fluxo magnético do primário (𝜙𝐿1 [𝑊𝑏]) não está concatenado com o fluxo magnético do secundário (𝜙𝐿2 [𝑊𝑏]) e é responsável por uma queda de tensão que é levada modelada pelas reatâncias 𝑋𝐿1 [Ω] e 𝑋𝐿2 [Ω]. O transformador ideal é mantido para realizar as transformações de corrente e tensão.
Omitindo o transformador ideal e referindo todos os elementos ao lado primário, obtém-se o clássico circuito-T equivalente. Tal modelo é válido para análises em regime permanente com excitação senoidal sob frequências usuais do sistema de potência (50~60 𝐻𝑧). Para frequências
mais elevadas, em geral acima de 1 𝑘𝐻𝑧, os efeitos capacitivos precisariam ser levados em conta.
2.2 PROJETOS DE TRANSFORMADORES
De acordo com (Ries, 2007), “o projeto de transformadores é um processo essencialmente iterativo que procura obter o equipamento de menor custo total e que atenda às especificações do usuário dentro das prescrições estabelecidas pelas normas de construção, métodos de ensaio e utilização”. O processo iterativo se refere às diversas variáveis de projeto que podem ser controladas para direcionar os parâmetros de saída para atender às restrições definidas.
Geralmente, ao engenheiro projetista de transformadores, são pré-estabelecidos alguns parâmetros necessários para a operação de cada transformador específico, estes podem ser chamados de requerimentos. Algumas solicitações comuns são:
Tensões e ligação dos enrolamentos; Potência nominal;
Níveis de isolação; Impedância de dispersão;
Perdas máximas (ou eficiência mínima); Dimensões máximas;
Exigências dos ensaios normalizados.
Para atender tais critérios, o projetista busca definir as variáveis de projeto para atender todos os requerimentos simultaneamente. Estas variáveis definem o transformador e sua geometria, como por exemplo:
Tipo construtivo dos enrolamentos;
Dimensões dos condutores dos enrolamentos; Dimensões do núcleo magnético;
Distâncias elétricas requeridas para atender o nível de isolação.
Enquanto a geometria do equipamento é modificada para atender os requerimentos, o custo de produção é avaliado até que se encontre um ponto mínimo. Técnicas de otimização são utilizadas e, em geral, aquelas que necessitam do gradiente da função custo não podem ser utilizadas, pois as variáveis que definem o projeto não são contínuas e, portanto, a função custo também não é. Assim, é comum que sejam utilizadas técnicas estocásticas como Algoritmos Genéticos (Khatri, et al., 2012).
Ferramentas sofisticadas de simulação por MEF não são utilizadas nesta etapa do projeto que precisa ser ágil para avaliar centenas (até milhares) de configurações possíveis. Cada fabricante possui programas computacionais próprios com formulações analíticas para realizar as rotinas de cálculo. Quando definido o projeto mais adequado, aí sim, outras ferramentas são utilizadas para avaliar detalhes construtivos como distribuição detalhada da tensão de impulso, perdas parasitas nos enrolamentos devido ao campo de dispersão, cálculo das temperaturas por circuito termohidráulico e até possibilidade de sobreaquecimento localizado em pontos específicos da superfície do tanque de contenção ou elementos estruturais.
2.3 PROPÓSITO DOS ENSAIOS
Todo ensaio realizado após a fabricação de um transformador tem por objetivo atestar a capacidade do transformador de atender as normas regionais, a especificação do comprador e a suportabilidade frente às condições de operação do equipamento ao longo de sua vida útil.
Há ensaios que aplicam solicitações severas ao transformador para identificar possíveis defeitos de fabricação que venham a acarretar falha precoce, como, por exemplo, os ensaios dielétricos de tensão induzida, tensão aplicada e impulso atmosférico (IEC - International Electrotechnical Comission, 2011). Além destes, há ensaios que visam levantar os parâmetros específicos de cada transformador, pois tais parâmetros podem variar sensivelmente entre diferentes peças de um mesmo lote (peças diferentes com mesmo projeto). Tal tolerância se deve às variações nas propriedades das matérias primas como o aço-silício e os condutores além de desvios mínimos durante a produção. A maior parte dos parâmetros verificados com os ensaios de rotina permitem uma faixa de tolerância em referência a um valor central garantido.
