Revisão de matematica parte I

Métodos Quantitativos

Aplicados à Contabilidade (I)

Revisão de Matemática

Funções

• Uma função é uma relação entre um input ou conjunto de inputs e um output

• Diz-se que y, o output, é uma função f de x, o input, ou y = f(x)

• y pode ser uma função linear de x onde a relação pode ser

expressa como uma linha reta

• Alternativamente, a função pode ser não linear onde ela seria expressa graficamente como uma curva

• Se a equação é linear, temos um reta:

y = a + bx

onde y e x são variáveis e a e b são parâmetros

• a é o intercepto (ponto onde a reta encontra o eixo y)

Retas

• Exemplo: suponha que estamos modelando a relação entre a nota média de um aluno, y (em percentagem), e o número de

horas estudadas por ano, x

• Suponha que a relação pode ser escrita como uma função linear

y = 25 + 0.05x

• O intercepto, a, é 25 e a inclinação, b, é 0.05

• Isso significa que sem estudo (x=0), o aluno pode esperar obter

uma nota de 25%

Retas

• No gráfico anterior, a inclinação é positiva e cresce da esquerda para a direita

• Em outros casos, a inclinação pode ser zero ou negativa

• Numa reta, a inclinação é constante, i.e. é a mesma ao longo de toda a reta

• Em geral, podemos calcular a inclinação de uma reta pegando quaisquer 2 pontos na reta e dividindo a variação em y pela

variação em x

•  (Delta) denota a variação de uma variável

• Por exemplo, sejam 2 pontos x=100, y=30 e x=1000, y=75

• Podemos escrever isso com notação de coordenadas (x,y)

como (100,30) e (1000,75)

Raízes

• O ponto onde a reta cruza o eixo x é conhecido como raiz

• A linha reta tem uma raiz (exceto uma reta horizontal como

y=4 que não tem raízes)

• Para achar a raiz de uma equação iguala-se a zero e rearranja-se algebricamente:

0 = 25 + 0.05x

Funções Quadráticas

• Uma função linear não é em geral suficientemente flexível para descrever com precisão a relação entre duas séries

• Podemos usar então uma função quadrática como y = ax2 + bx + c onde a, b, c são os parâmetros que descrevem a forma da função

• Funções quadráticas têm um parâmetro adicional em relação às funções lineares

• A função linear é um caso especial de uma função quadrática onde a=0

• c ainda representa o ponto onde a função corta o eixo y

• Quando x se torna muito grande, o termo x2 irá dominar

Raízes de funções quadráticas

• Uma equação quadrática tem 2 raízes

• As raízes podem ser distintas ou podem ser as mesmas (raízes repetidas); podem ser números reais (e.g., 1.7, -2.357, 4, etc.) ou podem ser números complexos (a+b.i, onde i=√-1)

• As raízes podem ser obtidas por fatoração da equação ou usando a fórmula (Bhaskara):

2

₄

2

b

b

ac

x

a

 



Raízes de funções quadráticas (Cont.)

• Se b2 > 4ac, a função terá 2 diferentes raízes e cruzará o eixo x

em 2 pontos separados

• se b2 = 4ac, a função terá 2 raízes iguais e cruzará o eixo x em

apenas um ponto

• se b2 < 4ac, a função não terá raízes reais (apenas raízes

complexas), não cruzará o eixo x e a função estará sempre

Calculando as raízes de equações quadráticas -Exemplos

Determine as raízes das seguintes equações

quadráticas:

1.

y

=

x

+

x

− 6

2.

y

= 9

x

+ 6

x

+ 1

3.

y

=

x

− 3

x

+ 1

Calculando as raízes de equações quadráticas -Soluções

• Resolvemos essas equações igualando-as a zero

• Pode-se usar a fórmula de Bhaskara, mas às vezes é mais rápido fatorar

• Fatoração: encontrar 2 números tais que sua soma = b e o seu produto = c

1. x2 + x − 6 = 0 pode ser fatorada como (x − 2)(x + 3) = 0 e

portanto as raízes são 2 e −3, que são os valores que igualam a

função a zero, ou seja a função cruzara o eixo x em x = 2 e x =

−3

2. 9x2 + 6x + 1 = 0 é fatorável como (3x + 1)(3x + 1) = 0 e assim

Calculando as raízes de equações quadráticas – Soluções – Cont.

