Lógica de matemática

(1)

Elementos de Lógica Matemática

Uma Breve Iniciação

Gl ´aucio Terra

[email protected]

(2)

Vamos aprender a falar aramaico?

(3)

Proposições

• Uma proposição é uma afirmação passível

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Proposições

de assumir valor lógico verdadeiro ou falso;

• Toda proposição é verdadeira ou falsa

(5)

Proposições

de assumir valor lógico verdadeiro ou falso;

• Toda proposição é verdadeira ou falsa

(princípio do terceiro excluído);

• Uma proposição não pode ser verdadeira E

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Exemplos de Proposições

• 2 > 1 (V);

(7)

Exemplos de Proposições

• 2 > 1 (V);

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Conectivos Lógicos

Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos:

(9)

Conectivos Lógicos

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Conectivos Lógicos

• “¬” ou “!” (negação); • “∧” (conectivo “e”);

(11)

Conectivos Lógicos

• “¬” ou “!” (negação); • “∧” (conectivo “e”); • “∨” (conectivo “ou”);

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Conectivos Lógicos

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Conectivos Lógicos

(14)

Conectivos Lógicos

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Conectivos Lógicos

Sejam “P” e “Q” proposições.

• “¬P ” é verdadeira se “P” for falsa, e

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Conectivos Lógicos

vice-versa;

• “P e Q” é verdadeira se ambas forem

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Conectivos Lógicos

vice-versa;

• “P e Q” é verdadeira se ambas forem

verdadeiras, e falsa caso contrário;

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Conectivos Lógicos

• _“P→_{Q” é a mesma coisa que “}(¬_{P) ou Q”; ou}

seja, é falsa se o lado esquerdo for

verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos:

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Conectivos Lógicos

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Conectivos Lógicos

• “2 > 1 → 3 > 1” (V); • _“2 > 1 → 1 > 3_{” (F);}

(21)

Conectivos Lógicos

• “2 > 1 → 3 > 1” (V); • _“2 > 1 → 1 > 3_{” (F);}

(22)

Conectivos Lógicos

• “2 > 1 → 3 > 1” (V); • _“2 > 1 → 1 > 3_{” (F);} • “5 = 2 → 0 = 1 (V);

• “P ↔Q” é a mesma coisa que “P→Q e

Q_→P”, ou seja, é verdadeira se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas.

(23)

Variáveis Livres

Seja _P uma expressão na qual ocorre uma ou mais variáveis _x, _y, _{z, . . .} . Dizemos que uma

dada ocorrência de uma variável _x na expressão

P é livre se x não está no escopo de algum

quantificador _∀ (quantificador universal) ou _∃ (quantificador existencial).

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Variáveis Livres

(25)

Variáveis Livres

Exemplos:

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Variáveis Livres

Exemplos:

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Variáveis Livres

Exemplos:

• x > 0 (x é variável livre); • ∃y(y > x)

(28)

Variáveis Livres

Exemplos:

• x > 0 (x é variável livre);

(29)

Variáveis Livres

Exemplos:

• ∃y(y > x) ₍x _{é livre,} y _{é não-livre);} • ∀x ∃y(y > x)

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Variáveis Livres

Exemplos:

• ∃y(y > x) ₍x _{é livre,} y _{é não-livre);}

• ∀x ∃y(y > x) (nenhuma das variáveis é

(31)

Variáveis Livres

Exemplos:

livre);

(32)

Variáveis Livres

Exemplos:

livre);

• ∀ǫ ∃δ(0 < |x − a| < δ → |x2 − a2| < ǫ)

(33)

Sentenças abertas

Uma expressão proposicional ou sentença aberta é uma expressão _P na qual ocorre uma ou mais variáveis _x, _y, _{z, . . .} , sendo pela menos uma ocorrência livre.

(34)

Sentenças abertas

Uma expressão proposicional ou sentença aberta é uma expressão _P na qual ocorre uma ou mais variáveis _x, _y, _{z, . . .} , sendo pela menos uma ocorrência livre.

