n. 1 Matrizes [ ]

n. 1 – Matrizes

As matrizes servem para representar dados e efetuar o cruzamento de informações.

As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 3𝑦 + 2𝑧 = 1

𝑥 + 𝑧 = 1

[

1 2 −1 | 5

0 3 2 | 1

1 0 1 | 1

]

Uma equação linear, é uma equação com uma ou mais variável em que cada variável tem expoente igual a um e não pode existir multiplicação nem divisão entre elas.

ax + by+ cz = 0 é uma equação linear

as variáveis são: x, y e z e os seus expoentes são iguais a um (x¹, y¹, z¹).

Exemplo – Dados podem ser apresentados em uma tabela ou quadro:

Matemática Português História Geografia

Turma A 8 9 8 9

Turma B 7 5 6 6

Turma C 8 7 7 7

Turma D 7 8 8 9

A partir dessas informações podemos construir uma matriz:

[

8 9 8 9 7 5 6 6 8 7 7 7 7 8 8 9

]

Outro exemplo: bombons x preço x kcal

FIGURA 1 – Imagem ilustrativa kit 1 FIGURA 2 – Imagem ilustrativa kit 2 FIGURA 3 – Imagem representativa kit 3 FIGURA 4 – Imagem representativa do kit 4

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

Estudante da Licenciatura em Matemática da UTFPR-CT

QUADRO 1 - Preço e caloria dos bombons

Bombom Preço unitário (R$) Kcal unidade

Ao leite 3,00 133

Trufado 4,50 107

Brigadeiro 2,80 74

Chocolate branco 2,50 111

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

Opções de caixas com combinações distintas de bombons.

➔ Kit 1= 10 bombons ao leite, 5 bombons trufados, 3 bombons de brigadeiro e 2 bombons de chocolate branco

➔ Kit 2= 8 bombons ao leite, 10 bombons trufados, 6 bombons de brigadeiro e 4 bombons de chocolate branco.

➔ Kit 3= 5 bombons ao leite, 3 bombons trufados, 10 bombons de brigadeiro e 7 de chocolate branco.

Kit 4= 20 bombons ao leite, 12 bombons trufados, 15 bombons de brigadeiro e 10 bombons de chocolate branco.

Primeiro vamos construir o quadro (QUADRO 2) com as informações de cada um dos kits:

QUADRO 2 - Kits de bombons

Kits Ao leite Trufado Brigadeiro Chocolate branco

Kit 1 10 5 3 2

Kit 2 8 10 6 4

Kit 3 5 3 10 7

Kit 4 20 12 15 10

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

Para encontrar a solução desta situação problema é necessário analisar e realizar a multiplicação do QUADRO 3 com o QUADRO 4:

QUADRO 3 - Quantidade de bombons por kit

10 5 3 2

8 10 6 4

5 3 10 7

20 12 15 10

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

QUADRO 4 - Preço e quantidade de calorias por bombom

3,00 133 4,50 107

2,80 74

2,50 111

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

Então, o valor de cada um dos kits e suas respectivas calorias serão:

Kits Preço (R$) Calorias (Kcal)

Kit 1 65,90 2309

Kit 2 95,80 3022

Kit 3 74,00 2503

Kit 4 181,00 6164

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

Podemos ainda organizar essas informações em um único quadro (QUADRO 5), onde conseguiremos analisar todos os dados obtidos ao longo desse exercício.

QUADRO 5 - Quadro com os valores e as calorias

Preço (R$) Kcal

3,00 133

4,50 107

2,80 74

2,50 111

Kit 1 10 5 3 2 65,90 2309

Kit 2 8 10 6 4 95,80 3022

Kit 3 5 3 10 7 74,00 2503

Kit 4 20 12 15 10 181,00 6164

Fonte: Renata Aparecida da Silva (2020).

MATRIZES

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações.

Definições:

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n

2. Posição de um elemento: a posição de cada elemento 𝑎 _𝑖𝑗 = 𝑎( 𝑖, 𝑗) é indicada pelo par ordenado (i, j).

Onde: i = linha j = coluna 𝒂 _𝒊𝒋 = 𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝒊𝒋 = 𝒂 _𝟐𝟑

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑

𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑

𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

Figura disponível em: http://www.estudopratico.com.br/matriz/

3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz por letras maiúsculas A, B, C, D, ..., P, ...

O símbolo 𝑃 _𝑚×𝑛 (ℝ) indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem 𝑚 × 𝑛 de elementos reais.

