Cap23

Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica

Jason Alfredo Carlson Gallas

Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Instituto de F´ısica

Mat´eria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’

Conte ´udo

23 Carga El´etrica 2

23.1 Quest˜oes . . . 2

23.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 3

23.2.1 Lei de Coulomb . . . 3

23.2.2 A Carga ´e Quantizada . . . 8

23.2.3 A Carga ´e Conservada . . . 10

23.2.4 As Constantes da F´ısica: Um Aparte . . . 10

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista1.tex)

23

Carga El´etrica

23.1

Quest˜oes

Sendo dadas duas esferas de metal montadas em supor-te port´atil de masupor-terial isolansupor-te, invensupor-te um modo de car-reg´a-las com quantidades de cargas iguais e de sinais opostos. Vocˆe pode usar uma barra de vidro ativada com seda, mas ela n˜ao pode tocar as esferas. ´E necess´ario que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´etodo funcionar?

Um m´etodo simples ´e usar induc¸˜ao el´etrost´atica: ao aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es-feras quando ambas estiverem em contato iremos indu-zir (i) na esfera mais pr ´oxima, uma mesma carga igual e oposta `a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada, uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se separarmos ent˜ao as duas esferas, cada uma delas ir´a fi-car com fi-cargas de mesma magnitude por´em com sinais opostos. Este processo n˜ao depende do raio das esfe-ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre a superf´ıcie de cada esfera ap´os a separac¸˜ao obviamente depende do raio das esferas.

Q 23-2

Na quest˜ao anterior, descubra um modo de carregar as esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si-nal. Novamente, ´e necess´ario que as esferas tenham o mesmo tamanho para o m´etodo a ser usado?

O enunciado do problema anterior n˜ao permite que toquemos com o bast˜ao nas esferas. Portanto, repeti-mos a induc¸˜ao eletrost´atica descrita no exerc´ıcio ante-rior. Por´em, mantendo sempre a barra pr ´oxima de uma das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas-tarmos o bast˜ao da esfera e a colocarmos novamente em contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea-mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos que o sinal das cargas em ambas esferas ´e o mesmo. Pa-ra que a magnitude das cargas seja tamb´em idˆentica ´e necess´ario que as esferas tenham o mesmo raio. ´E que a densidade superficial comum `as duas esferas quando em contato ir´a sofrer alterac¸˜oes diferentes em cada esfera, ap´os elas serem separadas, caso os raios sejam diferen-tes.

Q 23-3

Uma barra carregada atrai fragmentos de cortic¸a que, as-sim que a tocam, s˜ao violentamente repelidos. Explique a causa disto.

Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi-mos que eles possuem quantidades de cargas com sinais diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor ´e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a repelir-se por possuirem, ent˜ao, cargas de mesmo sinal.



Note que afirmar existir repuls˜ao ap´os os corpos tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida-de quantida-de cargas existente inicialmente em cada corpo.

Q 23-4

As experiˆencias descritas na Secc¸˜ao 23-2 poderiam ser explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber, a do vidro, a da seda, a do pl´astico e a da pele do animal. Qual ´e o argumento contra isto?

´

E f´acil verificar experimentalmente que os quatro ti-pos ‘novos’ de carga n˜ao poderiam ser diferentes umas das outras. Isto porque ´e poss´ıvel separar-se os quatro tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ao in-distingu´ıveis um do outro, experimentalmente.

Q 23-6

Um isolante carregado pode ser descarregado passando-o lpassando-ogpassando-o acima de uma chama. Explique ppassando-or quˆe?

´

E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar, tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.

Q 23-9

Por que as experiˆencias em eletrost´atica n˜ao funcionam bem em dias ´umidos?

Em dias ´umidos existe um excesso de vapor de ´agua no ar. Conforme ser´a estudado no Cap´ıtulo 24, a mol´ecula de ´agua, , pertence `a classe de mol´eculas

que possui o que se chama de ‘momento de dipolo el´etrico’, isto ´e, nestas mol´eculas o centro das cargas positivas n˜ao coincide com o centro das cargas nega-tivas. Este desequil´ıbrio faz com que tais mol´eculas sejam el´etricamente ativas, podendo ser atraidas por superf´ıcies carregadas, tanto positiva quanto negativa-mente. Ao colidirem com superf´ıcies carregadas, as

mol´eculas agem no sentido de neutralizar parte da car-ga na superf´ıcie, provocando deste modo efeitos inde-sej´aveis para os experimentos de eletrost´atica. Isto por-que n˜ao se tem mais certeza sobre qual a quantidade de carga que realmente se encontra sobre a superf´ıcie.

Q 23-13

Uma pessoa em p´e sobre um banco isolado toca um con-dutor tamb´em isolado, mas carregado. Haver´a descarga completa do condutor?

N˜ao. Haver´a apenas uma redistribuic¸˜ao da carga entre o condutor e a pessoa.

Q 23-14

(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´a carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada positivamente repele o objeto suspenso. Podemos con-cluir que o objeto est´a positivamente carregado?

