Imputação de dados em experimentos fatoriais 2

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática Aplicada e Estat´ıstica. Jordˆ ania Furtado de Oliveira. Imputa¸c˜ ao de dados em experimentos fatoriais 2k. Natal, 2017.

(2) Jordânia Furtado de Oliveira. Imputa¸c˜ ao de dados em experimentos fatoriais 2k. Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre. ´ Area de Concentra¸caõ: Estat´ıstica. Orientadora: a. a. Prof . Dr . Carla Almeida Vivacqua. Natal, 2017. Probabilidade e.

(3) Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Oliveira, Jordânia Furtado de. Imputação de dados em experimentos fatoriais 2𝑘 / Jordânia Furtado de Oliveira. - 2017. 154 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof.ª Dr.ª Carla Almeida Vivacqua. 1. Dados faltantes - Dissertação. 2. Experimento incompleto Dissertação. 3. Fatorial fracionado - Dissertação. 4. Método de estimação Dissertação. I. Vivacqua, Carla Almeida. II. Título. RN/UF/BCZM. CDU 519.242.

(4) Jordânia Furtado de Oliveira. Imputa¸c˜ ao de dados em experimentos fatoriais 2k Trabalho apresentado ao Programa de PósGradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre. ´ Area de Concentra¸cão: Probabilidade e Estat´ıstica. Aprovado em: 27/04/2017. Banca Examinadora:. Profa . Dra . Carla Almeida Vivacqua Departamento de Estat´ıstica - CCET/UFRN Orientadora. Profa . Dra . Linda Lee Ho Departamento de Engenharia de Produ¸cão - Escola Politécnica/USP Examinador. Prof. Dr. Marcus Alexandre Nunes Departamento de Estat´ıstica - CCET/UFRN Examinador.

(5) Dedicat´ oria. Dedico este trabalho a Deus e minha fam´ılia.. i.

(6) Agradecimentos Ao Deus pai e Jesus Cristo o filho e Maria por serem luz em momentos dificuldades. ` minha fam´ılia por sempre estarem ao meu lado, por todo o apoio e ajuda e por A me ajudarem a não desistir. Muito Obrigada a todos por tudo! Aos amigos que me ajudaram e em especial meus amigos Natália e Daniel pelos incentivos e amizade. ` minha vozinha Maria (In memoriam) por todo amor e cuidados. A ` minha orientadora Carla e aos membros da banca de qualifica¸cão, professores A Linda e Marcus pelas dicas, sugestões e conhecimentos transmitidos..

(7) “Tudo posso naquele que me fortalece” (Filipenses 4:13) iii.

(8) Resumo Experimentos fatoriais completos e fracionados com dois n´ıveis são muito usados em diversas áreas do conhecimento e, especialmente na ind´ ustria. Para analisar tais experimentos é necessário que todas as combina¸cões planejadas de tratamentos sejam executadas e as respostas sejam obtidas. No entanto, na prática, muitos experimentos deixam de ser completados devido a problemas de log´ıstica, tempo, ou limita¸cões do or¸camento. Esses experimentos são chamados de incompletos. Com o intuito de analisar adequadamente tais experimentos, diferentes métodos são propostos na literatura. Este trabalho tem o objetivo de apresentar, comparar e fazer reflexões cr´ıticas de métodos para estimar dados perdidos em experimentos fatoriais com dois n´ıveis. Palavras chave: Dados faltantes; Experimento incompleto; Fatorial Fracionado; M´ etodo de estima¸c˜ ao..

(9) Abstract Two-level full and fractional factorial designs are widely used in various fields, especially in industry. To analyze such experiments it is necessary that all planned treatment combinations are performed and the responses are obtained. However, in practice, many experiments fail to be completed due to logistical problems, time or budget constraints. These experiments are called incomplete. To properly analyze such experiments, different methods are proposed in the literature. This study aims to present, compare and make critical reflections about methods for estimating missing data in two-level factorial experiments. Keywords: Missing data; Incomplete experiment; Fractional factorial; Estimation method..

(10) Lista de Figuras 2.1 2.2 2.3 2.4. 3.1 3.2 3.3 3.4. 4.1 4.2. Planejamento 23 (Adaptado de Montgomery e Runger (2007)) . . . . . Gráficos de probabilidade semi-normal do Exemplo 2.3. . . . . . . . . . Gráfico de probabilidade semi-normal (2 respostas perdidas - Caso 1) do Exemplo 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico de probabilidade semi-normal (2 respostas perdidas - Caso 2) para o Exemplo 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico de probabilidade semi-normal com os dados perdidos estimados (Exemplo 3.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico de probabilidade semi-normal (2 respostas perdidas - Caso 1) para o Exemplo 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráficos de probabilidade semi-normal para os dados do Exemplo 3.7. . Gráfico de probabilidade semi-normal para os dados do Exemplo 2.1, com os ensaios (1) e ’a’ estimados pelo método de Qumsyehe e Kirchner (2011) para o Exemplo 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico do desempenho dos métodos segundo o DEN por problema para experimentos 23 e 24 em geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráficos do desempenho dos métodos segundo o DEN para experimentos 23 e 24 separados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vi. 5 18 20 21. 33 40 46. 48. 59 60.

(11) Lista de Tabelas Defini¸co˜es das variáveis do processo de produ¸cão qu´ımica do Exemplo 2.1. Matriz do delineamento e variável resposta do processo de produ¸caõ qu´ımica do Exemplo 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Efeitos Estimados e coeficientes para y com os dados completos do Exemplo 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Matriz do delineamento e variável resposta com dados perdidos para o Exemplo 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Compara¸cão dos efeitos estimados e coeficientes de regressão (dados completos X dados estimados) para o Exemplo 2.1. . . . . . . . . . . . 2.6 Coeficientes para y com dados em falta para o Exemplo 2.2. . . . . . . 2.7 Compara¸cão dos coeficientes de regressão (dados completos X dados perdidos X dados estimados) para o Exemplo 2.2. . . . . . . . . . . . . 2.8 Matriz do delineamento e variável resposta (Y: Taxa de nitreto de sil´ıcio) do Exemplo 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Matriz do delineamento e variável resposta (Y : Taxa de nitreto de sil´ıcio) - Duas respostas perdidas (Caso 1) do Exemplo 2.4. . . . . . . . . . . . 2.10 Matriz do delineamento e variável resposta (Y : Taxa de nitreto de sil´ıcio) - Duas respostas perdidas (Caso 2) do Exemplo 2.4. . . . . . . . . . . . 2.1 2.2. 3.1 3.2 3.3 3.4. Matriz do delineamento e variável resposta com dados perdidos para o Exemplo 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compara¸cão dos coeficientes de regressão (dados completos X dados estimados) para o Exemplo 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compara¸cão para diferentes tipos de estima¸caõ do método de efeitos elementares para o Exemplo 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´ umero de efeitos por tipo de efeito e tamanho do experimento para experimentos 23 e 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vii. 9 9 9 10 13 14 15 17 19 20. 23 28 32 34.

(12) 3.5. 3.6. 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13. N´ umero de equa¸co˜es e sistemas no Passo 2 do método de Efeitos Elementares por tipo de efeito, quantidade de dados perdidos e tamanho do experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combina¸co˜es de tratamento por tipo de casos poss´ıveis das equa¸cões do Passo 2 do método de Efeitos Elementares, no caso de um experimento 23 e 2 respostas perdidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compara¸cão dos coeficientes de regressão (dados completos X dados perdidos X dados estimados) para o Exemplo 3.3. . . . . . . . . . . . . Compara¸cão dos coeficientes de regressão (dados completos X dados perdidos X dados estimados) para o Exemplo 3.4 - Seperf´ıcie de Resposta. Matriz do delineamento e variável resposta para o Exemplo 3.5. . . . . Comparando os coeficientes para y: dados completos X dados perdidos X dados estimados para o Exemplo 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparando os coeficientes para y: Dados completos X dados perdidos X dados estimados para o Exemplo 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz do Delineamento de um experimento fatorial 23 . . . . . . . . . . Combina¸co˜es de tratamento por colunas a serem descartadas no Passo 1 do método de Superf´ıcie de Resposta, no caso de um experimento 23 e 2 respostas perdidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Valores perdidos preditos por método e problema para experimentos 23 Valores perdidos preditos por método e problema para experimentos 24 Desempenho dos três métodos segundo o DEN por problema para experimentos 23 e 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Estat´ısticas do DEN por método e tamanho do experimento. . . . . . . 4.5 Melhor e pior método entre as versões EE segundo o DEN por problema 4.6 Melhor e pior método segundo o DEN por problema . . . . . . . . . . . 4.7 Porcentagem de acerto utilizando Lenth. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Efeitos ativos utilizando o método de Lenth. . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Porcentagem de acerto utilizando Box e Meyer. . . . . . . . . . . . . . 4.10 Efeitos ativos utilizando o método de Box e Meyer. . . . . . . . . . . .. 4.1 4.2 4.3. 5.1 5.2. Média e desvio padrão do DEN por método para os simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 1. . . . . . . Média e desvio padrão do DEN por método para os simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 2. . . . . . .. viii. 4 modelos . . . . . . 4 modelos . . . . . .. para . . . para . . .. as . . as . .. 35. 36 38 39 41 41 42 43. 45 54 55 56 58 58 59 61 62 64 65. 73 73.

