FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA

Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2117 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I

NOTAS DE AULA

FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS

(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP novembro/2010

(2)

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1288 – Estruturas de Concreto I, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista – UNESP, Campus de Bauru/SP.

O texto apresentado está de acordo com as prescrições contidas na norma NBR 6118/2003 (“Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”), conforme a versão corrigida de março de 2004, para o projeto e dimensionamento das vigas de concreto armado à flexão normal simples.

A apostila apresenta o estudo das seções retangulares com armaduras simples e dupla e das seções T com armadura simples, para solicitação de flexão simples.

Visando iniciar o cálculo prático das vigas dos edifícios, são introduzidos alguns tópicos adicionais, como o cálculo das cargas verticais sobre as vigas e algumas prescrições na norma para as vigas simples e contínuas.

O texto constante desta apostila não inclui todos os tópicos relativos ao projeto das vigas, como o dimensionamento aos esforços cortantes e aos momentos torçores, ancoragem nos apoios, etc. Nas apostilas da disciplina 1309 - Estruturas de Concreto II - esses temas serão abordados.

Quaisquer críticas e sugestões serão bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser melhorada.

O autor agradece ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção dos desenhos.

(3)

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 1

2. DEFINIÇÃO DE VIGA ... 1

3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE... 2

4. COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS 2, 3 E 4 ... 5

5. HIPÓTESES DE CÁLCULO... 7

6. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES... 8

6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO... 8

6.2 CÁLCULO COM COEFICIENTES K ... 12

6.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS ... 13

7. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA ... 31

7.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO... 31

7.2 CÁLCULO MEDIANTE FÓRMULAS COM COEFICIENTES K... 35

7.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS ... 36

8. SEÇÃO T ... 43

8.1 LARGURA COLABORANTE ... 50

8.2 SEÇÃO T COM ARMADURA SIMPLES... 53

8.2.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO... 53

8.2.2 CÁLCULO COM EQUAÇÕES COM COEFICIENTES K... 56

8.2.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS ... 57

9. PRESCRIÇÕES GERAIS PARA AS VIGAS ... 68

9.1 VÃO EFETIVO... 68

9.2 DEFINIÇÃO DA ALTURA E DA LARGURA ... 68

9.3 CARGAS VERTICAIS NAS VIGAS... 69

9.3.1 Peso Próprio ... 69

9.3.2 Paredes... 70

9.3.3 Lajes ... 70

9.3.4 Outras Vigas ... 70

9.4 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS ARMADURAS ... 70

9.4.1 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas ... 70

9.4.2 Armadura Mínima de Tração ... 71

1. 71 9.4.3 Armadura Longitudinal Máxima... 71

9.4.4 Armadura de Pele ... 72

9.5 ARMADURAS DE LIGAÇÃO MESA-ALMA ... 72

9.6 ESPAÇAMENTO LIVRE ENTRE AS BARRAS... 73

10. EXERCÍCIOS PROPOSTOS... 73

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 79

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR... 80

TABELAS ANEXAS... 81

(4)

UNESP(Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos

FLEXÃO NORMAL SIMPLES - VIGAS

1. INTRODUÇÃO

A flexão simples é definida como a flexão sem força normal. Quando a flexão ocorre acompanhada de força normal tem-se a flexão composta.

Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes produzem tensões normais (perpendiculares) às seções transversais dos elementos estruturais. Os esforços que provocam tensões normais são o momento fletor (M) e a força normal (N).

Nas estruturas de concreto armado são três os elementos estruturais mais importantes: as lajes, as vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, são sumetidas à flexão normal simples, embora possam também, eventualmente, estarem submetidas à flexão composta.

Por isso, o dimensionamento de seções retangulares e seções T sob flexão normal simples é a atividade diária mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de concreto armado (SANTOS, 1983). De modo que o estudo da flexão simples é muito importante.

O estudo da flexão normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o correto entendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compressão e pelo aço sob tração, em seções retangulares e T, visando levá-lo a bem dimensionar ou verificar a resistência dessas seções.

O equacionamento para a resolução dos problemas da flexão simples é deduzido em função de duas equações de equilíbrio da estática, e que proporciona as aqui chamadas “equações teóricas”, que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais.

Também é apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamente utilizado no Brasil.

É importante esclarecer o aluno que no estudo desta apostila ele aprenderá a dimensionar as seções transversais das vigas aos momentos fletores máximos, e fazer o detalhamento das armaduras de flexão apenas na seção transversal correspondente. Nesta disciplina o estudo das vigas está apenas iniciando. O estudo completo das vigas simples ou contínuas, com dimensionamentos aos esforços cortantes e momentos torçores, bem como o detalhamento completo e ancoragem das armaduras, só será alcançado ao término da disciplina 2123 - Estruturas de Concreto II. Além disso, outros tópicos relativos às vigas, como fissuração e flecha, serão estudados na disciplina 2158 – Estruturas de Concreto IV.

2. DEFINIÇÃO DE VIGA

São elementos lineares em que a flexão é preponderante (NBR 6118/03, item 14.4.1.1).

Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominada barras.

(5)

3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE

Considere uma viga de concreto armado biapoiada (Figura 1), submetida a duas forças concentradas P crescentes e de igual intensidade. A armadura é composta por armadura longitudinal, resistente às tensões de tração provenientes da flexão, e armadura transversal, dimensionada para resistir aos esforços cortantes, composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga.

A Figura 2a mostra as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão da viga ainda no estádio I. Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e de tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetórias das tensões são inclinadas devido à influência dos esforços cortantes.

Enquanto a resistência à tração do concreto é superior às tensões principais de tração, não surgem fissuras na viga. As primeiras fissuras de flexão só surgem na região de máximos momentos fletores, no instante que as tensões de tração atuantes igualam e superam a resistência do concreto à tração na flexão (Figura 2b). Para este nível de carregamento a viga apresenta trechos fissurados, no estádio II, e trechos não fissurados, no estádio I. Note que a direção ou inclinação das fissuras é aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração, ou seja, a inclinação das fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração.

Por esta razão, na região de flexão pura, as fissuras são verticais.

A Figura 2c mostra os diagramas de deformações e de tensões nas seções a e b da viga, nos estádios I e II, respectivamente. No estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo para o estádio II.