(a) N˜ao. Poder´ıamos estar lidando com um objeto neutro por´em met´alico, sobre o qual seria poss´ıvel in-duzir uma carga, que passaria ent˜ao a ser atraido pela barra. (b) Sim, pois n˜ao se pode induzir carga de mes-mo sinal.

Q 23-16

Teria feito alguma diferenc¸a significativa se Benjamin Franklin tivesse chamado os el´etrons de positivos e os pr ´otons de negativos?

N˜ao. Tais nomes s˜ao apenas uma quest˜ao de convenc¸˜ao.



Na terceira edic¸˜ao do livro, afirmava-se que Fran-klin, al´em de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu-zido tamb´em as denominac¸˜oes ‘bateria’ e ‘carga’. Na quarta edic¸˜ao a coisa j´a mudou de figura... Eu tenho a impress˜ao que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante-riores a Franklin mas n˜ao consegui localizar referˆencias adequadas. O qu´ımico francˆes Charles Franc¸ois de Cis-ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆencia de dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa (da resina).

Por´em, a quem ser´a que devemos os nomes de cargas “positivas” e “negativas”? Oferec¸o uma garrafa de boa champanha a quem por primeiro me mostrar a soluc¸˜ao deste puzzle!

Q 23-17

A Lei de Coulomb prevˆe que a forc¸a exercida por uma carga puntiforme sobre outra ´e proporcional ao produto

das duas cargas. Como vocˆe poderia testar este fato no laborat ´orio?

Estudando de que modo varia a forc¸a necess´aria para levar-se cargas de distintos valores at´e uma distˆancia ,

constante, de uma outra carga fixa no espac¸o.

Q 23-18

Um el´etron (carga   ) gira ao redor de um n´ucleo

(carga  ) de um ´atomo de h´elio. Qual das

part´ıculas exerce maior forc¸a sobre a outra?

Se realmente vocˆe n˜ao souber a resposta correta, ou faz eentende o Exerc´ıcio E 23-2 ou tranca o curso bem r´apido!

Q 23-15 extra A forc¸a el´etrica que uma carga exerce sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car-gas?

A forc¸a entre duas cargas quaisquer depende ´unica e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex-press˜ao matem´atica da lei de Coulomb. Portanto, ´e f´acil concluir-se que a forc¸a pre-existente entre um par de car-gas jamais poder´a depender da aproximac¸˜ao de uma ou mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que resulta da aproximac¸˜ao de cargas extras ´e que a forc¸a resultante sobre cada carga pre-existente poder´a alterar-se, podendo tal resultante ser facilmente determinada com o princ´ıpio de superposic¸˜ao.

23.2

Problemas e Exerc´ıcios

E 23-1

Qual seria a forc¸a eletrost´atica entre duas cargas de 

Coulomb separadas por uma distˆancia de (a) m e (b)

 km se tal configurac¸˜ao pudesse ser estabelecida?

(a)  !"$#&%!'% %)( *+,-" N. (b). / !"$#0%-'1% 2 %436587( *9,-: N. E 23-2

Uma carga puntiforme de <;9=>-9?A@ C dista ! cm

de uma segunda carga puntiforme de BDCEF-G?H@ C.

Calcular o m´odulo da forc¸a eletrost´atica que atua sobre cada carga.

De acordo com a terceira Lei de Newton, a forc¸a que uma carga I

%

exerce sobre outra carga I$ ´e igual em

m´odulo e de sentido contr´ario `a forc¸a que a carga I$

exerce sobre a cargaI

%

. O valor desta forc¸a ´e dado pela Eq. 23-4. Conforme a convenc¸˜ao do livro, usamos aqui os m´odulos das cargas. Portanto

  JKML 3 I % I  N  O9,- " # ;,-9?A@$#$)DC,-G?H@$# 8!,- ?  #  9 N E 23-3

Qual deve ser a distˆancia entre duas cargas puntiformes

I

%

PQ R C eI$S T JVU

R C para que o m´odulo da forc¸a

eletrost´atica entre elas seja deCG

U N?
 W  ! " #$OQ,- ?A@ #X JGU  ! ?H@ # CG U Y  J metros E 23-4

Na descarga de um relˆampago t´ıpico, uma corrente de

GDCZ![ Amp`eres flui durante<R s. Que quantidade

de carga ´e transferida pelo relˆampago? [Note: Amp`ere ´e a unidade de corrente no SI; est´a definida na Secc¸˜ao 28-2 do livro; mas o cap´ıtulo 28-23 fornece meios de resolver o problema proposto.]
Usamos a Eq. (23-3): \I P]^_` TO9C,- [ #Xa,- ?A@ #b c9DC C 

Tal carga ´e grande ou pequena? Compare com as car-gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro.

E 23-5

Duas part´ıculas igualmente carregadas, mantidas a uma distˆancia ;dP!G?A: m uma da outra, s˜ao largadas a

partir do repouso. O m´odulo da acelerac¸˜ao inicial da primeira part´ıcula ´e de

U

 m/s



e o da segunda ´e de9

m/s

. Sabendo-se que a massa da primeira part´ıcula va-leQ9;e*-9?Af Kg, quais s˜ao: (a) a massa da segunda

part´ıcula? (b) o m´odulo da carga comum?

