Seminário de Mestrado em Matemática para o Ensino

Dos grupos aos puzzles com poliedros e números

Rafael Pacheco

Seminário de Mestrado em Matemática para o Ensino

sob orientação do Professor Jorge Rezende

Dos Grupos aos Puzzles com Poliedros e Números

1. Introdução

Considere-se um sólido Platónico, Arquimediano ou um dual destes últimos (sólidos de Catalan). Considerem-se placas poligonais em número, forma e tamanho iguais às faces do referido poliedro. Em cada uma das placas escrevemos números junto aos lados. Algumas das placas ou mesmo todas podem ter números escritos em ambas as faces. Assumimos ainda que os números pertencem ao conjunto

{

e que todos são utilizados. Nas figuras 1 e 2, e estão representadas placas relativas ao cubo e ao octaedro, respectivamente.

}

1, 2,3,...,n

4

n=

Fig. 2

O jogo consiste em colocar as placas sobre as faces do poliedro de tal forma que os dois números adjacentes a uma mesma aresta sejam iguais. As placas representadas nas figuras 1 e 2 dizem respeito aos chamados puzzles do cubo (1) e do octaedro (1). Nessas placas os

números 1, 2, 3 e 4 estão atribuídos de forma a que não haja repetições em cada uma delas e que todas as possibilidades sejam esgotadas.

Na concepção de um puzzle para um determinado poliedro o mais intuitivo é utilizar-se o cálculo combinatório para a construção das placas como, de certa forma, aqui está feito para estes dois puzzles que se mostram como exemplos. Daí seguem-se noções como as de solução, grupo de uma solução, etc.

Neste trabalho vamos mostrar como se pode partir da teoria dos grupos para se encontrar puzzles para os diferentes poliedros.

2. Grupos de Simetria de Poliedros

O grupo das simetrias de um poliedro, Ω, que chamamos grupo do poliedro, é o conjunto de todas as isometrias ω de que

transformam vértices em vértices e, consequentemente, arestas em arestas e faces em faces. Consideramos os poliedros centrados na origem de \ . Designamos por Ω as isometrias de determinante 1

3

\

(constituem o grupo das rotações do poliedro) e por as isometrias de determinante − . Designamos por o conjunto das arestas do poliedro. Se for uma simetria do poliedro, designamos pela mesma letra , caso não haja risco de confusão, a função que lhe corresponde. Por exemplo, no caso da figura 3, a função

é uma simetria do tetraedro de determinante a que corresponde definida por

− Ω 1 3 \ E 3 :

ω _\ →

ω ω:E→E

( , , )x y z ( x y z, , )

ω = − −1

:E E

ω → ω ω ω ω ω ω + 240o

( , , )x y z ( ,x

ω = − Ω 1 1 1 2 3 3 2 4 5 5 4 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e e e e e e e = = = = = =

2.1 O tetraedro.

Observe-se a figura 3.

Consideremos em primeiro lugar as simetrias de Ω . Temos a identidade; as rotações de 180 em torno dos três eixos definidos pelos centros de arestas opostas; as rotações de 120 e em torno dos quatro eixos definidos pelos vértices e centros das respectivas faces opostas. Temos então 12 simetrias de determinante 1, como por

exemplo, que constituem, juntamente com a operação de composição, o grupo rotacional do tetraedro. As simetrias de

determinante − ( ) são as composições das simetrias de Ω com uma simetria de determinante .

o

o

, ) y z ,

+ 1

−

2.2 O cubo e o octaedro.

Consideramos apenas o octaedro uma vez que, por dualidade, tudo o que dissermos acerca do octaedro é válido também para o cubo.

O grupo rotacional do octaedro tem 24 elementos: a identidade; as rotações de 90 , 180 e 270 em torno dos três eixos definidos por vértices opostos; as rotações de 180 em torno dos seis eixos definidos pelos pontos médios de arestas opostas; as rotações de 120 e em torno dos quatro eixos definidos pelos centros de faces opostas. Temos portanto 24 simetrias de determinante 1. Compondo cada uma destas com a simetria central obtemos no total 48 simetrias.

o o o

o

0

240o

De notar que o grupo de simetrias do cuboctaedro (ver adiante o ponto 5) é o mesmo que o do cubo e do octaedro.