Os principais ensaios que permitem caracterizar um transformador com base em seus parâmetros circuitais são: ensaio em vazio e ensaio em curto-circuito. Combinados, relacionam tanto os parâmetros de excitação como de dispersão. Cada um destes será detalhado a seguir e o relacionamento entre os parâmetros de medição e circuitais serão expostos.
2.3.1 Ensaio em vazio
O diagrama do circuito para conduzir o ensaio em vazio é exibido na Figura 5. A tensão nominal do enrolamento é aplicada pela fonte externa (geralmente alimentado pelo lado de BT com os terminais de AT abertos). A corrente de excitação circula no enrolamento alimentado,
retornando pelo ramo de magnetização enquanto são medidos os valores de potência ativa e corrente. O valor da corrente de excitação é geralmente significativamente inferior à corrente nominal (entre 0.2 e 2% (Kulkarni, et al., 2004)) e, portanto, a queda de tensão e as perdas nas resistências e reatâncias da BT são desprezíveis, de forma que se pode considerar a potência medida no wattímetro como a própria perda do núcleo.
Figura 5 – Esquema circuital do ensaio em vazio
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Por fim, as resistências e reatâncias série podem ser removidas para simplificar o circuito, de acordo com a Figura 6.
Figura 6 – Esquema circuital simplificado para o ensaio em vazio.
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
As perdas em vazio são medidas diretamente por um wattímetro ou calculadas de acordo com (20):
𝑃0 = 𝑉1 𝐼0cos(𝜃0) (20)
Onde 𝜃0 é a ângulo que representa a defasagem entre 𝐼0 e 𝑈1 (sendo 𝑈1 = 𝑉1 durante o ensaio em vazio). As componentes de magnetização e perdas podem ser calculadas por (21) e (22), respectivamente:
𝐼𝑚 = 𝐼0 𝑠𝑒𝑛(𝜃0) (22) Finalmente, os parâmetros do ramo paralelo que representa o núcleo podem ser calculados por (23) e (24):
𝑅𝑐= 𝑃0 𝐼𝑐2 𝑜𝑢 𝑅𝑐= 𝑉12 𝑃0 (23) 𝑋𝑚 = 𝑉1 𝐼𝑚 (24)
Outra abordagem consiste em calcular a impedância total do ramo de magnetização (𝑍𝑚) usando (25) e então calcular a reatância de magnetização 𝑋𝑚 usando (26) e o resultado de 𝑅𝑐 calculado por (23).
|𝑍𝑚| = 𝑉1 𝐼0 (25) 1 𝑍𝑚 = 1 𝑅𝑐 + 1 𝑗𝑋𝑚 |𝑋𝑚| = 𝑅𝑐 𝑍𝑚 𝑅𝑐− 𝑍𝑚 (26)
Devido à simplificação em que o material do núcleo foi dito linear, a informação da distorção harmônica na corrente 𝐼𝑚 se perdeu e considera-se que as correntes são lineares, preservando apenas o valor RMS coerente. Em um transformador polifásico, a corrente de excitação é tomada como a média de todas as fases, isso porque é comum o caminho magnético de uma das fases ser mais curto fazendo com que a corrente de excitação seja inferior (IEC - International Electrotechnical Comission, 2011).
Durante o ensaio em vazio a indução magnética de regime (𝐵𝑛 [𝑇]) estabelecida nas colunas do núcleo podem ser calculadas com a definição de (3) e com (7), resultando em:
𝜙𝑚𝑝 = 𝑈1 4.44 𝑓 𝑁1 𝐵𝑛 = 𝑈1 4.44 𝑓 𝑁1 𝑆𝑇𝑁 (27)
Onde 𝑆𝑇𝑁 [𝑚2] é a seção transversal do núcleo magnético formada pelas lâminas de aço-silício.
