Minicurso Colóquio de Matemática da Região Sudeste

(1)

Minicurso

Col´

oquio de Matem´

atica da Regi˜

ao Sudeste

Comitˆ

e Cient´ıfico

Prof. Dr. C´ıcero Fernandes de Carvalho (UFU) Prof. Dr. Jos´e Mar´ıa Espinar Garcia (IMPA)

Prof. Dr. Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior (UFSCar) Profa. Dra. Marcela Vilela de Souza (UFTM-SBM) Prof. Dr. Marcos Benevenuto Jardim (UNICAMP) Prof. Dr. M´ario Jorge Dias Carneiro (UFMG) Prof. Dr. Ruy Exel Filho (UFSC)

Esta é mais uma publica¸cão da Sociedade Brasileira de Matemática para os minicursos ministrados nos Colóquios.

Veja outras publica¸c˜oes da SBM, na livraria virtual que se encontra na p´aginahttp://www.loja.sbm.org.br/.

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(3)

Coordenadas Baricˆ

entricas:

Uma Introdu¸

c˜

ao com ˆ

Enfase na Geometria

Moderna do Triˆ

angulo

Humerto Jos´

e Bortolossi

[email protected]ﬀ.br

Departamento de Matem´atica Aplicada Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica

Universidade Federal Fluminense

Jos´

e Osorio de Figueiredo

ﬁ[email protected]

Programa de Especializa¸cão em Matemática Instituto de Matemática e Estat´ıstica

Universidade Federal Fluminense

VERS ˜AO 1.0 2 de fevereiro de 2017

Por favor, envie suas sugestões, corre¸cões e cr´ıticas para [email protected]ff.br e fi[email protected].

Sociedade Brasileira de Matem´atica

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Se a única ferramenta que você tem é um martelo, é tentador tratar tudo como se fosse prego. Abraham H. Maslow (1966)

(7)

Conte´

udo

Pref´acio 11

1 Segmento orientado e ´area com sinal de um triˆangulo 15

1.1 Segmento orientado . . . 15

1.2 Divis˜ao de um segmento orientado em uma dada raz˜ao . . . . 17

1.3 Divis˜ao harmˆonica . . . 20

1.4 Area com sinal de triˆ´ angulo . . . 21

1.5 Raz˜oes de segmentos orientados e ´areas com sinal . . . 28

1.6 Teorema do co-lado . . . 29

1.7 Teorema de Ceva . . . 31

1.8 Concorrˆencia de algumas retas especiais no triˆangulo . . . 32

1.9 Exerc´ıcios . . . 38

2 Coordenadas baricêntricas 39 2.1 Defini¸cão de coordenadas baricêntricas . . . 40

2.2 Areas com sinal e condi¸c˜´ ao de alinhamento de trˆes pontos . . 41

2.3 Rela¸cão entre coordenadas baricêntricas e áreas com sinal . . 44

2.4 Os teoremas de Menelau, van Aubel e Routh . . . 49

2.5 Coordenadas baricˆentricas na forma absoluta . . . 58

2.6 Ponto no inﬁnito . . . 60

2.7 Opera¸c˜oes com coordenadas baricˆentricas . . . 60

2.8 Pontos com coordenadas baricˆentricas balanceadas . . . 62

2.9 Coordenadas baricˆentricas de pontos divisores . . . 62

2.10 Coordenadas baricˆentricas e cevianas . . . 65

3 Nota¸cão de Conway e equa¸cões de reta em coordenadas ba-ricêntricas 75 3.1 Nota¸cão de Conway . . . 75

3.2 Equa¸c˜oes de reta em coordenadas baricˆentricas . . . 78 7

(8)

3.3 Equa¸c˜ao da reta passando por dois pontos . . . 79

3.4 Ponto no inﬁnito de uma reta . . . 81

3.5 Retas paralelas em coordenadas baricˆentricas . . . 83

3.6 Interse¸c˜ao de duas retas . . . 84

3.7 Concorrˆencia de trˆes retas . . . 85

3.8 Retas perpendiculares em coordenadas baricˆentricas . . . 85

3.9 Equa¸c˜ao da reta dado um ponto e uma perpendicular . . . . 88

3.10 Dualidade . . . 89

3.11 Distˆancia entre dois pontos . . . 89

4 Duas aplica¸cões de coordenadas baricêntricas em computa¸cão gráfica 95 4.1 Ray tracing em computa¸c˜ao gráfica . . . 95

4.2 Interpola¸cão baricêntrica em computa¸cão gráfica . . . 97 A Um modelo para pontos no infinito usando coordenadas

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(10)

(11)

Pref´

acio

No colégio estudamos o triângulo e aprendemos que existem muitas pro-priedades que são invariantes, isto é, independem da posi¸cão e do formato do triângulo. Por exemplo, as três medianas de um triˆangulo sempre se in-terceptam em um ponto, o baricentro do triˆangulo. Outros pontos notáveis: o incentro (interse¸cão das bissetrizes internas), o circuncentro (interse¸cão das mediatrizes) e o ortocentro (interse¸cão das alturas), todos já conhecidos desde a Grécia Antiga.

A geometria do triângulo é bastante rica e vai muito além do que se é costumeiramente ensinado na Escola Básica: a geometria euclidiana clássica e, em particular, a geometria do triângulo ainda é tema de estudos com periódicos dedicados ao assunto (ver, por exemplo, o peri´odico Forum

Ge-ometricorum <http://forumgeom.fau.edu/>, indexado pelo Mathematical Reviews).

Neste contexto contemporˆaneo, destaca-se a Encyclopedia of Triangle

Centers (ETC) (<http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/>), um

catálogo elaborado por Clark Kimberling com mais de 6000 centros espe-ciais do triângulo (a figura a seguir, gerada com o GeoGebra, exibe alguns destes centros).

(12)

Em ETC, cada centro é descrito através de suas coordenadas baricˆ en-tricas. Este tipo de coordenadas foi apresentado pelo matemático alemão August Ferdinand Möbius (1790-1868) em 1827 ([Möbius, 1827]) para tra-tar de propriedades projetivas e afins de figuras bidimensionais e tridi-mensionais (o leitor interessado pode consultar os livros [Crowe, 1967] e [Fauvel et al., 1993] para saber mais sobre este trabalho de Möbius). Como veremos, elas possuem propriedades muito convenientes.

Coordenadas baricêntricas estão intimamente ligadas ao conceito de área. De fato, é poss´ıvel construir todo um sistema axiomático para a geometria usando-se áreas. O método da área tradicional é muito antigo. A demons-tra¸cão de Euclides para o teorema de Pitágoras, por exemplo, faz o uso de áreas. De maneira curiosa, o emprego de áreas para se resolver pro-blemas em geometria não é um hábito ocidental como é, por exemplo, na China: as ferramentas t´ıpicas que estamos acostumados a usar são seme-lhan¸ca de triângulos em geometria sintética e geometria anal´ıtica usual no plano. Contudo, no caso de semelhan¸ca de trângulos, em muitos casos, não fica evidente quais triângulos considerar e, para que isto aconte¸ca, cons-tru¸cões não-intuitivas de retas auxiliares são necessárias. O emprego de coordenadas cartesianas, por sua vez, recai em expressões que, em geral, não são invariantes por transforma¸cões afins, dificultando a análise de pro-priedades intr´ınsecas. As coordenadas baricêntricas (que também podem ser consideradas como um tipo especial de geometria anal´ıtica) oferecem uma terceira técnica, mais eficaz, que evita as dificuldades mencionadas. O propósito deste trabalho é, portanto, apresentar um texto introdutório sobre o assunto, com ênfase no estudo da geometria do triângulo. No texto apresentamos o estudo de pontos e retas em coordenadas baricêntricas. Para o leitor interessado em continuar os seus estudos com c´ırculos e cônicas, re-comendamos [Yiu, 2013].

Niter´oi, 18 de fevereiro de 2015.

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Cap´ıtulo 1

Segmento orientado e ´

area

com sinal de um triˆ

angulo

A primeira grande ideia da teoria que vamos desenvolver consiste em se considerar medidas com sinal. Como veremos neste cap´ıtulo, este tipo de medida tem algumas vantagens com rela¸cão às suas irmãs euclidianas que nos serão muito úteis.

1.1 Segmento orientado

Defini¸c˜ao 1.1 (Segmento orientado) Um segmento orientado ´e um segmento de reta ao qual se atribui uma escolha para as extre-midades inicial e ﬁnal do segmento. Usaremos a nota¸c˜ao AB para designar o segmento orientado cuja extremidade inicial ´e o ponto A e cuja extremidade ﬁnal ´e o ponto B.

