Conjuntos Finitos e Infinitos

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Gl ´aucio Terra

glaucio@ime.usp.br

Departamento de Matem ´atica IME - USP

Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 1/18

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Axiomas de Peano

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Axiomas de Peano

(N1) s : N → N é injetiva e o complementar da sua imagem contém apenas um elemento, denotado pelo símbolo “1”.

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Axiomas de Peano

(N1) s : N → N é injetiva e o complementar da sua imagem contém apenas um elemento, denotado pelo símbolo “1”.

(N2) Seja S ⊂ N; então S = N se, e somente se:

1. 1 ∈ S;

2. n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S.

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1o. Princípio da Indução

T^EOREMA Seja P : N → {0, 1}. Se (i) P (1) = 1 e

(ii) P (n) = 1 ⇒ P s(n)

= 1, então ∀n ∈ N, P (n) = 1.

(6)

Princípio da Definição por Recorrência

Seja X um conjunto. Queremos definir uma função f : N → X. Suponha que seja dado o

valor f(1) e, para todo n ∈ N, uma regra para se definir f s(n)

supondo-se definido f(n). Então existe uma única f : N → X nestas condições.

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Soma de Números Naturais

Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:

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Soma de Números Naturais

• n + 1 .

= s(n);

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Soma de Números Naturais

• n + 1 .

= s(n);

• n + s(m) .

= s(m + n).

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Produto de Números Naturais

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Produto de Números Naturais

• n · 1 .

= n;

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Produto de Números Naturais

• n · 1 .

= n;

• n · s(m) .

= n · m + n.

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Relação de Ordem em N

D^EFINIÇÃO Sejam n, m ∈ N.

m < n · ≡ · ∃p ∈ N/n = m + p m 6 n · ≡ · m = n ou m < n

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Teorema da Boa Ordenação

T^EOREMA Seja A ⊂ N não-vazio. Então A possui um menor elemento.

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2o. Princípio da Indução

T^EOREMA Seja P : N → {0, 1}. Suponha que,

para todo n ∈ N, (k < n ∧ P (k) = 1) ⇒ P (n) = 1. Então ∀n ∈ N, P (n) = 1.

(16)

Princípio da Definição por Recorrência

Seja X um conjunto. Queremos definir uma função f : N → X. Suponha que seja dado o valor f(1) e uma regra para se definir f(n)

supondo-se definidos os valores f(m) para todo m < n. Então existe uma única f : N → X

nestas condições.

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Conjuntos Finitos

D^EFINIÇÃO Diz-se que um conjunto X é finito se X = ∅ ou se existir n ∈ N e uma bijeção

f : Iⁿ → X. Neste caso, diz-se que X tem n elementos.

(18)

Conjuntos Finitos

T^EOREMA Seja A ⊂ Iⁿ. Suponha que existe f : A → Iⁿ bijeção. Então A = Iⁿ.

(19)

Conjuntos Finitos

T^EOREMA Seja A ⊂ Iⁿ. Suponha que existe f : A → Iⁿ bijeção. Então A = Iⁿ.

COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se existem bijeções f : A → Iⁿ e f : A → I^m, então m = n.

(20)

Conjuntos Finitos

C^OROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,

ambos com n elementos. Seja f : A → B. São equivalentes:

1. f é injetiva;

2. f é sobre;

3. f é bijetiva.

(21)

Conjuntos Finitos

C^OROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,

ambos com n elementos. Seja f : A → B. São equivalentes:

1. f é injetiva;

2. f é sobre;

3. f é bijetiva.

COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se A é finito, não existe bijeção entre A e uma parte própria de A.

(22)

Conjuntos Finitos

T^EOREMA Sejam X um conjunto finito com n elementos e A ⊂ X. Então A é finito e tem

m 6 n elementos.

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Conjuntos Finitos

m 6 n elementos.

COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:

1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.

2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.

(24)

Conjuntos Finitos

m 6 n elementos.

C^OROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, for limitado, i.e. se existir p ∈ N tal que

(∀n ∈ X)n 6 p.

(25)

Conjuntos Finitos

m 6 n elementos.

C^OROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, for limitado, i.e. se existir p ∈ N tal que

(∀n ∈ X)n 6 p.

C^OROLÁRIO N não é finito.

(26)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

D^EFINIÇÃO Um conjunto X se diz infinito se não for finito; X se diz enumerável se for finito ou se existir uma bijeção N → X.

(27)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

T^EOREMA Seja X um conjunto. São equivalentes:

1. X é infinito;

2. existe f : N → X injetiva;

3. existe uma bijeção entre X e uma parte própria de X.

(28)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

T^EOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.

(29)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

T^EOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.

C^OROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:

1. Se Y é enumerável e f injetiva, então X é enumerável.

2. Se X é enumerável e f é sobre, então Y é enumerável.

(30)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

T^EOREMA N × N é enumerável.

(31)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

C^OROLÁRIO O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto

enumerável.

(32)

Conjuntos Enumeráveis e não-Enumeráveis

C^OROLÁRIO O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto

enumerável.

COROLÁRIO Seja (Xⁱ)ⁱ_∈^N uma família

enumerável de conjuntos enumeráveis. Então

∪ⁱ_∈^NXⁱ é enumerável.