Exemplo Regressão Linear Simples

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Exemplo Regressão Linear Simples

Gilberto A. Paula Departamento de Estatística IME-USP, Brasil giapaula@ime.usp.br 1oSemestre 2013

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Área e Preço de Imóveis

Sumário

1 _{Área e Preço de Imóveis}

2 _{Análise de Dados Preliminar}

3 _{Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples} 4 _{Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples} 5 _{Interpretações}

6 Curvas Ajustadas

7 Bandas de Confiança

8 Conclusões

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Área e Preço de Imóveis

Área e Preço de Imóveis

Descrição dos Dados

Vamos considerar neste exemplo uma amostra aleatória de 50 imóveis em que foi observado para cada um opreço de venda(em mil USD) e

aárea total(em mil pés quadrados)anuma região de Eugene, EUA

(Gray, 1989). O objetivo principal do estudo é tentar explicar (ou prever) o preço de venda do imóvel dada a área total.

a₁

ft2=0,092903m

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Análise de Dados Preliminar

Sumário

1 _{Área e Preço de Imóveis}

2 _{Análise de Dados Preliminar}

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Medidas Resumo

Descrição

Medida Área Total Preço Venda

n 50 50 Média 1,900 74,30 D.Padrão 0,627 26,48 CV 33% 36% Mínimo 0,800 30,60 1oQuartil 1,500 57,00 Mediana 1,945 68,40 3o_Quartil _2,240 _85,57 Máximo 4,000 165,00

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Boxplot Área Total do Imóvel

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Área do Imó v el

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Boxplot Preço de Venda do Imóvel

40 60 80 100 120 140 160 Preço de V enda do Imó v el

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Dispersão Área Total e Preço de Venda

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 40 60 80 100 120 140 160 Área do Imóvel Preço de V enda

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Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples

Sumário

1 _{Área e Preço de Imóveis} 2 _{Análise de Dados Preliminar}

3 _{Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples}

4 _{Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples} 5 _{Interpretações}

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Regressão Linear Simples

Descrição

Nota-se indícios de aumento do preço de venda do imóvel com o aumento da área total do imóvel, sugerindo inicialmente o seguinte modelo de regressão linear simples:

y_i = β1+ β2× areai+ ǫi,

para i =1, . . . ,50, em que yi denota o preço de venda do i-ésimo

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Resíduos Modelo Ajustado

−2 −1 0 1 2 −2 0 2 4 Percentil da N(0,1) Residuo Studentizado

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Distribuição Empírica Resíduos

−2 0 2 4 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Resíduo Studentizado Densidade

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Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples

Sumário

3 _{Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples}

4 _{Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples}

5 _{Interpretações} 6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Regressão Linear Simples

Descrição

Nota-se pelos gráficos de resíduos indícios de afastamentos da distribuição dos erros com indicação para assimetria à direita. Assim, sugerimos como alternativa, o seguinte modelo de regressão linear simples:

logy_i = β1+ β2× areai+ ǫi,

para i =1, . . . ,50, em que yi denota o preço de venda do i-ésimo

imóvel eǫi

iid

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Resíduos Modelo Ajustado

−2 −1 0 1 2 −2 0 2 4 Percentil da N(0,1) Residuo Studentizado

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Diagnóstico Modelo Ajustado

0 10 20 30 40 50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Indice Medida h 50 0 10 20 30 40 50 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Índice Distância de Cook 50 0 10 20 30 40 50 −2 0 2 4 Índice Resíduo P adronizado 49 4.0 4.5 5.0 −2 0 2 4 Valor Ajustado Resíduo P adronizado 49

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Diagnóstico Modelo Ajustado

Identificação Pontos Discrepantes

Pelos gráficos de diagnóstico temos que a observação #50 é identificada como ponto de alavanca e ponto influente, enquanto a observação #49 é identificada como ponto aberrante.

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Identificação pontos Discrepantes

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 40 60 80 100 120 140 160 Área do Imóvel Preço de V enda 49 50

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Resíduos Modelo Ajustado sem Ponto Aberrante

−2 −1 0 1 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Percentil da N(0,1) Residuo Studentizado

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Estimativas

Descrição

As estimativas dos parâmetros são descritas na tabela abaixo. Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-P

Constante 3,280 0,064 50,91 0,00 Área 0,510 0,032 15,82 0,00 R2 0,84 R2-ajustado 0,84 s 0,14 F 250,30 (1 e 48 g.l.) 0,00

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Interpretações

Sumário

3 _{Ajuste Preliminar Regressão Linear Simples} 4 _{Ajuste Alternativo Regressão Linear Simples}

5 _{Interpretações}

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Interpretações

Interpretações

Valor Predito

Pelo modelo ajustado o preço predito para um imóvel com área total x fica aproximadamente dado por

ˆ

µ(x) =e3,28+0,51x.

Por exemplo, para um imóvel com x =2,0 mil pés quadrados o valor predito de venda é dado porµ(xˆ ) =e3,28+0,51x 2,0∼=73,70mil USD.

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Interpretações

Variação Valor Predito

Quanto varia o valor predito de venda de um imóvel se há um aumento de x =1,0 mil pés quadrados na área total?

Essa variação fica aproximadamente dada por

ˆ µ(x +1) ˆ µ(x) = e 0,51 = 1,665(66,5%).

Portanto, para um aumento de mil pés quadrados na área total do imóvel, espera-se aumento no preço de venda do imóvel de aproximadamente66,5 %.

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Interpretações

Estimativa Intervalar

Estimativa intervalar de 95% para a variação no valor predito de venda do imóvel quando há aumento de mil pés quadrados na área total

e0,51±2,01×0,032 = e0,51±0,0643

= [1,561;1,776][56,1%;77,6%].

Portanto, para um aumento de mil pés quadrados na área total, espera-se aumento no preço de venda entre 56,1% e 77,6%.

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Curvas Ajustadas

Sumário

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Curvas Ajustadas

Comparação Curvas Ajustadas

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 50 100 150 200 Área Total Preço de V enda todos ptos sem #49 sem #50

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Bandas de Confiança

Sumário

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Banda de Confiança para a Média

0 1 2 3 4 50 100 150 200 Área do Imóvel Preço de V enda

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Banda de Confiança para Nova Observação

0 1 2 3 4 0 50 100 150 200 250 300 Área do Imóvel Preço de V enda

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Conclusões

Sumário

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Este é um exemplo em que através de análise de resíduos verifica-se fortes indícios de afastamentos das suposições feitas para o modelo inicial.

Através de uma transformação logarítmica na resposta chega-se a um modelo linear simples que apresenta um ajuste superior ao

apresentado inicialmente. Duas observações aparecem como

discrepantes, contudo a eliminação das mesmas não leva a mudanças inferenciais importantes.

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Referências

Sumário

6 Curvas Ajustadas

8 Conclusões

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Referências

Referências

Referência

Gray, J. B. (1989). On the use of regression diagnostics. The