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Esta pesquisa partiu da preocupação em minha prática docente com as
dificuldades dos alunos na resolução de problemas, que deixam de utilizar a
abordagem algébrica necessária para chegar a uma solução, e no geral, buscam
uma resposta por meio de tentativa e erro ou esperam uma estratégia de resolução
pronta e direcionada pelo professor.
Ao mesmo tempo, resultados de desempenho dos alunos em avaliações,
como os divulgados pelo SAEB # Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica – (2001), demonstraram dificuldades dos alunos com o uso da linguagem
algébrica na resolução de problemas.
Entretanto, várias pesquisas, como as de Mason (1996), Lee (1996),
Fiorentini, Miguel & Miorim (1993), Vale e Pimentel (2005), revelaram que a
observação e generalização de padrões pode ser um caminho adequado para o
desenvolvimento do pensamento algébrico ao longo do currículo escolar, podendo
também auxiliar o aluno a desenvolver habilidades e competências para resolver
problemas.
Assim, esses fatos me levaram a pesquisar a importância de atividades de
observação, percepção, descrição de regularidades e generalização de padrões no
desenvolvimento do pensamento algébrico desde as séries iniciais, investigando os
Portanto, com esta pesquisa pretendo investigar se e como meus alunos de
5ª série/6º ano do Ensino Fundamental se sensibilizam e criam estratégias para
resolver situações que envolvam a observação, percepção, descrição e
generalização de padrões.
Para tanto, este trabalho foi dividido em quatro capítulos descritos da seguinte
forma:
No capítulo 1, apresento a justificativa e o objetivo dessa pesquisa,
destacando a importância dos estudos realizados pelo Grupo de Pesquisa em
Educação Algébrica – GPEA – do Programa de Estudos Pós#graduados em
Educação Matemática da PUC/SP, comentando sobre o ensino da álgebra e as
indicações feitas por documentos institucionais como os Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCN.
No capítulo 2, faço a apresentação das escolhas teórico#metodológicas que
nortearam essa pesquisa, servindo como referenciais importantes sobre o tema
generalização de padrões, dentre eles: Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), Ponte
(2005), Vale e Pimentel (2005), Mason (1996) e Lee (1996).
Nesse capítulo apresento também a metodologia de pesquisa qualitativa
adotada, a Engenharia Didática, descrevendo resumidamente suas fases: análises
preliminares, análise a experimentação, a análise e a validação.
No capitulo 3, descrevo a experimentação em si, desde as primeiras
decisões, escolhas e providências, bem como o desenvolvimento da seqüência
didática, com a elaboração do instrumento de pesquisa, as análises as
descrições da aplicação do instrumento de pesquisa e dos resultados, as análises
Por fim no quarto e último capítulo faço as considerações finais baseadas nas
conclusões que permearam a investigação, apresentando uma síntese das principais
constatações obtidas durante as análises, abordando a metodologia adotada, os
resultados e o objetivo da pesquisa, bem como a sua importância para o ensino da
Em minha prática docente como professora de matemática do Ensino Básico,
ao longo de dez anos, tenho me deparado com as dificuldades que os alunos
apresentam em resolver problemas, em especial, na conversão da linguagem natural
para a linguagem simbólica da matemática.
Percebi que, muitas vezes, eles deixam de utilizar a abordagem algébrica
necessária para chegar a uma solução de um problema, e por essa razão, no geral,
buscam uma resposta por meio de tentativa e erro, o que muitas vezes torna inviável
a resolução de um problema que apresente um maior grau de dificuldade.
Um aspecto da dificuldade apresentada pelos alunos pode ser detectado
pelas conversas informais com muitos colegas de profissão que sempre reclamam
da falta de interesse e motivação por parte dos alunos em enfrentar um desafio,
solicitando e esperando uma estratégia de resolução pronta ou direcionada pelo
professor.
Nessa mesma direção, muitos alunos me alegam que a matemática é uma
“coisa” complicada, difícil de entender, cheia de fórmulas incompreensíveis, que
muitas vezes não têm nada a ver com suas vidas.
De acordo com o Saeb (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica)
de 2001, foi possível observar, pela análise dos itens apresentados, que os alunos
procedimentos algorítmicos, quanto na resolução de problemas envolvendo números
e operações. Já os alunos de 8ª série/9º ano do Ensino Fundamental também
demonstraram dificuldade com o uso da linguagem simbólica ou algébrica na
resolução de problemas.
Assim, sempre me questionei como buscar um caminho diferente que
pudesse transformar minha prática docente em escolhas mais adequadas e que
contribuíssem para a aprendizagem do aluno, levando#o à construção do seu próprio
conhecimento.
Com essa preocupação, aproveitei a oportunidade oferecida pela SEE#SP
(Secretaria de Educação do Estado de São Paulo) e me inscrevi no Mestrado
Profissional em Ensino da Matemática do Programa de Estudos Pós#graduados em
Educação Matemática da PUC/SP para compreender melhor os problemas de
ensino e de aprendizagem da matemática visando uma docência mais frutífera.
No Programa me inseri no Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica –
GPEA – cujos objetivos contemplam pesquisas dedicadas à abordagem de temas
que envolvem as questões levantadas por mim durante a minha prática docente.
Segundo justificativa apresentada pelos pesquisadores do GPEA em texto
que consta do site1 do grupo, historicamente, a álgebra recebeu um maior destaque
na década de 60, porém, após esse período, ela foi perdendo paulatinamente
espaço e é com freqüência vista como um amontoado de símbolos de valor
indiscernível.
O mesmo texto salienta que pesquisas em Educação Matemática têm
apontado que, se por um lado, a Álgebra é importante para propiciar a introdução de
1
idéias matematicamente significativas, por outro é um obstáculo para a trajetória
educacional de muitos.
Fato também ressaltado por Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), pois durante o
período do Movimento da Matemática Moderna o campo da álgebra teve maior
ênfase, fazendo com que o ensino da geometria sofresse um processo de
descaracterização e fosse quase que abandonado na sala de aula.
Entretanto, segundo esses autores, o ensino da álgebra também foi
prejudicado pelo formalismo presente e a ênfase dada ao estudo das estruturas
algébricas, acarretando uma visão austera e formal para os alunos, perdendo,
inclusive, o valor instrumental para a resolução de problemas.
Apesar de tanto o campo da geometria como o da álgebra terem tido
prejuízos, apenas se ressaltou o abandono do ensino da geometria, esquecendo#se
que o ensino da álgebra também necessitava de uma reavaliação.
Como conseqüência, a partir da década de 80, o ensino da geometria
recebeu maior atenção. E para superar essa atitude de priorizar um dos campos, os
autores afirmam a necessidade de repensar também o ensino da álgebra.
Desse modo, o mesmo texto dos pesquisadores do GPEA revela que a
posição sobre a álgebra no Ensino Básico, dados os pressupostos construtivistas
preconizados pelas políticas públicas, impõe desafios específicos sobre o ensino de
álgebra na Licenciatura. E que esses pressupostos implicam uma revisão do
conceito de "educação cientifica" e do processo de formação, tanto inicial quanto
continuada, do professor.
Dessa problemática, o grupo suscita a questão: "Qual a álgebra a ser
Essa questão justifica#se pelo exame de documentos oficiais e institucionais
que revelam descontinuidades existentes no ensino de álgebra entre os diversos
níveis de ensino. E isso conduz o grupo a investigar o ensino da álgebra nos níveis
de educação: infantil, básica, universitária e pós#universitária.