Naturalmente, se A e B s˜ao pontos distintos de uma reta, o segmento orientado AB é diferente do segmento orientado BA e tamb´em o são as suas medidas, definidas a seguir.

Defini¸c˜ao 1.2 (Medida de segmento orientado) A medida com

sinal de um segmento orientado AB que, por abuso de linguagem,

também ser´a denotada por AB, é definida da seguinte maneira: se A e B são dois pontos de uma reta orientada , ent˜ao

(16)

AB =

ß

+|AB|, se AB tem a mesma orienta¸c˜ao da reta ,

−|AB|, caso contr´ario,

onde|AB| representa a medida euclidiana do segmento de reta com extremidades A e B.

Sejam a e b as coordenadas cartesianas dos pontos A e B sobre uma reta orientada .

a b

A B

Sabemos da geometria anal´ıtica que a medida euclidiana do segmento de reta é dada pela expressão|AB| = | b − a|. Na sequência, mostraremos qual ´

e a express˜ao da medida com sinal de AB, em fun¸c˜ao de a e b.

(1) Se AB e tˆem a mesma orienta¸c˜ao (b− a > 0), sua medida ser´a

AB = +|AB| = |b − a| = b − a.

(2) Se AB e tˆem orienta¸c˜oes contr´arias (b− a < 0), sua medida ser´a

AB =−|AB| = −|b − a| = −(−(b − a)) = b − a.

Portanto, AB = b− a. Note assim que, ao contrário da medida euclidiana, a medida de um segmento orientado é uma fun¸cão polinomial das coorde-nadas cartesianas dos pontos.

Proposi¸c˜ao 1.1 Sejam A, B e C trˆes pontos colineares. Ent˜ao, (1) AB + BA = 0. Em particular, AB =−BA.

(2) AB = 0 se, e somente se, A = B. (3) AC + CB = AB.

Demonstra¸c˜ao. Sejam a, b e c as coordenadas cartesianas dos pontos A, B

e C. Ent˜ao:

(1) AB + BA = b− a + a − b = 0.

(2) AB = 0⇔ b − a = 0 ⇔ a = b ⇔ A = B. (3) AC + CB = c− a + b − c = b − a = AB.

(17)

1.2. DIVIS ˜AO DE UM SEGMENTO ORIENTADO EM UMA DADA RAZ ˜AO 17

Observe que o Item (3) da Proposi¸cão 1.1 é válido independentemente da posi¸c˜ao de C: este pode estar entre A e B, estar à direita de A e B ou `a esquerda de A e B. A express˜ao é sempre a mesma. Entretanto, no caso de medidas euclidianas, é preciso considerar 3 casos que resultam em expressões diferentes:

(1) Para o ponto C entre A e B, vale que|AC| + |CB| = |AB|.

a b

A C B

(2) Para o ponto C `a direita de A e B, vale que|AC| − |CB| = |AB|.

a b

A B C

(3) Para o ponto C `a esquerda de A e B, vale que−|AC|+|CB| = |AB|.

a b

A B

C

1.2 Divis˜

ao de um segmento orientado em uma

dada raz˜

ao

Defini¸c˜ao 1.3 (Ponto divisor de um segmento orientado) Se-jam A, B e P pontos de uma reta orientada com A e B distintos e seja k um n´umero real com k= −1. Dizemos que um ponto P = B

divide AB na raz˜ao k se

AP P B = k.

Observe que se A= B, ent˜ao k tem que ser obrigatoriamente diferente de −1 pois, caso contr´ario, AP = −P B, de modo que AP + P B = 0 e, sendo assim, AB = AP + P B = 0 e, portanto, A = B, uma contradi¸c˜ao.

Observe tamb´em que a propriedade de um ponto P dividir um segmento orientado na raz˜ao k independe das coordenadas escolhidas para a reta . De fato: se a, p e b s˜ao, respectivamente, as coordenadas de A, P e B com rela¸c˜ao a um determinado sistema de coordenadas para a reta e se a, pe

b s˜ao, respectivamente, as coordenadas de A, P e B com rela¸c˜ao a um outro sistema de coordenadas para a reta , ent˜ao existem constantes λ= 0 e μ tais que a = λ·a+μ, p= λ·p+μ e b= λ·b+μ. Desta maneira, se a raz˜ao

(18)

AP /P B ´e igual a k no primeiro sistema de coordenadas, ela continua sendo igual a k no segundo sistema de coordenadas.

Segue-se da deﬁni¸c˜ao que: (1) k = 0⇔ AP = 0 ⇔ A = P .

(2) k = 1⇔ AP = P B ⇔ P ´e o ponto m´edio de AB. (3) |k| → ∞ ⇔ P B → 0 ⇔ P → B.

Na sequˆencia, para mostrar a unicidade do ponto divisor, mister se faz conhecer o lema seguinte envolvendo quatro pontos colineares.

Lema 1.1 Se A, B, C e D s˜ao pontos colineares, ent˜ao

AB· CD + AC · DB + AD · BC = 0.

Demonstra¸c˜ao. Fazendo t = AB· CD + AC · DB + AD · BC, temos que: t = AB· CD + AC ·DA + AB+ AD·BA + AC

= AB· CD + AC ·−AD + AB+ AD·−AB + AC = AB· CD −AC· AD + AC · AB − AD · AB + AD· AC

= AB· CD + AC · AB + DA · AB

= AB· (CD + DA + AC) = AB · CC = AB · 0 = 0,

o que demonstra o resultado.

Proposi¸c˜ao 1.2 (Unicidade do ponto divisor) Sejam A e B pontos distintos do plano. Dois pontos C e D da reta AB (com C= B e D= B) dividem AB na mesma raz˜ao se, e somente se, C = D. De outra maneira, escrevemos

AC CB =

AD

DB ⇔ C = D . Demonstra¸c˜ao. Note que

AC CB =

AD

DB ⇔ AC · DB = AD · CB ⇔ AC · DB − AD · CB = 0 ⇔ AC · DB + AD · BC = 0.

Como A, B, C e D s˜ao pontos colineares, segue-se da´ı e do Lema 1.1 que

AB· CD +

0

(19)

1.2. DIVIS ˜AO DE UM SEGMENTO ORIENTADO EM UMA DADA RAZ ˜AO 19

Entretanto, por hip´otese, A= B, isto ´e, AB = 0. Assim, CD = 0, o que ﬁnalmente implica em C = D. A rec´ıproca ´e imediata.

Proposi¸c˜ao 1.3 (Existˆencia do Ponto Divisor) Sejam A e B pontos distintos do plano e k um n´umero real, com k= −1.

(1) Se k > 0, ent˜ao existe um ´unico ponto P da reta AB situado entre A e B que divide AB nessa raz˜ao. Neste caso, denominamos o ponto P de divisor interno do segmento AB.

(2) Se k < 0, ent˜ao existe um ´unico ponto P da reta AB n˜ao situado entre A e B que divide AB nessa raz˜ao. Neste caso, denominamos o ponto P de divisor externo do segmento AB.

(3) Se k = 0, ent˜ao P = A ´e o ´unico ponto da reta AB que divide AB nessa raz˜ao.

Demonstra¸c˜ao. Escolhendo um sistema de coordenadas onde A tem

coor-denada 0 e B tem coorcoor-denada 1, temos estabelecida uma orienta¸c˜ao para a reta que passa por A e B. Supondo k = −1 e P o ponto de coordenada

p = k/(1 + k), temos: AP P B = p− a b− p = k/(1 + k)− 0 1− k/(1 + k) = k/(1 + k) 1/(1 + k) = k.

Assim, exibimos um ponto P que divide AB na razão k. Considere agora o gráfico da fun¸c˜ao p = f (k) = k/(1 + k) = 1−1/(1+ k), mostrado a seguir.

0 1 p

k -1

Note, pelo gr´afico, que (1) se k > 0, então 0 < p < 1 e, portanto, P est´a entre A e B; (2) se k < 0, então p < 0 ou p > 1 e, portanto, P n˜ao está entre A e B; (3) se k = 0, então p = 0 e, portanto, P = A.

(20)

A unicidade do ponto divisor P , mostrada na Proposi¸c˜ao 1.2, pode tamb´em ser deduzida da unicidade do n´umero real p, coordenada de P .

Perceba que, conhecida a raz˜ao AP /P B, fica definida a posi¸c˜ao do ponto P sobre a reta AB. Reciprocamente, conhecida a posi¸cão do ponto P sobre uma reta AB, fica definida a raz˜ao que esse ponto divide o seg-mento AB. Logo, cada ponto passa a ser representado e identificado por sua raz˜ao. Vejamos um exemplo: na figura a seguir, os lados AB, AC e BC do triˆangulo ΔABC est˜ao divididos em 2, 4 e 8 partes iguais, respectivamente. Como s˜ao identificados os pontos X, Y e Z marcados na figura em termos de pontos divisores?

