Eliseu Santiago de Assis

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´

atica

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Dissertac

¸˜

ao de Mestrado

Sombra e Convexidade

de Superf´ıcies

Eliseu Santiago de Assis

Salvador-Bahia

(2)

Sombra e Convexidade de Superf´ıcies

Disserta¸c˜ao apresentada ao

cole-giado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao

em Matem´atica da Universidade

Federal da Bahia, como requisito

parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo

de Mestre em Matem´atica em 12

de julho de 2007.

Banca examinadora

Prof. Dr Enaldo Silva Vergasta (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa

(3)

Eliseu Santiago de Assis

“Sombra e convexidade de Superf´ıcies ” /Salvador-Ba, 2007.

Orientador: Dr. Enaldo Silva Vergasta (UFBA).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em

Ma-tem´atica da UFBA, 30 p´aginas.

(4)

Agradecimentos

Gostaria de agradecer, inicialmente, a Deus, por ter me concedido mais essa gra¸ca.

Um especial agradecimento as pessoas mais importantes da minha vida: meu pai, Joselito;

minha mãe, Rosa, meu irmão Elias, minha irmã Verônica, meus sobrinhos e a Flávia.

Aos amigos: James, Robson, Gilson e tantos outros, pois, sem o incentivo de vocˆes

não estaria aqui; as amigas Irmã Maria José, Urânia e as demais que me ajudaram nas

melhores e piores horas.

Aos novos amigos da UFBA: Adriano Cattai, Gilcl´ecio, Rosane, Ab´ılio, Rolando,

Ariane, Jacson, Mariluce, Josaphat, Ella, Silvia, Ricardo, Luciana, Tiago, Ednaldo, Carla

Lopes, Gabriela e Paulo Nascimento. E a todos que, de alguma forma, contribu´ıram na

minha passagem no mestrado nestes 2 anos.

Aos afarinhados da turma de 2005: B´arbara, Yuri Ki, Jarbas, Kleyber, Mariana e

Ricardo. Com certeza, vocˆes foram bem mais que amigos, foram verdadeiros her´ois.

Aos amigos que n˜ao foram citados.

Gostaria tamb´em de agradecer a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de

Matemática da UFBA, em especial, Dona Zezé, Tânia Sp´ınola, Jomário e Alan.

Aos professores do Instituto de Matem´atica da UFBa: Enaldo Silva Vergasta,

Ed-son Alberto Coayla Teran, Jos´e NelEd-son Bastos Barbosa, Joseph Yartey, Marco Antˆonio N.

(5)

Resumo

Mostramos que uma superf´ıcie mergulhada em R3 ´e convexa se, e somente se, a

sombra em cada dire¸c˜ao ´e um subconjunto simplesmente conexo da superf´ıcie. Provamos

tamb´em que a propriedade da sombra ser simplesmente conexa n˜ao pode ser substitu´ıda

apenas pela conexidade, exceto no caso em que a superf´ıcie ´e topologicamente uma uma

esfera. O trabalho ´e baseado no artigo de Ghomi, M. Shadows and convexity of surfaces,

publicado no Ann. of Math., 155 (2002) 281-293.

(6)

Sum´

ario

Resumo v

Lista de Figuras vii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Resultados Intermedi´arios 9

3 Prova dos Resultados Principais 18

Referˆencias 29

(7)

Lista de Figuras

1 . . . 1

2.1 . . . 9

2.2 . . . 13

2.3 . . . 15

2.4 . . . 15

2.5 . . . 17

3.1 . . . 19

3.2 . . . 19

3.3 . . . 24

3.4 . . . 25

3.5 . . . 26

3.6 . . . 27

(8)

Introdu¸

c˜

ao

Sejam M uma superf´ıcie compacta, orientada,

f : M → R3 uma imers˜ao orientada no espa¸co eucli-diano tridimensional, e n : M → S2 _{a aplica¸c˜ao de}

Gauss de f. Dado um vetor u ∈ S2_{, a} _sombra _em _M

com rela¸c˜ao a u´e o conjunto

Su :={p∈M;hn(p), ui>0},

onde h,i denota o produto interno usual em R3.

u

n(p)

p

Figura 1:

Se f é um mergulho convexo, isto é, a imersão f aplica M homeomorficamente no bordo de um corpo convexo, é intuitivo que Su é um conjunto conexo para cada u ∈S2. É

natural perguntar se a rec´ıproca deste resultado tamb´em ocorre. Ou seja, a conexidade da

sombraSupara cadau∈S2 implica quef ´e um mergulho convexo? Segundo Ghomi, ver [G],

Wente foi o primeiro matem´atico a estudar esta quest˜ao, em 1978 motivado por problemas

referentes a estabilidade de superf´ıcies de curvatura m´edia constante. Este problema

tornou-se conhecido como problema da sombra. Provaremos que o problema da sombra ´e v´alido se

a sombra for simplesmente conexa. Mais precisamente, provaremos o resultado a seguir.

Teorema A. Seja f : M → R3 uma imersão de uma superf´ıcie compacta orien-tada em R3. Então, f é um mergulho convexo se, e somente se, para cada u ∈ S2_{, S}

u ´e

simplesmente conexo.

Mostraremos tamb´em que o problema da sombra n˜ao tem, em geral, resposta

positiva. O exemplo constru´ıdo para provar o resultado a seguir mostra que a conexidade

da sombra n˜ao ´e suficiente para garantir a convexidade da superf´ıcie.

(9)

Introdu¸c˜ao 2

Teorema B.Existe um mergulhoC∞

do torof :S1_×_S1 _→_R3_{, tal que, para cada}

u ∈S2_{, S}

u ´e conexo.

Desse modo, o Teorema A n˜ao permanece v´alido se substituirmos “simplesmente

co-nexo” por “coco-nexo”. O resultado, no entanto, vale se acrescentarmos a hip´otese da superf´ıcie

ser homeomorfa a uma esfera.

Teorema C.SeM ´e topologicamente uma esfera e, para cadau∈S2_,_S

u ´e conexo,

ent˜ao f ´e um mergulho convexo.

Esta disserta¸c˜ao ´e baseada no artigo de M. Ghomi Shadows and convexity of

sur-faces, publicado no Ann. of Math., 155 (2002) 281-293. Este trabalho est´a dividido em

trˆes cap´ıtulos. No primeiro, apresentamos alguns resultados importantes para o

desenvol-vimento dos cap´ıtulos seguintes. Posteriormente, desenvolvemos informa¸c˜oes a respeito da

regularidade de horizontes e fronteira das sombras, pontos cr´ıticos de fun¸c˜oes altura e terno

de pontos na fronteira de dom´ınios simplesmente conexos. No ´ultimo cap´ıtulo, provamos os

(10)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Este cap´ıtulo tem por objetivo apresentar algumas defini¸c˜oes e resultados que ser˜ao

de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.

Sejam M e N variedades diferenci´aveis e f : Mm _→ _Nn _{uma aplica¸c˜ao}

diferenci´avel. Um pontoc∈Nn_{´e um}_{valor regular}_de_f_{se, para todo}_x_∈_f−₁

(c), a diferencial

f′

(x) :TxM →TF(x)N ´e uma transforma¸c˜ao linear sobrejetiva.

