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Sumário

Capítulo – I ... 5

Capítulo – II ... 25

Capítulo – I(b) ... 32

Capítulo – II(b) ... 59

Capítulo – III ... 78

Capítulo – IV ... 88

Capítulo – V ... 106

Capítulo – VI ... 117

Capítulo – VII ... 124

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Lista de Figuras

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema realErro! Indicador não definido.

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Lista de Tabelas

Tabela - V. 1. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do ContornoErro! Indicador não definido.

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Capítulo – I

O Campo Eletrostático

1. 1 – Lei de Coulomb – Vetor Campo Elétrico – Lei de Gauss

Lei de Coulomb  Discreta



 

Teorema da superposição Campo Elétrico  Discreta

Contínua

Prova de que n=-2 para força ou n=-1 para potencial.

Lei de Gauss-

Primeira Equação de Maxwell-

Analise do DIV e GRAD de várias funções de r (derivadas  integrais).

Rotacional do campo elétrico.

. . 0

rot grad F 

(1. 1)

Logo definimos:

E  

(1. 2)

d    d r

(1. 3)

Potencial

^d  ^{E d r}

(1. 4)

Energia Potencial

^

 

^{B }

 

^{A  }



^{E r}

 

^{d r}

^{(1. 5)}





Poisson O ponto arbitrário se possível no infinito.

Laplace ^

 

^{A 0} Arbitrário

Potencial

^

 

^{B B E d r}



  

 ^{(1. 6)}

Energia Potencial

^{U B}

 

^{B F d r}



  

 ^{(1. 7)}

Objetivo: traduzir à eletrostática e magnetostática nestas 4 equações e resolver as equações diferenciais.

Integral: Soma entre todos os pontos.

Derivada: Trata de apenas um ponto local.

Lei de Coulomb.

Verificação experimental.

Qual o valor da força se uma das cargas tiver aceleração?

Se aceita por fé, com comprovação.

Postulado I(Coulomb): Lei física, comparação experimental sem demonstração.

Postulado II (P. Superposição): Comparação experimental.

dq  ^dV

Física  Geométrica

XXX Não pode ser integrada.

XXX

Coordenador.

Pode ser

integrada XX.

(densidade)  Mudança de volume.

Carga de prova – pequeno q(fraca) e puntiforme.

0

 t (limite) Repetir a experiência várias vezes nas mesmas condições.

i . Q cte

 ^{(1. 8)}

1 2

12 21

12

F k q q r

 r

(1. 9)

P

W F d s



 





^{(1. 10)}

Figura - 1. 1. Teorema da Superposição.

1 0

1 2

N

j k

j k jk

U q q

  r



 ^{(1. 11)}

1 0

N j j

j j

q r

E _ r







^{(1. 12)}

2

E dV r

r







^{(1. 13)}

j j

 



E Q

^{(1. 14)}

S

 



EdQX

(1. 15)

I. Eletrostática

1 2 2 12 12

¨ q q

F r

 r

(1. 16)

I. 1. Campo Elétrico:

F qE

(1. 17)

I. 2. Fluxo de Campo Elétrico:

4

S

E dQX  q



(Lei de Gauss)

(1. 18)

S V

E dQ  divE dV

 

(Lei de Gauss)

(1. 19)

4

divE 

(1. 20)

I. 3. Potencial eletrostático:

2

1

12 p

p

E d S

  





^{(1. 21)}

c

E d S  rot E dQ

 

(Teorema de Stokes)

(1. 22)

0

rot E 

(1. 23)

II. Eletrodinâmica.

III. Magnetostática.

IV. Magnetodinâmica.

F qE qv B

 c 

(1. 24)

IV. 1.Campo Magnético

IV. 2.Experiência de Oested (corrente gerar campo magnético).

2

Idl r d B cr

 

(Lei de Bio-Savoit) (1. 25)

4

e

B d S I c

  

 (Lei de Ampére) (1. 26)

Teorema de Stokes:

rot B 4 j c

 

(1. 27)

j Independe do tempo.

0

divB

(1. 28)

Eletromagnetismo.

1 2 12 EB

F kq q r

 r

(1. 29)

Definindo EBcomo sendo:

0 2

lim ^EB

q P

F q

EB k r

q r

  

(1. 30)

Figura - 1. 2

2

EB qn

 R

(1. 31)

E nd S

 





^{(1. 32)}

EB R 2 qR

(1. 33)

4 2 4

1 E nR qnR

   

(1. 34)

4 2 4

E R  q

(1. 35)

4 q

  

(1. 36)

Figura - 1. 3

Princípio da Superposição.

Como discreto

1

4

n

E i

i

 q



 



. Toma o limite quando q0caso contínuo:

e 4 dq

 

 ^{(1. 37)}

Figura - 1. 4

Nós definimos:

dq

  dV

(1. 38)

Fica:

E 4

V

 dV

 

 (1. 39)

Lei Física  Lei Geométrica

Mas o fluxo foi definido como:

E 4

S V

E ndS  dV

 



 

 (1. 40)

Pelo teorema de Gauss podemos tornar a equação integral acima numa equação diferencial.

Definição:

0

lim ^E

V

E ^ V

    Fonte do campo

(1. 41)

0

lim 1

V S

E E ndS

 V

  





^{(1. 42)}

 

V S

E dV E ndS

   

 

Teorema de Gauss

(1. 43)

Igualando temos:

 

⁴

V V

E dV  dV

  

  (1. 44)

Tomando o mesmo volume temos que os integrados coincidem, portanto:

4 E 

  

(1. 45)

1ª equação de Gauss.

