Equações Elípticas com Potencial Singular

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(1)Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica. Equa¸ c˜ oes El´ıpticas com Potencial Singular. por. Roberval de Jesus Leone dos Santos. Bras´ılia 2006.

(2) Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática. Equa¸c˜ oes El´ıpticas com Potencial Singular por Roberval de Jesus Leone dos Santos. Tese apresentada ao Departamento de Matem´ atica da Universidade de Bras´ılia, como parte dos requisitos para obten¸c˜ ao do grau de ´ DOUTOR EM MATEMATICA Bras´ılia, 15 de dezembro de 2006. Comissão Examinadora:. Prof. José Valdo Abreu Gon¸calves - MAT/UnB (Orientador). Prof. Ma To Fu - ICMC/USP. Prof. Arthur Vicentini Ferreira de Azevedo - MAT/UnB. Prof. Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki - DM/UFV. Prof. Carlos Alberto Pereira dos Santos - MAT/UnB.

(3) Agradecimentos. Agrade¸co ao Prof. José Valdo pela orienta¸cão perfeita e marcante. Distinguir, em matemática, aquilo que parece ser daquilo que, de fato, é, fazendo, ainda, uso de uma argumenta¸cão bela, serena e inequ´ıvoca, compete a pouqu´ıssimos: somente aos ”escolhidos”como ele. Ao Prof. Antonio Luiz de Melo, que me fez passar por uma das portas estreitas. A seguir, viriam outras portas cada vez mais delgadas e, durante a trajetória, encontrei vários colegas de mão aberta, especialmente: Rogério, ainda no curso de mestrado, Angelo R. F. de Holanda, Juliana Rabelo e Jiazheng Zhou. Ao Prof. Carlos Alberto P. dos Santos, que acompanhou meus trabalhos. Ao Sr. Manuel, meu amigo, profissional exemplar. Aos dirigentes com os quais trabalhei, no exerc´ıcio da fun¸cão p´ ublica: Ney Leal, Geraldo Garcia, Afonso de Almeida e Maur´ıcio Muniz. Aos meus amigos Nilson Figueiredo Filho e Jorge Eurico: no momento adequado indicaramme quando haveria bom tempo e onde estaria o porto seguro. Ambos foram atingidos. Por fim, à minha fam´ılia pela inquebrantável presen¸ca: suprema deve ser a obstina¸cão mesmo sendo ´ınfima a esperan¸ca.. i.

(4) Sum´ ario. Resumo. iv. Abstract. v. Introdu¸ c˜ ao. 1. 1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸ c˜ oes 13 1.1. Geometria do Passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.2. Minimiza¸cão Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.3. Princ´ıpio Variacional de Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 1.4. Regularidade e Comportamento de Solu¸cões no Infinito . . . . . . . . . . . 27. 1.5. Identidades Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 1.6. Um Teorema de Sub e Supersolu¸cões para Potenciais Singulares . . . . . . 45. 2 Equa¸ c˜ ao n˜ ao-Homogˆ enea. 53. 2.1. Solu¸cões radiais: demonstra¸cão do teorema A . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 2.2. Solu¸cões não-radiais: demonstra¸cão do teorema B . . . . . . . . . . . . . . 62. ii.

(5) Sumário. iii. 3 Equa¸ c˜ ao Homogˆ enea: crescimento sublinear. 71. 3.1. Solu¸cões radiais: demonstra¸cão do teorema C . . . . . . . . . . . . . . . . 71. 3.2. Solu¸cões não-radiais: demonstra¸cão do teorema D . . . . . . . . . . . . . . 81. 4 Equa¸ c˜ ao Homogˆ enea: crescimento subcr´ıtico: prova do teorema E. 90. A Diferenciabilidade do Funcional de Euler-Lagrange. 103. B Sobre Princ´ıpios Variacionais. 107. B.1 Teorema do Passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 B.2 Teorema de Minimiza¸cão Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 B.3 Princ´ıpio Variacional de Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 B.4 Um Lema de Concentra¸cão-Compacidade para Potenciais Singulares . . . . 109 B.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 117.

(6) Resumo. Neste trabalho formulamos e provamos resultados sobre existência, multiplicidade, unicidade e taxa de decaimento no infinito de solu¸cões de equa¸cões el´ıpticas semilineares com um potencial singular. Em alguns casos, provamos que a solu¸cão explode na origem. Discutimos também o comportamento de solu¸cões com rela¸cão a parâmetros envolvidos nas equa¸cões. São utilizados métodos variacionais, concentra¸cão-compacidade, sub e supersolu¸cões e é explorada a simetria de classes de equa¸cões associadas.. iv.

(7) Abstract. In this work we establish results on existence, multiplicity, uniqueness and the rate of decay at infinity of solutions of semilinear elliptic equations with a singular potential. In certain situations we show that the solutions blowup at the origin. We also discuss the behavior of the solutions with respect to the parameters appearing in the elliptic equation. Variational methods, the concentration-compactness principle, the lower and upper solutions technique and symmetry arguments are exploited.. v.

(8) Introdu¸c˜ ao. Neste trabalho estudamos existência, multiplicidade, unicidade, regularidade e comportamento qualitativo de solu¸cões da equa¸cão com um potencial singular 2∗ −1. uθ −∆u = λ + θ + αk(x)uq+ + µf (x) em RN , |x|. (0.1). onde λ, α, µ ≥ 0 são parâmetros, 2∗θ := 2 (N − θ)/(N − 2), 0 ≤ θ ≤ 2, q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1), 2∗ := 2∗0 , N ≥ 3, |x| é a norma euclidiana de x, u+ := max{0, u} e k, f : RN → R satisfazem as seguintes condi¸cões:. k, f ∈ C(RN ). (kf )1. k, f ≥ 0 e k, f 6≡ 0.. (kf )2. No Cap´ıtulo 1 provaremos resultados técnicos para (0.1) que serão u ´teis nas demonstra¸cões dos nossos resultados principais. No Cap´ıtulo 2 faremos α = 0 em (0.1), a qual se reescreve como 2∗ −1. uθ −∆u = λ + θ + µf (x) em RN . |x|. 1. (0.2).

(9) Introdu¸cão. 2. Nos Cap´ıtulos 3 e 4 consideraremos (0.1) com a perturba¸cão homogênea, com crescimento sublinear (0 < q < 1) e com crescimento subcr´ıtico (1 < q < 2∗ − 1), respectivamente, fazendo em (0.1) µ = 0. Em ambos os casos, (0.1) torna-se: 2∗ −1. uθ −∆u = λ + θ + αk(x)uq+ em RN . |x|. (0.3). A literatura a respeito de (0.1) é vasta. Consideraremos, a seguir, alguns resultados e quais as melhorias que neles implementamos com este trabalho. Pan [34] demonstrou que a equa¸cão ∗. −∆u = u2+ −1 + k(x)uq+ em RN , onde N ≥ 3, k : RN → R é cont´ınua, k ≥ 0, k 6≡ 0 e 1 < q < 2∗ − 1, admite uma solu¸cão positiva u ∈ D1,2 (RN ), desde que k satisfa¸ca certas condi¸cões de integrabilidade. Pan [34] usou uma variante do Teorema do Passo da Montanha em cones devida a Hofer [26]. Melhoramos o teorema 2 de Pan [34] ao caracterizarmos um blow-up da solu¸cão na origem para várias situa¸cões de θ da correspondente equa¸cão radial de (0.3). Gon¸calves e Alves [24] estenderam o principal resultado de Pan [34] usando uma técnica desenvolvida por Brézis e Nirenberg [11] junto com uma variante do Teorema do Passo da Montanha de Brézis e Nirenberg [11], provando a existência de solu¸cão não-negativa e não-identicamente nula com energia positiva em D1,2 (RN ) do problema  ∗  −∆u = u2 −1 + h(x)uq em RN , . u ≥ 0,. (0.4). u 6≡ 0,. 2N , h ≥ 0, h 6≡ 0 e valem: (i) 2N − (q + 1)(N − 2) é pequeno no sentido apropriado ou (ii) 1 < q < 2∗ − 1.. onde N > 2, h ∈ Lθ (RN ) com θ = 0 < q < 1 e |h|Lθ (RN ). Nosso trabalho estende os resultados de Gon¸calves e Alves [24] devido à presen¸ca de um potencial singular acoplado à potência cr´ıtica como em (0.3) e encontra uma solu¸cão adicional em D1,2 (RN ) com energia negativa. Além disso, mostramos um blow-up da solu¸cão na origem e calculamos a taxa de decaimento no infinito da solu¸cão, sob certas condi¸cões. Assun¸cão [5] (cf. também Assun¸cão, Carrião e Miyagaki em [6]) provou existência e multiplicidade de solu¸cões em D1,2 (RN ) via métodos variacionais para a equa¸cão geral. −div(. |∇u|p−2 ∇u |u|p−2 u |u|q−2 u |u|r−2 u ) + λ = α + βk(x) + f (x) em RN , ap (a+1)p bq dr |x| |x| |x| |x|. (0.5).