A importˆancia do conceito de valor regular deve-se, em grande parte, ao resultado

seguinte.

1.1 Lema. Se c∈N é um valor regular de f :Mm _→_Nn_{, então}_f−1₍_c₎_{é uma subvariedade} de M com dimensão m−n.

Um dos teoremas mais importantes do c´alculo diferencial ´e o chamado Teorema da

Fun¸c˜ao Inversa, enunciado a seguir.

1.2 Teorema (Teorema da Fun¸c˜ao Inversa). Sejam U ⊂ Mn _aberto, _F _: _U _⊂ _Mn _→ _Nn

uma aplica¸cão diferenciável e suponha que em p ∈ U a diferencial dFp : Mn → Nn é um

isomorfismo. Ent˜ao existem uma vizinhan¸ca V de pem U e uma vizinhan¸caW de F(p)em

Nn_{, tal que} _F _:_V _→_W _{´e um difeomorfismo.}

Um resultado importante para a elucida¸c˜ao de outros resultados que utilizaremos

aqui ´e o teorema de Sard, apresentado a seguir.

(11)

Preliminares 4

1.3 Teorema (Sard). Seja f : M → N uma aplica¸c˜ao de classe C1 _{entre variedades de} mesma dimens˜ao m e S o conjunto dos pontos x ∈ M tais que a diferencial

f′

:TxM →Tf(x)N não é um isomorfismo. Então, f(S) tem medida nula em N.

Muitos resultados apresentados a seguir para superf´ıcies em R3, ou seja, para

variedades bidimensionais imersas em R3, são válidos para dimensões quaisquer.

1.4 Lema. Seja A ⊂ M um subconjunto aberto de uma superf´ıcie regular M. Ent˜ao, A ´e uma superf´ıcie regular.

Prova. Tomemos p ∈A. Temos então que p∈ M. Como M é superf´ıcie regular, existem uma vizinhan¸ca V de p em R3 e uma aplica¸cão x :U ⊂R2 → W = V ∩M de um aberto U de R2 sobre V ∩M ⊂ _R3_{, tal que} _x _{é diferenciável,} _x _{é homeomorfismo e, para}

cada q∈U,dxq :R2 →R3 ´e injetiva.

Como A é aberto em M, então A é a interseçcão da superf´ıcie M com um aberto

L ⊂R3. Seja W1 =W ∩A. Notemos que W1 ´e aberto em A e V ∩L´e aberto em R3. Seja

Ui = x−1(W1). Dessa forma, x1 = x |U1: U1 → W1 é diferenciável, x1 é um homeomorfismo e dx1 : R2 → R3 é injetiva, para cada q ∈ U1. Logo, x1 é uma parametriza¸cão de A e,

portanto, A´e uma superf´ıcie regular.

Consideremos f :M →R3 uma imers˜ao no espa¸co euclidiano tridimensional. Para cada u∈S2_{, seja} _h

u :M →Ra fun¸c˜ao altura na dire¸c˜ao u, definida por hu(p) :=hf(p), ui.

Recordemos que um ponto p∈M ´eponto cr´ıtico de hu se a aplica¸c˜ao diferencial de h em p

(dhu)p :TpM →R

´e nula.

1.5 Lema. Sejam f :M →_R3 _{uma imers˜ao no espa¸co euclidiano tridimensional e}

(12)

Preliminares 5

a fun¸c˜ao altura relativa a um vetor u∈S2_{. Ent˜ao, a diferencial de}_h

u em p∈M ´e dada por

(dhu)p(w) =hw, ui, w ∈TpM. Em particular, p´e um ponto cr´ıtico de hu se, e somente se, u ´e ortogonal a TpM.

Prova. Seja w ∈ TpM e identifiquemos w ≃ dfp(w). Para calcular (dhu)p(w),

escolhamos uma curva diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ) → M, com α(0) = p e α′

(0) = w. Como

h(α(t)) =hf(α(t)), ui, obtemos

(dhu)p(w) = d

dth(α(t))|t=0

= d

dthf(α(t)), ui |t=0

= hdfα(t)·α′(t), ui |t=0

= hw, ui.

Dizemos que Γ ⊂ M é uma curva regular se, para cada p ∈ Γ, existem uma vizinhan¸ca aberta U de p em M e um homeomorfismo ϕ : U → R2 tal que ϕ(U ∩Γ) = R. No presente trabalho, a menos que se estabele¸ca o contrário, uma curva regular não precisa

ser diferenci´avel.

A compreensão das próximas defini¸cões, assim como do lema seguinte, será de

fun-damental importˆancia para o entendimento do Lema 2.4, desenvolvido no Cap´ıtulo 2.

Sejam U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma fun¸cão duas vezes diferenciável no ponto x∈ U. A matriz Hessiana de f no pontox é definida por

∂2_f

∂xi∂xj

(x)

. Um ponto

cr´ıtico a de f é dito não-degenerado, se a matriz Hessiana nesse ponto é invert´ıvel, isto é, det

∂2_f

∂xi∂xj

(a)

6

= 0. Se todos os seus pontos cr´ıticos s˜ao n˜ao-degenerados, diz-se que

f é uma fun¸cão de Morse. As defini¸cões seguintes também são muito relevantes para o desenvolvimento do nosso trabalho.

Visto que M é orientável, a aplica¸cão n : M → S2 _{que a cada ponto} _p _∈ _M

associa o vetor n(p) ∈ S2_{, ortogonal a} _T

pM, numa orienta¸c˜ao fixada de M, ´e chamada de

aplica¸cão de Gauss deM. Acurvatura Gaussianade M é a aplica¸cão K :M →Rdada por

(13)

Preliminares 6

1.6 Lema. O conjunto dos pontos cr´ıticos da aplica¸c˜ao de Gauss n :M →S2 _{´e fechado.}

Prova. O conjunto dos pontos cr´ıticos de n ´e dado por r−1_{(0), onde} _r_:_M _→_R_´e

a aplica¸cão definida por r(p) = det(dnp). Como r é cont´ınua, temos que r−1(0) é fechado.

A forma quadr´atica Πp, definida em TpM por Πp(v) = −hdnp(v), vi, ´e chamada a

segunda forma fundamental deM em p.

Para dar uma interpreta¸c˜ao da segunda forma fundamental Πp relacionada com a

fun¸cão altura, consideremos uma curva regular C ⊂ M parametrizada por α(s), onde s é o comprimento de arco de C, com α(0) = p. Se indicarmos por n(s) a restri¸cão do campo normal n à curva α(s), teremos hn(s), α′

(s)i= 0, donde

hn(s), α′′

(s)i=−hn′

(s), α′

(s)i.

Portanto,

Πp(α

′

(0)) = −hdnp(α

′

(0)), α′

(0)i

= −hn′

(0), α′

(0)i

= hn(0), α′′

(0)i. (1.1)

1.7 Lema. A Hessiana emp∈M da fun¸cão altura h:M →_Rna dire¸cão n(p)é a segunda forma fundamental de M em p.

Prova. Sejamw∈TpM eα: (−ǫ, ǫ)→M uma curva parametrizada, comα(0) =p

e α′

(0) = w. Seja h:M →_R a fun¸cão altura deM na dire¸cão n(p), isto é, h(q) =hq, n(p)i,

q ∈S. Notemos que,

d

dt(h◦α(t)) = d

dt(h(α(t))

= d

dt(hα(t), n(p)i)

= hα′

(t), n(p)i.