No caso do campo magnético, nós temos:

Figura - 1. 5

4 4

B qn qs

    

(1. 46)

 

B 4 qn qs

   

(1. 47)

n s

q  q

(1. 48)

Então:

Figura - 1. 6

B 0

 

(1. 49)

0 B ndS 

 ^{(1. 50)}

0

  B dv

 ^{(1. 51)}

0

  B

(1. 52)

3ª Equação de Maxwell.

1. 2– Campos Elétricos e Magnéticos

Figura - 1. 7

Dividimos a energia dado a configuração da carga.  Carga conservativa.

Figura - 1. 8

Fdl

q q

  

 ^{(1. 53)}

EB dl

 



 = potencial elétrico

(1. 54)

B AB

A

EB dl

 



 ^{E E r}

  ^{(1. 55)}

0

C

EB dl 

 (1. 56)

B A

B A

A B

EB dl   EB dl  A A

  ^{(1. 57)}

Usando o Teorema de Stokes, Definição:

 

0

lim

S

A EB

S



   

(1. 58)

   

0

lim

S

EB EB dl d EB dl

 dS

  



 





^{(1. 59)}

 

EB ndS d EB dl

   





^{(1. 60)}



^{ EB}



^{ndS d}

 _

^{EB dl}

 _{(1. 61)}



^{ EB}



^{ndS  EB dl}

  _{(1. 62)}

Igualando temos:



^{ EB ndS}



^0

 ^{(1. 63)}

Portanto:

0

 EB

(1. 64)

2ª Equação de Maxwell.

1. 3 – Teorema de Melmholtz

Um campo vetorial é completamente especificado se conhecermos o divergente e o rotacional deste campo.

Tabela 1. 1. Teorema de Melmholtz

Eletro Magnético

Estática

Temporal

 

 

4 0 E r

E r

   



  



   

0 0 B r

B r

  

  

Dinâmica Temporal Estacionaria

   

 

4 0

E r r

E r

   



  



 

 

0 4 B r

B r j

c



  

  

Dinâmica Espacial

   

 

4 1

E t t

E t B

c t

   

   

 



 

 

0 1 B r

B r E

c t

  

    



   

 

, 4 ,

1

E r t r t

E t B

c t

   

 

   

 

 

 

, 0

4 1

, B r t

B r t j E

c c t



  

    

 Eletricidade- Propriedade dos corpos de exibir fenômenos elétricos (eletricidade).

Eletromagnetismo- É a parte da Física que estuda os fenômenos das cargas elétricas sob o ponto de vista de suas interações e efeitos estáticos e dinâmicos.

Eletrificação- É a viabilização da eletricidade.

Eletromagnetismo- estuda as cargas e correntes elétricas, e suas ações mútuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medidas independentemente com precisão ilimitada.

1. 4 – O Campo elétrico 1.4.1 – Carga elétrica.

Tales de Mileto (640 – 546 a.C.) observou que o âmbar quando atritado adquiria a propriedade de atrair corpos de pequena dimensão, como pedacinhos de palhas e de penas.

William Gilbert (1540 – 1603), inglês, estudou mais sistematicamente este efeito, e foi o primeiro a reconhecer com clareza que atrações elétricas e magnéticas não eram a mesma.

Elétrico vem do âmbar – elektron em grego;

Magnético vem de magnésia – onde se encontra o minério ferro magnético.

Stephen Gray, em 1729 descobriu que atração e repulsão elétricas podem ser transferidas de um corpo para outro quando eles estão ligados entre si (condução elétrica).

Benjamin Franklin, em 1747, concluiu de suas experiências que dois corpos quando atritados um contra o outro, resultam em quantidades iguais de “espécies opostas” (lei da conservação da carga). Em outras palavras, um deles ficaria com excesso de eletricidade (sinal positivo, por exemplo) e o outro com deficiência de eletricidade (sinal negativo) a eletricidade não seriam, portanto gerada, mas transferida.

Joseph Priestley (1773-1804) concluiu que a força entre duas cargas variava com o inverso do quadrado da distância entre elas.

Charles Coulomb (1736 -1806) confirmou a lei do inverso do quadrado da XXX.

J. J. Thompson em 1897 confirmou experimentalmente a existência de elétrons.

Robert Millikan em 1909 realizou uma célebre experiência com uma câmara pulverizada com gotículas de óleo eletricamente carregadas e provou que a carga elétrica era quantizada.

Unidade de carga elétrica 1, 602 10 ¹C

Massa do elétron 9,1095 10 ^31Kg

Massa do próton 1, 673 10 ^27Kg

1.4.2 – Lei de Coulomb

„A força que uma carga puntiforme exerce sobre outra é diretamente proporcional ao valor de cada uma das cargas, inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa, e orienta-se segundo a reta que as une. “A força é repulsiva quando as cargas têm o mesmo sinal e atrativa quando elas têm sinais opostos.”

12 1 22 12

12

F k q q r

 r _{(1. 65)}

A representação vetorial dos vetores posições das cargas envolvidas na equação acima é mostrada na figura XXX. O valor de

k

é determinado experimentalmente,

9 2 2

8, 99 10  Nm C

(sistema MKS).

