Conjuntos innitos. Alan Henrique de Jesus. Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa. Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso

Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática

Conjuntos innitos

Autor: Alan Henrique de Jesus

Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa

Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso

Curso: Licenciatura em Matemática

Professores Responsáveis: Karina Shiabel Silva

Sadao Massago

Vera Lúcia Carbone

Conjuntos Innitos

Autor: Alan Henrique de Jesus

Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa

Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso

Curso: Licenciatura em Matemática

Professores Responsáveis: Karina Shiabel Silva

Sadao Massago

Vera Lúcia Carbone

Instituição: Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia

Departamento de Matemática

São Carlos, 19 de agosto de 2013.

Alan Henrique de Jesus (aluno)

Profa. Dra. Cláudia Buttarello

Aos meus pais, Manoel e Glória.

Agradecimentos

Primeiramente agradeço à minha família pelo apoio incondicional durante toda minha vida, em especial durante este curso de Licenciatura em Matemática. Agradeço também a professora Cláudia Buttarello Gentile Moussa, que me orientou neste Trabalho de Con-clusão de Curso, pelo apoio, ajuda e paciência durante o desenvolvimento deste, além do suporte dado durante toda a minha graduação.

Agradeço também a todos os professores que acrescentaram algo a minha formação , em especial aos professores João Carlos Vieira Sampaio, Marcelo José Botta, Pedro Luiz Aparecido Malagutti. Agradeço aos meus amigos do Kiko's Flat e de curso Caio Evaristo, Caroline Raimundo, Diogo Melo, Gabriela Maria Machado, Grazielle Alves, Gustavo Sales Barbosa, Jéssica Poelnitz Melo, Lucas Zago, Maykon Santana, Marcela Santos Santana, Naiara Ap. Carneluti, Raphael Fernandes, Renata Oliveira, Richard Valefuego, pelos mo-mentos de convivência durante estes quatro anos de graduação . Agradeço em particular a ajuda dada por Diogo Melo e Marcos Paulo em alguns momentos de diculdades du-rante o desenvolvimento deste trabalho. Um agradecimento especial à minha namorada Tamyris Marconi pelos muitos momentos vividos durante estes anos e principalmente pela ajuda dada durante a confecção deste trabalho.

Resumo

Neste trabalho estudamos o conceito de números cardinais com particular interesse nos cardinais transnitos. Combinando alguns elementos da Teoria dos Conjuntos com no-ções de estruturas algébricas, apresentamos modelos matemáticos para os conjuntos numé-ricos N, Z, Q, R e C, que são importantes exemplos de conjuntos innitos. Caracterizamos conjuntos enumeráveis e não enumeráveis e apresentamos uma demonstração para o Te-orema de Cantor, resultado importante na Teoria de Conjuntos que garante a existência de innitos números cardinais transnitos.

Palavras chave: Números cardinais; conjuntos numéricos; conjuntos enumeráveis; cardinais transnitos, Teorema de Cantor.

ix

Sumário

Prefácio xi

1 Números cardinais 1

1.1 O cardinal de um conjunto . . . 1

1.2 Operações com cardinais . . . 3

1.3 Conjuntos nitos e os números naturais . . . 4

2 Conjuntos numéricos 7 2.1 O conjunto N dos números naturais . . . 7

2.2 O conjunto Z dos números inteiros . . . 8

2.3 O conjunto Q dos números racionais . . . 10

2.3.1 Construção do corpo de frações de um anel de integridade . . . 10

2.3.2 Corpo dos números racionais . . . 13

2.4 O Conjunto R do números reais . . . 14

2.4.1 Corpos ordenados . . . 14

2.4.2 Números reais . . . 14

2.5 O Conjunto C dos Números Complexos . . . 16

3 Conjuntos nitos e innitos 19 3.1 Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis . . . 24

4 Números cardinais transnitos 29 5 Apêndice 35 5.1 Algumas noções topológicas . . . 35

xi

Prefácio

Este trabalho é, essencialmente, um estudo inicial sobre conjuntos innitos e algumas de suas principais propriedades, que podem parecer espantosas quando as conhecemos pela primeira vez. Os conjuntos numéricos nos fornecem os principais exemplos de conjuntos innitos e, portanto, gastamos algum tempo construindo modelos matemáticos abstra-tos para os números criados a partir da experiência humana com os procedimenabstra-tos de contagem e medida.

A um leigo pode parecer que há muitos mais números"em toda a reta do que há no intervalo [0, 1]. O que dizer então, quando comparamos um pequeno intervalo com todo o espaço tridimensional? São denitivamente intrigantes os resultados que garantem que o número cardinal de [0, 1] e de Rn _{são os mesmos, não importando qual seja o n. Também}

é impactante a percepção de que, muito embora o denso conjunto dos números racionais pareça ser tão maior que o discreto conjunto dos naturais, existe uma correspondência um a um entre os elementos de N e Q. Diante de tais fatos, é difícil imaginar a existência de conjuntos com número cardinal maior que o de R, mas podemos provar de forma razo-avelmente simples que existe uma sequência innita e ordenada de cardinais transnitos. Isto é o que arma o Teorema de Cantor, com o qual encerramos o nosso estudo.

Este texto está organizado da seguinte forma: no primeiro capítulo introduzimos a noção de números cardinais, algumas de suas propriedades e um pouco da aritmética car-dinal. No segundo capítulo estudamos os conjuntos numéricos N, Z, Q, R e C. No terceiro capítulo caracterizamos conjuntos nitos e innitos e, entre estes, os enumeráveis e os não enumeráveis. No quarto capítulo tratamos de números cardinais transnitos, culminando com o Teorema de Cantor. Acrescentamos a este trabalho um pequeno apêndice onde constam algumas noções elementares da topologia da reta que, apesar de não estarem de forma alguma conectadas com os capítulos anteriores, foram bastante utilizadas ao longo das discussões que precederam a formalização dos resultados apresentados neste trabalho.

1

Capítulo 1

Números cardinais

Neste capítulo estudamos o conceito de número cardinal de um conjunto. Iniciamos denindo conjuntos equipotentes pois, a grosso modo, pode-se dizer que a cardinalidade de um conjunto é a característica que ele tem em comum com todos os conjuntos com os quais é equipotente. A principal referência para esta primeira parte é [1], mas também nos referiremos aos textos [5, 7].

Dizemos que um conjunto X é equipotente a um conjunto Y se existir uma bijeção de X em Y . A relação

X é equipotente a Y que é denotada por

Eq(X, Y ),

é uma relação de equivalência quando a ambientamos em um conjunto de conjuntos. Mais especicamente, temos que se Ξ é um conjunto de conjuntos e R é a relação em Ξ dada por: XRY se e somente se X e Y pertencem a Ξ e Eq(X, Y ), então R é uma relação de equivalência em Ξ.

Teorema 1.1. Sejam X, Y dois conjuntos. Temos que uma das seguintes sentenças é verdadeira:

1. X é equipotente a um subconjunto de Y , 2. Y é equipotente a um subconjunto de X.

Além disso, se ambas as armações são verdadeiras, então X é equipotente a Y .

1.1 O cardinal de um conjunto

A cada conjunto X vamos associar um objeto x que chamaremos de número cardinal do conjunto X ou Card(X) de tal modo que para que dois conjuntos X e Y sejam equipotentes é necessário e suciente que Card(X) = Card(Y ).

2 1. Números cardinais

Assim o objeto matemático x é um número cardinal se existir um conjunto X tal que x = Card(X). Os números cardinais associados a conjuntos são denotados pelos mesmos símbolos que representam os números ordinais 0, 1, 2, . . . e temos que

0 = Card(∅)

é o cardinal do conjunto vazio. Veja que não há conjunto equipotente a ∅ que não seja o próprio conjunto vazio. Desta forma, o único conjunto com número cardinal igual a 0 é ∅.

1 = Card({∅})

é o cardinal do conjunto {∅} e de todos os conjuntos unitários. 2 = Card({∅, {∅}})

é o cardinal do conjunto cujos elementos são o conjunto vazio ∅ e o unitário do vazio {∅}. Prosseguindo desta forma, podemos associar recursivamente aos algarismos que denotam os números naturais números cardinais de conjuntos de tal forma que, um conjunto tem n elementos se e somente se seu número cardinal for n.

Podemos denir uma relação de ordem entre números cardinais. Sejam x, y dois nú-meros cardinais. Escrevemos

x ≤ y

se houver conjuntos X, Y tais que x = Card(X), y = Card(Y ) de tal forma que X é equipotente a um subconjunto de Y , para uma escolha particular de X e Y .

Para todo número cardinal x, y, temos

x ≤ y ou y ≤ x e também

x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y. Além disso, é claro que se x, y, z são três cardinais, temos

x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z,

pois se existir uma injeção f do conjunto X no conjunto Y , e uma injeção g do conjunto Y no conjunto Z, temos que existe uma injeção de X em Z, que se denota g◦f.

A principal propriedade da relação x ≤ y entre cardinais está contida no seguinte teorema cuja demonstração pode ser encontrada em [1], pg 91.