Logo,

d2

dt(h◦α(t))|t=0 = d dt(hα

′

(t), n(t)i)|t=0

= hα′′

(t), n(t)i |t=0 .

(14)

Preliminares 7

O Lema a seguir ser´a aplicado nas demonstra¸c˜oes dos Teoremas A e C.

1.8 Lema. Seja f : X → Y uma aplica¸cão cont´ınua e localmente constante, onde X é conexo. Então, f é constante.

Prova. Fixemos p0 ∈ X, e mostraremos que f(p) = f(p0), para cada p ∈ X.

Consideremos, o conjunto A={p∈X;f(p) = f(p0)}. Notemos que:

i) A6=∅, pois p0 ∈A;

ii)Aé aberto emX, pois, comof é localmente constante, dado p∈A, isto é, f(p) =f(p0),

existe ǫ >0 tal que

f(B(p, ǫ)) =f(p) ={f(p0)},

ou seja, existe uma bola B onde B(p, ǫ)∩X ⊂A; iii) A ´e fechado em X, pois, A = f−1₍_f₍_p

0)) ´e imagem inversa de um fechado por uma

aplica¸c˜ao cont´ınua.

Como X ´e conexo, temos queX =A. Logo, f ´e constante.

O próximo lema traz uma particularidade topológica da esfera S2 _{que é muito ´}_util

na prova do Teorema C.

1.9 Lema. Se U ⊂ S2 _{é um conjunto aberto conexo e} _S2₋_U _{é um conjunto conexo que} possui ponto interior, então U é simplesmente conexo.

Prova. Seja p um ponto interior de S2 ₋ _U_{, isto ´e, existe} _{δ >} _{0 tal que}

B(p, δ) ⊂ S2 ₋ _U_. _Tomemos _p _{como p´olo norte da esfera} _S2_. _{Da´ı, a proje¸c˜ao}

estereogr´afica aplica U em um subconjunto aberto conexo do _R2 _{com complementar}

co-nexo, uma vez que proje¸c˜ao preserva conexidade. Assim, pelo Teorema 11.4.1 em [GK],

(15)

Preliminares 8

Enunciaremos o Teorema da Vizinhan¸ca Tubular para uma variedade compacta M, que ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema B.

Seja M uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n imersa isometricamente no

Rn_{. O espa¸co normal a} _M _{em um ponto} _p _{´e o espa¸co vetorial} _T

pM⊥ formado por

to-dos os vetores normais a M em p. Dado ǫ > 0, a bola normal B⊥

(p, ǫ) ´e definida como

B⊥

(p, ǫ) = {w∈TpM⊥,|w|< ǫ}.

1.10 Teorema (Vizinhan¸ca Tubular). Seja M uma variedade diferenci´avel compacta imersa isometricamente no Rn_{. Ent˜ao existe} _{ǫ >} ₀ _{tal que, para} _q ₆₌ _p _∈ _M_{, tem-se que} B⊥

(q, ǫ)∩B⊥

(p, ǫ)6= ∅. Al´em disso, Vǫ(U) = ∪q∈UB⊥(q, ǫ) ´e uma vizinhan¸ca aberta de M

em _Rn _{e a proje¸c˜ao} _π_:_V

(16)

Cap´ıtulo 2

Resultados Intermedi´

arios

Este cap´ıtulo est´a organizado em trˆes partes. Na primeira, usaremos o Teorema de

Sard para mostrar que, para quase todo u ∈ S2_, _∂S

u ´e uma curva regular, onde ∂ denota

a fronteira. Ou seja, para cada u ∈ S2_{, exceto num conjunto de medida nula,} _∂S

u ´e uma

curva regular. Na seq¨uˆencia, usaremos a teoria de Morse para provar que, para quase todo

u ∈S2_{, a fun¸c˜ao altura ´e de Morse. Por fim, trabalharemos na ´}_{ultima e principal parte deste}

cap´ıtulo com os pontos cr´ıticos de fun¸c˜oes altura para a constru¸c˜ao da prova do Teorema A.

Inicialmente, precisamos estabelecer alguns resultados a respeito do comportamento

geral da sombra numa dire¸c˜ao u. Para cada u ∈ S2_{, a} _{fun¸c˜ao sombra} _σ

u : M → R ´e dada

por σu(p) := hn(p), ui e Hu :=σu−1(0) ´e chamado de horizonte, ver [C], na dire¸c˜ao u. Nem

sempre ocorre igualdade entre os conjuntos ∂Su,Hu e∂S−u.

H1 H2

u

Hu = H1SH2

∂Su 6= Hu 6=∂S−u

Figura 2.1:

No entanto, pode-se garantir

que ∂Su = Hu = ∂S−u

global-mente, se Hu ´e uma curva

re-gular conexa ou localmente, na

vizinhan¸ca de um ponto com

curvatura Gaussiana n˜ao-nula,

conforme as Proposi¸c˜oes 2.1 e

2.3.

(17)

Resultados Intermedi´arios 10

2.1 Proposi¸c˜ao. Para quase todo u∈S2_, _H

u ´e uma curva regular. Neste caso, ∂Su e ∂S−u

também são curvas regulares. Além disso, se Hu é conexo, então ∂Su =Hu =∂S−u.

Prova. SejaUT M ={(p, u);p∈M, u∈TpM,||u||= 1}o fibrado tangente unit´ario

de M. Consideremos a aplica¸c˜ao

τ :UT M →S2

dada por

(p, u)7→u.

Pelo Teorema de Sard, a imagem do conjunto dos pontos singulares de τ tem medida nula na esfera S2_{. Logo, para quase todo}_u_∈_S2_{, isto ´e, a menos de um conjunto de medida nula,}

u´e valor regular deτ. Da´ı, pelo Lema 1.1, temos queτ−1₍_u_{) ´e uma curva regular em}_{UT M}_.

Agora, seja π a aplica¸c˜ao

π:UT M →M

definida por

π(p, u) =p

e seja u um valor regular deτ. Temos, claramente, queπ ´e injetiva em τ−1₍_u_{). Al´em disso,}

como τ−₁

(u) = {(p, u), p ∈ M} com ||u|| = 1, temos que τ−₁

(u) ´e difeomorfo a M × {u}. Assim, segue-se que τ−1₍_u_{) ´e compacto.}

Seja (p, u) ∈ τ−1₍_u_{). Queremos mostrar que} _dπ

(p,u) ´e injetiva. Com efeito, dado

(v1, v2) ∈ TpM × TuS2, escolhamos uma curva diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ) → M com α(0) = (p, u) e α′

(0) = (v1, v2). Tomando α(t) = (β(t), u), com β : (−ǫ, ǫ) → M

diferenci´avel, obtemos

dπ(p,u)(v1, v2) =

d

dtπ(α(t))|t=0= d

dtπ(β(t), u)|t=0= d

dtβ(t)|t=0=β

′

(0) =v1.