A

B _X C

Y Z

X ´e o ponto que divide o lado BC na raz˜ao r = BX

XC =

3 5 .

Y ´e o ponto que divide o lado CA na raz˜ao s = CY

Y A =

3 1 = 3.

Z ´e o ponto que divide o lado AB na raz˜ao t = AZ

ZB =

1 1 = 1. Observe que, por exemplo, enquanto X é o ponto que divide o lado BC na raz˜ao 3/5, ele divide o lado CB na razão 5/3. Do mesmo modo, Y divide o lado AC na razão 1/3 e Z divide o lado BA na raz˜ao 1.

1.3 Divis˜

ao harmˆ

onica

Com base nos resultados anteriores podemos afirmar que se A e B s˜ao pontos distintos de uma reta e k ´e um número real diferente de −1 e 1, ent˜ao existem exatamente dois pontos M e N pertencentes à reta que dividem o segmento AB nas razões k e−k, ou seja, M e N são tais que

AM M B = k e AN N B =−k e, em particular, AM M B =− AN N B.

Perceba ainda que

(1) Se k = 0, ent˜ao A = M = N .

(2) Se k > 0, então M é divisor interno e N é divisor externo de AB. (3) Se k < 0, então M é divisor externo e N é divisor interno de AB.

(21)

1.4. ´AREA COM SINAL DE TRI ˆANGULO 21

Defini¸cão 1.4 (Divis˜ao harmônica)Sejam A, B, M e N pontos colineares e seja k = ±1. Se M divide AB na razão k e N divide

AB na raz˜ao −k, dizemos que M e N dividem harmonicamente o segmento AB. Em outras palavras, dizemos que M e N dividem harmonicamente o segmento AB se

AM M B =−

AN N B.

Os pontos M e N são denominados divisores harmônicos ou conjuga-dos harmônicos com rela¸cão ao segmento orientado AB.

Exemplo 1.1 Considere os pontos A, B, M e N como na ﬁgura abaixo.

A M B N

12 8 40

(1) M divide AB na razão k = AM /M B = 12/8 = 3/2. N divide AB na raz˜ao k = AN /N B = 60/(−40) = −3/2. Da´ı, M e N são conjugados harmônicos com rela¸c˜ao ao segmento AB.

(2) A divide M N na raz˜ao k = M A/AN = −12/60 = −1/5. B divide

M N na raz˜ao k = M B/BN = 8/40 = 1/5. Da´ı, A e B s˜ao conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao ao segmento M N .

Observa¸c˜ao 1.1 No exemplo anterior vimos que M e N s˜ao conjuga-dos harmˆonicos de AB e, reciprocamente, A e B s˜ao tamb´em conjugados harmˆonicos de M N . Este resultado ´e, de fato, v´alido em geral: se M e N

são conjugados harmônicos com rela¸cão ao segmento AB então, reciproca-mente, A e B são conjugados harmônicos com rela¸cão ao segmento M N .

Com efeito: se M e N s˜ao conjugados harmˆonicos com rela¸c˜ao ao segmento

AB, então AM /M B =−AN/NB e, assim, −MA/AN = −MB/(−BN), ou seja, M A/AN =−MB/BN, seguindo-se da´ı que A e B são conjugados harmônicos com rela¸c˜ao ao segmento M N .

1.4 Area com sinal de triˆ

´

angulo

Defini¸cão 1.5 ( ´Area com sinal de um triângulo) _{Sejam A, B} e C três pontos do plano. Definimos a área com sinal SABC como sendo

(22)

SABC = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, se A, B e C forem colineares, (triˆangulo degenerado) +∇ABC, se A, B e C est˜ao dispostos

no sentido anti-hor´ario,

−∇ABC, se A, B e C est˜ao dispostos

no sentido hor´ario,

onde ∇ABC representa a ´area convencional (euclidiana) de um triˆangulo ΔABC.

A B C h a + SABC = +∇ABC = +a· h 2 B a C A h

−

SABC =−∇ABC = −a· h 2

A ´area com sinal do triˆangulo possui duas propriedades importantes, que destacamos a seguir.

(1) (Propriedade da permuta¸cão) Segue-se da defini¸cão que

SABC = SBCA= SCAB=−SACB =−SCBA=−SBAC. (2) (Propriedade da decomposi¸c˜ao) Se ΔABC ´e um triˆangulo, um ponto P

no plano determina outros três subtriˆangulos ΔP BC, ΔP CA e ΔP AB. Com a no¸cão de áreas com sinal, podemos relacionar as áreas destes quatro triângulos por meio de uma única expressão:

SABC = SP BC+ SP CA+ SP AB. (1.1) Caso estivéssemos trabalhando com áreas convencionais, no caso da Fi-gura 1.1 onde P est´a no interior do triˆangulo ΔABC, tamb´em valeria a re-la¸cão∇ABC = ∇P BC +∇P CA+∇P AB. Caso contrário, dependendo da

(23)

B C

A

P

Figura 1.1: SABC = SP BC+ SP CA+ SP AB.

posi¸c˜ao do ponto P , seria necess´ario considerar as sete rela¸c˜oes poss´ıveis, como indicado na Figura 1.3 na p´agina 24.

Perceba que ao tomar P no interior do triângulo ΔABC, temos todas as áreas dos subtriângulos positivas e, assim, chamamos a região interior de (+ : + : +). Se considerarmos os pontos fora do triˆangulo ΔABC, teremos mais seis regiões para analisar, al´em dos pontos pertencentes aos lados BC,

CA e AB. A combinat´oria dos sinais ´e indicada na Figura 1.2.

B C A (+:+:+) (−:+:+) (+:−:+) (+:+:−) (−:+:−) (−:−:+) (+:−:−)

Figura 1.2: As 7 regi˜oes mostrando os sinais de SP BC, SP CAe SP AB. Perceba ainda que, conhecidas as áreas dos subtriângulos formados por um ponto, temos uma condi¸cão necessária e suficiente para afirmar que este ponto está no interior do triângulo, caso essas três áreas sejam todas positivas (ou todas negativas).

Na sequência, nosso objetivo ´e mostrar que se A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) são as coordenadas cartesianas de três pontos do plano, a ´area com sinal SABC é dada por

SABC =1 2 · D, ondeD = xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 .

(24)

B C A P B C A P ∇ABC=−∇P BC+∇P CA+∇P AB ∇ABC=−∇P BC−∇P CA+∇P AB

B C A P B C A P

∇ABC=+∇P BC−∇P CA+∇P AB ∇ABC=+∇P BC−∇P CA−∇P AB

B C A P B C A P

∇ABC=+∇P BC+∇P CA−∇P AB ∇ABC=−∇P BC+∇P CA−∇P AB

(25)

Para isso, antes, precisaremos demonstrar o seguinte resultado: Lema 1.2 Sejam A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) as coor-denadas cartesianas dos vértices de um triˆangulo ΔABC e sejam P = (xP, yP), Q = (xQ, yQ) e R = (xR, yR) as coordenadas cartesianas dos vértices do triˆangulo ΔP QR obtido por uma rota¸c˜ao seguida de uma transla¸cão dos v´ertices A, B e C. Sejam tamb´em

D = xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 e Df = xP yP 1 xQ yQ 1 xR yR 1 . Ent˜ao: (1) Df =D. (2) |D| = 2 · ∇ABC. (3) Se A, B e C s˜ao colineares, ent˜aoD = 0.

(4) Se A, B e C est˜ao dispostos no sentido anti-horário, entãoD > 0. (5) Se A, B e C est˜ao dispostos no sentido horário, entãoD < 0.

Demonstra¸c˜ao. Determinantes satisfazem as seguintes propriedades:

xA+ h yA+ k 1 xB+ h yB+ k 1 xC+ h yC+ k 1 = xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 . (P₁) mxA− nyA nxA+ myA 1 mxB− nyB nxB+ myB 1 mxC− nyC nxC+ myC 1 = (m2+ n2)· xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 . (P₂) (1) Sejam m = cos(θ) e n = sen(θ). Aplicando-se uma rota¸c˜ao Rθao ponto

A = (xA, yA), obtemos o ponto Rθ(A) = Å m −n n m ã Å xA yA ã = (mxA− nyA, nxA+ myA)

e, a partir da´ı, aplicando-se uma transla¸c˜ao ao ponto Rθ(A), chegamos ao ponto P = (xP, yP) = (mxA− nyA+ h, nxA+ myA+ k). Analoga-mente, obtemos Q = (xQ, yQ) = (mxB − nyB+ h, nxB+ myB+ k) e tamb´em temos R = (xR, yR) = (nxC−nyC+ h, nxC+ myC+ k). Assim,

Df = xP yP 1 xQ yQ 1 xR yR 1 = mxA− nyA+ h nxA+ myA+ k 1 mxB− nyB+ h nxB+ myB+ k 1 mxC− nyC+ h nxC+ myC+ k 1 .