(13) 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15. Média e desvio padrão do DEN por método para os 4 modelos para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Lenth para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Lenth para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Lenth para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Box e Meyer para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Box e Meyer para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Box e Meyer para as simula¸co˜es de Experimentos 23 - Caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Média do DEN por método para os 4 modelos para as simula¸cões de Experimentos 24 - Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Média do DEN por método para os 4 modelos para as simula¸cões de Experimentos 24 - Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Lenth para as simula¸cões de Experimentos 24 - Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Lenth para as simula¸cões de Experimentos 24 - Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Box e Meyer para as simula¸cões de Experimentos 24 - Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem de acerto utilizando Box e Meyer para as simula¸cões de Experimentos 24 - Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ix. 73 75 75 76 76 76 77 78 78 79 80 80 80.

(14) Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao. 1. 2 M´ etodos de An´ alise 2.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸cão . . . . 2.2.1 Método de Efeitos Elementares . . . . 2.2.1.1 Exemplo 2.1 . . . . . . . . . . 2.2.2 Método de Superf´ıcie de Resposta . . . 2.2.2.1 Exemplo 2.2 . . . . . . . . . . 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸cão . 2.3.1 O método . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1 Exemplo 2.3 - Uma resposta mento fatorial 24 . . . . . . . 2.3.1.2 Exemplo 2.4 - Duas respostas mento fatorial 24 . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perdida em um experi. . . . . . . . . . . . . . perdidas em um experi. . . . . . . . . . . . . .. 3 Discuss˜ ao sobre os m´ etodos 3.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Método de Efeitos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1 Exemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2 Exemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.3 Equa¸cões e sistemas lineares - Passo 2 . . . . . . . . . 3.2.1.4 Caracter´ıstica do Passo 2 do método de Efeitos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Método de Superf´ıcie de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.1 Exemplo 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.2 Exemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. x. 4 4 4 4 8 14 14 16 16 17 18 22 22 22 22 23 28 33 35 37 37 38.

(15) 3.2.2.3 3.2.2.4 3.2.2.5. 3.3. 3.4. 3.5. Exemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades dos Passos 1 e 3 do Método de Superf´ıcie de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qumsyehe e Kirchner (2011) - Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.0.1 Exemplo 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.0.2 Exemplo 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rela¸co˜es entre os métodos de Efeitos Elementares e Superf´ıcie de Resposta 3.4.1 Rela¸cão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Rela¸cão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Estudo comparativo utilizando exemplos 4.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Distância euclidiana normalizada (DEN) 4.3 Identifica¸caõ de efeitos ativos . . . . . . 4.3.1 Efeitos ativos utilizando o método 4.3.2 Efeitos ativos utilizando o método 4.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . .. da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Lenth . . . . de Box e Meyer . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 5 Estudo de Simula¸c˜ ao 5.1 Obten¸cão dos Dados Simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Obten¸caõ dos dados simulados para experimentos 23 . 5.1.2 Obten¸caõ dos dados simulados para experimentos 24 . 5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Resultados para experimentos 23 . . . . . . . . . . . . 5.2.1.1 Resultados do DEN . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1.2 Efeitos ativos utilizando os métodos de Lenth Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Resultados para Experimentos 24 . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1 Resultados do DEN . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.2 Efeitos ativos utilizando os métodos de Lenth Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . e . . . e .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Box e . . . . . . . . . . . . Box e . . . .. 40 41 42 45 45 47 48 48 49 50 52 52 55 61 61 64 67 70 70 71 72 73 73 73 75 78 78 79. 6 Considera¸co ˜es Finais 6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82 82. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 85 xi.

(16) A Comandos no R A.1 Rotina Simula¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Programa - Método de Efeitos Elementares . . . A.3 Programa - Método de Superf´ıcie de Resposta . A.4 Programa - Método de n´ıveis compartilhados de (2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Programa - Tabelas de Resultados . . . . . . . .. xii. 89 . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . . . 91 . . . . . . . . . . . . . 101 Qumsyehe e Kirchner . . . . . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . . . . . 114.

(17) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao As fases de um experimento são: planejamento, execu¸caõ e análise. Ao utilizar experimenta¸caõ, espera-se que todas as fases sejam bem realizadas e que todas as combina¸co˜es dos tratamentos sejam executadas. Segundo Moen, Nolan e Provost (2012), quando o experimento é bem planejado e executado, é viável determinar claramente quais fatores influenciam na determina¸cão de uma resposta do sistema. No entanto, na prática, por diversas razões como limita¸caõ de or¸camento, tempo, log´ıstica ou medi¸cão, pode-se ter problemas na execu¸cão do experimento, como a perda de dados ou a obten¸cão de dados suspeitos, ocasionando, assim, experimentos incompletos. Dificuldades nas fases de planejamento e execu¸caõ podem ocasionar problemas na análise do experimento. Ignorar dados faltantes ou utilizar dados suspeitos pode levar a uma má qualidade na análise dos dados, ou a análise pode ser inviável. Preocupados com esses fatos, diversos autores publicaram estudos e propuseram métodos para estima¸caõ de dados faltantes. Yates (1933) foi o precursor na estima¸caõ de dados faltantes em experimentos incompletos. Alguns pesquisadores aplicaram a abordagem de Yates em diferentes planos experimentais como delineamentos em blocos, quadrado latino, fatoriais, fatoriais fracionados e parcelas subdivididas. Podemos citar os seguintes investigadores: Bartlett(1937), Anderson (1946), Lury (1946), Hartley (1956), Wilkinson (1958), Jaech (1966), Hoyle(1971), Rubin(1972) e Jarret (1978). Outros cientistas também se preocuparam com dados ausentes em experimentos: Healy e Westmacott (1956), Wright (1958), Draper e Stoneman (1964), Wilkinson (1970), Shearer (1973) , Jonh e Prescott (1975), Rubin (1976) e Jonh (1979), Hamada e Wu (1988), Box (1990) e Chauhan (1993). Alguns estudos recentes são: Godolphin (2006), Almim et al.(2007), Montgomery e Runger (2007), Shih, Su e Lee (2008), Acharya e Nembhard (2009), Siddiqui e Yang (2010), Qumsiyeh e Kirchner (2010, 1.

