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CAPÍTULO 3 – ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 3.1 – TABELA VERDADE

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Academic year: 2019

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CAPÍTULO 3 – ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

3.1 – TABELA VERDADE

Toda proposição derivada de proposições simples tem seu valor lógico que depende exclusivamente dos valores lógicos das proposições primitivas.

Para obter os valores lógicos de uma proposição derivada recorremos a um algoritmo

denominado tabela verdade no qual figuram todos as possíveis combinações dos valores lógicos das proposições primitivas.

Tal algoritmo é construído conforme abaixo:

Para uma proposição Para duas proposições Para três proposições

O número de linhas é determinado pelo número de arranjos com repetição de dois elementos tomados “n” a “n” onde “n” é o número de proposições combinadas, que é (AR)2n = 2n.

Para 4 proposições, a tabela verdade terá 24 = 16 linhas.

3.2 – TABELAS INICIAIS

Vejamos como são as tabelas das proposições: ~p, p  q, p  q, p  q, p  q.

Analisando as tabelas observa-se que:

- Negação: se V(p) = V então V(~p) = F e se V(p) = F então V(~p) = V.

- Disjunção: V(p  q) = F se e somente se V(p) = F e v(q) = F.

- Disjunção exclusiva: V(p  q) = F quando V(p) = V(q).

- Conjunção: V(p  q) = V somente quando V(p) = V(q) = V.

- Condicional: V(p  q) = F somente quando V(p) = V e V(q) = F.

- Bicondicional: V(p  q) = V quando V(p) = V(q).

EXERCÍCIOS 05

1. Dê o valor lógico das seguintes proposições:

a. A Lua é um satélite da Terra e o planeta Vênus gira em torno da Terra. b. Uma estrela tem luz própria ou o sol é um planeta.

c. Se 3 é par então 3 + 1 é impar. d. Se 3 é par então 5 é par.

e. 4 + 3 = 5 se e somente se 4 = 2 + 2. P

V F

P q V V V F F V F F

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

p ~p V F F V

p q p  q p  q p  q p  q p  q

V V V F V V V

V F V V F F F

F V V V F V F

(2)

2

f. Santos Dumont inventou o avião ou Cabral descobriu o caminho para as Índias.

2. Dê o valor lógico das seguintes proposições:

a. p  q, se V(p) = F e V(q) = F. b. p  q, se V(p) = F e V(q) = F. c. p  q, se V(p) = F e V(q) = F. d. p  q, se V(p) = F e V(q) = F. e. p  q, se V(p) = V e V(q) = F. f. p  q, se V(p) = V e V(q) = F. g. p  q, se V(p) = V e V(q) = F. h. p  q, se V(p) = V e V(q) = F I. p  q, se V(p) = F e V(q) = V. j. p  q, se V(p) = F e V(q) = V. k. p  q, se V(p) = F e V(q) = V. l. p  q, se V(p) = F e V(q) = V. m. p  q, se V(p) = V e V(q) = V. n. p  q, se V(p) = V e V(q) = V. p. p  q, se V(p) = V e V(q) = V. q. ~p se V(p) = F.

3.3 – OUTRAS TABELAS VERDADES

No item anterior foram construídas as tabelas verdades de proposições compostas formadas por duas proposições simples ligadas pelos conectivos “ou”, “e”, “se então”, “se e somente se” e a negação “não”.

Estas proposições compostas podem ser combinadas para formação de proposições mais complexas, como por exemplo: ~(p  q)  (p  ~q).

Vejamos a tabela verdade para a proposição acima. Como foram usadas duas proposições simples p e q, devemos usar 22 = 4 linhas, que correspondem a todas as possibilidades de

combinações de V e F das duas proposições.

1º processo:

Nas duas primeiras colunas indicam-se as combinações dos valores lógicos de p e q. Na terceira coluna calculam-se os valores lógicos de (p  q).

Na quarta coluna calculam-se os valores lógicos de ~(p  q).

Como são necessários os valores lógicos de ~q para obter p  ~q, na quinta coluna calculam-se os valores lógicos de ~q.

