Nyquist Sampling Rate
f
s
>2 BW
f
s
= sampling frequency
Foldover spectrum produced by undersampling an input.
Bandlimiting filter template designed to meet CCITT
recommendations for PCM voice coders.
a
a
T
f
=
1
∑
∞
∞
=
=
n
jnwt
e
nd
c
d
t
S
(
)
sin
(
).
πα
τ
x
a
(t) = x(t).S(t)
)
(
).
(
sin
)
(
=
∑
∞
=
−∞
−
n
a
a
f
d
c
nd
X
f
nf
x
)
(
a
m
c
m
f
f
f
f
≤
≤
−
)
(
).
(
sin
)
(
=
∑
∞
=
−∞
−
n
a
a
f
d
c
f
X
f
nf
x
τ
N = b
n
Onde:
b = 2 num sistema binário, o que é o nosso caso, pois
temos dois eventos equiprováveis.
2
2
12n
A
N
q
=
Para um sinal senoidal a potência do sinal será;
Æ (com A de pico a pico)
Logo a relação sinal / ruído será:
2
A
S
=
8
12
12
8
2 2 2 2n
A
n
x
A
N
S
q=
=
Em dB teríamos:
Para n = 128 temos:
n
n
N
S
qlog
20
75
,
1
log
20
8
12
log
10
+
=
+
=
Y
N
S
vem
níveis
n
Fazendo
y
n
N
S
teremos
Logo
Y
A
x
Y
A
x
Y
V
S
V
V
Y
Teremos
V
A
V
onde
y
de
V
V
Chamando
dB
N
S
dB q dB q qlog
20
44
:
,
128
log
20
log
20
75
,
1
:
8
8
1
2
1
:
2
:
44
2 2 2 2 max max max max−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
=
>
=
≅
( )
max 2log
20
75
,
1
:
,
8
12
V
V
k
onde
nk
N
S
dB
em
ou
nk
N
S
dB q q=
→
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
µ
LEI
1
:
)
1
(
log
≤
≤
+
=
e
x
onde
x
e
Y
Y
θ
µ
µ
LEI
A
1
1
log
1
log
1
1
0
log
1
≤
≤
+
+
=
≤
≤
+
=
x
A
A
Ax
Y
A
x
A
x
A
Y
Quantization error as a function
of amplitude over a range of
quantization intervals.
Quantization Noise can be determined as:
Where:
E{•} = expectation or averaging
x(t) = the analog input signal
y{t) = the decoded output signal
}
)]
(
)
(
{[
)}
(
{
2
2
t
x
t
y
E
t
x
E
SQR
−
=
In determining the expected value of the quantization
noise, three observations are necessary:
1
The error y(t) - x(t) is limited in amplitude to q/2 where
q is the height of the quantization interval. (Decoded
output samples are ideally positioned at the middle of
a quantization interval.).
2
A sample value is equally likely to fall anywhere within
a quantization interval—implying a uniform probability
density of amplitude 1/q.
3 Signal amplitudes are assumed to be confined to the
maximum range of the coder. If a sample value
2
2
1
)
(
q
q
q
p
≤
≤
−
=
η
η
Probabilidade (P) de ocorrer uma amostra com um
ruído de quantização ( ).
η
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
=
Ω
=
→
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
−log
10
1
log
10
)
(
12
1
2 2 2 2 2 2V
SQR
R
para
R
V
P
P
P
dB
SQR
q
dn
q
power
noise
on
quantizati
q s q qη
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
=
q
v
dB
SQR
q
V
SQR
q
V
SQR
log
20
8
.
10
)
(
12
log
10
log
20
12
log
10
log
10
2
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
=
=
=
→
=
=
2
log
10
log
10
2
2
sin
2
2
2
2
2
2
q
A
q
V
SQR
A
V
A
V
entrada
de
al
do
rms
amplitude
V
rms
rms
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
q
A
dB
SQR
q
A
q
V
SQR
log
20
78
,
7
)
(
12
2
log
10
12
log
10
2
2
2
2
Potencia do ruído de quantização - SQR
Um sinal senoidal de entrada com A=1 volt (amplitude
máxima), está sendo quantizado para uma relação sinal
ruído de quantização – SQR(dB)= 30 dB. Quantos
intervalos de quantização e quantos bits são necessários
para representar cada amostra.