(a) Usando a terceira lei de Newton temos g %$h9% g  h  , de modo que geS Pg % hG% h  Q9; ! ?Hf  U  J ,- ?Hf kg

(b) Como temos cI !i  JKHj 3 N  #k Fg % h % segue que Il NBm JKHj 3 g % h % ;9D+ ! ?A:  W Q9;,- ?Hf #X U # ,- " U n ! ? %o% C E 23-7

Duas esferas condutoras idˆenticas e isoladas,  e ,

pos-suem quantidades iguais de carga e est˜ao separadas por uma distˆancia grande comparada com seus diˆametros (Fig. 23-13a). A forc¸a eletrost´atica que atua sobre a es-fera  devida a esfera  ´e p . Suponha agora que uma

terceira esfera idˆentica; , dotada de um suporte

isolan-te e inicialmenisolan-te descarregada, toque primeiro a esfera

 (Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em

seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de p ,

qual ´e a forc¸aprq que atua agora sobre a esfera ?

Chamemos de I a carga inicial sobre as esferas  e  . Ap´os ser tocada pela esfera; , a esfera  ret´em uma

carga igual aI

i

 . Ap´os ser tocada pela esfera; , a esfera  ir´a ficar com uma carga igual a ISsI

i # i  ;I i J . Portanto, teremos em m´odulo

 q ctvu I Mw u ;I J w ;  txI  ;  vy

ondet ´e uma constante (que envolve JKHj

3

bem como a distˆancia fixa entre as esferas  e , mas que n˜ao vem ao

caso aqui) e.z{tI



representa o m´odulo dep .

P 23-8

Trˆes part´ıculas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, est˜ao separadas pela distˆancia  (como mostra a

Fig. 23-14). As cargas I

%

eI$ s˜ao mantidas fixas. A

carga I

:

, que est´a livre para mover-se, encontra-se em equil´ıbrio (nenhuma forc¸a eletrost´atica l´ıquida atua so-bre ela). DetermineI

%

em termos deI  .

Chame de}| a forc¸a sobreI

:

devida a cargaI$|.

Ob-servando a figura, podemos ver que como I

:

est´a em equil´ıbrio devemos ter

% c  . As forc¸as  % e  tˆem

m´odulos iguais mas sentidos opostos, logo,I

%

eI  tem

sinais opostos. Abreviando-se ~ €

i  JKML 3 #, temos ent˜ao  % ~ I % I : OV# 

} ~ I  I :   

Substituindo estes valores na equac¸˜ao

% 0} , obte-mos ‚I % ‚ƒ J

‚I$‚. Como as cargas devem ter sinais

opostos, podemos escreverI

%



J

I$ , que ´e a resposta

procurada.

Observe que o sinal da cargaI- permanece totalmente

arbitr´ario.

P 23-10

Na Fig. 23-15, quais s˜ao as componentes horizontal e vertical da forc¸a eletrost´atica resultante que atua sobre a carga do v´ertice esquerdo inferior do quadrado, sendo

IB ,-9?Af C e

h

{CG cm?

Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadas com a origem coincidente com a carga no canto esquer-do, com o eixo„ horizontal e eixo… vertical, como de

costume. A forc¸a exercida pela carga<I na cargaI

´e p %  JKML 3 a<I#$aI# h  )‡†#ˆ

A forc¸a exercida por I sobreI ´e

pr‰  JKML 3 ) I#$aI#  m  h #  u ‹Š Œ† m  w  JKML 3 I  h  u Š m   † m  w 

Finalmente, a forc¸a exercida porSI sobreI ´e

p :  JKML 3 8SI#XI# h  ) Š #  JKML 3  J I  # h   Š #ˆ

Portanto, a magnitude da componente horizontal da forc¸a resultante ´e dada por

}Ž  % ŽS}Ž< : Ž  JKML 3 I  h  u S  m   J w O9,- " # B,-G?Hf C,- ?  u  m   J w ‘ U Ny

enquanto que a magnitude da componente vertical ´e da-da por ^’“  % ’r>}’ > : ’  JKML 3 I  h  u r  m  w 9 J Q N P 23-12

Duas esferas condutoras idˆenticas, mantidas fixas, atraem-se com uma forc¸a eletrost´atica de m´odulo igual a9n- N quando separadas por uma distˆancia deC9

cm. As esferas s˜ao ent˜ao ligadas por um fio condutor fino. Quando o fio ´e removido, as esferas se repelem com uma forc¸a eletrost´atica de m´odulo igual a9;Q N.

Quais eram as cargas iniciais das esferas?

SejamI

%

eI  as cargas originais que desejamos

cal-cular, separadas duma distˆanciaN

. Escolhamos um sis-tema de coordenadas de modo que a forc¸a sobre I  ´e

positiva se ela for repelida porI

%

. Neste caso a magni-tude da forc¸a ‘inicial’ sobreI$ ´e

 | .  JKML 3 I % I  N  y

onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o pro-duto I % I-” • JKML 3 N 

 | ´e negativo, pois a forc¸a  |, O

|b–

\#, ´e forc¸a de atrac¸˜ao.