(18) 2 2011) e Ahmed (2009). Experimentos fatorais envolvem 2 ou mais fatores, com o intuito de avaliar todas as poss´ıveis combina¸co˜es para os n´ıveis de um fator simultaneamente e intera¸co˜es entre eles, sobre a variável de resposta. De acordo com Bargigli et al (2004), as principais vantagens do experimento fatorial sobre os experimentos com um fator de cada vez, são: • Maior informa¸caõ por experimento;. • Redu¸caõ no n´ umero e custo de experimentos;. • Torna poss´ıvel o cálculo de intera¸cões entre os fatores estudados;. • Facilita a determina¸caõ das condi¸cões necessárias para melhorar o processo.. Segundo Neto, Scarminio e Bruns (2010), o in´ıcio de um planejamento fatorial se dá pela determina¸cão dos n´ıveis de fatores. Um experimento fatorial com k fatores, cada um deles com dois n´ıveis (alto e baixo), é definido como experimento fatorial 2k . Esses experimentos são muito usados em diversas a´reas do conhecimento, especialmente na ind´ ustria, sendo muito utilizados em estágios experimentais iniciais onde há uma grande quantidade de fatores a serem analisados. Razão pela qual, segundo Montgomery (2001), são bastante usados em experimentos de triagem (factor screening experiments) e destacam-se entre os experimentos, os fatoriais. Pela importância desses experimentos, este estudo se baseia nesse tipo de plano. Shearer (1973) aborda um novo procedimento para usar com experimentos fatoriais utilizando um método iterativo. Já Godolphin (2006) ilustra por meio de um experimento 23 replicado o impacto de dados perdidos nos resultados da análise. Montgomery e Runger (2007) usam análise de regressão m´ ultipla e regressão stepwise para analisar experimentos fatoriais incompletos. Qumsiyeh e Kirchner (2010) propuseram utilizar bootstrap para estimar as observa¸co˜es perdidas em experimentos. Dois artigos mais recentes que discutem e comparam métodos para planos fatoriais 2k são: Siddiqui e Yang (2010) e Qumsiyeh e Kirchner (2011). Algumas discussões e resultados encontrados em tais artigos são: Siddiqui e Yang (2010) propõem dois métodos de estima¸caõ de dados perdidos, um usando efeitos elementares e outro usando superf´ıcie de resposta. Tais pesquisadores comparam seus métodos propostos com dois outros.

(19) 3 métodos tradicionais: Draper e Stoneman (1964) e regressão m´ ultipla ou stepwise. Os autores chegam a` conclusão que seus métodos tem um desempenho melhor. Segundo Siddiqui e Yang (2010), houve um debate em 1950, que questionou se as estima¸co˜es para as respostas ausentes podem realmente representar as observa¸cões “verdadeiras” que foram perdidas ou simplesmente são valores para serem “colocados” no lugar dos dados em falta. Ainda segundo Siddiqui e Yang (2010), Snedecor (1952) indicou que a finalidade da estima¸caõ de dados faltantes é estimar um n´ umero para ser colocado no espa¸co vazio deixado pelo dado ausente, de modo a extrair convenientemente o restante da informa¸cão. Contudo, esta abordagem tem a desvantagem de ser baseada na resolu¸caõ de equa¸co˜es não lineares simultâneas, que assumem formas diferentes, com diferentes modelos experimentais, tornando-se dif´ıcil assim desenvolver um jeito fácil de implementar o procedimento baseado nesta abordagem. Qumsiyeh e Kirchner (2011), também propõem um método para estimar dados perdidos em experimentos fatoriais. John (1979) propõe um método semelhante ao de Draper e Stoneman (1964). Wilkinson (1958, 1970) também desenvolveu um método para estima¸cão de dados perdidos, mas segundo Qumsiyeh e Kirchner (2011), o método pode exigir cálculos consideráveis. Os autores também criticam os métodos de Draper e Stoneman (1964) e John (1979), considerando que tais métodos necessitam sacrificar contrastes e efeitos. Segundo Qumsiyeh e Kirchner (2011) seus métodos podem ser melhores já que não sacrificam contrastes/efeitos. Mais detalhes sobre tais métodos podem ser encontrados na bibliografia citada. Os recentes artigos de Siddiqui e Yang (2010) e Qumsiyeh e Kirchner (2011), apresentam métodos novos e simples para planos fatoriais 2k e que apresentam um melhor desempenho que os métodos precursores para tais planos. Como ainda ambos os métodos não foram comparados, essa disserta¸caõ tem o objetivo de fazer um estudo comparativo e cr´ıtico utilizando tais métodos. Os cap´ıtulos deste trabalho estão dispostos da seguinte forma: no Cap´ıtulo 2 apresentamos e descrevemos os métodos estudados. No Cap´ıtulo 3 fazemos uma discussão sobre os métodos, onde reanalisamos alguns exemplos do cap´ıtulo anterior com diferentes ensaios perdidos, para verificar algumas caracter´ısticas dos métodos. No Cap´ıtulo 4 fazemos uma compara¸caõ entre os métodos usando os exemplos apresentados e alguns exemplos encontrados na literatura. O Cap´ıtulo 5 é dedicado a um estudo de simula¸caõ, onde o objetivo é corroborar ou refutar os resultados/conclusões apresentados nos Cap´ıtulos 3 e 4. O Cap´ıtulo 6 é o u ´ltimo deste trabalho e nele estão as considera¸cões finais..

(20) Cap´ıtulo 2 M´ etodos de An´ alise 2.1. Introdu¸c˜ ao. Neste cap´ıtulo apresentamos os métodos de estima¸caõ de dados perdidos de Siddiqui e Yang (2010): Método de Efeitos Elementares e Superf´ıcie de Resposta, bem como o Método de n´ıveis compartilhados de Qumsyehe e Kirchner (2011). Apresentamos as funcionalidades dos métodos, descrevendo como os mesmos funcionam e ilustrando, através de exemplos dos próprios autores, a praticabilidade destas técnicas de análise de dados com respostas perdidas. Os gráficos e demais análises feitas foram realizadas no software R (R Development Core Team (2013)).. 2.2 2.2.1. Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸ c˜ ao M´ etodo de Efeitos Elementares. Seja um planejamento fatorial com 3 fatores e 2 n´ıveis. Esse experimento é um planejamento fatorial 23 e tem 8 ensaios ou combina¸co˜es de tratamento. O planejamento é representado geometricamente por um cubo, com os 8 ensaios formando as vértices do cubo (Figura 2.1 (a)). As combina¸cões de tratamento são representadas por letras min´ usculas e os n´ıveis baixo e alto dos três fatores são denotados por − e +, respectivamente. O planejamento também pode ser representado por uma tabela (Figura 2.1 (b)), chamada por matriz de planejamento ou delineamento. Esse planejamento permite que três fatores principais (A,B e C), três intera¸co˜es de dois fatores (AB,AC e BC) e uma intera¸cão de três fatores (ABC) sejam estimados (Montgomery e Runger (2007)). O cálculo dos efeitos fatoriais em experimentos de dois n´ıveis envolve todos os ensaios. 4.

(21) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 5. Figura 2.1: Planejamento 23 (Adaptado de Montgomery e Runger (2007)) (a) Visão Geométrica. (b) A matriz de planejamento 23. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8. Combina¸co˜es de tratamento (1) a b ab c ac bc abc. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. Fator B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C −1 −1 −1 −1 1 1 1 1. Em um experimento fatorial completo 23 , os efeitos principais podem ser calculados da seguinte maneira: −(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc 4 −(1) − a + b + ab − c − ac + bc + abc B= 4 −(1) − a − b − ab + c + ac + bc + abc C= 4 A=. E para intera¸co˜es de 2 fatores, podemos calcular como a seguir (1) − a − b + ab + c − ac − bc + abc 4 (1) − a + b − ab − c + ac − bc + abc AC = 4 (1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc BC = 4 AB =. Para intera¸caõ de três fatores, temos.

(22) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. ABC =. 6. −(1) + a + b − ab + c − ac − bc + abc 4. Pelas as equa¸co˜es (2.1)-(2.6), podemos ver que o cálculo dos efeitos fatoriais necessitam do conjunto de dados completo do experimento. Quando alguns dados são perdidos, não podemos usar estas equa¸co˜es para calcular os efeitos principais. Dessa forma, Siddiqui e Yang (2010) propõem o método de efeito elementares, segundo esses autores, se analisarmos essas equa¸co˜es mais minucia, podemos decompor cada efeito fatorial como a média de diversos efeitos elementares. Na equa¸cão (2.1), podemos identificar os seguintes quatro elementos: a − (1) efeito de A quando B e C estão no n´ıvel baixo ab − b efeito de A quando B está no n´ıvel alto e C está no n´ıvel baixo ac − c efeito de A quando B está no n´ıvel baixo e C está no n´ıvel alto abc − bc efeito de A quando B e C estão no n´ıvel alto De modo similar podemos encontrar os efeitos elementares dos outros efeitos principais. Assim, para um experimento fatorial 2k , cada efeito principal pode ser decomposto em 2k−1 efeitos principais elementares. Os efeitos elementares principais, A, B, C, . . . , são da seguinte maneira: A = β1 = aMa − Ma ∈ {(a − (1)), (ab − b), (ac − c), (abc − bc)} B = β2 = bMb − Mb ∈ {(b − (1)), (ab − a), (bc − c), (abc − ac)} C = β3 = cMc − Mc ∈ {(c − (1)), (ac − a), (bc − b), (abc − ab)} Assim, em geral, os efeitos principais elementares do fator i, βi são da seguinte forma: βi = iMi − Mi onde Mi denota qualquer subconjunto da configura¸cão do n´ıvel do fator que não contém o fator i. Por exemplo, na equa¸caõ (2.8), Mb ∈ {(1), a, c, ac} . Os autores provam em seu artigo, que estes efeitos elementares são estimadores não enviesados dos correspondentes efeitos principais, se as intera¸cões de dois fatores e alta ordem são não significantes. Então, o efeito do fator A pode ser escrito da seguinte forma:.