Figura - 1. 9

1.4.3. Campo elétrico.

A força

F

sobre uma carga de prova

q

, resultante de sua interação com um conjunto de cargas puntiformes

q

, será a soma vetorial das forças exercidas pelas cargas individuais.

O campo elétrico

E

no ponto

P

, onde se encontra

q

, é definido como sendo igual à força

F

dividida por

q

.

E F

 q (1. 66)

A unidade do campo elétrico é no sistema MKS Newton por Coulomb [N/C].

A força

F

devido a uma única carga

q

₁ é,

1 2

F k q q r

 r _{(1. 67)}

Logo o campo devido à

q

₁ será:

1 2

E k q r

 r _{(1. 68)}

Se a carga

q

₁ se desloca, a modificação do campo em

r

não é instantânea, mas se propaga com velocidade da luz

c

.

Para uma distribuição de cargas puntiformes,

1 2 0

n

q

E k r

  r ^{(1. 69)}

1.4.4. Linhas de Força.

Uma representação ilustrativa do campo elétrico bastante útil é a feita com as linhas de campo. O vetor campo elétrico é tangente à linha que passa pelo ponto e indica a direção da força elétrica que sofre uma carga de prova positiva colocada no ponto. A figura XXX de linhas de campo geradas por uma carga positiva.

Figura - 1. 10

O número de linhas (mais tarde falaremos em fluxo) por unidade de área da superfície esférica que emerge da carga é inversamente proporcional à área da superfície

4  r

2. Então, a densidade de linhas decresce com o inverso do quadrado da distância, isto é, com

1 r

² exatamente como decresce como decresce o módulo do campo elétrico.

A figura XXX mostra as linhas de força de duas cargas negativas puntiformes de mesmo módulo

q

e próximas uma da outra. Pode-se verificar que nas proximidades de cada carga as linhas são quase perfeitamente radiais, enquanto que para distâncias muito maiores que aquela entre as cargas o campo também será radial, porém o valor aproximadamente ao gerado por uma carga.

Obs. Ver no livro as “regras para traçar as linhas de força.”.

Figura - 1. 11

A figura XXX mostra as linhas de força de um dipolo elétrico. Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas elétricas puntiformes de sinais opostos separadas por uma pequena distância.

Para uma carga

Q

distribuída sobre uma superfície esférica de raio

R

, podemos, através da análise intuitiva do conceito de linha de campo, chegar à conclusão que de para as distâncias bem maiores que o raio da esfera, o campo é igual ao de uma carga puntiforme localizada no centro da esfera. No interior da esfera, o campo é nulo. A figura XXX ilustra este resultado.

Figura - 1. 12

1.4.5. Calculo do Campo elétrico.

O campo elétrico causado por uma distribuição de cargas pode ser calculado diretamente com a lei de Coulomb. Vamos considerar situações onde a separação entre uma carga e a outra é muito pequena, de tal forma que podemos considerar uma distribuição contínua de cargas. Definimos então três grandezas que nos ajudará muito,

- distribuição volumétrica de carga

Q

  V

₍

V  volume

);

- distribuição superficial de carga

Q

  A

₍

A  Área

);

- distribuição linear de carga

Q

  L

₍

L  comprimento )

.

Como exemplo vamos calcular o campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas numa casca esférica de raio

R

.

Em primeiro lugar vamos calcular o campo num ponto

P

fora da esfera, isto a uma distância

r

, maior que

R

, do centro

O

da casca esférica, como mostra a figura XXX.

Definimos então uma carga infinitesimal

dQ

associada a um elemento infinitesimal de superfície

dA

.

dQ   dA (1. 70)

Figura - 1. 13

A figura XXX nos ajuda a definir o elemento de área

dA

em coordenadas esféricas.

1 2

dA  dl dl , e dl

₂

 Rsen d   (1. 71)

dA  R sen d d

2

   e dQ   R sen d d

²

   (1. 72)

Pela figura XXX vemos que

2

2

cos

2

cos

dQ R sen d d

dE k k

s s

   

 

  (1. 73)

Onde

s

²

 r

²

 R

²

 2 rR cos 

e

2 2 2

cos 2

s r R

  ^ sr ^

. Integrando-se tem,

2 2

2 2

0 0

2 cos cos sen d

E k R d

r R r



 



  

 

 

  ^{(1. 74)}

Ou usando

sds

sen d

   rR

_,

2 2 2 2 2

2

1

2 2

r R r R

r R r R

k R r R k R r R

E ds s

r s r s



^



^

 

     

       

   

 ^{(1. 75)}

Finalmente

2

2 2

4

k R kQ

E r r

    (1. 76)

Para um ponto interior a casca esférica, o calculo é o mesmo, somente muda os limites de integração que agora variam de

R  r

a

R  r

, e então.

2 2

2

R r

R r

k R r R

E s

r s



^



  

   

  ^{(1. 77)}

1.4.6. Movimento de cargas.

Uma carga

q

num campo elétrico sofre uma força elétrica

F

, que é igual a

qE

. Sendo

m

a massa da carga, sua aceleração será

qE m

. Se o campo elétrico for conhecido pode-se obter a razão entre a carga e a massa da partícula, sendo esta quantidade denominada carga específica da partícula.