Conseq¨uentemente, a diferencial da proje¸c˜aoπ : τ−₁

(u)→M ´e injetiva. Temos, ent˜ao, que

π : τ−1₍_u₎ _→ _M _{é uma imersão injetiva definida num compacto. Logo, é um mergulho.}

Al´em disso, notemos que

π(τ−1₍_u_{)) =}_{_p_∈_M_;_u_∈_T

(18)

Portanto, Hu ´e uma curva regular, pois ´e imagem de uma curva regular pelo

mergulho π |τ−1₍_u₎. Como ∂S_u ´e aberto em H_u, temos, pelo Lema 1.4, que ∂S_u e ∂S−u

tamb´em s˜ao curvas regulares.

Finalmente, como ∂Su ´e fechado emM e∂Su =∂Su∩Hu, temos que∂Su ´e fechado

em Hu. Assim, se Hu ´e conexo, segue-se que ∂Su =Hu =∂S−u.

O próximo resultado será aplicado na prova do Lema 3.4, que por sua vez será

utilizado para finalizar a demonstra¸c˜ao do Teorema A.

2.2 Lema. Sejaσ0 :X →Ruma fun¸c˜ao cont´ınua positiva, definida num compactoX ⊂Rn. Ent˜ao, existe ǫ >0 tal que σ(p)>0, para cada p∈X, satisfazendo |σ−σ0|< ǫ.

Prova. Como X ´e compacto, existe ǫ = min{σ0(p);p ∈ X}. Ent˜ao, para

|σ−σ0|< ǫ, temos que |σ(p)−σ0(p)|< ǫ, para cada p∈X. Da´ı,

0≤σ0(p)−ǫ < σ(p)< σ0(p) +ǫ.

Portanto, σ(p)>0, para cada p∈X.

Em seguida, veremos um resultado sobre regularidade local para horizontes e

fron-teiras das sombras.

2.3 Proposi¸cão. Se K(p)= 06 para algum p∈M, então existe uma vizinhan¸ca U de p, tal que, para cada u∈TpM, Hu∩U é uma curva regularC∞ e ∂Su∩U =∂S−u∩U =Hu∩U.

Prova. Como det(dn)p =K(p)6= 0, temos, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Inversa, que n ´e um difeomorfismo entre vizinhan¸cas U de pem M e V de n(p) em S2_{. Considere agora}

S2

u :={x∈S2;hx, ui>0}. Como∂Su2 =∂S−2u ´e o c´ırculo m´aximoC :={x∈S2;hx, ui= 0},

temos que ∂S2

u =∂S−2u ´e uma curva regular e

Hu ={q∈M;hn(q), ui= 0}=n

−1₍_C₎_.

Ora, como difeomorfismo leva fronteira em fronteira, temos quen(∂Su) =∂Su2. Da´ı, segue-se

(19)

que

∂(n−₁

(S2

u)) = n

−₁

(∂S2

u)

= n−1₍_C₎

= Hu.

Mais precisamente,

Hu∩U = ∂(n−1(Su2))∩U

= n−1₍₍_∂S2

u)∩V)

= n−1₍_C_∩_V₎

= n−1₍_C₎_|

V .

Como um difeomorfismo leva curva regular em curva regular, temos que Hu∩U ´e uma curva

regular. Obtemos, ainda, que

Hu∩U = ∂(n−1(Su2))∩U

= ∂Su∩U

= ∂S−u ∩U.

O próximo conjunto de resultados preliminares, envolve algumas aplica¸cões básicas

da teoria de Morse [M].

2.4 Lema. Seja hu :M →R a fun¸cão altura na dire¸cão u∈S2. Então

(i) hu ´e uma fun¸c˜ao de Morse se, e somente se, K 6= 0, para todos os pontos cr´ıticos de hu;

(ii) hu ´e uma fun¸c˜ao de Morse para quase todo u∈S2;

(iii) O conjunto Ue ={u∈S2_;_h

ué uma fun¸cão de Morse} é aberto.

Prova. (i) Se p ´e um ponto cr´ıtico de hu, ent˜ao, pelo Lema 1.7, temos que a

Hessiana de hu é dada por Hess(hu(·,·)) = ±h·, dnp(·)i. Assim, hu é uma fun¸cão de Morse

se, e somente se, para cada ponto cr´ıtico p, temos que K(p) = det(dn)p 6= 0.

(ii) Por (i), hu ´e uma fun¸c˜ao de Morse se, e somente se, det(dn)p 6= 0, para todo

ponto cr´ıtico p. Como p´e um ponto cr´ıtico de hu se, e somente se,u=±n(p), notemos que

det(dn)p 6= 0, para cada p∈n−1(u) ⇔ (dn)p ´e sobrejetiva para cada p∈n−1(u)

(20)

Logo, u e −u s˜ao valores regulares de n. Seja Ue ⊂ S2 _{o conjunto de tais valores. Ent˜ao,}

pelo Teorema de Sard, S2₋_U_e _{tem medida nula. Assim, para quase todo}_u_∈_S2_{, u} _{´e valor}

regular de n. Portanto, hu ´e uma fun¸c˜ao de Morse para quase todou∈S2.

(iii) Como M ´e compacta e, pelo Lema 1.6, o conjunto dos pontos cr´ıticos de n

é fechado, temos então que o conjunto de seus valores cr´ıticos é fechado. Logo, S2 ₋_U_e _é

fechado e, portanto, Ue ´e aberto.

O próximo lema é de fundamental importância para a prova dos Teoremas A e C.

2.5 Lema. Se f não é um mergulho convexo, então existe uma fun¸cão altura de Morse com pelo menos três pontos cr´ıticos.

p1

p2

p3

u

Figura 2.2:

Prova. Seja♯C(hu) o n´umero de pontos cr´ıticos dehu.

De acordo com o Lema 1.5, p ´e um ponto cr´ıtico dehu

se, e somente se, n(p) =±u. Ent˜ao,

Z

S2

♯C(hu)du =

Z

S2

♯n−1₍_±_u₎_du

= 2

Z

M

|det(dn)p|dV

= 2

Z

M

|K|dV, (2.1)

onde dV denota o elemento de volume em M e a segunda igualdade é obtida pela aplica¸cão da fórmula de área ([F], Teorema 3.2.3). Suponhamos quef não seja um mergulho convexo. Então, pelo Teorema de Chern e Lashof [CL], temos

Z

M

|K|dV >4π. (2.2) Por (2.1) e (2.2), temos

1 4π

Z

S2

♯C(hu)du >2.

Consideremos, agora, a aplica¸c˜ao

g :S2 _→ _R

(21)

Temos, ent˜ao, que 1 4π

Z

S2

g(u)du >2. Seja Ue ={u∈ S2_;_h

u ´e uma fun¸c˜ao de Morse}. Pelo

Teorema de Sard, S2₋_U_e _{tem medida nula. Sendo assim,}

1 4π

Z

e

U

g(u)du= 1 4π

Z

S2

g(u)du >2.

Suponhamos que g(u)≤2, para cadau∈Ue. Ent˜ao 1

4π

Z

e

U

g(u)du ≤ 1

4π Z e U 2du = 2 4π Z e U du = 2 4π Z S2 du

= 2.

Assim, temos uma contradi¸cão, o que mostra que g(u)>2, para cada u∈Ue. Ou seja, para cada u∈Ue, a fun¸cão altura hu tem pelo menos três pontos cr´ıticos.