Assim, nessa direção, entre os projetos do GPEA que fazem parte do projeto
maior: “Qual a álgebra a ser ensinada na formação de professores?”, me identifiquei
com aquele denominado: “Observação e generalização de padrões, uma atividade
matemática transversal”.
As investigações desse projeto tratam da importância do desenvolvimento de
habilidades e competências propiciadas por atividades de observação e
generalização de padrões na resolução de problemas.
A seguir, para melhor compreender os objetivos, apresento as considerações
sobre esse projeto que constam do site2 do Programa de Estudos Pós#Graduados
em Educação Matemática da PUC/SP:
As pesquisas deste projeto visam investigar o estatuto da observação e generalização de padrões no nível institucional, docente e discente. Os resultados dessas pesquisas visam contribuir para a sensibilização da comunidade escolar sobre a importância do desenvolvimento de habilidades e competências propiciadas por atividades da observação e generalização de padrões no equacionamento de problemas.
No nível institucional, ao examinar os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN), que norteiam a prática pedagógica, em relação ao ensino da álgebra,
segundo Silva (2006), ficou evidenciado, que apesar dos PCN indicarem o estudo
associado de álgebra e aritmética, não estão contempladas no conjunto de suas
orientações ações que possam concretizar essa indicação, havendo a necessidade
de reflexão sobre o ensino da álgebra no ensino fundamental em todos os
segmentos envolvidos na educação.
Há indicações de que nas séries iniciais do Ensino Fundamental já se pode
desenvolver uma pré#álgebra, mas é especialmente nas séries finais do Ensino
Fundamental que as atividades algébricas devem ser ampliadas e, que por meio de
situações#problema, o aluno reconhecerá as diferentes funções da álgebra
(generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas,
modelizar, resolver problemas que envolvem abordagens numéricas mais difíceis).
Ainda com relação ao início dos estudos da álgebra encontramos nos PCN do
Ensino Fundamental as seguintes recomendações:
No decorrer do trabalho com os números, é fundamental estudar algumas relações funcionais pela exploração de padrões em seqüências numéricas que levem os alunos a fazer algumas generalizações e compreender, por um processo de aproximações sucessivas, a natureza das representações algébricas. A construção dessas generalizações e de suas respectivas representações permite a exploração das primeiras noções de álgebra [....] Devido à complexidade que caracteriza os conceitos e procedimentos algébricos não é desejável que no terceiro ciclo se desenvolva um trabalho visando ao aprofundamento das operações com as expressões algébricas e as equações. É suficiente nesse ciclo que os alunos compreendam a noção de variável e reconheçam a expressão algébrica como uma forma de traduzir a relação existente entre a variação de duas grandezas. É provável que ao explorar situações#problema que envolvam variação de grandezas o aluno depare com equações, o que possibilita interpretar a letra como incógnita. Nesse caso, o que se recomenda é que os alunos sejam estimulados a construir procedimentos diversos para resolvê#las, deixando as técnicas convencionais para um estudo mais detalhado no quarto ciclo. (p. 68)
É possível perceber, por essas indicações, que os PCN tratam da importância
da observação de padrões e da construção de generalizações e suas
representações como um meio para explorar as primeiras noções de álgebra.
Porém, no terceiro ciclo3 não sugerem o aprofundamento das operações com
3
expressões algébricas e com equações, postergando o estudo dessas técnicas para
os anos finais do Ensino Fundamental.
De fato, como analisou Silva (2006), os PCN falam de desenvolver uma “pré#
álgebra” a partir do terceiro ciclo, através de jogos, modelos, generalizações e
representações matemáticas com gráficos e, no quarto ciclo, o trabalho com álgebra
(procedimentos mecânicos para lidar com expressões e equações).
Essas indicações dos PCN me fazem questionar as formas de abordagem e
como explorar as idéias da álgebra. Será que essas indicações dos PCN são mesmo
apropriadas? Será que há uma ordem na abordagem da aritmética e da álgebra?
Lins e Gimenez (1997), em suas propostas de Educação Aritmética e
Algébrica, fazem uma crítica a esse respeito. Para eles, a álgebra e a aritmética
precisam ser pensadas em termos de significados produzidos no interior de
atividades, e não como termos de técnicas e conteúdos. (p. 161)
Para os autores não há sentido na afirmação de que a aritmética deve
preceder a álgebra, e nem o contrário, visto que existem diversas experiências extra#
escolares que as crianças trazem consigo envolvendo a aritmética. Estas
experiências sugerem a coexistência da Educação Algébrica com a Aritmética, de
modo que uma esteja implicada no desenvolvimento da outra.
Essas colocações me pareceram muito convincentes para esclarecer as
minhas indagações, mostrando que a construção de significados quando o aluno
realiza uma atividade é mais importante do que desenvolver um conteúdo e executar
técnicas, muitas vezes, puramente mecânicas e sem sentido para o aluno.
Dessa forma, se há uma coexistência da Educação Algébrica com a
Aritmética, implicando uma no desenvolvimento da outra, não há razão para se
Na realidade os membros do GPEA, em suas produções, dão a álgebra, um
sentido mais amplo, expressando que o campo da álgebra consiste tanto na álgebra
escolar e superior, como inclui a Teoria Elementar dos Números, que por sua vez
inclui a Aritmética.
Vale dizer que vários autores, como Fiorentini, Miorim e Miguel (1993),
Carraher, Schliemann e Brizuela (2001), referenciados no capítulo II, defendem que
o pensamento algébrico deve estar presente na formação dos alunos desde as
séries iniciais, buscando desenvolver a capacidade de perceber regularidades e
expressá#las, através do processo de generalização.
Da mesma forma, Lee (2001, Silva 2006) menciona que o pensamento
algébrico empenhado em refletir sobre algum sistema matemático ou do mundo real,
isto é, envolvido na revelação de modelos, padrões e no ato de dizer ou escrever
padrões, tem sido mostrado como uma introdução ao pensamento algébrico
excelente e adequado para crianças e adolescentes.
Ademais, no próximo capítulo, menciono pesquisas que averiguaram que a
generalização de padrões pode ser um caminho para o desenvolvimento do
pensamento algébrico, podendo também, auxiliar o aluno a desenvolver habilidades
e competências para resolver problemas.
Também pude constatar a importância da generalização de padrões ao me
deparar com o artigo “O aluno de quinta série é capaz de perceber e descrever
regularidade em um padrão?” (Machado, 2006), que levantou questões e pontos
positivos, quanto às reações dos alunos do terceiro ciclo do Ensino Fundamental
frente a uma situação que envolve a observação e generalização de padrões.
Assim, convencida da relevância do tema, decidi abordar atividades
investigando alunos do terceiro ciclo do Ensino Fundamental, buscando comparar
com os resultados da pesquisa relatada no artigo referido (Machado, 2006), e trazer
novos subsídios que possibilitem verificar se o aluno do 3º ciclo é capaz de perceber
e descrever regularidades em um padrão.
Portanto, o objetivo desta pesquisa é investigar se e como meus alunos de 5ª
série/6º ano do Ensino Fundamental se sensibilizam e criam estratégias para
!"