1.4.7. Dipolos elétricos em campos elétricos

Átomos e moléculas são eletricamente neutros, mas devido ao fato de serem constituídos por partículas carregadas, podem sofrer interação com campo elétrico. Em algumas moléculas o centroide da carga negativa, mas em presença de campo elétrico o centroide positivo se desloca para um lado e o negativo para o lado oposto, gerando um dipolo elétrico. Estes dipolos são chamados induzidos. Em moléculas onde naturalmente não há coincidência entre os centroides, existe um dipolo permanente, e a molécula é denominada molécula polar.

A figura XXX mostra o esquema de uma molécula polar, onde os centroides estão separados pela distância 1. O momento de dipolo p é definido pelo produto da carga positiva (que tem o mesmo valor da carga negativa) q com a distância 1.

Figura - 1. 14

O diâmetro de um átomo ou de uma pequena molécula é da ordem de

0,1 nm

. Uma unidade então conveniente para o momento de dipolo será o produto de uma carga eletrônica e pela distância

1nm

.

A figura XXX mostra um dipolo elétrico cujo momento de dipolo faz um ângulo



com um campo elétrico uniforme.

Figura - 1. 15

F

1

 qE _e F

2

 qE (1. 78)

A resultante de forças sobre um dipolo é zero, mas ele sofre, mas ele sofre um torque dado por,

F lsen

1

qElsen

     ou    p E (1. 79)

A energia potencial de um dipolo num campo elétrico uniforme será,

dU  Fdl  qElsen d    pEsen d   _{(1. 80)}

Integrando-se,

cos

0

U   pE   U (1. 81)

Escolhe-se energia potencial nula para

   2

, logo,

U    p E (1. 82)

1. 5. Carga Elétrica.

O conceito de carga elétrica não é tão intuitivo quanto o conceito de massa em mecânica, embora o homem já se desse conta dos efeitos elétricos desde a antiguidade. Os relâmpagos e trovões em modo parecia se relacionar com atração elétrica ou magnética dos corpos, como a magnética, por exemplo. Porém como a ideia de carga elétrica esta relação passou a existir no sentido de que toda a matéria apesar de neutra na sua forma natural é comporta (podendo exibir) de cargas elétricas. A observação dos fenômenos da atmosfera passava despercebida dos fenômenos elétricos e magnéticos mais remotos da história. A obtenção de eletricidade estática por meio de atrito, contato, ou indução passou-se por muitos séculos como instrumentos de magia e misticismo.

Podemos dizer que no princípio o homem só conhecia a eletrostática e a eletrodinâmica ainda não apresentava suas manifestações devido à falta de tecnologia suficiente XXXX o fenômeno atmosférico. E o magnetismo não fazia parte da família da eletricidade.

Primeiras Leis da Eletricidade.

De posse da eletrostática, o homem passou a enunciar as primeiras leis da atração e repulsão elétrica e as leis da eletrização.

Eletrização dos corpos.

Observa-se que os corpos na natureza podem ser eletrizados de três formas diferentes: atrito, contato e indução. Onde se entende que eletrização é a capacidade de fazer os corpos manifestar cargas elétricas. É certo que o princípio o homem não sabia que se tratava de cargas, mas eles chamavam de eletricidade negativa ou positiva conforme a lei de Du Fay.

Lei de Du Fay- Corpos de eletricidade igual se repelem e de eletricidade diferente se atraem.

Neste caso a eletricidade ou a propriedade elétrica dos corpos está subdividido em duas partes, eletricidade negativa e positiva. Decidir qual era o negativo ou positivo era um problema justamente pela falta de uma referencia mais simples. Esta ideia só aparece depois com a descoberta de que a eletricidade podia ser quantificada.

Leis da eletrização- Com a quantificação das cargas elétricas pode-se enunciar as três leis básicas da eletrização.

[três Leis]

Vemos que em síntese estas leis não passam de um princípio de conservação, que é a conservação da carga elétrica total que implica na conservação da energia. Com a

descoberta da carga elementar, ou seja, o elétron, o homem pode XXXX os corpos eletrizados.

Observações de eletrização de objetos são as mais remotas possíveis.

Observa-se que os corpos na natureza podem ser eletrizados de três formas diferentes:

1- Atrito – Quando atritamos um corpo no outro (ex: bastão de barrilha atritado por uma lã)

 rompimento de ligações químicas.

2- Contato – transferência de elétrons.

3- Indução – Deslocamento de cargas.

Nestes três processos acima a carga líquida é conservada desde que o sistema esteja isolado, pois não há criação ou aniquilação de cargas, mas apenas um rearranjo dos mesmos.

Capítulo – II

O Campo Magnético

I – Eletrostática

É a parte do eletromagnetismo que estuda os efeitos elétricos das cargas imóveis (fixas no espaço), ou melhor, em repouso.

2. 1 – Lei de Coulomb

Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806) descobriu empiricamente que duas cargas elétricas interagem entre si por meio de uma força proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado distâncias que os separa com linha de ação na direção reta as XXX e com sentido de afastamento ou aproximação conforme as cargas têm o mesmo sinal ou sinais opostos.¹ Esses fatores experimentais são expressos pela relação.

2 i j

ïj ij

ij

F q q r

r (2. 1)

Vemos, portanto que esta lei de força é muito parecida (do tipo

1

2

r

) com a lei da gravitação universal, descoberta por sir Isaac Newton (1642 – 1727) para a força de interação entre duas massas. Podemos dizer que estamos diante da mesma lei, mas apenas

1 Lei de Du Fay.

mudamos a natureza envolvida nas partes interagentes, numa é entre massas e outra é entre cargas elétricas, os quais sãos conceitos fundamentais da física clássica.