Como as esferas s˜ao idˆenticas, ap´os o fio haver sido co-nectado ambas ter˜ao uma mesma carga sobre elas, de valorI

%

 I$!#

i

 . Neste caso a forc¸a de repuls˜ao ‘final’

´e dada por

˜—+  JKML 3 I % >I$-#  J N  

Das duas express˜oes acima tiramos a soma e o produto deI % eI$ , ou seja I % I$™  JKML 3 N   | C#  9n-#  ! " ;,- ? %  C e I % >I  NGš J  JKML 3 #8 — ›C# W J O9;Q\#  ! " ›,- ?H@ C 

Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´umeros, conhecemos na verdade os coeficientes da equac¸˜ao do segundo grau que define estes n´umeros, ou seja,

„œI % #$ž„E,I--#k *„  FI % I-!#)„>I % I-

Dito de outra forma, se substituirmos I$< .&;,- ? %  # i I % aŸ#

na equac¸˜ao da soma acima temos duas possibilidades:

I % ;,-9? %  I % {,+ ! ?H@ y O \# ou I % ;,-9? %  I % ¡+ ! ?H@   \ \#

Considerando-se a Eq.  , temos

I  % Z,- ?H@ I % ; ! ? %  P9y

de onde tiramos as duas soluc¸˜oes

I % S,-9?A@b›c¢ a ! ?A@ #   J O; ! ? %  #   O sinal fornece-nos I % B,- ?A@ C e I$< . ;,- ?H@ C y

enquanto que o sinal fornece-nos

I %  ;,- ?A@ C e I  TB,- ?H@ C y

onde usamos a Eq. (*) acima para calcularI  a partir de

I

%

.

Repetindo-se a an´alise a partir da Eq. \  percebemos

que existe outro par de soluc¸˜oes poss´ıvel, uma vez que revertendo-se os sinais das cargas, as forc¸as permane-cem as mesmas: I % BB,- ?A@ C e I$S c;,- ?H@ C y ou I % P;,- ?A@ C e I  .BB,- ?H@ C  P 23-15

Duas cargas puntiformes livres <I e

J

I est˜ao a uma

distˆancia£ uma da outra. Uma terceira carga ´e, ent˜ao,

colocada de tal modo que todo o sistema fica em equil´ıbrio. (a) Determine a posic¸˜ao, o m´odulo e o sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equil´ıbrio ´e inst´avel.

(a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha que une a carga<I com a carga 

J

I . Somente

quan-do a terceira carga estiver situada nesta posic¸˜ao, ser´a poss´ıvel obter uma resultante nula, pois, em qualquer outra situac¸˜ao, as forc¸as ser˜ao de atrac¸˜ao (caso a ter-ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ao (caso a terter-ceira

carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve sernegativapois, se ela fosse positiva, as cargas<I

e

J

I n˜ao poderiam ficar em equil´ıbrio, pois as forc¸as

sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a terceira carga porS¤ , sendo¤ maior que zero. Seja„

a distˆancia entre<I eS¤ . Para que a carga S¤ esteja

em equil´ıbrio, o m´odulo da forc¸a que <I exerce sobre S¤ deve ser igual ao m´odulo da forc¸a que

J I exerce sobre S¤ . Portanto,  JKML 3 I¤ „   JKML 3  J I#8¤ O£ „H#  ou seja O£ „H#  J „  

As soluc¸˜oes da equac¸˜ao do segundo grau s˜ao £ e

£

i

; , sendo que apenas esta ´ultima soluc¸˜ao ´e fisicamente

aceit´avel.

Para determinar o m´odulo de ¤ , use a condic¸˜ao de

equil´ıbrio duas cargas do sistema. Por exemplo, para que a carga<I esteja em equil´ıbrio, o m´odulo da forc¸a

queS¤ exerce sobre<I deve igualar a m´odulo da forc¸a

de J I sobre<I :  JKML 3 I¤ „   JKML 3  J I#)I £  

Dai tiramos que ¤¥

J I„  i £  que, para „¦ €£ i ; ,

fornece o valor procurado:

¤

J

IV

(b) O equil´ıbrio ´e inst´avel; esta conclus˜ao pode ser pro-vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser verificada acompanhando-se o seguinte racioc´ınio. Um pequeno deslocamento da carga S¤ de sua posic¸˜ao de

equil´ıbrio (para a esquerda ou para a direita) produz uma forc¸a resultante orientada para esquerda ou para a direi-ta.

P 23-16

(a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas na Terra e na Lua para neutralizar a atrac¸˜ao gravitacio-nal entre elas? ´E necess´ario conhecer a distˆancia entre a Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b) Quantos quilogramas de hidrogˆenio seriam necess´arios para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?

(a) A igualdade das forc¸as envolvidas fornece a se-guinte express˜ao:§0¨Z©}¨Zª N   JKML 3 I  N  y

onde

¨Z©

´e a massa da Terra e

¨Zª

a massa da Lua. Por-tanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆendice C, temos I& ¢ § JKML 3 ¨©^¨Zª cC9 U ,- % : C 

Como foi poss´ıvel eliminarN

entre os dois membros da equac¸˜ao inicial, vemos claramente n˜ao ser necess´ario conhecer-se o valor deN

.