Na sexta coluna se os valores lógicos de p  ~q, e finalmente, na sétima coluna calculam-se os valores de ~(p  q)  (p  ~q).

2º processo

Este processo consiste em construir as duas primeiras colunas para os valores lógicos das proposições simples envolvidas e, à direita, uma coluna para cada proposição e para cada conectivo que figura na proposição composta.

Observando a ordem das operações lógicas envolvidas calculam-se os valores lógicos relativos a cada coluna.

É aconselhável deixar uma linha no final da tabela para numerar a seqüência dos cálculos a serem feitos.

Para o mesmo exemplo anterior, devemos criar 11 tabelas pois temos duas proposições simples e 8 proposições e conectivos figurando na proposição composta.

Na tabela acima foi observada a ordem:

1 – obtido a partir dos valores lógicos de p e q. 2 – negação de q.

3 – cálculo de p  q 4 – cálculo de ~(p  q) a partir de 3. 5 – cálculo de (p  ~q)

p q p  q ~(p  q) ~q p  ~q ~(p  q)  (p  ~q)

V V V F F F V

V F V F V V V

F V V F F F V

F F F V V F F

1 2 3 4 5 6 7

(3)

6 – cálculo de ~(p  q)  (p  ~q) a partir de 4 e 5.

A coluna 6 mostra os valores lógicos de ~(p  q)  (p  ~q).

Para simplificação pode-se eliminar as duas primeiras colunas pois os valores lógicos de p e q irão figurar nas demais colunas.

Exercícios resolvidos

1. Construir a tabela verdade da proposição (p ~q)  ((~p  r)  ~q) 1º processo.

Ordem dos cálculos:

1, 2, 3 – valores lógicos de p, q e r. 4, 5 – negações de p e q

6 – operação com as colunas 1 e 5 7 – operação com as colunas 4 e 3 8 – operação com as colunas 7 e 5 9 – operação com as colunas 6 e 8.

2º processo: (p ~q)  ((~p  r)  ~q)

Ordem dos cálculos:

1, 2, 3, 4, 5 – valores lógicos de p, q e r.

6, 7 e 8 – negações de 2, 4 e 3, respectivamente. 9 – resultado de 1 com 6.

10 – resultado de 8 com 5. 11 – resultado de 10 com 7 12 – resultado de 11 com 9.

2. Sejam p, q e r três proposições tais que V(p)= F, V(q) = V e V(r) = F.

Determine o valor lógico da sentença P(p, q, r) se P = (p ~q)  ~(q  (r  ~p)).

Solução: neste caso pede-se apenas para determinar o valor lógico para V(p)= F, V(q) = V e V(r) = F.

Não há, assim, necessidade de se construir toda a tabela. Usaremos o segundo processo para resolver a questão.

São necessárias 12 colunas pois temos 5 proposições, 3 negações, 1 condicional, 1 bicondicional, 1 conjunção e uma disjunção.

p q r ~p ~q p ~q ~p  r ((~p  r)  ~q) (p ~q)  ((~p  r)  ~q)

V V V F F F V F V

V V F F F F F F V

V F V F V V V V V

V F F F V V F F F

F V V V F V V F F

F V F V F V V F F

F F V V V V V V V

F F F V V V V V V

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(p  ~ q)  ((~ p  r)  ~ q)

V F F V V F V V V F F V

V F F V V F V F F F F V

V V V F V F V V V V V F

V V V F V F V F F F V F

F V F V F V F V V F F V

F V F V F V F V F F F V

F V V F F V F V V V V F

F V V F F V F V F V V F

1 9 6 2 12 8 3 10 5 11 7 4

(4)

4 Ordem dos cálculos:

1, 2, 3, 4, 5 – valores lógicos de p, q e r. 6, 7 – negações de q e p.

8 – resultado de 1 e 6. 9 – resultado de 5 e 7. 10 – resultado de 4 e 9. 11 – negação de 10 12 – resultado de 8 e 11.

Assim, o valor lógico de P(p, q, r), para P(FVF), é F como pode ser visto na coluna 12.