#
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Neste capítulo, apresento os trabalhos que contribuíram, direta ou
indiretamente, para a realização dessa pesquisa e que serviram de referencial
teórico, possibilitando uma melhor compreensão do tema observação e
generalização de padrão e sua importância para o desenvolvimento do pensamento
algébrico.
A seguir, faço também a descrição da metodologia de pesquisa adotada.
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Primeiramente, destaco os seguintes trabalhos de pesquisadores em
educação matemática pertinentes a minha pesquisa:
Fiorentini, Miguel e Miorim (1992), no artigo “Álgebra ou Geometria: para onde
pende o pêndulo”, revelam a existência de uma atitude oscilatória e maniqueísta em
relação aos campos da álgebra e da geometria ao longo da história da matemática
no Brasil.
Os autores defendem que para superar tal atitude torna#se necessário
Para tanto, devem#se realizar estudos que procurem explicitar a
especificidade da álgebra e o papel por ela desempenhado na história do
pensamento humano, particularmente na história do pensamento científico e
matemático.
Já no artigo “Contribuição para um repensar...a educação algébrica
elementar”, de 1993, os mesmos autores apresentam alguns elementos que
permitem repensar a educação algébrica, a partir de uma análise comparativa entre
as concepções de educação algébrica no decorrer da história do ensino da
matemática e as concepções de álgebra implícitas nas leituras históricas do
desenvolvimento desse campo da matemática.
Nessa comparação, eles concluem que ambas priorizaram a linguagem em
detrimento do pensamento. Isto implica em repensar a relação que existe entre a
linguagem e o pensamento.
Eles lembram que na educação algébrica tem#se considerado que o
pensamento algébrico se dá pela manipulação sintática da linguagem algébrica.
Entretanto, os autores acreditam que exista entre o pensamento algébrico e a
linguagem, não uma relação de subordinação, mas sim uma relação de natureza
dialética, uma vez que, tanto no plano histórico quanto no pedagógico, a linguagem
é, a princípio, a expressão de um pensamento.
De acordo com os autores, o pensamento algébrico é um tipo especial de
pensamento que pode se manifestar não apenas nos diferentes campos da
matemática, mas também em outras áreas do conhecimento.
Ele pode expressar#se através da linguagem natural, aritmética, geométrica
Vale destacar, a referência quanto ao momento de iniciação do pensamento
algébrico no currículo escolar, não havendo razão para a sustentação de uma
iniciação relativamente tardia, pois o pensamento algébrico não prescinde de uma
linguagem estritamente simbólico#formal para sua manifestação.
Logo, o trabalho com esse tipo de pensamento deve estar presente na
formação do aluno desde as séries iniciais.
Nas séries iniciais, deve#se buscar desenvolver a capacidade de perceber
regularidades e de captar e expressar retoricamente, ou de forma semiconcisa, a
estrutura subjacente às situações#problema, através do processo de generalização.
Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) ressaltam que o pensamento algébrico se
potencializa à medida que, gradativamente, o aluno desenvolve uma linguagem mais
apropriada a ele e fazem uma ressalva:
Se a introdução precoce e sem suporte concreto a uma linguagem simbólica abstrata pode funcionar como um freio à aprendizagem significativa da álgebra, o menosprezo ao modo de expressão simbólico#formal constitui#se também em um impedimento para o seu pleno desenvolvimento. (p. 89)
Para finalizar, os autores defendem como primeira etapa para a educação
algébrica o trabalho com situações#problema.
Por conseguinte, um trabalho reflexivo e analítico sobre o modo como
conduzimos e expressamos nosso pensamento, visando à resolução de situações#
problema, possibilita a construção de uma linguagem simbólica significativa para o
aluno.
Um ponto relevante para a minha pesquisa foi as considerações feitas pelos
autores a respeito do tempo de iniciação ao pensamento algébrico e as formas de
Graças a esses autores, constatei a importância de realizar atividades que
desenvolvam o pensamento algébrico desde as séries iniciais. E que essas
atividades, nas séries iniciais, devem buscar desenvolver a capacidade de perceber
regularidades e expressá#las, através do processo de generalização.
Com certeza, esses pesquisadores esclareceram muitos aspectos referentes
ao desenvolvimento adequado do pensamento algébrico, além de levar a um
repensar das concepções de educação algébrica e da álgebra, contribuindo para
que eu confirmasse a relevância do tema generalização de padrão e me
interessasse por investigar os alunos das séries mais novas, que no meu caso é a 5ª
série/6ºano.
Outra pesquisa que tratou da iniciação aos estudos da álgebra foi a realizada
por Carraher, Schliemann e Brizuela (2001), no artigo “Can young students operate
on unknown?”4.
De acordo com os autores, a aprendizagem da álgebra tem sido
tradicionalmente adiada até a adolescência por causa de suposições equivocadas
quanto à natureza da aritmética e quanto à capacidade dos estudantes jovens.
Para eles, a aritmética é algébrica até o ponto que dá oportunidades de fazer
e expressar generalizações. Idéia corroborada pelos pesquisadores do GPEA.
Em sua pesquisa, com alunos de nove anos de idade, eles verificaram que as
crianças usaram notação algébrica para representar um problema de relações
aditivas.
4
As crianças não apenas operaram com incógnitas, mas também conseguiram
entender que a incógnita substitui todos os possíveis valores que uma entidade pode
ter.
É crucial para os estudantes aprender a representar e manipular incógnitas.
No entanto, os pesquisadores acreditam ser um erro atribuir a emergência
tardia dessa habilidade aos limites do desenvolvimento mental e sim devido à
introdução tardia da álgebra no currículo da matemática, que não tem relação com
os conhecimentos dos alunos e as intuições sobre aritmética.
Segundo os autores, os conceitos algébricos e sua notação são partes da
aritmética e sugerem que a aritmética deve estar ligada com o significado algébrico
desde muito cedo na educação matemática.
Carraher, Schliemann e Brizuela (2001) afirmam que ainda existe muito a ser
feito, pois a iniciação da educação algébrica ainda não é um campo bem definido.
Entretanto, é surpreendente conhecer as habilidades das crianças em fazer
generalizações, como também em usar a notação algébrica.
Dessa forma, os resultados que os autores relatam trouxeram subsídios para
a minha pesquisa ao indicar que alunos mais jovens foram bem sucedidos ao
desenvolver atividades algébricas.
Além disso, as considerações dos autores sobre a iniciação tardia da álgebra
no currículo ser um obstáculo para o desenvolvimento das habilidades algébricas
dos alunos reforçaram a necessidade de realizar atividades envolvendo o
pensamento algébrico desde as séries iniciais.
Assim, autores como Carraher e seu grupo trouxeram elementos para a
iniciação algébrica, que me ajudaram a definir os sujeitos da minha pesquisa, ou
O artigo “O aluno de quinta série é capaz de perceber e descrever
regularidade em um padrão?” (Machado, 2006), trata de uma pesquisa realizada por
componentes do GPEA, durante um curso que versava sobre o tema de observação
de regularidades e generalização de padrões, realizado com professores da rede
pública.
Uma das professoras participantes, sensibilizada pelo tema, aplicou, em uma
quinta série, uma atividade envolvendo padrões numéricos, de modo a verificar
como seus alunos reagiriam quando defrontados por uma situação que envolvesse a
observação e generalização de padrão.
Ao tratar da importância do tema, a autora do artigo citado busca um apoio
teórico em Devlin (2002, Machado, 2006), em que, para ele, os padrões
existem no mundo das idéias e dos pensamentos. Podem ser reais ou imaginários,
visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente
utilitários ou recreativos.