Agora, na última parte deste cap´ıtulo, desenvolveremos alguns métodos topológicos

cuja aplica¸cão se tornará mais clara no próximo cap´ıtulo, uma vez que utilizaremos estes

resultados na demonstra¸c˜ao do Teorema A e do Teorema C.

Por umdom´ınioemM entendemos um subconjunto aberto conexo Ω⊂M. Dizemos que Ω ´eadjacentea um terno de pontos distintos{p1, p2, p3} ⊂M sepi ∈∂Ω. O dom´ınio Ω ´e

regular pr´oximo api se existem vizinhan¸cas abertasUi depi e homeomorfismosϕi :Ui →R2

que aplicamUi∩Ω no semi-plano superior. Uma curva fechada simplesT ⊂Ω ´e umtriˆangulo

de Ω com v´ertices em {p1, p2, p3}, se pi ∈∂Ω e T − {p1, p2, p3} ⊂Ω. Uma vizinhan¸ca W de

{p1, p2, p3} significa a uni˜ao de vizinhan¸cas Wi depi, para i= 1,2,3.

O lema seguinte, embora elementar, ´e mais importante do que inicialmente aparenta

ser, e subsidiará a prova da proposi¸cão posterior que, certamente, é o principal resultado desta

parte final do cap´ıtulo.

2.6 Lema. Todo dom´ınioΩadjacente a {p1, p2, p3}admite um triângulo. Além disso, se Ωé simplesmente conexo e regular próximo a pi, dois triângulos quaisquer deΩ com vértices em

(22)

Prova. Como Ω é aberto e conexo, temos, então, que Ω é conexo por caminhos.

Logo, dois pontos quaisquer de Ω podem ser ligados por um caminho em Ω. Assim, existe

um arco regular A12 ⊂ Ω cujos pontos finais s˜ao p1 e p2. Sendo A12 regular e como Ω ´e

adjacente a {p1, p2, p3}, existe uma componente (Ω−A12)+ de Ω−A12 que cont´em p3 em

seu fecho.

Seja A23 ⊂ (Ω−A12)+ um arco regular com pontos finais p2 e p3. Ent˜ao,

analoga-mente ao par´agrafo anterior, existe uma componente ((Ω−A12)+−A23)+de (Ω−A12)+−A23

que cont´em p1 em seu fecho. Seja A31 ⊂((Ω−A12)+−A23)+ um arco regular com pontos

finais p3 e p1. A uni˜ao desses arcos e seus pontos finais resultam no triˆangulo desejado.

Suponha, agora, que Ω seja simplesmente

conexo e regular pr´oximo a pi. Sejam T e T′

triˆangulos de Ω com v´ertices em {p1, p2, p3} e

sejam A12 e A′12 arcos de T e T

′

,

respectiva-mente, que ligam p1 ep2.

p1

p2

Ω

A12

A′

12

Figura 2.3:

Sabemos que, no plano, dois arcos com mesmos extremos s˜ao sempre homot´opicos.

Como Ω ´e regular pr´oximo a pi e homeomorfismo leva homotopia em homotopia, temos por

uma pequena pertuba¸c˜ao pr´oxima a p1 que A12 e A′12 coincidem numa vizinhan¸ca de p1

com os pontos finais de A12 mantidos fixos. De forma similar, podemos assumir que eles

coincidir˜ao numa vizinhan¸ca de p2.

p1

p2

Ω

A12

A′

12

ϕi

(23)

No complementar dessas vizinhan¸cas, temos sub-arcos de A12 e A′12 que coincidem

nas suas extremidades e que est˜ao contidos em Ω. Como Ω ´e simplesmente conexo, existe

uma homotopia entre esses sub-arcos, mantendo desta forma seus pontos finais fixos. Assim,

A12 e A′12 são homotópicos através de uma fam´ılia de arcos de Ω com pontos finais p1 e p2.

De modo semelhante, os outros arcos de T s˜ao homot´opicos a seus correspondentes em T′

.

Logo, dois triângulos quaisquer de Ω com vértices em {p1, p2, p3} são homotópicos através

de uma fam´ılia de triˆangulos de Ω.

2.7 Proposi¸cão. Para uma orienta¸cão fixada de M, todo dom´ınio simplesmente conexo Ω, adjacente e regular próximo ao terno de pontos {p1, p2, p3} ⊂ M, determina uma única permuta¸cão αΩ de {p1, p2, p3} tal que

(i) se Ω e Ω′

tem um triˆangulo em comum, ent˜ao αΩ =αΩ′.

(ii) se ∂Ω = ∂Ω′

´e uma curva regular, e Ω e Ω′

s˜ao distintos, ent˜ao αΩ 6=αΩ′.

Prova. (i) Como Ω ´e adjacente a{p1, p2, p3}, temos, pelo Lema 2.6, que existe um

triângulo T de Ω com vértices nesses pontos. Esse triânguloT limita um subdom´ınio conexo

U de Ω. Logo, U é também orientável, pois todo subconjunto aberto de uma superf´ıcie regular orientável é também orientável. A orienta¸cão de U induz uma orienta¸cão ou sentido de dire¸cão em T.

A orienta¸c˜ao induzida por M em U determina um sentido de percurso em T, que, por sua vez, determina uma permuta¸c˜ao de {p1, p2, p3} da seguinte forma: se, ao percorrer

T, passamos primeiro por p1, depois por p2 e, em seguida, por p3, ent˜ao a permuta¸c˜ao αΩ

é o ciclo (p1, p2, p3); caso contrário, αΩ é o ciclo (p1, p3, p2). É claro que estas permuta¸cões

dependem continuamente deT. Além disso, usando o Lema 2.6, todos os triângulos de Ω com vértices em {p1, p2, p3} são homotópicos. Como homotopia preserva orienta¸cão, observa-se

que αΩ não depende da escolha deT e, portanto, está bem definido. Da´ı, se Ω e Ω′ têm um

(24)

(ii) Visto que ´e Ω simplesmente conexo, temos que ∂Ω ´e conexo. Supondo que ∂Ω = ∂Ω′

´e uma curva regular com

Ω e Ω′

distintos, teremos, ent˜ao, que Ω e Ω′

induzem

ori-enta¸c˜oes opostas em ∂Ω que, por sua vez, originam per-muta¸c˜oes distintas de {p1, p2, p3} (ver Figura 2.5). Como

∂Ω ´e uma curva regular, por uma pequena pertuba¸c˜ao em

∂Ω obtemos um triˆangulo de Ω com v´ertices em{p1, p2, p3}.

Assim, repetindo para ∂Ω = ∂Ω′

o argumento que

apresentamos no par´agrafo anterior para um triˆangulo com

v´ertices em{p1, p2, p3}, obtemos duas permuta¸c˜oes distintas

de {p1, p2, p3}.

Figura 2.5:

(25)

Cap´ıtulo 3

Prova dos Resultados Principais

Teorema A. Seja f : M → R3 uma imersão de uma superf´ıcie compacta orien-tada em _R3_{. Então,} _f _{é um mergulho convexo se, e somente se, para cada} _u _∈ _S2_{, S}

u ´e

simplesmente conexo.

Prova. do Teorema A. Suponhamos, primeiramente, quef´e um mergulho convexo. Seja V ⊂ R3 um corpo convexo , tal que f(M) = ∂V. Dado u ∈ S2_{, sejam Π o plano}

perpendicular a u passando pela origem de R3 e π :R3 →Π a proje¸cão ortogonal sobre Π. Como π é uma transforma¸cão linear, temos que π(V) é convexo. Seja D:=π(f(M)).