2.3.2 Ensaio em curto-circuito
Para medir as perdas em curto-circuito e a impedância de dispersão de um transformador, o ensaio de curto-circuito3 é realizado de acordo com o circuito apresentado na Figura 7. Geralmente o ensaio é realizado pelo lado de AT, ou seja, a fonte é conectada aos terminais de AT enquanto o outro enrolamento tem seus terminais curto-circuitados. Ao longo do ensaio, o valor da tensão aplicada na AT é elevado lentamente até que a corrente atinja o valor nominal. Para um transformador com 10% de impedância a corrente nominal dos enrolamentos irá circular assim que a tensão da fonte atingir 𝑉𝑐𝑐 que corresponderá a 10% do valor da tensão nominal.
Figura 7 – Esquema circuital do ensaio em curto.
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Devido ao baixo nível de tensão, a excitação do núcleo é muito inferior à nominal (𝑈1 ≪ 𝑉1) tornando a corrente drenada pelo ramo paralelo desprezível e a queda de tensão pode ser considerada toda nos elementos série dos enrolamentos. Nesta condição, 𝜙𝑚 é desprezível em relação 𝜙𝐿1 e 𝜙𝐿2 e os valores medidos de perdas se devem totalmente àquelas que ocorrem nos enrolamentos e a reatância se deve totalmente ao campo de dispersão. Eliminando o ramo paralelo e referindo os valores de resistência e reatância de BT ao lado de AT, obtém-se o circuito simplificado exibido na Figura 8.
3 Ensaio de curto-circuito com medição de perdas e impedância: é importante distinguir este ensaio de rotina do ensaio especial destrutivo de suportabilidade ao curto-circuito.
Figura 8 – Esquema circuital do ensaio em vazio
Fonte: Adaptada de (Kulkarni, et al., 2004)
Os valores de 𝑅1 e 𝑅2 modelam perdas nos enrolamentos 1 e 2, respectivamente. Estas perdas são compostas por perdas ôhmicas (𝐼2𝑅), perdas por correntes parasitas e perdas por dispersão em elementos estruturais e embora o valor da perda ôhmica possa ser calculado utilizando a medição da resistência dos enrolamentos, não se pode saber exatamente qual dos enrolamentos é responsável pelas demais perdas. Ainda assim são necessários valores para composição do circuito e para tanto assume-se que 𝑅1= 𝑅2′ = 1/2 𝑅𝑒𝑞1. De forma similar, não pode se saber exatamente qual os valores das reatâncias individuais 𝑋𝐿1 e 𝑋𝐿2 (isto sequer faz sentido já que estes valores se devem à dispersão de fluxo entre dois enrolamentos) e considera-se também 𝑋𝐿1= 𝑋𝐿2′ = 𝑋𝑒𝑞/2.
Os parâmetros série podem ser então calculados: 𝑍𝑒𝑞 = 𝑉𝐶𝐶 𝐼𝐶𝐶 (28) 𝑅𝑒𝑞1= 𝑃𝐶 𝐼𝐶𝐶2 (29) 𝑋𝑒𝑞1 = √𝑍𝑒𝑞2 − 𝑅𝑒𝑞12 (30)
Sendo 𝑃𝐶 a potência ativa fornecida pela fonte. Quando um transformador possuir mais de dois enrolamentos, o ensaio de curto-circuito é realizado para cada par de enrolamentos, de modo que se meçam todas as impedâncias binárias (chamadas 𝑋𝑒𝑞1, 𝑋𝑒𝑞2, etc.). Para compor um circuito equivalente é necessário obter valores para as reatâncias individuais (𝑋𝐿1, 𝑋𝐿2, etc.). Uma forma de obter estes valores é utilizar um sistema no qual a matriz dos coeficientes é preenchida com
1 em cada linha para os enrolamentos ensaiados. Um exemplo é exibido em (31) supondo um transformador com 4 enrolamentos (é possível arranjar 4 enrolamentos em 6 combinações diferentes de ensaios binários). [ 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1] [ 𝑋𝐿1 𝑋𝐿2 𝑋𝐿3 𝑋𝐿4 ] = [ 𝑋𝑒𝑞1 𝑋𝑒𝑞2 𝑋𝑒𝑞3 𝑋𝑒𝑞4] (31)
O sistema é superdefinido e são necessárias apenas 4 medições para definir todos os valores individuais de reatância com base nos valores de ensaio de curto-circuito. As reatâncias individuais podem assumir até mesmo valores negativos, mas é importante notar que ainda assim podem ser utilizadas já que a informação importante é a soma entre os ramos série e esta não será negativa e representará adequadamente a dispersão de fluxo entre dois enrolamentos.
