OTIMIZAÇÃO DA COLETA DE RESÍDUOS SÓLIDOS DOMICILIARES NO MUNICÍPIO DE MARAU/RS: COLETA PORTA A PORTA

OTIMIZAÇÃO DA COLETA DE RESÍDUOS SÓLIDOS DOMICILIARES NO MUNICÍPIO DE MARAU/RS: COLETA PORTA A PORTA

Moacir Kripka

Universidade de Passo Fundo, Faculdade de Engenharia e Arquitetura Campus I - Bairro São José, 99001-970 – Passo Fundo, RS

mkripka@upf.br Fábio Roberto Barão

Universidade de Passo Fundo, Faculdade de Ciências Econômicas, Adm. e Contábeis Campus I - Bairro São José, 99001-970 – Passo Fundo, RS

fbarao@upf.br

Rosana Maria Luvezute Kripka

Universidade de Passo Fundo, Instituto de Ciências Exatas e Geociências Campus I - Bairro São José, 99001-970 – Passo Fundo, RS

rkripka@upf.br Clóvia Marozzin Mistura

Universidade de Passo Fundo, Instituto de Ciências Exatas e Geociências Campus I - Bairro São José, 99001-970 – Passo Fundo, RS

clovia@upf.br

RESUMO

O Município de Marau, no Rio Grande do Sul, possui uma ampla rede de coleta de resíduos sólidos. Atualmente, a totalidade do Município é atendida por essa rede, composta pela coleta porta-a-porta na zona urbana (tanto lixo comum como coleta seletiva), e pela coleta seletiva efetuada em pontos pré-determinados na zona rural. Com o objetivo de reduzir os custos, tanto econômicos como ambientais, envolvidos no processo de coleta e destinação desses resíduos, técnicas de pesquisa operacional foram aplicadas na determinação dos roteiros a serem seguidos pelos veículos coletores. No presente trabalho são apresentados os estudos relacionados à otimização da coleta porta a porta na zona urbana. Os resultados obtidos permitiram ao poder público uma melhor previsão dos custos relacionados à coleta, bem como uma significativa redução no percurso usualmente efetuado.

PALAVRAS CHAVE. Aplicações a logística e transportes. Coleta de lixo. Problema do Carteiro Chinês.

ABSTRACT

The city of Marau, located in the northern part of Rio Grande do Sul State, counts with a broad network of solid waste collection. Nowadays, the entire area of the city is covered by this network, with door-to-door collection in the urban area (both regular as selective collection) and with selective collection in pre-determined points in the rural area. Aiming the reduction of the operational costs, both economical as environmental, of this management activity, operations research techniques were applied in order to determine the routes to be filled by the vehicles used for the collection. This paper shows studies related to optimization of the door-to-door collection in the urban portion of the city. The results gathered allowed the municipality a better forecast on its expenditures with waste collection as well as shorted considerably the distance previously ran by those same vehicles.

1. INTRODUÇÃO

Serviços do setor público tais como varredura de ruas, coleta de lixo e entrega de correspondência, entre outros, são realizados a partir da utilização de recursos humanos em grande escala, visto que, para a execução dessas tarefas, é necessário haver a percorrida integral ao longo dos trechos trabalhados (SMIDERLE, 2001). Especificamente no que diz respeito à coleta de resíduos sólidos, o montante de recursos envolvido é bastante significativo, uma vez que implica não apenas no percurso efetuado por homens à pé e pelo veículo coletor, como também no deslocamento desse veículo até o local de destinação dos resíduos. A título de ilustração, na zona urbana de Porto Alegre, 50 veículos são empregados na coleta, efetuada ao longo de 130 rotas pré-determinadas e resultando num percurso médio de 29,5 quilômetros por veículo (HOFMEISTER, 2009).

Em função do exposto, e com o objetivo de reduzir os custos tanto econômicos como ambientais envolvidos no processo de coleta e destinação de resíduos, a aplicação de técnicas de pesquisa operacional é de grande importância para a determinação de roteiros a serem executados pelos veículos coletores.