(b) Um ´atomo de hidrogˆenio contribui com uma carga positiva de QdP-9?

%

" C. Portanto, o n´umero « de

´atomos de hidrogˆenio necess´arios para se igualar a car-ga do item (a) ´e dado por

«¬ C9 U ,- % : Q ! ? % " P;9DC ! :  C

Portanto, a massa de hidrogˆenio necess´aria ´e simples-mente

¨

¦«­ge® , ondege® ´e a massa de um ´atomo

de hidrogˆenio (em kilogramas) [veja o valor da unidade de massa unificada no Apˆendice B, p´ag. 321]¨

;9DC,- :  #$) U #X)QQ\CB,- ?  f # CG !¯ Kg P 23-18

Uma carga¤ ´e dividida em duas partesI e¤.I , que

s˜ao, a seguir, afastadas por uma certa distˆancia entre si. Qual deve ser o valor de I em termos de ¤ , de

mo-do que a repuls˜ao eletrost´atica entre as duas cargas seja m´axima?

A magnitude da repuls˜ao entreI e¤{,I ´e

  JKML 3 O¤{,I#8I N  

A condic¸˜ao para que seja m´axima em relac¸˜ao aI ´e que

sejam satisfeitassimultaneamenteas equac¸˜oes

°  ° I Py e °   ° I {± 

A primeira condic¸˜ao produz

°  ° I  JKML 3  N  ° ° I}² ¤BIS,I ³ ¤cZI JKML 3 N  P9y

cuja soluc¸˜ao ´eI& P¤

i

 .

Como a segunda derivada ´e sempre menor que zero, a soluc¸˜ao encontrada, I¬ l¤

i

 , produzir´a a forc¸a

m´axima.



Observe que a resposta do problema ´eIB c¤

i

 e n˜ao ¤ cI .

P 23-19

Duas pequenas esferas condutoras de massa g est˜ao

suspensas por um fio de seda de comprimento£ e

pos-suem a mesma cargaI , conforme ´e mostrado na figura

abaixo. Considerando que o ˆangulo´ ´e t˜ao pequeno que µ6¶·

´ possa ser substituida por sen ´ : (a) mostre que

para esta aproximac¸˜ao no equil´ıbrio teremos:

„= u I  £  KML 3 gE¸ w %¹ : y

onde„ ´e a distˆancia entre as esferas. (b) Sendo£> .!

cm,gº - g e„E {CG cm, quanto valeI ?

(a) Chamando de» a tens˜ao em cada um dos fios e

de o m´odulo da forc¸a eletrost´atica que atua sobre cada

uma das bolas temos, para que haja equil´ıbrio:

» sen´  »º¼X½¾9´ gE¸A

Dividindo membro a membro as duas relac¸˜oes anterio-res, encontramos: µ6¶· ´ƒ  gE¸ 

Como ´ ´e um ˆangulo pequeno, podemos usar a

aproximac¸˜ao  gŒ¸ µ6¶· ´ Y sen´ƒ „ i  £ 

Por outro lado, a forc¸a eletrost´atica de repuls˜ao entre as cargas ´e dada por

  JKML 3 I  „  

Igualando-se as duas express˜oes para  e resolvendo

para„ , encontramos que

„E ¿u   KML 3 I  £ gE¸ w %¹ : 

(b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto, da express˜ao acima para„ , obtemos

IB À› W „ :  KML 3 gŒ¸ £ ›G J  ! ?HÁ › J ,- ?A" C › J nC

P 23-20

No problema anterior, cujas esferas s˜ao condutoras (a) O que acontecer´a ap´os uma delas ser descarregada? Ex-plique sua resposta. (b) Calcule a nova separac¸˜ao de equil´ıbrio das bolas.

(a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ao po-der´a mais haver repuls˜ao Coulombiana entre as bolas e, consequentemente, as bolas cair˜ao sob ac¸˜ao do campo gravitacional at´e se tocarem. Ao entrarem em contato, a cargaI que estava originalmente numa das bolas ir´a se

repartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ao, por es-tarem novamente ambas carregadas, passar˜ao a repelir-se at´e atingir uma nova repelir-separac¸˜ao de equil´ıbrio, digamos

„1q.

(b) A nova separac¸˜ao de equil´ıbrio„Aq pode ser calculada

usando-seIÂqA *I i  : „ q Ãu IÂqÄ#  £  KML 3 gŒ¸ w %8¹ : u  J w %8¹ : Å Ž-Æ ¯ cm Ç ÈˆÉ Ê u I  £  KML 3 gE¸ w %¹ : u  J w %8¹ : e9C m ;9n<,- ?  m ;9n cm  ´

E poss´ıvel determinar o valor da tens˜ao no fio de se-da?