4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma 𝑎( 𝑖, 𝑗) onde 𝑖 = 𝑗.

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑 𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑 𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

5. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem

n é indicada pelos n elementos.

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑 𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑 𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

Sugerir exemplo!

ordem da matriz, (3X3)

{ 𝑖 ² − 𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 𝑖 ² − 2𝑗 + 𝑖 , 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗

Exemplo: Escreva a matriz A = (a ij ) 2x3 tal que a ij = {

𝑖 + 2 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗 𝑖 ^𝑗 , 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 2 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗 Resolução:

A matriz é do tipo: 𝐴 = [

𝑎 ₁₁ 𝑎 ₁₂ 𝑎 ₁₃

𝑎 ₂₁ 𝑎 ₂₂ 𝑎 ₂₃ ]

Portanto,

 i = j para os elementos 𝑎 ₁₁ e 𝑎 ₂₂ : 1 ¹ = 1 2 ² = 4

 i > j para o elemento 𝑎 ₂₁ : 2 + 2 (1) = 2 + 2 = 4

 i < j para os elementos 𝑎 ₁₂ , 𝑎 ₁₃ e 𝑎 ₂₃ :

2 (1) – 2 = 0 ; 2(1) – 3 = - 1 ; 2(2) – 3 = 1

𝐴 = [

1 0 −1

4 4 1

]

Ordem de uma matriz:

[ 1 2 3

]  matriz de ordem 3 x 1 (3 linhas e 1 coluna).

[

−2 3

−78 8

2 −3

]  matriz de ordem 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas)

[

0 3

−1 5

6 −9

1 4 ]

 matriz de ordem 4 x 2 (4 linhas e 2 colunas)

[1 2 3 7]  matriz de ordem 1 x 4 (1 linha e 4 colunas)

TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES

1. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, isto é m = n.

 







 











3 0 2

7 1 5

0 1 0

A B    ⁸ 



 



 

 3 7

4 C 9

2. Matriz linha é aquela onde m = 1

^{A }  ^{9 0  3 2}  ^{B }   ^{1 3}

3. Matriz coluna é aquela onde n = 1

 

 





 

 





  1 2 9 7

A 



 





  2 B 3

4. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

É uma matriz quadrada (m = n) onde 𝑎 _𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗.

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑 𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑 𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

 







 











2 0 0

0 4 0

0 0 1

A

 

 





 

 





 

3 0 0 0

0 1 0 0

0 0 4 0

0 0 0 9

B

5. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais à zero.

 







 









0 0 0

0 0 0

0 0 0

A ^{B  } _ ^ ₀ ⁰ ₀ ^{0 } _ ^

6. Matriz unidade ou identidade, denotada por I ou Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

É uma matriz diagonal onde _ ^{  } _a ^a _ ^ _para ^para _i ⁱ _ ^ _j ^{j e}

ij ij

1 0

Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por

n

I n _ ou apenas I ⁿ _.

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑 𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑 𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

 







 









1 0 0

0 1 0

0 0 1

A 



 



 

1 0

0

B 1

 

 





 

 







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 C

7. Matriz oposta: dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é – B.

Exemplo: Se tivermos uma matriz 𝐵 = [

50 −11

− 63 7

−8 10 ] _{3 𝑥 2}

𝐴 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑎 𝑒𝑙𝑎 é: −𝐵 = [

−50 11

63 −7

8 −10] _{3 𝑥 2}

Para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer

basta trocar os sinais dos elementos.

Matrizes iguais ou igualdade de matrizes: dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

𝐴 = [

50 −11

− 63 7

−8 10 ] _{3 𝑥 2}

𝐵 = [

50 −11

− 63 7

−8 10 ] _{3 𝑥 2}

As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.

8. Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde a ij ^{ 0} para i > j.

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑 𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑 𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

  





 











1 0

0

2 7

0

0 9

1

A 



 



 

 0 1

9

B 1

 

 







 

 









1 0 0 0

2 1 0 0

0 6 0 0

3 0 3 1

C

9. Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada onde

 0

a ij para i < j.