Com o carregamento num patamar superior começam a surgir fissuras inclinadas nas proximidades dos apoios, por influência das forças cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores. Essas fissuras inclinadas são chamadas de fissuras de cisalhamento (Figura 2d), que não é um termo adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de força cortante. Sugerimos fissura de “flexão com cortante”. Com carga elevada, a viga, em quase toda a sua extensão, apresenta-se no estádio II. Apenas nas proximidades dos apoios a viga permanece no estádio I.

Armadura Transversal (somente estribos)

Armadura Transversal (estribos e barras dobradas)

P

l

+ +

-

M

V P

Figura 1 – Viga biapoiada e diagramas de esforços solicitantes.

(LEONHARDT e MÖNNIG - 1982).

(6)

UNESP(Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos a

a

b

Estádio I Estádio II Estádio I

Seção a-a Seção b-b

εc

s

σc

s

εc c

s σt

= ecE c

< σct,f

tração compressão

a)

b)

c)

ε

σ

ε σ

b b

Estádio II Seção b-b

s c

s c= fc

> fy

d)

e)

ε

σ

Figura 2 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada.

(LEONHARDT e MÖNNIG - 1982).

No caso de uma viga bi-apoiada sob carregamento uniformemente distribuído, no estádio I, as tensões principais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam inclinação de 45° (ou 135°) em relação ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 3. Observe que nas regiões próximas aos apoios as trajetórias das tensões principais inclinam-se por influência das forças cortantes, mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as trajetórias.

(7)

UNESP(Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos +

- +

σII

σI

Direção de (tensões de tração) Direção de (tensões de compressão)

σI

σII

M

V x

Figura 3 - Trajetória das tensões principais de uma viga bi-apoiada no estádio I sob carregamento uniformemente distribuído (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tensão nos infinitos pontos que compõem a viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes, em função da orientação do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a Figura 4 mostra a representação dos estados de tensão em dois pontos da viga, conforme os eixos coordenados x-y e os eixos principais. O estado de tensão segundo os eixos x-y define as tensões normais σx, as tensões σy e as tensões de cisalhamento τxy e τyx. O estado de tensão segundo os eixos principais definem as tensões principais de tração σI e de compressão σII .

A tensão σ_y pode ser em geral desprezada, tendo importância apenas nos trechos próximos à introdução de cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente as tensões σx e τxy .

X y

X

y y = 0

x

X

y

( - ) ( + )

II

I ( - )

( + )

+ x y

yx

Figura 4 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos principais e aos eixos nas direções x e y (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

(8)

4. COMPARAÇÃO DOS DOMÍNIOS 2, 3 E 4

As deformações nos materiais componentes das vigas de concreto armado submetidas à flexão simples encontram-se nos domínios de deformações 2, 3 ou 4, conforme definidos na NBR 6118/03 (item 17.2.2). A análise das Figura 5 e Figura 6 permite fazer as seguintes considerações das vigas na flexão simples em relação aos domínios 2, 3 e 4:

a) Domínio 2

No domínio 2 a deformação de alongamento na armadura tracionada (εsd) é fixa e igual a 10 ‰, e a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida de concreto (εcd) varia entre zero e 3,5 ‰ (0 ≤ εcd ≤ 3,5 ‰). Sob a deformação de 10 ‰ a tensão na armadura corresponde à máxima permitida no aço (fyd), como se pode verificar no diagrama σ x ε do aço mostrado na Figura 6. No domínio 2, portanto, a armadura tracionada é econômica, isto é, a máxima tensão possível no aço pode ser implementada nessa armadura.

Na questão relativa à segurança, a ruptura, se vier a ocorrer, será chamada com “aviso prévio”, isto é, como a armadura continuará escoando além dos 10 ‰, a fissuração na viga será intensa e ocorrerá antes de uma possível ruptura por esmagamento do concreto na região comprimida. A intensa fissuração será visível e funcionará como um aviso aos usuários do comportamento inadequado da viga, alertando-os, de modo que sejam tomadas medidas visando a evacuação da construção, antes que uma possível ruptura possa vir a ocorrer.

As vigas dimensionadas no domínio 2 são, por vezes, chamadas subarmadas. Embora esse termo conste na NBR 6118/03 ele não será utilizado neste texto, pois é inadequado, dando a falsa idéia de que a seção tem armadura insuficiente. Na verdade, a seção no domínio 2 tem a área de armadura necessária, nem mais nem menos.

Conforme definido na Eq. 31 do item 9.9 da apostila de “Fundamentos do Concreto Armado” (BASTOS, 2006), o valor de x2lim é fixo e igual a 0,26d.

Superarmada Seção

x

B 3,5 ‰ 0

ε

0 A

10 ‰

2

3

4

Zona Útil

yd A_s

2lim

x3lim

Figura 5 – Diagrama de deformações dos domínios 2, 3 e 4.

(9)

Zona Útil

10 ‰

s

fyd

σ

s

ε

yd

ε

Seções Superarmadas

Figura 6 - Zonas de dimensionamento em função da deformação no aço.

b) Domínio 3

No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida corresponde ao valor último ou máximo, de 3,5 ‰. A deformação de alongamento na armadura tracionada varia entre εyd (deformação de início de escoamento do aço) e 10 ‰, o que significa que a armadura escoa de um certo valor. Verifica-se na Figura 6 que a tensão na armadura é a máxima permitida, igual a fyd, pois qualquer que seja a deformação entre εyd e 10 ‰ (zona útil), a tensão será fyd. Isso implica que, assim como no domínio 2, a armadura também é econômica no domínio 3.

Neste domínio, portanto, tanto o concreto como o aço são aproveitados ao máximo, ao contrário do domínio 2, onde o concreto tem deformações menores que a máxima de 3,5 ‰.

A ruptura no domínio 3 é também chamada com “aviso prévio”, pois a armadura, ao escoar, acarretará fissuras visíveis na viga, antes que o concreto possa romper-se por esmagamento

Quando a viga tem as deformações últimas de 3,5 ‰ no concreto e 10 ‰ na armadura alcançadas simultaneamente, costuma-se dizer que a seção é “normalmente armada”. A linha neutra coincide com o x2lim, e a seção está no limite entre os domínios 2 e 3.

Na Tabela 1 constam os valores da deformação de início de escoamento do aço (εyd), o limite da posição da linha neutra entre os domínios 3 e 4 (x3lim) e βx3lim , para os diferentes tipos de aço existentes para concreto armado.

Tabela 1 - Valores de εyd, x3lim e βx3lim em função da categoria do aço.