(10) Introdu¸cão. 3. onde 1 < p ≤ N − 1, N ≥ 3, q =. Np , α, β, λ são parâmetros, 0 ≤ a < N − p(a + 1 − b). q N −p q−r , a ≤ b ≤ a + 1, d, r ∈ R, k ∈ Lr(d−b) (RN ) e f ∈ (Lqb (RN ))0 . p. Para o caso particular de (0.5) com p = 2, a = 0, λ = β = 0, α > 0, q = 2∗θ e b = θ/2∗θ , melhoramos (0.5) adicionando-lhe vários resultados de regularidade e comportamento assintótico das solu¸cões determinadas pelo teorema 1.6 de Assun¸cão [5]. Alves, Gon¸calves e Santos [3] provaram, usando métodos variacionais, minimiza¸cão clássica e técnicas de sub e supersolu¸cões, que o problema  g(u) N    −∆u = λ |x|θ + ρ(x)f (u) em R ,    |x|→∞ u > 0 em RN , u(x) −→ 0, onde N > 2, ρ : RN → [0, ∞), ρ 6≡ 0, λ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 e f, g : [0, ∞) → [0, ∞) cont´ınuas e não-decrescentes, admite uma solu¸cão em D1,2 (RN ) para certas condi¸cões adicionais técnicas de ρ, f, g. Alves, Gon¸calves e Santos [3] encontraram, ainda, resultados de regularidade da solu¸cão e sua taxa de decaimento. Nosso trabalho faz uso de várias técnicas adotadas por Gon¸calves e Alves [24] e Alves, Gon¸calves e Santos [3] no que se refere ao estudo da existência, regularidade e comportamento assintótico da solu¸cão no infinito e melhora os resultados de Alves, Gon¸calves e Santos [3] ao encontrar uma solu¸cão adicional com energia negativa, fazer análise quantitativa de parâmetros e provar a unicidade para o caso θ = 2. Em dom´ınio limitado, Tarantello [40] mostrou que o problema  ∗  −∆u = |u|2 −2 u + f (x) em Ω, . (0.6). u = 0 sobre ∂Ω,. onde Ω é um dom´ınio limitado com fronteira regular ∂Ω, admite ao menos duas solu¸cões não-negativas em H01 (Ω), se f ∈ H −1 (Ω) é não-negativa, não-identicamente nula e |f |H −1 (Ω) é suficientemente pequena. A equa¸cão (0.2) generaliza (0.6) para o RN e estende resultados de Tarantello [40] para 0 < θ ≤ 2. Dupaigne [16] provou que o problema  u   −∆u = λ |x|2 + f (x) em Ω,  . u = 0 sobre ∂Ω,.

(11) Introdu¸cão. 4. onde Ω é um dom´ınio limitado com fronteira regular ∂Ω, admite uma u ńica solu¸cão em 2 1 −1 H0 (Ω), desde que λ ∈ (0, (N − 2) /4) e f ∈ H (Ω). Esse resultado é estendido, neste trabalho, para o RN . Voltando ao RN , Montefusco [33] mostrou que a equa¸cão −∆u = λ. u + f (x) em RN |x|2. admite uma solu¸cão em D1,2 (RN ), desde que |x|→∞. 2N. λ ∈ (0, H), f ∈ L N +2 (RN ), f (x) −→ 0 e f (x) ≥ δ0 qtp em B, onde, H = ( N 2−2 )2 , δ0 > 0 é uma constante conveniente e B ⊂ RN é alguma bola. Em nosso trabalho (equa¸cão (0.2) com µ = 1 e θ = 2), a fun¸cão f é mais geral do que a adotada por Montefusco, podendo ser, por exemplo, do tipo dente-de-serra. Recentemente, Hirano, Micheletti e Pistoia [25] provaram que a equa¸cão −∆u = |u|2. ∗ −2. u + f (x) em RN. admite ao menos três solu¸cões em D1,2 (RN ), sendo duas positivas e uma não-positiva, se 3 ≤ N ≤ 6 e f ∈ L∞ (RN ) é não-negativa, não-identicamente nula e satisfaz condi¸cões adicionais técnicas. Estendemos este resultado quanto às duas solu¸cões positivas sem fazer restri¸cões do tipo 3 ≤ N ≤ 6 e θ = 0. Nossos resultados são motivados por alguns problemas f´ısicos ou matemáticos dispon´ıveis na literatura. Fazemos referência a alguns deles. A equa¸cão (0.2) aparece em teoria da probabilidade, no estudo de processos estocásticos (cf. Bernard [8]). Como exemplo de modelagem f´ısica tem-se o movimento superbrowniano estudado por Lee [28]. A equa¸cão (0.2) também faz-se presente, especialmente quando θ = 2, em problemas de combustão (cf. Peral e Vázquez [35]) e na Lei de Coulomb (cf. Fefferman [20]). A equa¸cão (0.3), quando λ = µ = 0 e q > 1, surge em geometria riemanniana, sendo k a curvatura escalar (cf. Ding e Ni [14] e Li e Ni [29]). A seguir, firmamos algumas nota¸cões, condi¸cões e observa¸cões para enunciarmos nossos resultados principais, que serão provados nos Cap´ıtulos 2, 3 e 4 a partir de resultados auxiliares obtidos no Cap´ıtulo 1..

(12) Introdu¸cão. 5. Definindo b k(r) := max k(x), r ≥ 0 e fb(r) := max f (x), r ≥ 0, |x|:=r. |x|:=r. temos que b k e fb são fun¸cões radialmente simétricas satisfazendo, respectivamente, b k ∈ C(RN ), b k≥0 e b k≡ 6 0 , fb ∈ C(RN ), fb ≥ 0 e fb ≡ 6 0. Suporemos que b k ∈ Larad (RN ), fb ∈ Lbrad (RN ),. (kf )3. 2N 2N , b := e Larad (RN ), Lbrad (RN ) são, respectiva(N + 2) − (N − 2)q N +2 mente, os subespa¸cos fechados das fun¸cões radialmente simétricas de La (RN ) e Lb (RN ). Z Z 1,2 1,2 N N Denotaremos por k · k a norma de D (R ) e de Drad (R ) e escreveremos := .. onde a :=. RN. N. Dado um espa¸co normado E sobre um dom´ınio Ω ⊆ R , denotaremos sua norma por | · |E := | · |E(Ω) . Sempre que não haja confusão de nota¸cão, faremos E := E(Ω). Por fim, lembramos que ωN é o volume da bola unitária de RN . Os dois n´ umeros reais positivos seguintes exercerão papel importante em métodos variacionais:. −2∗ /2 Sθ θ 2 ∗ 2θ. ( α ¯ :=. ". −(q+1)/2 b ( 1−q )S0 |k|Larad q+1. (2∗θ. − 2). #. 2∗ θ −2 2∗ −1−q θ. +2. −2∗ /2 θ. Sθ. −(q+1)/2 b S0 |k|Larad. q+1. 2∗θ. ". (2∗θ. µ ¯ :=. 2∗θ. . 1 2∗ −2 θ. −2∗θ /2. Sθ. (2∗θ − 2) ∗ −1 , ∗ 22∗θ −2 −1/2 b S0 |f |Lbrad 2(2θ − 1) θ. onde Z Sθ :=. inf. u∈D1,2 , u6≡0. Z. |∇u|2 dx ∗. |u|2θ 22∗ dx θ |x|θ. 2∗θ. −(q+1)/2. 1−q ( q+1 )S0. e . − 2). −2∗ θ /2. Sθ. |b k|Larad. #. 1−q 2∗ −1−q θ. ∗ ) q+1−2 θ ∗ 2 −2 θ.

(13) Introdu¸cão. 6. é a melhor constante para a imersão 2∗. ∗. D1,2 (RN ) ,→ Lθθ (RN ) := L2 (RN , 1/|x|θ dx), decorrente da desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12], que se escreve: |u|. 2∗. Lθθ. −1/2. ≤ Sθ. kuk, u ∈ D1,2 (RN ),. e S0 é a melhor constante para a imersão de Sobolev, a saber: ∗. D1,2 (RN ) ,→ L2 (RN ). Notemos que quando θ = 0, a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12] reduz-se a` desigualdade de Sobolev, a qual implica a imersão antes mencionada. Do Carmo e Xia [15] provaram que a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12] é satisfeita não apenas sobre o espa¸co euclidiano ordinário, mas também sobre variedades completas com curvatura de Ricci não-negativa e dimensão N ≥ 3. No caso θ = 2, a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12] torna-se a desigualdade de Hardy, a saber: −1/2. |u|L22 ≤ S2. kuk, u ∈ D1,2 (RN ).. Foi provado por Ghoussoub e Yuan [22] que para θ ∈ [0, 2), Sθ é atingida em N −2. 2−N. wδ (x) = [δ(N − θ)(N − 2)] 2(2−θ) (δ + |x|2−θ ) 2−θ ,. (Wδ ). onde δ > 0 e que, de fato, a fam´ılia de fun¸cões {wδ } provê as u ńicas solu¸cões positivas 1,2 N radialmente simétricas em D (R ) para a equa¸cão ∗. u2θ −1 em RN −∆u = λ θ |x|. (Eθ ). com λ = 1. Decorre que 2∗θ. kwδ k2 = |wδ |. 2∗ Lθθ. N −θ. = Sθ2−θ .. (CN,θ ). O caso θ = 2 de (Eθ ) foi estudado por Catrina e Wang [13]. Esses autores mostraram que (Eθ ) não admite solu¸cão não-trivial, se λ ∈ (0, S2 ) e que S2 nunca é atingida..