Figura - 2. 1. Lei de Coulomb para a) duas cargas de sinais iguais, b) duas cargas de sinais opostos.

Coulomb conhecia os trabalhos de Newton e influenciado pela descrição geométrica da mecânica dada por Newton e outros, ele admitiu que esta lei pudesse ser válida não apenas para massas, mas também para cargas elétricas, cujas suspeitas, ele conseguiu constatar não através de uma previsão teórica matemática (por que nessa época nada se sabia a respeito da natureza das cargas), mas através de uma verificação experimental.

Concluímos que esta lei é neste caso puramente empírica, e isto significa dizer que não existem considerações antecedentes para uma precisão teórica desta lei. Mas isto não impede que a sua forma seja analisada em relação às considerações geométricas, a fim de que se alcance uma melhor compreensão de sua formulação matemática.

Rigorosamente falando a lei de Coulomb fica:

2 i j

ïj ij

ij

F k q q r

 r (2. 2)

Onde k é uma constante de proporcionalidade e vale:

1 k 4

  (2. 3)

Cujas unidades são: (CGS), (CGS²) e (MKS).

E



é a constante dielétrica do meio, que no caso do vácuo é

  

₀. A lei de Coulomb vale no vácuo ou num meio dielétrico homogêneo e isotrópico (mesmas propriedades em todas as dimensões). Tomaremos como ponto de partida a lei de Coulomb no vácuo e procuraremos deduzi-la depois para esse meio dielétrico. Trabalharemos no sistema de unidades CGS Gaussiano. Neste sistema a constante dielétrica é unidimensional, com valor no vácuo



₀

 1

.

Quando, no vácuo,

r  1 cm

e

 1 dina

para cargas iguais

q

_i

 q

_j, o valor comum das cargas é chamado de 1 statcoulomb.

Desenhado um sistema de coordenadas num ponto “o” qualquer do espaço, o sistema de cargas fica:

Figura - 2. 2- Sistema de duas cargas num sistema de coordenadas cartesianas.

A lei de Coulomb pode ser escrita de forma explicita como sendo:

2 Gaussiano

 

2

i j

i j ij

i j

i j

r r F k q q

r r r r

  

 

(2. 4)

Onde o termo

i j

ïj

i j

r r

r

r r

 



é o versor do vetor rïj ri rj. Podemos ver que qualquer que sejam as cargas (positivas ou negativas) a Lei de Coulomb contém a 3ª Lei de Newton, que diz que as forças de ação e reação sobre um ponto de aplicação, são iguais em módulo e oposto em sentido. Para verificar isto basta trocar escrevendo rj ri ao invés de

i j

r r .

Se chamarmos de Fïj a força que a carga q_i faz em q_je de Fji a força que a carga faz q_j em q_i teremos:

 

3

ï j

i j ïj

ï j

q q r r

F k

r r

 



(2. 5)

 

3

j i

j i ji

j i

q q r r

F k

r r

 



(2. 6)

Podemos escrever (2. 5) conforme (2. 6) e ficando com:

 

 

³

j i

j i ïj

j i

q q r r

F k

r r

  

 



 

(2. 7)

Mas tomando o módulo do denominador temos:

 

3

j i

j i ïj

j i

q q r r

F k

r r

  



(2. 8)

Comparando (2. 8) com (2. 6) concluímos que:

¨

ïj ji

F  F

(2. 9)

Pois ^



^{rj ri}

 

^{3  ri rj}



^3.

Observamos também que existe uma singularidade na expressão da força em (2.

4) quando ri rj temos que Fij   para uma carga pontual.

A Lei de Coulomb é válida em qualquer situação, basta que se tenham cargas elétricas, mas no caso das cargas não serem fixas, as forças provocarão o movimento destas cargas, e ai aparecem efeitos de campo magnético que só serão estudados posteriormente, esta parte do eletromagnetismo chama-se Eletrodinâmica.

2. 2 – Sistema discreto de Cargas fixas distribuídas no espaço.

Para uma distribuição discreta de cargas no espaço, vale o princípio da superposição linear.

Figura - 2. 3

Ou seja, a força resultante sobre uma das cargas é o ponto vetorial das forças devido às outras cargas, ou seja:

 

3 1

N i j ï j

Rï

j ï j

q q r r

F k

r r



 





(2. 10)

2. 3 – Distribuição contínua de cargas fixas.

Para uma distribuição contínua ainda vale o princípio da superposição só que a somatória (do caso discreto) passa a ser uma integral do tipo:

Figura - 2. 4

 

3 '

'

Q

F qdQ r r

r r

 





_{(2. 11)}

Se a distribuição for volumétrica, num volume V’ passamos da integral sobre cargas para uma integral volumétrica, sobre a densidade volumétrica das cargas:

 

^{r' dQ}_{dV '}

 

(2. 12)

Escrevemos então a integral ainda como:

   

³

'

'

' '

'

V

r

F q r r dV

r r

  





^{(2. 13)}

No caso de uma distribuição superficial escrevemos:

 

^{' '}

dQ r dS

(2. 14)

Definindo deste modo a densidade superficial  , de cargas e a integral fica:

  

3 '

' '

' '

S

r r r

F q dS

r r

 







^{(2. 15)}

E no caso de uma distribuição linear de cargas definimos:

 

^{' '}

dQ r dl

(2. 16)

Definimos deste modo à densidade linear  de cargas, e a integral fica:

  

3 '

' '

' '

l

r r r

F q dl

r r

 







^{(2. 17)}

Capítulo – I(b)

Eletrostática

(b)1. 1. Lei de Coulomb

Coulomb verificou experimentalmente que duas cargas puntiformes exercem uma sobre a outra forças com direção da reta que as une, de repulsão ou de atração conforme as cargas têm o mesmo sinal ou sinais contrários e com intensidades proporcionais às cargas e ao inverso do quadrado da distância entre elas.