(26)

Da´ı, de (P₁) e de (P₂), temos que Df = mxA− nyA nxA+ myA 1 mxB− nyB nxB+ myB 1 mxC− nyC nxC+ myC 1 = (m2+ n2)· xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 = (m2+ n2)· D. Como m2+ n2= cos2(θ) + sen2(θ) = 1, segue-se queDf =D.

(2) Na ﬁgura seguinte, aplicamos ao triˆangulo ΔABC uma rota¸c˜ao de ˆ

angulo −θ (onde θ é o ângulo entre a reta BC e o eixo horizontal) de forma que B e C fiquem sobre o eixo horizontal e, em seguida, apli-camos uma transla¸c˜ao levando B até O = (0, 0), C até R = (a, 0), com

a > 0 e A at´e P = (xP, yP), com yP =−h ou yP = +h, dependendo da orienta¸c˜ao do triˆangulo ΔABC.

Do Item (1), temos |D| = |Df| = 0 0 1 a 0 1 xP yP 1 = 0 0 1 a 0 1 xP h 1 =| ah | = 2 · ∇ABC. (3) Perceba que, quando A, B e C s˜ao colineares, temos h = 0 o que

acarretaD = 0.

(4) Perceba que, quando A est´a no semiplano hachurado, A, B e C ﬁcam dispostos no sentido anti-hor´ario e, neste caso, temos P = (xP, h) o que

(27)

(5) Perceba que, caso tom´assemos o v´ertice A no semiplano oposto, A,

B e C ﬁcariam dispostos no sentido hor´ario e, neste caso, ter´ıamos

P = (xP,−h) o que acarretaria D < 0.

Proposi¸c˜ao 1.4 Sejam A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) as coordenadas cartesianas de três pontos no plano. A área com si-nal SABC é dada por

SABC = 1 2· D = 1 2· xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 = 1 2· (xAyB+ xByC+ xCyA− xByA− xCyB− xAyC) .

Demonstra¸c˜ao. Para a demonstra¸c˜ao, vamos considerar trˆes casos.

(1) Para A, B e C colineares, temos pela deﬁni¸c˜ao de ´area com sinal que

SABC= 0 e pelo Lema 1.2 (3),D = 0 . Neste caso, vale que

SABC =1 2 · D.

(2) Para A, B e C dispostos no sentido anti-hor´ario, temos pela deﬁni¸c˜ao de ´area com sinal e pelo Lema 1.2 (2) que SABC = +∇ABC = |D|/2 e pelo Lema 1.2 (4),D > 0. Neste caso, como |D| = D, vale que

SABC =1 2 · D.

(3) Para A, B e C dispostos no sentido hor´ario, temos pela deﬁni¸c˜ao de ´

area com sinal e pelo Lema 1.2 (2) que SABC =−∇ABC = −|D|/2 e pelo Lema 1.2 (5),D < 0. Neste caso, como |D| = −D, vale que

SABC =−1

2 · (−D) = 1 2· D.

De (1), (2) e (3), quaisquer que sejam A, B e C, temos SABC =1 2 · D. Observa¸cão 1.2 Note que, com a Proposi¸c˜ao 1.4, é poss´ıvel demonstrar a Rela¸cão 1.1 (p. 22) diretamente, sem a necessidade de considerar separa-damente cada um dos oito casos das Figuras 1.1 e 1.3. De fato: verificar

(28)

a validade da Rela¸cão 1.1 é verificar se um polinômio nas duas vari´aveis xP e yP ´e identicamente nulo. Se o fizermos para xP e yP em um subconjunto aberto do plano, isto é, se demonstrarmos que este polinômio se anula em um conjunto aberto, concluiremos que ele se anula sempre, o que é o caso.

1.5 Raz˜

oes de segmentos orientados e ´

areas

com sinal

Proposi¸c˜ao 1.5 Sejam A, B e C trˆes pontos colineares, com B= C. Se P ´e um ponto que n˜ao pertence `a reta = AB, ent˜ao

SP AB SP BC = AB BC. A C P B h l

Figura 1.4: Uma rela¸cão entre razão de segmentos orientados e áreas com sinal.

Demonstra¸c˜ao. Considere o caso particular da Figura 1.4, com B entre A

e C e os triângulos ΔP AB e ΔP BC orientados no sentido anti-hor´ario. Tomando |AB| e |BC| como bases, os triângulos ΔP AB e ΔP BC têm a mesma altura h. Logo,

SP AB SP BC = ∇P AB ∇P BC = 1 2· |AB| · h 1 2 · |BC| · h = |AB| |BC| = AB BC.

Os demais casos (A entre B e C, C entre A e B, os triˆangulos orientados no sentido horário ou no sentido anti-horário) são tratados analogamente ou, se preferir, basta usar o argumento da Observa¸cão 1.2: um caso prova

(29)

1.6. TEOREMA DO CO-LADO 29

todos os demais.

O resultado da Proposi¸c˜ao 1.5 nos diz que, se A, B e C s˜ao três pontos colineares com B= C e P é um ponto que não pertence à reta = AB, então podemos substituir uma divisão de ´areas com sinal que envolve o ponto P por uma raz˜ao de medidas de segmentos orientados onde P n˜ao aparece, isto é, podemos usar a equa¸c˜ao para eliminar o ponto P daquela express˜ao. O resultado continua v´alido mesmo quando P n˜ao aparece no in´ıcio da expressão, ou seja,

SP AB SP BC = SABP SBCP = SBP A SCP B = AB BC .

1.6 Teorema do co-lado

Teorema 1.1 (O teorema do co-lado) Seja X o ponto de in-terse¸c˜ao das retas AP e BC. Se P n˜ao pertence `a reta BC e X = P , ent˜ao A B X C P _SSABC P BC = AX P X.

Figura 1.5: O teorema do co-lado.

Demonstra¸c˜ao. Vamos usar a Proposi¸c˜ao 1.5 trˆes vezes: (1) B, X e C s˜ao colineares e A n˜ao pertence `a reta BC, logo SABC/SABX = BC/BX; (2) A, P e X s˜ao colineares e B n˜ao pertence `a reta AP , logo SABX/SP BX=

AX/P X; (3) B, X e C s˜ao colineares e P n˜ao pertence `a reta BC, logo

SP BX/SP BC = BX/BC. Da´ı, SABC SP BC = SABC SABX · SABX SP BX · SP BX SP BC = BC BX · AX P X · BX BC = AX P X.

O teorema do co-lado nos diz que, se X ´e o ponto de interse¸c˜ao das retas

(30)

uma raz˜ao entre medidas de segmentos orientados envolvendo o ponto X por uma razão entre ´areas com sinal onde X n˜ao aparece, isto é, podemos usar a equa¸c˜ao para eliminar X daquela express˜ao (que será substitu´ıdo pelo lado comum, no caso, BC).

O próximo resultado será deveras importante para os cálculos e demons-tra¸cões das próximas se¸cões. Retas em um triângulo que ligam um vértice com um ponto do lado oposto s˜ao denominadas cevianas do triângulo

(assim, medianas, bissetrizes e alturas são cevianas, o que não acontece com as mediatrizes). O corolário do teorema do co-lado a seguir relaciona as áreas dos subtriˆangulos de um ponto P com as razões r, s e t dos pontos

X, Y e Z onde as cevianas que por ele passam dividem o lado oposto.

Te-remos ali o primeiro ind´ıcio da estreita rela¸cão que há entre área com sinal e coordenadas baricêntricas.

Corolário 1.1 Dados um triˆangulo ΔABC e um ponto P que n˜ao pertence `as retas AB, AC e BC, sejam r = −1, s = −1 e t = −1 as raz˜oes que os pontos X, Y e Z, pés das cevianas AP , BP e CP que dividem os lados BC, CA e AB do triângulo ΔABC, respectivamente. Então: SP AB SP CA = BX XC = r, SP BC SP AB = CY Y A = s, SP CA SP BC = AZ ZB = t . A B C P X A B C P Y A B C P Z

Demonstra¸c˜ao. O ponto X ´e a interse¸c˜ao das retas P A e BC. Assim, pela teorema do co-lado, SBP A/SCP A = BX/CX. Mas SBP A = SP AB,

SCP A=−SP CAe CX =−XC. Desta maneira, SBP A SCP A = BX CX ⇔ SP AB −SP CA = BX −XC ⇔ SP AB SP CA = BX XC = r,

o que estabelece a primeira igualdade. As outras duas igualdades s˜ao de-monstradas de modo an´alogo.