(14) Introdu¸cão. 7. Para estabelecermos nossos resultados, consideraremos a seguinte equa¸cão associada a (0.1): 2∗ −1. u bθ k(x)b uq+ + µfb(x) em RN . −∆b u = λ + θ + αb |x|. (0.7). No Cap´ıtulo 1 provaremos resultados técnicos para (0.7) que auxiliarão na demonstra¸cão dos teoremas enunciados adiante. No Cap´ıtulo 2 trataremos (0.7) com a perturba¸cão não-homogênea (α = 0) como a equa¸cão associada a (0.2). Nos Cap´ıtulos 3 e 4 consideraremos (0.7) com a perturba¸cão homogênea (µ = 0), com crescimento sublinear (0 < q < 1) e com crescimento subcr´ıtico (1 < q < 2∗ − 1), respectivamente, como a equa¸cão associada a (0.3). 1,2 Seja u b ∈ Drad (RN ). O funcional de Euler-Lagrange correspondente a (0.7) é definido por. 1 I(b u) = 2. Z. λ |∇b u| dx − ∗ 2θ 2. Z. 2∗. u b+θ α dx − θ |x| q+1. Z. b kb uq+1 + dx − µ. Z fbu bdx.. (0.8). 1,2 I é de classe C 1 (Drad (RN ), R) em virtude da desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg 1,2 [12] (cf. Apêndice A) e sua derivada de Gâteaux é dada, para cada φ ∈ Drad (RN ), por. Z. 0. hI (b u), φi =. Z ∇b u · ∇φdx − λ. 2∗ −1. u b+θ φdx − α |x|θ. Z. b kb uq+ φdx − µ. Z fbφdx.. (0.9). Adotaremos a mesma nota¸cão I e I 0 , respectivamente, para o funcional e sua derivada relativamente às equa¸cões associadas a (0.2) e a (0.3). 1,2 Uma solu¸cão fraca de (0.7) é um elemento u b ∈ Drad (RN ) satisfazendo, para cada φ ∈ 1,2 Drad (RN ),. Z. Z ∇b u · ∇φdx = λ. 2∗ −1. u b+θ φdx + α |x|θ. Z. b kb uq+ φdx + µ. Nossos principais resultados são enunciados a seguir.. Z fb φdx.. (0.10).

(15) Introdu¸cão. 8. Nosso primeiro teorema fornece propriedades de regularidade e comportamento assintótico no infinito e na origem para solu¸cões radialmente simétricas de (0.7) com α = 0. Garante também existência, multiplicidade e, em certos casos, unicidade de solu¸cões dessa equa¸cão. Formulamos abaixo o teorema.. Teorema A. Sejam λ ≥ 0, α = 0, µ > 0 e θ ∈ [0, 2] em (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . 1,2 Se u b ∈ Drad (RN ) é uma solu¸cão fraca n˜ ao-negativa de (0.7), ent˜ ao. (i) (ii). (iii). u b ∈ C 2 (RN \ {0} ), ∇b u(x) · x < 0 em RN \ {0} e u b > 0 em RN , kb u k2 Z 2∗θ quando |x| → ∞, u b(x) = O λωN |x|N −θ + µ fbdy N −θ B|x| (0) |x|→0 u b(x) → ∞, se adicionalmente fb satisfaz:. N +2b fb ∈ C 1 (RN ), fb > 0, f (x) + ∇fb(x) · x ≥ 0 e 2 (0.11) |∇fb(x)| = O(|x|−c ) quando |x| → ∞, onde c >. N +4 . 2. Além disso, (0.7) admite (iv). 1,2 duas solu¸cões fracas u b1 , u b2 ∈ Drad (RN ) tais que u b1 , u b2 ≥ 0, u b1 , u b2 6≡ 0. e I(b u1 ) < 0 < I(b u2 ) se 0 ≤ θ < 2, λ = 1 e 0 < µ < µ ¯, (v). 1,2 uma solu¸cão fraca u b3 ∈ Drad (RN ) tal que u b3 ≥ 0, u b3 6≡ 0. e I(b u3 ) < 0 se. θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , µ > 0. No caso (v), a solu¸cão é u ńica se adicionalmente fb > 0.. Observa¸cão Um exemplo de fun¸cão que satisfaz a condi¸cão (0.11) é apresentado no Apêndice B..

(16) Introdu¸cão. 9. Nosso segundo resultado refere-se à equa¸cão (0.1) com α = 0. Não são exigidas condi¸cões ´ estudado o comportamento das eventuais solu¸cões com rela¸cão aos de simetrias. E parâmetros µ e λ e, por fim, obtemos condi¸cões para a existência de solu¸cões fracas e descrevemos seu decaimento no infinito.. Teorema B. Sejam λ ≥ 0, α = 0, µ > 0 e θ ∈ [0, 2] em (0.1) e em (0.7) e seja ub ∈. 1,2 Drad (RN ) uma solu¸cão fraca de (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Se u ∈ D1,2 (RN ) é uma solu¸caõ fraca positiva de (0.1) no sentido de D1,2 (RN ) tal que u ≤ u b, ent˜ ao. (i). µ→∞. u → 0 em. Z. N L∞ loc (R \{0}). se. f (y)dy > 0,. 0 < r < R < ∞,. r≤|y|≤R. (ii). (iii). λ→∞. N u → 0 em L∞ loc (R \{0}),. µ→0. u → 0 em D1,2 (RN ) se θ = 2 e. λ ∈ [0, S2 ).. Além disso, (0.1) admite uma solu¸cão fraca positiva u ∈ D1,2 (RN ) no sentido de D1,2 (RN ) com u ≤ u b se valem:. (iv). 0 ≤ θ < 2, 0 ≤ λ ≤ 1 e 0 < µ < µ ¯. ou (v). θ = 2, 0 ≤ λ < S2 e µ > 0.. Adicionalmente,. (vi). ∗. u(x)2θ = O. . 1 λωN |x|N −θ + µ N −θ. Z f (y)dy B|x| (0). quando |x| → ∞..

(17) Introdu¸cão. 10. Nosso terceiro teorema fornece propriedades de regularidade e comportamento assintótico no infinito e na origem para solu¸cões radialmente simétricas de (0.7) com µ = 0 e 0 < q < 1 (crescimento sublinear). Garante também existência, multiplicidade e, em certos casos, unicidade de solu¸cões dessa equa¸cão. Formulamos abaixo o teorema.. Teorema C. Sejam λ ≥ 0, α > 0, µ = 0, 0 < q < 1 e θ ∈ [0, 2] em (0.7). Suponha 1,2 (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Se u b ∈ Drad (RN ) é uma solu¸c˜ ao fraca n˜ ao-negativa e n˜ ao-identicamente nula de (0.7), então. (ii). u b ∈ C 2 (RN \ {0} ), ∇b u(x) · x < 0 em RN \ {0} e u b > 0 em RN , kb u k2 Z 2∗θ quando |x| → ∞, u b(x) = O λωN b |x|N −θ + α kdy N −θ B|x| (0). (iii). |x|→0 u b(x) → ∞, se adicionalmente b k satisfaz:. (i). N N −2 b 1 b k ∈ C 1 (RN ), b k > 0, ( − )k(x) + ∇b k(x) · x ≥ 0 e q+1 2 q+1 (0.12) N + 4 + 2q − N q |∇b k(x)| = O(|x|−d ) quando |x| → ∞, onde d > . 2 Além disso, (0.7) admite (iv). 1,2 duas solu¸cões fracas u b1 , u b2 ∈ Drad (RN ) tais que u b1 , u b2 ≥ 0, u b1 , u b2 6≡ 0. e I(b u1 ) < 0 < I(b u2 ) se 0 ≤ θ < 2, λ = 1 e 0 < α < α ¯, (v). 1,2 uma solu¸cão fraca u b3 ∈ Drad (RN ) tal que u b3 ≥ 0, u b3 6≡ 0. θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , α > 0. No caso (v), a solu¸cão é u ńica se adicionalmente b k > 0.. e I(b u3 ) < 0 se.

(18) Introdu¸cão. 11. Nosso quarto resultado refere-se à equa¸cão (0.1) com µ = 0 e 0 < q < 1 (crescimento ´ estudado o comportamento das sublinear). Não são exigidas condi¸cões de simetrias. E eventuais solu¸cões com rela¸cão aos parâmetros α e λ e, por fim, obtemos condi¸cões para a existência de solu¸cões fracas e descrevemos seu decaimento no infinito.. Teorema D. Sejam λ ≥ 0, α > 0, µ = 0, 0 < q < 1 e θ ∈ [0, 2] em (0.1) e em 1,2 (0.7) e seja u b ∈ Drad (RN ) uma solu¸c˜ ao fraca de (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . 1,2 N Se u ∈ D (R ) é uma solu¸cão fraca positiva de (0.1) no sentido de D1,2 (RN ) tal que u≤u b, ent˜ ao. (i). α→∞. u → 0 em. N L∞ loc (R \{0}). Z se. k(y)dy > 0,. 0 < r < R < ∞,. r≤|y|≤R. (ii). (iii). λ→∞. N u → 0 em L∞ loc (R \{0}),. α→0. u → 0 em D1,2 (RN ) se θ = 2 e. λ ∈ [0, S2 ).. Além disso, (0.1) admite uma solu¸cão fraca positiva u ∈ D1,2 (RN ) no sentido de D1,2 (RN ) com u ≤ u b se valem:. (iv). 0 ≤ θ < 2, 0 ≤ λ ≤ 1 e 0 < α < α ¯. ou (v). θ = 2, 0 ≤ λ < S2 e α > 0.. Adicionalmente,. (vi). 2∗θ. u(x). =O. . 1 λωN |x|N −θ + α N −θ. Z k(y)dy B|x| (0). quando |x| → ∞..