AÇO εyd (‰) x_3lim βx3lim

CA-25 laminado a quente 1,04 0,77 d 0,77 CA-50 laminado a quente 2,07 0,63 d 0,63 CA-60 trefilado a frio 2,48 0,59 d 0,59

c) Domínio 4

No domínio 4 a deformação de encurtamento na fibra mais comprimida está com o valor máximo de 3,5 ‰, e a armadura tracionada não está escoando, pois a sua deformação é menor que εyd. Neste caso, conforme se pode notar no diagrama σ x ε do aço mostrado na Figura 6, a tensão

(10)

na armadura é menor que a máxima permitida. A armadura resulta, portanto, anti-econômica, pois não aproveita a máxima capacidade do aço. Diz-se então que a armadura está “folgada” e a seção é chamada superarmada, como mostrado nas Figura 5 e Figura 6.

O projeto das vigas no domínio 4 deve ser evitado, pois além da questão da economia a ruptura será do tipo “frágil”, ou “sem aviso prévio”, onde o concreto rompe por compressão (εcd

> 3,5 ‰), causando o colapso da estrutura antes da intensa fissuração provocada pelo aumento do alongamento na armadura tracionada.

Como conclusão pode-se afirmar: “Não se deve projetar as vigas à flexão simples no domínio 4, e sim nos domínios 2 e 3, com preferência ao domínio 3 por ser mais econômico”.

5. HIPÓTESES DE CÁLCULO

Na determinação dos esforços resistentes de elementos fletidos, como vigas, lajes e pilares, são admitidas as seguintes hipóteses básicas (NBR 6118/03 item 17.2.2):

a) As seções transversais permanecem planas até a ruptura, com distribuição linear das deformações na seção;

b) A deformação em cada barra de aço é a mesma do concreto no seu entorno. Essa propriedade ocorre desde que haja aderência entre o concreto e a barra de aço;

c) No estado limite último (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistência do concreto à tração;

d) O encurtamento de ruptura convencional do concreto nas seções não inteiramente comprimidas é de 3,5 ‰ (domínios 3, 4 e 4a);

e) O alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 10 ‰, a fim de prevenir deformações plásticas excessivas;

f) A distribuição das tensões de compressão no concreto ocorre segundo o diagrama tensão- deformação parábola-retângulo. Porém, é permitida a substituição desse diagrama pelo retangular simplificado, com altura y = 0,8x, e a mesma tensão de compressão σcd, como mostrado na Figura 7.

h

3,5 ‰

2 ‰

x y = 0,8 x

σ

c

σ

c

LN

Figura 7 – Diagramas σ x ε parábola-retângulo e retangular simplificado para distribuição de tensões de compressão no concreto.

A tensão de compressão no concreto (σcd) é definida como:

f1) no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir da linha neutra em direção à borda comprimida (Figura 8), a tensão é:

c ck cd

cd

f 85 , f 0 85 ,

0 = γ

=

σ (Eq. 1)

(11)

LN

Figura 8 - Seções com tensão de compressão igual a 0,85 fcd .

f2) em caso contrário, isto é, quando a seção diminui (Figura 9), a tensão é:

c ck cd

cd

f 8 , f 0 8 ,

0 = γ

=

σ (Eq. 2)

LN

Figura 9 - Seções com tensão de compressão igual a 0,8 f_cd .

g) A tensão nas armaduras é a correspondente à deformação determinada de acordo com as hipóteses anteriores e obtida nos diagramas tensão-deformação do aço (ver Figura 6).

6. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma geométrica, na maioria dos casos da prática a seção é a retangular.

Define-se viga com armadura simples a seção que necessita apenas de uma armadura longitudinal resistente tracionada. No entanto, por questões construtivas são colocadas barras longitudinais também na região comprimida, para a amarração dos estribos, não sendo esta armadura considerada no cálculo de flexão como armadura resistente, ou seja, na seção com armadura simples as tensões de compressão são resistidas unicamente pelo concreto.

No item 7 será estudada a seção com armadura dupla, que é aquela que necessita também de uma armadura resistente comprimida, além da armadura tracionada.

Na seqüência serão deduzidas as equações válidas apenas para a seção retangular. As equações para outras formas geométricas da seção transversal podem ser deduzidas de modo semelhante à dedução seguinte.

6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

A formulação dos esforços internos resistentes da seção é feita com base nas equações de equilíbrio das forças normais e dos momentos fletores:

- ∑N=0

- 0∑M= (Eq. 9)

A Figura 10 mostra a seção transversal de uma viga sob flexão simples, de forma retangular e solicitada por momento fletor positivo, com largura b_w e altura h, armadura As e área

(12)

A’_c de concreto comprimido, delimitada pela linha neutra (LN). A linha neutra é demarcada pela distância x, contada a partir da fibra mais comprimida da seção transversal. A altura útil é d, considerada da fibra mais comprimida até o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada.

O diagrama de deformações ao longo da altura da seção, com as deformações notáveis εcd

(máxima deformação de encurtamento do concreto comprimido) e εsd (deformação de alongamento na armadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de compressão, com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes de tensão (Rcc e Rst) estão também mostrados na Figura 10.

As

h d

εsd ^{d - x}

R_st

bw

A'c

As

M Rcc

x ^{y = 0,8x}

LN

εcd

Rst

zcc

Rcc 0,85 fcd

σcd

Figura 10 – Distribuição de tensões e deformações em viga de seção retangular com armadura simples.

Para ilustrar melhor a forma de distribuição das tensões de compressão na seção, a Figura 11 mostra a seção transversal em perspectiva, com os diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado, como apresentados no item 5. O equacionamento apresentado a seguir será feito segundo o diagrama retangular simplificado, que conduz a equações mais simples e com resultados muito próximos àqueles obtidos com o diagrama parábola-retângulo.

z

0,4x 0,8x

0,85 f_cd

bw

R cc

As

x

cd

R cc

Rst

As

bw

x

LN LN

Rst

0,85 f

Figura 11 – Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado.

a) Equilíbrio de Forças Normais

Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a força resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a força resultante das tensões de tração na armadura A_s, como indicadas na Figura 10, pode-se escrever:

(13)

UNESP(Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos st

cc R

R = (Eq. 10)

Tomando da Resistência dos Materiais que A

= R

σ , a força resultante das tensões de compressão no concreto, considerando o diagrama retangular simplificado, pode ser escrita como:

c cd

cc A'

R =σ

Considerando a área de concreto comprimido (A’_c) correspondente ao diagrama retangular simplificado com altura 0,8 x fica:

w cd

cc 0,85f 0,8x b

R =

cd w cc 0,68b xf

R = (Eq. 11)

e a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada:

s sd

st A

R =σ (Eq. 12)

com σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada;

A_s = área de aço da armadura tracionada.

b) Equilíbrio de Momentos Fletores

Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante deve ser equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de cálculo, por simplicidade de notação ambos os momentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md, tal que:

Msolic = Mresist = Md

As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito:

Md = Rcc . zcc (Eq. 13)

Md = Rst . zcc (Eq. 14)

onde: Rcc . zcc = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido;

Rst . zcc = o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada.