Na matemática, a procura por regularidades para descrever padrões é tão
importante que levou Devlin a colocar como título de seu livro a frase: “Matemática: a
ciência dos padrões”.
Assim, segundo Devlin, a matemática não é apenas manipulação de símbolos
de acordo com regras arcaicas, mas sim a compreensão de padrões.
A matemática, sob essa perspectiva, ciência dos padrões, permite que o
aluno tenha uma maior motivação, onde a descoberta tem um papel fundamental em
sua aprendizagem, assim como o ensino da álgebra possa se dar desde cedo no
currículo escolar.
Além de Devlin, outro apoio foi Mason (1985, Machado, 2006), que
álgebra como uma linguagem adequada para expressar regularidades, na qual a
generalização tem papel importante.
Mason (1985, Machado, 2006) apresentam o ciclo da
generalização, ou seja, a conversão do específico para o geral: primeiro a percepção
da generalidade, segundo a sua expressão, terceiro a expressão simbólica da
generalidade para, finalmente, atingir a manipulação da generalidade para resolver
um problema.
Machado lembra que os PCN do Ensino Fundamental confirmam a
importância da aprendizagem algébrica, argumentando que o estudo da álgebra
permite que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e
generalização, além de ser uma poderosa ferramenta para resolver problemas.
Entretanto, ela ressalta que enquanto os PCN sugerem o trabalho com
padrões desde a 6ª série/7º ano, em outros países, como nos Estados Unidos,
sugere#se iniciar as atividades com padrões desde a 2ª série/3º ano do Ensino
Fundamental.
Finalmente, após a descrição e análise dos dados coletados, foi possível
perceber que os alunos da quinta série tiveram maturidade, e que assim, podem e
devem trabalhar com esse tema, sendo capazes de observar e reconhecer um
padrão, além de em alguns casos, expressar, verbalmente ou por escrito, uma regra
A pesquisa relatada por Machado foi mais um incentivo para confirmar a
importância do tema escolhido por mim, me motivando a investigar alunos da 5ª
série/6º ano.
Considerei importantes as considerações da autora, bem como as de Mason,
em especial, a sua apresentação do ciclo de generalização, servindo como apoio
para a análise do meu instrumento de pesquisa.
Julguei apropriada a atividade escolhida pela professora da pesquisa referida,
que envolvia padrão do tipo numérico e decidi incluí#la nas atividades que eu iria
aplicar na minha pesquisa.
Dessa forma, por essa pesquisa ter sido realizada com alunos de 5ª série,
seus resultados me auxiliaram bastante na escolha, elaboração e análise dos
resultados do instrumento da minha pesquisa.
No artigo supracitado, Machado fez referência a Perez (2006), o que chamou
minha atenção para conhecer esse trabalho:
Perez apresentou uma pesquisa, com a participação de nove alunos do
Ensino Médio de uma escola pública, aplicando atividades cujo objetivo foi investigar
se e como os alunos do Ensino Médio resolvem problemas que envolvem a
generalização de padrão. Ela adotou a engenharia didática como metodologia de
sua pesquisa.
Em sua pesquisa, Perez também comenta a importância da observação de
regularidades e que na matemática podemos descobrir e revelar padrões de vários
(* +,- )( % (. * /
Nesta seqüência de triângulos vários padrões podem ser percebidos e
descritos.
Existem também vários tipos de padrões de formas e figuras que os nossos
olhos são capazes de visualizar. Por exemplo, a regularidade geométrica que
apresenta uma flor:
(* 0 *( 1
A Natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos, na forma
, formando espirais que tanto curvam para a esquerda como para a
direita. Curiosamente, se contarmos essas espirais, quer para um lado, quer para
outro, perceberemos que os números de espirais em cada direção são (quase
sempre) números vizinhos na seqüência de Fibonacci7. O raio dessas espirais varia
de espécie para espécie de flor.
5
(Perez, 2006, p.20)
6
figura disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/numeros.htm>. Acesso em: 15 fev 2008.
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Assim, tanto podemos perceber padrões com regularidades geométricas
quanto numéricas.
Perez também cita padrões visuais que tem como características o fato de
eles se repetirem de forma regular até preencherem totalmente um polígono, como
por exemplo, os desenhos do artista holandês M. C. Escher (1898#1972):
(* 20 #(3( * % 4 5( * 6( 4 7/8 ! 7/99
Segundo Perez, os padrões representados por números são mais abstratos,
assim como os números que os descrevem, por exemplo, as progressões
aritméticas e geométricas.
Há também padrões mais complexos, do ponto de vista matemático, como,
por exemplo, os padrões relacionados ao fato de serem números primos ou
compostos, números quadrados perfeitos, entre outros. Esse tipo de estudo é
abordado pela Teoria dos Números.
Ou seja, os padrões numéricos estão ligados à idéia de algum tipo de
regularidade, seja ela recursiva ou de repetição, na qual se possa identificar uma lei
8
que permita continuar a seqüência e chegar à sua generalização (Vale no
prelo).
Existem também os padrões compostos, denominados figurativo#numéricos.
Para exemplificar:
:::
(* ;0 +,- )( 6(* (3 ! &< ()
Dentre os padrões figurativo#numéricos, estão aqueles que são denominados
de geométrico#numéricos, por exemplo:
:::
(* /0 +,- )( * &< () ! &< ()
Dessa forma, temos uma tipificação adequada dos padrões que podemos
encontrar ao abordar atividades envolvendo observação e generalização de
padrões.
Por fim, Perez considera que o objetivo de sua pesquisa foi atingido, pois os
alunos do ensino médio, mesmo tendo alegado que nunca tinham trabalhado com
aquele tipo de atividade, resolveram questões de generalização de padrões,
utilizando estratégias diversificadas.
O trabalho de Perez colaborou para a minha pesquisa, me fazendo atentar
uma investigação com alunos da 5ª série/ 6º ano e pude perceber, pelo seu trabalho,
que essa metodologia também seria apropriada para a minha pesquisa.
Outra colaboração importante foi a explicitação dos tipos de padrões
existentes, me fazendo diferenciá#los melhor e levar em consideração a escolha do
tipo de padrão a ser usado na minha investigação.
Assim, me interessei, em especial, utilizar no meu instrumento de pesquisa os
padrões numéricos ligados à idéia de algum tipo de regularidade, seja ela recursiva
ou de repetição, na qual se possa identificar uma lei que permita continuar a
seqüência e chegar à sua generalização.
Além disso, as análises e considerações feitas por Perez serviram de apoio
para as análises da minha própria pesquisa.
Com certeza, algumas atividades de Perez me inspiraram na elaboração das
atividades escolhidas, embora, a sua pesquisa tenha sido realizada com alunos do
Ensino Médio e a minha com alunos do Ensino Fundamental.
Outro pesquisador que contribuiu com elementos fundamentais para minha
argumentação sobre a relevância do tema generalização de padrões foi Ponte
(2005).
Em seu artigo
-
Números e álgebra no currículo escolar”, ele comenta que umdos objetivos do estudo da álgebra, na escola, é desenvolver o
dos alunos, que inclui a capacidade de manipulação de símbolos, porém
vai muito além disso.