A = [

𝒂 _𝟏𝟏 𝒂 _𝟏𝟐 𝒂 _𝟏𝟑 𝒂 _𝟐𝟏 𝒂 _𝟐𝟐 𝒂 _𝟐𝟑 𝒂 _𝟑𝟏 𝒂 _𝟑𝟐 𝒂 _𝟑𝟑 ]

  





 











1 7

0 2 9

0 0 4

A 



 



 

1 3

0 B 1

 

 





 

 





 

1 0 0 2

0 9 3 4

0 0 5 6

0 0 0 1 C

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição de matrizes e suas propriedades Adição

Dadas duas matrizes de mesma ordem m × n:

𝐴 _{𝑚 𝑥 𝑛} = [𝑎 _𝑖𝑗 ] e 𝐵 _{𝑚 𝑥 𝑛} = [𝑏 _𝑖𝑗 ] , então:

𝐴 + 𝐵 = [𝑎 _𝑖𝑗 + 𝑏 _𝑖𝑗 ]

Exemplos:

Se

 







 











1 7 1

2 2 9

1 0 4

A e

 







 













1 2

6

0 3 1

8 1

2

B , então

 







 





 





0 9 5

2 5 10

7 1 6 B

A

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz – A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (–A) = 0

Multiplicação de matriz por escalar

Dada uma matriz 𝐴 _{𝑚 𝑥 𝑛} = [𝑎 _𝑖𝑗 ]

𝑚 𝑥 𝑛 e um escalar α ∈ R, então:   A    [ a ij ] m _ n  [   a ij ] m _ n

Exemplos:

1. Se

 







 













4 7 1

2 6 9

1 0

3

A e ^{  2} , então

 







 





















8 14 2

4 12 18

2 0

6 2 A A

2. Se 



 







 

2 5

2

1 4

B 3 e ^{   3} , então 



 











 









 6 15 6

3 12

3 B 9 B

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

1. A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0. A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes A m _ n  [ a ij ] m _ n e B n _ p  [ b jk ] n _ p , então:

p

ik m

c C B

A    [ ] _ , onde

 





















 ⁿ

j

jk ij nk

in k

i k i

k i

ik a b a b a b a b a b

c

1 3

3 2

2 1

1 ...

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se

o número de colunas da primeira for igual ao número de

linhas da segunda.

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

 Se 𝐴 _3𝑥2 e 𝐵 _2𝑥5 , então (𝐴. 𝐵) _3𝑥5

 Se 𝐴 _4𝑥1 e 𝐵 _2𝑥3 , então não existe o produto

 Se 𝐴 _4𝑥2 e 𝐵 _2𝑥1 , então (𝐴. 𝐵) _4𝑥1

Exemplo:

Se ^{ } _ ^{ } _ ^

22 21

12 11

a a

a

A a e ^{ } _ ^{ } _ ^

23 22

21

13 12

11

b b

b

b b

B b , então 



 



 

23 22 21

13 12 11

c c c

c c

C c ,

onde 













 ²

1 2

2 1

1

j

jk ij k

i k i

ik a b a b a b

c , isto é:

[

𝑎 ₁₁ . 𝑏 ₁₁ + 𝑎 ₁₂ . 𝑏 ₂₁ 𝑎 ₁₁ . 𝑏 ₁₂ + 𝑎 ₁₂ . 𝑏 ₂₂ 𝑎 ₁₁ . 𝑏 ₁₃ + 𝑎 ₁₂ . 𝑏 ₂₃ 𝑎 ₂₁ . 𝑏 ₁₁ + 𝑎 ₂₂ . 𝑏 ₂₁ 𝑎 ₂₁ . 𝑏 ₁₂ + 𝑎 ₂₂ . 𝑏 ₂₂ 𝑎 ₂₁ . 𝑏 ₁₃ + 𝑎 ₂₂ . 𝑏 ₂₃

]

Sugerir exemplo!

[ 1 2 3 0 4 5 ] . [

0 2

1 3

−1 4

]

Exercício: Calcule 𝐴 . 𝐵 , sendo 𝐴 = [ 1 2

3 4 ] 𝑒 𝐵 = [ −1 3 4 2 ]

Figura disponível em: http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes4.php

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade

Em geral A x B é diferente de B x A

M2: Distributividade da soma à direita A . (B+C) = A . B + A . C

M3: Distributividade da soma à esquerda (A + B) . C = A . C + B . C

M4: Associatividade

A . (B . C) = (A . B) . C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: A.B = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas.

[ 1 2

2 4 ] . [ −2 4

1 −2 ] = [ 0 0

0 0 ]

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC = BC, então nem sempre será verdadeiro que A

= B.

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz

A ^t = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de A ^t .