Com zcc = d – 0,4x e aplicando a Eq. 11 na Eq. 13 fica:

(

^d ⁰^,⁴^x

)

f x b 68 , 0

M_d = _w _cd − (Eq. 15)

onde: bw = largura da seção;

x = posição da linha neutra;

fcd = resistência de cálculo do concreto à compressão;

d = altura útil.

(14)

M_d é definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. O valor de M_d deve ser considerado em valor absoluto na Eq. 15.

Substituindo a Eq. 12 na Eq. 14 define-se o momento interno resistente proporcionado pela armadura tracionada:

(

^d ⁰^,⁴^x

)

A

M_d =σ_sd _s − (Eq. 16)

Isolando a área de armadura tracionada:

(

^d^M⁰^,⁴^x

)

A

sd d

s= σ − (Eq. 17)

As Eq. 15 e 17 proporcionam o dimensionamento das seções retangulares com armadura simples. Nota-se que são sete as variáveis contidas nas duas equações, o que leva, portanto, na necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis. De modo geral, na prática fixam-se os materiais (concreto e aço) e a seção transversal, e o momento fletor solicitante geralmente é conhecido, ficando como incógnitas apenas a posição da linha neutra (x) e a área de armadura (As).

Com a Eq. 15 determina-se a posição x para a linha neutra, e comparando x com os valores x2lim e x3lim defini-se qual o domínio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domínios 2 ou 3 a tensão na armadura tracionada (σsd) é igual à máxima tensão possível, isto é, fyd (ver diagramas nas Figura 5 e Figura 6). Definidos x e σsd calcula-se a área de armadura tracionada (As) com a Eq. 17.

Se resultar o domínio 4, a seção deverá ser dimensionada com armadura dupla, como se verá no item 8. Caso não se queira dimensionar a viga com armadura dupla, alguma alteração deve ser feita de modo a tornar x ≤ x3lim , e resultar, como conseqüência, os domínios 2 ou 3.

Portanto, algum parâmetro deve ser alterado para diminuir o valor de x. Conforme a Eq. 15 verifica-se que para diminuir x pode-se:

- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md);

- aumentar a largura ou a altura da viga (> d);

- aumentar a resistência do concreto.

Dessas possibilidades, geralmente a mais viável de ser implementada na prática é o aumento da altura da viga (h). Senão, resta ainda estudar a possibilidade de fazer a armadura dupla.

No caso da seção transversal da viga for de apoio ou de ligação com outros elementos estruturais, há ainda outras considerações a serem feitas. Segundo a NBR 6118/03 (item 14.6.4.3),

“a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU.

Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade”. Com o intuito de melhorar a ductilidade das vigas nessas situações, a norma impõe que a posição da linha neutra deve obedecer aos seguintes limites:

a) βx = x/d ≤ 0,50 para concretos C35 ou de menor resistência (fck ≤ 35 MPa); ou

b) βx = x/d ≤ 0,40 para concretos superiores ao C35 (fck > 35 MPa). (Eq. 18) Com esses limites deseja-se aumentar a ductilidade das vigas, que é a sua capacidade de alcançar maior deformação até a ruptura.

(15)

c) Permanência da Seção Plana

Do diagrama de deformações mostrado na Figura 10 define-se a relação entre as deformações de cálculo na armadura (εsd) e no concreto correspondente à fibra mais comprimida:

x d

x

sd cd

= − ε

ε (Eq. 19)

Considerando-se a variável βx , que relaciona a posição da linha neutra com a altura útil d, tem-se:

d x

x =

β (Eq. 20)

Substituindo x por βx . d na Eq. 19 fica:

sd cd

cd

x ε +ε

= ε

β (Eq. 21)

6.2 CÁLCULO COM COEFICIENTES K

Com o intuito de facilitar o cálculo manual, há muitos anos vem se ensinando no Brasil a utilização de tabelas com coeficientes K. Para diferentes posições da linha neutra, expressa pela relação βx = x/d, são tabelados coeficientes Kc e Ks, relativos à resistência do concreto e à tensão na armadura tracionada. Os coeficientes K_c e K_s encontram-se apresentados nas Tabela A-1 e Tabela A-2, constantes do Anexo no final desta apostila. A Tabela A-1 é para apenas o aço CA-50 e a Tabela A-2 é para todos os tipos de aço para Concreto Armado.

Considerando a Eq. 15, M_d =0,68b_w xf_cd

(

d−0,4x

)

, substituindo x por βx .d encontram- se: M_d =0,68b_wβ_xdf_cd

(

d−0,4β_x d

)

(

_x

)

cd 2 x w

d 0,68b d f 1 0,4

M = β − β

Introduzindo o coeficiente K_c:

c 2 w

d K

d M =b

com _x _cd

(

_x

)

c

4 , 0 1 f 68 , K 0

1 = β − β (Eq. 22)

Isolando o coeficiente Kc tem-se:

d 2 w

c M

d

K =b (Eq. 23)

O coeficiente K_c está apresentado na Tabela A-1. Observe na Eq. 22 que K_c depende da resistência do concreto à compressão (f_cd) e da posição da linha neutra, expressa pela variável βx.

(16)

O coeficiente tabelado Ks é definido substituindo-se x por βx . d na Eq. 17:

(

d 0,4x

)

A M

sd d

s =σ − ⇒

(

¹ ^M⁰^,⁴

)

^d

A

x sd

d

s =σ − β

com ^s _sd

(

1 0,4 _x

)

K 1

β

−

=σ (Eq. 24)

a área de armadura tracionada As, em função do coeficiente Ks é:

d K M

A_s = _s ^d (Eq. 25)

O coeficiente K_s está apresentado na Tabela A-1. Observe que K_s depende da tensão na armadura tracionada (σsd) e da posição da linha neutra, expressa por βx.