(31)

1.7. TEOREMA DE CEVA 31

1.7 Teorema de Ceva

O importante Teorema de Ceva estabelece uma condi¸cão necessária e suficiente para que as três cevianas tra¸cadas a partir dos vértices de um triângulo sejam concorrentes. Este teorema foi demonstrado pelo matem´ a-tico italiano Giovanni Ceva (1647-1734) e com ele é poss´ıvel unificar vários resultados de concorrência de retas (medianas, bissetrizes e alturas de um triângulo).

Teorema 1.2 (Teorema de Ceva) Sejam X, Y e Z pontos situa-dos, respectivamente, sobre os lados BC, CA e AB de um triˆangulo ΔABC, com X = C, Y = A e Z = B. Sejam tamb´em

r = BX XC, s = CY Y A e t = AZ ZB,

respectivamente, as raz˜oes que os pontos X, Y e Z dividem os lados

BC, CA e AB. A B C P X Y Z As cevianas AX, BY e CZ s˜ao concorrentes BX XC r ·CY Y A s ·AZ ZB t = 1. Demonstra¸c˜ao.

(⇒) Suponha que AX, BY e CZ s˜ao concorrentes. Do Ccorol´ario 1.1, temos que r = BX XC = SP AB SP CA, s = CY Y A = SP BC SP AB e t = AZ ZB = SP CA SP BC. Logo, r· s · t = SP AB SP CA · SP BC SP AB · SP CA SP BC = 1.

(⇐) Suponha que r · s · t = 1. Admitamos, por contradi¸c˜ao, que AX, BY e

(32)

AX, BY e CZ sejam concorrentes. Seja t a raz˜ao em que Z divide AB. Como AX , BY e CZ s˜ao concorrentes, sabemos da ida desse teorema que r· s · t = 1. Dai e da hip´otese r· s · t = 1, vem que:

A B C P X Z' Y Z r· s · t= r· s · t ⇓ t= t ⇓ Z= Z.

Como AX, BY e CZ s˜ao concorrentes e Z= Z, então, AX, BY e CZ s˜ao também concorrentes, o que é uma contradi¸cão. Isso demonstra o teorema de Ceva.

Evidentemente, o teorema que acabamos de demonstrar não é válido para qualquer escolha dos pontos A, B, C e P . Por exemplo, o triˆangulo ΔABC deve ser não-degenerado (SABC = 0) e o ponto P deve ser tal que as interse¸c˜oes X, Y e Z sejam todas normais (existe apenas um ponto de interse¸c˜ao entre cada par de retas, de forma que X, Y e Z estejam bem defi-nidos). Estas condi¸cões s˜ao denominadas condi¸cões de não-degenerescência

do teorema.

1.8 Concorrˆ

encia de algumas retas especiais

no triˆ

angulo

No que se segue|BC| = a, |CA| = b, |AB| = c, ha, hbe hcs˜ao as medidas euclidianas dos lados e das alturas de um triˆangulo ΔABC.

As bissetrizes internas de qualquer triˆangulo s˜ao sempre concor-rentes.

Sejam X, Y e Z os p´es das bissetrizes internas do triˆangulo ΔABC nos lados BC, AC e AB, respectivamente. Usando o teorema da bissetriz interna no triˆangulo ΔABC (ver p´agina 21 do livro [Morgado et al., 1973]), obtemos as igualdades |BX| |XC|= c b, |CY | |Y A| = a c e |AZ| |ZB| = b a.

(33)

1.8. CONCORRˆENCIA DE ALGUMAS RETAS ESPECIAIS NO TRI ˆANGULO 33

Da´ı, segue-se que

|r · s · t| =BX XC · CY Y A· AZ ZB =|BX||XC|· |CY | |Y A| · |AZ| |ZB| = c b · a c · b a= 1.

Portanto, r·s·t = +1 ou r·s·t = −1. Agora, como AZ/ZB > 0, BX/XC > 0 e CY /Y A > 0 para qualquer orienta¸c˜ao dos lados do triângulo, fica elimi-nada a hip´otese de r· s · t ser igual a −1, de modo que r · s · t = +1 e, assim, pelo Teorema de Ceva, as bissetrizes do triˆangulo ΔABC s˜ao concorrentes em um ponto I, denominado o incentro do triângulo ΔABC. O incentro est´a catalogado em ETC como o centro X(1).

I B _X C Y A Z a b c

As medianas de qualquer triˆangulo s˜ao sempre concorrentes. Quando as cevianas AX, BY e CZ s˜ao medianas, ocorre que os pontos

X, Y e Z s˜ao pontos m´edios dos lados do triˆangulo ΔABC. Deste modo,

r = BX XC = 1, s = CY Y A = 1 e t = AZ ZB = 1. A B X C Y Z G a 2 a2 b 2 b 2 c 2 c 2

(34)

Consequentemente, r· s · t = 1 e, desta maneira, pelo Teorema de Ceva, as medianas do triˆangulo ΔABC s˜ao concorrentes em um ponto G, deno-minado baricentro do triˆangulo ΔABC. O baricentro est´a catalogado em ETC como o centro X(2).

As alturas de qualquer triângulo são sempre concorrentes. Quando o triângulo é retângulo, as três alturas (altura relativa à hipote-nusa e os catetos) concorrem no ângulo reto do triângulo. Para triângulos não retângulos, podemos escrever

tg A = hc |AZ|, tg A = hb |Y A|, tg B = hc |ZB|, tg B = ha |BX|, tg C = ha |XC| e tg C = hb |CY |,

de onde obtemos as medidas dos segmentos indicados na figura da direita a seguir. B C Y H X Z A B _C Y H X Z h tgBa tgCha h tgCb h tgAb h tgAc h tgBc A Desta maneira, |r · s · t| =BX XC · CY Y A · AZ ZB = ha/ tg B ha/ tg C · hb/ tg C hb/ tg A · hc/ tg A hc/ tg B = 1. Sendo assim, r· s · t = +1 ou r · s · t = −1. Quando o triângulo é acutângulo, as três raz˜oes r, s e t s˜ao positivas. Quando o triângulo obtusângulo, uma razão é positiva e as outras duas são negativas. Fica então eliminada a hip´ o-tese do produto r·s·t ser negativo. Da´ı, r·s·t = 1 e, pelo Teorema de Ceva, que as alturas s˜ao concorrentes em um ponto H, denominado ortocentro do triˆangulo ΔABC. O ortocentro est´a catalogado em ETC como o centro

(35)

As mediatrizes de qualquer triângulo são sempre concorrentes. Não podemos usar o teorema de Ceva para mostrar que mediatrizes são concorrentes uma vez que mediatrizes não são cevianas. A concorrência das mediatrizes pode ser obtida a partir da concorrência das alturas, como veremos agora. A B C F D E O

A figura anterior mostra o triˆangulo ΔDEF cujos v´ertices são os pontos médios dos lados do triângulo de referˆencia ΔABC, o assim denominado

triângulo medial do triângulo ΔABC. Como os lados do triˆangulo medial são paralelos aos lados do triângulo de referência, as mediatrizes (por serem perpendiculares aos lados do triˆangulo ΔABC) s˜ao também perpendicula-res aos lados do triângulo medial. Assim, as mediatrizes do triângulo de referˆencia ΔABC s˜ao também alturas do triˆangulo medial ΔDEF e, por-tanto, concorrentes. O ponto O de encontro das mediatrizes ´e denominado

circuncentro (centro do c´ırculo circunscrito) e est´a catalogado em ETC como centro X(3).

As cevianas que passam pelos pontos de contato do c´ırculo inscrito com os lados do triˆangulo s˜ao sempre concorrentes.

Sabemos da geometria euclidiana que as duas tangentes tra¸cadas de um ponto exterior a um c´ırculo tˆem medidas iguais. Usando esta propriedade, obtemos as medidas dos segmentos indicados na ﬁgura da direita a seguir. Desta maneira, r = BX XC = y z, s = CY Y A = z x e t = AZ ZB = x y ⇒ r · s · t = 1.

(36)

A B _X C Y Z Ge A B _X C Y Z z z x x y y a b c z z x x y y

Pelo Teorema de Ceva, as cevianas AX, BY e CZ s˜ao concorrentes em um ponto Gedenominado ponto de Gergonne do triˆangulo ΔABC. O ponto de Gergonne est´a catalogado em ETC como o centro X(7).

