MatematicaDiscreta-06-extra

Demonstrações de Alguns Resultados Simples

Neste documento damos demonstrações completas de alguns dos resultados simples sobre os números inteiros (conjunto Z) que foram apresentados na aula 6. Estas demonstrações praticamente só usam os axiomas dados e, por isso, servem para mostrar o poder daqueles axiomas.

Porém, a principal objetivo deste documento é fazer uma revisão geral e prática de vários dos métodos de demonstração vistos na disciplina. Em especial, vemos aqui exemplos de: prova direta, prova por redução ao absurdo, prova por casos e prova de equivalências.

Esses são os resultados que demonstraremos:

1) Se a < 0, então (-a) > 0.

2) Se a < b e c é negativo, então a.c > b.c . (Ou seja, a relação inverte).

3) Para todo a, temos a2

≥≥≥≥

4) 1 > 0.

5) Se a2 = 0, então a = 0.

6) Não existe valor inteiro a tal que 0 < a < 1. (Ou seja, não existe valor inteiro entre 0 e 1).

7) a.b = 0 se e somente se a=0 ou b=0.

8) a.b = 1 se e somente se a=b=1 ou a=b=-1.

Seguem as demonstrações de cada um deles:

1) Se a < 0, então (-a) > 0

Prova direta.

Somando o simétrico aditivo de (-a) a ambos os lados da hipótese, obtemos: (-a) + a < (-a) + 0

Podemos simplificar o lado esquerdo pelo axioma que define “simétrico aditivo” e o lado direito pelo axioma dos “elementos neutros”:

0 < (-a)

Esta inequação pode ser reescrita assim, na sua forma inversa:

(-a) > 0

(Teorema 1 provado).

2) Se a < b e c é negativo, então a.c > b.c

Prova direta.

Hipóteses: a < b

c é negativo

Objetivo: a.c > b.c

Como c é negativo (hipótese), o simétrico aditivo dele (-c) é positivo, pelo teorema 1 (provado acima). Com base em um axioma, ao multiplicar ambos os lados da inequação a < b (hipótese) por (-c), obtemos:

-ac < -bc

Agora, somando ac a ambos os lados: -ac + ac < -bc + ac

0 < ac - bc

Agora, somando bc a ambos os lados: 0 + bc < ac - bc + bc bc < ac + 0 bc < ac Reescrevendo, temos: ac > bc (Teorema 2 provado).

3) Para todo a, vale: a

≥≥≥≥

0

A afirmação não é uma implicação e muito menos tem um “ou” como condição. No entanto, podemos “alavancar” uma prova por casos, criando um “ou” de todas as condições possíveis para a, segundo algum critério. Neste caso, vamos comparar o a com valor 0 o que, pela propriedade (axioma) da tricotomia, nos dá as seguintes condições que, juntas, representam todos os valores possíveis para a:

• a < 0

• a = 0

• a > 0

Por isso, podemos fazer a prova por casos com três casos (como se o teorema fosse assim: “se a<0 ou a=0 ou a>0, então a2

≥

Prova por casos. (caso i)

Hipótese: a < 0 Objetivo: a2

≥≥≥≥

Vamos multiplicar ambos os lados da hipótese por a. Considerando que a é negativo, pelo teorema do item 2, obtemos:

a.a > a.0 a2 > 0 Logo: a2

≥≥≥≥

≥≥≥≥

Logo:

a2

≥≥≥≥

(caso iii) Hipótese: a > 0 Objetivo: a2

≥≥≥≥

Multiplicando ambos os lados da hipótese por a: a2 > a.0

a2 > 0 Logo:

a2

≥≥≥≥

Uma vez que foram provados os três casos, o teorema está provado. (Teorema 3 provado).

4) 1 > 0

(Esta é uma prova direta incondicional, sem hipótese).

Pelo teorema anterior, considerando a=1, podemos concluir que: 12

≥

1

≥

(Lembrando que isso é o mesmo que: 1 > 0 ou 1 = 0). Porém, como um axioma nos diz que 1 ≠ 0, concluímos que:

1 > 0

(Teorema 4 provado).

5) Se a

= 0, então a = 0

Prova por transposição. (Ou seja, vamos provar que “Se a

≠

≠

≠≠≠≠

Objetivo: a2

≠≠≠≠

Porém, pela tricotomia, se um número é diferente de outro, então o primeiro tem que ser maior ou menor que o segundo. Logo, podemos reescrever a hipótese assim (não vamos mudar o objetivo, por conveniência):

Hipótese: a < 0 ou a > 0 Objetivo: a2

≠≠≠≠

Como temos um “ou” na hipótese, convém fazer uma prova por casos. O restante da demonstração ficará muito parecido com a demonstração do teorema 3 (ver casos i e iii).

Prova por casos. (caso i)

Hipótese: a < 0 Objetivo: a2

≠≠≠≠

Vamos multiplicar ambos os lados da hipótese por a. Considerando que a é negativo, pelo teorema do item 2, obtemos:

a.a > a.0 a2 > 0

Como a é estritamente maior que 0, eles não são iguais. Logo: a2

≠≠≠≠

(caso ii)

Hipótese: a > 0 Objetivo: a2

≠≠≠≠

Multiplicando ambos os lados da hipótese por a, obtemos: a2 > a.0

a2

≠≠≠≠

Uma vez que foram provados os dois casos, o teorema está provado. (Teorema 5 provado).

Observação: Tente fazer uma prova mais simples por “redução ao absurdo”, usando o axioma do cancelamento.