3. Sejam as proposições p: 3 + 1 = 4, q: 2 > 3, r: 1  0 e s: 23 = 8.

Determine o valor lógico de (p ~q)  ~(q  (s  ~r)).

Solução: neste exercício, devemos inicialmente verificar o valor lógico das sentenças dadas. V(p) = V pois 3 + 1 = 4 é verdadeiro.

V(q) = F pois 2 > 3 não é verdadeiro. V(r) = V pois 1  0 é verdadeiro. V(s) = V pois 23 = 8 é verdadeiro.

Serão necessárias 12 colunas: p, q, q, r, s, três negações, uma condicional, uma bicondicional, uma conjunção e uma disjunção.

Ordem dos cálculos:

1, 2, 3, 4, 5 – proposições p, q, q, s, r. 6, 7 – negações de 2 e 5, respectivamente. 8 – resultado de 1 e 6.

9 – resultado de 4 e 7. 10 – resultado de 3 e 9. 11 – negação de 10. 12 – resultado de 11 e 8. Portanto, V(VFVV) = V.

3.4 – PONTUAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Conforme ocorre em expressões algébrica, o uso de parênteses permite identificar a ordem dos cálculos a serem feitos. Ao usar diversos pares de parênteses deve-se iniciar os cálculos a partir do último parêntese que se abre e do primeiro parêntese que se fecha a contar da direita.

Entretanto, caso não ocorra dupla interpretação, os parênteses podem ser eliminado. Em tal situação, convenciona-se a ordem (1) ~, (2)  e , (3)  e (4) .

Tomando por exemplo a proposição p  q  ~r  p, a aplicação de parênteses leva a p  ((q  (~r))  p).

3.5 – USANDO SOFTWARES PARA CONSTRUÇÃO DE TABELAS VERDADE

Os dois principais programas que trabalham com planilhas de cálculos são o Excel do pacote Office da Microsoft e o StarCalc do pacote do Star Office da Sun Micro Systems. A vantagem do segundo em relação ao primeiro está na gratuidade do programa (até versão 5.2) e no uso para cálculo com matrizes.

Iremos descrever aqui, como usar o StarCalc, porém os procedimentos são idênticos para os dois.

(1) Para inicializar o StarCalc, use o caminho: botão INICIAR, Opção PROGRAMAS, Star Office – v, Star Office – v. (v é a versão instalada).

(2) Ao abrir a página inicial serão exibidos os ícones dos programas constantes do Desktop (página inicial do Windows) e a seguir uma janela onde você faz as opções sobre os programas para uso da Internet. Marque a opção “sem modificações” e clique em OK.

(p  ~ q)  ~ (q  (s  ~ r)

V V V F V V F F V F F V

(5)

Dependendo da configuração, na parte inferior da página, será exibido um quadro onde são fornecidas dicas sobre o uso do programa. Clique no botão marcado com “X” para fechar este quadro e assim, ser possível o trabalho em tela cheia.

(3) A seguir, clique no menu Fichero (Arquivo), desloque o ponteiro do mouse até a opção Novo. A seguir, desloque o ponteiro do mouse até a opção “Folha de Cálculo” e clique nessa opção.

Será então aberta uma folha dividida em retângulo. Tal folha é chamada de planilha e cada retângulo é uma célula. A posição da célula é identificada por uma letra (coluna) e um número (linha).

Assim, a célula C5, é o retângulo posicionado na coluna C e na linha 5.

Para construir tabelas verdades devemos indicar nas células um dos julgamentos VERDADEIRO ou FALSO por extenso.

Os comandos para os cálculos são: = NÃO(p), = OU(p; q); = E(p; q) onde p e q são as células onde estão registrados os valores VERDADEIRO ou FALSO.

Vejamos como criar uma tabela verdade no StarCalc (ou no Excel). Tomemos por exemplo, a tabela verdade de p  ~q.

Serão indicadas as células a serem usadas para facilitar as referências.