O presente trabalho apresenta alguns dos resultados obtidos para a definição de um sistema otimizado de coleta no Município de Marau. Situada na região noroeste do estado do Rio Grande do Sul, Marau conta com uma população de cerca de 36 mil habitantes. Ao contrário da imensa maioria dos municípios brasileiros, Marau é atendida por uma ampla rede de coleta de resíduos sólidos, composta pela coleta porta a porta na zona urbana (tanto lixo comum como coleta seletiva), e pela coleta seletiva na zona rural (efetuada em pontos pré-determinados). Para efeito de operação na zona urbana, esta foi subdividida por técnicos do Departamento de Meio Ambiente em seis regiões ou zonas menores. Dentro dessas regiões, no entanto, a definição do roteiro a ser cumprido pelos veículos coletores ficava a cargo de empresa terceirizada. Também a zona rural, devido à sua extensão, era subdividida em regiões, num total de nove.

Com o objetivo de minimizar os custos envolvidos no processo de coleta dos resíduos sólidos, subsidiando a Prefeitura do Município com informações relativas às distâncias mínimas a serem percorridas nas tarefas relacionadas, foram propostas as seguintes atividades:

-Determinação, para cada região da zona urbana, do roteiro ótimo para a coleta porta a porta;

-Determinação, para cada região da zona rural, do roteiro ótimo para coleta nos pontos pré-definidos;

-Proposição de uma nova forma de agrupamento dos pontos de coleta, tanto na zona urbana como na zona rural, em regiões que minimizem o percurso total dos veículos coletores.

No presente trabalho são apresentados apenas os estudos relacionados à primeira atividade proposta, qual seja, a otimização da coleta porta a porta na zona urbana. A coleta de lixo porta a porta de uma cidade utilizando caminhões pode ser considerado um problema de cobertura de arcos, no qual ruas representam os arcos, os cruzamentos de ruas correspondem aos nós e a área de influência constitui o grafo completo. Para uma dada região, os caminhões têm de percorrer todas as ruas de sua área de influência, coletando o lixo das casas de modo a percorrer a menor distância total. Como esses veículos devem obedecer às regras de trânsito, e as ruas podem ter sentido único ou mão dupla, o grafo pode ser considerado orientado, não orientado ou misto, no que tange ao sentido dos arcos.

No item seguinte deste trabalho são apresentados de forma sucinta os fundamentos do problema de cobertura de arcos, conhecido como Problema do Carteiro Chinês (Chinese Postman Problem, ou CPP). Na sequência, descrevem-se as características do problema específico abordado, bem como os resultados obtidos. O trabalho é finalizado com as conclusões e considerações gerais.

2. O PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS

Dentre os principais problemas de cobertura de arcos conhecidos na literatura, destaca-se o Problema do Carteiro Chinês que, de acordo com a natureza da rede, classifica-se em: Problema do Carteiro Chinês Não Direcionado (quando não são levadas em consideração as regras de trânsito na composição da rede ou todas as ruas são consideradas de mão dupla), o Problema do Carteiro Chinês Direcionado (quando todos os arcos da rede seguem um único sentido, ou seja, todas as ruas são consideradas de mão única) e o Problema do Carteiro Chinês Misto (ambas as situações).

Dessa forma, pode-se definir o Problema do Carteiro Chinês Misto tomando-se um vértice i

 V, onde di

- (grau de entrada) representará o número de arcos que entram em i, di

+ (grau de saída) representará o número de arcos que deixam i e di (grau) o número de arcos e arestas incidentes em i.

Uma condição que deve ser ressaltada para o Problema do Carteiro Chinês é a de que o grafo que representa a rede devera ser euleriano, ou seja, um grafo conectado onde exista um caminho contendo cada arco exatamente uma vez e cada vértice ao menos uma vez. Esse grafo euleriano só existirá se todos os vértices do grafo forem de grau par, ou seja, estiverem conectados a um número par de arestas.

Portanto, ao considerar-se então um dado grafo G fortemente conectado, com custos não negativos associados a seus arcos, o Problema do Carteiro Chinês consiste em encontrar uma rota de custo mínimo (caminho fechado) atravessando, ao menos uma vez, todo arco ou aresta de G.

Se um grafo G (direcionado, não direcionado ou misto) for euleriano, tem-se então que existe uma rota passando por cada ligação de G exatamente uma vez. Obviamente, esta rota será ótima e poderá ser facilmente encontrada, podendo neste caso o próprio G ser considerado uma resposta para o Problema do Carteiro Chinês. Por outro lado, se um grafo não é euleriano, o Problema do Carteiro Chinês passa a ser formulado como um problema cujo objetivo é encontrar um conjunto de cópias de ligações com o menor custo, tal que, quando adicionadas à G um grafo euleriano seja obtido. Esse conjunto de ligações entre pares de vértices é designado matching, ou emparelhamento (GOLDBARG, 2005). Assim, uma vez obtido, o grafo aumentado formado por G mais as cópias das ligações adicionadas pode ser considerado como a solução do problema.