(19) Introdu¸cão. 12. Nosso quinto teorema fornece propriedades de regularidade e comportamento assintótico no infinito e na origem para solu¸cões radialmente simétricas de (0.7) com µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1 (crescimento subcr´ıtico). Garante também existência e multiplicidade de solu¸cões dessa equa¸cão. Formulamos abaixo o teorema.. Teorema E. Sejam λ ≥ 0, α > 0, µ = 0, 1 < q < 2∗ − 1 e θ ∈ [0, 2] em (0.7). 1,2 Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Se u b ∈ Drad (RN ) é uma solu¸c˜ ao fraca n˜ ao-negativa e n˜ ao-identicamente nula de (0.7), ent˜ ao. u b ∈ C 2 (RN \ {0} ), ∇b u(x) · x < 0 em RN \ {0} e u b > 0 em RN ,. (i). 2∗θ. (ii). u b(x). =O. λωN N −θ. kb u k2 Z |x|N −θ + α. . quando |x| → ∞, se 2∗θ ≥ q + 1. b kdy. B|x| (0). e q+1. u b(x). (iii). =O. λωN N −θ. kb uk2 Z |x|N −θ + α. . quando |x| → ∞, se 2∗θ ≤ q + 1,. b kdy. B|x| (0). |x|→0 u b(x) → ∞, se adicionalmente b k satisfaz:. N −2 b 1 N b − )k(x) + ∇b k(x) · x ≥ 0 e k ∈ C 1 (RN ), b k > 0, ( q+1 2 q+1 (0.13) N + 4 + 2q − N q . |∇b k(x)| = O(|x|−d ) quando |x| → ∞, onde d > 2 Além disso, (0.7) admite (iv). 1,2 duas solu¸cões fracas u b1 , u b2 ∈ Drad (RN ) tais que u b1 , u b2 ≥ 0, u b1 , u b2 6≡ 0. e I(b u1 ) < 0 < I(b u2 ) se 2∗θ ≤ q + 1, 0 < θ < 2, λ = 1 e 0 < α < α ¯, (v). 1,2 (RN ) tais que u b3 , u b4 ≥ 0, u b3 , u b4 6≡ 0 duas solu¸cões fracas u b3 , u b4 ∈ Drad. e I(b u3 ) < 0 < I(b u4 ) se θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , α > 0..

(20) CAPÍTULO 1. Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸c˜ oes. Demonstraremos neste Cap´ıtulo vários resultados gerais para as equa¸cões (0.1) e (0.7) que auxiliarão a demonstra¸cão dos teoremas enunciados.. 1.1. Geometria do Passo da Montanha. O primeiro lema estabelece a geometria do Passo da Montanha, que satisfaz as condi¸cões de uma variante (cf. Apêndice B, adaptado) do Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti e Rabinowitz [4] devida a Brézis e Nirenberg [11] (cf. também Brézis, Coron e Nirenberg [10]). As duas condi¸cões abaixo descrevem a geometria do Passo da Montanha: (Φ1 ) Existem constantes β, ρ > 0 tais que I(u) ≥ β para kuk = ρ,. 1,2 (Φ2 ) Existe e ∈ Drad (RN ) tal que kek > ρ e I(e) < 0.. 13.

(21) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 14. Lema 1.1. Sejam λ, α, µ ≥ 0, q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1) e θ ∈ [0, 2] em (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Então, (i) I satisfaz (Φ1 ) se valem: (a) 0 ≤ θ < 2, λ = 1 e α = 0, para cada 0 < µ < µ ¯ ou (b) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 0 < q < 1, para cada 0 < α < α ¯ ou (c) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1, para cada α > 0 ou (d) θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1, para cada α > 0. (ii) I satisfaz (Φ2 ) se valem: (a) 0 ≤ θ < 2, λ = 1 e α = 0, para cada µ > 0 ou (b) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 0 < q < 1, para cada α > 0 ou (c) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1, para cada α > 0 ou (d) θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1, para cada α > 0. Demonstra¸c˜ ao: Verifica¸c˜ ao de (i). 1,2 Seja u b ∈ Drad (RN ). De (0.8), temos, pela desigualdade de Hölder,. λ 1 uk2 − ∗ I(b u) ≥ kb 2 2θ. Z. Z Z Z Z ∗ q+1 1 1 1 α |b u|2θ ∗ ∗ a 2 b ∗ b b dx− ( |k| dx) a ( |b u| dx) 2 −µ( |f | dx) b ( |b u|2 dx) 2∗ . θ |x| q+1. E pelas desigualdades de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12] e de Sobolev,.

(22) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. I(b u) ≥ kb uk2. 15. 1 λ −2∗ /2 α ∗ −(q+1)/2 b −1/2 − ∗ Sθ θ kb S0 |k|Larad kb ukq−1 − µS0 |fb|Lbrad kb uk−1 . uk2θ −2 − 2 2θ q+1. Agora, seja. R(t) :=. α λ −2∗θ /2 2∗θ −2 −(q+1)/2 b −1/2 S t + S0 |k|Larad tq−1 + µS0 |fb|Lbrad t−1 , t > 0. ∗ θ 2θ q+1. Verificaremos abaixo os itens (a) a (d) do lema 1.1(i). (a) 0 ≤ θ < 2, λ = 1 e α = 0 Neste caso, R(t) fica:. R(t) =. 1 −2∗θ /2 2∗θ −2 −1/2 S t + µS0 |fb|Lbrad t−1 , t > 0. ∗ θ 2θ. Notemos que t→∞. t→0. R(t) −→ ∞ e R(t) −→ ∞. Portanto, existe ρ > 0 satisfazendo R(ρ) = min R(t) para algum ρ > 0. t>0. Calculando R0 (t) = 0, obtemos −2∗θ /2. Sθ. ∗. (2∗θ − 2)t2θ −3 −1/2 − µS0 |fb|Lbrad t−2 = 0, t > 0, ∗ 2θ. de modo que h 2∗ S0−1/2 |fb|Lb i ∗1 2 −1 θ rad θ ρ = µ −2∗ /2 θ ∗ Sθ (2θ − 2) é solu¸cão de R0 (t) = 0. Como µ < µ ¯, obtemos:.

(23) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. ∗. −1/2. 16. −1/2. 2 −2 ∗ h 2∗ S0 |fb|Lb i ∗−1 1 1 1 −2∗θ /2 h 2θ S0 |fb|Lbrad i 2θ∗θ −1 2 −1 θ −1/2 b rad θ − R(ρ) = − ∗ Sθ µ −2∗ /2 − µS0 |f |Lbrad µ −2∗ /2 ∗ ∗ θ θ 2 2 2θ S (2 − 2) S (2 − 2). θ. θ. θ. θ. 2∗ −2 ∗ −1/2 h 2∗ S0−1/2 |fb|Lb i ∗−1 1 −2∗θ /2 h 2θ S0 |fb|Lbrad i 2θ∗θ −1 1 2 −1 θ −1/2 b rad θ − ∗ Sθ µ ¯ −2∗ /2 −µ ¯S0 |f |Lbrad µ ¯ −2∗ /2 > ∗ ∗ θ θ 2 2θ Sθ (2θ − 2) Sθ (2θ − 2) ∗ −2 ∗ ∗1 −1/2 2 −2 2∗θ S0 |fb|Lbrad i 22∗θ −1 1 −2∗θ /2 h 1 2θ (2∗θ − 2) θ θ − S = ∗ −1 −2∗ /2 −2∗θ /2 ∗ ∗ 22θ∗ −2 2 2∗θ θ −1/2 b Sθ θ S (2θ − 2) θ θ S |f |Lb 2(2 − 1). 0. −. 2∗θ. . 1 2∗ −2 θ. −2∗θ /2. Sθ. ×. h 2∗ θ. . rad. θ. (2∗θ − 2) −1/2 S0 |fb|Lbrad 2∗ −1 θ ∗ −1/2 S0 |fb|Lbrad 2(2∗θ − 1) 2θ −2. 1 2∗ −2 θ. −2∗θ /2. Sθ. −1/2 2∗θ S0 |fb|Lbrad i 2∗−1−1 (2∗θ − 2) θ 2∗ −1 −2∗θ /2 ∗ θ ∗ −1/2 (2θ − 2) S0 |fb|Lbrad 2(2∗θ − 1) 2θ −2 Sθ. = 0. 1 Donde R(ρ) < . Portanto, (Φ1 ) fica satisfeito. 2 (b) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 0 < q < 1 Neste caso, R(t) fica:. R(t) =. α 1 −2∗θ /2 2∗θ −2 −(q+1)/2 b S0 |k|Larad tq−1 , t > 0. S t + θ ∗ 2θ q+1. Notemos que t→∞. t→0. R(t) −→ ∞ e R(t) −→ ∞. Portanto, existe ρ > 0 satisfazendo R(ρ) = min R(t) para algum ρ > 0. t>0. Calculando R0 (t) = 0, obtemos −2∗θ /2. Sθ. ∗. (2∗θ − 2)t2θ −3 q − 1 −(q+1)/2 b + α( )S |k|Larad tq−2 = 0, t > 0, ∗ 2θ q+1 0.

(24) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. de modo que −(q+1)/2 b 1 |k|Larad i 2∗θ −q−1 1 − q 2∗θ S0 ρ = α( ) ∗ q + 1 S −2θ /2 (2∗ − 2). h. θ. θ. é solu¸cão de R0 (t) = 0. Como α < α ¯ , calculando como no caso anterior, obtemos: 2∗ θ −2. 1 1 1 −2∗ /2 1 − R(ρ) = − ∗ Sθ θ α( 2 2 2θ q h. ∗ −(q+1)/2 b |k|Larad i 2θ −q−1 − q 2∗θ S0 ) ∗ + 1 S −2θ /2 (2∗ − 2) θ θ q−1. −. α −(q+1)/2 b S0 |k|Larad q+1. h. ∗ −(q+1)/2 b |k|Larad i 2θ −q−1 1 − q 2∗θ S0 α( ) ∗ q + 1 S −2θ /2 (2∗ − 2). θ. θ. 2∗ θ −2. ∗ −(q+1)/2 b |k|Larad i 2θ −q−1 − q 2∗θ S0 ) ∗ + 1 S −2θ /2 (2∗ − 2) θ θ. >. 1 1 −2∗ /2 1 − ∗ Sθ θ α ¯( 2 2θ q. −. α ¯ 1 −(q+1)/2 b S0 |k|Larad α ¯( q+1 q. h. q−1. h. ∗ −(q+1)/2 b |k|Larad i 2θ −q−1 − q 2∗θ S0 ) ∗ + 1 S −2θ /2 (2∗ − 2) θ θ. = 0. 1 Donde R(ρ) < . Portanto, (Φ1 ) fica satisfeito. 2 (c) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1 Neste caso, R(t) fica:. R(t) =. 1 −2∗θ /2 2∗θ −2 α −(q+1)/2 b S t S0 |k|Larad tq−1 , t > 0. + θ ∗ 2θ q+1. Notemos que t→0. t→∞. R(t) −→ 0 e R(t) −→ ∞. Portanto, para cada α > 0 sempre é poss´ıvel encontrar ρ > 0 satisfazendo 1 R(ρ) < . 2. 17.