Teorema 1.2. Seja E um conjunto de cardinais. Então existe um e somente um cardinal a com a seguinte propriedade:

1. x ≤ a (resp x ≥ a) para ∀ x ∈ E;

1.2. Operações com cardinais 3

1.2 Operações com cardinais

Sejam x, y dois números cardinais e denotemos x = Card(X) e y = Card(Y ). O produto de x por y é o número cardinal

xy = Card(X×Y )

e permanece inalterado se substituirmos X ou Y por um conjunto equipotente. Ou seja, a denição de xy é independente da escolha dos conjuntos X e Y . Esta operação possui as seguintes propriedades:

xy = yx; x(yz) = (xy)z; 0x = 0; 1x = x;

As propriedades acima são consequências imediatas da denição. Para demonstrarmos a segunda por exemplo, é suciente notar que, dados três conjuntos X, Y e Z, en-tão X×(Y ×Z) é equipotente a (X×Y )×Z já que podemos associar a cada elemento (a, (b, c))∈X×(Y ×Z) o elemento ((a, b), c) de (X×Y )×Z.

Observação 1: Apesar do que nossa intuição nos induz a pensar, é falso que xz = yz ⇒ x = y,

caso tenhamos z 6= 0, conforme o seguinte contra-exemplo - Card({1} × N) = Card(N) = Card({1, 2} × N) - que discutiremos apropriadamente após introduzirmos o conceito de conjunto enumerável.

Agora deniremos soma de cardinais. Sejam x, y dois números cardinais e escolha dois conjuntos X, Y disjuntos, tal que x = Card(X) e y = Card(Y ). A soma de x com y é o cardinal

x + y = Card(X ∪ Y )(onde X ∩ Y = ∅).

Não é difícil vericar que a soma é independente da escolha de X e Y . E além disso, valem as seguintes propriedades:

x + y = y + x; x + (y + z) = (x + y) + z; 0 + x = 0. Vale também a propriedade distributiva

x(y + z) = xy + xz

que pode ser provada observando-se que dados três conjuntos X, Y e Z quaisquer tais que Y ∩ Z = ∅, o conjunto X×(Y ∪ Z) é equipotente a (X×Y ) ∪ (X×Z).

Finalmente, sejam x, y números cardinais com x = Card(X) e 0 6= y = Card(Y ). Denimos

xy = Card(XY)

onde XY_{é o conjunto de todas a funções de Y em X. A operação é chamada de}

4 1. Números cardinais

xy+z = xyxz; (xy)z = xzyz; (xy)z = xyz; x0 = 1; x1 = x;

Para se provar a primeira propriedade, notemos que se X, Y e Z são tais que Y ∩ Z = ∅, Y 6= ∅ 6= Z, e x = Card(X), y = Card(Y ) e z = Card(Z), então os conjuntos XY ∪Z e XY × XZ _{são equipotentes. De fato, a cada par (f, g) de funções f : Y → X e g : Z → X,}

podemos associar a função f ∪ g : Y ∪ Z → X dada por

f ∪ g(w) = (

f (w) se w ∈ Y g(w) se w ∈ Z

Os detalhes desta vericação, bem como as demonstrações da boa denição de xy _{e das}

demais propriedades acima podem ser encontradas em [5].

1.3 Conjuntos nitos e os números naturais

A seguir vamos enunciar e demonstrar um resultado através do qual poderemos caracte-rizar e diferenciar conjuntos nitos e innitos.

Teorema 1.3. Dado um conjunto X, as seguintes propriedades são equivalentes: 1. O único conjunto contido em X e equipotente a X é o próprio X.

2. Card(X) 6= Card(X) + 1

Demonstração. i)Suponha que X é equipotente a X0 _{estritamente contido em X. Uma}

vez que podemos decompor X na reunião disjunta X = X0_{S(X − X}0_{) , então temos}

Card(X) = Card(X0) + Card(X − X0); como Card(X − X0_{)≥1, pois X − X}0 _{não é vazio, segue-se que}

Card(X) ≥ Card(X0) + 1.

Agora, como X0 _{é equipotente a X, então Card(X) = Card(X}0_{)e portanto}

Card(X) ≥ Card(X) + 1. Por outro lado, temos que

Card(X) + 1 ≥ Card(X)

já que Card(X) + 1 = Card(X ∪ {a}) para algum a não pertencente a X. Assim, concluímos que que Card(X) = Card(X) + 1.

ii)Suponha agora que Card(X) = Card(X)+1 e seja a um elemento que não pertence a X. Seja f uma bijeção de X S {a} em X. Então a imagem de X por f é evidentemente equipotente a X e está estritamente contida em X.

1.3. Conjuntos nitos e os números naturais 5

Dizemos que um conjunto X é nito se o conjunto possuir as propriedades 1) e 2) do Teorema 1.3 e dizemos que é innito caso contrário. Analogamente, o cardinal x é nito se x 6= x + 1 e innito se x = x + 1. Por exemplo, os cardinais 0, 1, 2, . . . denidos anteriormentes são nitos. Um cardinal nito é também chamado de número natural e um cardinal innito de número transnito.

Se x e y são números naturais, então já denimos x + y, xy e xy. Generalizando, se

(xi)i∈I é uma família nita de números naturais (a família (xi)i∈I é nita se o conjunto

de índices for nito), então os cardinais

Y i∈I xi X i∈I xi

são novamente nitos.

Se x é um número natural, cada cardinal y tal que y ≤ x é também nito, e existe um único cardinal z tal que

x = y + z;

z é nito e é chamado de diferença entre x e y, e é escrito da seguinte forma z = x − y.

Se x = Card(X) e y = Card(Y ) com Y ⊂ X; então teremos z = Card(X − Y ). Observemos que a situação problema descrita na Observação 1, não ocorre com nú-meros cardinais nitos. Para ser mais exato, a igualdade

x + z = y + z implica que x = y se z é nito, e a igualdade

xz = yz implica que x = y se z é nito e diferente de zero.

No que segue, usaremos frequentemente o seguinte resultado cuja demonstração pode ser encontrada na página 96 em [1].

Teorema 1.4. Seja X um conjunto nito e f : X→X uma função. Então as seguintes propriedades são equivalentes:

1. f é injetiva 2. f é sobrejetiva 3. f é bijetora

7

Capítulo 2

Conjuntos numéricos

Neste capítulo apresentaremos construções matemáticas que são modelos abstratos para os conjuntos numéricos N, Z, Q, R e C criados a partir da necessidade de se traduzir formalmente quantidades observadas através da experiência humana.

2.1 O conjunto N dos números naturais

A existência de conjuntos nitos decorre a partir das considerações anteriores, porque os conjuntos

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}, . . .

são claramente nitos de acordo com o Teorema 1.3 e se baseia na idéia bastante intuitiva de que existe um conjunto vazio. A existência de um conjunto vazio é enunciada como um axioma na construção da Teoria dos Conjuntos.

Por outro lado a existência de conjuntos innitos não é óbvia. Este ponto de vista pode parecer estranho e contrário a nossa intuição, mas devemos recordar que a matemática formal utiliza a prova lógica para provar suas armações, e que, em particular a palavra "existência"na matemática não tem o mesmo signicado que na física ou na teologia, a existência para os matemáticos deve ser mostrada usando a lógica e não apenas a crença que algo existe.

Mostraremos a seguir que o conjunto dos números naturais é innito. Antes enuncia-mos o seguinte

Teorema 2.1. Seja X um conjunto innito. Então cada conjunto nito é equipotente a um subconjunto próprio de X.

Demonstração. Temos que mostrar que y < x para cada cardinal nito y e para cada cardinal x transnito. Mas de fato, caso tivéssemos o contrário, ou seja, x ≤ y, então x seria nito como visto anteriormente, o que contraria nossa hipótese.

8 2. Conjuntos numéricos

Teorema 2.2. Existe um único conjunto N tal que a relação "x ∈ N" é equivalente a relação "x é um número natural". O conjunto N é innito.

Demonstração. A unicidade de N resulta do fato que se A, B são dois conjuntos, então A = B se e somente se as relações x ∈ A e x ∈ B são equivalentes. Aceitaremos a existência de N como intuitiva. Suponha que N é nito, e para cada n ∈ N escolha um conjunto Xn tal que Card(Xn) = n. Desde que para cada n ∈ N, Xn é nito, então é

nito o conjunto

X = [

n∈N

Xn

Desde que cada Xn está contido em X, segue-se que existe um número natural x =

Card(X) com a propriedade de que n ≤ x para todo n nito. Mas sendo x nito, então x + 1 é nito e portanto x + 1 ≤ x. Contudo temos sempre x ≤ x + 1, logo x = x + 1, contrariando a nitude de x. Temos assim uma contradição, portanto N é innito.

Resumindo: As seguintes sentenças são equivalentes: 1. Existe um conjunto innito;

2. Existe um conjunto cujos elementos são os números naturais;

Diremos que um conjunto X é enumerável se ele for equipotente a N, ou seja, se existir uma bijeção do conjunto dos números naturais N em X.

2.2 O conjunto Z dos números inteiros

Além dos números naturais, a matemática necessita de números com "sinais contrários" , ou seja, necessita dos números inteiros que iremos construir a seguir. A idéia fundamental é a de que, se x e y são dois números naturais quaisquer, existe um inteiro z tal que

x + z = y.