3. x2 − 3x + 1 = 0 não é fatorável e a formula deve ser usada,

com a = 1, b = −3, c = 1 e as raízes são 0.38 e 2.62 com 2

casas decimais

4. x2 − 4x = 0 é fatorável como x(x − 4) = 0 e então as raízes são

0 e 4.

• Todas essas equações têm 2 raízes reais

• Mas y = 3x2 − 2x + 4, não é fatorável e tem raízes complexas

Potências de números ou de variáveis

• Um número ou variável elevado a uma potência é simplesmente uma maneira de escrever repetidas multiplicações

• Por exemplo, elevar x à potência 2 significa multiplicá-lo por

ele mesmo 2 vezes (i.e., x2 = x × x).

• Elevar à potência 3 significa multiplicá-lo por ele mesmo 3 vezes (x3 = x × x × x), e assim por diante

15

Manipulando potências

• Qualquer número ou variável elevado(a) à potência 1 é igual ao próprio número ou variável, e.g., 31 _{= 3, x}1 _{= x, e assim por}

diante

• Qualquer número ou variável elevado a zero é igual a 1, e.g., 50 _{= 1, x}0 _{= 1, etc., exceto 0}0 _{que é não definido (i.e., não}

existe)

• Se o expoente é um número negativo, significa que dividimos 1 por aquele número – por exemplo, x−3 = 1/(x3) = 1/(x×x×x )

• Para multiplicar um dado número por ele mesmo elevado a mais de uma potência, mantem-se o número e somam-se os expoentes – por exemplo, x2 × x3 = x2x3 = x2+3 = x5

Manipulando potências (Cont.)

• Pra dividir uma variável elevada a uma potência pela mesma variável elevada a outra potência, subtraímos o segundo

expoente do primeiro – por exemplo, x3 / x2 = x3−2 = x

• Para dividir uma variável elevada a uma potência por uma variável diferente elevada à mesma potência, teremos: (x/y)n = xn/yn

• A potência de um produto é igual a cada componente elevado àquela potência – por exemplo, (x×y)3 = x3×y3

• Os expoentes não têm de ser números inteiros, assim x1/2 é a

notação usada para extrair a raiz quadrada de x, também escrita

como √x

A função exponencial (e)

• As vezes a relação entre 2 variáveis é melhor descrita por uma função exponencial

• por exemplo, quando uma variável cresce (ou diminui) a uma taxa em proporção ao seu valor corrente, escreve-se y = ex

• e é o numero de Neper: 2.71828. . .

• Também é útil para capturar o aumento de valor de um

montante de dinheiro sujeito a uma taxa de juros instantânea, isto é, com capitalização contínua

• A função exponencial nunca pode ser negativa, então quando

x é negativo, y é próximo de zero mas positivo

Gráfico da função exponencial

-Aplicação da função exponencial: Capitalização Contínua

• Se uma operação financeira é realizada com base em uma taxa nominal (r), o valor futuro dessa operação será:

• onde P=principal, m=número (frequência) de capitalizações no período de referência (ano), n=número de períodos de referência (anos)

• P.ex.: investimento de $1000 com 3 anos de prazo de vencimento, 6% de taxa de juros e capitalização trimestral:

1

r

FV

P

m







_



_





1000 1 1000 1.015 1195.618

Aplicação da função exponencial: Capitalização Contínua

•

A frequência de capitalização pode se tornar cada vez

maior e, no limite, m



/ /

1

1 1 1 .