Uma das formas de se determinar esse aumento de menor custo nos grafos de forma exata mais amplamente aplicadas tem sido através da utilização de Programação Linear Inteira, onde o Problema do Carteiro Chinês em sua forma clássica pode ser formulado da seguinte maneira:

Minimizar







A E E s

s s

x c

 ˆ (1)

Sujeito à:

E

y e

y

^

^{ 1  }

(2)

E E A

y s

x

y

ˆ

'

    

 

(3)

V v x

x

v s

s v

s

s

    











0

) ( )

(

(4)

A

y

^{ 1 } a ^

  e E E

y

^{ 0 , 1     ˆ}

E E A

y ^{ 0 , int } s ^{    ˆ}

onde cada arco y^’a representa “a cópia original” do arco contido em A e ya representa o número de “cópias adicionais” incluídas no grafo aumentado. Assim, o conjunto de restrições (5) representa a necessidade de incluir pelo menos uma cópia de cada arco no grafo aumentado, e as restrições (3) fornecem o total de arcos unindo quaisquer dois vértices distintos no grafo aumentado, uma vez que Ě e Ê representam conjuntos distintos de arestas que serão orientadas, um contendo cópias de arestas pertencentes à E em uma dada direção e o outro, contendo cópias das mesmas arestas, orientadas em direção oposta. Então, se e é uma cópia de uma aresta orientada pertencente à Ê ou à Ě, ẽ é a outra cópia correspondente.

Portanto, as variáveis y’e e y’ẽ representam as cópias orientadas de uma aresta tomadas em cada direção, enquanto ye e yẽ representam cópias orientadas adicionais da mesma aresta incluída no grafo aumentado.

O conjunto de restrições (2) representa a necessidade de que haja ao menos uma cópia de cada aresta no grafo aumentado. As restrições (4) garantem que o grau de cada vértice do grafo aumentado seja zero, uma vez que δ^-(v) (conjunto de arcos e arestas orientados que entram em v) e δ⁺(v) (conjunto de arcos e arestas orientados que saem em v) referem-se respectivamente ao grau de entrada e saída do grafo aumentado.

A exemplo do Problema do Carteiro Chinês, outro problema de percurso em grafos igualmente importante consiste em definir roteiros de veículos que minimizem o custo total de atendimento, onde cada um deles inicia ou termina no depósito ou base dos veículos, assegurando que cada ponto (vértice do grafo) seja visitado exatamente uma vez e que a demanda em qualquer rota não exceda a capacidade do veículo que a atende. Este tipo de problema é conhecido como Problema do Caixeiro Viajante (Travelling Salesman Problem, ou TSP).

Orloff (apud Thimbleby, 2000) apresentou originalmente a idéia do Problema Geral de Roteamento, segundo o qual:

-Se todas as arestas devem ser visitadas, tem-se o Problema do Carteiro Chinês;

-Se algumas arestas devem ser visitadas, tem-se o Problema do Carteiro Chinês Rural;

-Se todos os vértices devem ser visitados, tem-se o Problema do Caixeiro Viajante.

Além disso, outras variantes são possíveis, tais como um número maior de carteiros ou de agências, ou mesmo um limite de cartas por carteiro (problema capacitado).

3.SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Para elaboração do estudo foi tomada a zona urbana do município de Marau, a partir da divisão desta em seis zonas distintas de coleta previamente estabelecidas pelo Departamento de Meio Ambiente do município conforme ilustra a Figura 1.

Figura 1 – Zonas de Coleta na área urbana do município

Em todas as zonas do mapa a coleta dos resíduos sólidos é efetuada porta a porta, com periodicidade diária. Além da coleta convencional, a zona urbana também é integralmente atendida pela coleta seletiva porta a porta. Na zona 1, que corresponde à região central da cidade, a coleta seletiva é feita diariamente, e nas demais zonas em dias alternados.