(25) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 18. Portanto, (Φ1 ) fica satisfeito. (d) θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1 Neste caso, R(t) fica:. R(t) =. λ α −(q+1)/2 b + S0 |k|Larad tq−1 , t > 0. 2S2 q + 1. Notemos que t→0. t→∞. R(t) −→ Cλ e R(t) −→ ∞, onde 0 ≤ Cλ < 1/2. Portanto, para cada α > 0 sempre é poss´ıvel encontrar ρ > 0 satisfazendo 1 R(ρ) < . 2 Portanto, (Φ1 ) fica satisfeito. Fica verificado (i). Verifica¸ c˜ ao de (ii). Seja 0 ≤ θ < 2. Aplicando em (0.8) a fun¸cão caracterizada em (Wδ ), temos, para cada t > 0,. 1 I(twδ ) = 2. Z. λ |∇twδ | dx − ∗ 2θ 2. Z. 2∗. (twδ )+θ α dx − θ |x| q+1. Z. b k(twδ )q+1 + dx − µ. Z fb(twδ )dx. (1.1). ∗ 1,2 Como wδ ∈ Drad (RN ) ,→ L2 (RN ), b k ∈ Larad (RN ) e fb ∈ Lbrad (RN ), temos, gra¸cas à desigualdade de Hölder,. b kwδ q+1 , fbwδ ∈ L1 (RN ). Conseq¨ uentemente, usando (1.1) e (CN,θ ), obtemos: N −θ 2−θ. I(twδ ) = Sθ. ∗. t2 t2θ tq+1 b q+1 −λ ∗ −α |kwδ |L1 − µt|fbwδ |L1 , t > 0. 2 2θ q+1. Verificaremos abaixo os itens (a) a (d) do lema 1.1(ii). (a) 0 ≤ θ < 2, λ = 1 e α = 0. (1.2).

(26) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 19. Neste caso, (1.2) torna-se, para cada t > 0, N −θ 2−θ. I(twδ ) = Sθ. ∗. t2 t2θ − ∗ − µt|fbwδ |L1 . 2 2θ. Como 2∗θ > 2, é claro que, qualquer que seja µ > 0, t→∞. I(twδ ) −→ −∞. Assim, I(twδ ) < 0 para algum tθ suficientemente grande. Fazendo e := tθ wδ , (Φ2 ) fica satisfeito. (b) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 0 < q < 1 Neste caso, (1.2) torna-se, para cada t > 0, N −θ 2−θ. I(twδ ) = Sθ. ∗. t2 t2θ tq+1 b q+1 − ∗ −α |kwδ |L1 . 2 2θ q+1. Como 2∗θ > 2, é claro que, qualquer que seja α > 0, t→∞. I(twδ ) −→ −∞. Assim, I(twδ ) < 0 para algum tθ suficientemente grande. Fazendo e := tθ wδ , (Φ2 ) fica satisfeito. (c) 0 ≤ θ < 2, λ = 1, µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1 Neste caso, (1.2) torna-se, para cada t > 0, N −θ 2−θ. I(twδ ) = Sθ. ∗. tq+1 b q+1 t2 t2θ − ∗ −α |kwδ |L1 . 2 2θ q+1. Como 2∗θ > 2, é claro que, qualquer que seja α > 0, t→∞. I(twδ ) −→ −∞. Assim, I(twδ ) < 0 para algum tθ suficientemente grande. Fazendo e := tθ wδ , (Φ2 ) fica satisfeito. (d) θ = 2, 0 ≤ λ < S2 , µ = 0 e 1 < q < 2∗ − 1 Este u ´ltimo caso não fará uso de (Wδ ), porque θ = 2. Seja, pois, φb ∈ C0,∞ rad com φb ≥ 0, φb 6≡ 0. Usando (0.8), temos, para cada t > 0,.

(27) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 2 b =t I(tφ) 2. Z. 2. Z. b dx − λ |∇φ|. 20. Z φb2 tq+1 b dx − α k φbq+1 dx. 2 |x| q+1. Como 0 ≤ λ < S2 , a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12] assegura que Z. b 2 dx − λ |∇φ|. Z. φb2 dx > 0, |x|2. de modo que, sendo 2 < q + 1, qualquer que seja α > 0, t→∞. b −→ −∞. I(tφ) b < 0 para algum t2 suficientemente grande. Fazendo e := t2 φ, b (Φ2 ) fica Assim, I(tφ) satisfeito. Fica verificado (ii).. 1,2 Observa¸cão 1.2. Notemos que I(0) = 0 e lembramos que I ∈ C 1 (Drad (RN ), R).. O lema 1.1 aplicado ao Teorema do Passo da Montanha (cf. Apêndice B) garante a 1,2 existência de uma seq¨ uência {b un } ∈ Drad (RN ) e de algum c ≥ β > 0 tais que I(b un ) −→ c e I 0 (b un ) −→ 0.. 1.2. Minimiza¸c˜ ao Cl´ assica. O segundo lema fornece os critérios do teorema de minimiza¸cão clássica (cf. Apêndice B). Faremos uso das seguintes condi¸cões técnicas: 1,2 (Ψ1 ) I(u) → ∞ quando kuk → ∞, u ∈ Drad (RN ),. 1,2 1,2 (Ψ2 ) Para cada u ∈ Drad (RN ), qualquer seq¨ uência {un } ∈ Drad (RN ) tal que. 1,2 un * u em Drad (RN ). implica I(u) ≤ lim inf n→∞ I(un )..

(28) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 21. Lema 1.3. Sejam λ, α, µ ≥ 0, 0 < q < 1 e θ = 2 em (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Ent˜ ao, I satisfaz (Ψ1 ) e (Ψ2 ) se valem: (i) 0 ≤ λ < S2 , α = 0. e µ>0. ou (ii) 0 ≤ λ < S2 , α > 0. e µ = 0.. 1,2 Demonstra¸c˜ ao: Verifica¸c˜ ao de (Ψ1 ). Seja u b ∈ Drad (RN ). Como θ = 2, obtemos, usando (0.8) e aplicando as desigualdades de Hölder, de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12] e de Sobolev:. I(b u) ≥ kb uk2. λ α 1 −(q+1)/2 b −1/2 − − S0 |k|Larad kb ukq−1 − µS0 |fb|Lbrad kb uk−1 2 2S2 q + 1. Verifiquemos cada caso do lema ((i)-(ii)) separadamente. (i) 0 ≤ λ < S2 , α = 0 e µ > 0 Usando (1.3) com α = 0, µ > 0, temos: I(b u) ≥ kb u k2. 1 λ −1/2 uk−1 . − − µS0 |fb|Lbrad kb 2 2S2. Como 0 ≤ λ < S2 , obtemos imediatamente kb uk→∞. I(b u) −→ ∞. (ii) 0 ≤ λ < S2 , α > 0 e µ = 0 Usando (1.3) com α > 0, µ = 0, temos: I(b u) ≥ kb uk2. 1 λ α −(q+1)/2 b − − S0 |k|Larad kb ukq−1 . 2 2S2 q + 1. Como 0 ≤ λ < S2 , obtemos, como antes, imediatamente kb uk→∞. I(b u) −→ ∞. Fica verificado (Ψ1 ).. (1.3)..

(29) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 22. 1,2 (RN ) tal que Verifica¸ c˜ ao de (Ψ2 ). Seja {b un } ∈ Drad. D1,2. rad u bn * u b.. Como θ = 2, usando (0.8) e propriedades de limites, temos:. limI(b un ) = −lim(−I(b un )) 1 ≥ lim 2. Z. λ |∇b un | dx − lim 2 2. u b2n+ α dx − lim 2 |x| q+1. Z. Z. b kb uq+1 n+ dx − µlim. Z fbu bn dx. (1.4). Usando um resultado de Evans [18][teorema 9(i)(ii), p. 12], propriedades de medidas de Radon e o lema de concentra¸cão-compacidade (cf. Apêndice B), verifica-se que Z. Z. 2. |∇b un | dx ≥. lim. Z lim. u b2n+ dx ≤ |x|2. Z. |∇b u|2 dx + δx0 µ b0 , u b2+ dx + δx0 νb0 e |x|2. µ b0 ≥ S2 νb0 . Com essas desigualdades, (1.4) torna-se. 1 limI(b un ) ≥ 2. Z. λ |∇b u| dx − 2 2. u b2+ α dx − lim 2 |x| q+1. Z. Z. b kb uq+1 n+ dx − µlim. Z. δx νb0 fbu bn dx + 0 (S2 − λ). 2. Como 0 ≤ λ < S2 , obtemos:. 1 limI(b un ) ≥ 2. Z. λ |∇b u| dx − 2 2. Z. u b2+ α dx − lim 2 |x| q+1. Z. b kb uq+1 n+ dx. Verifiquemos cada caso do lema ((i)-(ii)) sepradamente. (i) 0 ≤ λ < S2 , α = 0 e µ > 0 1,2. Drad ∗ Como u bn * u b e fb ∈ Lb (RN ) ≡ (L2 (RN ))0 , é imediato que. Z − µlim. fbu bn dx.. (1.5).