Afirma¸c˜ao 1: D=π(V) e, portanto, D´e convexo.

Como f(M) ⊂V percebe-se, claramente, que D ⊂π(V). Basta ent˜ao mostrar que

π(V)⊂D.

Se p ∈ ∂V, ent˜ao π(p) ∈ D. Se, por outro lado, p ∈ intV, seja α uma semi-reta com origem p na dire¸c˜ao e sentido do vetor u. Desta forma, existe q ∈ α∩(R3 −V), da´ı

α ∩∂V 6= ∅. Tomemos p1 ∈ α∩∂V. Como π(p) = π(p1), observamos que π(p) ∈ D(ver

Figura 3.1 ). Isto conclui a prova da Afirma¸c˜ao 1.

(26)

Prova dos Resultados Principais 19

Figura 3.1:

Afirma¸c˜ao 2: intD 6=∅.

De fato, dado p ∈ intV, existe r > 0 tal que B(p, r) ⊂ intV. Temos ent˜ao que

π(B(p, r)) = B1 ´e uma bola em R2. Portanto, π(p) ´e um ponto interior de π(V) = D(ver

Figura 3.2 ), o que prova a Afirma¸c˜ao 2.

Figura 3.2:

Afirma¸c˜ao 3: O intD ´e homeomorfo a um disco aberto.

Pelas afirma¸cões 1 e 2, obtemos queDé um subconjunto convexo de Π com interior não vazio. Seja p2 ∈intD. Como Dé convexo, para cadav ∈S1 existe um número positivo

tv tal que a interseçcão da semi-reta com origem p2 na dire¸cão v e o intD é o segmento

[p2, tvv). Logo intD ={tv;v ∈S1 e t∈[0, tv)} e temos, ent˜ao, o homeomorfismo ϕ:A → D′

tv 7→ t

tv v

entre intD e o disco unit´arioD′

(27)

Afirma¸cão 4: f(Su) é um gráfico sobre intD.

De fato, se f(Su) n˜ao fosse um gr´afico sobre intD, existiria uma semi-reta com

origem em intD que interceptaria V em dois pontos distintos q1 eq2, comq1−q2 paralelo a

u. Assumiremos, sem perda de generalidade, que a distˆancia deq1 aintD ´e menor do que a

distância de q2 aintD. ComoV é convexo, V ficaria de um mesmo lado em rela¸cão a Tq2V. Mais precisamente, V estaria do lado oposto à normaln(q2), contrariando o fato de q1 ∈V.

Logo, f(Su) é um gráfico sobre intD e a afirma¸cão fica provada.

Portanto, π◦f :Su →intD ´e um homeomorfismo. Conclu´ımos dessa forma que Su

´e simplesmente conexo.

Provaremos agora a outra dire¸c˜ao. Assumamos que para cada u ∈ S2_{, S}

u seja

simplesmente conexo. Suponhamos, por contradi¸cão que f não é um mergulho convexo. Temos, então, o resultado a seguir.

3.1 Lema. Se f não é um mergulho convexo, então existe um par de vetores ortogonais

u0, v0 ∈S2, tais que

(i) hu0 ´e uma fun¸c˜ao de Morse com pelo menos 3 pontos cr´ıticos.

(ii) ∂Sv0 =Hv0 =∂S−v0 ´e uma curva regular.

Prova. do Lema 3.1. (i) Como f não é um mergulho convexo, de acordo com o Lema 2.5, existe um vetor unitário u∈S2_{, tal que a correspondente fun¸cão altura}_h

u ´e uma

fun¸cão de Morse com pelo menos três pontos cr´ıticos. Além disso, pelo Lema 2.4, este u

pode ser tomado no aberto Ue = {u ∈ S2_; _h

u é fun¸cão de Morse} ⊂ S2. Assim, tomando u0 ∈Ue, teremos que hu0 é uma fun¸cão de Morse com pelo menos três pontos cr´ıticos.

(ii) Seja u⊥

:= {v ∈ S2_;_h_{u, v}_i _{= 0}_}_{. Ent˜ao} _U_e⊥

:= ∪_u∈Ueu

⊥

´e aberto. Logo,

se-gundo a Proposi¸c˜ao 2.1, existe v0 ∈ u⊥0 ⊂ Ue

⊥

, tal que Hv0 ´e uma curva regular. Como

σ−₁

((−∞,0)) = S−v0 e σ

−₁

((0,∞)) = Sv0, obtemos que S−v0 e Sv0 s˜ao dom´ınios em

M, uma vez que s˜ao imagens inversas de abertos por uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Como

(28)

contrariando o fato que essas sombras são simplesmente conexas. Conclui-se, então, que Hv0 é conexo. Da´ı, ainda segundo a Proposi¸cão 2.1, ∂Sv0 = Hv0 = S−v0 é uma curva regular. Isto conclui a prova do Lema 3.1.

Seja bv0 ∈S2 um vetor ortogonal a u0 e v0, e seja

v(θ) = cos(θ)v0+ sin(θ)vb0. (3.1)

Para cada θ ∈ _R, consideremos a fun¸cão altura σvθ : M → R na dire¸cão vθ no espa¸co das fun¸cões cont´ınuas em M.

3.2 Lema. A aplica¸cão θ7→σv(θ) é cont´ınua na variável θ.

Prova. do Lema 3.2. Queremos mostrar que, para todo ǫ > 0, existe δ > 0, tal que, se |θ − θ0| < δ, então |σv(θ) − σv(θ0)| < ǫ. Estamos considerando a norma da convergência uniforme no espa¸co das fun¸cões cont´ınuas em M. Assim, mostraremos que

|σv(θ)(p)−σv(θ0)(p)|< ǫ, para cada p∈M. Notemos que

≤ |v(θ)−v(θ0)|.

Como a aplica¸c˜ao θ 7→ v(θ) = cos(θ)v0 + sin(θ)vb0 ´e cont´ınua, existe δ > 0 tal que

|v(θ)−v(θ0)|< ǫ se|θ−θ0|< δ, e, portanto, o Lema 3.2 fica provado.

Consideremos pi,i= 1,2,3 um terno de pontos cr´ıticos distintos fixados dehu0.

3.3 Lema. Para todo θ∈_R, Sv(θ) ´e um dom´ınio adjacente e regular pr´oximo a pi.

Prova. do Lema 3.3. Como pi ´e um ponto cr´ıtico de hu0, ent˜ao n(pi) = ±u0. Assim,

σv(θ)(pi) = hn(pi), v(θ)i

= hcos(θ)v0+ sin(θ)bv0,±u0i

= 0.

Logo, pi ∈Hv(θ).

(29)

v(θ)∈TpiM, temos

∂Sv(θ)∩Ui = ∂S−v(θ)∩Ui

= Hv(θ)∩Ui.

Por conseguinte, pi ∈∂Sv(θ), isto ´e, Sv(θ) ´e adjacente api,i= 1,2,3. Basta mostrar

agora que ϕi :Ui →R2 ´e um homeomorfismo que aplicaUi∩Sv(θ) no semi-plano superior.