𝑨 = [

𝟓 𝟖 𝟑

𝟒 𝟕 𝟐

𝟔 𝟏 𝟗]

→ 𝑨 ^𝒕 = [

𝟓 𝟒 𝟔

𝟖 𝟕 𝟏

𝟑 𝟐 𝟗]

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(A ^t ) ^t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA) ^t = k (A ^t )

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B) ^t = B ^t A ^t

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades

 Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A ^t = A

Seja 𝐴 = [ 1 5 9 5 3 8 9 8 7

]

Logo, a transposta de A será: 𝐴 ^𝑇 = [

1 5 9 5 3 8 9 8 7

]

 Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A ^t = - A Seja 𝐴 = [ 0 3 4

−3 0 −6

−4 6 0 ]

Logo, a transposta de A será: 𝐴 ^𝑇 = [

0 −3 −4

3 0 6

4 −6 0 ]

A oposta de A será: − 𝐴 = [ 0 −3 −4

3 0 6

4 −6 0 ]

Exercícios sobre matrizes:

1. Calcule o produto das matrizes:

a. A.B, sendo 𝐴 = [ 1 3 −1

−2 −1 1 ] e 𝐵 = [ −4 0 3 −1 5 −2 −1 1

−1 2 0 6

]

b. M.N, sendo 𝑀 = [ 2 3 4 3 5 −4 4 7 −2

] e 𝑁 = [ 𝑥 𝑦 𝑧

]

2. Sejam:

a. 𝐴 = [ 1 2

3 4

] 𝑒 𝐵 = [

5 7

6 8

], calcule A.B e B.A.

b. 𝐴 = [

11 3

7 2

] 𝑒 𝐵 = [

2 −3

−7 11

], calcule A.B e B.A.

3. Calcule m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz A:

a. 𝐴 = [ 𝑚 −22

−2 𝑛

] 𝑒 𝐵 = [

5 22

2 9

]

b. 𝐴 = [

2 5

3 8

] 𝑒 𝐵 = [

8 𝑚

𝑛 2

]

4. Sejam 𝐴 = [ 1 2 3

2 1 −1 ] , 𝐵 = [ −2 0 1

3 0 1 ], 𝐶 = [

−1 2 4

] e 𝐷 = [2 −1], encontre:

a. A + B

b. A . C

c. C . D d. D . A e. D . B f. – A

5. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Se A ² = AA, então [ −2 1

3 2 ]

2 = ?

6. Ache x, y, z, w se [ 𝑥 𝑦

𝑧 𝑤 ] . [ 2 3

3 4 ] = [ 1 0 0 1 ].

7. Encontre a solução do sistema dado por [ 𝑥 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑤

𝑥 − 𝑦 𝑧 − 𝑤 ] = [ 3 5 1 4 ]

8. Sejam 𝐴 = [ 1 3

2 −1 ] e 𝐵 = [ 2 0 −4

3 −2 6 ], encontre:

a. AB

b. BA

9. Sejam 𝐴 = [ 2 −1

1 0

−3 4

] e 𝐵 = [ 1 −2 5

3 4 0 ], encontre:

a. AB b. BA

10. Encontre a transposta A ^t da matriz 𝐴 = [ 1 0 1 0 2 3 4 5 4 4 4 4

].

11. Sejam 𝐴 = [ 2 1 0

1 2 1 ], 𝐵 = [ 0 0 2

6 4 2 ] e 𝐶 = [ 3 2 0

0 1 0 ] matrizes de M 2 x 3 . Calcule: 3 (𝐴 − ¹

2 𝐵) + 𝐶

12. Dadas as matrizes 𝐴 = [

4 −5

3 −7

−2 4 ]

𝑒 𝐵 =

[

−4 6 −3

−3 5 8

], Calcule (AB) ^T .