1

Fazendo ( / ) , então 1 . Quando ,

Pode-se demonstrar que lim

rn rn

m r m r

mn rn x x r r r

FV P P P

m m

m

r r

m r x FV P m x

x _{   }  _{ }  _{   }  _{ }    _{       }  _  _     _{   }  _{  }        _{  } _  _{  }_      _{ }    _  _{ }           2,7182818284590452353602874... 1

1 número de Neper

onde a taxa é substituída por taxa instantânea de juros

x

n

e x

e FV Pe

Aplicação da função exponencial: Capitalização Contínua

•

Portanto, o valor futuro de um montante onde os juros

são continuamente capitalizados é

onde

e

= constante exponencial (número de Neper) =

2,71828...,

n

= número de períodos de referência (em

anos),



=taxa instantânea de juros.

n

Aplicação da função exponencial: Capitalização Contínua

•

Convertendo uma taxa de capitalização discreta em

uma taxa instantânea equivalente e vice-versa:

1 na capitalização discreta

na capitalização contínua

1

1 1

ou ln 1

mn n mn n m m r FV P m FV Pe FV FV r P Pe m r

e r m e

Aplicação da função exponencial: Capitalização Contínua

• Exemplo 1: a taxa instantânea equivalente a uma taxa nominal de 6% a.a., capitalizada trimestralmente é:

• Exemplo 2: A taxa nominal discreta com capitalização trimestral equivalente a uma taxa instantânea de 12,5% ao ano é:

0.06

4ln 1 4 0.014889 0.059554 5.955% 4

  _  _    

 

0,125 4

1 4 1 12,7%

m

r m e e



   

 _  _{ }  _

 

Logaritmos

• Logaritmos foram criados para simplificar cálculos

complicados, pois os expoentes podem ser somados ou subtraídos, o que é mais fácil do que multiplicar ou dividir

• Há pelo menos 3 razões pelas quais as transformações logarítmicas podem ser úteis:

1. Usar logaritmos ajuda em geral a redimensionar os dados de modo que a sua variância fique mais constante, o que resolve um problema estatístico chamado heteroscedasticidade.

2. transformações logarítmicas podem tornar uma distribuição positivamente assimétrica a ficar mais próxima da distribuição normal

Logaritmos

• Considere a relação 23 _{= 8}

• Usando logs, temos log₂8 = 3, ou ‘o log na base 2 de 8 é 3’

• Então, podemos dizer que um logaritmo é definido pela

potência na qual a base deve ser elevada para obter um dado número

• Em geral, se ab = c, então log_ac = b

• Se plotarmos a função log , y = log(x), ela irá cruzar o eixo x

em um ponto - vide próximo slide

• Pode-se observar que quando x aumenta, y aumenta numa taxa

menor, o que é o oposto de uma função exponencial onde y

Gráfico de uma função logarítmica

-Logaritmos

• Logaritmos naturais, também conhecidos como logs na base e,

são mais comumente usados e mais úteis matematicamente do que logs em qualquer outra base

• Um log na base e é conhecido como logaritmo natural ou

neperiano, denominado por ln(y) ou log(y)

• Aplicar um logaritmo natural é o inverso de aplicar um

exponencial, assim, às vezes a função exponencial é chamada de antilog

• O log de um número menor que 1 será negativo, e.g. ln(0.5) ≈

−0.69

Regras dos Logs

Sejam as variáveis

x

e

y.

Então:

•

ln (

x y

) = ln (

x

) + ln (

y

)

•

ln (

x

/

y

) = ln (

x

) −

ln (

y

)

•

ln (

y

) =

c

ln (

y

)

•

ln (1) = 0

Exemplo de aplicação de logs: retorno de

uma ação na capitalização contínua

•

Seja o fluxo de caixa do investimento em uma ação por um período:

•

Na capitalização discreta, P

= P

/(1+R

)



R

= (P

–

P

)/P

ou

generalizando R

= (P

-P

)/P

•

Na capitalização contínua, P

= P

/e



_e

_{= P}

1

/P



R

ln(e)=ln(P

/P

)



genericamente: R

= ln(P

/P

) = ln(P

)-ln(P

)

P₀

P₁

Notação Sigma

• Se queremos somar vários números (ou observações de variáveis), o operador sigma ou somatório pode ser muito útil

• Σ significa ‘some todos os seguintes elementos. Por exemplo, Σ(1 + 2 + 3)

= 6

• No contexto da soma das observações de uma variável, é necessário colocar

‘limites’ ao somatório

• Por exemplo, podemos escrever

onde o subscrito i é um índice, 1 é o limite inferior e 4 é o limite superior da soma

Propriedades do Operador Sigma

•

•

•

Notação 

• Similar ao uso do sigma para somas, o operador pi (Π) ou produtório é

usado para denotar multiplicações repetidas.