P 23-21

A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ao condutora, de massa desprez´ıvel e comprimento£ , presa por um

pi-no pi-no seu centro e equilibrada com um pesoË a uma

distˆancia„ de sua extremidade esquerda. Nas

extremi-dades esquerda e direita da barra s˜ao colocadas peque-nas esferas condutoras com cargas positivasI eI ,

res-pectivamente. A uma distˆanciaÌ diretamente abaixo de

cada uma dessas cargas est´a fixada uma esfera com uma carga positiva¤ . (a) Determine a distˆancia„ quando a

barra est´a horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve-ria terÌ para que a barra n˜ao exercesse nenhuma forc¸a

sobre o mancal na situac¸˜ao horizontal e equilibrada?

(a) Como a barra esta em equil´ıbrio, a forc¸a l´ıquida sobre ela ´e zero e o torque em relac¸˜ao a qualquer ponto tamb´em ´e zero. Para resolver o problema, vamos escre-ver a express˜ao para o torque l´ıquido no mancal, iguala-la a zero e resolver para„ .

A carga ¤ `a esquerda exerce uma forc¸a para cima

de magnitude 8 i9Í JKHj 3XÎ #$I¤ i Ì  #, localizada a uma distˆancia £ i

 do mancal. Considere seu torque como

sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forc¸a para baixo de magnitude Ë , a uma distˆancia„e”£

i



a partir do mancal. Pela convenc¸˜ao acima, seu torque tamb´em ´e positivo. A carga ¤ `a direita exerce uma

forc¸a para cima de magnitude ) iGÍ JKHj 3 Î #XOI¤ i Ì  #, a uma distˆancia£ i

 do mancal. Seu torque ´e negativo.

Para que n˜ao haja rotac¸˜ao, os torque sacima devem anular-se, ou seja  JKHj 3 I¤ Ì  £  ”ËÏu-„œ £  w  JKHj 3 I¤ Ì  £  c9

Portanto, resolvendo-se para„ , obtemos

„E £  uÐ  JKHj 3 I¤ ËÌ  w 

(b) A forc¸a l´ıquida na barra anula-se. Denotando-se por

« a magnitude da forc¸a para cima exercida pelo mancal,

ent˜ao Ë¥  JKHj 3 I¤ Ì   JKHj 3 I¤ Ì  P9

Quando a barra n˜ao exerc¸e nenhuma forc¸a, temos«Ñ  . Neste caso, a express˜ao acima, fornece-nos

facilmen-te que ̌ W  JKHj 3 ;I¤ Ë  

Observe que ´e essencial usar sempre um valor po-sitivo para o brac¸o de alavanca, para n˜ao se inverter o sentido do torque. Neste problema, o brac¸o de alavanca positivo ´e„œ£

i

 , e n˜ao£

i

™,„ !

23.2.2 A Carga ´e Quantizada

E 23-24

Qual ´e a carga total em Coulombs deU

C kg de el´etrons?

A massa do el´etron ´eg Ò9n+-9?A: % kg de

ma-neira que a quantidade de el´etrons em

¨ U C kg ´e «Ï ¨ g U C ‘ ! ?A: % P; ! : % el´etrons

Portanto, a carga total ´e

IB  «.Ó &9D;,- : % #$)Q ! ? % " # B;ƒ ! % : C 

E 23-26

O m´odulo da forc¸a eletrost´atica entre dois ´ıons idˆenticos que est˜ao separados por uma distˆancia deCGŒ”-G? %43

m vale;9

U

-G?H" N. (a) Qual a carga de cada ´ıon? (b)

Quantos el´etrons est˜ao “faltando” em cada ´ıon (o que d´a ao ´ıon sua carga n˜ao equilibrada)?

(a) Da Lei de Coulomb temos:

I N ¢  JKML 3 #)T {›P;+,- ? % " C 

(b) Cada el´etron faltante produz uma carga positiva de

QxZ!G? % " C. Usando a Eq. 23-10,I+ .ÔM ,

encontra-mos o seguinte n´umeroÔ de el´etrons que faltam:

Ô¡ ;9Dƒ,-9? % " Q+,- ? % " P el´etrons E 23-27

Duas pequenas gotas esf´ericas de ´agua possuem cargas idˆenticas deBxZ- ?

%

@ C, e est˜ao separadas, centro

a centro, de cm. (a) Qual ´e o m´odulo da forc¸a

ele-trost´atica que atua entre elas? (b) Quantos el´etrons em excesso existem em cada gota, dando a ela a sua carga n˜ao equilibrada?

(a) Aplicando diretamente a lei de Coulomb encon-tramos, em magnitude,  O !"$#$)&,-9? % @$# )B,- ?  #  ,- ? % " N

(b)A quantidade« de el´etrons em excesso em cada gota

´e «Ï I   !G? % @ Q,- ? % " cQCG P 23-31

Pelo filamento de uma lˆampada de! W, operando em

um circuito de! V, passa uma corrente (suposta

cons-tante) de9; A. Quanto tempo ´e necess´ario para que

mol de el´etrons passe pela lˆampada?

De acordo com a Eq. 23-3, a corrente constante que passa pela lˆampada ´e]˜ {ÕI

i

Õ+_, ondeÕI ´e a

quantida-de quantida-de carga que passa atrav´es da lˆampada num intervalo

Õ+_ .