13. Seja 𝐴 = [ 1 2

4 −3 ]. Encontre:

a. A ²

b. A ³

c. f (A)

Onde f (x) = 2 x ³ – 4 x + 5

Resolução dos exercícios:

1. Calcule o produto das matrizes:

a. A.B, sendo 



 









 

1 1 2

1 3

A 1 ^e

 







 



















6 0 2 1

1 1 2 5

1 3 0 4 B

𝐴 . 𝐵 = [

1(−4) + 3(5) + (−1)(−1) 1(0) + 3(−2) + (−1)(2) 1(3) + 3(−1) + (−1)(0) 1(−1) + 3(1) + (−1)(6)

−2(−4) + (−1)(5) + 1(−1) −2(0) + (−1)(−2) + 1(2) −2(3) + (−1)(−1) + 1(0) −2(−1) + (−1)(1) + 1(6) ]

𝐴 . 𝐵 = [

−4 + 15 + 1 0 − 6 − 2 3 − 3 − 0 −1 + 3 − 6 +8 − 5 − 1 −0 + 2 + 2 −6 + 1 + 0 +2 − 1 + 6 ]

R: 𝐴 . 𝐵 = [ 12 −8 0 −4

2 4 −5 7

]

b. M.N, sendo 𝑀 = [ 2 3 4 3 5 −4 4 7 −2

] e 𝑁 = [ 𝑥 𝑦 𝑧 ]

𝑅: 𝑀. 𝑁 = [

2𝑥 + 3 𝑦 + 4𝑧 3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 4𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 ]

2. Sejam:

a. 𝐴 = [ 1 2

3 4

] 𝑒 𝐵 = [

5 7

6 8

], calcule A.B e B.A.

R: 𝐴. 𝐵 = [ 17 23

39 53

] 𝑒 𝐵. 𝐴 = [

26 38

30 44

]

b. 𝐴 = [

11 3

7 2

] 𝑒 𝐵 = [

2 −3

−7 11

], calcule A.B e B.A.

R: 𝐴. 𝐵 = [ 1 0

0 1

] 𝑒 𝐵. 𝐴 = [

1 0

0 1

]

Obs: quando A.B = B.A = I diz-se que uma matriz é a inversa da outra.

3. Calcule m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz A:

a. 𝐴 = [

𝑚 −22

−2 𝑛

] 𝑒 𝐵 = [

5 22

2 9

]

[

𝑚 −22

−2 𝑛

] . [

5 22

2 9

] = [

5 22

2 9

] . [

𝑚 −22

−2 𝑛

] = [

1 0

0 1

]

[

𝑚(5) + (−22)2 𝑚(22) + (−22)9

−2(5) + 𝑛(2) −2(22) + 𝑛(9) ] = [

5(𝑚) + 22(−2) 5(−22) + 22(𝑛) 2(𝑚) + 9(−2) 2(−22) + 9(𝑛)

] = [

1 0

0 1

]

5(𝑚) + 22(−2) = 1 2(𝑚) + 9(−2) = 0 Portanto, 𝑚 = 9

5(−22) + 22(𝑛) = 0 2(−22) + 9(𝑛) = 1 E, portanto, 𝑛 = 5

R: m =9 e n = 5

b. 𝐴 = [

2 5

3 8

] 𝑒 𝐵 = [

8 𝑚

𝑛 2

] R: m = - 5 e n = - 3

4. Sejam 𝐴 = [ 1 2 3

2 1 −1 ] , 𝐵 = [ −2 0 1

3 0 1 ] , 𝐶 = [

−1 2 4

] 𝑒 𝐷 = [2 −1] , encontre:

a. A + B R: [ −1 2 4

5 1 0 ]

b. A . C R: [ 15

−4 ]

c. C . D

[

−1 2 4 ]

. [2 −1] = [

−1(2) (−1)(−1) 2(2) 2(−1) 4(2) 4(−1) ]

 R:

[

−2 1 4 −2 8 −4]

d. D . A R: [0 3 7]

e. D . B R: [−7 0 1]

f. – A R: [ −1 −2 −3

−2 −1 1 ]

5. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Se A ² = AA, então [ −2 1

3 2 ]

2 = ?

[ −2 1

3 2 ] . [ −2 1

3 2 ] = [ 4 + 3 −2 + 2

−6 + 6 3 + 4 ] = [ 7 0 0 7 ]

R: [ 7 0 0 7 ]

6. Ache x, y, z, w se [ 𝑥 𝑦

𝑧 𝑤 ] . [ 2 3

3 4 ] = [ 1 0 0 1 ].