Os inteiros negativos foram inventados para tornar possível a subtração em todos os casos. Para construirmos o conjunto Z dos números inteiros, partimos do conjunto N×N que são pares ordenados de números naturais, e denimos uma relação de equivalência R neste conjunto, dizendo que dois pares ordenados (x, y) e (x0_{, y}0_{)de números naturais são}

equivalentes módulo R se, e somente se,

x + y0 = x0+ y. Então denimos o conjunto Z por

2.2. O conjunto Z dos números inteiros 9

e os elementos de Z são chamados números inteiros. Podemos considerar o conjunto dos números naturais um subconjunto do conjunto dos números inteiros associando a cada n natural a classe de equivalência de (n, 0). Se (a, b) é um elemento qualquer de N×N indicaremos por (a, b) a classe de equivalência módulo R determinada por (a, b), isto é,

(a, b) = {(x, y) ∈ N × N | (x, y)R(a, b)}

Ainda resta denir as operações algébricas sobre os inteiros. Denimos a soma e produto de dois números inteiros z e z0 _{da seguinte forma, escolhemos pares (x, y), (x}0_{, y}0

) ∈ N×N tais que z = (x, y) e z0 _{= (x}0_{, y}0_{), logo}

z + z0 = (x, y) + (x0_{, y}0_{) := (x + x}0_{, y + y}0₎

e

z·z0 = (x, y)·(x0_{, y}0_{) := (xx}0_{+ yy}0_{, xy}0 _{+ yx}0_).

Pode-se mostrar que as operações estão bem denidas, ou seja, não dependem dos repre-sentantes escolhidos para as classes de equivalência.

Teorema 2.3. O conjunto Z dos números inteiros munido da operação de adição, tem a estrutura de um grupo comutativo.

Demonstração. Sejam (x, y), (x0_{, y}0_{)e (x}00_{, y}00_{) elementos quaisquer de Z, valem}

• comutatividade: (x, y) + (x0_{, y}0_{) = (x + x}0_{, y + y}0_{) = (x}0_{+ x, y}0_{+ y) = (x}0_{, y}0_{) + (x, y)}. • associatividade: ((x, y) + (x0_{, y}0_{)) + (x}00_{, y}00_{) = (x + x}0_{, y + y}0_{) + (x}00_{, y}00_{) =} ((x + x0_{) + x}00_{, (y + y}0_{) + y}00_{) = (x + (x}0 _{+ x}00_{), y + (y + y}00_{)) =} (x, y) + (x0_{+ x}00_{, y}0_{+ y}00_{) = (x, y) + ((x}0_{, y}0_{) + (x}00_{, y}00₎₎.

• existência de elemento neutro: consideremos a classe de equivalência 00 _{= (0, 0)}

módulo R. Temos que para todo elemento de z ∈ Z, z = (x, y),

z + 00 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z. logo 00 _{= (0, 0) é o elemento neutro da adição no conjunto Z.}

• existência de elemento inverso: seja z = (x, y) elemento qualquer de Z e considere-mos z0 _{= (y, x). Temos}

10 2. Conjuntos numéricos

logo , (y, x) é o oposto de (x, y) que será denotado por −z0_.

Denimos assim a subtração em Z, denotada por −, da seguinte forma: Se z, z0

∈Z, então:

z − z0 = z + (−z0).

Assim a subtração z − z0 _{nada mais é do que a soma de z com o simétrico de z}0_.

2.3 O conjunto Q dos números racionais

Nesta seção vamos apresentar uma construção do conjunto dos números racionais como corpo frações do anel dos inteiros e detalhes de demonstrações omitidos no texto a seguir podem ser encontrados em [4].

Dados dois números interios a e b quaisquer, com b 6= 0, existe um único inteiro x tal que bx = a se, e somente se, a|b. Portanto, só podemos considerar quocientes ou frações a/b quando a é múltiplo inteiro de b e b 6= 0. Para contornarmos esta restri-ção mostraremos que podemos contruir um corpo Q, uma amplicarestri-ção do conjunto Z, onde sempre será possível considerar o quociente a/b de dois números inteiros quaisquer desde que b 6= 0.

2.3.1 Construção do corpo de frações de um anel de integridade

Antes de começarmos a contruir o corpo de frações, vamos introduzir algumas denições. Denição 2.4. Chama-se anel de integridade a todo anel comutativo com elemento uni-dade 1 6= 0, que não possui divisores próprios de zero.

Assim, dado um conjunto A com pelo menos dois elementos, dizemos que A é um anel de integridade se estão denidas em A duas operações binárias que chamaremos de adição e de multiplicação

(a, b) 7−→ a + b e (a, b) 7−→ ab, e que satisfazem as seguintes condições:

1. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da adição ) 2. a + b = b + a (comutatividade da adição )

3. a + 0 = a (elemento neutro da adição ) 4. a + (−a) = 0 (elemento inverso da adição )

2.3. O conjunto Q dos números racionais 11

5. (ab)c = a(bc) (associatividade da multiplicação ) 6. ab = ba (comutiviade da multiplicação )

7. a1 = a (elemento neutro da multiplicação )

8. ax = ay e a 6= 0 =⇒ x = y (lei do cancelamento) 9. a(b + c) = ab + ac (distributividade)

Denição 2.5. Seja A um anel e seja B um subconjunto de A; diz-se que B é um sub-anel de A se, e somente se, são válidas as seguintes condições :

1. B é fechado em relação à adição e em relação à multiplicação denidas sobre A. 2. As operações induzidas sobre B pelas operações de A denem uma estrutura de anel

sobre o conjunto B.

Denição 2.6. Diz-se que um anel comutativo K, com elemento unidade 1 6= 0, é um corpo se, e somente se, todo elemento não nulo de K é inversível com respeito à multpli-cação .

Em outras palavras, um conjunto K é um corpo se satisfaz os 9 axiomas de um anel de integridade vistos anteriormente e o seguinte axioma:

1. aa−1 _{= 1 (elemento inverso da multiplicação )}

Sejam a e b dois elementos de um anel de integridade A; diz-se que a é um múltiplo de b se, e somente se, existe c tal que a = bc. Se a é um múltiplo de b e se b 6= 0, então o elemento c é único; este elemento passa a ser denominado quociente de a por b e será indicado pela notaçãoa

b ou a/b. Em particular, se b é inversível, tem-se a b = ab

−1_{. Neste}

caso a é chamado de numerador e b de denominador. Portanto, tem sentido considerar a fração a

b, de elementos de A, se, e somente se, b6=0 e a é múltiplo de b. Observamos que se o anel de integridade A é um corpo, então existe sempre o quociente de a por b 6= 0 e temos a

b = ab

−1_.

Seja A um anel de integridade e consideremos o produto cartesiano E = A×A∗ _dos

conjuntos A e A∗ _{= A − {0}. Deniremos uma relação R sobre o conjunto E do seguinte}

modo:

Denição 2.7. Se (a, b) e (c, d) são dois elementos quaisquer de E, então, colocaremos (a, b)R(c, d) se, e somente se, ad = bc

A demonstração do teorema que será anunciado a seguir, pode ser encontrado na página 200 do livro [4].

Teorema 2.8. A relação R, introduzida pela denição anterior é uma relação de equiva-lência sobre E.

12 2. Conjuntos numéricos

Como anteriormente, indicaremos por (a, b) a classe de equivalência módulo R deter-minada por (a, b), e temos que (a, b) = (c, d) se, e somente se, (a, b)R(c, d). O conjunto quociente de E pela relação de equivalência R será indicado por K, isto é,

K = E R =

A×A∗ R .

Deniremos a soma e o produto de dois elementos quaisquer (a, b) e (c, d) de K, por (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e (a, b)(c, d) = (ac, bd).

Necessitamos vericar se estas denições são de fato indepentes das escolhas dos repre-sentantes (a, b) e (c, d) das classes de equivalência (a, b) e (c, d), isto é, precisamos mostrar que se (a, b) = (a0_{, b}0₎ e (c, d) = (c0_{, d}0₎, então,

(ad + bc, bd) = (a0_d0_{+ b}0_c0_{, b}0_d0₎

e

(ac, bd) = (a0_c0_{, b}0_d0₎.

De fato, temos pela denição de R que, ab0 _{= ba}0 _{e cd}0 _{= dc}0_{, logo,}

(ad + bc)(b0d0) = (ab0)(dd0) + (cd0)(bb0) = (ba0)(dd0) + (dc0)(bb0) = bd(a0d0+ b0c0) e

(ac)(b0d0) = (ab0)(cd0) = (ba0)(dc0) = (bd)(a0c0)

portanto, (ad + bc, bd)R(a0_d0 _{+ b}0_c0_{, b}0_d0_{) e (ac, bd)R(a}0_c0_{, b}0_d0_{). Mostramos assim que as}

operações de adição e de multiplicação

((a, b), (c, d)) 7−→ (ad + bc, bd) e

((a, b), (c, d)) 7−→ (ac, bd) sobre o conjunto quociente K = (A×A∗)

R estão bem denidas. Com isso temos o seguinte resultado:

Teorema 2.9. As operações acima denem uma estrutura de corpo comutativo sobre o conjunto K.

As demonstrações do teorema acima e dos próximos podem ser encontradas em [4]. Teorema 2.10. O subconjunto

A0 = {(a, b) ∈ K | b = 1}

2.3. O conjunto Q dos números racionais 13

Teorema 2.11. A aplicação f : A→A0_{, denida por f(a) = (a, 1), é um isomorsmo de}

A em A0.