6.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS

As vigas têm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: de dimensionamento e de verificação. Os três primeiros exemplos apresentados são de dimensionamento e os dois últimos são de verificação.

O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessária para uma viga, sendo previamente conhecidos: os materiais, a seção transversal e o momento fletor solicitante.

Esse tipo de cálculo normalmente é feito durante a fase de projeto das estruturas, para a sua futura construção.

Nos problemas de verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a seção pode resistir. Problemas de verificação normalmente ocorrem quando a viga pertence a uma construção já executada e em utilização, e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga.

Para isso é necessário conhecer os materiais que compõem a viga, como a classe do concreto (fck), o tipo de aço, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seção transversal, as dimensões da seção transversal, etc.

Na grande maioria dos casos da prática os problemas são de dimensionamento, e esporadicamente ocorrem os problemas de verificação e, por este motivo, será dada maior ênfase aos problemas de dimensionamento.

Após o estudo dos exemplos seguintes o aluno deve fazer os exercícios propostos no item 10.

1º) Para uma viga que tem ligação com outros elementos estruturais (Figura 12), calcular para o momento fletor máximo: a área de armadura longitudinal de flexão e as deformações na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexão tracionada. São conhecidos:

Mk,máx = 10.000 kN.cm h = 50 cm

γc = γf = 1,4 ; γs= 1,15 bw = 20 cm

concreto C20 (fck = 20 MPa) d = 47 cm (altura útil)

aço CA-50 c = 2,0 cm (cobrimento nominal)

φt = 5 mm (diâmetro do estribo) concreto com brita 1 (dmáx = 19 mm)

(17)

UNESP(Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos M_k,máx

A

lef

bw

20 cm

h = 50 cm

Figura 12 - Viga bi-apoiada.

RESOLUÇÃO

O problema é de dimensionamento, aquele que mais ocorre no dia a dia do engenheiro estrutural. A incógnita principal é a área de armadura tracionada (As), além da posição da linha neutra, dada pela variável x, que deve ser determinada primeiramente. A resolução será feita segundo as equações teóricas deduzidas do equilíbrio da seção (Eq. 15 e 17), e também com aplicação das equações com coeficientes tabelados K.

O momento fletor de cálculo é:

kN.cmM_d =γ_f.M_k =1,4.10000=14.000

com γf o coeficiente de segurança que majora os esforços solicitantes.

O valor que delimita os domínios 2 e 3 é dado por x2lim, definido na Eq. 30 da apostila de

“Fundamentos do Concreto Armado” (BASTOS, 2006), sendo x2lim fixo e igual a 0,26d:

cm 2 , 12 47 . 26 , 0 d 26 , 0

x₂_lim = = =

A delimitação entre os domínios 3 e 4 é dada por x3lim. Para o aço CA-50, conforme a Tabela A-1, x3lim é:

x3lim = 0,63 d = 0,63 . 47 = 29,6 cm a) Resolução com as Equações Teóricas

Com a Eq. 15 determina-se a posição (x) da linha neutra para a seção:

(

d 0,4x

)

f x b 68 , 0

M_d = _w _cd − →

(

47 0,4x

)

4 , 1

0 , x2 20 . 68 , 0

14000= −

0 8 , 1801 x

5 , 117

x²− + = →

⎩⎨

⎧

=

cm 1 , 18 x

cm 4 , 99 x

2 1

A primeira raiz não interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm. Portanto, x = 18,1 cm, como mostrado na Figura 13. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posição da linha neutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida.

Observe que as unidades adotadas para as variáveis da Eq. 15 foram o kN e o cm. Se outras unidades diferentes forem adotadas deve-se tomar o cuidado de mantê-las em todas as variáveis.

É importante observar que o momento fletor deve ser colocado na equação com o seu valor absoluto. O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga, e para resistir a ele é

(18)

colocada uma armadura longitudinal chamada “armadura positiva”. No caso de momento fletor negativo é colocada a “armadura negativa”, próxima à borda superior da viga.

Comparando a posição da linha neutra (x) com os limites x_2lim e x_3lim determina-se o domínio em que a viga se encontra:

cmx₂_lim =12,2cm<x=18,1cm<x₃_lim =29,6

Como a seção não é de apoio ou de ligação com outro elemento estrutural, o limite x/d ≤ 0,5 (para concretos até o C35 como neste exemplo) não necessita ser atendido.

Como a linha neutra está no intervalo entre x_2lim e x_3lim, conforme a Figura 13, verifica-se que a viga está no domínio 3. Neste domínio a deformação na armadura varia de εyd (início de escoamento do aço) a 10 ‰ (ver Figura 5). Conforme o diagrama σ x ε do aço (Figura 6), a tensão nesta faixa de deformação é σsd = fyd = fyk/γs (para o aço CA-50, fyk = 50 kN/cm² = 500 MPa). A área de armadura é calculada pela Eq. 17:

(

^d^M⁰^,⁴^x

)

A

sd d

s =σ − →

(

⁴⁷ ⁰^,⁴^.¹⁸^,¹

)

⁸^,¹⁰

15 , 1

50

14000

A_s =

−

= cm²

50 47

x = 12,22lim

x = 29,6

As LN

20

3lim

x = 18,1

Figura 13 - Posição da linha neutra na seção transversal e limites entre os domínios 2, 3 e 4.

b) Resolução com Equações com Coeficientes K

Nas equações do tipo K devem ser obrigatoriamente consideradas as unidades de kN e cm para as variáveis. Primeiramente deve-se determinar o coeficiente Kc (Eq. 23):

d 2 w

c M

d

K = b = 3,2

14000 47 20⋅ ² =

com Kc = 3,2, concreto C20 e aço CA-50, na Tabela A-1 determinam-se os coeficientes βx = 0,38, Ks = 0,027 e domínio 3.

A posição da linha neutra fica determinada pela Eq. 20:

⇒

= β d

x

x x = β_x . d = 0,38 . 47 = 17,9 cm A área de armadura (Eq. 25) resulta:

(19)

d K M

A_s = _s ^d = 8,04

47 14000 027 ,

0 = cm²

Comparando os resultados obtidos segundo as duas formulações verifica-se que os valores são muito próximos.

c) Detalhamento da armadura na seção transversal

Inicialmente deve-se comparar a armadura calculada (As = 8,10 cm²) com a armadura mínima longitudinal prescrita pela NBR 6118/03. Conforme a Tabela 2, para concreto C20 e seção retangular, pode-se considerar a armadura mínima de flexão como:

As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm²

Verifica-se que a armadura calculada de 8,10 cm² é maior que a armadura mínima.