[

2𝑥 + 3𝑦 3𝑥 + 4𝑦 2𝑧 + 3𝑤 3𝑧 + 4𝑤

] = [

1 0

0 1

]

{ 2𝑥 + 3𝑦 = 1

3𝑥 + 4𝑦 = 0  { 2𝑥 + 3𝑦 = 1 (−3)

3𝑥 + 4𝑦 = 0 (2) { −6𝑥 − 9𝑦 = −3

6𝑥 + 8𝑦 = 0 {−𝑦 = −3 ∴ 𝑦 = 3 ↔ 𝑥 = −4

{ 2𝑧 + 3𝑤 = 0

3𝑧 + 4𝑤 = 1  { 2𝑧 + 3𝑤 = 0 (−3)

3𝑧 + 4𝑤 = 1 (2) { −6𝑧 − 9𝑤 = 0

6𝑧 + 8𝑤 = 2 {−𝑤 = 2 ∴ 𝑤 = −2 ↔ 𝑧 = 3

R: x = - 4 y = 3 z = 3 w = - 2

7. Encontre a solução do sistema dado por [ 𝑥 + 𝑦 2 𝑧 + 𝑤

𝑥 − 𝑦 𝑧 − 𝑤 ] = [ 3 5 1 4 ]

{

𝑥 + 𝑦 = 3 2𝑧 + 𝑤 = 5

𝑥 − 𝑦 = 1 𝑧 − 𝑤 = 4 { 𝑥 + 𝑦 = 3

𝑥 − 𝑦 = 1 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2 ∴ 𝑦 = 1

{ 2𝑧 + 𝑤 = 5

𝑧 − 𝑤 = 4 → 3𝑧 = 9 → 𝑧 = 3 ∴ 𝑤 = −1

R: x = 2, y = 1, z = 3, w = -1

8. Sejam 𝐴 = [ 1 3

2 −1 ] e 𝐵 = [ 2 0 −4

3 −2 6 ], encontre:

a. AB R: 𝐴𝐵 = [ 11 −6 14 1 2 −14 ]

b. BA R: BA não é definido.

9. Sejam 𝐴 = [ 2 −1

1 0

−3 4

] e 𝐵 = [ 1 −2 5

3 4 0 ], encontre:

a. AB R: 𝐴𝐵 = [ −1 −8 10

1 −2 5

9 22 − 15 ]

b. BA R: 𝐵𝐴 = [ −15 19 10 −3 ]

10. Encontre a transposta A ^t da matriz 𝐴 = [ 1 0 1 0 2 3 4 5 4 4 4 4

]. R: [

1 2 4

0 3 4

1 4 4

0 5 4

]

11. Sejam 𝐴 = [ 2 1 0

1 2 1 ], 𝐵 = [ 0 0 2

6 4 2 ] e 𝐶 = [ 3 2 0

0 1 0 ] matrizes de M 2 x 3 . Calcule:

3 (𝐴 − ¹

2 𝐵) + 𝐶 R: [ 9 5 −3

−6 1 0 ]

12. Dadas as matrizes 𝐴 = [

4 −5

3 −7

−2 4 ]

𝑒 𝐵 = [

−4 6 −3

−3 5 8

],

Calcule (AB) ^T . R: (AB) ^T = [

−1 9 −4

−1 −17 8

−52 −65 38]

13. Seja 𝐴 = [ 1 2

4 −3 ]. Encontre:

a. A ² R: 𝐴 ² = [ 9 −4

−8 17 ] b. A ³ R: 𝐴 ³ = [ −7 30

60 −67 ] c. f (A)

Onde f (x) = 2 x ³ – 4 x + 5

O escalar “5” deve ser multiplicado pela matriz unidade ou matriz identidade, para que possamos operar com a matriz.

𝑓(𝐴) = 2 [ −7 30

60 −67 ] − 4 [ 1 2

4 −3 ] + 5 [ 1 0 0 1 ]

= [ −14 60

120 −134 ] − [ 4 8

16 −12 ] + [ 5 0 0 5 ]

= [ −18 52

104 −122 ] + [ 5 0 0 5 ] R: [ −13 52

104 −117 ] Observação:

A ² = A.A A ³ = A ² . A

A ⁰ = I (identidade ou unidade)

a 0 = termo independente

Polinômio: f (x) = a 0 + a 1 x ¹ + a 2 x ² + a 3 x ³ + ... + a n x ⁿ Polinômio de matrizes:

f (A) = a 0 A ⁰ + a 1 A ¹ + a 2 A ² + a 3 x ³ + ... + a n A ⁿ f (A) = a 0 I + a 1 A ¹ + a 2 A ² + a 3 x ³ + ... + a n A ⁿ

Referências

CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.

SILVA, Renata Aparecida da. PLANO DE AULA MATRIZES. Disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná – CT, 2020.

STEINBRUCH, A. ;WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.