Figura- 1(b). 1. A B

Chamando a constante de proporcionalidade de 1 e acompanhado as Figura- 1(b).

1., tem-se, conforme Q está na origem ou em rQ,

2

1Qq

F r

 r



(1b. 1)

Ou

2

1Qq

F R

 R



,

R r r^Q

(1b. 2)

Este resultado, conhecido como Lei de Coulomb, vale no vácuo ou num dielétrico homogêneo e isotrópico (mesmas propriedades em todos os pontos e direções respectivamente) extenso, com  variando de meio para meio.  é chamada constante dielétrica do meio. Tomaremos como ponto de partida a lei de Coulomb no vácuo e procuraremos deduzi-la depois para esse meio dielétrico. Trabalharemos no sistema de unidades CGS gaussiano. Neste sistema, a constante dielétrica do vácuo é adimensional, como valor um no vácuo,   ₀ 1. No vácuo escrevemos então

2

F Qqr

 r

(1b. 3)

Quando, no vácuo, r1cm e F dyne, para cargas iguais, Qq, o valor comum das cargas é chamado 1 stat coulomb.

Outro fato experimental é que a força em q devido a uma distribuição de cargas é a soma (vetorial) das devidas a cada uma destas cargas. (Princípio da superposição).

Figura- 1(b). 2. A. B.

Para uma distribuição discreta de cargas Q_q (Figura- 1(b). 2. A) tem-se então

2 a

a

a a a

F F qQ R









R

^,

^{Ra  r ra}

^{(1b. 4)}

Para uma distribuição contínua (Figura- 1(b). 2.B) temos

2 Q

F d F qdQR









R

^,

^{R r r'}

^{(1b. 5)}

Se a distribuição for volumétrica, num volume V', passamos da integral sobre as cargas para uma integral volumétrica sobre o volume, introduzindo a chamada densidade volumétrica de carga, ^

 

^{r' dQ dV'}. Escrevendo então a (1b. 5) sob a forma

 

²

   

³

' '

' '

' ' '

'

V V

r r

F q RdV q r r dV

R r r

 

  

 



^{(1b. 6)}

No caso de uma distribuição superficial escrevemos ^dQ

 

^{r dS' '}, definindo desse modo a densidade superficial , e no caso de uma distribuição linear escrevemos

 

^{' '}

dQ  r ds , definindo deste modo a densidade linear .

(b)1. 2. O Campo Elétrico.

Dividindo F por q obtemos uma quantidade vetorial que só depende da distribuição de cargas e da posição considerada. Tal quantidade é chamada vetor campo elétrico.

   

^{F r}

E r  q

(1b. 7)

Esta carga q deve ser entendida como uma carga de prova, isto é, suficientemente pequena para não perturbar a distribuição (por fenômenos de indução) para qual queremos definir E.

No caso de uma fonte Q puntiforme, resulta da (1b. 1) e (1b. 2), conforme Q está ou não na origem,

 

^Q2

E r r

 r

(1b. 8)

Ou

 

^Q2

E r R

 R

,

R r r^Q

(1b. 9)

Figura- 1(b). 3.A B C

De (1b. 4) e (1b. 5) vemos que no caso de uma distribuição discreta domamos sobre todas as Q_a e no caso de uma distribuição contínua (Figura- 1(b). 3.C) somamos (integramos) sore todos os dQ s' . No caso de uma distribuição volumétrica resulta de (1b. 6)

    

3 '

' '

' '

V

r r r

Ë r dV

r r

 







^{(1b. 10)}

Duas propriedades importantes do campo que não nos deteremos em demonstrar é que o campo devido a uma distribuição volumétrica^

 

^r é sempre finito e sempre contínuo.

Vemos que a integral acima possui uma singularidade para o caso particular onde o ponto ^{P r}

 

está dentro do volume V' considerado. Isolando a singularidade a integral acima pode agora ser dividida em duas integrais, ou seja, uma em V'v' e outro em v', logo:

        _{ }   

3 3 3

' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' '

' '

Q

V V v v Q

r r r r r r r r r

Ë r dV d V v dv

r r r r r r

  



  

   

  

   _{(1b. 11)}

Conforme mostra a figura abaixo

Figura- 1(b). 4.A B

A expressão em v' reduz-se à (1b. 9) por um processo limite, considerando o campo devido a uma distribuição com carga Q, no volume v' pequeno em torno de um ponto rQ. Neste caso todos os 'r diferem muito pouco de rQ e a (1b. 11) pode ser escrita, no limite

' 0

v  como:

   

³

 

³

  

' '

'

' '

Q Q

v Q Q v

r r r r r

E r r dv

r r r r

 ^{ } 

 

 

  ^{(1b. 12)}

   

3 Q

Q

r r

E r Q

r r

 



onde

_{' 0}

 

'

lim '

v v

 r dv



 ^{(1b. 13)}

Figura- 1(b). 5

Notemos que se a distribuição ocupa uma região finita o campo longe é idêntico ao que teríamos se a carga total estivesse concentrada na origem. De fato, neste caso, na região distante tem-se r r' para todo 'r , que pode então ser desprezado frente a r. Da (1b.