• Por exemplo

significa ‘multiplique todos os x_i para cada valor de i entre os limites

inferior e superior’

Cálculo Diferencial

• O efeito da taxa de variação de uma variável sobre a taxa de variação de outra é medido por uma derivada

• Se a relação entre 2 variáveis pode ser representada por uma curva, o gradiente da curva será essa taxa de variação

• Considere uma variável y que é a função f de outra variável x, i.e. y = f (x): a derivada de y em relação a x é escrita como

ou ainda f ′(x).

• Essa expressão mede a taxa instantânea de variação de y em relação a x, ou seja, o impacto de uma variação infinitesimal em x

Diferenciação: princípios básicos

1. A derivada de uma constante é zero – e.g. se y = 10, dy/dx = 0

porque y = 10 é uma reta horizontal em um gráfico de y

versus x, e assim o gradiente desta função é zero

2. A derivada de uma função linear é a sua inclinação e.g. se y = 3x + 2, dy/dx = 3

• Funções não lineares têm diferentes gradientes em cada ponto ao longo da curva

• Na verdade, o gradiente em cada ponto é igual ao gradiente da tangente naquele ponto

A derivada de uma função potência ou de uma soma

• A derivada de uma função potência n de x, i.e. y = cxn é dada

por dy/dx = cnxn−1

• Por exemplo:

• se y = 4x3, dy/dx = (4 × 3)x2 = 12x2

• se y = 3/x = 3x−1, dy/dx= (3 × −1)x−2 = −3x−2 = −3/x2

• A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas das partes individuais, e.g., se y = f (x) + g (x), dy/dx = f ′(x) + g′(x)

• A derivada de uma diferença é igual à diferença das

Derivadas de Logs e Exponenciais

•

A derivada do log de

x

é 1/

x

, i.e.

d

(log(

x

))/

dx

= 1/

x

•

A derivada do log de uma função de

x

é a derivada

da função divida pela função, i.e.

d

(log(

f

(

x

)))/

dx

=

f

′(

x

)/

f

(

x

)

E.g., a derivada do log(

x

+ 2

x

− 1) é (3

x

+ 2)/(

x

+

2

x

− 1)

•

A derivada de

e

é

e

.

•

A derivada de

e

é

f

′(

x

)

e

Derivadas de ordens superiores

• É possível diferenciar uma função mais de uma vez para calcular as derivadas de 2ª ordem, 3ª ordem, . . ., n-ésima ordem

• A notação para a derivada de 2ª ordem, que é geralmente chamada de derivada segunda, é

• Para calcular a derivada 2ª, diferencie a função em relação a x e a seguir diferencie novamente

Derivadas de ordens superiores (Cont.)

• A derivada 2ª é:

• A derivada 2ª pode ser interpretada como o gradiente do gradiente de uma função – i.e., a taxa de variação do

gradiente

• Como saber se um determinado ponto de inflexão é um máximo ou um mínimo?

• A resposta é examinar a derivada 2ª

Máximos e Mínimos de funções

• Considere a função quadrática y = 5x2 + 3x − 6

• Uma vez que o termo quadrático da equação tem sinal positivo, a função terá um formato de _∪ ao invés de ∩, e assim ela terá um mínimo em vez de um máximo:

dy/dx = 10x + 3, d2y/dx2 = 10

• Uma vez que a derivada 2ª é positiva, a função tem um mínimo

• Para achar onde esse mínimo está localizado, calcule a derivada 1ª, iguale a zero e resolva para x

• Fazendo 10x + 3 = 0, temos x = −3/10 = −0.3. Se x = −0.3, y é

encontrado substituindo-se x por −0.3 em y = 5x2 + 3x − 6 = 5 × (−0.3)2 +

(3 × −0.3) − 6 = −6.45.