(23) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. A=. 7. (a − (1)) + (ab − b) + (ac − c) + (abc − bc) 4. Podemos ver que A é uma média de 4 efeitos elementares. Equa¸co˜es similares podem ser obtidas para os outros efeitos principais. Para um experimento fatorial 2k , cada efeito principal é a média aritmética dos seus 2k−1 efeitos elementares. Cada intera¸caõ também pode ser decomposta em vários efeitos elementares de intera¸cão. Por exemplo, na equa¸caõ (2.5), podemos identificar os seguintes efeitos elementares de intera¸caõ: ac − a − c + (1) efeito de AC quando C está no n´ıvel baixo abc − ac − bc + c efeito de AC quando C está no n´ıvel alto. Da equa¸caõ (2.5) obtemos 1 1 1 (ac − c − a + (1)) + (abc − ab − bc + b) . AC = 2 2 2 . . Esta equa¸cão indica que AC é a média de dois efeitos elementares de intera¸cão. Equa¸co˜es similares podem ser obtidas para os outros efeitos de intera¸co˜es de dois fatores. Os efeitos elementares de intera¸cão, AB, AC, BC, . . . , são da seguinte maneira: AB = β12 = abMab − aMab − bMab + Mab ∈ {(ab − a − b + (1)), (abc − ac − bc + c)} AC = β13 = acMac − aMac − cMac + Mac ∈ {(ac − a − c + (1)), (abc − ab − bc + b)} BC = β23. = bcMbc − bMbc − cMbc + Mbc ∈ {(bc − b − c + (1)), (abc − ab − ac + a)}. Assim, em geral, para a intera¸caõ do fator i e fator j, os efeitos elementares de intera¸cão são da seguinte forma: βij = ijMij − iMij − jMij + M ij, onde Mij significa qualquer subconjunto da configura¸cão do n´ıvel do fator que não contém o fator i e fator j. Logo, para um experimento fatorial 2k , cada efeito principal é a média artmética dos seus 2k−1 efeitos elementares, cada efeito de intera¸cão de dois fatores é a média de 2k − 2 efeitos elementares. Os autores fazem a observa¸caõ de que os termos de intera¸cão são mais severamente impactados por observa¸cões perdidas.

(24) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 8. porque eles são compostos de um n´ umero maior de observa¸co˜es do que o n´ umero de observa¸cões para efeitos principais. Segundo os autores, o método dos efeitos elementares consiste nos seguintes passos: Passo 1: Para um experimento fatorial 2k ou experimento fatorial fracionado 2k−p , assumimos o modelo de regressão: y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + . . . βk xk + . . . + β12 x1 x2 + . . . + βk−1,k xk−1 xk + . . . Quando uma ou mais respostas são perdidas, então os coeficientes do modelo (2.12) não podem ser estimados pelo método padrão. Nesse caso, utilizamos a média parcial de efeitos elementares principais para estimar os efeitos fatoriais principais: P. 2βi ≈. βi |ni | ni. i = 1, . . . , k. Onde 2βi representa o i-ésimo efeito fatorial principal para a variável xi , βi representa o efeito elementar principal do fator i e ni o conjunto de efeitos elementares principais que podem ser calculados com as respostas dispon´ıveis. Passo 2: O passo 2 consiste em igualar as estimativas dos efeitos fatoriais encontradas no Passo 1 aos respectivos efeitos, considerando os dados perdidos como valores não conhecidos e resolver as equa¸cões lineares simultâneas: 2βi =. Contrastei 2k−p−1 n. i = 1, . . . , k. Onde n é o numero de réplicas. Passo 3: O passo 3 consiste em preenchermos as observa¸co˜es perdidas por suas estimativas encontradas no passo 2 e analisar os dados usando uma abordagem padrão. 2.2.1.1. Exemplo 2.1. Considere o Exemplo de um processo de produ¸caõ qu´ımica apresentado em Siddiqui e Yang (2010). Em uma unidade qu´ımica piloto, um experimento fatorial 23 é conduzido para investigar o relacionamento entre três variáveis de processo e a produ¸caõ piloto. Codifica¸caõ dos fatores e n´ıveis são mostrados na Tabela 2.1..

(25) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 9. Tabela 2.1: Defini¸co˜es das variáveis do processo de produ¸caõ qu´ımica do Exemplo 2.1. Variáveis do processo. N´ıveis Baixo(−1) Alto(+1) A : temperatura (◦ C) 160 180 B : concentra¸cão (%) 20 40 C : catalisador (tipo) A B A matriz do delineamento com os contrastes dos efeitos principais bem como a variável resposta: produ¸cão, encontra-se na Tabela 2.2. Tabela 2.2: Matriz do delineamento e variável resposta do processo de produ¸cão qu´ımica do Exemplo 2.1. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C Combina¸co˜es Produ¸cão −1 (1) 60 −1 a 72 −1 b 54 −1 ab 68 1 c 52 1 ac 83 1 bc 45 1 abc 80. Os efeitos estimados e coeficientes para y (produ¸cão) encontram-se na Tabela 2.3. Tabela 2.3: Efeitos Estimados e coeficientes para y com os dados completos do Exemplo 2.1. Fator Efeito Estimado Coeficientes Constante 64, 250 A 23, 000 11, 500 B −5, 000 −2, 500 C 1, 500 0, 750 AB 1, 500 0, 750 AC 10, 000 5, 000 BC −0, 000 −0, 000 ABC 0, 500 0, 250.

(26) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 10. O modelo de regressão ajustado é: Y = 64, 25 + 11, 5A − 2, 5B + 0, 75C + 0, 75AB + 5AC + 0, 25ABC Suponha que por alguma razão, não podemos completar todos os ensaios do experimento. Assuma que o terceiro e oitavo ensaio são perdidos e esses valores perdidos são chamados de y1 e y2 respectivamente, como podemos ver na Tabela 2.4. Tabela 2.4: Matriz do delineamento e variável resposta com dados perdidos para o Exemplo 2.1. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C Combina¸co˜es Produ¸cão −1 (1) 60 −1 a 72 −1 b y1 −1 ab 68 1 c 52 1 ac 83 1 bc 45 1 abc y2. O efeito médio de um fator é a combina¸cão de seus efeitos elementares. A média desses efeitos elementares pode ser usada para estimar um efeito fatorial. No entanto, no caso de observa¸cões perdidas, a média parcial dos efeitos elementares pode ser usada. Por exemplo, para calcular o efeito A, da equa¸caõ (2.1), temos 1 [−(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc] 4 1 = [(a − (1)) + (ab − b) + (ac − c) + (abc − bc)] 4. A=. Visto que os ensaios experimentais b e abc são perdidos, não podemos calcular os efeitos elementares ab − b e abc − bc, mas ainda temos dados para calcular os efeitos elementares a − 1 e ac − c, por isso vamos usar a média parcial de a − 1 e ac − c para estimar A, que é, A≈. 1 1 [(a − (1)) + (ac − c)] = [(72 − 60) + (83 − 52)] = 21, 5. 2 2.