3 MODELAGEM DE TRANSFORMADORES
Elementos de circuito elétrico isoladamente expressam alguma relação entre um dado de entrada e outro dado de saída, por exemplo, uma resistência elétrica expressa a queda de tensão sobre ela em função de uma dada corrente, ou ainda a corrente que se estabelece através dela em função de uma determinada tensão aplicada aos seus terminais. Geralmente, há mais de uma maneira de pensar sobre o componente e chegar às mesmas conclusões.
A teoria de circuitos elétricos é universalmente difundida e a técnica é extrapolada para outras áreas: hoje utilizamos circuitos magnéticos, térmicos, hidráulicos, entre outros. A analogia entre circuitos elétricos e magnéticos é apresentada em vários títulos, entre eles, (Bastos, 2008). No texto, Bastos chama a atenção para a simetria entre as equações listadas: ∇ × 𝑬 = −𝜕𝑩 𝜕𝑡 (32) ∇ × 𝑯 = 𝑱𝑚 (33) 𝑬 =1 𝜎 𝑱 (34) 𝑯 = 1 𝜇 𝑩 (35) ∇ ∙ 𝑱 = 0 (36) ∇ ∙ 𝑩 = 0 (37)
Sendo 𝑬 o campo elétrico [𝑉/𝑚 ], 𝑩 a densidade de campo magnético ou indução [ 𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎], 𝑯 a intensidade de campo magnético [ 𝐴𝑒/𝑚], 𝑱 a densidade de corrente elétrica [𝐴/𝑚2], 𝑱𝑚 uma densidade de corrente elétrica fonte de campo magnético [𝐴/𝑚2], 𝜎 a condutividade elétrica [𝑆/𝑚] e 𝜇 a permeabilidade magnética [𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦/𝑚] calculada como 𝜇 = 𝜇𝑟 𝜇0. A simetria entre as equações e quantidades sugere que a teoria de circuitos elétricos possa ser aplicada aos fenômenos magnéticos.
Ainda de acordo com (Bastos, 2008), outras quantidades derivam destas equações. A tensão elétrica 𝑈 [𝑉] pode ser comparada à força magnetomotriz ℱ [𝐴]. Consequentemente obtém-se a analogia entre a resistência elétrica e a relutância magnética:
R =𝑉 𝐼 = 1 𝜎 𝑙 𝑆 (38) ℜ = ℱ 𝜙= 1 𝜇 𝑙 𝑆 (39)
Onde 𝑙 e 𝑆 são respectivamente os comprimentos e as seções transversais dos caminhos (elétricos e magnéticos). Finalmente constata-se o fluxo magnético 𝜙 [𝑊𝑏] equivalente à corrente elétrica 𝐼 [𝐴].
3.1 MODELOS CIRCUITAIS DISPONÍVEIS PARA
TRANSFORMADORES
Além dos famosos circuitos equivalentes citados no capítulo 2 (também conhecido como modelo-T), há equivalentes mais complexos que tentam modelar fenômenos mais avançados e peculiares aos transformadores. Entre estes fenômenos os de interesse mais frequente são:
Obtenção do valor de pico e forma de onda da corrente de inrush;
Modelagem do fluxo de sequência zero; Ferrorressonância;
Comportamento na região de saturação profunda.