A carga ÕI correspondente a  mol de el´etrons nada

mais ´e do queÕ+Iƒ c«ƒÖ, , onde«ƒÖ cQ\;,-



: ´e

o n´umero de Avogadro. Portanto

Õ+_b « Ö  ] Q\;+ !  :-#X8Q,-G? % "!# 9; D+ !¯ segundos +,- ¯  J eQ=Q .; dias P 23-34

Na estrtura cristalina do composto ×BØ!×Ù (cloreto de

c´esio), os ´ıons CsÚ formam os v´ertices de um cubo e

um ´ıon de Cl? est´a no centro do cubo (Fig. 23-18). O

comprimento das arestas do cubo ´e de9

J

 nm. Em

ca-da ´ıon CsÚ falta um el´etron (e assim cada um tem uma

carga de < ), e o ´ıon Cl? tem um el´etron em excesso

(e assim uma carga  ). (a) Qual ´e o m´odulo da forc¸a

eletrost´atica l´ıquida exercida sobre o ´ıon Cl? pelos oito

´ıons CsÚ nos v´ertices do cubo? (b) Quando est´a

faltan-do um faltan-dos ´ıons CsÚ , dizemos que o cristal apresenta um

defeito; neste caso, qual ser´a a forc¸a eletrost´atica l´ıquida exercida sobre o ´ıon Cl? pelos sete ´ıons CsÚ

remanes-centes?

(a) A forc¸a l´ıquida sobre o ´ıon Cl? ´e claramente

ze-ro pois as forc¸as individuais atrativas exercidas por cada um dos ´ıons de CsÚ cancelam-se aos pares, por estarem

dispostas simetricamente (diametralmente opostas) em relac¸˜ao ao centro do cubo.

(b) Em vez de remover um ´ıon de c´esio, podemos po-demos superpor uma carga  na posic¸˜ao de tal ´ıon.

Isto neutraliza o ´ıon local e, para efeitos eletrost´aticos, ´e equivalente a remover o ´ıon original. Deste modo ve-mos que a ´unica forc¸a n˜ao balanceada passa a ser a forc¸a exercida pela carga adicionada.

Chamando de

h

a aresta do cubo, temos que a diagonal do cubo ´e dada porm

;

h

. Portanto a distˆancia entre os ´ıons ´e m ; i # h e a magnitude da forc¸a   JKHj 3   ; i J # h œ ! " # 8Q,-G? % "-#  O; i J #XO9 J + ! ?H" # ,- ?H" N 

P 23-35 Sabemos que, dentro das limitac¸˜oes impos-tas pelas medidas, os m´odulos da carga negativa do el´etron e da carga positiva do pr ´oton s˜ao iguais. Su-ponha, entretanto, que estes m´odulos diferissem entre

s´ı por9-VÛ . Com que forc¸a duas pequenas moedas

de cobre, colocadas a m uma da outra, se repeliriam?

O que podemos concluir? (Sugest˜ao: Veja o Exemplo 23-3.)

Como sugerido no problema, supomos que a moeda ´e a mesma do exemplo 23-3, que possui uma carga tanto positiva quanto negativa igual dada porIƒ /;

U

,- ¯

C. Se houvesse uma diferenc¸a (desequil´ıbrio) de cargas, uma das cargas seria maior do que a outra, ter´ıamos para tal carga um valor

I-ÜÀ FÝGI& 8- ?1[ #$)! ?  #X); U  !¯$#Ð *9n-; U y ondeݜ c99ÂÛT {9=™ T! ?H@ . Portanto

a magnitude da forc¸a entre as moedas seria igual a

 I  Ü JKML 3 N   !"$#$9n-; U #  )#   U  ! Á N

Como tal forc¸a seria facilmente observ´avel, concluimos que uma eventual diferenc¸a entre a magnitude das car-gas positiva e negativa na moeda somente poderia ocor-rer com um percentual bem menor que9Û .

Note que sabendo-se o valor da menor forc¸a poss´ıvel de se medir no laborat ´orio ´e possivel estabelecer qual o li-mite percentual m´aximo de erro que temos hoje em dia na determinac¸˜ao das cargas. De qualquer modo, tal limi-te ´e MUITO pequeno, ou seja, uma eventual assimetria entre o valor das cargas parece n˜ao existir na pr´atica, pois teria conseq ¨uˆencias observ´aveis, devido ao gran-de n´umero gran-de cargas presente nos corpos macrosc´opicos (que est˜ao em equil´ıbrio).

23.2.3 A Carga ´e Conservada E 23-37

No decaimento beta uma part´ıcula fundamental se trans-forma em outra part´ıcula, emitindo ou um el´etron ou um p´ositron. (a) Quando um pr ´oton sofre decaimen-to beta transformando-se num nˆeutron, que part´ıcula ´e emitida? (b) Quando um nˆeutron sofre decaimento be-ta transformando-se num pr ´oton, qual das part´ıculas ´e emitida?

(a) Como existe conservac¸˜ao de carga no decaimento, a part´ıcula emitida precisa ser um p´ositron.

(b) Analogamente, a part´ıcula emitida ´e um el´etron.