Ele cita, de acordo com o National Council of Teachers of Mathematics –
NCTM # (2000), que o pensamento algébrico diz respeito ao estudo das estruturas, à
Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas),
Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando
símbolos algébricos (Simbolização),
Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações
quantitativas (Modelação),
Analisar mudança em diversas situações (Estudo da variação) (p. 37,
Ponte, 2005).
Segundo Ponte, o pensamento algébrico inclui a capacidade de lidar com o
cálculo algébrico e as funções.
Contudo, inclui também a capacidade de lidar com outras estruturas
matemáticas e usá#las na interpretação e resolução de problemas matemáticos.
A capacidade de manipulação de símbolos é um dos elementos do
pensamento algébrico, assim como a capacidade de interpretar e de usar de forma
criativa os símbolos matemáticos, na descrição de situações e na resolução de
problemas.
Isto é, no dá#se atenção não só aos objetos, mas
também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre
essas relações tanto quanto possível de modo geral e abstrato.
Assim, ele defende que uma das vias privilegiadas para promover esse
raciocínio é o estudo de padrões e regularidades.
O autor também sugere a contextualização na abordagem da álgebra, tendo
como ponto de partida situações reais.
Dentre suas conclusões, aponta a necessidade de repensar a abordagem da
álgebra, valorizando o pensamento algébrico e tornando#o uma orientação
Dessa forma, Ponte é um referencial importante para a minha pesquisa, pois
defende que a generalização de padrões é um caminho para o desenvolvimento do
pensamento algébrico, devendo fazer parte do currículo de todas as séries do
ensino.
Na mesma direção de pesquisa de Ponte, destaco também Vale e Pimentel
(2005), que no artigo “Padrões: um tema transversal do currículo”, publicado na
revista Educação e Matemática, defendem que a matemática sob a perspectiva da
ciência dos padrões pode contribuir para uma nova visão dessa disciplina por parte
dos professores e proporcionar contextos de aprendizagem estimulantes para o
aluno, em que o seu raciocínio matemático possa ser explorado.
O reconhecimento de padrões na natureza tem ajudado o homem a fazer
previsões e a compreender o meio que nos rodeia, tendo muita influência no
desenvolvimento das ciências.
Vários pesquisadores definem a matemática como a ciência dos padrões ( .
Davis e Hersh, 1981; Devlin, 2002; Sawyer, 1955; Steen, 1990, Vale e
Pimentel, 2005), pois um dos objetivos da matemática é descobrir regularidade onde
parece haver o caos, extrair a estrutura e a invariância da desordem e da confusão.
Desse modo, para Goldenberg (1998, Vale e Pimentel, 2005) a procura
por invariantes deve ser o fulcro do ensino da matemática, pois como ciência dos
padrões, ela trata da procura da estrutura comum subjacente a coisas que em todo o
resto parecem completamente diferentes.
Assim, o termo padrão tem uma multiplicidade de sentidos que deve ser
poderoso da atividade matemática, uma vez que a sua procura é indispensável para
conjecturar e generalizar.
Vale e Pimentel (2005) fazem várias referências à importância dada aos
padrões nas recomendações curriculares de Portugal e afirmam que os professores
têm diversas oportunidades de explorar atividades envolvendo padrão, ao longo do
desenvolvimento curricular.
Elas alegam que a procura por padrões é essencial na resolução de
problemas e no trabalho investigativo, sendo um modo promissor de exploração da
álgebra e que, portanto, é necessário desenvolver essa competência nos alunos
desde os primeiros contatos com a matemática, através de problemas significativos
em que o uso da álgebra seja relevante.
Quanto à resolução de problemas através de um trabalho investigativo, as
pesquisadoras citam Herbert e Brown (1997, Vale no prelo) que indicam
que o processo investigativo envolve três fases:
1# Procura de padrões — extrair a informação relevante;
2# Reconhecimento do padrão, descrevendo#o através de métodos diferentes
— a análise dos aspectos matemáticos; e
3# Generalização do padrão – a interpretação e aplicação do que se
aprendeu.
Elas tratam da importância de começar com atividades de reconhecimento de
padrões, para que o aluno acostume com esse modo de pensar e facilite a
abordagem de tarefas mais complexas.
Para tanto, Vale e Pimentel citam Orton (1999, Vale 2006) que, em
1# Encontrar termos numa seqüência torna#se progressivamente mais
difícil, para os alunos, à medida que se encontram mais distantes dos
termos que lhes são apresentados;
2# Muitos alunos têm mais dificuldade em explicar um padrão do que em
continuá#lo; e
3# Geralmente há mais alunos que explique as regras, detectadas nas
seqüências, oralmente do que por escrito.
Desse modo, as autoras consideram que as atividades envolvendo padrões
permitem:
# Contribuir para a construção de uma imagem mais positiva da
matemática por parte dos alunos;
# Experienciar o poder e a utilidade da matemática e desenvolver o
conhecimento sobre novos conceitos;
# Evidenciar como os diferentes conhecimentos matemáticos se
relacionam entre si e com outras áreas do currículo;
# Promover o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos
tornando#os bons solucionadores de problemas e pensadores abstratos;
# Melhorar a compreensão do sentido do número, da álgebra e de
conceitos geométricos;
E que para isso os alunos devem ter a oportunidade de:
# Transferir padrões concretos, pictóricos e simbólicos de uma representação
para outra;
# Averiguar se uma lista de números mostra alguma regularidade;
# Descobrir o padrão numa seqüência;
# Prever termos numa seqüência;
# Generalizar;
# Construir uma seqüência.
As autoras também apresentam alguns exemplos de situações#problema
envolvendo padrões.
Nas suas pesquisas, elas constataram que a maioria dos estudantes, perante
atividades que envolvem generalização, utilizam uma abordagem numérica.
Os alunos que trabalham a forma exclusivamente numérica manifestaram
insuficiências na resolução, não conseguindo obter uma generalização completa ou
obtendo uma lei de formação errada.
De modo geral, os alunos têm mais sucesso quando recorrem a uma
abordagem exclusivamente geométrica ou mista. E que devemos incentivar os
alunos a olhar para os problemas de vários modos, buscando mobilizar seus
conhecimentos, sejam de natureza numérica ou geométrica.
As autoras concluem que a integração de atividades com padrões no currículo
da matemática escolar permite aos alunos descobrir conexões entre vários tópicos,
além de desenvolver suas capacidades de comunicar matematicamente e aumentar
o desempenho na resolução de problemas.
Os argumentos apresentados pelas autoras contribuíram para que eu
confirmasse a relevância do tema generalização de padrões no desenvolvimento do
pensamento algébrico, devendo estar presente ao longo do currículo escolar, e que
atividades envolvendo padrões podem motivar os alunos a buscar novas
Através do estudo das pesquisas de Vale e Pimentel pude esclarecer o
significado do termo padrão e sua utilidade na matemática, além de refletir sobre os
benefícios que atividades envolvendo padrões propiciam.
Também examinei as atividades propostas por elas, em especial, as que
envolviam padrões numéricos, por serem os de maior interesse para a minha
pesquisa.
De fato, o objetivo da minha pesquisa está muito relacionado com as
investigações das autoras, pois elas defendem a importância de começar com
atividades de reconhecimento de padrões, para que o aluno acostume com esse
modo de pensar e facilite a abordagem de tarefas mais complexas.
Enfim, as pesquisas de Vale e Pimentel me auxiliaram muito na escolha,
preparação e análise do meu instrumento de pesquisa, tanto nas suas
considerações quanto nos autores citados por elas.
