Gabarito de Respostas
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO - RIO DE JANEIRO
Nome Processo Ingresso 02/2009
FASE ÚNICA Fase
MATEMÁTICA LINGUA PORTUGUESA INGLÊS HUMANAS CIÊNCIAS
1 2 3 4 5 6 7 8(*) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Questão Questão Questão Questão Questão
D A C E D C E B C A E B D A A E B A C C B E D B A D C B E D E A E D C D C A B E A B D C B E A B C D A D C D E C E A B
Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa
A - VERDE Tipo Prova
Matemática - Resolução
1 Três empreiteiras A, B e C foram contratadas para pavimentar uma estrada, cada uma encarregada de certo trecho.
A empreiteira A pavimentou 1/5 da extensão total, a empreiteira B pavimentou 3/7 do total e a empreiteira C pavimentou 52 km, completando todo o serviço. Então, a extensão total da estrada é : A 130 km B 120 km C 125 km D 140 km E 135 km
km
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
140
35
4
13
35
52
35
13
35
22
35
52
35
22
52
52
35
15
7
52
7
3
5
=
=
=
=
−
=
−
=
=
+
+
=
+
+
2 Na figura abaixo, os ângulos ∠ABC e ∠AED são retos, e os segmentos _____ BC , _____ AD e _____ DB medem, respectivamente, 9 cm, 10 cm e 2 cm.
A área do quadrilátero BCED, em cm2
, é: A 30 B 32 C 34 D 36 E 38
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
24
9
6
24
54
24
30
2
12
9
24
2
12
9
9
4
9
4
3
2
15
10
15
10
9
~
15
225
144
81
2 2=
−
=
−
=
−
=
=
⋅
=
∆
=
∆
=
=
∆
∆
=
⇔
=
∆
∆
=
=
+
=
x
x
BCED
área
x
ABC
área
AED
área
ABC
área
AED
área
DE
AC
AD
CB
DE
ABC
AED
AC
3 A equação ... 40 16 8 4 2 + + + + = + x x x x
x apresenta como resultado um valor x, tal que :
A 21≤x<22
B 17≤x<18
C 20≤≤≤≤ x <<<<21 D 18≤x<19
E 19≤x<20
Sabe-se que o valor da soma infinita + + + + +⋅ ⋅⋅ 16 8 4 2 x x x x x é igual a 40.
Podemos afirmar que:
20 40 2 2 2 1 1 16 8 4 2 = ⇔ = = − = ⋅⋅ ⋅ + + + + + x x x x x x x x x
4 Considere o sistema linear
= + = + k y kx ky x 1 3
, de incógnitas xe y, onde k é um parâmetro
real. Então :
A se k=3, o sistema é impossível.
B se k = 3, o sistema é possível e determinado.
C se k =− 3, o sistema é possível e indeterminado.
D se k=−1, o sistema é impossível. E se k ====±±±± 3, o sistema é impossível. 3 3 0 3 1 3 det = − 2 = ⇔ 2 = ⇔ =± k k k k k 3 ± ≠
k sistema possível e determinado
3 = k = + = + 3 3 1 3 3 y x y x ~ = + = + 3 3 3 1 3 3 y x y x sistema impossível 3 − = k − = + − = − 3 3 1 3 3 y x y x ~ = − = − 3 3 3 1 3 3 y x y x sistema impossível
5 O número de anagramas diferentes que podem ser construídos com as letras da palavra VARGAS, e que comecem e terminem com consoantes é:
A 360 B 15 C 24 D 144 E 288 Total = 4.4.3.2!.3 = 12.12 = 144 2!