Usaremos daqui em diante a notação

P (x₁, . . . , xn) para designar uma sentença aberta

(35)

Expressões Proposicionais e

Proposições

Podemos construir proposições (i.e. sentenças que podem assumir valor lógico verdadeiro ou falso) a partir de uma dada sentença aberta _P , de duas maneiras:

(36)

Expressões Proposicionais e

Proposições

• _{atribui-se valores às variáveis livres de} P _{, i.e.}

substitui-se as variáveis livres de P por

elementos de um dado conjunto, o universo das variáveis;

(37)

Expressões Proposicionais e

Proposições

• _{atribui-se valores às variáveis livres de} P _{, i.e.}

substitui-se as variáveis livres de P por

(38)

O Quantificador Existencial (“

∃”)

Sejam _x uma variável cujo universo é um dado conjunto _U, e _{P (x)} uma sentença aberta.

Considere a proposição:

(39)

O Quantificador Existencial (“

∃”)

∃x P (x)

Por definição, a proposição acima é verdadeira se existir algum elemento do conjunto _U tal que

(40)

Exemplos

Nos exemplos a seguir, _x e _y são variáveis reais (i.e. cujo universo é o conjunto R _{dos números}

(41)

Exemplos

reais).

(42)

Exemplos

reais).

(43)

Exemplos

reais).

• ∃x(x > 0) (V); • ∃x(x2 < 0)

(44)

Exemplos

reais).

• ∃x(x > 0) (V); • ∃x(x2 < 0) (F);

(45)

Exemplos

reais).

• ∃x(x > 0) (V); • ∃x(x2 < 0) (F);

(46)

Exemplos

reais).

• ∃x(x > 0) (V); • ∃x(x2 < 0) (F);

(47)

O Quantificador Universal (“

∀”)

(48)

O Quantificador Universal (“

∀”)

∀x P (x)

Por definição, a proposição acima é verdadeira se a substituição da variável livre _x de _{P (x)} por qualquer elemento do conjunto universo _U

resultar numa proposição verdadeira. Caso

contrário, diz-se que _{∀x P (x)} é uma proposição falsa.

(49)

Exemplos

Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais.

(50)

Exemplos

(51)

Exemplos

(52)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0)

(53)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V);

(54)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V); • ∀x ∀y(x > y)

(55)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V);

(56)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V);

• ∀x ∀y(x > y) (F); • ∀x ∃y(x > y)

(57)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V);

• ∀x ∀y(x > y) (F); • ∀x ∃y(x > y) _(V);

(58)

Exemplos

Nos exemplos a seguir, todas as variáveis são reais. • ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V); • ∀x ∀y(x > y) (F); • ∀x ∃y(x > y) _(V); • ∃y ∀x(x > y)

(59)

Exemplos

• ∀x(x > 0) (F); • ∀x(x2 > 0) (V);

• ∀x ∀y(x > y) (F); • ∀x ∃y(x > y) _(V);

(60)

Implicações Lógicas

Sejam P (x₁, . . . , xn) e Q(x1, . . . , xn) sentenças

(61)

Implicações Lógicas

Sejam P (x₁, . . . , xn) e Q(x1, . . . , xn) sentenças

abertas e _U um conjunto.

• _{Diz-se que} P _{implica logicamente} Q_{, no}

universo _U, e escreve-se _{P ⇒ Q}, se a seguinte proposição for verdadeira,

tomando-se _U como universo das variáveis

(62)

Implicações Lógicas

• Noutras palavras, isto significa que quaisquer

valores de _x₁_{, . . . , x}n no universo U que

tornam _P verdadeira também tornam _Q verdadeira.

(63)

Implicações Lógicas

• Noutras palavras, isto significa que quaisquer

valores de _x₁_{, . . . , x}n no universo U que

tornam _P verdadeira também tornam _Q verdadeira.