2.3 O dodecaedro e o icosaedro.

O dodecaedro e o icosaedro são poliedros duais, logo têm a mesma quantidade de simetria, isto é, têm o mesmo grupo. Por esse motivo analisamos apenas o caso do icosaedro. Quanto às simetrias de determinante 1, Ω , temos: a identidade; as rotações de , 144 , e 288 em torno dos seis eixos definidos por vértices opostos; as rotações de 180 em torno dos quinze eixos definidos pelos pontos médios de arestas opostas; as rotações de 120 e 240 em torno dos dez eixos definidos pelos centros de faces opostas. Compondo estas com a simetria central, obtemos ao todo 120 simetrias.

3. Grupos de permutação e soluções de puzzles +

72o o 216o

o

o

o o

3.1 Grupo de uma solução.

Uma solução de um puzzle define uma aplicação onde E representa o conjunto das arestas do poliedro.

{

}

:E 1, 2,...,n

ε →

denota o grupo de todas as permutações de

{

;

quer dizer que é uma bijecção . O subgrupo de formado pelas permutações pares, o grupo alternado, é representado por . Consideraremos ainda os grupos

{

, que denotaremos

por , e . Se e então

. Se , definimos o produto

.

O grupo desta solução, G , é um subgrupo de , definido por

n

S 1, 2,...,n

}

σ∈S_n

σ σ : 1, 2,...

{

n

} {

→ 1, 2,...,n

}

n

S

n

A −1,1

}

×S_n

n

S± S_n× Ω δ δ₁, ₂∈ −

{ }

1,1 σ σ₁, ₂∈S_n

(

δ σ δ σ1, 1

)

(

2, 2

)

=

(

δ δ σ σ1 2, 1 2

)

(

σ ω1, 1

) (

, σ ω2, 2

)

∈ ×ΩSn

(

σ ω σ ω1, 1

)(

2, 2

) (

= σ σ ω ω1 2, 1 2

)

ε Sn× Ω

(

σ ω,

)

∈G_ε se e só se σ ε ε ωD = D .

Denotamos por o seguinte subgrupo de : se e só se existir um elemento de tal que

(

. Note-se que, fixado um

ε

Ω Ω ω∈Ω_ε

ω σ

(

σ ω,

)

∈G_ε 2 π

(

,

)

G ε ε ϕ

ω σ ω

Ω → →

1≤ε2

P

}

1 2, Ωk

1 2

P ≤P

± _{Ω →}

S

, existe um e um só tal que . Considere-se o puzzle do octaedro representado na figura 9. Suponhamos que, por exemplo, efectuamos uma rotação de no sentido directo em torno do semieixo correspondente ao vértice “de cima”. Verifica-se a seguinte

correspondência das placas:

Fig. 4

Ora esta correspondência determina univocamente uma permutação, neste caso .

Definimos assim o seguinte isomorfismo entre G e Ω : (1234)

σ =

ϕ _{ε ε}

:

3.2 Soluções maximais e puzzles maximais.

Se e são duas soluções de um puzzle, define-se a seguinte relação de ordem parcial: se e só se

1 ε ε₂

ε

2 1

ε ε

Ω ⊆ Ω

Dizemos que uma solução é maximal se o for para esta relação. No que se segue, designa o conjunto das placas de um

determinado puzzle e, por abuso de notação, designa também o próprio puzzle.

P

Todo e qualquer puzzle P tem associado um conjunto de

subgrupos de ,

{

, que são os grupos das suas soluções maximais. É o conjunto dos grupos maximais de P.

Se P e P são dois puzzles do mesmo poliedro, definimos a

seguinte relação de ordem parcial: quando todo o grupo maximal de está contido em algum grupo maximal de . Dizemos que um puzzle P é maximal se o for para esta relação.

Ω Ω Ω, ...,

1 2

2

P P₁

4. Dos Grupos aos Puzzles

Seja Ω o grupo das simetrias de um poliedro, S um subgrupo de e h h dois isomorfismos.