Outra referência importante ao tema é Mason (1996a) que apresenta
propostas de ensino baseadas na generalização de padrões como um “caminho”
para a álgebra, partindo da aritmética.
Ele argumenta que a aritmética é a fonte original da álgebra como instrumento
para expressar generalidades e controlar o desconhecido e que o futuro do ensino
da aritmética e da álgebra dependem da importância que o professor dá aos
processos de pensamento matemático, em particular, da generalização.
A essência desse pensamento está no reconhecimento, na apreciação, na
expressão e na manipulação da generalidade, implicando, ao mesmo tempo, em
Assim, ele recomenda que, para o desenvolvimento do pensamento algébrico,
sejam propostas situações#problema envolvendo, palavras, desenhos e símbolos.
Desse modo, o processo de generalização, baseado em Bruner (1966,
Mason, 1996b), necessita do uso de materiais ou símbolos abstratos:
Um modo de trabalhar o desenvolvimento da consciência da generalidade é sensibilizar#se pela distinção entre “olhar através” e “olhar para”, que orienta os primeiros estágios de abstração e de concretização, isto é, vendo uma generalidade através do particular e vendo o particular no geral. Estes são enfatizados pela distinção entre trabalhar através de uma seqüência de exercícios, e trabalhar naqueles exercícios como um todo. (Mason, 1996a, p.65)
Segundo Mason (1996a), as atividades que envolvem padrões proporcionam
ao aluno uma melhor manipulação de expressões algébricas e, por conseqüência, a
resolução de equações, que é uma das dificuldades dos alunos na matemática.
Enfim, o trabalho com padrões possibilita ao aluno a construção de uma
linguagem simbólica significativa.
Assim, Mason também veio confirmar a relevância da observação e
generalização de padrões na aprendizagem da matemática.
Além de Mason, Lee (1996), em seu artigo0 “An initiation into algebraic culture
through generalization activities”9, também afirma que a generalização de padrões é
uma forma de atividade extremamente eficaz para a introdução de algumas idéias da
álgebra.
De acordo com Lee, olhando para a álgebra como uma cultura, a
generalização de padrões é uma atividade central e a linguagem simbólica da
álgebra, certamente, facilita essa tarefa. Generalização é uma das coisas que
9
“fazemos” em álgebra e que, portanto, os estudantes deveriam ser iniciados nessas
atividades cedo.
Pelas suas pesquisas ela verificou que introduzir a álgebra através do
trabalho com padrões não somente foi possível, como houve elementos muito
empolgantes tanto para o professor como para os alunos.
Logo, ela enfatiza que o trabalho com generalização de padrões é estimulante
e propicia ao aluno exercitar seu modo de observar, pensar e agir diante de um
problema.
O professor, ao propor esse tipo de atividade, deve estar atento para
compreender e avaliar as diversas maneiras que os alunos encontram para resolver
um dado problema.
Em seus estudos, com alunos do curso de álgebra elementar da Universidade
de Concórdia e alunos do ensino médio, ela constatou que ambos demonstraram
interesse em resolver problemas envolvendo generalização de padrões.
Enfim, tanto Mason como Lee fortaleceram ainda mais a relevância do tema
por mim escolhido, fazendo com que eu refletisse sobre o processo de
generalização e na importância de prestar atenção para as diversas estratégias que
os alunos podem utilizar ao resolver uma situação envolvendo observação e
"
%
*(
Para verificar se o aluno da quinta série é capaz de perceber e descrever
regularidades em um padrão, optei por aplicar uma seqüência didática, inspirada nas
fases da metodologia qualitativa da engenharia didática, por ter essa a finalidade de
analisar situações didáticas como objeto de estudo, desde a sua elaboração,
realização, observação, análise até a validação.
A engenharia didática é caracterizada:
[...] como um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de seqüências de ensino. (Artigue, 1988, Machado, 2002, p. 199)
O processo experimental da engenharia didática compreende quatro fases:
# primeira fase: análises preliminares;
# segunda fase: concepção e análise das situações didáticas;
# terceira fase: a experimentação;
# quarta fase: análise e validação;
As análises preliminares consistem nas considerações sobre o quadro teórico
didático geral e sobre os conhecimentos didáticos sobre o assunto de interesse,
assim como análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino,
análise do ensino atual, análise da concepção dos alunos, dificuldades e obstáculos
de aprendizagem.
As minhas análises preliminares consistiram em leituras sobre álgebra e
generalização de padrões, sugeridas pela orientadora, colegas do GPEA e
Vale salientar também a importância dos estudos realizados durante o curso
das disciplinas do mestrado que favoreceram a construção de conhecimentos,
influenciando positivamente minhas escolhas e direcionando para o caminho da
pesquisa do desenvolvimento do pensamento algébrico.
É importante notar que essa fase ocorre não somente antes da
experimentação, mas continua durante as outras, com leituras que possam auxiliar
nas análises das fases posteriores.
Na fase da concepção e da análise priori das situações didáticas, o
pesquisador, orientado pelas análises preliminares, delimita um certo número de
variáveis pertinentes ao sistema sobre os quais o ensino pode atuar, as quais são
chamadas de variáveis de comando.
Essas variáveis de comando podem ser macro#didáticas ou globais
(referentes à organização global da engenharia) e micro#didáticas ou locais
(referentes à organização de uma sessão ou de uma fase).
O objetivo da análise é determinar no que as escolhas feitas permitem
controlar os comportamentos dos alunos e o significado de cada um desses
comportamentos.
É suposto que na análise haja:
# descrição de cada escolha local feita e as características da situação a#
didática decorrentes de cada escolha;
# uma análise sobre qual o desafio da situação para o aluno, decorrente das
possibilidades disponíveis durante a experimentação, sejam elas de ação, de
escolha, de decisão, de controle e de validação;
# uma previsão dos comportamentos possíveis, mostrando no que a análise
tais comportamentos ocorrerem, serão resultados do desenvolvimento visado pela
aprendizagem.
Após a análise vem a experimentação que é a fase da realização da
engenharia com uma certa população de alunos. Ela se inicia no momento em que
se dá o contato pesquisador#professor#observador(es) com a população de alunos#
objeto da investigação.
Durante a experimentação deve#se explicitar os objetivos e condições de
realização da pesquisa, estabelecer o contrato didático, aplicar os instrumentos de
pesquisa e registrar as observações feitas.
Quando a experimentação prevê mais de uma sessão, aconselhá#se fazer
uma análise local após a realização de uma ou mais sessões,
confrontando com as análises feitas, para possíveis correções na “rota
prevista”.
Também se sugere fazer uma institucionalização, de modo a retomar as
questões discutidas e estabelecer os principais resultados da teoria.
A última fase é a da análise e da validação. Esta fase se apóia
sobre todos os dados colhidos durante a experimentação.
Assim, a engenharia didática se caracteriza também pelo registro dos estudos
feitos e pela validação. Essa validação se dá, internamente, pela confrontação entre
a análise e a análise .
A experimentação, juntamente com as análises priori e serão
2
=> " ?
@A
%
Neste capítulo, descrevo os procedimentos realizados para a elaboração do
instrumento de pesquisa, os critérios de seleção adotados, as providências tomadas,
bem como a descrição da seqüência didática, sua análise , a descrição da
aplicação do instrumento e dos resultados obtidos finalizando com a análise
e conclusões.