(30) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. Z. Z. fbu bdx.. fbu bn dx =. lim. n→∞. 23. Conseq¨ uentemente, por (1.5) com α = 0, conclu´ımos que limI(b u) ≥ I(b u). (ii) 0 ≤ λ < S2 , α > 0 e µ = 0 Afirmamos que Z. b kb uq+1 n+ dx =. lim. n→∞. Z. b kb uq+1 + dx.. De fato, lembramos que, em virtude da desigualdade de Sobolev, Z [. 2∗. q+1 dx] (b uq+1 n+ ). q+1 2∗. −(q+1)/2. ≤ S0. kb un kq+1 . 2∗. 1,2 q+1 (RN ) e que {b Como {b un } é limitada em Drad (RN ), verifica-se que {b uq+1 e uq+1 n+ } ∈ L n+ } ´ 2∗. limitada em L q+1 (RN ). D1,2. rad u b, é fácil verificar que (cf. Alves [2] [apêndice, p. 73]) Por outro lado, pelo fato de u bn *. qtp. u bq+1 bq+1 + . n+ −→ u Pelo lema 4.8 de Kavian [27] [p. 11], obtemos: Z. u bq+1 n+ ϕdx. Z →. 2∗. q+1 u b+ ϕdx, para cada ϕ ∈ (L q+1 (RN ))0 . ∗. 2 Escolhendo ϕ = b k ∈ La (RN ) ≡ (L q+1 (RN ))0 , cumpre-se a afirma¸cão.. Conseq¨ uentemente, por (1.5) com µ = 0, conclu´ımos que limI(b u) ≥ I(b u). Fica verificado (Ψ2 )..

(31) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 1.3. 24. Princ´ıpio Variacional de Ekeland. O terceiro lema fará uso do Princ´ıpio Variacional de Ekeland (cf. Apêndice B), sob condi¸cões obtidas da geometria do Passo da Montanha (lema 1.1).. Lema 1.4. Sejam λ, α, µ ≥ 0, q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1) e θ ∈ [0, 2] em (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Então, sob as condi¸c˜ oes do lema 1.1, existem uma seq¨ uência {b un } ∈ B e algum c < 0 tais que I(b un ) −→ c e I 0 (b un ) −→ 0, 1,2 (RN ) de centro na origem e raio ρ provido pelo lema 1.1 e onde B é a bola de Drad c := inf B I.. 1,2 Demonstra¸c˜ ao: Primeiro, notemos que, fazendo E := B := {b u ∈ Drad (RN ); kb uk ≤ ρ} com ρ provido pelo lema 1.1 e d := d(b u, vb) := kb u − vbk, (E, d) é um espa¸co métrico completo. Além disso, I é semicont´ınuo inferiormente, não-identicamente igual a +∞ e limitado por baixo sobre B, nos casos considerados no lema 1.1.. Aplicando o Princ´ıpio Variacional de Ekeland (cf. Apêndice B, adaptado) a I: B→R e definindo c := inf I, B. temos conjuntamente: para cada ε > 0, existe u bε ∈ B tal que c ≤ I(b uε ) ≤ c + ε. (1.6). para cada u b ∈ E, u b 6= u bε , I(b u) − I(b uε ) + εkb u−u bε k > 0.. (1.7). Provemos agora que −∞ < c < 0.. (1.8). De fato, lembramos que a fun¸cão caracterizada em (Wδ ) tomada na demonstra¸cão do lema 1.1 permite concluir que.

(32) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 25. I(twδ ) < 0, t > 0. Isso junto com o fato de I ser limitado inferiormente sobre B prova (1.8). Além disso, ainda do lema 1.1, é imediato que: inf I ≥ β.. (1.9). ∂B. Afirmamos que u bε ∈ B. De fato, de (1.8) e (1.9), fixando ε suficientemente pequeno, temos: 0 < ε < inf I − inf I. ∂B. (1.10). B. De (1.6), existe u bε ∈ B tal que I(b uε ) ≤ inf I + ε. B. Usando (1.10) na u ´ltima expressão, obtemos: I(b uε ) < inf I, ∂B. de modo que u bε ∈ B. Agora, seja F : B → R, onde F (b u) := I(b u) + εkb u−u bε k. Usando (1.7), encontramos: F (b uε ) = I(b uε ) < I(b u) + εkb u−u bε k = F (b u), isto é,. (1.11).

(33) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 26. F (b uε ) < F (b u) para cada u b ∈ B. Isso juntamente com (1.11) mostra que u bε ∈ B é m´ınimo local estrito de F sobre B. 1,2 Assim, para t > 0 pequeno e para cada ϕ ∈ Drad (RN ) com kϕk = 1, temos: F (b uε + tϕ) − F (b uε ) ≥ 0, t > 0. t Usando a defini¸cão de F na expressão anterior, encontramos: I(b uε + tϕ) − I(b uε ) + εkϕk ≥ 0, t > 0. t. (1.12). Trocando ϕ por −ϕ e procedendo como antes, usando a defini¸cão de F novamente, obtemos: I(b uε − tϕ) − I(b uε ) + εkϕk ≥ 0, t > 0. t. (1.13). Fazendo t −→ 0 em (1.12) e (1.13), obtemos, respectivamente: 1,2 hI 0 (b uε ), ϕi + εkϕk ≥ 0 e hI 0 (b uε ), ϕi − εkϕk ≤ 0, ϕ ∈ Drad (RN ).. Conseq¨ uentemente, fazendo ε :=. 1 (n > 1 inteiro) e u bε := u bn , tem-se: n. kI 0 (b un )k(D1,2 )0 := rad. sup. |hI 0 (b un ), ϕi| ≤. 1,2 kϕk=1, ϕ∈Drad. 1 . n. (1.14). De (1.6) e (1.14) conclu´ımos, respectivamente, para n grande, que existe uma seq¨ uência {b un } ∈ B satisfazendo I(b un ) −→ c, c < 0 e I 0 (b un ) −→ 0..

(34) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 1.4. 27. Regularidade e Comportamento de Solu¸ c˜ oes no Infinito. A seguir, enunciamos um lema de regularidade e de comportamento assintótico no infinito de quaisquer solu¸cões fracas de (0.7).. Lema 1.5. Sejam λ, α, µ ≥ 0, q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1) e θ ∈ [0, 2] em (0.7). Suponha 1,2 (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Se u b ∈ Drad (RN ) é uma solu¸c˜ ao fraca de (0.7) tal que u b≥ 0 e u b 6≡ 0 e valem:. (a) α = 0. e µ>0. ou (b) α > 0. e µ = 0,. ent˜ ao: (i) u b ∈ C 2 (RN \ {0}), ∇b u(x) · x < 0 em RN \ {0} e u b > 0 em RN , ωN ∗ |x|N −θ u b(x)2θ + αb u(x)q+1 (ii) λ N −θ onde B := B|x| (0).. Z. Z b kdy + µb u(x). fbdy ≤ kb uk2 , x ∈ RN \ {0},. B. B. 1,2 Demonstra¸c˜ ao: Seja u b ∈ Drad (RN ) uma solu¸cão fraca de (0.7) tal que u b ≥ 0, u b 6≡ 0 e α, µ conforme (a) ou (b). Então, usando (0.10) em coordenadas radiais, temos:. Z Z. ∞. r S. N −1 0 0. 0. Z Z. u b φ drdσ =. S. 0. ∞. ∗. (λrN −θ−1 u b2θ −1 + αrN −1 b kb uq + µrN −1 fb)φdrdσ,. (1.15). onde r := |x|, u b0 e φ0 são, respectivamente, as derivadas fracas de u b e de φ em coordenadas N radiais e S é a superf´ıcie da bola unitária de R . Verifica¸ c˜ ao de (i). Consideremos, para cada > 0, r > 0, a fun¸cão  1, 0 ≤ t ≤ r,       t r+ u br, (t) := − + , r ≤ t ≤ r + ,       0, t ≥ r + . Afirmamos que.

(35) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 28. 1,2 u br, ∈ Drad (RN ).. De fato, designando, por simplicidade, u br, := v(t), estendamos v a (−∞, 0] fazendo s := r + e  1, −r ≤ t ≤ 0,       t s v(t) := + , −s ≤ t ≤ −r  s−r s−r      0, t ≤ −s. ´ fácil mostrar, usando fun¸cão regularizante, o Seja t := |x|. Então, v(t) := v(|x|). E Teorema do Divergente e o Teorema de Lebesgue que |x| ∈ H 1 (Bs ). Notemos que, além disso, −s ≤ |x| ≤ s, v(t) é Lipschitz-cont´ınua e v 0 (t) existe exceto no conjunto {−r, r}. Conseqëntemente, em virtude de um teorema devido a Stampacchia [38], resulta: v ∈ H 1 (Bs ) e. xi ∂v = v0 qtp em Bs . ∂xi |x|. Como, junto com isso, v ∈ C(Bs ), ∂Bs é regular e v = 0 sobre ∂Bs , implica que (cf. teorema IX.17, p. 171 em Brézis [9]) v ∈ H01 (Bs ). Recorrendo novamente a Brézis [9][proposi¸cão IX.18, p. 172-3], constatamos que a extensão de v, a saber. v¯(|x|) :=.   v(x), x ∈ Bs , . 0, x ∈ RN \ Bs. pertence a H 1 (RN ). Pela defini¸cão de H 1 e usando a imersão de Sobolev, é claro que ∂¯ v ∗ v¯ ∈ L2 (RN ) e ∈ L2 (RN ), para cada i = 1, ..., N no sentido fraco, donde ∂xi v¯ ∈ D1,2 (RN ). 1,2 (RN ), provando a afirma¸cão. Redefinindo v¯ como v¯ := v(|x|), obtemos v ∈ Drad. Agora, fa¸camos em (1.15) φ = u br, . Lembrando que φ = u br, = 0 em [r + , ∞) e que 0 (b ur, ) = 0 em [r + , ∞), temos:.