(27) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 11. Similarmente, 1 1 [(ab − a) + (bc − c)] = [(68 − 72) + (45 − 52)] = −5, 5 2 2 1 1 C ≈ [(c − (1)) + (ac − a)] = [(52 − 60) + (83 − 72)] = 1, 5 2 2. B≈. Para os efeitos de intera¸cão, podemos usar um procedimento similar. Por exemplo, da equa¸caõ (2.4), podemos obter 1 1 1 AC = ((1) − a − c + ac) + (b − ab − bc + abc) . 2 2 2 . . Como os ensaios experimentais b e abc são perdidos, não podemos calcular o efeito 1 de intera¸caõ elementar (b − ab − bc + abc), mas podemos utilizar a outra metade para 2 calcular AC. AC ≈. 1 1 [(1) − a − c + ac] = [60 − 72 − 52 + 83] = 9, 5 2 2. A estima¸cão dos efeitos principais, utilizando a média parcial dos efeitos elementares é muito boa, mas a estimativa dos efeitos de intera¸caõ pela média parcial dos efeitos elementares pode sofrer de erros de estimativa maiores e não ser viável para alguns cálculos de intera¸cão. A razão é que um efeito de intera¸caõ possui um n´ umero maior de termos de efeitos elementares que em efeitos principais. Considere as intera¸co˜es AB e BC:. ab − a − b + (1) + abc − bc − ac + c 4 1 1 1 = (abc − bc − ac + c) + (ab − a − b + (1)) 2 2 2 (1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc BC = 4 1 1 1 = (a − ab − ac + abc) + ((1) − b − c + bc) 2 2 2 AB =. Neste exemplo, os efeitos de intera¸cão AB e BC usando o método de médias parciais não podem ser calculados pois os termos perdidos 0 b0 e 0 abc0 encontram-se em cada um dos efeitos elementares. Portanto, se existem termos ausentes e estes ocorrem em cada um dos dois efeitos elementares de um termo de intera¸cão, então é imposs´ıvel obter uma estimativa destes efeitos de intera¸caõ. Para superar este problema, usamos.

(28) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 12. os efeitos principais estimados para estabelecer equa¸cões em termos de observa¸cões desconhecidas e então, utilizamos essas equa¸co˜es para estimar os dados em falta no experimento. Igualamos o efeito calculado a partir dos efeitos elementares parciais a todo efeito do fator. Neste exemplo, utilizando as equa¸cões (2.1), (2.2) e (2.3), podemos escrever, A= = B= = C= =. −(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc 4 −60 + 72 − b + 68 − 52 + 83 − 45 + abc = 21, 5 4 −(1) − a + b + ab − c − ac + bc + abc 4 −60 − 72 + b + 68 − 52 − 83 + 45 + abc = −5, 5 4 −(1) − a − b − ab + c + ac + bc + abc 4 −60 − 72 − b − 68 + 52 + 83 + 45 + abc = 1, 5 4. Resolvendo os pares de equa¸cões (2.15) e (2.16), bem como as equa¸co˜es (2.16) e (2.17), e tomando as médias das solu¸cões desses sistemas, obtemos uma estimativa dos dados perdidos. b = y1 = 54, 3 abc = y2 = 77, Podemos ver que os dados perdidos estimados são bastante próximos dos valores reais b = 54 e abc = 80. Colocando os valores estimados b = y1 = 54, 3 e abc = y2 = 77, 5 de volta na Tabela 2.4 e executando uma nova análise, obtemos os resultados encontrados nas colunas 3 e 4 da Tabela 2.5. Comparando com a análise sem dados perdidos, podemos ver que os resultados obtidos são similares, e o modelo de regressão ajustado é: Y = 64, 00 + 11, 12A − 2, 75B + 0, 37C + 0, 375AB + 4, 75AC + 0, 25ABC.

(29) Fator. Efeitos estimados Coeficientes (dados completos) (dados completos) Constante 64, 25 A 23, 00 11, 50 B −5, 00 −2, 50 C 1, 50 0, 75 AB 1, 50 0, 75 AC 10, 00 5, 00 BC −0, 00 −0, 00 ABC 0, 50 0, 25. Efeitos estimados Coeficientes (dados estimados) (dados estimados) 64, 00 22, 25 11, 12 −5, 50 −2, 75 0, 75 0, 37 0, 75 0, 37 9, 50 4, 75 −0, 75 −0, 37 0, 00 0, 00. 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. Tabela 2.5: Compara¸cão dos efeitos estimados e coeficientes de regressão (dados completos X dados estimados) para o Exemplo 2.1.. 13.

(30) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 2.2.2. 14. M´ etodo de Superf´ıcie de Resposta. Segundo Siddique e Yang (2010) a modelagem de superf´ıcie de resposta é uma técnica de modelagem emp´ırica de ajuste de dados para aproxima¸cão de modelos matemáticos. O método consiste dos seguintes passos: Passo 1 - Verifique quais são os ensaios correspondentes aos dados perdidos. Ajuste um modelo de superf´ıce de resposta sem os ensaios que correspondem às observa¸cões perdidas. Passo 2 - Use o modelo do passo 1 para prever as observa¸co˜es perdidas da seguinte forma: Verifique quais são os n´ıveis dos fatores de cada ensaio correspondente a cada observa¸cão perdida. Estime cada resposta perdida, substituindo os valores dos n´ıveis no modelo de superf´ıcie de resposta ajustado no Passo 1. Passo 3 - Após estimar os dados perdidos, reanalise os dados por algum método padrão. 2.2.2.1. Exemplo 2.2. O método é ilustrado usando os dados do Exemplo 2.1. Assumimos que o terceiro e oitavo ensaio experimental y1 = b = 54 e y2 = abc = 80 são perdidos. Com os outros 6 ensaios restantes, executamos uma análise de superf´ıcie de resposta (análise feita no software R). Os efeitos estimados e coeficientes para y (produ¸cão) utilizando apenas os 6 ensaios, encontram-se na Tabela 2.6. Tabela 2.6: Coeficientes para y com dados em falta para o Exemplo 2.2. Fator Coeficientes Constante 64, 00 A 11, 50 B −2, 75 C 0, 75 AB 0, 75 AC 4, 75.

(31) 2.2 Siddiqui e Yang (2010) - Apresenta¸caõ. 15. O modelo de superf´ıcie de resposta ajustado é: Y = 64 + 11, 5A − 2, 75B + 0, 75C + 0, 75AB + 4, 75AC.. Para o dado perdido y1 = b, os n´ıveis dos fatores são A = −1, B = 1, C = −1 e para o dado perdido y2 = abc, eles são A = 1, B = 1, C = 1. Colocando esses valores na equa¸cão (2.18), temos:. y1 = b = 64 + 11, 5(−1) − 2, 75(1) + 0, 75(−1) + 0, 75(−1) + 4, 75(1) = 53 y2 = abc = 64 + 11, 5(1) − 2, 75(1) + 0, 75(1) + 0, 75(1) + 4, 75(1) = 79. Comparando com os valores reais b = 54 e abc = 80, podemos ver que os dados estimados são bem próximos dos valores reais. Ajustando novamente o modelo de superf´ıcie de resposta com os dados estimados, obtemos os seguintes resultados: Tabela 2.7: Compara¸cão dos coeficientes de regressão (dados completos X dados perdidos X dados estimados) para o Exemplo 2.2. Fator. Coeficientes Coeficientes Coeficientes (dados completos) (dados perdidos) (dados estimados) Constante 64, 25 64, 00 64, 00 A 11, 50 11, 50 11, 50 B −2, 50 −2, 75 −2, 75 C 0, 75 0, 75 0, 75 AB 0, 75 0, 75 0, 75 AC 5, 00 4, 75 4, 75 BC −0, 00 − − ABC 0, 25 − −.