Potencia do ruído de quantização - SQR
volts
q
q
q
q
q
A
SQR
078
,
0
10
log
20
0
22
,
20
log
20
1
log
20
78
,
7
30
1
log
20
78
,
7
30
log
20
78
,
7
20
22
,
22
=
=
−
=
−
=
−
+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Potencia do ruído de quantização - SQR
Número de níveis:
Número de bits:
o
quantizaçã
de
níveis
polaridade
por
níveis
q
q
q
26
13
13
13
078
,
0
1
1
=
+
=
=
=
=
η
η
( )
n
N
bits
log
2
q
=
=
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
=
−
max
max
max
log
20
02
.
6
76
,
1
2
2
20
78
,
7
log
20
78
,
7
2
2
:
A
A
n
SQR
A
A
SQR
q
A
SQR
A
q
PCM
uniforme
bit
n
an
of
e
performanc
The
n
n
A perfomance do PCM
Qual é o número de bits necessários para um
codificador PCM codificar um sinal de áudio com alta
fidelidade com um range dinâmico do sinal de 40 dB?
Sabe-se que;
BW = 10 khz
A perfomance do PCM
F
s
= 2 f
BW= 2 BW = 20 khz Æ + 20% = 24 khz
Obs: 20% para evitar o foldover
SQR = 40 + 50 = 90 dB
SQR (dB) = 1,76 + 6,02 n + 20 log ( A/A
max)
Para: A = Amax Æ n= 15 bits
A perfomance do PCM
O sinal de TV preto e branco tem uma largura de
banda BW= 4,2 Mhz.
Qual a taxa de bit requerida para digitalizar o sinal em
pCM com SQR = 30 dB?
Use a taxa de amostragem do teorema de Nyquist de
maneira identica ao PCM de voz.
A perfomance do PCM
F
s
= 2 f
BW= 2 BW = 8,4 Mhz Æ + 20% = 10 khz
Obs: 20% para evitar o foldover
SQR = 30 dB
SQR (dB) = 1,76 + 6,02 n + 20 log ( A/A
max)
Para: A = Amax Æ N = 5 bits
Companding
( )
(
)
1
1
1
1
1
1
1
)
(
1
1
)
1
ln(
)
1
ln(
)
sgn(
)
(
1
≤
≤
−
=
≤
≤
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
≤
≤
−
=
+
+
=
−
−
x
signal
compress
y
y
y
F
y
sig
F
x
signal
imput
x
x
x
x
F
companding
law
y
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
[
]
[
]
1
ln
1
1
1
)
(
)
(
)
ln(
1
1
0
)
ln(
1
)
(
)
(
exp
1
1
ln
1
.
ln
1
)
(
)
(
1
0
)
ln(
1
.
)
(
)
(
)
ln(
1
1
1
≤
≤
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
+
≤
≤
+
=
≤
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
≤
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
−
+
−
−
y
A
A
e
y
sig
x
F
A
y
A
A
y
y
sig
x
F
ansion
or
inverse
x
A
A
Ax
x
sig
x
F
A
x
A
x
A
x
sig
x
F
companding
law
A
A
y
A
A
A
A
Segmento
Máximo erro de quantização
0
V
0
1
V
0
2
2v
0
Segmento
Máximo erro de quantização (decodificação)
0
V
0/2
1
V
0/2
Segmento
Máximo erro de quantização (codificação)
0
V
01
V
02
2v
03
4V
04
8V
05
16V
06
32V
0Segmento
Máximo erro de quantização (decodificação)
0
V
0/2
1
V
0/2
2
v
03
2V
04
4V
05
8V
06
16V
07
32V
0R E C E P Ç Ã O D E C O D I F I C A Ç Ã O
1
0
1
0
1
SINAL HDB3 SINAL DIGITAL SINAL PAM SINAL ANALOGICO