(36) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. r+. Z. N −1. t 0. 0. r+. Z. 0. u b (b ur, ) dt =. 29. ∗. (λ tN −θ−1 u b2θ −1 u br, + αtN −1 b ku bq u br, + µtN −1 fb ur, )dt.. 0. Usando a defini¸cão de u br, , calculando sua derivada e substituindo na expressão anterior, obtemos:. −1 . Z. r+ N −1. t r. r. Z. 0. u b dt =. 0. ∗ (λ tN −θ−1 u b2θ −1 + αtN −1 b ku bq + µ tN −1 fb) dt. r+. Z. 1 − . r. ∗ (λtN −θ u b2θ −1 + αtN b ku bq + µtN fb)dt. (1.16) 1 . Z. 1 + . Z. +. r+. r r+. r. ∗ (λtN −θ−1 rb u2θ −1 + αtN −1 rb ku bq + µtN −1 rfb) dt. ∗ (λtN −θ−1 u b2θ −1 + αtN −1 b ku bq + µtN −1 fb) dt.. Aplicaremos em (1.16) o Teorema do Valor Médio para Integrais. Para isso, afirmamos que u b0 (t) é cont´ınua para todo t pertencente ao anel [r, r + ]. De fato, tomando φ := r−(N −1) ψ, r > 0, ψ ∈ C0∞ (0, ∞), temos: Z. ∞. r 0. (N −1) 0. u b. . r. −(N −1). 0. Z. ψ dr = 0. ∞. ∗ (λr−θ u b2θ −1 + αb ku bq + µ fb )ψ dr. no sentido das distribui¸cões (cf. Lions [30] [p. 12]). Se O ∈ R \ {0} é um anel, vale, em virtude de um corolário do Teorema de Strauss (cf. Kavian [27][p. 251]), a imersão compacta 1 Hrad (O) ,→ C(O).. Assim, u b ∈ C(O). Escrevendo ∗ λr−θ u b2θ −1 + α b ku bq + µ fb := H(r), r > 0,.

(37) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 30. segue, tendo em vista a continuidade de b k e de fb, que H ∈ L∞ loc (0, ∞). Isso junto com a igualdade em distribui¸cão acima implica (cf. Gilbarg e Trudinger [23][p. 230]) que 2,p u b ∈ Wloc (0, ∞) para cada p ∈ (1, ∞) e que −∆b u(r) = H(r) qtp em (0, ∞) . Usando a teoria da regularidade e pelo fato de aplicarmos o procedimento em cada anel O ⊂ R \ {0}, conclu´ımos que u b ∈ C 1 (0, ∞). Fazendo → 0 em (1.16), resulta, gra¸cas ao Teorema do Valor Médio para Integrais,. −r. N −1. 0. Z. u b (r) =. 0. r. ∗ (λtN −θ−1 u b2θ −1 + tN −1 α b ku bq + tN −1 µ fb) dt, r > 0.. (1.17). De (1.17) conclu´ımos de pronto que u b ∈ C 2 (0, ∞). Afirmamos que u b0 (r) < 0, r ∈ (0, ∞). De fato, a integral em (1.17) é não-negativa, de modo que u b0 (r) ≤ 0, r ∈ (0, ∞).. (1.18). Agora, como u b, b k, fb 6≡ 0 e u b ≥ 0, de (1.17) notamos que, para r > r0 , r0 fixado, o valor assumido por 0. u b (r0 ) = −r0. 1−N. Z. r0. 0. ∗ (λtN −θ−1 u b2θ −1 + tN −1 α b ku bq + tN −1 µ fb) dt. é estritamente negativo. Esse fato, combinado com (1.18) implica que u b0 (r) < 0, r ∈ (0, ∞). Da´ı, raciocinando de modo semelhante, u b > 0, r ∈ (0, ∞). Por simetria radial, finalmente, u b ∈ C 2 (RN \ {0} ) e, em particular, ∇b u(x) · x < 0. Fica verificado (i). Verifica¸ c˜ ao de (ii). Fazendo φ = u b em (0.10), temos: 2. kb uk = λ. Z. ∗. u b2θ dx + α |x|θ. Z. b ku bq+1 dx + µ. Z fb u bdx.. Usando simetria radial, o fato elementar de que B := B|x| (0) ⊂ RN , a continuidade e o decaimento de u b e minora¸cões, obtemos:.

(38) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 2. kb uk. Z Z ≥. ∞. 2∗θ. λb u S. r. N −θ−1. q+1. Z b k(y)dy + µb u(x). drdσ + αb u(x). 0. fb(y)dy. B 2∗θ. ≥ λwN u b (x) ∗. Z. r N −θ−1. t. q+1. 0. B. Z. dt + αb u(x). λwN u b2θ (x)|x|N −θ + αb u(x)q+1 = N −θ mostrando (ii).. Z. Z b k(y)dy + µb u(x). B. Z. B. Z fb(y)dy, |x| > 0,. b k(y)dy + µb u(x) B. fb(y)dy. B. 31.

(39) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 1.5. 32. Identidades Variacionais. O lema seguinte será usado na análise do comportamento da solu¸cão de (0.7) na origem e será provado com base em uma identidade do tipo Derrick-Pohoˇzaev (cf. Pohoˇzaev [36]).. Lema 1.6. Sejam λ, α, µ ≥ 0, q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1) e θ ∈ [0, 2] em (0.7). Suponha (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Suponha, ainda, que b k e fb satisfazem, respectivamente, b k, fb ∈ C 1 (RN ), b k, fb > 0,. (. N −2 b 1 N +2b N − )k(x) + ∇b k(x) · x ≥ 0, f (x) + ∇fb(x) · x ≥ 0 e q+1 2 q+1 2. (1.19). |∇b k(x)| = O(|x|−d ) quando |x| → ∞, |∇fb(x)| = O(|x|−c ) quando |x| → ∞, N + 4 + 2q − N q N +4 1,2 ec> . Se u b ∈ Drad (RN ) ∩ C 2 (RN ) 2 2 é uma solu¸caõ positiva de (0.7) e valem: onde, respectivamente, d >. (a) α = 0. e µ>0. ou (b) α > 0. e µ = 0,. ent˜ ao:. α. Z h. i N N −2 b 1 ( − )k(x)+ ∇b k(x)·x u bq+1 dx + µ q+1 2 q+1. Z h i N +2 b f (x)+∇fb(x)·x u b dx = 0. 2 (1.20). Para demonstrar o lema 1.6, necessitamos provar o lema auxiliar seguinte. Consideremos, pois, para cada R > 0, o problema de Neumann  ∗ |u|2θ −1    −∆u = λ + αb k(x)|u|q + µfb(x) em BR , θ |x|    u ∈ H 1 (BR ), onde BR := BR (0). O lema é o seguinte:. (1.21).

(40) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 33. Lema 1.7. Sejam λ, α, µ ≥ 0, q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1) e θ ∈ [0, 2] em (1.21). Suponha 1 ao positiva de (1.21) e (kf )1 , (kf )2 e (kf )3 . Se u ∈ Hrad (BR ) ∩ C 2 (BR ) é uma solu¸c˜ valem:. (a) α = 0. e µ>0. ou (b) α > 0. e µ = 0,. ent˜ ao:. Z. h. α BR. λ = ∗ 2θ. i N −2 b 1 N − )k(x)+ ∇b k(x)·x uq+1 dx+µ ( q+1 2 q+1. Z ∂BR. ∗. u2θ α (x·ν)dσ+ θ |x| q+1. Z u. hN + 2 i fb(x)+∇fb(x)·x u dx 2 BR. Z. 1 k(x)(x·ν)dσ+µ ufb(x)(x·ν)dσ− 2 ∂BR. q+1 b. ∂BR. Z. Z. |∇u|2 (x·ν)dσ.. ∂BR. (1.22). Demonstra¸c˜ ao do lema 1.6: A prova é inspirada em Berestycki e Lions [7] [proposi¸cão 1, p. 329]. Usaremos o lema 1.7. Grosso modo, a idéia é provar que o lado esquerdo de (1.22) converge para uma integra¸cão sobre RN e que o lado direito converge para zero, quando R → ∞. Faremos a prova por etapas. Sejam, pois, α e µ conforme (a) ou (b). Etapa 1. Afirmamos que Z. R→∞. |∇u|2 (x · ν) dσ −→ 0.. ∂BR. Sabemos que x·ν =x·. x = |x| = R, para cada x ∈ ∂BR . |x|. Portanto, usando esse fato na expressão anterior, é suficiente provar que Z R. R→∞. |∇u|2 dσ −→ 0.. ∂BR. Suponha, por contradi¸cão, que existe uma sequência {Rm } de n´ umeros positivos satisfazendo.

(41) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. Z. |∇u|2 dσ := ξ1 > 0.. lim inf Rm Rm →∞. 34. (1.23). ∂BRm. 1,2 (RN ), temos: Como u ∈ Drad. Z. |∇u|2 dx < ∞.. (1.24). RN. Agora, desde que u ∈ C 2 (BR ), segue que ∇u ∈ L2N (∂BR ) e, por (1.23), usando simetria radial, Z. ∞. Z. 2. |∇u| dx ≥ RN. Z. 0. |∇u|2 dσ dR = ∞,. ∂BRm. para algum m conveniente, contradizendo (1.24). Isso prova nossa afirma¸cão. As etapas 2, 3 e 4 seguem o mesmo rito da etapa 1. Etapa 2. Afirmamos que Z. R→∞. uq+1 b k (x · ν) dσ −→ 0.. ∂BR. Como na etapa 1, é suficiente provar que Z. R→∞. uq+1 b k dσ −→ 0.. R ∂BR. Suponha, por contradi¸cão, que existe uma sequência {Rm } de n´ umeros positivos satisfazendo Z. uq+1 b kdσ := ξ2 > 0.. lim inf Rm Rm →∞. ∗. (1.25). ∂BRm ∗. 2 2 Como uq+1 ∈ L q+1 (RN ) e b k ∈ (L q+1 (RN ))0 ≡ La (RN ), temos:. Z RN. Agora, usando (1.25) e simetria radial,. uq+1 b kdx < ∞.. (1.26).