Inicialmente, cada cruzamento de vias da zona urbana foi mapeado, incluídos os extremos das ruas sem saída, obtendo-se um total de 1100 nós. Uma vez numerados cada um nós que compõem os vértices do grafo, através do programa AutoCad® foi então calculado o custo da aresta, ou seja, o equivalente às distâncias entre cada um dos vértices e o seu par mais próximo, considerando o sentido do tráfego. Construída a matriz inicial de distâncias, foi implementado o algoritmo matricial de Floyd, em linguagem Fortran, para a obtenção do caminho mais curto entre todos os pontos das matrizes, bem como a geração de sua respectiva matriz de precedentes.

Assim, a matriz de distâncias gerada permite a imediata obtenção da menor distância entre dois nós quaisquer da zona urbana, com o trajeto correspondente fornecido pela matriz de precedentes. A partir da matriz completa, com o objetivo de aplicar a formulação proposta, foram extraídas as informações correspondentes a cada zona de coleta.

Pelo fato da quase totalidade das ruas de Marau serem de mão dupla, o problema do Carteiro Chinês foi tratado como sendo não direcionado. A tabela 1 apresenta, para cada zona, o comprimento total das ruas e o número total de vértices (esquinas) contidos na zona. Na última coluna dessa mesma tabela é indicado o número de vértices de grau impar, o qual é diretamente relacionado à complexidade do problema de emparelhamento. Cabe observar que o número de vértices de grau impar num problema é sempre par, visto que cada arco é incidente a dois nós.

Tabela 1 – Características das zonas Setor Comprimento

Total (km) Número de vértices Número de vértices de grau ímpar

Zona 1 18,25 127 60

Zona 2 29,62 253 152

Zona 3 22,19 203 128

Zona 4 18,07 191 138

Zona 5 18,20 200 156

Zona 6 15,30 159 104

Dada a dimensão do problema abordado, a formulação do Problema do Carteiro Chinês foi implementada com o emprego de um método heurístico. Foi escolhido o Método do Recozimento Simulado (Simulated Annealing), o qual consiste num método heurístico não determinístico

para otimização global (KIRKPATRICK, 1983). O Simulated Annealing é reconhecido como um procedimento para a obtenção de boas soluções para problemas de otimização de difícil resolução, desenvolvido em analogia ao processo de recozimento de um sólido, quando se busca a obtenção de um estado que apresente mínima energia. A opção pelo método para a resolução do problema abordado no presente trabalho se deveu sobretudo aos excelentes resultados obtidos pelos autores a partir da aplicação do Simulated Annealing a problemas diversos, incluindo alguns relativos a localização de facilidades e roteamento de veículos (BARÃO, 2008).

A aplicação do algoritmo do Carteiro Chinês foi efetuada a partir da extração, da matriz de distâncias de cada zona, dos vértices de grau ímpar. Pode-se assim determinar a distância mínima a ser acrescida ao somatório do comprimento das ruas, assegurando, que todas as ruas sejam percorridas pelo menos uma vez durante o trajeto. Este procedimento foi implementado com o Simulated Annealing gerando-se uma lista, de forma aleatória, de todos os vértices de grau impar de uma determinada zona, sendo a solução inicial obtida pela união do primeiro com o segundo vértice, do terceiro com o quarto e assim por diante, considerando-se o caminho mínimo entre cada par. Várias estruturas de vizinhança foram implementadas e testadas. Observou-se que os melhores resultados foram obtidos quando uma nova solução era gerada pela troca de posição de dois vértices por vez.

A figura 2 apresenta o mapa da zona 1, indicando, em vermelho, os trechos a serem percorridos mais de uma vez pelo veículo coletor. Esses trechos foram obtidos pela resolução do problema de emparelhamento gerando-se 30 trechos adicionais, uma vez que, dos 127 nós integrantes da zona 1, 60 destes eram de grau impar. Com este procedimento, o somatório do comprimento das ruas da zona, que é de aproximadamente 18,25 km, foi acrescido de 3,26 km para permitir o cumprimento da tarefa de coleta porta a porta na zona 1.

Figura 2 – Mapa da Zona 1, indicando (em vermelho) os trechos a serem percorridos duas vezes pelo caminhão da coleta

O mesmo processo detalhado para a zona 1 foi aplicado para as demais zonas. As distâncias adicionadas a cada uma, bem como os correspondentes comprimentos finais, estão sintetizados na Tabela 2.