Quando a armadura calculada for menor que a armadura mínima, deve ser disposta a área da armadura mínima na seção transversal da viga.

A escolha do diâmetro ou dos diâmetros e do número de barras para atender à área de armadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais diâmetros podem ser escolhidos, preferencialmente diâmetros próximos entre si. A área de aço escolhida deve atender à área de armadura calculada, preferencialmente com uma pequena folga, mas segundo sugestão do autor admite-se uma área até 5 % inferior à calculada.

O número de barras deve ser aquele que não resulte numa fissuração significativa na viga e nem dificuldades adicionais durante a confecção da armadura. A fissuração é diminuída quanto mais barras finas são utilizadas. Porém, deve-se cuidar para não ocorrer exageros.

Para a área de armadura calculada neste exemplo, de 8,10 cm², com auxílio das Tabela A- 3 e Tabela A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinações:

- 16 φ 8 mm = 8,00 cm²; - 10 φ 10 mm = 8,00 cm²; - 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm²; - 4 φ 16 mm = 8,00 cm²;

- 3 φ 16 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,50 cm²; - 3 φ 20 mm = 9,45 cm²;

- 2 φ 20 mm + 1 φ 16 mm = 8,30 cm²; - 2 φ 20 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,80 cm².

Outras combinações de número de barras e de diâmetros podem ser enumeradas. A escolha de uma das combinações listadas deve levar em conta os fatores: fissuração, facilidade de execução, porte da obra, número de camadas de barras, exeqüibilidade (largura da viga principalmente), entre outros.

Detalhamentos com uma única camada resultam seções mais resistentes que seções com duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura à borda tracionada, maior será a resistência da seção. Define-se como camada as barras que estão numa mesma linha paralela à linha de borda da seção. O menor número possível de camadas deve ser um dos objetivos do detalhamento.

Das combinações listadas, 16 φ 8 e 10 φ 10 devem ser descartadas porque o número de barras é excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador (operário responsável pela confecção das armaduras nas construções). Por outro lado, as três últimas combinações, com o diâmetro de 20 mm, têm um número pequeno de barras, não sendo o ideal para a fissuração, além do fato da barra de 20 mm representar maiores dificuldades no seu manuseio, confecção de ganchos, etc.

Entre todas as combinações, as melhores alternativas são 7 φ 12,5 e 4 φ 16 mm, sendo esta última

(20)

pior para a fissuração, mas que certamente ficará dentro de valores máximos recomendados pela NBR 6118/03. O estudo da fissuração nas vigas será apresentado na disciplina 1365 – Estruturas de Concreto IV.

Na escolha entre 7 φ 12,5 e 4 φ 16 mm deve-se também atentar para o porte da obra.

Construções de pequeno porte devem ter especificados diâmetros preferencialmente até 12,5 mm, pois a maioria delas não têm máquinas elétricas de corte de barras, onde são cortadas com serras ou guilhotinas manuais, com capacidade de corte de barras até 12,5 mm. Guilhotinas maiores são praticamente inexistentes nas obras de pequeno porte. Além disso, as armaduras são feitas por pedreiros e ajudantes e não armadores profissionais. Não há também bancadas de trabalho adequadas para o dobramento das barras. De modo que recomendamos diâmetros de até 12,5 mm para as obras de pequeno porte, e acima de 12,5 mm apenas para as obras de maior porte, com trabalho de armadores profissionais.

Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, é extremamente importante que a armadura A_s calculada seja disposta na posição correta da viga, isto é, nas proximidades da borda sob tensões de tração, que no caso em questão é a borda inferior. Um erro de posicionamento da armadura, como as barras serem colocadas na borda superior, pode resultar no sério comprometimento da viga em serviço, podendo-a levar inclusive ao colapso imediatamente à retirada dos escoramentos.

A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de “bicheira”. Para isso, conforme apresentado no item 6.3 (Eq. 7), o espaçamento livre horizontal mínimo entre as barras é dado por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ φ

≥

agr máx, mín

, h

d 2 , 1

cm 2

e _l

Quando as barras de uma mesma camada têm diâmetros diferentes, a verificação do espaçamento livre mínimo (eh,mín) entre as barras deve ser feita aplicando-se a Eq. 7 acima. Por outro lado, quando as barras da camada têm o mesmo diâmetro, a verificação pode ser feita com auxílio da Tabela A-4, que mostra a “Largura bw mínima” para um dado cobrimento nominal (c).

Determina-se a largura mínima na intersecção entre a coluna e a linha da tabela, correspondente ao número de barras da camada e o diâmetro das barras, respectivamente. O valor para a largura de bw mínimo depende do diâmetro máximo da brita de maior dimensão utilizada no concreto.

A Figura 14 mostra o detalhamento da armadura na seção transversal da viga, onde foi adotada a combinação 4 φ 16 mm (a combinação 7 φ 12,5 mm deve ser feita como atividade do aluno). Para 4 φ 16 mm, na Tabela A-4 encontra-se a largura mínima de 19 cm para concreto com brita 1 e cobrimento de 2,0 cm. Como a largura da viga é 20 cm, maior que a largura mínima, é possível alojar as quatro barras numa única camada, atendendo ao espaçamento livre mínimo.

Além da armadura tracionada As devem ser dispostas também no mínimo duas barras na borda superior da seção, barras construtivas chamadas “porta-estribos”, que servem para a amarração dos estribos da viga. Armaduras construtivas são muito comuns nos elementos estruturais de concreto armado, auxiliam na confecção e montagem das armaduras e colaboram com a resistência da peça, embora não sejam levadas em conta nos cálculos.

A distância a, medida entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a fibra mais tracionada da seção transversal, neste caso é dada pela soma do cobrimento, do diâmetro do estribo e metade do diâmetro da armadura:

a = 2,0 + 0,5 + 1,6/2 = 3,3 cm

(21)

A altura útil d, definida como a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada à fibra mais comprimida da seção transversal, conforme o detalhamento da Figura 14 é:

d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm

O valor inicialmente adotado para a altura útil d foi 47 cm. Existe, portanto, uma pequena diferença de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em função do detalhamento escolhido. Pequenas diferenças, de até 1cm ou 2 cm podem, de modo geral, serem desconsideradas em vigas de dimensões correntes, não havendo a necessidade de se recalcular a armadura, pois a diferença de armadura geralmente é pequena.