(42) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. Z u. ∞. Z. q+1 b. Z. kdx ≥. RN. 0. u. q+1 b. 35. . kdσ dR = ∞,. ∂BRm. para algum m conveniente, contradizendo (1.26). Isso prova nossa afirma¸cão. Etapa 3. Afirmamos que Z. R→∞. ufb (x · ν) dσ −→ 0. ∂BR. Como na etapa 1, é suficiente provar que Z. R→∞. ufb dσ −→ 0.. R ∂BR. Suponha, por contradi¸cão, que existe uma sequência {Rm } de n´ umeros positivos satisfazendo Z lim inf Rm. ufbdσ := ξ3 > 0.. Rm →∞. (1.27). ∂BRm. ∗ ∗ Como u ∈ L2 (RN ) e fb ∈ (L2 (RN ))0 ≡ Lb (RN ), temos:. Z ufbdx < ∞. RN. Agora, usando (1.27) e simetria radial, Z. ∞. Z. Z. ufbdx ≥ RN. 0. ufbdσ dR = ∞,. ∂BRm. para algum m conveniente, contradizendo (1.28). Isso prova nossa afirma¸cão. Etapa 4. Afirmamos que ∗. Z ∂BR. u2θ R→∞ (x · ν) dσ −→ 0. θ |x|. Como na etapa 1, é suficiente provar que Z R ∂BR. ∗. u2θ R→∞ dσ −→ 0. |x|θ. (1.28).

(43) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 36. Suponha, por contradi¸cão, que existe uma sequência {Rm } de n´ umeros positivos satisfazendo ∗. u 2θ dσ := ξ4 > 0. |x|θ. Z lim inf Rm Rm →∞. ∂BRm. (1.29). 1,2 Como u ∈ Drad (RN ), temos, gra¸cas à desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [12]: ∗. Z RN. u 2θ dx < ∞. |x|θ. (1.30). Agora, usando (1.29) e simetria radial, Z RN. ∗. u 2θ dx ≥ |x|θ. Z. ∞. Z. 0. ∂BRm. ∗. u 2θ dσ dR = ∞, |x|θ. para algum m conveniente, contradizendo (1.30). Isso prova nossa afirma¸cão. Etapa 5. Afirmamos que. N N −2 b 1 R→∞ [( − )k(x)+ ∇b k(x)·x]uq+1 dx −→ 2 q+1 BR q + 1. Z. Z [(. N N −2 b 1 − )k(x)+ ∇b k(x)·x]uq+1 dx. q+1 2 q+1. Usaremos o Teorema de Lebesgue. Para isso, invocamos a fun¸cão caracter´ıstica de BR :. χBR :=.   1, BR , . 0, RN \ BR .. Pelas propriedades de χBR , é imediato que. h. i h N i N N −2 b 1 N −2 b 1 R→∞ q+1 b b ( − )k(x)+ ∇k(x)·x u χBR −→ ( − )k(x)+ ∇k(x)·x uq+1 q+1 2 q+1 q+1 2 q+1. qtp em RN e que.

(44) h N

(45)

(46) h N

(47) i i N −2 b 1 N −2 b 1

(48)

(49)

(50) q+1 q+1

(51) b b − )k(x)+ ∇k(x)·x u χ BR

(52) ≤

(53) ( − )k(x)+ ∇k(x)·x u

(54)

(55) ( q+1 2 q+1 q+1 2 q+1 qtp em RN ..

(56) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 37. Resta, portanto, para aplicar o Teorema de Lebesgue, mostrar que h. i N N −2 b 1 b ( − )k(x) + ∇k(x) · x uq+1 χBR ∈ L1 (RN ). q+1 2 q+1. (1.31). Com efeito, usando as desigualdades de Hölder e de Cauchy-Schwarz: R R 1 1 N N |∇b k||x||u|q+1 dx. − N 2−2 )b k(x)+ q+1 ∇b k(x)·x] uq+1 χBR |dx ≤ | q+1 − N 2−2 ||b k|Larad |u|q+1 |[( q+1 ∗+ 2 q+1 L 1,2 Como u ∈ Drad , usaremos o seu decaimento nativo, a saber (cf. Struwe [39] [p. 154]):. |u(x)| ≤ CN |x|. 2−N 2. kuk,. onde CN é uma constante positiva. Lembramos, também, que, de (1.19), N + 4 + 2q − N q , |∇b k(x)| = O(|x|−d ), d > 2 para |x| suficientemente grande. Temos, pois, usando simetria radial:. Z

(57) h

(58) i N N −2 b 1

(59) q+1

(60) b − )k(x) + ∇k(x) · x u

(61) dx

(62) ( q+1 2 q+1 Z

(63) N 2−N 1 N − 2

(64)

(65) b

(66) q+1 ≤

(67) − |∇b k||x|CN q+1 |x|( 2 )(q+1) kukq+1 dx

(68) |k|Larad |u|L2∗ + q+1 2 q+1 Z R

(69) N (2−N )(q+1) CN q+1 N − 2

(70)

(71) b

(72) q+1 q+1 b 2 dr ≤

(73) − kuk |∇k|L∞ wN rN +

(74) |k|Larad |u|L2∗ + q+1 2 q+1 0 CN q+1 + kukq+1 wN q+1. Z. ∞. rN +. (2−N )(q+1) −d 2. dr. R. N + 4 + 2q − N q Mas d > e N + 4 + 2q − N q > 0, para cada q ∈ (0, 1) ∪ (1, 2∗ − 1), de 2 modo que.

(75) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. 38. Z

(76) h

(77) i N N −2 b 1

(78) q+1

(79) b − )k(x) + ∇k(x) · x u

(80) dx

(81) ( q+1 2 q+1 N N −2 b − ||k|Larad |u|q+1 L2∗ q+1 2 " # N +4+2q−N q N +4+2q−N q−2d b 2 2 ∞ CN q+1 |∇ k| R R L +2 kukq+1 wN + q+1 N + 4 + 2q − N q 2d − N − 4 − 2q + N q ≤|. < ∞, mostrando (1.31). Usando o Teorema de Lebesgue, segue nossa afirma¸cão. Etapa 6. Afirmamos que. Z h i i hN + 2 N +2 b R→∞ fb(x) + ∇fb(x) · x u dx −→ f (x) + ∇fb(x) · x u dx. 2 2 BR. Z. Esta etapa é semelhante à anterior, usando o Teorema de Lebesgue. Simplificaremos alguns passos. Como antes, é imediato que. i h i hN + 2 R→∞ N + 2 b fb(x) + ∇fb(x) · x u χBR −→ f (x) + ∇fb(x) · x u qtp em RN 2 2 e que.

(82) h N + 2

(83)

(84) h N + 2 i i

(85)

(86)

(87)

(88)

(89) b b b b f (x) + ∇f (x) · x u χBR

(90) ≤

(91) f (x) + ∇f (x) · x u

(92) qtp em RN .

(93) 2 2 Resta, portanto, para aplicar o Teorema de Lebesgue, mostrar que hN + 2 i fb(x) + ∇fb(x) · x u χBR ∈ L1 (RN ). 2 Com efeito, usando as desigualdades de Hölder e de Cauchy-Schwarz:. Z

(94) h Z i

(95) N +2 b

(96) N +2 b

(97) b f (x) + ∇f (x) · x u

(98) dx ≤ |f |Lbrad |u|L2∗ + |∇fb||x||u|dx.

(99) 2 2. (1.32).

(100) Cap.1 Princ´ıpios Variacionais, Regularidade, Identidades, Sub e Supersolu¸cões. Usando (1.19), o decaimento nativo de u, simetria radial e o fato de que c > obtemos:. 39 N +4 , 2. Z

(101) h i

(102)

(103)

(104) N +2 b f (x) + ∇fb(x) · x u

(105) dx

(106) 2 " # N +4 N +4−2c b 2 2 ∞ N +2 b |∇f |L R R ≤ |f |Lbrad |u|L2∗ + 2CN kukwN + 2 N +4 2c − N − 4 < ∞, mostrando (1.32). Usando o Teorema de Lebesgue, segue nossa afirma¸cão. Passando ao limite em (1.22) e usando as convergências provadas nas etapas 1 a 6, obtemos (1.20).. Demonstra¸c˜ ao do lema 1.7: Para provarmos (1.22), demonstraremos inicialmente, argumentando como em Evans [19] [p. 516], a seguinte identidade do tipo Derrick-Pohoˇzaev associada a (1.21):. λ = ∗ 2θ. Z ∂BR. Z Z ∗ N −2 u 2θ 2−N 2 ) |∇u| dx + λ( ) dx ( θ 2 2 BR BR |x| Z Z α q+1 b b (∇fb.x + N fb) u dx + (∇k.x + N k) u dx + µ q + 1 BR BR Z Z Z 2∗θ u α 1 q+1 b b (x·ν) dσ+ u k(x·ν) dσ+µ u f (x·ν) dσ− |∇u|2 (x·ν) dσ. θ |x| q + 1 ∂BR 2 ∂BR ∂BR. De fato, lembramos que BR é um dom´ınio estrelado relativamente à origem e que, portanto, x · ν(x) > 0, para cada x ∈ ∂BR , onde ν é a normal unitária exterior de ∂BR . Multiplicando a EDP em (1.21) por x · ∇u e integrando sobre BR , temos:. Z. Z (−∆u)(x.∇u)dx = λ. BR. Sejam. BR. u. N +2−2θ N −2. |x|θ. Z (x.∇u)dx + α. q. Z. b ku (x.∇u)dx + µ BR. fb(x.∇u)dx. BR.