Ora, como Γ′

= ∂Sv(θ) ∩ Ui ´e uma curva regular, existem abertos Ui de pi e

homeomorfismos ϕi : Ui → R2, tal que ϕi(Ui ∩ Γ′) = R. Ent˜ao, tomando Ui conexo,

podemos assumir que ϕi(Ui∩Sv(θ)) est´a contido no semiplano superior. Assim, conclu´ımos

a prova do Lema 3.3.

ComoSv(θ) é um dom´ınio adjacente, regular próximo api e também é simplesmente

conexo, temos, pela Proposi¸c˜ao 2.7, que cada Sv(θ) induz uma permuta¸c˜ao de {p1, p2, p3}

que denotamos por αθ = α(Sv(θ)). Além disso, como ∂Sv0 = ∂S−v0 é uma curva regular, conclu´ımos por meio da mesma proposi¸cão que

α0 =αv0 6=α−v0 =απ. (3.2) Denotemos por Sym o grupo simétrico. Uma conseqüência imediata do lema a seguir

´e que a aplica¸c˜ao

R∋θ 7→αθ ∈Sym({p1, p2, p3})

´e localmente constante.

3.4 Lema. Para cada θ0 ∈R, existe um ǫ > 0, tal que, se |θ−θ0|< ǫ, ent˜ao Sv(θ) e Sv(θ0)

têm um triângulo em comum(com vértices em {p1, p2, p3}).

Prova. do Lema 3.4. Recordemos que, comohu0 é uma fun¸cão de Morse, de acordo com o Lema 2.4, tem-se K(pi) 6= 0. Logo, n é um difeomorfismo local em pi. Além disso,

pela Proposi¸c˜ao 2.3, em uma vizinhan¸ca W de {p1, p2, p3}, temos

∂Sv(θ) = Hv(θ)

= n−₁

(C)

= n−₁

(v⊥

(θ)), (3.3)

onde v⊥

(θ) denota o c´ırculo m´aximo em S2 _{ortogonal a} _v₍_θ_{). Por(3}_._{1) temos que} _v⊥

(θ) depende continuamente de θ. A partir da´ı e de(3.3), verificamos que, emW,∂Sv(θ) tamb´em

(30)

Seja T um triângulo de Sv(θ0) com vértices em {p1, p2, p3}. Pela Proposi¸cão 2.3, numa vizinhan¸ca de {p1, p2, p3} temos que ∂Sv(θ0) é uma curva regular C

∞

. Logo, se

ne-cess´ario, podemos substituir nessas vizinhan¸cas os arcos de T por curvas regulares C∞

que

interceptam ∂Sv(θ0) transversalmente. Agora, considerando a intersec¸c˜ao de cada arco de

T com o complementar de W, obtemos três curvas compactas disjuntas no aberto ∂Sv(θ0). Usando argumentos usuais de compacidade, podemos, se necessário, substituir essas três

cur-vas por curcur-vas regularesC∞

. Desse modo, podemos assumir que os arcos deT s˜ao regulares

C∞

e interceptam ∂Sv(θ0) transversalmente.

Assim, pela continuidade de ∂Sv(θ) em rela¸c˜ao a θ, segue-se que, se |θ −θ0| < ǫ1

para algum ǫ1 suficientemente pequeno, ent˜ao T tamb´em encontra ∂Sv(θ) transversalmente.

Logo, para alguma vizinhan¸ca W de{p1, p2, p3}, tem-se que (T − {p1, p2, p3})∩W ⊂Sv(θ).

Resta-nos mostrar que T −W ⊂Sv(θ).

Pelo Lema 3.2, dado ǫ3 > 0, existe ǫ2 > 0, tal que, se |θ − θ0| < ǫ2, ent˜ao

|σv(θ) −σv(θ0)| < ǫ3. Al´em disso, como σv(θ0) > 0 no compacto T −W ⊂ Sv(θ0), temos pelo Lema 2.2 que σv(θ)(p) >0, para todo p ∈ T −W. Logo, T −W ⊂ Sv(θ), para todo θ,

tal que |θ−θ0| < ǫ2. Assim, tomando ǫ = min{ǫ1, ǫ2}, temos que T − {p1, p2, p3} ⊂ Sv(θ),

para cada θ tal que |θ−θ0|< ǫ. Portanto, para cada θ0 ∈R com |θ−θ0|< ǫ, Sv(θ) e Sv(θ0) tˆem um triˆangulo comum e, assim, provamos o Lema 3.4.

Ora, como Sv(θ) e Sv(θ0) têm um triângulo em comum, então, de acordo com a Proposi¸cão 2.7, temos que, αθ = αθ0. Portanto, a aplica¸cão θ 7→ αθ é localmente constante e, como [0, π] é conexo, temos pelo Lema 1.8 queθ7→αθ é constante. Dessa forma,α0 =απ,

contrariando(3.2). Portanto,f ´e um mergulho convexo, o que finaliza a prova do Teorema A.

Teorema B. Existe um mergulho C∞

do toro f :S1_×_S1 _→

R3, tal que para cada

u ∈S2_{, S}

u ´e conexo.

Prova. do Teorema B. Dizemos que uma imersão γ :S1 _≃_R_/₂_π_→ _R3 _{é um} _skew loop se não existem pares de retas tangentes paralelas distintas, isto é,

γ′

(t)×γ′

(s)6= 0,∀ t, s∈[0,2π), t 6=s.

(31)

aplica¸c˜ao γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde

x(t) = −cos(t)− 1

20cos(4t) + 1

10cos(2t)

y(t) = sin(t) + 1

10sin(2t) + 1

20sin(4t)

z(t) = −46

75sin(3t)− 2

15cos(3t) sin(3t).

O c´alculo da indicatriz tangente T(t) =: γ

′

(t)

||γ′₍_t₎_|| mostra que T(t) 6= ±T(s), para

cada t, s∈[0,2π),t 6=s, j´a que

x′

(t) = sin(t) + 1

5sin(4t)− 1

5sin(2t)

y′

(t) = cos(t) + 1

5cos(2t) + 1

5cos(4t)

z′

(t) = −46

25cos(3t) + 2 5(sin

2₍₃_t₎₋_cos2₍₃_t₎₎

, t ∈[0,2π).

Assim, temos que γ′

(t) =γ′

(s), somente se t=s.

Figura 3.3:

Seja γ :S1 _→_R3 _{uma imers˜ao. Para cada} _p_∈_S1_{, temos a decomposi¸c˜ao}

TpS1⊕(TpS1)

⊥

=TpR3,

com dim(TpS1) = 1 e dim(TpS1)⊥= 2. Portanto, γ′(p) depende continuamente dep. Logo, o

plano normal (TpS1)⊥ também varia continuamente em rela¸cão ap. Podemos, então, tomar

uma base ortonormal {v(p), w(p)}de (TpS1)⊥, variando continuamente em rela¸c˜ao a p. Seja

agora

(US1)⊥

={(p, ν);p∈S1, ν ∈(TpS1)

⊥

,|ν|= 1}

o fibrado normal unit´ario de γ (ver Figura 3.4).

Fixando p0 ∈S1, a aplica¸c˜ao

S1_×_S1 _→ ₍_US1₎⊥

(32)

Figura 3.4:

´e um homeomorfismo entre o toro S1_×_S1 _{e o fibrado normal unit´ario (}_US1₎⊥

. Assim, a

seguinte proposi¸c˜ao prova o Teorema B.