As cevianas que passam pelos pontos de contato dos c´ırculos ex-inscritos com os lados do triˆangulo s˜ao sempre concorrentes.

Sejam |BC| = a, | CA| = b e |AB| = c, respectivamente, as medidas euclidianas dos lados do triˆangulo de referˆencia ΔABC e X, Y e Z os pontos de tangˆencia dos c´ırculos ex-inscritos com esses lados. Sejam tamb´em Xb,

Xc, Yc, Ya, Za e Zb os pontos de tangˆencia dos c´ırculos ex-inscritos com os prolongamentos desses lados, como ilustra a ﬁgura abaixo.

A B C Y X Z Na p −c p −a p −c p −b p −a p −b A B C Y X Z I I I A C B Xc Xb Ya Yc Zb Za

(37)

Mostraremos que (1) |AXb| = |AXc| = |BYc| = |BYa| = |CZa| =

|CZb| = p e tamb´em que (2) |BX| = p − c e |XC| = p − b. De fato: (1) Fazendo-se|BX| = |BXc| = t e | CX| = | CXb| = k, temos que 2p =

a + b + c = (t + k) + b + c = (b + k) + (c + t) =|AXb| + |AXc|. Como

|AXb| = |AXc|, temos que |AXb| = |AXc| = p e |BYc| = |BYa| =

|CZa| = |CZb| = p.

(2) Como|AXb| = p e |AXc| = p, temos que c + t = p e b + k = p. Logo

t = p−c e k = p−b. Analogamente, |CY | = |ZB| = p−a, |Y A| = p−c

e|AZ| = p − b.

Desta maneira, podemos escrever que

|r · s · t| =BX XC · CY Y A · AZ ZB = p_p− c_{− b}·p− a p− c · p− b p− a = 1.

Sendo assim, r· s · t = +1 ou r · s · t = −1. Como as três razões r, s e t são positivas, fica eliminada a hip´otese do produto r· s · t ser igual a −1, permitindo-nos afirmar, pelo Teorema de Ceva, que as retas AX, BY e CZ são concorrentes. Este ponto de concorrˆencia Na ´e denominado ponto de

Nagel do triˆangulo ΔABC. Em ETC, ele ´e o centro X(8).

A B C Y X Z I N I I a A C B p −c p −a p −c p −b p −a p −b

(38)

Observa¸cão 1.3 Por comodidade, a partir de agora, sempre que dissermos que um ponto X divide um segmento orientado BC em uma razão r, ficar´a impl´ıcito que estamos supondo r= −1 de modo que, em particular, X = C.

1.9 Exerc´ıcios

[01] Sejam A, B e C trˆes pontos colineares. Mostre que (AB)2+ (BC)2= (AC)2+ 2· AB · CB.

[02] Dizemos que quatro pontos colineares A, B, C e D formam uma

se-quˆencia harmˆonica se AC/BC =−AD/BD. Mostre que quatro

pon-tos colineares A, B, C e D formam uma seq¨uˆencia harmˆonica se, e somente se, AB/CB + AB/DB = 2.

[03] Mostre que quatro pontos colineares A, B, C e D formam uma se-quˆencia harmˆonica se, e somente se, M C· MD = (MA)2, onde M ´e o ponto m´edio de AB.

[04] Sejam B, C, D e H quatro pontos colineares, com B = C. Mostre que se BH/HC = BD/DC, ent˜ao D = H.

[05] Mostre que se G ´e o baricentro do triˆangulo ΔABC, ent˜ao os sub-triˆangulos ΔGBC, ΔGCA e ΔGAB s˜ao equivalentes, isto ´e, possuem a mesma ´area euclidiana.

[06] Mostre que os p´es das bissetrizes interna e externa tra¸cadas do v´ertice

A do triˆangulo ΔABC dividem harmonicamente o lado BC.

[07] Sendo A = (−5, −5√3), B = (0, 0), C = (16, 0) as coordenadas carte-sianas dos v´ertices do triˆangulo ΔABC, calcule SABC e∇ABC. [08] Sejam P = (xP, yP) e Q = (xQ, yQ) pontos do plano. Mostre que um

ponto X = (xX, yX) na reta P Q divide o segmento orientado P Q na raz˜ao k= −1 se, e somente se,

X = 1

1 + k· P +

k

1 + k· Q, isto ´e, se, e somente se,

(xX, yX) = 1

1 + k· (xP, yP) +

k

(39)

Cap´ıtulo 2

Coordenadas baricˆ

entricas

A figura abaixo mostra as coordenadas cartesianas dos vértices do triângulo ΔABC e dos pontos P , R, Q e T .

A=(2,5) B=(1,2) C=(6,1) O P=(2,3) x y 1 2 6 2 3 5 1 4 3 4 5 Q=(5,4) P=(2,3) T=(0,5) R=(4,1)

A m´edia ponderada MP dos v´ertices A, B e C com pesos 3, 4 e 1 ´e dada por MP = 3 A + 4 B + 1 C 3 + 4 + 1 = 3 (2, 5) + 4 (1, 2) + 1 (6, 1) 8 = (16, 24) 8 = (2, 3) = P,

o que nos permite, tomando o triˆangulo ΔABC como referˆencia, associar ao ponto P o terno ordenado de n´umeros reais formado por aqueles pesos.

(40)

Explicitaremos esta associa¸c˜ao escrevendo P = (3 : 4 : 1). Do mesmo modo, da igualdade R = (4, 1) = −1 (2, 5) + 4 (1, 2) + 5 (6, 1) 8 = −1 A + 4 B + 5 C −1 + 4 + 5 ,

segue-se que R ´e m´edia ponderada de A, B e C com pesos −1, 4 e 5, o que nos permite, tomando o triˆangulo ΔABC como referˆencia, escrever

R = (−1 : 4 : 5). De forma an´aloga, veriﬁca-se que Q = (7 : −4 : 5), ou seja, Q ´e m´edia ponderada de A, B e C com pesos 7,−4 e 5 e T = (7 : 4 : −3), ou seja, T ´e m´edia ponderada de A, B e C com pesos 7, 4 e−3.

De forma geral, para pesos u, v e w, com u + v + w = 0, o ponto P obtido pela m´edia ponderada de A, B e C com estes pesos ´e dado por

P = u A + v B + w C u + v + w .

2.1 Defini¸

c˜

ao de coordenadas baricˆ

entricas

Defini¸cão 2.1 (Coordenadas baricˆentricas) Sejam A, B e C os vértices de um triˆangulo ΔABC e P um ponto do plano. Dizemos que u, v e w são as coordenadas baricêntricas de P em rela¸c˜ao ao triˆangulo ΔABC se

P = u A + v B + w C u + v + w .

Outra maneira de interpretar essa igualdade ´e dizer que u, v e w s˜ao as coordenadas baricˆentricas de P em rela¸c˜ao ao triˆangulo ΔABC se o ponto P pode ser obtido como m´edia ponderada dos v´ertices A, B e

C com pesos u, v e w, respectivamente. Desta forma, o ponto P passa

a ser identificado por esses pesos e, para representar esta identifca¸cão, usaremos a nota¸cão

P = (u : v : w).

Observamos que um mesmo ponto P pode ser representado por mais de uma tripla de coordenadas baricˆentricas. Por exemplo, se P = (2 : 5 : 3) e

Q = (2k : 5k : 3k), com k= 0, ent˜ao P = Q. De fato: Q = 2k A + 5k B + 3k C

2k + 5k + 3k =

2A + 5B + 3C 2 + 5 + 3 = P.

(41)

2.2. ÁREAS COM SINAL E CONDIÇ ÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 41

Observamos também que, quando um ponto do plano é obtido pela média ponderada dos v´ertices A, B e C do triˆangulo de referˆencia ΔABC com pesos u, v e w, pressupõe-se que u + v + w = 0. Ficam assim, em aberto, as seguintes perguntas que serão respondidas ao longo das próximas se¸cões. (1) Todo ponto do plano pode ser escrito como média ponderada dos vértices

A, B e C, qualquer que seja o triˆangulo de referˆencia ΔABC? (2) O que ocorre com o ponto P quando u + v + w = 0?

(3) Existe alguma rela¸c˜ao entre as coordenadas baricˆentricas de um mesmo ponto?

2.2 Areas com sinal e condi¸

´

c˜

ao de

alinhamen-to de trˆ

es pontos

Proposi¸cão 2.1 ( ´Area com sinal do triângulo a partir das coordenadas baricêntricas dos vértices) Sejam P₁ = (u₁ :

v₁ : w₁), P₂ = (u₂ : v₂ : w₂) e P₃ = (u₃ : v₃ : w₃) as coordena-das baricˆentricas dos pontos P₁, P₂ e P₃ em rela¸cão a um triângulo ΔABC. Se sP1, sP2 e sP3 são números reais (não-nulos) que repre-sentam as somas das coordenadas baricêntricas desses pontos, então a área com sinal do triˆangulo ΔP₁P₂P₃ é dada por

SP1P2P3 = SABC sP1· sP2· sP3 · u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ .

Demonstra¸c˜ao. Sejam P₁ = (u₁ : v₁: w₁), P₂ = (u₂: v₂: w₂) e P₃ = (u₃ :

v₃: w₃) as coordenadas baricˆentricas dos pontos P₁, P₂e P₃em rela¸c˜ao a um triˆangulo ΔABC e sejam sP₁ = u₁+ v₁+ w₁ = 0, sP₂ = u₂+ v₂+ w₂= 0 e sP₃ = u₃+ v₃+ w₃= 0. Se Pi = (xP_i, yP_i), A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) s˜ao as coordenadas cartesianas dos pontos Pi, A, B e C, ent˜ao, para cada i = 1, 2, 3, temos

Pi = (xP_i, yP_i) = ui· A + vi· B + wi· C ui+ vi+ wi = ui· A + vi· B + wi· C sP_i = Å_u ixA+ vixB+ wixC sP_i , uiyA+ viyB+ wiyC sP_i ã .

(42)

SP1P2P3 = 1 2 · xP1 yP1 1 xP2 yP2 1 xP₃ yP₃ 1 = 1 2 · u₁xA+ v1xB+ w1xC sP1 u₁yA+ v1yB+ w1yC sP1 1 u₂xA+ v₂xB+ w₂xC sP2 u₂yA+ v₂yB+ w₂yC sP2 1 u₃xA+ v3xB+ w3xC sP3 u₃yA+ v3yB+ w3yC sP3 1 .

Multiplicando-se a linha i por sPi, obtemos:

SP1P2P3 = 1 2 · u₁xA+ v1xB+ w1xC u1yA+ v1yB+ w1yC sP1 u₂xA+ v₂xB+ w₂xC u₂yA+ v₂yB+ w₂yC sP₂ u₃xA+ v₃xB+ w₃xC u₃yA+ v₃yB+ w₃yC sP₃ sP1· sP2· sP3 = u₁xA+ v1xB+ w1xC u1yA+ v1yB+ w1yC u1+ v1+ w1 u₂xA+ v₂xB+ w₂xC u₂yA+ v₂yB+ w₂yC u₂+ v₂+ w₂ u₃xA+ v₃xB+ w₃xC u₃yA+ v₃yB+ w₃yC u₃+ v₃+ w₃ 2· sP1· sP2· sP3 = 1 2· sP1· sP2· sP3 · u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ · 2·SABC xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 = 1 2· sP₁· sP₂· sP₃ · u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ ·2· SABC = SABC sP1· sP2· sP3 · u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ .

Perceba que, em particular, quando as somas das coordenadas baricˆ en-tricas dos pontos P₁, P₂ e P₃ s˜ao iguais a 1 (isto ´e, sP₁ = sP₂ = sP₃ = 1),

(43)

2.2. ÁREAS COM SINAL E CONDIÇ ÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 43

a ´area com sinal do triˆangulo ΔP₁P₂P₃´e dada por

SP₁P₂P₃ = SABC· u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ . (2.1)

Quando SABC = 0, a área com sinal do triângulo SP1P2P3 será nula quando também o for o determinante formado pelas coordenadas baricˆ en-tricas de P₁, P₂ e P₃. Com base neste fato, na sequência, mostraremos uma condi¸cão necessária e suficiente para que três pontos do plano sejam colineares uma vez conhecidas suas coordenadas baricêntricas.

Corolário 2.1 (Condic¸ ão de alinhamento de três pontos) Se-jam P₁ = (u₁ : v₁ : w₁), P₂ = (u₂ : v₂ : w₂) e P₃ = (u₃ : v₃ : w₃) as coordenadas baricˆentricas dos pontos P₁, P₂e P₃ tais que a soma das coordenadas baricêntricas de cada ponto seja não-nula.

P₁, P₂ e P₃ s˜ao colineares ⇔ u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ = 0.

De outro modo, três pontos do plano são colineares se, e somente se, é nulo o determinante da matriz formada com as coordenadas baricêntricas daqueles pontos.

Demonstra¸cão. P₁, P₂ e P₃ são colineares ⇔ SP1P2P3= 0 ⇔ u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₃ v₃ w₃ = 0. A próxima proposi¸cão responde à pergunta (3) na página 41.

Proposi¸c˜ao 2.2 Sejam P₁ = (u₁ : v₁ : w₁) e P₂ = (u₂ : v₂ : w₂) as coordenadas baricˆentricas dos pontos P₁ e P₂ em rela¸c˜ao a um triˆangulo de referˆencia ΔABC.

P₁= P₂ se, e somente se,

existe k∈ R, k = 0, tal que u₂= ku₁, v₂= kv₁ e w₂= kw₁.

Demonstra¸cão. Sejam P₁ = (u₁ : v₁ : w₁) e P₂ = (u₂ : v₂ : w₂) as co-ordenadas baricˆentricas dos pontos P₁ e P₂ em rela¸cão a um triângulo de

(44)

referˆencia ΔABC e P = (u : v : w) as coordenadas baricˆentricas de um ponto qualquer do plano.

(⇒) Temos que P₁= P₂ ⇒ SP P1P2 = 0 ⇔ u v w u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ = 0.

Como o determinante acima se anula para quaisquer valores de u, v e w da primeira linha, a terceira e segunda linhas tˆem que ser proporcionais (ver [Lima et al., 2006]), ou seja, existe um n´umero real n˜ao-nulo k tal que

u₂= ku₁, v₂= kv₁e w₂= kw₁.

(⇐) Suponha que existe um n´umero real n˜ao nulo k tal que u₂= ku₁, v₂=

kv₁e w₂= kw₁. Dessa hipótese e da defini¸cão de coordenadas baricêntricas, temos que P₂ = u2A + v2B + w2C u₂+ v₂+ w₂ = ku₁A + kv₁B + kw₁C ku₁+ kv₁+ kw₁ = u1A + v1B + w1C u₁+ v₁+ w₁ = P1.

2.3 Rela¸

c˜

ao entre coordenadas baricˆ

entricas

e ´

areas com sinal

Na página 41, perguntamos se todo ponto do plano pode ser escrito como média ponderada dos v´ertices A, B e C de qualquer triˆangulo de referência ΔABC. Na sequˆencia, mostraremos que a resposta àquela pergunta é sim e este resultado será fundamental para entender porque coordenadas ba-ricêntricas estão fortemente ligadas ao conceito de áreas com sinal.

Proposi¸c˜ao 2.3 Todo ponto P do plano pode ser escrito como m´edia ponderada dos v´ertices A, B e C do triˆangulo de referˆencia ΔABC. Mais precisamente, sejam A, B e C os v´ertices de um triˆangulo de referˆencia ΔABC e P um ponto qualquer do plano. As coordenadas baricˆentricas do ponto P podem ser dadas por

(45)

2.3. RELAÇ ÃO ENTRE COORDENADAS BARICÊNTRICAS E ÁREAS COM SINAL 45

isto é, as coordenadas baricêntricas de um ponto são proporcionais `

as ´areas com sinal dos sub-triˆangulos que esse ponto P forma com os v´ertices A, B e C do triˆangulo de referˆencia ΔABC ou ainda, sendo P = (u : v : w), ent˜ao (u : v : w) = (SP BC : SP CA: SP AB).

Demonstra¸c˜ao. Sejam A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) as co-ordenadas cartesianas dos v´ertices do triˆangulo ΔABC e P = (xP, yP) as coordenadas cartesianas de um ponto do plano. Sabemos que a

igual-dade xP xP yP 1 xA xA yA 1 xB xB yB 1 xC xC yC 1 = 0 ´

e verdadeira, pois a primeira coluna ´e igual `a segunda. Desenvolvendo o determinante pela primeira coluna, temos:

xP· xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 −xA· xP yP 1 xB yB 1 xC yC 1 + xB· xP yP 1 xA yA 1 xC yC 1 −xC· xP yP 1 xA yA 1 xB yB 1 = 0 ⇓ xP· xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 −xA· xP yP 1 xB yB 1 xC yC 1 −xB· xP yP 1 xC yC 1 xA yA 1 −xC· xP yP 1 xA yA 1 xB yB 1 = 0 ⇓ xP· (2 · SABC)− xA· (2 · SP BC)− xB· (2 · SP CA)− xC· (2 · SP AB) = 0 ⇓ SABC· xP = SP BC· xA+ SP CA· xB+ SP AB· xC. (∗) Analogamente, yP xP yP 1 yA xA yA 1 yB xB yB 1 yC xC yC 1 = 0,

o que nos leva a SABC· yP = SP BC· yA+ SP CA· yB+ SP AB· yC. Da´ı e de (∗) temos

SABC· P = SP BC· A + SP CA· B + SP AB· C.