Temos que o anel A será identicado como um sub-anel de A0 _{pelo teorema acima e,}

além disso, A passa a ser considerado um sub-anel unitário de K. Desta forma, diremos que um elemento (a, b) de K é o quociente dos elementos (a, 1) e (b, 1)

(a, b) = (a, 1) (b, 1); e, como (a, 1) = a e (b, 1) = b, denotaremos (a, b) = a

b. Ou seja, todo elemento de K é o quociente de dois elementos de A. Daqui por diante só usaremos esta representação para os elementos de K, isto é, todo elemento (a, b) de K será indicado por a

b ou a/b.

O corpo K que acabamos de construir acima é denominado corpo de frações do anel de integridade A. Resumindo o que foi expôsto acima, dado um anel de integridade A pode-se sempre construir um corpo K que contém A como um sub-anel unitário e tal que todo elemento de K seja da forma a

b, com a e b em A e b6=0. Temos que a b =

c d se, e somente se, ad = bc; a

1 = 0, para todo a em A e as operações denidas sobre K podem ser colocadas da seguinte forma

a b + c d = ad + bc bd e a b c d = ac bd. O inverso do elemento a b, com a6=0, é b

a. Além disso, se a e b são dois elementos quaisquer de A, com b6=0, existe o quociente de a por b que é o elemento a

b de K. Assim, podemos sempre determinar o quociente de dois elementos de A, desde que o divisor seja diferente de zero.

2.3.2 Corpo dos números racionais

Denição 2.12. Chama-se corpo dos números racionais ao corpo de frações do anel de integridade Z.

O corpo dos números racionais será denotado pela letra Q. Todo número racional pode ser escrito na forma a

b, com a e b inteiros e b6=0 e a b =

c

d, se, e somente se, ad = bc. A soma e o produto de dois números racionais quaisquer a

b e c

c são denidos por a b + c d = ad + bc bd e a b c d = ac bd.

14 2. Conjuntos numéricos

Temos ainda que um número racional a

b é nulo se, e somente se, a = 0, e a

b é um número inteiro se, e somente se, a, é um múltiplo de b. O oposto do número racional a

b é −a

b ou a

−b e todo número racional não nulo a

b, a6=0, tem inverso b

a. Se a e b são dois números inteiros quaisquer, com b6=0, existe um único número racional x tal que bx = a e temos x = a

b.

2.4 O Conjunto R do números reais

Nesta seção seguiremos a referência [2], e apresentaremos uma caracterização dos números reais a partir de Q.

2.4.1 Corpos ordenados

Dado um corpo K, diremos que ele é um corpo ordenado se existe P ⊂ K satisfazendo as seguintes condições :

1. x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P e xy ∈ P

2. Dado x ∈ K, é válido uma das seguintes alternativas: x = 0, ou x ∈ P ou −x ∈ P Então temos K = P ∪ (−P ) ∪ {0}, e denominamos P o conjunto dos elementos positivos e −P o conjunto dos elementos {−x, x ∈ P } que chamaremos de conjuntos dos elementos negativos. A relação a ≤ b ⇔ b − a ∈ P é uma ordem total em K. Num corpo ordenado, se a 6= 0 então a2 _{∈ P. Em particular temos que num corpo ordenado 1 = 1·1}

é sempre positivo e que −1 não é quadrado de nenhum elemento.

2.4.2 Números reais

Seja K um corpo ordenado e X ⊂ K um subconjunto limitado superiormente. Dizemos que um elemento b ∈ K é supremo do subconjunto X quando ele é a menor das cotas superiores de X em K. Mais precisamente para que b ∈ K seja supremo do conjunto X ⊂ K , é necessário e suciente que satisfaça as seguintes condições :

1. Para todo x ∈ X, tem-se x ≤ b;

2. Se c ∈ K é tal que x ≤ c para todo x ∈ X, então b ≤ c.

Se dois elementos b e b0 _{pertencentes a K cumprem as condições 1 e 2 acima, devemos}

ter b ≤ b0 _{e b}0 _{≤ b, logo b = b}0_{. Portanto quando existe o supremo de um conjunto, ele é}

único e o denotamos por sup X. As condições que caracterizam o elemento supremo de um conjunto podem ser escritas da seguinte maneira:

2.4. O Conjunto R do números reais 15

2. c ≥ x para todo x ∈ X; ⇒ c ≥ sup X;

3. Se c < sup X então existe x ∈ X tal que c < x.

Analogamente chamamos um elemento a ∈ K de ínmo de um conjunto Y ⊂ K, limitado inferiormente, quando a é a maior das cotas inferiores de K. Usamos a nota-ção a = inf Y.

A necessidade de construção dos números reais vem a partir do fato que alguns con-juntos limitados de números racionais não possuem supremo ou ínmo em Q. Este fato está extremamente ligado à inexistência de raízes quadradas racionais de certos núme-ros inteinúme-ros. Este fato tem uma demonstração extremamente simples que apresentamos a seguir.

Lema 2.13. Não existe nenhum número racional p tal que p2 _{= 2}

Demonstração. De fato, suponha que existe p = m

n ∈ Q tal que p

2 _{= 2. Podemos supor}

sem perda de generalidade que a fração p = m

n é irredutível, isto é m e n não são ambos pares (múltiplos de 2). Então m2

n2 = 2 ⇔ m

2 _{= 2n}2 _{⇒ m}2 _{é par ⇒ m é par (por que se}

o quadrado de um número é par , então o próprio número é par). Mas se m é par ⇒ m2

é divisível por 4. E como m2 _{= 2n}2, temos que n2 é par, o que é uma contradição, pois

assumimos que m

n é irredutível.

Denição 2.14. Um corpo ordenado K é chamado de completo quando todo subconjunto não vazio, limitado superiormente com X ⊂ K, possui supremo em K. Analogamente denimos para o ínmo.

Assumiremos a partir de agora, o Axioma Fundamental da Análise Matemática: Axioma 2.15. Existe um corpo ordenado completo, R, chamado o corpo dos números reais.

Lema 2.16. Para todo número real positivo a existe um único número real positivo b tal que b2 _{= a}.

Demonstração. Se a = 0 é imediato, logo podemos supor que a ∈ P (conjuntos dos números reais positivos). O caso a ∈ −P é análogo. Primeiramente vamos provar a unicidade de b. Se b e c são números reais positivos tais que

b2 _{= a = c}2_.

Logo temos

(b − c)(b + c) = 0,

como b + c > 0, então temos que b = c, logo b é único. Agora consideremos o seguinte conjunto

16 2. Conjuntos numéricos

S = {x ∈ R | 0 ≤ x e x2 ≤ a}.

É imediato que S é não vazio, pois x ≤ 0 e S é majorado (por a + 1), logo temos que existe b = sup S e b > 0, pois R é um conjunto completo. Armamos que b2 _{= a}. De

fato, se b2_{6=a, teríamos os seguintes dois casos para examinar:}

1. b2 _{< a;}

2. b2 _{> a;}

Vericando o caso 1: temos que

b2 _{< a ⇒ b}3 _{< ab ⇒ b}3_{+ ab < 2ab ⇒ b <} 2ab

a + b2 = b1

logo b1 ∈ S, por que,

(b1)2 =

4a2_b2

(a − b2₎2_{+ 4ab}2 ≤ a

o que é um absurdo. Vericando 2: temos que

b2 > a ⇒ 2b2 > a + b2 ⇒ b > a + b

2

2b = b2,

logo existe x ∈ S tal que b2 < x ≤ b ⇒ (b2)2 < x2 ≤ a, por outro lado temos que

(b2)2 =

(a − b2₎2_{+ 4ab}2

4b2 ≥a

o que é um absurdo.

Se a é um número real positivo, então, o único número real positivo b tal que b2 _{= a}

é denominado raíz quadrada de a e será indicado pela notação√a. Assim, aos elementos do conjunto R − Q, isto é, os números reais que não são racionais, a partir de agora chamaremos de números irracionais. Acabamos de ver que eles existem: por exemplo, √

2, √3, √5 . . . são números irracionais. O fato de que os números irracionais se acham espalhados por toda parte entre os números reais e que há (em um sentido que precisaremos mais tarde) mais números irracionais do que racionais, serão discutidas mais para frente.

2.5 O Conjunto C dos Números Complexos

Vimos na seção anterior que a equação b2 _{= a tem solução se, e somente se, a for um}

número positivo, ou seja, não existe x ∈ R tal que x2 _{= −1. Ampliaremos o conjunto}

dos números reais de modo que esta equação obtenha solução. Consideremos o corpo R dos números reais e seja C = R×R o produto cartesiano do conjunto R por si mesmo; se (a, b) e (c, d) são dois elementos quaisquer de C deniremos as seguintes operações

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e

2.5. O Conjunto C dos Números Complexos 17

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Denimos assim as operações de adição e multiplicação sobre o conjunto C. A seguir enunciaremos um teorema cuja demonstração pode ser encontrada na página 270 em [4]. Teorema 2.17. As operações de adição e de multiplicação enunciadas anteriormente, de-nem uma estrutura de corpo comutativo sobre o conjunto C.