Diferenciação Parcial

• Quando y é função de mais de uma variável, e.g. y = f (x₁, x₂,

. . . , x_n), pode ser interessante determinar o efeito que

variações em cada uma das variáveis x individual teriam

sobre y

• A diferenciação de y em relação a apenas uma das variáveis,

mantendo as demais constantes, é diferenciação parcial

• A derivada parcial de y em relação à variável x₁ é usualmente

denotada como ∂y/∂x₁ ( = “del”, “parcial”, “d ronde”)

• Todas as regras de diferenciação explicadas anteriormente ainda se aplicam e haverá uma derivada parcial (de 1ª

Como diferenciar parcialmente

• Calculam-se essas derivadas parciais uma de cada vez, tratando todas as demais variáveis como se fosse constantes

• Por exemplo, seja y = 3x₁3 + 4x₁ − 2x₂4 + 2x₂2, a derivada

parcial de y em relação a x₁ será ∂y/∂x₁ = 9x₁2 + 4, enquanto a

derivada parcial de y em relação a x₂ será ∂y/∂x₂ = −8x₂3 + 4x₂

• Exemplo de aplicação: O estimador de mínimos quadrados (OLS) tem fórmulas para os valores dos parâmetros que

minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, denotada por L

• O mínimo de L é encontrado pela diferenciação parcial desta

função e igualando a derivada parcial a zero

• Portanto, a diferenciação parcial tem um papel crucial na

Exemplo de aplicação: teoria do portfólio

–

carteira de mínima variância

Exemplo de aplicação: teoria do portfólio

–

carteira de mínima variância c/2 ativos

.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

Variância da carteira: 2 cov

Composição da carteira com 2 ativos (A e B): 1 1 Substituição de X por (1-X ) na equação da variância:

(1 ) 2 (1 ) cov

A

A

p A B B A B AB

A B B A

B A

p A A B A A

X X X X

X X X X

X X X X

  

  

  

    

     2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

(1 2 ) 2 (1 ) cov Minimização - derivada primeira igual a zero:

2 ( 2 2 ) (2 4 ) cov 0

2 ( ) 2 2cov 4 cov 0 2[( ) 2cov ] 2 2cov 0

So

A A

AB A A B A A AB

p

A A A B A AB

A

A A B B AB A AB

A B AB A B AB

X X X X X

X X X

X X X X                                       2 2 2 2 2 cov

lução: participação do ativo A na carteira ( ) 2cov

1 participação do ativo B na carteira

Condição de 2 ordem para a solução ser um mínimo derivada 2 maior que zero:

B AB A

A B AB

B A a a p X X X                

2 2 2 2

2 ( ) 2cov 0 cov

( ) A B AB AB A B A

Carteira de mínima variância: exemplo numérico (Ross et al. Finanças Corporativas, Cap. 10).

Carteira de mínima variância: solução

a) Var(Rc) = (Xa*0,1)^2+2*0,001*XaXb+(Xb*0,2)^2 = substituindo Xb por 1-Xa

(Xa*0,1)^2+2*0,001*Xa(1-Xa)+((1-Xa)*0,2)^2 = Isso resulta em:

0,048Xa^2-0,078Xa+0,04

Essa é a equação da variância em função de Xa. Para minimizar, deriva-se e iguala-se a zero: d(Var)/dXa=2*0,048Xa-0,078=0

solução: Xa = 0,8125 Xb=1-Xa=0,1875 Retorno esperado:

E(Rc)=0,8125*0,05+0,1875*0,1 = 5,9375%

b) Var(Rc) = (Xa*0,1)^2-2*0,02*XaXb+(Xb*0,2)^2 = (0,1Xa-0,2Xb)^2=0 Xa=2/3 substituindo Xb por 1-Xa e simplificando:

Var=0,09Xa^2-0,12Xa+0,04 Derivando e igualando a zero:

2*0,09Xa-0,12=0 Xa=2/3 Xb=1/3