6) Não existe valor inteiro a tal que 0 < a < 1

Prova por redução ao absurdo:

Hipótese: existe algum valor inteiro a tal que 0 < a < 1 Objetivo: absurdo

Vamos considerar o conjunto dos valores inteiros existentes entre 0 e 1. Pela hipótese, esse conjunto de valores não é vazio. Assim, pelo axioma chamado de “princípio da boa ordem”, tem que haver um elemento mínimo neste conjunto. Chamaremos esse elemento mínimo de amin.

Portanto, sabemos sobre amin que:

0 < amin < 1

Além disso, amin é o menor inteiro entre 0 e 1.

Vamos isolar as duas inequações presentes na condição acima: 0 < amin amin < 1

Multiplicando ambas por amin, temos:

0 < amin2 amin2 < amin

Por transitividade, temos que: 0 < amin2 < amin

Como amin < 1, podemos escrever

0 < amin2 < amin < 1

Isso quer dizer que amin2 (o quadrado de amin) é um valor inteiro entre 0 e 1 que é

menor que amin ! Isso contradiz a informação anterior de que amin é o menor

Logo, a hipótese assumida é falsa e o teorema está correto. (Teorema 6 provado).

7) a.b = 0 se e somente se a=0 ou b=0

Como temos um “se e somente se”, temos que dividir a prova em duas partes, sendo uma para cada uma das afirmações abaixo:

• Afirmação I: “Se a.b = 0, então a=0 ou b=0” • Afirmação II: “Se a = 0 ou b = 0, então a.b=0”

Cada uma dessas afirmações pode ser vista como um teorema à parte, que é provado separadamente. Aqui é interessante observar que usaremos métodos distintos para provar cada uma delas.

(Afirmação I) Se a.b = 0, então a=0 ou b=0 Prova por redução ao absurdo.

Neste caso, como a afirmação é uma implicação, teremos duas hipóteses: a condição da afirmação (a.b.=0) e a negação do resultado (a=0 ou b=0) 1. Como o resultado tem um “ou”, ao ser negado, ele vira o “e” das negações. O objetivo, como em toda redução ao absurdo, é um resultado contraditório qualquer. Assim, ficamos com o seguinte:

Hipótese: a.b = 0

a

≠≠≠≠

≠≠≠≠

Objetivo: absurdo

Partindo da primeira hipótese: a.b = 0

Uma vez que 0 = a.0 para qualquer valor a (provamos isso na aula 5), podemos mudar o lado direito para:

a.b = a.0

Como sabemos, por hipótese, que a

≠

b = 0

Isso claramente contradiz a hipótese b

≠

Como temos um “ou” na condição, convém fazer uma prova por casos. Prova por casos.

(caso i)

Hipótese: a=0 Objetivo: a.b=0

Partindo da hipótese a = 0, multiplicando ambos os lados por b, temos: a.b = 0.b = 0

Logo: a.b = 0 (caso i provado).

(caso ii)

Hipótese: b=0 Objetivo: a.b=0

Análogo ao anterior. (caso ii provado).

Uma vez que os dois casos foram provados, a afirmação está provada. (Afirmação II provada).

Uma vez que as afirmações I e II foram provadas, o teorema inteiro está provado.

8) a.b = 1 se e somente se a=b=1 ou a=b=-1

Temos novamente um “se e somente se” e, por isso, vamos dividir a prova em duas afirmações, sendo uma para cada uma das implicações abaixo:

• Afirmação I: “Se a.b = 1, então a=b=1 ou a=b=-1” • Afirmação II: “Se a=b=1 ou a=b=-1, então a.b=1”

Cada uma das afirmações é provada separadamente abaixo. Para a afirmação I, vamos precisar do seguinte lema (cuja demonstração é pedida em uma das listas):

Para todos a e b inteiros: |ab| = |a|.|b|

(Afirmação I) Se a.b = 1, então a=b=1 ou a=b=-1 Prova direta.

Hipótese: a.b=1

Objetivo: a=b=1 ou a=b=-1

Se tomarmos o módulo de ambos os lados da equação dada como hipótese: |a.b| = |1|

Pelo lema, o lado esquerdo pode ser mudado assim: |a|.|b| = 1

Pelo teorema 7, considerando que |a|.|b| não é zero, podemos concluir que: |a|

≠

≠

Para todo n, sabemos que |n| ≥ 0. Porém, considerando que a e b não valem zero, podemos concluir que:

|a| > 0 e |b| > 0

Pelo teorema 6, como a e b são inteiros, podemos concluir que: |a| ≥ 1 e |b| ≥ 1

Multiplicando a segunda inequação por |a|, temos: |a|.|b|

≥

Mas como sabemos que |a| ≥ 1, temos: |a|.|b|

≥

≥

Assim: |a| = 1

Esta equação só admite duas soluções: a = ± 1

Se a = 1, substituindo na equação da hipótese, temos b = 1. Se a = -1, substituindo na equação da hipótese, temos b = -1. (Afirmação I provada).

(Afirmação II) Se a=b=1 ou a=b=-1, então a.b = 1

Como temos um “ou” na condição, faremos uma prova por casos. Prova por casos.

(caso i)

Hipótese: a = b = 1

Neste caso, temos a.b = 1.1 = 1. Logo: a.b=1 (caso i provado).

(caso ii)

Hipótese: a = b = -1

Neste caso, temos a.b = (-1).(-1) = 1. Logo: a.b=1 (caso ii provado).

Provamos os dois casos da afirmação II. (Afirmação II provada).

Provadas as duas afirmações, provamos o teorema. (Teorema 8 provado).

"O temor do SENHOR é o princípio da sabedoria, e o conhecimento do Santo a prudência”