• _{Diz-se que} P _{é logicamente equivalente a} Q_,

(64)

Exemplos

• Seja U o conjunto dos triângulos do plano.

Então:

T retângulo _⇒ o quadrado de um dos lados de T é a soma dos quadrados dos outros dois.

(65)

Exemplos

• Seja U o conjunto dos triângulos do plano.

Então:

T retângulo _⇒ o quadrado de um dos lados de T é a soma dos quadrados dos outros dois.

Com efeito, no universo _U, a seguinte proposição é verdadeira:

(66)

Exemplos

• Em U = R, 0 6 x 6 2 ⇒ x2 6 4, mas x2 6 4 ; 0 6 x 6 2.

(67)

Exemplos

• Em U = R, 0 6 x 6 2 ⇒ x2 6 4, mas x2 6 4 ; 0 6 x 6 2.

• _Um _teorema _{é um enunciado da forma} H ⇒ T , onde H e T são sentenças

chamadas, respectivamente, de hipótese e

(68)

(69)

Como dizer “não”

Sejam, _{P, Q} proposições. Verifique que são verdadeiras:

(70)

Como dizer “não”

(71)

Como dizer “não”

• ¬(P ∧ Q) ↔ (¬P ) ∨ (¬Q) • ¬(P ∨ Q) ↔ (¬P ) ∧ (¬Q)

(72)

Como dizer “não”

• ¬(P ∧ Q) ↔ (¬P ) ∨ (¬Q) • ¬(P ∨ Q) ↔ (¬P ) ∧ (¬Q) • P → Q) ↔ (¬Q) → (¬P )

(73)

Como dizer “não”

Sejam, P (x), Q(x) sentenças abertas, _U o

(74)

Como dizer “não”

universo de _x. Verifique que são verdadeiras:

(75)

Como dizer “não”

universo de _x. Verifique que são verdadeiras:

• ¬(∀x(P (x))) ↔ ∃x(¬P (x)) • ¬(∃x(P (x))) ↔ ∀x(¬P (x)))

(76)

Encontre a negação das seguintes proposições. A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas

(todas as variáveis são reais); justifique. 1. _{∀x ∃y(y > x)}.

2. _{∀ǫ > 0}_{∃δ > 0 ∀x(0 < |x| < δ → |5x| < ǫ)}. OBS.: usa-se correntemente as abreviações:

“_{∃δ > 0 P (δ)}” para “_{∃δ δ > 0 ∧ P (δ)}”; “_{∃δ ∈ A P (δ)}” para “_{∃δ δ ∈ A ∧ P (δ)}”;

(77)

Respostas:

1. Verdadeira; dado _{x ∈ R} qualquer, tome

y = x + 2 > x. Negação: _{∃x ∀y(y 6 x)}. 2. Verdadeira; dado _{ǫ > 0} qualquer, tome

δ = ǫ/5. Negação:

(78)

Encontre a negação das seguintes proposições. A seguir, decida se são verdadeiras ou falsas

(todas as variáveis são reais); justifique.

1. _{∀ǫ > 0}_{∃δ > 0 ∀x(0 < |x| < δ → |x}2_{| < ǫ)}. 2. _{∀ǫ > 0}_{∃δ > 0 ∀x(0 < |x| < δ → |x}2 _{− 1| <}

(79)

Respostas:

1. Verdadeira: dado _{ǫ > 0} qualquer, tome

δ = √ǫ. Negação:

∃ǫ > 0∀δ > 0 ∃x(0 < |x| < δ ∧ |x2| > ǫ). 2. Falsa (sugestão: verifique que a negação é

(80)

Referências

• Jaime Ferreira de Campos, Elementos de Lógica

Matemática e Teoria dos Conjuntos, in Lições de

Análise Real, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2001.

http://www.math.ist.utl.pt/ jmatos/ltc/ltc.pdf • Edgar de Alencar Filho, Iniciação à Lógica