Usando ent˜ao a propriedade da decomposi¸c˜ao da ´area com sinal (SABC =

SP BC+ SP CA+ SP AB), conclu´ımos que

P = SP BC· A + SP CA· B + SP AB· C

(46)

A rela¸c˜ao (2.2) nos diz que P ´e m´edia ponderada dos v´ertices A, B e C com pesos SP BC, SP CAe SP AB, mostrando que P = (SP BC : SP CA: SP AB).

Observa¸cão 2.1 Uma vez que as coordenadas baricˆentricas podem ser des-critas em termos de áreas com sinal e estas são invariantes por qualquer transforma¸cão r´ıgida (rota¸cões, transla¸cões e reflexões), conclu´ımos que as coordenadas baricêntricas também são invariantes por transforma¸cões r´ıgidas. Coordenadas baricêntricas também são invariantes por homotetias, pois ao se aplicar uma homotetia de fator k a um triˆangulo, sua área fica multiplicada por k2o que implica, em virtude da Proposi¸cão 2.2, que as co-ordenadas baricêntricas antes e depois de se aplicar a homotetia representam o mesmo ponto.

Na sequência, usaremos a Proposi¸cão 2.3 para obter as coordenadas ba-ricêntricas de alguns pontos notáveis de um triângulo.

(a) Coordenadas baricêntricas dos vértices do triângulo: A = (SAB C :

SACA: SAAB) = (S : 0 : 0) = (1 : 0 : 0). Analogamente, B = (0 : 1 : 0) e C = (0 : 0 : 1).

A

B C

S

(b) Coordenadas baricêntricas dos pontos médios dos lados do triângulo: D= (SDB C : SDCA : SDAB) = (0 : S/2 : S/2) = (0 : 1 : 1). Analoga-mente, E = (1 : 0 : 1) e F = (1 : 1 : 0). S/2 A B D C E F S/2

(47)

2.3. RELAÇ ÃO ENTRE COORDENADAS BARICÊNTRICAS E ÁREAS COM SINAL 47

(c) Coordenadas baricˆentricas do baricentro G do triˆangulo: temos que G = (SGB C : SGCA : SGAB). Pelo Exerc´ıcio [05] na p´agina 38,

SGBC = SBCA = SGAB = SABC/3 = S/3. Desta maneira, G = (S/3 : S/3 : S/3) = (1 : 1 : 1). S/3 A B C G S/3 S/3

(d) Coordenadas baricˆentricas do incentro I do triˆangulo: I = (SIBC :

SICA: SIAB) = (a· r/2 : b · r/2 : c · r/2) = (a : b : c). A B C I r r r a b c

(e) Coordenadas baricˆentricas dos ex-incentros IA, IB e IC do triˆangulo:

IA= (SIABC : SIACA: SIAAB) = (−a · ra/2 : b· ra/2 : c· ra/2) = (−a : b : c). Analogamente, IB = (a :−b : c) e IC = (a : b :−c). B C A a c b I r A a ra ra

(48)

(f) Coordenadas baricˆentricas do circuncentro O do triˆangulo: O = (SOBC :

SOCA : SOAB) = (R2sen(2A)/2 : R2sen(2B)/2 : R2sen(2C)/2) = (sen(2A) : sen(2B) : sen(2C)).

A

R 2A R

A

B C

O

Em termos das medidas a =|BC|, b = |CA| e c = |AB|, as coordenadas baricˆentricas de O s˜ao dadas, conforme Exerc´ıcio [01] deste cap´ıtulo, por

O = a2 −a2+ b2+ c2: b2 a2− b2+ c2: c2 a2+ b2− c2.

A proposi¸cão seguinte nos dá uma condi¸cão necessária e suficiente para que um ponto do plano perten¸ca a um dos lados (ou seus prolongamentos) do triângulo de referˆencia ΔABC.

Proposi¸cão 2.4 (Coordenadas baricˆentricas de pontos so-bre os lados do triângulo de referência) _{Sejam X, Y e Z} pontos sobre os lados BC, CA e AB do triângulo ΔABC.

B C A X B C A Y B C A Z Ent˜ao:

(1) X divide BC na raz˜ao r (e, em particular, X percente a reta BC) se, e somente se, X = (0 : 1 : r);

(2) Y divide CA na raz˜ao s (e, em particular, Y percente a reta CA) se, e somente se, Y = (s : 0 : 1);

(3) Z divide AB na raz˜ao t (e, em particular, Z percente a reta AB) se, e somente se, Z = (1 : t : 0).

(49)

2.4. OS TEOREMAS DE MENELAU, VAN AUBEL E ROUTH 49

Demonstra¸cão. Vamos demonstrar (1). Os casos (2) e (3) s˜ao análogos e ficam a cargo do leitor. Seja X o ponto que divide o lado BC do triˆangulo ΔABC na razão r. Ent˜ao

X = (SXBC: SXCA: SXAB) = (0 : SXCA: SBXA) = (0 : XC : BX) = 0 : XC/XC : BX/XC= (0 : 1 : r).

Reciprocamente, suponha que X = (0 : 1 : r). Como tamb´em podemos escrever X = (SXBC : SXCA : SXAB), conclu´ımos que SXBC = 0. Logo,

X, B e C s˜ao colineares.

Para os cálculos das coordenadas baricêntricas do incentro, do circun-centro e dos ex-incircun-centros consideramos o caso particular em que o triângulo ΔABC est´a orientado no sentido anti-horário. Caso mudássemos a ori-enta¸cão do triângulo de referˆencia ΔABC, as coordenadas baricˆentricas de todos os pontos calculados teriam o sinal invertido. Multiplicando-as por

k = −1, obter´ıamos as mesmas express˜oes encontradas acima e isto n˜ao

altera as coordenadas baricˆentricas em virtude da Proposi¸c˜ao 2.2 na p´ agi-na 43.

2.4 Os teoremas de Menelau, van Aubel e

Routh

O resultado seguinte, conhecido como teorema de Menelau, estabelece uma condi¸cão necessária e suficiente para que três pontos situados sobre os diferentes lados de um triângulo ou em seus prolongamentos sejam co-lineares. Menelau de Alexandria foi um astrônomo que viveu no fim do primeiro século d.C.. Por meio de comentários de historiadores gregos e ´

arabes, é sabido que ele escreveu uma cole¸cão de seis livros e o único que sobreviveu ao tempo foi o livro “Sphaerica”, um tratado em três volumes sobre geometria e trigonometria esférica, do qual chegou até o nosso tempo uma tradu¸cão árabe. No volume III, Menelau menciona este teorema e, a seguir, o generaliza para a geometria esférica.

Teorema 2.1 (Teorema de Menelau) Considere um triˆ angu-lo ΔABC. Sejam r = BX/XC, s = CY /Y A e t = AZ/ZB as raz˜oes em que os pontos X, Y e Z dividem os segmentos orientados

(50)

X, Y e Z s˜ao colineares ⇔ r · s · t = BX XC · CY Y A · AZ ZB =−1.

A

B

C

Z

X

Y

Demonstra¸cão. Suponha que os pontos X, Y e Z sejam colineares. Como X = (0 : 1 : r), Y = (s : 0 : 1), Z = (1 : t : 0) s˜ao colineares, segue-se pelo Corolário 2.1 que é nulo o determinante da matriz formada pelas coordenadas baricˆentricas de X, Y e Z. Assim,

0 1 r s 0 1 1 t 0 = 0 ⇒ r · s · t + 1 = 0 ⇒ r · s · t = −1.

Reciprocamente, suponha que r· s · t = −1. Suponha, por contradi¸c˜ao, que

X, Y e Z n˜ao sejam colineares. Tomemos Z sobre a reta AB tal que X,

Y e Z sejam colineares.

A

B

C

Z '

X

Y

Z

Seja t a raz˜ao que Z divide AB. Como X, Y e Z s˜ao colineares, temos da ida desse teorema que r· s · t=−1. Da´ı e da hip´otese r · s · t = −1 vem que

r· s · t = r· s · t ⇔ t = t ⇔ Z= Z,

onde, na última equivalência, usamos a unicidade do ponto divisor (Pro-posi¸c˜ao 1.2). Como X, Y e Z s˜ao colineares e Z = Z, então, X, Y e Z são também colineares, o que é uma contradi¸cão.