(32) 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸caõ. 2.3. 16. Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸ c˜ ao. Qumsyehe e Kirchner (2011) enfatizam que observa¸cões perdidas em experimentos fatoriais podem alterar os efeitos, pois os mesmos dependem de cada observa¸cão. Eles apresentam 3 métodos para estima¸caõ de observa¸cões perdidas. Os métodos analisados pelos autores são: Draper e Stoneman (1964) e John (1979), onde os autores ressaltam que esses métodos sacrificam efeitos. Qumsyehe e Kirchner (2011) também apresentam um novo método, que segundo os mesmos não sacrificam efeitos e tem um bom desempenho, esse novo método será aqui chamado de: Método de n´ıveis compartilhados de Qumsyehe e Kirchner (2011). Assim como no artigo de Qumsyehe e Kirchner (2011), o gráfico de probabilidade semi-normal (half-normal plot) de Daniel (1959) é utilizado para julgar a significância dos efeitos.. 2.3.1. O m´ etodo. O método funciona da seguinte forma: Para 1 resposta perdida: a estima¸caõ é feita pela média aritmética simples de todas as respostas que compartilham (k − 1) n´ıveis com as respostas perdidas. Para 2 respostas perdidas: para 2 respostas perdidas teremos 2 casos distintos: Caso 1 (As respostas perdidas não compartilham k −1 n´ıveis): Neste caso podemos estimar cada observa¸caõ perdida pela média simples daquelas respostas que compartilham k − 1 n´ıveis com as respostas perdidas. Caso 2 (As respostas perdidas compartilham k−1 n´ıveis): Neste caso o método funciona assim: Seja X a primeira resposta ausente e Y a segunda. Devemos inicialmente estimar X pela média simples de todos os dados que compartilham k − 1 n´ıveis com X. Então, estimamos Y pela média simples dos dados que compartilham k − 1 n´ıveis com Y , incluindo o novo X. Em seguida, re-estimamos X pela média simples de todas as respostas que compartilham k − 1 n´ıveis com X, incluindo Y . Depois, re-estimamos Y pela média simples de todas as respostas perdidas que compartilham k−1 n´ıveis com Y ..

(33) 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸caõ 2.3.1.1. 17. Exemplo 2.3 - Uma resposta perdida em um experimento fatorial 24. Este é um exemplo de um experimento fatorial 24 , introduzido por Yin e Jullie (1987 apud QUMSIYEH e KIRCHNER, 2011). A variável resposta de interesse é a taxa de nitreto de sil´ıcio. Listamos abaixo com suas unidades de medidas e n´ıveis, os quatro fatores que os pesquisadores acreditam afetar a variável resposta: • Fator A: Lacuna entre o anodo e o catodo, baixo-0, 8 cm alto-1, 2 cm. • Fator B: Pressão na câmara do reator, baixo-4, 5 mTorr alto-550 mTorr. • Fator C: C2 F6 fluxo de gás, baixo-125SCCM alto-200 SCCM. • Fator D: Potência aplicada ao catodo, baixo-275W alto-325W. A matriz do delineamento com os contrastes dos efeitos principais bem como a variável resposta encontram-se na Tabela 2.8. Tabela 2.8: Matriz do delineamento e variável resposta (Y: Taxa de nitreto de sil´ıcio) do Exemplo 2.3. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1. D Combina¸cões Y −1 (−) 550 −1 a 669 −1 b 604 −1 ab 650 −1 c 633 −1 ac 642 −1 bc 601 −1 abc 635(− − −) 1 d 1037 1 ad 749 1 bd 1052 1 abd 868 1 cd 1075 1 acd 860 1 bcd 1063 1 abcd 729. Utilizando o gráfico de probabilidade semi-normal com os dados originais completos (Figura 2.2 (a)), foi identificado que os fatores A, D e a intera¸caõ AD são os fatores ativos (fatores que tem um efeito sobre a resposta). Assuma que a resposta 635 da.

(34) 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸caõ. 18. D. ● BC ● ABCD ●AC BCD ABC CAB ACD ABD BDBCD. 0.0. 0.5. ●. 1.0. 1.5. 0. ● ● ● ● ● ● ●. 2.0. Quantis Semi−Normais. (a) Gr´ afico (dados completos).. 2.5. AD. A. ●. ● ABCD ● BC ● BCD ● AC ABC C AB CD ACD BD ABD B. ●. 0. D. 200. ●. 50. A. ●. 150. Efeitos absolutos. AD. 100. 250 200 150 100. ●. 50. Efeitos absolutos. ●. 250. ●. 300. 300. combina¸cão abc foi perdida. Como este experimento é completo, a resposta perdida foi escolhida aleatoriamente. As combina¸cões de tratamentos que compartilham exatamente k − 1 n´ıveis com esta resposta (abc) são: ab, ac, bc, e abcd. Com a simples média destas respostas, temos 653, 75 como uma estimativa para a resposta perdida. Agora que temos todas as observa¸co˜es completas executamos um gráfico de probabilidade semi-normal dos efeitos (Figura 2.2 (b)). Observando o gráfico podemos concluir que temos uma estimativa adequada; novamente, os fatores A, D e a intera¸caõ AD são os fatores ativos, assim como no caso quando não t´ınhamos resposta perdida.. ● ● ● ● ● ● ● ●. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. Quantis Semi−Normais. (b) Gráfico (dados estimados - 1 resposta perdida).. Figura 2.2: Gráficos de probabilidade semi-normal do Exemplo 2.3.. 2.3.1.2. Exemplo 2.4 - Duas respostas perdidas em um experimento fatorial 24. • Caso 1: Duas respostas perdidas em um experimento fatorial 24 que não compartilham k − 1 = 3 n´ıveis. Assumir que duas respostas são perdidas. As respostas ac e bcd são aleatoriamente selecionadas como respostas perdidas (Tabela 2.9). As combina¸cões de tratamento que compartilham exatamente 3 n´ıveis com a resposta ac são: c, abc, a, e acd. As combina¸co˜es de tratamento que compartilham exatamente 3 n´ıveis com a resposta bcd são: bc, cd, bd, e abcd. Tomando a média aritmética das respostas para ac, temos o valor 699, 25 como estimativa para a resposta perdida de ac. Adicionalmente, tomando a média aritmética das respostas para bcd, temos 864, 25 como estimativa para resposta de.

(35) 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸caõ. 19. Tabela 2.9: Matriz do delineamento e variável resposta (Y : Taxa de nitreto de sil´ıcio) - Duas respostas perdidas (Caso 1) do Exemplo 2.4. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1. D Combina¸cões Y −1 (−) 550 −1 a 669 −1 b 604 −1 ab 650 −1 c 633 −1 ac 642(− − −) −1 bc 601 −1 abc 635 1 d 1037 1 ad 749 1 bd 1052 1 abd 868 1 cd 1075 1 acd 860 1 bcd 1063(− − −) 1 abcd 729. bcd. Agora com as estimativas, executamos um gráfico de probabilidade semi-normal dos efeitos (Figura 2.3). Observando o gráfico podemos concluir que temos uma estimativa adequada; novamente, os fatores A, D e a intera¸cão AD são os fatores ativos, assim como no caso em que não t´ınhamos resposta perdida. A é ligeiramente significativo, por isso, deverá ser examinado em um experimento adicional.. • Caso 2: Duas respostas perdidas em um experimento fatorial 24 que compartilham k − 1 = 3 n´ıveis. As respostas ad e acd são aleatoriamente selecionadas como respostas perdidas. As combina¸cões de tratamentos que compartilham exatamente 3 n´ıveis com a resposta ad são: d, abd, a, e acd (note que acd está entre eles). As combina¸co˜es de tratamento que compartilham exatamente 3 n´ıveis com a resposta acd são: ac, ad, cd, e abcd (note que ad está entre eles também). Como mencionado previamente, executamos os passos necessários para estima¸caõ neste caso. Estimamos a primeira resposta perdida pela média aritmética das três respostas dispon´ıveis que compartilham 3 n´ıveis com a resposta perdida. Então, estimamos a segunda observa¸caõ perdida pela média aritmética de todas as respostas que compartilham 3 n´ıveis com a resposta perdida incluindo a estima¸caõ anterior. Finalmente, reestimamos a primeira observa¸caõ perdida pela mé-.