6 Sabe-se que o produto de duas das raízes do polinômio P(x)=2x3 −x2 +kx+4 é igual a 1. O valor do coeficiente k é:
A −12 B −10 C −−−− 8 D − 4 E − 2
8
16
2
2
16
4
2
4
16
0
4
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
0
2
1
2
2
4
)
)(
)(
(
)
(
2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3−
=
−
=
−
−
=
+
−
−
−
=
+
−
+
−
−
−
=
−
=
−
=
⇔
=
−
=
−
=
−
=
⇔
=
−
−
−
−
=
+
+
+
=
k
k
k
k
k
P
x
x
x
x
x
x
a
d
x
x
x
d
x
x
ax
x
x
x
x
x
x
a
d
cx
bx
ax
x
P
7 Uma indústria química pode estocar determinado líquido em recipientes cúbicos de aresta
a ou em esferas de volume igual ao do recipiente cúbico. A expressão da área da superfície
de um recipiente esférico de volume igual ao do cubo de aresta a será:
A 6 a
π
2 B 3 4π
a2 C 3π
a
2 D 5 4π
a2 E 3 36 aππππ
28 O sistema
=
−
=
+
5
5
3
1
log
log
10 10y
x
y
x
tem como soluções os pares
(
x
1;
y
1)
e
(
x
2;
y
2)
. Então, asoma
y
1+
y
2 será : A -3 B -1 C 0 D 1 E 3 1 ) 3 ( 2 3 10 ) 1 3 ( 3 5 3 5 ) 1 2 ( 3 5 2 3 2 2 5 1 2 24 1 1 0 6 0 30 5 5 0 10 3 5 3 5 ) ( 3 5 ) 1 ( 3 5 10 ) 1 ( 3 5 5 5 3 5 5 3 0 . , 5 5 3 10 . 5 5 3 1 . log 5 5 3 1 log log 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 10 10 10 − = − + = + − = + − = ⇒ − = = + = ⇒ = − = = ⇒ + − = + ± − = = − + = − + = − + + = + = = + = ⇔ + = ⇔ = − > = − = ⇒ = − = ⇒ = − = + y y x y x y y y y y y y y y y y y y y xy y x y x y x y x se y x y x y x y x y x y x Obs: ) 3 10 , 3(− − seria a solução do sistema
=
−
=
5
5
3
1
.
log
10y
x
y
x
e não do sistema
=
−
=
+
5
5
3
1
log
log
10 10y
x
y
x
, portanto a Banca Avaliadora houve por
9 Dadas as funções reais 1 2 ) ( ) ( − = = x x g e x x f , o conjunto-solução da inequação ) ( ) (x g x f ≤ é : A
{
x
∈
ℜ
x
≤
−
1
ou
x
>
2
}
B{{{{
x∈∈∈∈ℜℜℜℜx≤≤≤≤−−−−1ou1<<<<x≤≤≤≤2}}}}
C{
x
∈
ℜ
x
>
1
ou
x
<
2
}
D{
x
∈
ℜ
x
<
1
ou
x
≥
2
}
E{
x
∈
ℜ
1
<
x
≤
2
}
10 Sejam as matrizes
( )
2 2 x ija
A
=
em quea
ij=
i
j e − − = 26 2 8 1C . Se a matriz B é tal que
C B A. = , então: A − = 5 1 4 2 B B − = 2 1 3 0 B C −−−− ==== 5 0 3 1 B D − = 0 3 5 1 B E − = 0 5 2 1 B C A B C B A. = ⇔ = −1. − = − − = = − − = = − − 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 4 2 1 1 2 1 4 det 1 4 2 1 1 A A A
−
=
+
−
−
−
+
−
=
=
−
−
−
=
−5
0
3
1
13
8
1
1
13
16
1
2
26
2
8
1
1
2
2 1 2 1B
11 A figura a seguir mostra um retângulo DFCE inscrito no triângulo retângulo ABC, cujos catetos têm medidas AC=5 e BC=10.
Então, a área máxima desse retângulo é:
A 12,5 B 13,5 C 14,5 D 15 E 18 2 2 10 ) 2 10 ( . 2 10 2 10 5 10 10 y y y y y x área y x y x y x − = − = = − = = − = − 10y−2y2 =0⇔ y=0 ou y=5 é máxima quando 2 5 = y
neste caso, área
2 25 25 4 25 . 2 2 5 . 10 − = − = 12,5 2 25 =
12 A soma Sn dos n primeiros termos de uma seqüência a1,a2,a3,a4,...,an,... é obtida pela fórmula n n n Sn + − = 1 2 Então, o valor do 5o
termo (a5) dessa seqüência é:
A 10 9 B 8 7 C 12 11 D 14 13 E 15 14 15 14 30 28 30 72 100 5 12 6 20 4 1 4 16 5 1 5 25 4 5 5 = = − = − = = + − − + − = − =S S a
Resolução
1 No 3º século a.C., o diretor da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes de Cirene, calculou da
seguinte forma o meridiano terrestre: conhecia-se a distância L entre Alexandria e Siena, igual aos atuais 787,5 km; sabia-se que, ao meio-dia do solstício de verão, o sol estava a pino em Siena e projetava sombra em Alexandria, em edificações verticais. As duas cidades estavam localizadas aproximadamente sobre o mesmo meridiano. Eratóstenes mediu a inclinação θ dos raios do sol em relação à perpendicular em Alexandria e obteve aproximadamente θ = 7º. Conseguiu, então, calcular com boa precisão a medida do meridiano terrestre M. Reproduza seu raciocínio e calcule M.