10) resulta no infinito,

   

3 3

'

'

V

r r r

E r Q

r r





 

^{(1b. 14)}

No caso de uma distribuição superficial ou linear tem-se a (1b. 10) com ^

 

^{r dS' '}

ou ^

 

^{r ds' '}, respectivamente, em vez de ^

 

^{r dV' '}. Não nos deteremos em exemplos de calculo direto do campo em situações simples, o que o leitor já deve conhecer do curso anterior.

(b)1. 3. A Lei de Gauss.

O calculo de (1b. 10) para uma dada distribuição de cargas é em geral muito difícil ou praticamente impossível de ser efetuado. Uma fórmula de interesse prático nos problemas com certo tipo de simetria vem do calculo do fluxo de E. Este cálculo será também útil para o cálculo do divergente de E via o teorema de Gauss. O fluxo de E através de uma superfície S é a integral sobre essa superfície da componente normal do campo.

Consideremos primeiro o caso de uma fonte puntiforme.

Figura- 1(b). 6

Acompanhando a Figura- 1(b). 6 o fluxo elementar é

2

E d S Q r ndS Qd

  r   

(1b. 15)

Onde d é o ângulo sólido sub-entendido por dS,

2 2 2

cos dS_n

r n dS

d dS

r r r



     

(1b. 16)

O sinal  vale quando o fluxo é por trás (frente) da superfície.

Integrando na superfície tem-se o fluxo total,

S

E d S Q d

  (1b. 17)

A integral em d é o ângulo sólido subentendido pela superfície. De particular interesse é o caso de uma superfície fechada. Se Qfor interno a essa superfície o ângulo cobre o espaço todo e a integral é igual a 2 , cobrindo um semi-espaço delimitado pelo plano tangente e se Q é externo o ângulo sólido é nulo.

Figura- 1(b). 7

Se tivermos mais cargas puntiformes o campo é a soma dos campos e o fluxo é a soma dos fluxos devido a cada uma dessas cargas. As internas contribuem com 4 , as superficiais com 2 e o fluxo total é então:

4 _I 2 _S

E d S  Q  Q

 (1b. 18)

Onde Q_I é a soma das cargas internas e Q_S é a soma das superficiais. A (1b. 18) é a lei de Gauss.

Como aplicação simples vamos reobter a partir de (1b. 18) a expressão do campo elétrico devido a uma carga puntiforme Q. Por simetria o campo em P deve ser radial e o

seu módulo só pode depender da distância r do ponto P à carga Q, isto é, ^{E r}

 

tem que ser da forma

  ^{ }

E r E r r

(1b. 19)

Escolhemos então como superfície fechada a superfície esférica de raio r e centro Q. Nesta superfície r coincide com n e ^{E r}

 

é constante. Logo, o fluxo é

     

^{4 2}

S S S

E nd S  E r dS E r dS E r r

   (1b. 20)

Outra superfície conveniente é uma semi-superfície esférica com a base plana passando por Q. Como parte do fluxo através da base é nulo, o fluxo total cai pela metade.

Como a carga agora está na superfície ^{E r}

 

terá mesmo valor.

Um caso de particular interesse é o de uma esfera uniforme carregada, ^

 

^{r  ,}

constante.

Figura- 1(b). 8

Novamente por simetria vale a (1b. 18) dentro, em r a, e fora da esfera.

Escolhendo como superfície fechada superfícies esféricas concêntricas com a distribuição e passando por P externo ou interno os fluxos são iguais a (1b. 20) onde r P0.

Se P ou em r a a carga interna é a total Q e se P interno é parcial

 

^{4 3 3 3 3}

Q r  r Qr a . A lei de Gauss nos dá o seguinte resultado:

 

^Q2

E r r

 r

,

ra

(1b. 21)

 

⁴₃ ^Q3

E r r r

  a

 

,

3 3

3 4

3 4

Q r

a

 

 

(1b. 22)

Dentro da esfera o campo é proporcional a distância.

Note que para ra o campo tem valor ^{E a}

 

^{Q a2}, por fora ou por dentro: o campo é contínuo. É também finito em todo o espaço. Isto ilustra as propriedades fundamentais enunciadas depois de (1b. 10).

Outros casos simples são o do plano e da linha uniformemente carregados, com  e  constantes. No caso do plano (Figura- 1(b). 8B) E nulo sobre o plano pois por simetria

E não pode estar para cima ou para baixo; para a esquerda ou direita. Fora do plano E ele é normal, pois por simetria pode estar para a direita ou para a esquerda, para frente ou para trás.

Usemos a Lei de Gauss para uma superfície cilíndrica reta com base dS apoiada no plano. O fluxo é igual a EdS na base superior, zero na lateral e zero na base inferior.

Logo, chamando dQ a carga na base inferior, tem-se EdS 2dQ e, portanto, 2

E  . Abaixo do plano E tem por simetria, esse mesmo módulo e está orientada para baixo. Portanto, acima da superfície, sobre ela e abaixo temos

1 2

E  n

,

ES 0

,

E²  2n

(1b. 23)

Como superfície gaussiana podemos também considerar uma superfície cilíndrica reta com bases equidistantes do plano. O fluxo dobra, mas o resultado é o mesmo, pois

dQagora é interna.