As reac¸˜oes completas de decaimento beta aqui men-cionados s˜ao, na verdade, as seguintes:

ÞEß Ôœ Ú ”àGy Ô ßºÞ > ? >à9y

onde à representa uma part´ıcula elementar chamada

neutrino. Interessados, podem ler mais sobre Decai-mento Beta na Secc¸˜ao 47-5 do livro texto.

E 23-38

Usando o Apˆendice D, identifique á nas seguintes

reac¸˜oes nucleares: â\# %ˆãs%ˆäƒ ß áÃZÔ`å oæ-# %  ×Fs%ˆ ß áå oç-# % ¯ «ã %  ß [ ¡Џá¡

Como nenhuma das reac¸˜oes acima inclui decaimen-to beta, a quantidade de pr ´odecaimen-tons, de neutrons e de el´etrons ´e conservada. Os n´umeros atˆomicos (pr ´otons e de el´etrons) e as massas molares (pr ´otons + nˆeutrons) est˜ao no Apˆendice D.

(a)% H tem

 pr ´oton, el´etron e nˆeutrons enquanto que

o" Be tem J pr ´otons,J el´etrons e + J ãC nˆeutrons. Portanto á tem  J èC pr ´otons, B J el´etrons e  ”C<”S J

nˆeutrons. Um dos nˆeutrons ´e liberado na reac¸˜ao. Assim sendo,á deve ser o boro," B, com massa

molar igual aC 

J

P g/mol.

(b)%



C temQ pr ´otons,Q el´etrons eSQ& PQ nˆeutrons

enquanto que o% H tem

 pr ´oton, el´etron e nˆeutrons.

Portantoá temQ<{&

U

pr ´otons,QPƒ

U

el´etrons eQPe ãQ nˆeutrons e, consequentemente, deve ser o

nitrogˆenio,%: N, que tem massa molar

U œQB T-; g/mol. (c)% ¯ N tem U pr ´otons,U el´etrons eCé U * nˆeutrons,

o% H tem  pr ´oton,  el´etron e nˆeutrons e o[ He tem  pr ´otons, el´etrons e J >  nˆeutrons. Portantoá tem U { + ÀQ pr ´otons,Q el´etrons e™sB ÀQ

nˆeutrons, devendo ser o carbono,%



C, com massa molar deQS>Q&  g/mol.

23.2.4 As Constantes da F´ısica: Um Aparte E 23-41

(a) Combine as quantidades Ì ,

§

eê para formar uma

grandeza com dimens˜ao de comprimento. (Sugest˜ao: combine o “tempo de Planck” com a velocidade da luz, conforme Exemplo 23-7.) (b) Calcule este “comprimen-to de Planck” num´ericamente.

(a) Usando-se o Apˆendice A, fica f´acil ver que as trˆes contantes dadas tem as seguintes dimens˜oes:

Íë Î ¬ì Ì  Kví î­Ø™ c«ºg¿Ø™ kgg  Ø [ § ] g=: Ø  kgy [ê ] g Ø  Portanto, o produtoÍë Î Í § Î n˜ao cont´em kg: Íë Î Í § Î g ¯ Ø : 

Atrav´es de divis˜ao do produto acima por uma potˆencia apropriada deÍ

ê

Î

podemos obter eliminar facilmente ou

g ouØ do produto, ou seja, Íë Î Í § Î Í ê Î ¯ g ¯ Ø : Ø ¯ g ¯ PØ  y Íë Î Í § Î Í ê Î : g ¯ Ø : Ø!: g : Fg   Portantoï Planck /¢ ë § i ê : .

(b) O valor num´erico pedido ´e, uma vez que ë

Ì i O K #, ï Planck W Ì §  K ê : .Q9,- ?A: ¯ m P 23-42

(a) Combine as grandezas Ì ,

§

e ê para formar uma

grandeza com dimens˜ao de massa. N˜ao inclua nenhum fator adimensional. (Sugest˜ao: Considere as unidades

̇y

§

eê como ´e mostrado no Exemplo 23-7.) (b)

Calcu-le esta “massa de Planck” numericamente.

A resposta pode ser encontrada fazendo-se uma an´alise dimensional das constantes dadas e de func¸˜oes simples obtidas a partir delas:

g Planck W ë ê § W Q9Q;,- ?A:[ e;,- Á  K Q9Q U ,- ? %% 9‘ U  ! ?AÁ kg

Pode-se verificar que esta resposta est´a correta fazendo-se agora o ‘inverso’ da an´alifazendo-se dimensional que foi usa-da para estabelece-la, usando-se o conveniente resumo dado no Apˆendice A: Íë Î Í ê Î Í § Î îeØ Üð Ü 5 ð ( kg .î Ø  kg g  P«­g Ø  kg g  kg g  Ø  Ø  kg g  kg  

Portanto, extraindo-se a raiz quadrada deste radicando vemos que, realmente, a combinac¸˜ao das constantes aci-ma tem dimens˜ao de aci-massa.



E se usassemosÌ em vez de

ë

?... Em outras palavras, qual das duas constantes devemos tomar?