Tabela 2 – Resumo das distâncias para a zona urbana Setor Distância

Adicionada (km)

Comprimento Final (km)

Acréscimo no percurso total (%)

Zona 1 3,26 21,51 17,86

Zona 2 8,32 37,94 28,09

Zona 3 7,36 29,55 33,17

Zona 4 6,64 24,71 36,74

Zona 5 8,88 27,08 48,79

Zona 6 5,13 20,43 33,53

Assim, em função do procedimento empregado, pode-se afirmar que o percurso mínimo a ser efetuado para a coleta porta a porta em todas as ruas da zona urbana, dada a separação em zonas pré-definida, consiste no acréscimo, ao comprimento total das ruas, de aproximadamente 39,59 km (ou 32,55% do comprimento total das ruas).

Com base na última coluna da tabela 2, observa-se que o acréscimo na distância a ser percorrida para que seja feito o trajeto por todas as ruas de cada zona variou significativamente em torno do valor médio. Esse acréscimo percentual foi menor na região central da cidade, a qual possui formato mais regular em suas quadras. Por sua vez, o maior acréscimo foi verificado na zona da cidade em que predominam os loteamentos, compostos em sua maioria por ruas sem saída (e que, portanto, devem ser percorridas mais de uma vez). Assim, para essas duas situações extremas, pode-se verificar que o acréscimo percentual no percurso está diretamente relacionado ao número de vértices de grau impar. Para as demais zonas, em função das particularidades de cada uma, essa relação não se verificou.

De posse dos pares resultantes do emparelhamento, tem-se agora para cada zona um grafo constituído apenas por vértices de grau par, ou seja, um grafo euleriano. Assim, partindo de um vértice qualquer, pode ser definido um trajeto (dentre os diversos possíveis) para que o serviço de coleta seja integralmente efetuado.

4. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com o objetivo de subsidiar a Prefeitura Municipal de Marau na tomada de decisões relativas à coleta e destinação dos resíduos sólidos gerados tanto nas zonas rural como urbana, buscando a redução nos custos relacionados a essas tarefas, efetuou-se a proposta de um sistema gerado com o emprego de técnica de otimização. Por questão de concisão, apenas os estudos relacionados à coleta porta a porta na região urbana foram apresentados. Os resultados obtidos a partir da formulação do problema de coleta como um problema de cobertura de arcos permitiram determinar a menor distância possível a ser percorrida pelos veículos coletores, e podem ser empregados como parâmetro para a contratação de empresa terceirizada responsável pela coleta.

Dada a dimensão do problema abordado, a formulação do Problema do Carteiro Chinês foi implementada com o emprego da heurística Simulated Annealing, já empregada com êxito pelos autores em outras aplicações similares.

Exceto para uma situação muito particular, na qual o grafo possui um ciclo euleriano, o somatório do comprimento total das ruas deve ser acrescido de novos trechos, os quais indicam quais as ruas a serem percorridas mais de uma vez para que o serviço de coleta porta a porta possa ser integralmente executado. Observou-se que esse acréscimo varia significativamente segundo as características de cada zona na qual a área urbana foi subdividida.

Para permitir a proposição do sistema de coleta descrito, a zona urbana de Marau foi

par dentre os 1100 vértices considerados, representando as esquinas. De posse dessa matriz, outros estudos foram desenvolvidos a posteriori, dentre eles a determinação de postos de entrega voluntária de lâmpadas e pilhas usadas, com a definição da correspondente rota mínima.

REFERÊNCIAS:

Barão, F. Problemas de localização e roteamento aplicados na otimização da coleta de resíduos sólidos urbanos no município de Passo Fundo-RS”. Dissertação de Mestrado, PPGEng, UPF, RS, 2008.

Goldbarg, M.C.; Luna, H.P. Otimização combinatória e Programação Linear. 2ª Edição, Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.

Hofmeister, N. Dinheiro no lixo. Jornal Extra Classe, Porto Alegre, n. 131, mar 2009, 15-17.

Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D. & Vecchi, M.P. (1983). Optimization by Simulated Annealing, Science 220, 4598, 671-680.

Smiderle, A. Técnicas da Pesquisa Operacional Aplicadas a um Problema de Cobertura de Arcos, Dissertação de Mestrado, PPGMNE, UFPR, PR, 2001.

Thimbleby, H. The Directed Chinese Postman Problem. Middlesex University School of Computing Science Technical Report, Oct 2000