A partir de agora, todo elemento do corpo C passa a ser denominado como número complexo e diremos que C munido com as operações de adição e multiplicação é o corpo dos números complexos.

Indicaremos por i o número complexo (0, 1). Como (b, 0)(1, 0) = (0, b), teremos para todo (x, y) ∈ C:

z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(1, 0) = x + yi.

Portanto, se identicarmos os números reais x e y com os elementos (x, 0) e (y, 0) respectivamente, todo número complexo z pode ser representado sob a forma z = x + yi, com x e y reais e i = (0, 1). O número i é denominado unidade imaginária e é uma solução para a equação x2 _{= −1, já que i}2 _{= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.}

19

Capítulo 3

Conjuntos nitos e innitos

Neste capítulo discutiremos algumas propriedades de conjuntos nitos e innitos, enu-meráveis e não enuenu-meráveis, e por m estudaremos números cardinais transnitos. As principais referências bibliográcas para o que segue são [1, 5, 6, 7].

Já denimos conjuntos nitos e innitos no Capítulo 2. Equivalentemente temos, Denição 3.1. Dado um conjunto X, dizemos que ele é innito quando possui um sub-conjunto próprio Y , tal que existe um bijeção entre X e Y . Um sub-conjunto é nito caso contrário.

Dito de outra forma, um conjunto X é innito se, e somente se, existe um injeção f : X→ X tal que f(X) é um subconjunto próprio de X.

Denição 3.2. O conjunto X é um superconjunto do conjunto X se e somente se Y ⊂ X Teorema 3.3.

1. Todo superconjunto de um conjunto innito é innito. 2. Todo subconjunto de um conjunto nito é nito.

Demonstração. 1. Seja X um conjunto innito e Y um seu superconjunto, ou seja, X ⊂ Y. Então como X é innito, existe um conjunto Z propriamente contido em X e uma bijeção f : X → Z. Consideremos a seguinte função g : Y → g(Y ) tal que

g(y) = (

f (y) se y ∈ X y se y ∈ Y − X

Temos que g é injetora, pois f é injetora e, quando y ∈ Y −X, g(y1) = g(y2) ⇔ y1 =

y2. Já se y1 ∈ X e y2 ∈ Y − X, então g(y1) = f (y1) ∈ X mas g(y2) = y2 ∈ Y − X,

logo g(y1) 6= g(y2). Como f não é sobrejetora em X, temos que g(Y ) 6= Y pois

20 3. Conjuntos nitos e innitos

2. Agora vamos supor que o conjunto X é nito e Y é um subconjunto innito de X. Então temos que X é um superconjunto de Y , e pela parte 1 deste teorema anteriormente demonstrada, temos que X é innito. Absurdo, pois supusemos X nito. Portanto Y é nito.

Teorema 3.4. Seja g : X → Y bijeção. Se o conjunto X é innito, então Y é innito. Demonstração. Por hipótese o conjunto X é innito, então por denição existe uma in-jeção f : X → X, tal que f(X) 6= X. Como g é suposta bijetora temos que g−1 _{: Y → X}

é também bijetora. Então a função h = g◦f◦g−1 _{de Y em Y é injetora, porque composta}

de funções injetoras é injetora. Mas h(Y ) 6= Y porque f(X) 6= X ou seja, e portanto Y é um conjunto innito.

Corolário 3.5. Seja g : X → Y bijeção. Se o conjunto X é nito, então Y é nito. Demonstração. Suponha que Y é innito. Temos que g : X → Y é bijeção , então g−1 : Y → X também é bijetora e pelo teorema anterior X seria innito. Portanto se X for nito então Y também será.

Teorema 3.6. Seja X um conjunto innito e seja x0 ∈ X. Então X − {x0} é innito.

Demonstração. De fato, se f : X → Z é uma injeção e Z é um subconjunto próprio de X, então denimos g : X − {x0} → X − {x0} da seguinte forma:

1. Se f−1

(x0) = x0, denimos g(x) = f(x), para todo x ∈ X − {x0}.

2. Se f−1_(x

0) 6= x0 e x1 = f−1(x0), denimos g(x) = f(x), para todo x ∈ X −{x0, x1},

e g(x1) = f (x0).

Em qualquer caso teremos g injetora e g(X − {x0}) propriamente contido em X − {x0}.

Portanto X − {x0} é innito.

Notemos que o teorema acima conrma a equivalência entre a denição de conjunto innito dada nesta seção e a que se baseia no Teorema 1.3, segundo a qual um conjunto é innito se a seguinte relação é verdadeira:

Card(X) = Card(X) + 1.

Corolário 3.7. Seja X um conjunto innito e Y um subconjunto nito de X, então X − Y é innito.

Demonstração. Como Y é nito, então Y possui n elementos, com n ∈ N. Vamos mostrar por indução nita que se X é innito, então X − Y é também innito. Para n = 1, temos que X − {x1} é innito pelo teorema anterior. Agora vamos supor que

3. Conjuntos nitos e innitos 21

Então como a armação é válida para n = k, ou seja, A = X − {x1, x2, x3, . . ., xk}

é innito. Seja Y = {x1, x2, x3, . . ., xk, xk+1} = {x1, x2, x3, . . ., xk} ∪ {xk+1}, então

X − Y = X − {x1, x2, x3, . . ., xk} − {xk+1} = A − {xk+1}, e novamente pelo teorema

anterior temos que A − {xk+1} é innito. Portanto X − Y é innito.

Teorema 3.8. Se A é um conjunto innito, então A × A também é innito.

Demonstração. Por hipótese A é innito. Com isso, por denição existe um conjunto B propriamente contido em A e uma função bijetora f : A → B. Queremos provar que A × A é innito, então tomemos a seguinte função g : A × A → B × B dada por g(x, y) = (f (x), f (y)). A função g é claramente bijetora e g(A × A) = B × B é um subconjunto próprio de A × A.

No que segue, usaremos a notação Nkpara indicar o conjunto {0, 1, 2, 3, . . ., k}, k ∈ N.

Lema 3.9. Para cada k ∈ N, o conjunto Nk é nito.

Demonstração. Utilizaremos indução nita para provar este lema.

Se k = 1, temos que N1 = {1}, que é um conjunto nito, pois o único subconjunto

próprio é ∅ e não há nenhuma função bijetora entre {1} e ∅, logo N1 é nito.

Agora vamos supor que Nk é nito para algum k ∈ N e provemos que Nk+1 é nito.

Considere Nk+1 = Nk ∪ {k + 1}, vamos supor por absurdo que Nk+1 é innito. Então

pelo teorema anterior temos que Nk+1 − {k + 1} é innito. Absurdo pois por hipótese

temos que Nk = Nk+1− {k + 1} é nito. Portanto todo conjunto Nk é nito para cada

k ∈ N.

Teorema 3.10. Um conjunto X é nito se, e somente se, X = ∅ ou existe uma fun-ção bijetora do conjunto X sobre Nk.

Demonstração. (⇒) Vamos supor por absurdo que o conjunto X é não vazio e não possui nenhuma bijeção com nenhum Nk qualquer que seja k ∈ N. Como X é diferente de vazio,

então existe x1 ∈ X e temos também que X − {x1} é diferente de vazio, porque caso

contrário existiria uma bijeção entre X e N1. Procedendo desta forma sucessivamente

te-mos que podete-mos selecionar k elementos x1, x2, x3, . . . , xk ∈ X, e X − {x1, x2, x3, . . . , xk}

não é vazio qualquer que seja k ∈ N, pois caso contrário existiria uma bijeção entre este conjunto e Nk. Logo existe xk+1 em X − {x1, x2, x3, . . . , xk} e, assim existe uma

sequência {xn}n∈N de elementos distintos em X. Assim podemos denir a seguinte

fun-ção f : X → X − {x1} dada por f(xk) = xk+1. O conjunto X − x1 é um subconjunto

próprio de X, e f(xk) = f (xn) ⇔ xk+1 = xn+1 ⇔ k = n. Além disso para todo xk+1

existe xk tal que f(xk) = xk+1. Logo f é uma função bijetora entre X e seu subconjunto

próprio X − {x1}. Assim temos que X é innito, o que contraria a hipótese que X é

nito. Portanto X = ∅ ou existe uma bijeção entre X e algum Nk.

(⇐) Se X = ∅, então X não possui nenhum subconjunto próprio e portanto X não pode ser innito. Se X 6= ∅ e existe uma função bijetora f : X → Nk, supondo por absurdo

22 3. Conjuntos nitos e innitos

que o conjunto X é innito, então teríamos que Nk também seria innito, contrariando o

lema anterior. Portanto o conjunto X é nito.

Teorema 3.11. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer tais que A ∪ B é innito. Então ao menos um dos dois conjuntos A ou B é innito.

Demonstração. Vamos supor por absurdo que os conjuntos A e B sejam ambos nitos. 1. Se A ∩ B = ∅.