L = 787,5km =
θ
L o M 360km
M
M
L
o o o40500
7
360
.
5
,
787
360
7
0=
=
=
2 Para transportar certa carga, uma empresa tem as seguintes opções:
Por ferrovia – Custo fixo de R$ 1.000,00 mais R$ 5,00 para cada quilômetro rodado. Por rodovia – Custo fixo de R$ 500,00 mais R$ 7,00 para cada quilômetro rodado.
A Calcule, em quilômetros, a distância d a ser percorrida para que os custos totais sejam
iguais e calcule o valor desse custo.
B Para uma distância percorrida maior que d, qual a opção mais barata? Justifique.
x = distância percorrida em km
km
x
x
x
x
x
R
x
F
a
x
x
R
x
x
F
250
2
500
7
500
5
1000
)
(
)
(
)
7
500
)
(
5
1000
)
(
=
⇔
=
⇔
⇔
+
=
+
⇔
=
+
=
+
=
F(250)=R(250)= R$ 2250 b) para x > 250 temos F(x) < R(x)3 Considere o polinômio dado por
20
0
2
1
1
1
)
(
=
−
−
x
x
x
x
x
P
. Sabendo que uma das raízes deP(x) é -2, obtenha as outras raízes .
20 ) 2 2 ( ) ( = − + 2+ − 3 − x x x x P 18 2 ) ( =− 3+ 2 − − x x x x P é divisível por (x+2) Logo P(x)=(x+2)(−x2 +4x−9)
As outras raízes se obtém fazendo −x2 +4x−9=0⇒
i i x x x 2 5 2 5 2 4 2 36 16 4 0 9 4 2 − + = ⇒ = ± − = ± = ± ⇒ Outras raízes: 2± 5i e 2− 5i
4 Resolver a equação 3(x+1) – 3(3-x) = 80. 3 . 2 6724 80 6724 27 . 3 . 4 6400 0 27 80 . 3 3 0 27 3 . 80 3 . 3 0 3 0 3 3 . 80 27 3 . 3 0 80 3 3 3 . 3 0 80 3 . 3 3 . 3 2 2 2 2 3 3 ± + = = ∆ + = ∆ = − − = = − − ∴ ℜ ∈ ∀ ≠ = − − = − − = − − − y y y y chamando x x x x x x x x x x x x
5 As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética de
razão igual a 4.
A Calcule a medida de cada um dos lados desse triângulo. B Calcule a área do círculo inscrito nesse triângulo.
6 Seja o sistema linear
=
+
−
=
−
+
=
+
−
5
4
4
3
1
2
kz
y
x
z
y
x
z
y
x
de incógnitas x,y e z, onde k é um parâmetro real.
7 No plano cartesiano, são dados o ponto P(0,1) e a reta r de equação y=5.
A Obtenha a equação do conjunto dos pontos (x,y) eqüidistantes do ponto P e da reta r. B Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos de intersecção desse conjunto
8 Uma esfera de raio 1 está inscrita em um cone circular reto cuja base tem raio 3. Determine
9 Um fumante define a seguinte estratégia para deixar de fumar: do total que atualmente
fuma diariamente, reduzir 3 cigarros no primeiro dia, aumentar um cigarro no segundo dia, diminuir 3 no terceiro dia, aumentar 1 no quarto dia , repetindo essa rotina até que a quantidade de cigarros fumados diariamente seja reduzida a zero. Considerando que hoje ele fume 41 cigarros:
A contando com o dia de hoje, por quantos dias ele ainda fumará até o primeiro dia em
que zere seu consumo?
B quantos cigarros, incluindo os consumidos no dia de hoje, ele ainda irá fumar até o
primeiro dia em que zere o seu consumo?
a) dias nm to Por m m m n n n 40 tan 20 40 2 ) 1 ( 2 38 0 20 40 2 ) 1 .( 2 41 3 = = = − − = = = − − = b) cigarros S S to Por S S b a b a 820 tan 380 2 20 ). 0 38 ( 440 2 20 ). 3 41 ( = + = + = = + =
10 Uma bandeira com três listras horizontais e uma vertical, como é mostrado na figura abaixo,
deve ser colorida de modo que regiões adjacentes tenham cores diferentes. Sabendo que há seis cores disponíveis, de quantos modos a bandeira pode ser pintada?