{ }

1,1 = −

n n

Sejam ω∈Ω e , então definem-se os isomorfismos que, por abuso de notação e sempre que não cause confusão, se designam por

e s S , tais que e s s , para

quaisquer e . Dizemos que e representam o mesmo isomorfismo natural se existir tal que

n

s∈S±

:

ω Ω → Ω : _n± →S_n± ω ω( ₁)=ωω ω₁ −1 ( )₁ =ss s₁ −1

1 W

ω ∈ s₁∈S_n± h₁

ω 2 h + ∈ Ω 1 2

h =h Dω

Dois isomorfismos naturais representados por h e h dizem-se equivalentes se existirem e tais que

1 2

s∈S ω∈Ω

1 2

s hD =h Dω

No texto que segue estamos mais uma vez a denotar quer

isometrias de \ quer aplicações de Ω em pelo mesmo símbolo ; o contexto esclarecerá qual o significado em questão.

3 Ω

i

ω

Sejam ω ω . Observe-se a figura 5. Se é uma rotação de ordem k e é uma rotação de ordem j, então transforma numa outra rotação, , de ordem j. Define-se do seguinte modo:

1, 2∈Ωε ω1

2

ω ω₁ ω₂

3

ω ω₃

1

3 1 2 1 1( 2) ω ₌ω ω ω_{D D} − ₌ω ω

De facto, temos:

1 1 1 2 3 1 ' ( ) ( ') ( ) ' ( ') ( )

a a a

b a

b a b

ω ω ω ω ω − a = ⇔ = = = = de onde: 1 3( ')a b' 1 2( )a 1 2 1 ( ')a ω _{= =}ω ω ₌ω ω ω−

Portanto:

1

3 1 2 1 1( 2) ω ₌ω ω ω− ₌ω ω

1 ω Fig. 5 2 ω 3 ω 2 ω

Interessa-nos representar as rotações do poliedro por meio de permutações. Consideraremos rotações no sentido directo (contrário ao dos ponteiros do relógio) em torno de semi-eixos de simetria do poliedro. Estes últimos são definidos pelos vértices, pelos pontos médios de

arestas opostas ou ainda pelos centros de faces opostas e têm a sua origem no centro do poliedro. Dizemos semi-eixos de simetria no sentido em que, quando efectuamos uma rotação, olhamos para o poliedro “de cima” como se a “extremidade” do eixo estivesse apontada para nós.

Associamos a cada semi-eixo de ordem k, uma permutação de ordem k, digamos , de forma que à rotação de no sentido directo, ω, corresponda a permutação σ; claro que ao outro semieixo vai ter que corresponder .

σ 2

k

π

1 σ−

No texto que segue, os e os são naturais.

Se (veja-se figura 5) a , rotação de ordem k, fizermos

corresponder , permutação de ordem k, e a , rotação de ordem j, a

permutação , então, à rotação

corresponde o ciclo

i

α β_i

1 ω

1

σ ω₂

(

2 ( 1 2... j)... 1 2... l

)

σ = α α α γ γ γ ω₃ =ω ω₁( ₂)

1

(

)

1

3 1( 1) 1( 2)... 1( j) 1 2 σ ₌ σ α σ α σ α ₌σ σ σ−

1 1 1 2 2 j . . . j σ α β α β α β → → → 2 1 2 2 3 1 . . . j σ α α α α α α → → → 1 3 1 2 1

1 2 2 3 1 . . _j

σ σ σ σ β β β β β β − = → → → .

Ou seja, como queríamos

mostrar.

(

) (

)

3 1 2... j 1( 1) 1( 2)... (1 ) σ = β β β = σ α σ α σ α_j

4.1 Vejamos o caso do tetraedro (figura 6).

No tetraedro cada vértice representa um semi-eixo de ordem 3. Aos semieixos de ordem 3 correspondem ciclos da mesma ordem. Utilizamos no que se segue os ciclos de ordem 3 do grupo porque este é o menor grupo que contém ciclos de ordem 3 em quantidade suficiente. São eles: ,

( )

,

(

, , ,

(

, e . Se associarmos a um dos vértices do tetraedro um destes ciclos, os outros ficam automaticamente determinados. Por exemplo, se associarmos a um dos vértices o ciclo (123), a única possibilidade

coerente com o isomorfismo entre Ω, o grupo de simetria do tetraedro, e S, subgrupo de , é a ilustrada pelo tetraedro de baixo.

Da mesma forma, considerando uma das restantes permutações, a correspondência possível é a representada no tetraedro de cima. Temos então dois isomorfismos naturais equivalentes.