50 d

a 20

4Ø16 (8,00 cm²)

Figura 14 – Detalhamento da armadura longitudinal As na seção transversal.

d) Deformações na fibra mais comprimida (concreto) e na armadura tracionada

No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra de concreto mais comprimida é fixa e igual a 3,5 ‰. A deformação na armadura As varia de εyd (2,07 ‰ para o aço CA-50) a 10 ‰, podendo ser calculada pela Eq. 19. Considerando d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm:

x d

x

sd

cd = −

ε

ε ⇒

1 , 18 7 , 46

1 , 18 5

, 3

sd = −

ε → ε_sd = 5,5 ‰

A Figura 15 ilustra as deformações nos materiais e os domínios 2 e 3 de deformação.

(22)

ε

⁼

10 ‰ yd 0

3,5 ‰ 0

5,5 ‰

x _2lim

x 3lim

2,07 ‰

2

3

4

x = 18,1 cm LN

ε

cd

d

Figura 15 – Diagrama de domínios e deformações no concreto comprimido e na armadura tracionada.

2º) Calcular a altura útil (d) e a armadura longitudinal de flexão (A_s), para o máximo momento fletor positivo da viga de seção retangular, mostrada na Figura 16. Dados:

concreto C25 φt = 5 mm (diâmetro do estribo)

aço CA-50 c = 2,5 cm

b_w = 20 cm concreto com brita 1

Mk,máx = 12.570 kN.cm γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15

M = 12.570 kN.cmk,máx

Figura 16 – Esquema estático e diagrama de momentos fletores.

RESOLUÇÃO

Como a altura da viga não está fixada, dado que a altura útil d é uma incógnita, o problema admite infinitas soluções, tanto no domínio 2 como no domínio 3. No domínio 4 não se admite o dimensionamento, como já explicado.

O problema é resolvido fixando-se a posição da linha neutra, isto é, adotando-se um valor para x, e para cada x adotado resulta um par d / As.

A posição da linha neutra pode se estender até o limite entre os domínios 3 e 4, isto é, a posição da linha neutra (x) pode variar de zero a x3lim. Com o objetivo de mostrar duas soluções entre as infinitas existentes, o exemplo será resolvido com a posição da linha neutra fixada em

(23)

duas diferentes posições: no limite entre os domínios 2 e 3 (x = x_2lim) e 3 e 4 (x = x_3lim) – ver Figura 5.

Ambas as soluções visam dimensionar a viga com armadura simples, pois outras soluções possíveis com armadura dupla não serão apresentadas neste exemplo.

A resolução do exercício será feita segundo as equações do tipo K, ficando a resolução pelas equações teóricas como tarefa para o aluno. O cálculo pelas equações teóricas (Eq. 15 e 17) faz-se arbitrando valores para x (x_2lim e x_3lim por exemplo) na Eq. 15, donde obtém-se um valor correspondente para d. A área de armadura é calculada então com a Eq. 17, tendo todas as suas variáveis conhecidas.

O momento fletor de cálculo é:

kN.cmM_d =γ_fM_k =1,4.12570=17.598 a) Linha neutra passando por x_2lim

Com a linha neutra em x_2lim implica que β_x = β_x2lim = 0,26 (ver Eq. 31 no item 10.9 da apostila “Fundamentos do Concreto Armado”, de BASTOS, 2006). Com βx = 0,26, na Tabela A-1 para concreto C25 e aço CA-50 encontram-se:

⎩⎨

⎧

=

= 026 , 0 K

5 , 3 K

s c

Com a Eq. 23 calcula-se a altura útil d:

d 2 w

c M

d

K = b ⇒ 55,5cm

20 17598 . 5 , 3 b

M d K

w d

c = =

=

A área de armadura As (Eq. 25) resulta:

d 2 s

s 8,24cm

5 , 55 17598 026 , d 0 K M

A = = =

Um arranjo possível de barras para a área calculada é 3 φ 16 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,50 cm². Há várias outras combinações ou arranjos possíveis.

A posição da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 20:

cm 4 , 14 5 , 55 . 26 , 0 d x

x d x

lim 2 x lim 2

x = → = =β = =

β

A Figura 17 mostra a posição da linha neutra, os domínios e o diagrama de deformações para a seção em análise. Observe que, com a linha neutra passando por x2lim, a deformação de encurtamento no concreto comprimido (εcd) é igual a 3,5 ‰, e a deformação de alongamento na armadura (εsd) é igual a 10,0 ‰, ambas iguais aos máximos valores permitidos pela NBR 6118/03.

(24)

10 ‰ εyd

x 2lim

0 3,5 ‰

x = 14,4_2lim

ε = 3,5 ‰_cd

εsd

A_s LN

As

20 55,5

2

3

A'c

h

Figura 17 – Diagrama de domínios e deformações nos materiais com a linha neutra passando em x_2lim .

A Figura 18 mostra o detalhamento da armadura na seção transversal. Como já observado no exercício anterior, é extremamente importante posicionar corretamente a armadura A_s, dispondo-a próxima à face tracionada da seção, que neste caso é a face inferior, pois a viga está solicitada por momento fletor positivo.

Inicialmente, deve-se tentar colocar as cinco barras na primeira camada, próxima à borda tracionada. Como foram escolhidos dois diâmetros diferentes para a armadura não é possível utilizar a Tabela A-4 para verificar a possibilidade de alojar as cinco barras numa única camada.

Neste caso, a verificação deve ser feita comparando o espaçamento livre existente entre as barras com o espaçamento mínimo preconizado pela NBR 6118/03.

Considerando a barra de maior diâmetro e concreto com brita 1 (dmáx,agr = 19 mm), o espaçamento mínimo entre as barras, conforme a Eq. 7 é:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⋅

=

= φ

≥

cm 3 , 2 9 , 1 2 , 1 d

2 , 1

cm 6 , 1 cm 2 e

agr , máx mín

,

h _l ∴ eh,mín = 2,3 cm

O espaçamento livre existente entre as barras, considerando as cinco barras numa única camada é:

( )

[ ]

7 , 4 1

6 , 1 . 3 25 , 1 5 , 0 5 , 2 2

e_h 20− + + + =

= cm

Como e_h = 1,7 < e_h,mín = 2,3 cm, as cinco barras não podem ser alojadas numa única camada. Como uma segunda tentativa uma barra φ 12,5 deve ser deslocada para a segunda camada (acima da primeira), o que resulta para e_h:

( )

[ ]

7 , 3 2

25 , 1 6 , 1 . 3 5 , 0 5 , 2 2

e_h =20− + + + = cm

Como eh = 2,7 > eh,mín = 2,3 cm, as quatro barras podem ser alojadas na primeira camada.