(36) 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸caõ. 20. D. 150. ●. AD. 100. Efeitos absolutos. 200. 250. ●. 50. ● ● BCD ● ABD ● ● BCD ACD BD ● ● ABC ● ● AC ABCD ABC. 0. ●. ●. 0.0. ● A BC. ●. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. Quantis Semi−Normais. Figura 2.3: Gráfico de probabilidade semi-normal (2 respostas perdidas - Caso 1) do Exemplo 2.4. Tabela 2.10: Matriz do delineamento e variável resposta (Y : Taxa de nitreto de sil´ıcio) - Duas respostas perdidas (Caso 2) do Exemplo 2.4. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1. D Combina¸cões Y −1 (−) 550 −1 a 669 −1 b 604 −1 ab 650 −1 c 633 −1 ac 642 −1 bc 601 −1 abc 635 1 d 1037 1 ad 749(− − −) 1 bd 1052 1 abd 868 1 cd 1075 1 acd 860(− − −) 1 bcd 1063 1 abcd 729. dia aritmética de todas as respostas que compartilham 3 n´ıveis com a resposta perdida incluindo a segunda estima¸caõ. Repita o procedimento novamente com a segunda resposta em falta. Temos agora duas estima¸cões para cada resposta. Tomando a média.

(37) 2.3 Qumsyehe e Kirchner (2011) - Apresenta¸caõ. 21. aritmética destas estimativas, temos 854 como uma estimativa para a resposta ad e 825 como estimativa para a resposta acd. Com todas as estimativas, refazemos o gráfico de probabilidade semi-normal dos efeitos (Figura 2.4). Observando o gráfico podemos concluir que temos uma estimativa adequada; novamente, os fatores A, D e a intera¸cão AD são os fatores ativos, assim como no caso em que não t´ınhamos resposta perdida.. D. 200 150 100. ●. ●. 0. 0.0. AC. ● BC ABCD ABCD ● ● ● ● BD C BACD ● ●ABD ABCBCD ● ●. ●. AD. A. ●. 50. Efeitos absolutos. 250. 300. ●. 0.5. ●. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. Quantis Semi−Normais. Figura 2.4: Gráfico de probabilidade semi-normal (2 respostas perdidas - Caso 2) para o Exemplo 2.4..

(38) Cap´ıtulo 3 Discuss˜ ao sobre os m´ etodos 3.1. Introdu¸c˜ ao. O objetivo deste cap´ıtulo é fazer uma discussão sobre os métodos apresentados e verificar algumas caracter´ısticas relacionadas aos métodos. Siddiqui e Yang (2010) apresentaram um exemplo 23 e Qumsyehe e Kirchner (2011) apresentaram um exemplo 24 . Temos o interesse de verificar como os métodos se comportam com outros pontos de dados faltantes diferentes dos apresentados nos exemplos do Cap´ıtulo 2, bem como apresentar passo a passo como os métodos de Siddiqui e Yang (2010) se comportam em um exemplo 24 , além de apresentar como o método de n´ıveis compartilhados de Qumsyehe e Kirchner (2011) se comportam em em um exemplo 23 . Também temos interesse em verificar, discutir e apresentar algumas caracter´ısticas peculiares de cada método de Siddiqui e Yang (2010).. 3.2 3.2.1. Siddiqui e Yang (2010) - Discuss˜ ao M´ etodo de Efeitos Elementares. O objetivo desta se¸cão é verificar/investigar algumas caracter´ısticas do método de efeitos elementares. As caracter´ısticas ou questões que queremos investigar são: • Ponto 1: As estimativas podem melhorar se usarmos pares de equa¸cões que contenham estimativas de efeitos de intera¸co˜es? • Ponto 2: Como o método funciona ou se comporta em outras combina¸cões de tratamento perdidas (diferente dos ensaios do Exemplo 2.2)? 22.

(39) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 23. • Ponto 3: Como o método funciona ou se comporta com um exemplo 24 . Para verificar as caracter´ısicas acima usamos dois exemplos: • Exemplo 3.1: Dados de Siddiqui e Yang (2010). Exemplo 2.1 refeito com as respostas para as combina¸co˜es (1) e a perdidas. • Exemplo 3.2: Dados de Qumsyehe e Kirchner (2011). Neste exemplo, iremos analisar os dados do Exemplo 2.4 utilizando o método de Siddiqui e Yang (2010). 3.2.1.1. Exemplo 3.1. Dados de Siddiqui e Yang (2010). O Exemplo 2.1 utiliza como respostas perdidas as combina¸co˜es b e abc e a média das solu¸co˜es de (A, B) e (B, C) para estima¸cão das respostas perdidas. Neste exemplo propomos como respostas perdidas os ensaios (1) e a, e as médias das solu¸co˜es de diferentes pares de equa¸co˜es (no Passo 2) do método de efeitos elementares. Suponha que as respostas para as combina¸co˜es (1) e a são perdidas e esses valores perdidos são chamados de y1 e y2 respectivamente (Tabela 3.1). Tabela 3.1: Matriz do delineamento e variável resposta com dados perdidos para o Exemplo 3.1. Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8. A −1 1 −1 1 −1 1 −1 1. B −1 −1 1 1 −1 −1 1 1. C Combina¸cões −1 (1) −1 a −1 b −1 ab 1 c 1 ac 1 bc 1 abc. Produ¸caõ y1 y2 54 68 52 83 45 80. Como vimos anteriormente, o efeito médio de um fator é a combina¸cão de seus efeitos elementares. A média desses efeitos elementares pode ser usada para estimar um efeito fatorial. No entanto, no caso de observa¸co˜es perdidas, a média parcial dos efeitos elementares pode ser usada. Por exemplo, para calcular o efeito A, da equa¸cão (2.1), temos 1 [−(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc] 4 1 = [(a − (1)) + (ab − b) + (ac − c) + (abc − bc)] 4. A=.

(40) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 24. Como os ensaios (1) e a são perdidos, não podemos calcular o efeito elementar a − (1), mas podemos calcular os efeitos elementares: (ac − c), (ab − b), e (abc − bc), e assim calcular a média aritmética destes efeitos para estimar A, que é, A≈. 1 1 [(ac − c) + (ab − b) + (abc − bc)] = [(83 − 52) + (68 − 54) + (80 − 45)] ≈ 26, 7 3 3. Similarmente, 1 1 [(bc − c) + (abc − ac)] = [(45 − 52) + (80 − 83)] = −5 2 2 1 1 C ≈ [(bc − b) + (abc − ab)] = [(45 − 54) + (80 − 68)] = 1, 5 2 2 B≈. Para os efeitos de intera¸cão, podemos usar um procedimento similar. Por exemplo, da equa¸caõ (2.4), podemos obter. 1 1 1 ((1) − a − c + ac) + (b − ab − bc + abc) AC = 2 2 2 . . Como os ensaios experimentais (1) e a são perdidos, não podemos calcular o efeito 1 de intera¸caõ elementar ((1) − a − c + ac), mas podemos utilizar a outra metade para 2 calcular AC.. AC ≈. 1 1 [b − ab − bc + abc] = [54 − 68 − 45 + 80] = 10, 5 2 2. Similarmente,. AB ≈. 1 1 [abc − bc − ac + c] = [80 − 45 − 83 + 52] = 2 2 2. A estima¸caõ dos efeitos principais, utilizando a média parcial dos efeitos elementares é muito boa, mas a estimativa dos efeitos de intera¸cão pela média parcial dos efeitos elementares pode sofrer de erros de estimativa maiores e não ser viável para.

(41) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 25. alguns cálculos de intera¸cão. A razão é que um efeito de intera¸cão possui um n´ umero maior de termos de efeitos elementares que em efeitos principais. Considere a intera¸cão BC:. (1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc 4 1 1 1 = (a − ab − ac + abc) + ((1) − b − c + bc) 2 2 2. BC =. Neste exemplo, o efeito de intera¸cão BC usando o método de médias parciais não pode ser calculado pois os termos perdidos (1) e a encontram-se em cada um dos efeitos elementares. Portanto, se existem termos ausentes e estes ocorrem em cada um dos dois efeitos elementares de um termo de intera¸caõ, então é imposs´ıvel obter uma estimativa destes efeitos de intera¸caõ. Para superar este problema, usamos os efeitos principais estimados para estabelecer equa¸co˜es em termos de observa¸cões desconhecidas e, utilizamos essas equa¸cões para estimar os dados em falta no experimento. Igualamos o efeito calculado a partir dos efeitos elementares parciais a todo efeito do fator. Neste exemplo, utilizando as equa¸co˜es (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5) podemos escrever, A= = B= = C= = AB = = AC = =. −(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc 4 −(1) + a − 54 + 68 − 52 + 83 − 45 + 80 = 26, 7 4 −(1) − a + b + ab − c − ac + bc + abc 4 −(1) − a + 54 + 68 − 52 − 83 + 45 + 80 = −5, 0 4 −(1) − a − b − ab + c + ac + bc + abc 4 −(1) − a − 54 − 68 + 52 + 83 + 45 + 80 = 1, 5 4 ab − a − b + (1) + abc − bc − ac + c 4 68 − a − 54 + (1) + 80 − 45 − 83 + 52 =2 4 (1) − a + b − ab − c + ac − bc + abc 4 (1) − a + 54 − 68 − 52 + 83 − 45 + 80 = 10, 5 4.