Notemos que o campo é descontínuo, aliás, duplamente descontínuo: tem valores diferentes logo acima e abaixo do plano e ambos diferentes do valor do plano. Tem-se:

1 2 4

E  n E  n 

,

E¹ n ES n 2

(1b. 24)

Como veremos mais tarde esses resultados valem para  qualquer.

No caso do fio escolhemos como superfície gaussiana a superfície cilíndrica reta com eixo no fio, pois por simetria E é radial, ^{E r}

 

^{E r r}

 

^{, com r} ortogonal ao fio. A parte do fluxo através das bases é nula e através da superfície lateral é ^{E r}

 

^{2rdl onde dl}

é a altura da superfície. Esse fluxo é então igual a 4dq onde dq é a carga interna. Portanto, o campo tem módulo ^{E r}

 

^{2 r.}

(b)1. 4. As equações diferenciais de campo.

Vamos agora traduzir em equações diferenciais os fatos experimentais expressos na lei de Coulomb e no princípio da superposição, que deram origem a expressão do campo

E escrita na equação (1b. 10).

Calcularemos então o divergente e o rotacional de E que, como sabemos, caracterizam o campo (teorema de Helmholtz). Existem duas maneiras de fazer o calculo.

Faremos primeiro o calculo direto a partir de (1b. 10). No calculo de ^{ E P}

 

^{e  E P}

 

^é

preciso cuidado na passagem das derivadas (na variável r) para dentro da integral, pois o integrando torna-se infinito no ponto r'r. Isto ocorre quando o ponto P for interno à distribuição. Se P for externo, r'r para todo r, o integrando não tem polos e não há perigo na passagem das derivadas. Obtemos:

   

³

  

³

' '

' ' '

' ' '

' '

V V

r r r r r

E P dV r dV

r r r r

 

 

   

    



 



   

^{(1b. 25)}

No caso do rotacional obtemos uma expressão análoga com   em vez de  . Usamos agora as seguintes identidades;

3

' 0

' r r r r

   



;

r'r

(1b. 26)

3

' 0

' r r r r

   



(1b. 27)

A demonstração dessas relações podem serem feitas por cálculo direto em coordenadas cartesianas na variável R r r', notando que as derivadas em relação às componentes desses dois vetores são iguais, isto é,   R. O cálculo em coordenadas polares na variável R é o mais simples. Neste caso a função em questão é

3 2

F  R R R R Logo as componentes polares de F são F_R R^2, F_ F_ 0. Portanto

2

3 2 2 2

' 1 1

0 '

R

r r R d

dR R

R R R

r r

  

       

;

R0

;

R ₂ 0 R

 R 

(1b. 28)

A (1b. 27) segue também da identidade;

3

' 1

' '

r r

r r r r

  

 

ou

^R₃ ¹

R

R  

(1b. 29)

E do fato de que rotgrad0. A demonstração da (1b. 29) em coordenadas polares na variável R é imediata: R^1  RR^1  R R^1   R RR^2  RR^3.

Com (1b. 26) e (1b. 27) concluímos então que se P for externo à distribuição o divergente e o rotacional do campo nessa posição P serão nulos.

Quando P for interno o integrando torna-se infinito em r'r e não é mais claro que as derivadas possam passar pelo sinal da integração. Neste caso subdividimos o volume

'

V em duas partes sento uma delas uma esfera infinitesimal v'₂ que contém P com centro num ponto P₀ como o ilustrado na figura XXX. O resto do volume é V'₁ V'v'₂. Referimo-nos a esta construção dizendo que estamos isolando a singularidade do integrando de (1b. 10). No fim dos cálculos passamos ao limite em que v'₂ 0 em torno de P, isto é, colapsando em P.

Figura- 1(b). 9

Chamando E¹ e E² os campos devidos a cada uma das partes temos;

 

¹

 

²

 

E P E P E P

(1b. 30)

A contribuição E2

 

P pode ser calculada exatamente pois como v'₂ é infinitésima a densidade pode ser tornada constante nessa região, com o valor 0 

 

P0 que tem no centro. Tem-se (1b. 22) com o vetor posição r de P em relação ao centro substituído

aqui por 0

P P0  r r . Tem-se então

    _{ }  

2

2 0 3 0 0

'

' 4

' 3

'

v

r r

E P dV P r r

r r

 ^  

  





^{(1b. 31)}

O campo total em P é então:

     _{ }  

1

0 0 3

'

' ' 4

' 3

'

V

r r r

E P dV P r r

r r

 ^  

  





^{(1b. 32)}

Como P é externo a

 

⁰

 E P 

(1b. 33)

o seu integrando não tem polos e as derivadas presentes no divergente e rotacional de E podem passar livremente pela integral. Obtemos então:

    ^{ }  

1

0 0 3

'

' 4

' '

' 3

V

r r

E P r dV P r r

r r

  

 

  

          

 ^{(1b. 34)}

Pela (1b. 26) o primeiro termo do lado direito dessa equação é nulo. Como 3

  r obtemos:

 

4

 

0

E P  P

  

(1b. 35)

No calculo do rotacional temos uma expressão semelhante à (1b. 34) com   em vez de  . Usando (1b. 27) e notando que  r 0 resulta:

 

⁰

 E P 

(1b. 36)