> (& (
% )( B
Critérios de seleção
A minha intenção foi, desde o início, realizar esta pesquisa em uma das
escolas públicas que trabalho, pois tem sido muito divulgado pela mídia e se
discutido a respeito da qualidade de ensino e como realizar um trabalho que permita
Dessa forma, a escola pública é um ambiente desafiador na busca de um
ensino melhor, por todas as dificuldades encontradas, como a falta de material de
apoio, as diversidades e diferenças culturais e sociais existentes, além de, muitas
vezes, a escola receber um número elevado de alunos dentro de uma mesma sala
de aula.
Acredito que trabalhos de pesquisa como este propiciem a coleta de dados
importantes que subsidiem intervenções positivas no ambiente escolar, assim os
resultados dessa pesquisa podem contribuir para a melhoria do ensino da
matemática em geral.
Com essa intenção, dentre as escolas que trabalho, escolhi aquela que é
freqüentada por uma população com situação sócio#econômica mais carente. Essa
escola faz parte da rede pública municipal de São Paulo, localizada na periferia da
zona norte, no bairro Parque Novo Mundo, uma região afetada por problemas de
violência social.
Essa escola apresentou um dos mais baixos rendimentos na prova Brasil, que
compõe o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb), realizada em
novembro de 2005 com alunos de 4ª e 8ª séries, respectivamente, 5º e 9º anos do
ensino fundamental, ficando entre as cinco últimas escolas de São Paulo.
Na escala de desempenho de matemática estabelecida pelo SAEB, com
relação à 4ª série/5º ano do Ensino Fundamental, a média das escolas avaliadas no
município de São Paulo foi 179,21, a média das escolas no estado de São Paulo foi
187,71, enquanto a média das escolas no Brasil foi 181,10.
Com esse panorama, a escola escolhida teve , abaixo da média
Já com relação à 8ª série/9º ano, na mesma escala de desempenho, a média
das escolas avaliadas no município de São Paulo foi 239,34, a média das escolas no
estado de São Paulo foi 243,47 e a média das escolas no Brasil foi 239,98.
Em comparação, a escola escolhida alcançou 228,70, também abaixo da
média nacional divulgada.
Vale esclarecer que essa escala de desempenho é única e acumulativa, para
todas as séries avaliadas. A lógica é a de que quanto mais o estudante caminha ao
longo da escala, mais habilidades terá acumulado. Portanto, é esperado que alunos
da 4ª série/5º ano alcancem médias numéricas menores que os de 8ª série/9º ano.
Esses resultados foram divulgados pelo Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), autarquia do Ministério da Educação
(MEC), em Junho de 2007 e colaboraram para eu decidir por realizar minha
investigação nessa escola.
Esses motivos acrescidos ao fato de eu trabalhar na escola e conhecer a sua
realidade justificam a escolha feita, uma vez que um dos propósitos do mestrado
profissional está ligado a um relato de experiência com viés de pesquisa relacionada
à prática profissional.
Conforme os autores apresentados no capítulo II, acredito que o tema
generalização de padrões deva ser contemplado desde cedo no ensino fundamental,
e por ser professora de matemática, a 5ª série/6ºano é aquela onde estão os alunos
mais novos.
Além disso, a 5ª série/6º ano é considerada como uma série de transição.
vários professores, específicos, um para cada disciplina. E no geral, há uma
dificuldade de adaptação dos alunos a essa nova fase.
Desse modo, como aluna do mestrado profissional, decidi realizar minha
pesquisa com uma das classes das quais sou responsável pelas aulas de
matemática.
Dentre as duas 5ª séries/6º anos que leciono, verifiquei a melhor
disponibilidade de horário para realizar a pesquisa.
Assim, a turma escolhida tinha aulas de matemática nas primeiras aulas, que
considero o horário em que os alunos estão mais dispostos a participar das
atividades escolares do que à medida que se aproxima o horário de lanche e final
das aulas.
Logo, a classe escolhida foi uma quinta série com 35 alunos, de faixa etária
entre 11 e 15 anos. Desses 35 alunos, dois deles deixaram de freqüentar as aulas,
restando 33 alunos ao final do ano letivo.
Vale comentar também que, entre esses alunos, alguns apresentaram
problemas de assiduidade na escola, não freqüentando as aulas com regularidade,
atrapalhando o seu desempenho e participação durante as atividades escolares.
Providências tomadas
!"
Após a definição da escola e sujeitos da pesquisa, solicitei permissão à
Diretora da Escola que, prontamente, consentiu e passou a apoiar a minha
Conversei também com a Coordenadora Pedagógica que da mesma forma
deu o seu apoio, demonstrando sua boa vontade e interesse na realização de
trabalhos que possam trazer algum benefício à aprendizagem dos alunos da Escola.
#
Conforme já citei, escolhi uma das duas turmas de 5ª série/6º ano que
leciono, explicando às duas turmas que essa escolha se deu aleatoriamente e
devido à disponibilidade de dia e horário para realizar as atividades.
Apesar da turma não escolhida também ter demonstrado interesse em
participar da pesquisa, compreenderam os motivos apresentados, não acarretando
problemas pela escolha da turma.
Assim, durante uma das aulas, após conversar com os alunos sobre a
aplicação das atividades, ressaltando a importância da participação de cada um
deles na pesquisa, cujos resultados poderiam contribuir para a melhoria do ensino
da matemática, enviei uma carta a cada pai ou responsável, pedindo sua anuência
na participação de seu filho nessa pesquisa.
Expliquei na carta que as atividades seriam realizadas durante as aulas de
matemática, não sendo necessário horário extra e que manteria o anonimato dos
alunos ao descrever os resultados da pesquisa trocando seus nomes por nomes
fictícios.
Ressaltei também que a participação dos alunos nessas atividades dá a eles
uma oportunidade de aprendizagem importante para o desenvolvimento do
Vale citar que alguns alunos ficaram preocupados se “valeria nota ou não” e
tive que enfatizar que eles não estariam sendo avaliados, pois eu agiria como uma
pesquisadora, observando como eles responderiam as atividades e não estaria
corrigindo seus possíveis erros.
Depois das explicações sobre a finalidade da pesquisa, os alunos
+,- )( %(%C ()
Para a aplicação da seqüência didática, previ três sessões com a duração de
uma aula de 45 minutos cada uma. Optei por limitar a aplicação em 3 sessões, para
facilitar a presença da maior parte dos alunos na experimentação.
A primeira das três sessões previstas foi elaborada com a intenção de
investigar como os alunos reagem ao se deparar com uma situação a#didática
envolvendo percepção e generalização de padrão.
Já a segunda sessão visava fazer a institucionalização dos conhecimentos
abordados na primeira sessão, fase na qual cabe ao pesquisador/professor uma
maior intervenção.
E por fim, a terceira e última sessão, objetivava dar condições de verificar as
atitudes, desempenho e respostas dos alunos diante de uma situação envolvendo
observação e generalização de padrão, após já terem passado pelas sessões
anteriores.
Decidi áudio#gravar as sessões e filmar somente a última sessão. A áudio#
gravação teve por objetivo registrar e servir de instrumento para facilitar a
observação e análise das conversas e comentários dos alunos durante a realização
das atividades. Enquanto, a filmagem pode revelar atitudes, gestos e as formas dos
alunos se comunicarem, explicitando os seus comportamentos. Essas revelações
não se registram apenas pela gravação das vozes.