Como supusemos que os conjuntos A e B são nitos, então pelo teorema anterior existem as seguintes funções bijetoras:

fA= A → Nk1 e fB = B → Nk2

Consideremos a seguinte função f : A ∪ B → Nk1+k2, dada por

f (x) = (

fA(x) , se x ∈ A

fB(x) + k1 , se x ∈ B

Mostremos que esta função é bijetora. (a) Injeção

De fato, sejam x, y ∈ A ∪ B.

i. Se x, y ∈ A, então f(x) = fA(x) e f(y) = fA(y). Logo f(x) = f(y) ⇒

fA(x) = fA(y) e x = y pois fA é injetora.

ii. Se x, y ∈ B a demonstração é análoga a do caso anterior.

iii. Se x ∈ A e y ∈ B, então f(x) ≤ k1, e f(y) > k1, portanto f(x) 6= f(y) se

x 6= y. (b) Sobrejeção

Seja w ∈ Nk1+k2.

i. Se w ≤ k1, então w ∈ Nk1, como fA é bijetora então existe a ∈ A tal que

f (a) = w. Portanto w = f(a).

ii. Se w > k1, então w = k1 + w com w ∈ Nk2 e, como fB é sobrejetora,

existe b ∈ B tal que fB(b) = w. Portanto f(b) = fB(b)+k1 = w +k1 = w.

2. Se A ∩ B 6= ∅, então temos que A ∪ B = A ∪ (B − A), e esta última reunião é disjunta. Como B −A ⊂ B e B é nito por hipótese, segue-se que B −A é também nito. Logo, pelo exposto acima, A ∪ B = A ∪ (B − A) é nito e portanto A ∪ B é nito.

3. Conjuntos nitos e innitos 23

Assim concluimos que se A e B forem ambos nitos, então A ∪ B é nito.

Exemplo 3.12. Os conjuntos numéricos N, Z, Q, R e C estudados anteriormente são conjuntos innitos.

Demonstração. Já foi provado no Teorema 2.2 que o conjunto N dos números naturais é innito. Para provarmos que o conjunto Z dos números inteiros é innito, consideremos a seguinte função f : Z → 2Z dada por f(x) = 2x (aqui 2Z indica o conjunto dos pares). Agora só resta vericarmos que esta função é bijetora. De fato, se f(x1) = f (x2) então

2x1 = 2x2 ⇔ x1 = x2. Além disso dado a ∈ 2Z, temos que a = 2b, para algum b ∈ Z,

portanto f(b) = 2b = a. Com isso provamos que esta função é bijetora, logo o conjunto dos números inteiros é innito. Mostraremos agora que Q é innito. Considere a seguinte função f : Q → Q ∩ (−1, 1), denida por f(x) = x

1 + |x|. Claramente se x for racional então f(x) também será racional e pertencerá ao intervalo (−1, 1). Por último precisamos mostrar que f é bijetora.

1. Injeção : Sejam x1, x2 ∈ Q.

(a) Se y1 < 0 e y2 < 0, sendo que y1 = −x1, x1 > 0 e y2 = −x2, x2 > 0 então

temos que f(x1) = f (x2) ⇒ −x1 | − x1| + 1 = −x2 | − x2| + 1 ⇒ − x2(x1 + 1) = −x1(x2+ 1) ⇒ − x2− x2x1 = −x1− x1x2 ⇒ − x2 = −x1 ⇒ y2 = y1.

(b) O caso x1 ≥ 0e x2 ≥ 0 é análogo ao caso anterior.

(c) Se x1 > 0 e x2 < 0 ou x1 < 0 e x2 > 0, então f(x1) 6= f (x2), pois têm sinais

contrários. (d) nalmente f−1_{(0) = 0.} 2. Sobrejeção Se a ∈ Q ∩ (−1, 1), Então se a > 0 e b = a a−1, f (b) = a. Se a ≤ 0 e b = a a+1, f (b) = a. Logo f(x) é sobrejetora.

Portanto temos que o conjunto dos «umeros racionais é innito.

Neste momento vamos mostrar que o conjunto dos números reais é também innito, e para tanto consideremos a função f : R → (−1, 1), denida como anteriormente por f (x) = x

1 + |x|. Claramente esta função é bijetora e portanto o conjunto dos números reais é innito.

E para terminarmos a demonstração falta mostrarmos que o conjunto dos números complexos é innito. Pela construção realizada anteriormente deste conjuntos, vimos que C = R × R, então pelo Teorema 3.8, o conjunto dos números complexos é innito.

24 3. Conjuntos nitos e innitos

3.1 Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis

Acabamos de mostrar que os conjuntos númericos que estudamos são todos innitos. Agora veremos outra propriedade segundo a qual podemos classicar estes conjuntos. Denição 3.13. Um conjunto X é enumerável quando X é equipotente a N. Um conjunto contável é um conjunto nito ou enumerável.

Em outras palavras se X é um conjunto enumerável então existe uma bijeção f : X → N. Se denotarmos

f (1) = x1, f (2) = x2, f (3) = x3, . . . , f (k) = xk, . . .

então X pode ser escrito do seguinte modo {x1, x2, x3, . . . , xk, . . . }. Com isso os elementos

de X podem ser ordenados pelo índice. Agora, em relação ao termo "contável", se o conjunto for nito é teoricamente possível contar seus elementos. Agora se o conjunto for enumerável, embora a contagem de fato de um conjunto enumerável seja impossível, o conjunto está em correspondência biunívica com os números que são utilizados para a contagem, que são os números naturais.

Teorema 3.14. Todo subconjunto innito de um conjunto enumerável, é também enu-merável.

Demonstração. Suponhamos que X é um conjunto enumerável e que Y é um subconjunto innito de X. Queremos provar que Y é enumerável.

Como X é enumerável, então existe uma função bijetora f : X → N, onde f(xn) = n

para todo n ∈ N e xn ∈ X. Queremos denir uma função bijetora g : Y → N. Seja n1

tal que xn1 ∈ Y e xn ∈ Y ⇒ n ≥ n1. Uma vez escolhidos xn1, xn2, xn3, . . . , xni−1 em Y ,

seja xni ∈ Y − {xn1, xn2, xn3, . . . , xni−1}, e tal que se xn ∈ {xn1, xn2, xn3, . . . , xni−1} então

n ≥ ni. Desta forma, Y = {xn1, xn2, xn3, . . . }. Dena g(y) = g(xnm) = m para m ∈ N.

Então temos que g é bijetora e Y é enumerável.

Teorema 3.15. Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é. Demonstração. Como Y é enumerável então existe uma bijeção g : Y → N. Agora consideremos a seguinte função composta h = g◦f de X em N. Como f e g são injetivas segue-se que h também é injetiva. Portanto h : X → h(X) ⊂ N é uma bijeção. Como h(X) ⊂ N , h(X) é enumerável e portanto X é enumerável.

Corolário 3.16. Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também é. Demonstração. Para cada y ∈ Y seja n o menor índice tal que xn ∈ X tal que

f (xn) = y. Isto dene uma função g : Y → N dada por g(y) = n para y ∈ Y . Então g

3.1. Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis 25

Corolário 3.17. Todo subconjunto de um conjunto contável é também contável.

Demonstração. Se X é um conjunto contável então ou ele é nito ou enumerável. Se for nito, então pelo Corolário 3.5 todo subconjunto de X é também nito, logo contável. Agora caso o conjunto X seja innito e enumerável, pelo teorema anterior qualquer seu subconjunto innito será enumerável e portanto contável.

Teorema 3.18. A união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável.

Demonstração. Sejam A e B dois conjuntos enumeráveis. Mostraremos que A ∪ B é enumerável nos dois seguintes casos:

1. Caso 1: A ∩ B = ∅

Temos por hipótese que A e B são enumeráveis, então existe uma função f : A → N bijetora. Também existe uma função bijetora g : N → Np, onde Np denota o

conjunto dos números naturais pares dada por g(n) = 2n para ∀ n ∈ N. Logo existe uma função injetora h1 = g◦f de A em Np. Por argumentação análoga, temos

que existe uma função k : B → N e l : N → Ni bijetoras tal que l(n) = 2n + 1.

Logo h2 = l◦k é uma função injetora de B em Ni.

Agora consideremos a seguinde função : F : (A ∪ B) → (Np ∪ Ni), dada por

f (x) = (

h1 se x ∈ A

h2 se x ∈ B

Esta função está bem denida pois A ∩ B = ∅ e como (Np ∪ Ni) = N é enumerável,

então A ∪ B também é enumerável. 2. Caso 2: A ∩ B 6= ∅

Seja C = A − B, um conjunto tal que A ∪ B = C ∪ B e C, B são dois conjuntos disjuntos por construção. Temos pela parte 1 que C ∪ B é enumerável, então A ∪ B também é enumerável pois A ∪ B = C ∪ B.

Corolário 3.19. Sejam A1, A2, A3, . . . , An. Então n

[

k=1

Ak

26 3. Conjuntos nitos e innitos

Demonstração. Utilizaremos o princípio da indução nita para mostrarmos este colorário. Pelo teorema anterior sabemos que o resultado é válido se n = 2, então vamos supor que seja válido para n = m − 1, ou seja, supomos que

m−1

[

k=1

Ak

é enumerável, e vamos mostar que a reunião de M conjuntos enumeráveis é enumerável. De fato, m [ k=1 Ak = m−1 [ k=1 Ak ∪ Am

mas como a união de dois conjuntos enumeráveis também é enumerável, temos que

m

[

k=1

Ak

é enumerável.

Teorema 3.20. O conjunto N × N é enumerável.