Em (Martinez, et al., 2005) foi realizada uma revisão dos modelos já utilizados pelos autores onde foram citados:
a) Representação em matriz: também conhecido como
BCTRAN Model é a técnica utilizada em programas de modelagem de transientes em circuitos elétricos, como o ATP (Alternative Transient Program). Os programas computacionais utilizam um componente concentrado onde a representação mais básica da função de transferência do transformador é exibida em (40) na forma matricial, essencialmente um elemento RL. Obviamente não há efeitos de saturação com tal modelo já que todos os parâmetros são lineares, na realidade, este modelo representa o modelo-T sem o ramo de magnetização do núcleo.
[𝑣] = [𝑅][𝑖] + [𝐿] [𝑑𝑖
𝑑𝑡] (40)
b) Componente saturável: também conhecido como STC
Model, incorpora à representação em matriz, o ramo paralelo do núcleo (como na Figura 4) em que a reatância 𝑋𝑚 é um componente não linear. De acordo com os autores há algumas limitações importantes neste modelo já que não pode ser
utilizado para transformadores com mais de 3 enrolamentos e no caso com 3 enrolamentos pode gerar instabilidade numérica;
c) Modelos baseados na topologia do transformador: de acordo
com (Martinez, et al., 2005) estes modelos são os mais indicados por identificarem adequadamente os caminhos de fluxo, sobretudo para o núcleo magnético. Podem ainda ser subdivididos:
a. Modelos duais: estes modelos foram introduzidos em 1981 por (Dick, et al., 1981) e aprimorado em (Arturi, 1991), (de León, et al., 1994), (Narang, et al., 1994) e (Mork, 1999). Utilizam um equivalente elétrico do circuito magnético por meio do princípio da dualidade. O método é também descrito detalhadamente em trabalhos mais recentes como (Cho, 2002) e (Jazebi, et al., 2013). A abordagem inclui o efeito da saturação de ramos independentes do núcleo como colunas e jugos4 e
reatâncias lineares para modelar os “caminhos de ar” que conduzem fluxo magnético, como os dutos entre enrolamentos. Uma característica importante é que os parâmetros utilizados para as relutâncias magnéticas são obtidos utilizando-se medições em transformadores construídos, ou seja, empiricamente;
b. Modelos geométricos: também modelam trechos do núcleo (não-lineares) e tubos de fluxo (lineares) separadamente. A diferença principal é que modelam o fluxo magnético 𝜆 como uma variável de estado, de acordo com (41) e as relutâncias são modeladas diretamente com os parâmetros do núcleo magnético usando alguma formulação matemática específica. As principais contribuições para o desenvolvimento destes métodos estão listadas em (Yacamini, et al., 1994),
4 Em projetos de transformadores, usualmente se utiliza a designação ‘coluna’ para os trechos verticais que possuem enrolamentos incorporados, ‘jugo’ para os trechos horizontais que conectam as colunas e ‘coluna de retorno’ para aqueles trechos verticais de núcleos sem enrolamentos que servem apenas como um caminho de retorno para o fluxo magnético.
(Arrillaga, et al., 1997), (Hatziargyriou, et al., 1993) e (Chen, 1996).
[𝑣] = [𝑅][𝑖] + [𝑑𝜆
𝑑𝑡] (41)
Analisando tais modelos e tendo em vista os objetivos deste trabalho, constata-se que a opção mais adequada para implementação como ferramenta de projeto é aquela que utiliza modelos geométricos baseados na topologia do transformador. Como citado, esta técnica exige uma formulação matemática adequada para os componentes dos circuitos elétrico e magnético.
3.2 FORMULAÇÕES PARA MODELAGEM DE COMPONENTES
Detalhes sobre elementos como resistências, indutâncias e fontes de tensão elétrica são encontrados na maior parte dos livros didáticos de eletromagnetismo e circuitos, como (Bastos, 2008). Já formulações para os elementos não lineares são dados mais específicos e são mais facilmente encontradas em artigos científicos. Nominalmente, os principais elementos que requerem formulação específica para atender os objetivos deste trabalho são:
3.2.1 Relutância linear
O modelo de relutância linear é adequado para representar tubos de fluxo preenchidos com material uniforme de permeabilidade magnética constante como o ar (ou óleo isolante). Este é o caso dos dutos entre enrolamentos e dos caminhos que podem levar o campo disperso dos enrolamentos a outros componentes magnéticos. A formulação é elementar e (39) é a equação definitiva para tal modelo.