A barra φ 12,5 da segunda camada fica amarrada num dos ramos verticais dos estribos.

(25)

x = x = 14,4

55,5 60

20

3 Ø 16 a

2 Ø 12,5

e = 2,7h

c LN

2lim

1ª cam.

Figura 18 – Detalhamento da armadura na seção transversal e posição da linha neutra em x = x_2lim.

Não há a necessidade de determinar a posição exata do centro de gravidade da armadura A_s, a posição aproximada é suficiente, não conduzindo a erro significativo. No exemplo, o centro de gravidade pode ser tomado na linha que passa pela face superior das barras φ 16 mm.

A distância (a) entre o centro de gravidade (CG) da armadura longitudinal tracionada (As) à fibra mais tracionada da seção neste caso é:

a = c + φ_t + φ_l/2 = 2,5 + 0,5 + 1,6 = 4,6 cm

A altura da viga é a soma da altura útil d com a distância a:

h = d + a = 55,5 + 4,6 = 60,1 cm ≈ 60 cm

Para as vigas recomenda-se adotar alturas com valores múltiplos de 5 cm ou 10 cm.

A armadura mínima de flexão, conforme a Tabela 2, é:

h b

% 15 , 0

A_s_,_mín = _w

2 mín

,

s 0,0015 20 60 1,80cm

A = ⋅ ⋅ =

As = 8,24 cm² > As,mín = 1,80 cm² → dispor a armadura calculada.

b) Linha neutra passando por x_3lim

Com a linha neutra em x_3lim implica que βx = βx3lim = 0,63 (ver Tabela 13 na apostila

“Fundamentos do Concreto Armado”, de BASTOS, 2006). Com βx = 0,63, na Tabela A-1 para concreto C25 e aço CA-50, encontram-se:

⎩⎨

⎧

=

= 031 , 0 K

7 , 1 K

s c

(26)

Com a Eq. 23 calcula-se a altura útil d:

d 2 w

c M

d

K = b ⇒ 38,7cm

20 17598 . 7 , 1 b

M d K

w d

c = =

=

A área de armadura A_s (Eq. 25) resulta:

d 2 s

s 14,10cm

7 , 38 17598 031 , d 0 K M

A = = =

Um arranjo de barras é composto por 7 φ 16 mm = 14,00 cm². Outros arranjos podem ser utilizados.

A posição da linha neutra (x) pode ser obtida com a Eq. 20:

cm 4 , 24 7 , 38 . 63 , 0 d x

x d

x

lim 3 x lim 3

x = → = =β = =

β

A Figura 19 mostra a posição da linha neutra, os domínios e o diagrama de deformações para a seção em análise. Observe que, com a linha neutra passando por x_3lim, a deformação de encurtamento no concreto comprimido (εcd) é igual a 3,5 ‰, e a deformação de alongamento na armadura (εsd) é igual a εyd, igual a 2,07 ‰ para o aço CA-50 (ver Tabela 1).

10 ‰ εyd

As

x _3lim

εsd

3,5 ‰

LN 0

B

24,4

x 3lim

ε = 3,5 ‰_cd

20 As

38,7

A'c

h

2 3

Figura 19 – Diagrama de domínios e deformações nos materiais com a linha neutra passando em x_3lim .

Na distribuição das sete barras φ 16 mm na seção transversal pode-se fazer uso Tabela A- 4, para se determinar quantas camadas de barras são necessárias. O intuito é de alojar o maior número de barras numa primeira camada. Na Tabela A-4 verifica-se que a largura b_w mínima necessária para alojar 7 φ 16 mm é de 31 cm, maior que a largura existente, de 20 cm, não sendo possível, portanto, alojar as sete barras. Cinco barras também não podem, já que b_w,mín = 23 cm supera a largura existente. Mas quatro barras podem ser alojadas numa única camada, como mostrado na Tabela A-4, a largura b_w,mín de 20 cm é igual à largura da viga.

As três outras barras restantes devem ser dispostas numa segunda camada, posicionadas com o espaçamento livre mínimo (e_v,mín) relativo à face superior das barras da primeira camada.

Duas das três barras são amarradas nos ramos verticais dos estribos, e a terceira barra pode ser colocada no meio, apoiada em pequenos segmentos de barra de aço com diâmetro idêntico ao do estribo, como mostrado na Figura 20.

(27)

O espaçamento livre mínimo vertical entre as barras, conforme a Eq. 8 é:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⋅

=

= φ

≥

cm 0 , 1 9 , 1 5 , 0 d

5 , 0

cm 6 , 1 cm 2 e

agr , máx mín

,

v l ∴ ev,mín = 2,0 cm

De modo geral, o espaçamento livre entre camadas resulta igual a 2,0 cm.

C.G.

20 43,8 38,7

3 lim

x = x = 24,4 A'_c

a

3 Ø 16

4 Ø 16

e_v

Øt

c

0,5

Figura 20 – Detalhamento da armadura na seção transversal e posição da linha neutra em x = x3lim.

Adotando-se a posição do centro de gravidade da armadura de forma aproximada, numa linha passando a 0,5 cm acima da superfície superior das barras φ 16 mm da primeira camada, a distância a (distância do centro de gravidade – CG - da armadura longitudinal tracionada (As) à fibra mais tracionada da seção) é:

a = 2,5 + 0,5 + 1,6 + 0,5 = 5,1 cm Para a altura da viga resulta:

h = d + a = 38,7 + 5,1 = 43,8 cm

A altura calculada para a viga, de 43,8 cm não é uma medida padrão de execução na prática das construções. É comum adotarem alturas múltiplas de 5 cm ou 10 cm para as vigas, o que levaria à altura de 45 cm.

a3) Comparação dos resultados

Os cálculos efetuados com a linha neutra fixada em x_2lim e x_3lim forneceram as soluções:

a) x_2lim: h = 60 cm , A_s = 8,24 cm²;