(4) Nas células B2, B3, B4, B5 digite os valores lógicos de p (VERDADEIRO, VERDADEIRO, FALSO, FALSO);

(5) Nas células C2, C3, C4, C5 digite os valores lógicos de q (VERDADEIRO, FALSO, VERDADEIRO, FALSO);

(6) Na célula D2 digite =NÃO( e a seguir clique na célula C2. Digite ) para fechar o parêntese e completar =NÃO(C2). Assim, você terá o valor lógico de ~q.

Pressione ENTER.

(7) Clique na célula D2 para seleciona-la. No canto inferior direito da célula será exibido um pequeno quadrado em negrito. Posicione o ponteiro do mouse sobre o quadrado e, mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse, arraste o ponteiro até a célula D5.

Isto fará copiar a fórmula para as demais células.

Nas células D2, D3, D4, D5 serão exibidos os valores lógicos de ~q (FALSO, VERDADEIRO, FALSO, VERDADEIRO).

(8) Na célula E2 digite =OU( , clique na célula B2, digite (;) sem os parênteses, clique na célula D2, digite ) para fechar o parênteses. Pressione a tecla ENTER.

Proceda como em (4) para obter os valores lógicos de p  ~q.

É importante observar que os conectivos ,  e  não são aplicáveis no Excel e no StarCalc. Para construir tabelas com estes conectivos use as equivalências, cujas justificativas serão vistas no capítulo 4.

(1) p  q  ~p  q

(2) p  q  (~p  q)  (~q  p). (3) p  q  (p  ~q)  (q  ~p).

EXERCÍCIOS 06

1. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições

a) ~p  (q  p) b) ~p  (q  p) c) ~p  (q  p) d) ~p  (q  p) d) ~p  (q  p) e) p  (~q  p) f) p  (~q  p) f) (p  q)  (~p  q) g) (p  q)  (~p  q) h) (p  q)  (~q  p) i) ~(p  q)  ~(p  q) j) ~(p  q)  ~(p  q) k) ~p  (p  (q  ~p)) l) p  ~(p  ~(q  ~p)) m) ~(~p  q).

2. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições a) ~(p  q) b) ~p  ~q.

Que conclusão pode-se tirar a respeito das duas proposições.

3. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições a) ~(p  q) b) ~p  ~q.

(6)

6

4. A partir das conclusões tiradas nos exercícios 2 e 3, negue as proposições: a) Maria é bonita e Maria é estudiosa.

b) Maria é bonita ou Maria é estudiosa.

c) Maria não é bonita e Maria não é estudiosa. d) Maria não é bonita ou Maria não é estudiosa. e) Maria não é bonita ou Maria é estudiosa. f) Maria é bonita e Maria não é estudiosa. g) Maria é bonita ou Maria não é estudiosa.

5. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições. a) ~(~p  q)  (r  s) b) ~(p  q)  ~(r  q)

c) ~(p  q)  ~((p  ~r)  (~q  s)) d) ~(p  q)  ~((p  ~r)  (~q  s))

6. Considere as proposições p, q, r, s tais que V(p) = V(s) = F e V(q) = V(r) = V. Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas:

a) ~p  (q  p) b) ~(p  q)  ~(p  ~r) c) ~(p  q)  ((p  ~r)  (~q  s)).

7. Considere as proposições p: A lua tem luz própria; q: A Unipac ministra curso superior; r: Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil; s: Santos Dumont inventou a lâmpada.

Determine o valor lógico das proposições:

a) (p  q)  (r  s). b) (p  q)  (r  s). c) ~(p  q)  ((p  ~r)  (~q  s)). d) ~(p  q)  ~(p  ~r)  (~q  s) e) ~(s  q)  ~(p  ~r)

8. Escreva as proposições sob forma simbólica, construa a tabela verdade e, a partir do resultado encontrado decida o que Antônio deve fazer.

a) Antônio irá passear se e somente se Carlos for jogar futebol e Marina for assistir televisão. b) Marina irá assistir televisão se Luis ou Paula trouxer um filme romântico.

c) Paulo irá trazer o filme, mas Carlos não vai jogar futebol.

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