3.2.2 Relutância de núcleo ferromagnético
Como definido por (39), o valor de uma relutância magnética expressa a relação entre a força magnetomotriz exercida sobre o caminho magnético e o fluxo magnético líquido que circula no caminho da relutância. Nos materiais ferromagnéticos essa relação é tipicamente não linear e apresenta características de saturação em um determinado nível de densidade de fluxo, não obstante, o material também apresenta perdas que requerem força magnetomotriz.
De acordo com (Bertotti, et al., 1987), (Bertotti, 1998), (Batistela, 2001) e (Chiesa, 2010) as perdas típicas em um núcleo ferromagnético de transformador (𝑃0) podem ser expressas pela soma (42):
𝑃0 = 𝑃ℎ𝑖𝑠𝑡+ 𝑃𝑒𝑑𝑑𝑦+ 𝑃𝑒𝑥𝑐 (42) Onde 𝑃ℎ𝑖𝑠𝑡 está relacionada com a energia necessária para orientar os domínios magnéticos, 𝑃𝑒𝑑𝑑𝑦 é a perda devido às correntes induzidas nas laminações devido ao fluxo magnético variável e 𝑃𝑒𝑥𝑐 são as perdas por correntes parasitas excedentes em decorrência da movimentação dos domínios magnéticos (são também chamadas de perdas anômalas). Uma formulação adequada deve contemplar cada uma das componentes de forma independente para que a relação causa-efeito da variação dos diferentes parâmetros possa ser avaliada.
Além das perdas é importante conhecer o campo excitante de cada fenômeno para definir a dependência entre a indução magnética e o campo magnético, de acordo (43).
𝐻0 = 𝐻ℎ𝑖𝑠𝑡+ 𝐻𝑒𝑑𝑑𝑦+ 𝐻𝑒𝑥𝑐 (43)
a) Perdas por histerese: há diversos modelos disponíveis
para histerese, entre eles Steinmetz (disponível em (Bastos, 2008)), Jiles-Atherton (Leite, et al., 2003), Preisach (Bertotti, 1998), entre outros. Cada modelo apresenta prós e contras e neste trabalho será utilizado o modelo inverso de Jiles-Atherton (Leite, et al., 2003). A principal relação deste modelo é expressa por (44):
𝑑𝑀 𝑑𝐵 = (1 − 𝑐)𝑑𝑀𝑖𝑟𝑟 𝑑𝐵𝑒 + 𝑐 𝜇0 𝑑𝑀𝑎𝑛 𝑑𝐻𝑒 1 + 𝜇0(1 − 𝑐) (1 − 𝛼) 𝑑𝑀𝑖𝑟𝑟 𝑑𝐵𝑒 + 𝑐 (1 − 𝛼) 𝑑𝑀𝑎𝑛 𝑑𝐻𝑒 (44)
E complementada pelas seguintes relações: 𝑀𝑎𝑛 = 𝑀𝑠 [coth ( 𝐻𝑒 𝑎) − 𝑎 𝐻𝑒 ] (45) 𝑀𝑖𝑟𝑟= 𝑀 − 𝑐 𝑀𝑎𝑛 1 − 𝑐 (46) 𝑑𝑀𝑖𝑟𝑟 𝑑𝐵𝑒 =𝑀𝑎𝑛− 𝑀𝑖𝑟𝑟 𝜇0 𝑘 𝛿 (47)
𝑑𝑀𝑎𝑛 𝑑𝐻𝑒 =𝑀𝑠 𝑎 [1 − coth 2(𝐻𝑒 𝑎) − ( 𝑎 𝐻𝑒 ) 2 ] (48) 𝑀 = 1 𝜇0 𝐵 − 𝐻 (49) 𝐻𝑒 = 𝐻 + 𝛼 𝑀 (50) 𝐵𝑒 = 𝜇0 𝐻𝑒 (51) 𝛿 = { 1,𝑑𝐻 𝑑𝑡 > 0 −1,𝑑𝐻 𝑑𝑡 < 0 (52)