3.5 Proposi¸c˜ao. Sejam γ : S1 _→_R3 _{um it skew loop e} _M _{o fibrado normal unit´ario de} _γ_. Para ǫ >0, defina

fǫ :M →R3

por

fǫ(p, ν) =γ(p) +ǫν.

Então, para ǫ suficientemente pequeno, fǫ é uma imersão C∞ e, para cada u ∈ S2, Su é

conexo. Se γ é um mergulho, então fǫ é um mergulho também.

Prova. da Proposi¸cão 3.5. Pelo Teorema da Vizinhan¸ca Tubular, existe ǫ > 0 tal que fǫ é uma imersão C

∞

e ´e um mergulho quando γ ´e mergulhado. Seja n : M → S2 _a

proje¸c˜ao na segunda coordenada, isto ´e, n(p, ν) =ν.

Afirmamos que n é a aplica¸cão de Gauss de fǫ. De fato, dados (p, ν) ∈ M, seja X(t, θ) a aplica¸cão de fǫ num sistema de coordenadas (t, θ)∈U ⊂R2 definida por

X(t, θ) =γ(t) +ǫ(cosθe1(t) + sinθe2(t)),

onde, para cada t,{e1(t), e2(t)}´e uma base ortonormal de (γ′(t))⊥. Ent˜ao,

Xt=γ′(t) +ǫcosθe₁′(t) +ǫsinθe′₂(t) Xθ =ǫ(−sinθe1(t) + cosθe2(t)),

(33)

Seja π :M → S1 _{a proje¸c˜ao na primeira coordenada do fibrado}_M _≃_S1_×_S1_{, isto}

´e, π(p, ν) = p. Para cada p ∈ S1_{, seja} _F

p := π−1(p) a fibra relativa a p. De acordo com a

afirma¸c˜ao acima, n mergulha Fp num grande c´ırculo de S2 contido no plano perpendicular

a γ′

(p). Recordemos que um ponto de M pertence `a sombra Su se, e somente se, o vetor

normal nesse ponto pertence ao hemisf´erio abertoS2

u. Assim, para cadap∈M, a intersec¸c˜ao

da fibra Fp com a sombra Su ´e um semi-c´ırculo aberto ou o conjunto vazio. E temos ent˜ao

duas possibilidades:

i) Cada Fp intercepta a sombra Su em um semi-c´ırculo. Portanto, Su ´e homeomorfo

a um anel (ver Figura 3.5).

Figura 3.5:

ii) Existe p ∈ M tal que Fp ´e disjunta da sombra Su, isto ocorre se, e somente se,

a fibra Fp est´a contida no plano ortogonal a u, ou seja, os vetores u e γ′(p) s˜ao paralelos.

Como γ é umskew loop, este caso só poderá ocorrer uma vez. Conclu´ımos então que, neste caso, Su é homeomorfo a um disco.

Em qualquer dos casos, temos que Su ´e conexo para cada u ∈ S2. Desse modo,

conclu´ımos a prova da Proposi¸c˜ao 3.5 e do Teorema B.

Teorema C. SeM ´e topologicamente uma esfera, e para cadau∈S2_{, S}

u ´e conexo,

ent˜ao f ´e um mergulho convexo.

Prova. do Teorema C. Assim como no Teorema A, a prova do Teorema C ´e feita

por contradi¸c˜ao. Suponhamos que M seja homeomorfo a S2_{, que} _S

(34)

Sejam u0 e v0 os vetores do Lema 3.1, ev(θ) definido por(3.1). A sombra ampliada

e

Sv(θ)´e a uni˜ao deSv(θ)com todas as componentes conexasXλ deHv(θ)tais que existe alguma

vizinhan¸ca aberta Vλ deXλ com Vλ−Xλ ⊂Sv(θ) E claro que´ Sev(θ) ⊂Sv(θ)∪

[

λ Vλ

!

. Por

outro lado, como Vλ = Xλ ∪(Vλ −Xλ) ⊂ Xλ ∪Sv(θ), tem-se que Sv(θ) ∪

[

λ Vλ

!

⊂ Sev(θ).

Logo,

e

Sv(θ) =Sv(θ)∪

[

λ Xλ

!

=Sv(θ)∪

[

λ Vλ

!

,

obtemos da´ı que Sev(θ) ´e aberto conexo, uma vez que os conjuntos Vλ s˜ao abertos, conexos

e interceptam Sv(θ). Então, Sev(θ) satisfaz as condi¸cões do Lema 1.9. Além disso, temos o

H1 H2

u

e

Sv(θ)=Sv(θ)SH1

Figura 3.6:

seguinte resultado, an´alogo ao Lema 3.3.

3.6 Lema. Para todo θ∈_R,Sev(θ) ´e um dom´ınio adjacente e regular pr´oximo a pi.

Prova. do Lema 3.6. Como pi ´e ponto cr´ıtico dehu0, vimos na Proposi¸c˜ao 2.3 que

∂Sv(θ) = Hv(θ) = ∂S−v(θ) em determinadas vizinhan¸cas abertas Ui de pi. Logo, temos que ∂Sev(θ) e∂Sv(θ)coincidem nessas vizinhan¸cas. Portanto,pi ∈∂Sev(θ) e como Γ′ :=∂Sev(θ)∩Ui = ∂Sv(θ)∩Ui ´e uma curva regular, existe um homeomorfismoϕi :Ui →R2 que aplicaSev(θ)∩Ui

no semi-plano superior. Dessa maneira, conclu´ımos a prova do Lema 3.6.

Segundo a Proposi¸cão 2.7, temos que cada θ induz uma permuta¸cão α_eθ = α₍Sev(θ)) de {p1, p2, p3}. Como pelo Lema 3.1, ∂Sv(0) = ∂S−v(0) é uma curva regular, segue-se que

∂Sev(0) =∂Se−v(0) também é uma curva regular. Da´ı, novamente pela Proposi¸cão 2.7, temos

que

e

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O lema a seguir análogo ao Lema 3.4, mostra que a aplica¸cãoθ7→α_e(θ) é localmente constante.

3.7 Lema. Para cada θ ∈R, existe um ǫ >0, tal que, se |θ−θ0| < ǫ, ent˜ao Sev(θ) e Sev(θ0)

têm um triângulo em comum (com vértices em {p1, p2, p3}).

Prova do Lema 3.7. A prova é uma conseqüência imediata do Lema 3.4, no qual mostramos

que Sv(θ) e Sv(θ0) têm um triângulo em comum. Ora, como pelo Proposi¸cão 2.3Sv(θ) =Sev(θ) em vizinhan¸cas abertas de pi, e Sv(θ) ⊂ Sev(θ), temos que Sev(θ) e Sev(θ0) também têm um triângulo em comum. Assim, conclu´ımos a prova do Lema 3.7.

Uma vez que Sev(θ) e Sev(θ0) têm um triângulo comum, pela Proposi¸cão 2.7, temos que αeθ = αeθ0. Como [0, π] é conexo, pelo Lema 1.13 temos que αe0 = αeπ, o que contra-ria (3.4). Logo, f é um mergulho convexo e, assim, finalizamos a prova do Teorema C.

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Referˆ

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