Segundo Sadalla e Larocca (2004), a tecnologia de videogravação é bastante
adequada para o registro e investigação de fenômenos nos quais intervém o
movimento (Ferrés, 1996, Sadalla e Larocca, 2004).
Fenômenos complexos formados pela interferência de múltiplas variáveis,
são carregados de vivacidade e dinamismo. Para serem mais bem compreendidos,
necessitam de uma metodologia capaz de conservar essas características.
Desse modo, a videogravação permite registrar, até mesmo, acontecimentos
fugazes e não#repetitíveis que muito provavelmente escapariam a uma observação
direta.
Analisando as vantagens da abordagem videográfica em pesquisas em sala
de aula, Meira (1994, Sadalla e Larocca, 2004, p.423) apontou que essa
técnica permite construir uma “compreensão profunda sobre alguns casos
significativos, ao invés de conclusões supostamente amplas”, compreendidas
apenas superficialmente por outras formas de abordagem.
Por outro lado, um ambiente em que são introduzidos tantos elementos novos
como: gravadores, observador(es) e instrumentos de pesquisa com certeza terão
reflexos no desempenho dos alunos.
Uma vez que como lembra Sadalla e Larocca (2004) em seus estudos, seria
ingenuidade assegurar que a câmera de vídeo, durante as gravações, apresente#se
como um elemento neutro. Segundo elas, aqueles que fazem pesquisas em
psicologia sabem bem que a simples presença do observador na sala de aula, por
exemplo, já produz mudanças no ambiente pesquisado.
Contudo, segundo Meira (1994, Sadalla e Larocca, 2004, p. 424) a
utilização do vídeo tem a vantagem de registrar em detalhe as reações dos sujeitos
investigados, possibilitando reconhecê#las e desconsiderá#las, se necessário.
Assim, a proposta de filmar somente a última sessão teve a intenção de não
inibir demais os alunos e introduzir aos poucos os “novos” elementos na sala de
Para a elaboração e análise do instrumento de pesquisa levei em
consideração o estudo das variáveis didáticas, articulando#as com as possíveis
estratégias de solução, possibilitando assim, controlar o grau de dificuldade de cada
questão.
Escolhi trabalhar com padrões numéricos que não apresentassem um grau
elevado de dificuldade para alunos de 5ª série/6º ano, de modo a não desestimulá#
los. Para tanto, fiz uma análise , considerando a escolha das variáveis
didáticas, relacionando#as com o estudo das estratégias de resolução de cada
atividade.
Para facilitar a observação do modo de pensar dos alunos, as atividades
foram previstas para serem realizadas em duplas, possibilitando a gravação das
conversas e comentários sobre as questões e a melhor percepção do raciocínio
envolvido nas soluções encontradas.
Além disso, trabalhos em duplas permitem o convívio em grupo, a expressão
da oralidade e escrita, a troca de informações, a discussão sobre os procedimentos
e escolhas de estratégias, levantando conjecturas e hipóteses e fazendo validações
até se obter uma conclusão.
Uma vez que, como afirma César (1998), vários estudos têm sido feitos
(Perret#Clermont e Nicolet, 1988; Perret#Clermont e Schubauer#Leoni, 1988;
Sternberg e Wagner,1994; César, 1998) e salientaram os efeitos positivos das
interações entre pares de alunos em suas atuações e desempenho escolar, em
especial na matemática.
Segundo César ( $, em suas pesquisas, ela constatou que a interação
entre duplas de alunos é uma forma eficaz de promoção de atitudes positivas para a
possibilitar melhores relações afetivas na sala de aula e suas conquistas em
Matemática.
A seguir, apresento a forma como foi preparada cada sessão. Assim,
descrevo o objetivo e a análise das atividades, a razão da escolha das
variáveis didáticas e as estratégias previstas para a resolução. Estas aparecem em
ordem crescente de dificuldade e probabilidade de uso pelo aluno.
Depois descrevo como se deu a aplicação dos instrumentos de pesquisa.
D
Para a 1ª sessão escolhi apresentar uma única atividade com quatro itens,
adaptada de uma pesquisa já realizada por membros do GPEA em uma 5ª série/6º
ano do ensino público. (Machado, 2006)
• Objetivo geral: Esta atividade tem por objetivo principal apresentar ao aluno
de uma 5ª série um padrão numérico facilmente perceptível pela observação
da seqüência, buscando não intimidá#lo com um problema de difícil resolução.
• Sobre a escolha do enunciado: Com a intenção de chamar a atenção do
aluno para a questão, o enunciado apresenta uma pessoa que já teria
encontrado a solução de modo a estimular o aluno a também querer
encontrar a resposta.
• A atividade:
Darci ao observar a seguinte seqüência numérica:
4 ;4 14 94 E4 :::
disse ter encontrado o próximo número e que também
foi capaz de encontrar o 37º termo.
Como você pode responder as seguintes questões:
a) Qual é o próximo número?
b) Qual será o 37º termo ou elemento da seqüência?
c) Explique como você encontrou esse número.
• Análise a priori de cada item da atividade:
%solicita ao aluno a indicação do termo seguinte aos já apresentados na
seqüência, de acordo com o padrão implícito.
# Objetivo:
Estimular o interesse do aluno pela atividade, chamando sua atenção para a
questão proposta.
# Variáveis:
Decidi iniciar pela questão de menor dificuldade que é, indicar o termo
seguinte ao expresso na seqüência, pois segundo Vale e Pimentel (2005), isso
estimularia o aluno a prosseguir a atividade.
# Estratégias previstas10:
0 O aluno observa a seqüência e verifica que os números estão crescendo
de dois em dois, bastando assim, somar 2 ao último número apresentado na
seqüência que é o 10, resultando como o próximo número o 12.
0 O aluno observa a seqüência e verifica que são números pares
consecutivos e que o próximo termo da seqüência é o número 12.
10
%solicita a indicação do 37º termo da seqüência e justificativa.
Como estas questões são interdependentes serão analisadas conjuntamente:
# Objetivo:
Motivar o aluno a buscar outra estratégia de resolução com maior eficácia,
dificultando que escreva todos os termos anteriores ao solicitado até encontrar o
termo requerido.
# Variáveis:
A escolha de uma posição ímpar, como o 37º termo, se deu para evitar não
confundir a correspondência entre a posição do termo na seqüência e o número
(par) que representa essa posição.
# Estratégias previstas:
0 O aluno escreve a seqüência até obter o 37º termo que é o 74.
0 O aluno faz a correspondência entre a posição do termo na seqüência e o
número que representa essa posição, multiplicando 37 por 2 obtendo o número 74.
20 O aluno faz uma tabela para relacionar a posição do termo e o número
F 0 (3(% % G <*( 2 G ( & )
Essa estratégia em forma de tabela pode ser que seja utilizada, porém a
generalização da relação entre a posição e o termo é bem pouco provável que o
aluno de 5ª série/6º ano, nesse momento, consiga registrar algebricamente essa
formalização, 2 x P.
%criar outra seqüência diferente da apresentada.
# Objetivo:
Essa questão tem por objetivo verificar se o aluno percebeu a existência de
regularidade e estimulá#lo a criar a sua própria seqüência.
> (
1 &
2 '
3 (
4
5 )
6 &
37 '