Sendo 𝑀 a magnetização (formulação física) composta pelas componentes reversível 𝑀𝑟𝑒𝑣 e irreversível 𝑀𝑖𝑟𝑟, 𝑀𝑎𝑛 representa a magnetização anisterética, 𝛿 é um parâmetro direcional, 𝑀𝑠 significa a magnetização de saturação, 𝛼, 𝑎, 𝑘 e 𝑐 são constantes. Finalmente, as perdas do componente magnético de volume 𝑉𝑜𝑙 [𝑚3] podem ser calculadas utilizando o valor médio de (53):
𝑃ℎ𝑖𝑠𝑡 = ∫ 𝐻𝑑𝐵 𝑉𝑜𝑙 (53)
b) Perdas por correntes parasitas: típicas para aços
laminados, em (Bertotti, 1998) são apresentadas as bases formais para o surgimento de tais perdas e o desenvolvimento matemático. Neste trabalho as perdas serão calculadas conforme (54):
𝑃𝑒𝑑𝑑𝑦(𝑡) =𝜎𝑙𝑎𝑚 𝑑𝑙𝑎𝑚 2 12 ( 𝑑𝐵 𝑑𝑡) 2 𝑉𝑜𝑙 (54)
Onde 𝑑𝑙𝑎𝑚 é espessura individual das lâminas de aço e 𝜎𝑙𝑎𝑚 é a condutividade elétrica do material que compõe as lâminas. Enquanto que o campo associado é expresso por (55):
𝐻𝑒𝑑𝑑𝑦(𝑡) =
𝜎𝑙𝑎𝑚 𝑑𝑙𝑎𝑚2 12
𝑑𝐵
𝑑𝑡 (55)
c) Perdas excedentes: ainda de acordo com (Bertotti, 1998),
as perdas por correntes excedentes devido à movimentação das paredes dos domínios magnéticos podem ser calculadas de acordo com (56):
𝑃𝑒𝑥𝑐(𝑡) = √𝜎 𝐺 𝑆 𝑉0 | 𝑑𝐵 𝑑𝑡| 3 2 𝑉𝑜𝑙 (56)
Enquanto o campo magnético que excita tais perdas é expresso por (57): 𝐻𝑒𝑥𝑐(𝑡) = √𝜎 𝐺 𝑆 𝑉0 ( 𝑑𝐵 𝑑𝑡) 1 2 (57)
Em (57), o termo √𝜎 𝐺 𝑆 𝑉0 pode ser tomado como uma constante, aqui definida como 𝑘𝑒𝑥𝑐, resultando em (58):
𝐻𝑒𝑥𝑐(𝑡) = 𝑘𝑒𝑥𝑐 ( 𝑑𝐵 𝑑𝑡) 1 2 . (58)
3.2.3 Lateral (parede) de tanque de contenção
As perdas na superfície do tanque de contenção acontecem principalmente devido ao campo disperso que atinge este e outros anteparos metálicos no interior de um transformador de potência. Tais perdas podem gerar pontos quentes indesejados e o problema torna-se mais grave em transformadores de grande porte. De acordo com (Kulkarni, et al., 2004), o problema se torna particularmente mais severo no caso de autotransformadores onde a impedância equivalente é superior a transformadores convencionais e gera campos dispersos excessivamente altos. Há ainda outras circunstâncias típicas para a geração de pontos quentes na lateral do tanque como a presença de barramentos circulados por altas correntes (típico de transformadores para fornos e grandes geradores).
Entre os fatores que influenciam as perdas por dispersão nos anteparos metálicos está o tipo de excitação (Figura 9) que define principalmente a forma de incidência do campo magnético nos materiais