4

S

( )

123 124 134

)

(

234

)

( )

132 142

)

( )

143

( )

243

{ }

4 1,1

S = − S₄

)

± _×

Pensemos agora, por exemplo, no tetraedro de baixo. Reparamos que aos oito semieixos de ordem três estão associadas as oito

permutações do tipo

(

do grupo (consultar Apêndice A). Os ciclos de ordem três geram . Verifica-se ainda que o tetraedro contém a simetria negativa definida por , correspondendo

ao elemento ( de .

Compondo este elemento com todos os elementos de , obtemos os 24 elementos do grupo de simetria do tetraedro.

1 2 3 α α α

A

4

S

4

ω ω(x y z, , )= −( x y z, , )

( )

(

1, 14)

)

, )

δ σ = − S₄±

4

A

Construímos assim um isomorfismo entre , grupo de simetria do tetraedro, e . No presente contexto o subgrupo

Ω

{ }

1,1 4

S = − ×S

{ }

(

1 4

)

(

{ } (

1 4

)

)

S = + ×A ∪ − × S \A₄

A figura 6 sugere dois puzzles do cubo que representam também o grupo de simetrias do tetraedro. É o puzzle do cubo (2). Veja-se a figura 7.

Comparando os tetraedros com os respectivos puzzles do cubo compreende-se facilmente de que modo a interpretação do grupo de simetria do tetraedro sugeriu um puzzle.

4.2 O grupo do octaedro.

O cubo e o octaedro são sólidos duais, têm por isso a mesma “quantidade de simetria”, mais precisamente, os seus grupos de simetria são iguais. Tanto para o cubo, como para o octaedro

.

{

1, 1

}

4

S= − + ×S

Fig. 8

Procuremos puzzles que têm uma solução cujo grupo é (o grupo das rotações do octaedro). Procedendo como no caso do tetraedro, associando a cada semieixo uma permutação de igual ordem,

encontramos apenas um isomorfismo natural (veja-se a figura 8).

Partindo para o puzzle, e inspirando-nos na figura 8, começamos por desenhar as placas (fig. 2) do puzzle do octaedro (1),

correspondendo cada uma das oito placas aos respectivos ciclos de ordem três do grupo simétrico .

4

S

+ Ω =

4

S

Apresenta-se na figura 9 uma solução deste puzzle. Trata-se com efeito de uma solução maximal no sentido em que não há puzzles que tenham como grupo de solução.

Por dualidade obtemos o puzzle do cubo(1) cujas placas podem ser vistas na figura 1.

{ }

1,1 4

Fig. 9

4.3 O grupo do icosaedro.

O grupo das simetrias do dodecaedro (e por dualidade o do icosaedro) é isomorfo ao grupo

{

.

No icosaedro o centro de cada face representa um semieixo de ordem 3. Associamos a um desses semieixos o ciclo

(

. Verifica-se que existem oito possibilidades para os vértices dessa face (veja-se a figura 10), mas somente duas dessas possibilidades –as duas primeiras representações– correspondem a isomorfismos naturais (veja-se a figura 11) os quais sugerem os chamados puzzle do icosaedro (1) e, por

dualidade, puzzle do dodecaedro (2).

}

5

1,1 A

− ×

)

123

5. Construção de puzzles a partir dos grupos

O puzzle do cuboctaedro (1), cujo conjunto das placas resulta da reunião do conjunto das placas do cubo (1) com o conjunto das placas do octaedro (1) (figuras 1 e 2 respectivamente), admite uma solução maximal cujo grupo é o grupo de simetria do octaedro, vejam-se as figuras 12 e 13. De facto, esta solução admite, para além dos elementos do grupo rotacional do cubo, simetria central. Compondo esta última com aquelas obtemos todas as simetrias do cubo.

Nas figuras 14 e 15 podemos ver as outras soluções obtidas do mesmo isomorfismo, mas que não apresentam simetria central.

Este resultado indica-nos pois a estratégia a seguir para encontrar puzzles maximais.

Reparamos também que podemos olhar para esta solução do puzzle do cuboctaedro (figura 13) como uma representação material do grupo de simetrias do octaedro (cubo).

Fig. 13

Fig. 15

Apêndice A

Elementos dos grupos S A_{4, 4} e A₅

Consulte-se a referência

[

da bibliografia para teoria acerca de subgrupos e geradores do grupo das permutações .