Demonstração. Considere a seguinte função f : N × N → N dada da seguinte forma f (j, k) = 2j₃k _{para (j, k) ∈ (N, N). Esta é uma função injetora, de modo que N × N}

é equipotente a f(N × N) ⊂ N. Como N × N é innito pelo Teorema 3.8, então f (N × N) também é . Logo temos que f (N × N) é enumerável e portanto N × N é enumerável.

Corolário 3.21. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável.

Demonstração. De fato, se X e Y são dois conjuntos enumeráveis então existem sobre-jeções f : N → X e g : N → Y , logo h : N × N → X × Y , dada por h(m, n) = (f (m), g(n)) é sobrejetiva. Como N × N é enumerável, temos que X × Y também é.

Exemplo 3.22. O conjunto dos números inteiros é enumerável

Demonstração. A demonstração consiste em considerar a seguinte função bijetora f : N → Z, dada por f (n) =    n − 1 2 ,se n mpar −n 2 ,se n par

3.1. Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis 27

Exemplo 3.23. O conjunto dos números racionais é enumerável.

Demonstração. Como visto na construção do conjunto dos números racionais, cada nú-mero racional é representado de maneira única como p/q, com p ∈ Z e q ∈ N na forma irredutível. Temos que o conjunto Q+(elementos positivos) é equipotente ao conjunto Q−

(elementos negativos), sendo que Q = Q+ ∪ {0} ∪ Q−.

Logo para mostrarmos que o conjunto Q é enumerável, é suciente mostrar que Q+ é

enumerável. Agora consideremos a seguinte função claramente bijetora f : Q+ → N × N,

dada por f(p/q) = (p, q). Temos então que Q+ é equipotente a f(Q+) ⊂ N × N. Como

o conjunto Q+ é um superconjunto de N que é um conjunto innito, então ele é innito e

f (Q+)é um subconjunto innito de N × N, que é um conjunto enumerável como provado

anteriormente. Portanto f(Q+) é enumerável e como f(Q+) é equipotente a Q+, então

Q+é enumerável e consequêntemente Q também é enumerável.

Teorema 3.24. O intervalo aberto ]0, 1[ de números reais é um conjunto não enumerável. Demonstração. Todos os números x entre 0 e 1 têm como expansão decimal a seguinte forma 0, x1x2x3. . ., ou seja, pode ser escrito como

∞

X

n=1

xn

10n = 0, x1x2x3. . . .

e representamos 0, 9 = 0, 89999 . . . porque temos que

∞

X

n=1

9

10n + 0.8 → 0.9.

Duas expansões decimais são x = 0, x1x2x3. . .e y = 0, y1y2y3. . . iguais se, e somente

se, xi = yi para todo i ∈ N. Assim, se para algum k-ésima casa decimal diferir, ou seja,

tivermos xk 6= yk então teremos que x 6= y.

Agora para provarmos que o intervalo ]0, 1[ não é enumerável, vamos supor por absurdo que seja. Então existe uma bijeção f :]0, 1[ → N. Assim, podemos ordenar os elementos do intervalo ]0, 1[ da seguinte maneira

f (1) = 0, a11a12a13. . . f (2) = 0, a21a22a23. . . f (3) = 0, a31a32a33. . . ... f (k) = 0, ak1ak2ak3. . . ... onde cada ajk ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9}.

28 3. Conjuntos nitos e innitos

Construiremos um número z ∈ ]0, 1[, que não pode ser encontrado na lista acima. Seja z = 0, z1z2z3. . . denido por zk = 3 se akk 6= 3 e zk = 1 se akk = 3 para cada

k _{∈ N. Temos que o número z está claramente entre 0 e 1, mas z 6= f(i) porque} zi 6= aii qualquer que seja i ∈ N. Desta forma, f não pode ser sobrejetora, o que é uma

contradição. Portanto o intervalo ]0, 1[ é não enumerável.

Exemplo 3.25. O conjunto dos números reais R é não enumerável.

Demonstração. Vamos supor por absurdo que o conjunto dos números reais seja enume-rável. Então pelo Teorema 3.14 temos que todo subconjunto innito de R é também enumerável, mas o intervalo ]0, 1[ ⊂ R é não enumerável como foi mostrado no teorema anterior. Portanto o conjunto dos números reais é não enumerável.

Exemplo 3.26. O conjunto dos números irracionais é não enumerável.

Demonstração. De fato, temos que R = Q ∪ (R − Q). Pelo Exemplo 3.23 temos que Q é enumerável. Se R−Q também fosse enumerável teríamos que R também seria enumerável, pois reunião de conjuntos enumeráveis é enumerável. Mas pelo exemplo anterior R é não enumerável. Portanto o conjunto dos números irracionais é não enumerável.

29

Capítulo 4

Números cardinais transnitos

No ínicio deste texto introduzimos o cardinal de um conjunto nito e um pouco da arit-mética cardinal. Agora iremos estender este conceito para tratarmos da cardinalidade de conjuntos innitos. Acabamos de ver no capítulo anterior que o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números reais são ambos innitos, então poderíamos esperar a princípio que os dois conjuntos tenham o mesmo "número de elementos", mas com o estudo de teoria dos conjuntos começamos ver que não é bem isso o que acontece. Por exemplo, o conjunto N é enumerável, ou seja, conseguimos ordenar seus elementos. Já o conjunto dos números reais é não enumerável, ou seja, não conseguimos ordenar seus elementos. Com isso percebemos que existem innitos com diferentes características. Será que há conjuntos innitos com número maior de elementos que outros conjuntos? Neste capítulo estudamos questões desta natureza.

Teorema 4.1. Card(N) < Card(R).

Demonstração. Temos que o conjunto N é um subconjunto de R então N é equipotente a um subconjunto de R, pois basta tomar a função identidade f(n) = n para ∀ n ∈ N. Logo Card(N) ≤ Card(R). Pela seção anterior sabemos que R é não enumerável, e como já foi provado que não existe bijeção entre conjunto enumerável e não enumerável, temos que Card(N) < Card(R).

Seguindo Georg Cantor, os símbolos ℵo e c têm sido usados para denotar,

respectiva-mente o número cardinal de um conjunto enumerável e o número cardinal do continuum ou cardinal do contínuo, ou seja, ℵ0 = card(N) e c = card(R).

Teorema 4.2. Seja x1 um elemento qualquer de R e seja X = R − {x1}. Então

Card(R) = Card(X).

Demonstração. Seja Card(R) = c e Card({x1}) = 1. Como já foi provado, o conjunto

dos números reais é innito. Então pelo Teorema 1.3 temos que Card(R) = Card(R) + 1, logo Card(R) = Card(R) − 1. Portanto Card(X) = Card(R) − 1 = Card(R) = c.

30 4. Números cardinais transnitos

Corolário 4.3. Considere os conjuntos R e X = {x1, x2, x3, . . . , xn}, e seja Y = R − X.

Então Card(Y ) = Card(R).

Demonstração. Vamos mostrar por indução nita que, sendo Card(R) = c, então Card(Y ) = c.

Temos pelo teorema anterior que o resultado é válido para n = 1. Agora vamos supor que seja válido para n = m e vamos mostrar que vale para n = m + 1. Assim, seja A = R − {x1, x2, . . . , xn} e suponhamos que Card(A) = c.

Seja X = {x1, x2, . . . , xn, xn+1} = {x1, x2, . . . , xn} ∪ {xn+1}. Então Y = R − X =

A − {xn+1}, e pelo teorema anterior temos que Card(Y ) = c.

Denição 4.4. Denimos o conjunto de partes do conjunto A, como o conjunto de todos os subconjuntos de A e denotamos por ℘(A)

Teorema 4.5. Seja A um conjunto, então 2Card(A) _{= Card(℘(A))}.

Demonstração. Seja B = {0, 1}, Card(B) = 2, e consideremos o conjunto BA _{= {f,} tal

quef : A → B}. Por denição, Card(BA_{) = 2}card(A). Para cada X ⊂ A consideremos

a seguinte função característica fX

fX(a) =

(

0 se a ∈ X 1 se a ∈ A − X

Então consideremos agora a função g de ℘(A) em BA que associa a cada subconjunto

X de A a função fX. Se X e Y são subconjuntos de A tais que g(X) = g(Y ) então

fX = fY e, portanto X = Y pois, caso contrário haveria algum elemento w ∈ X − Y

tal que fX(w) = 0 6= 1 = fY(w). Ou haveria algum elemento w ∈ Y − X tal que

fY(w) = 0 6= 1 = fX(w). Para nalizarmos a prova resta mostrar que a função g é

sobrejetora. De fato, dado qualquer função ϕ ∈ BA_{, seja X ⊂ A o subconjunto dado}

pela imagem inversa de {1}, X = ϕ−1_{{1}. Então ϕ = f}

X = g(X) e podemos concluir que

g é sobrejetora. Portanto 2Card(A)_{= Card(℘(A)).}

Teorema 4.6. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Se Card(A) = Card(B) então Card(℘(A)) = Card(℘(B)).

Demonstração. Se Card(A) = Card(B), então existe uma bijeção f : A → B. Seja g : ℘(A) → ℘(B) dada por g(X) = f(X) (a imagem do conjunto X pela função f). Vamos mostrar que g é bijetora.

1. Injeção

Se g(X) = g(Y ) então f(X) = f(Y ) como conjuntos. Daí como f é bijetora, X = f−1(f (X)) = f−1(f (Y )) = Y.