> S4:=gp_elements(4,{[[1,2]],[[1,2,3,4]]});

]

3

n

S

S4 := [[ ] [, [3 4, ]], [[2 3, ]],[[2 3 4, , ]], [[2 4 3, , ]],[[2 4, ]], [[1 2, ]], [[1 2, ], [3 4, ]], [[1 2 3, , ]], [[1 2 3 4, , , ]],[[1 2 4 3, , , ]],[[1 2 4, , ]], [[1 3 2, , ]],[[1 3 4 2, , , ]], [[1 3, ]],[[1 3 4, , ]], [[1 3, ], [2 4, ]], [[1 3 2 4, , , ]], [[1 4 3 2, , , ]], [[1 4 2, , ]], [[1 4 3, , ]], [[1 4, ]], [[1 4 2 3, , , ]], [[1 4, ], [2 3, ]]]

A4 := [[ ] [, [2 3 4, , ]],[[2 4 3, , ]], [[1 2, ], [3 4, ]], [[1 2 3, , ]],[[1 2 4, , ]], [[1 3 2, , ]], [[1 3 4, , ]], [[1 3, ], [2 4, ]], [[1 4 2, , ]],[[1 4 3, , ]], [[1 4, ], [2 3, ]]]

A5 := [[ ] [, [3 4 5, , ]],[[3 5 4, , ]], [[2 3, ], [4 5, ]], [[2 3 4, , ]],[[2 3 5, , ]], [[2 4 3, , ]], [[2 4 5, , ]], [[2 4, ], [3 5, ]], [[2 5 3, , ]],[[2 5 4, , ]], [[2 5, ], [3 4, ]],

[[1 2, ],[4 5, ]],[[1 2, ],[3 4, ]],[[1 2, ],[3 5, ]],[[1 2 3, , ]], [[1 2 3 4 5, , , , ]], [[1 2 3 5 4, , , , ]],[[1 2 4 5 3, , , , ]],[[1 2 4, , ]], [[1 2 4 3 5, , , , ]], [[1 2 5 4 3, , , , ]], [[1 2 5, , ]], [[1 2 5 3 4, , , , ]], [[1 3 2, , ]],[[1 3 4 5 2, , , , ]],[[1 3 5 4 2, , , , ]], [[1 3, ],[4 5, ]],[[1 3 4, , ]], [[1 3 5, , ]],[[1 3, ],[2 4, ]],[[1 3 2 4 5, , , , ]],

[[1 3 5 2 4, , , , ]],[[1 3, ],[2 5, ]],[[1 3 2 5 4, , , , ]],[[1 3 4 2 5, , , , ]],[[1 4 5 3 2, , , , ]], [[1 4 2, , ]], [[1 4 3 5 2, , , , ]], [[1 4 3, , ]], [[1 4 5, , ]], [[1 4, ], [3 5, ]],

[[1 4 5 2 3, , , , ]],[[1 4, ],[2 3, ]],[[1 4 2 3 5, , , , ]],[[1 4 2 5 3, , , , ]],[[1 4 3 2 5, , , , ]], [[1 4, ],[2 5, ]],[[1 5 4 3 2, , , , ]],[[1 5 2, , ]], [[1 5 3 4 2, , , , ]], [[1 5 3, , ]],

[[1 5 4, , ]], [[1 5, ], [3 4, ]], [[1 5 4 2 3, , , , ]], [[1 5, ], [2 3, ]], [[1 5 2 3 4, , , , ]], [[1 5 2 4 3, , , , ]], [[1 5 3 2 4, , , , ]],[[1 5, ],[2 4, ]]]

> A4:=gp_elements(4,{[[1,2,3]],[[2,3,4]]});

> A5:=gp_elements(5,{[[1,2,3]],[[1,2,3,4,5]]});

Nota: no programa Maple, um ciclo ( representa-se por

e um produto representa-se por .

....)

Bibliografia

Rezende, Jorge, Jogos com Poliedros e Permutações, Boletim da S. P. M., Nº 43, 105-124, 2000.

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1

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http://gfm.cii.fc.ul.pt/Members/jr_polyhedron-puzzles-groups.pdf

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Durbin, Modern Algebra, Wiley, 1985.

Lima, Elon Lages, Espaços Métricos, Projecto Euclides, R. J., 1977.

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Monteiro, A. J. Antunes, Álgebra Linear e Geometria Analítica, Associação de Estudantes da FCUL.