4. Números cardinais transnitos 31

2. Sobrejeção

Seja Y ∈ ℘(B) e consideremos a imagem inversa de Y f−1_{(Y ) ∈ ℘(A). Então}

g(f−1(Y )) = f (f−1(Y )) = Y pois f é bijetora. Portanto g : ℘(A) → ℘(B) é bijetora.

Teorema 4.7. Card(℘(N)) = Card(2N_{) = Card(R).}

Demonstração. Mostraremos que Card(R) ≤ Card(℘(N)) e também Card(2N_{) ≤}

Card(R) e utilizaremos a seguinte propriedade de números cardinais : para todo número cardinal x, y, temos

x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y.

1. Consideremos a função f : R → ℘(Q) denida por f(a) = {x ∈ Q : x < a} para cada a ∈ R. Sejam a, b ∈ R, a 6= b. Temos que existe um número racional r tal que a < r < b, logo r ∈ f(b) mas r 6∈ f(a) e, portanto, f é injetora. Logo temos que Card(R) ≤ Card(℘(Q)), pelo Teorema 4.6 temos que Card(℘(Q)) = Card(℘(N)). Portanto Card(R) ≤ Card(℘(N)).

2. Seja g : {0, 1}N _{→ R , denida por g(f) = 0, f(1)f(2)f(3)f(4) . . .. Como a imagem}

da f é {0, 1}, então 0 ≤ g(f) ≤ 0, 2 qualquer que seja f ∈ {0, 1}N_.

Suponha que, para f, g ∈ {0, 1}N, g(f) = g(h). Então temos que

0, f (1)f (2)f (3)f (4) . . . = 0, h(1)h(2)h(3)h(4) . . . ⇔ f (n) = h(n) para ∀ n ∈ N, logo as funções f e g são iguais. Portanto Card(R) ≥ Card(℘(N)).

Assim podemos concluir que Card(℘(N)) = Card(2N_{) = Card(R).}

Teorema 4.8. Se Card(R) = c, então cc = c.

Demonstração. Como já foi provado, existe um bijeção entre o conjunto dos números reais e o intervalo aberto unitário ]0, 1[, então eles têm o mesmo número cardinal c. Para mostrar que cc = c, é suciente mostrar que existe uma injeção do produto cartesiano ]0, 1[ × ]0, 1[no intervalo ]0, 1[. Para este propósito, usaremos o fato de que cada x ∈ ]0, 1[ é representado por sua expansão decimal innita, de forma que, por exemplo, o número

1

2 será 0, 4999 . . . mas não 0,5. Deste modo, teremos uma única expressão para cada

número em ]0, 1[. Seja f :]0, 1[ × ]0, 1[ → ]0, 1[, dada por f(0, x1x2x3. . . , 0, y1y2y3. . .) =

0, x1y1x2y2. . .. Claramente esta função é injetora e portanto cc ≤ c. Agora resta mostrar

que cc ≥ c. Considere a seguinte função g :]0, 1[ → ]0, 1[ × ]0, 1[ dada por g(x) = (x, 1/2). Se g(x1) = g(x2) ⇒ (x1, 1/2) = (x2, 1/2) ⇒ x1 = x2. Portanto temos que cc = c.

32 4. Números cardinais transnitos

Demonstração. Para provarmos este corolário vamos utilizar indução matemática.

Para n = 2, temos pelo teorema anterior que Card(R × R) = Card(R) = c. Agora vamos supor que Card(Rn−1

) = Card(R) = c. Temos que Card(Rn) = Card(Rn−1×R) = Card(Rn−1_{) · Card(R) = Card(R) · Card(R) = Card(R) = c.}

Teorema 4.10. Se A é um subconjunto enumerável de B e Card(B) = c, então Card(B− A) = c.

Demonstração. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que B = R × R. Seja P = {x ∈ R : (x, y) ∈ A para algum y ∈ R}. Claramente Card(P ) ≤ Card(A). Como A é enumerável, então Card(A) = ℵ0 e temos que Card(P ) ≤ ℵ0. Assim, existe

x0 ∈ R tal que x0 6∈ P. Logo X = {x0} × R é disjunto de A, ou seja, está contido

em (R × R) − A. Além disso temos que Card(X) = Card(R), de onde concluímos que c ≤ Card((R × R) − A). Portanto Card(B − A) = c.

Analisando os resultados acima expostos percebemos que a cardinalidade de Rn _{é a}

mesma cardinalidade do intervalo aberto unitário ]0, 1[, o que é muito intrigante pois um "pequeno pedaço" da reta tem a mesma "quantidade de elementos" de todo o espaço. Assim, a princípio parece um pouco ímpossivel existir algum conjunto que tenha cardina-lidade maior que a de Rn_{, mas Georg Cantor provou que podem existir innitos cardinais}

transnitos, muito maiores que a cardinalidade do conjunto dos números reais. Teorema 4.11. Teorema de Cantor

Se X é um conjunto então Card(X) < Card(℘(X))

Demonstração. Se X = ∅ então Card(X) = 0 e temos que ℘(X) = {∅}, ou seja, Card(℘(X)) = 1, logo Card(X) < Card(℘(X).

Agora resta provar o caso em que X 6= ∅. Então consideremos a função g : X → ℘(X) dada por g(x) = {x} que é claramente injetora. Logo, concluimos que o conjunto X é equipotente ao subconjunto {{x}|x ∈ X} de ℘(X), ou seja, existe uma bijeção de X em um subconjunto de ℘(X) e então temos que Card(X) ≤ Card(℘(X)). A partir disto, para mostrar que Card(X) < Card(℘(X)), é suciente mostrar que X não é equipotente a ℘(X).

Então vamos supor por absurdo que exista uma função bijetora f de X em ℘(X). Seja S = {x ∈ X : x 6∈ f (x)}, que consiste daqueles elementos de X que não estão em suas imagens sob f. Como claramente S ∈ ℘(X) existe um elemento e ∈ X tal que f (e) = S. Então ou e ∈ S ou e 6∈ S.

1. Se e ∈ S segue da denição de S, que e 6∈ f(e). Mas isto é impossível, pois f (e) = S.

2. Se e 6∈ S como f(e) = S, temos que e 6∈ f(e). Consequentemente, pela denição de S, e ∈ S e portanto e ∈ f(e). Isto é novamente impossível.

4. Números cardinais transnitos 33

O resultado importante que este teorema nos trás, é o de que é possível construir uma longa sequência de novos números cardinais transnitos. Por exemplo, temos

35

Capítulo 5

Apêndice

Neste capítulo apresentamos brevemente algumas noções topológicas elementares e, como referência, indicamos [2, 3].

5.1 Algumas noções topológicas

Denição 5.1. Dizemos que um ponto a é aderente a um conjunto X⊂ R quando a é limite de alguma sequência de pontos xn∈ X.

Teorema 5.2. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X.

Demonstração. ⇒) Seja a aderente a X. Então pela denição anterior a = lim xn, onde

xn∈ Xpara todo n ∈ N. Dada uma vizinhança V qualquer com a ∈ V temos xn∈ V para

todo n suciente grande (pela denição de limite), logo temos V ∩ X6= ∅. ⇐) Se toda vizinhança de a contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo (a −1

n, a + 1 n), n ∈ N, um ponto xn∈ X. Então |xn− a| <

1

n, logo limxn= a e a é aderente a X. Denição 5.3. Dizemos que o fecho de um conjunto X é o conjunto X formado por todos os pontos aderentes a X.

Denição 5.4. Um conjunto X é fechado quando X = X, ou seja, quando todos os pontos aderentes a X pertencem ao próprio X.

Denição 5.5. Sejam X, Y tais que X⊂ Y . Dizemos que o conjunto X é denso no conjunto Y quando Y ⊂ X, ou seja, quando todo b ∈ Y é aderente a X.

Por exemplo, temos que Q é denso em R, pois os números reais estão contidos no fecho dos números racionais, que é o próprio conjunto dos números reais.

Denição 5.6. Dizemos que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente de a, ou seja, para todo ε > 0 dado, tem-se (a − ε, a + ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅. Indicamos com X0 _{o conjunto dos pontos de}

36 5. Apêndice

Denição 5.7. Se a não é ponto de acumulação de X, dizemos que a é um ponto isolado de X, ou seja, existe ε > 0 tal que a é o único ponto de X no intervalo (a − ε, a + ε). Denição 5.8. Quando todos os pontos de um conjunto X forem isolados, X será cha-mado de um conjunto discreto.

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Referências Bibliográcas

[1] GODEMENT, R. Course d'Algébre, Hermann, Paris - 1963

[2] LIMA, E. L. Curso de Análise, vol.1, Rio de Janeiro - IMPA, 1978, 47p.

[3] LIMA, E. L. Análise Real - Funções de uma variável, vol.1, Rio de Janeiro - IMPA, 2008, 49p.

[4] MONTEIRO, L.H. Jacy, Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro, Ao livro Técnico, 1969, 167p.

[5] LIN, S.T. e Lin, Y.F. Set Theory: An Intuitive Approach, Houghton Miin Company, Boston, 1974.

[6] JECH, T. e HRBACEK, K. Introduction to Set Theory, 1984.