(42) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 26. Resolvendo os pares de equa¸co˜es (3.1) e (3.2), obtemos   −(1) + a. = 26, 8. −(1) − a. = −132.. (A, B) .   (1). →.  a. = 52, 6 e. = 79, 4.. Para os pares de equa¸co˜es (3.1) e (3.3), obtemos. (A, C).   −(1) + a. = 26, 8.  −(1) − a. = −132..   (1). →.  a. = 52, 6 e. = 79, 4.. Para os pares de equa¸co˜es (3.1) e (3.4), obtemos. (A, AB).   −(1) + a  (1) − a. = 26, 8. →. não possui solu¸caõ. = −10.. Para os pares de equa¸co˜es (3.1) e (3.5), obtemos. (A, AC).   −(1) + a  (1) − a. = 26, 8. →. não possui solu¸caõ. = −10.. Para os pares de equa¸co˜es (3.2) e (3.3), obtemos. (B, C).   −(1) − a. = −132.  −(1) − a. = −132.. →. não possui solu¸caõ. Para os pares de equa¸co˜es (3.2) e (3.4), obtemos   −(1) − a. (B, AB) . (1) − a. = −132. = −10.. →.   a. = 71 e.  (1). = 61..

(43) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 27. Para os pares de equa¸co˜es (3.2) e (3.5), obtemos. (B, AC).   −(1) − a  (1) − a. = −132. →. = −10..   a. = 71 e.  (1). = 61.. Para os pares de equa¸co˜es (3.3) e (3.4), obtemos   −(1) − a. = −132. →. (C, AB)  (1) − a = −10..   a. = 71 e.  (1). = 61.. Para os pares de equa¸co˜es (3.3) e (3.5), obtemos. (C, AC).   −(1) − a  (1) − a. = −132. →. = −10..   a. = 71 e.  (1). = 61.. Para os pares de equa¸co˜es (3.4) e (3.5), obtemos. (AB, AC).   (1) − a. = −10.  (1) − a. = −10.. →. não possui solu¸caõ. Em rela¸caõ aos sistemas acima, podemos concluir que: • Os pares de equa¸co˜es ou sistemas (A, AB) e (A, AC) possuem as mesmas equa¸co˜es, com os sistemas sem solu¸caõ. Os pares (B, C) e (AB, AC) também não possuem solu¸caõ. • Os pares de equa¸co˜es ou sistemas (A, B) e (A, C) possuem as mesmas equa¸cões e consequentemente solu¸co˜es iguais, com as seguintes estimativas: (1) = 52, 6 e a = 79, 4. • Os pares de equa¸co˜es ou sistemas (B, AB), (B, AC), (C, AB) e (C, AC), possuem as mesmas equa¸cões e consequentemente solu¸co˜es iguais, com as seguintes.

(44) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 28. estimativas: a = 71 e (1) = 61. Sejam os seguintes grupos de pares: Grupo 1, formado pelos pares: (A, B) e (A, C) e Grupo 2, formado pelos pares (B, AB), (B, AC), (C, AB) e (C, AC). Se usarmos como estimativa apenas a média dos pares do grupo 1 (pares de fatores principais), temos as seguintes estimativas: (1) = 52, 6 e a = 79, 4. Já utilizando a média dos pares do grupo 2 (pares de fatores principais e intera¸co˜es), temos como estimativa para as respostas perdidas os valores: (1) = 58, 2 e a = 73, 8. Podemos ver que as estimativas do grupo 2 (pares de fatores principais e intera¸co˜es), são as que mais se aproximam dos valores reais (1) = 60 e a = 72. Colocamos os valores estimados de volta na Tabela 3.1 e executamos uma nova análise, obtendo novos resultados (Tabela 3.2). Comparando com a análise sem dados perdidos, podemos ver que os resultados obtidos são similares, apenas os coeficientes de regressão de AB e ABC são um pouco distantes. Tabela 3.2: Compara¸caõ dos coeficientes de regressão (dados completos X dados estimados) para o Exemplo 3.1. Fator. Coeficientes Coeficientes (dados completos) (dados estimados) Constante 64, 25 64, 25 A 11, 50 11, 94 B −2, 50 −2, 50 C 0, 75 0, 75 AB 0, 75 0, 30 AC 5, 00 4, 55 BC −0, 00 −0, 00 ABC 0, 25 0, 69 Deste exemplo, podemos ver que as estimativas para os dados perdidos usando os pares de equa¸co˜es de efeitos de fatores principais e fatores de intera¸caõ são mais precisas que as estimativas dos pares de equa¸co˜es que utilizam equa¸co˜es formadas apenas com efeitos de fatores principais. Assim, podemos concluir (pelo menos para este exemplo), que o uso de equa¸co˜es de estimativas de fatores de intera¸cão no Passo 2 do método de Efeitos Elementares , pode melhorar a precisão das estimativas das respostas em falta. 3.2.1.2. Exemplo 3.2. Dados de Qumsyehe e Kirchner (2011). Neste exemplo, iremos analisar os dados do Exemplo 2.4 utilizando o método de Siddiqui e Yang (2010). Assumimos que temos duas respostas perdidas em um experimento fatorial 2k . Como apresentado no Exemplo 2.4, as respostas ac e bcd são aleatoriamente selecionadas como respostas perdidas.

(45) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão. 29. (Tabela 2.9). Como vimos anteriormente, o efeito médio de um fator é uma combina¸caõ de seus efeitos elementares. A média desses efeitos elementares podem ser usadas para estimar um efeito fatorial. No entanto, no caso de observa¸cões perdidas, a média parcial dos efeitos elementares pode ser usada. Por exemplo, para calcular o efeito A, temos 1 [−(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc − d + ad − bd + abd − cd 8 1 +acd − bcd + abcd] = [(a − (1)) + (ab − b) + (ac − c) + (abc − bc) 8 +(ad − d) + (abd − bd) + (acd − cd) + (abcd − bcd)]. A=. Visto que os ensaios experimentais ac e bcd são perdidos, não podemos calcular os efeitos elementares ac − c e abcd − bcd, mas ainda temos dados para calcular os efeitos elementares a − (1), (ab − b), abc − bc, ad − d, abd − bd e acd − cd, por isso vamos usar a média parcial desses efeitos elementares para estimar A, que é, 1 [(a − (1)) + (ab − b) + (abc − bc) + (ad − d) + (abd − bd) − (acd − cd)] 6 1 = [(669 − 550) + (650 − 604) + (635 − 601) + (749 − 1037) + (868 − 1052) 6 +(860 − 1075)] = −81, 33. A≈. Similarmente, B≈ =. 1 [(b − (1)) + (ab − a) + (bc − c) + (bd − d) + (abd − ad) + (abcd − acd)] 6. 1 [(604 − 550) + (650 − 669) + (601 − 633) + (1052 − 1037) + (868 − 749) 6 +(729 − 860) = 1. 1 [(c − (1)) + (bc − b) + (abc − ab) + (acd − ad) + (cd − d) + (abcd − abd)] 6 1 = [(633 − 550) + (601 − 604) + (635 − 650) + (860 − 749) + (1075 − 1037) 6 +(729 − 868) = 12, 5. C≈.

(46) 3.2 Siddiqui e Yang (2010) - Discussão D≈ =. 30. 1 [(d − (1)) + (ad − a) + (bd − b) + (abd − ab) + (cd − c) + (abcd − abc)] 6. 1 [(1037 − 550) + (749 − 669) + (1052 − 604) + (868 − 650) + (1075 − 633) 6 +(729 − 635)] = 294, 83. Igualamos o efeito calculado a partir dos efeitos elementares parciais com o efeito do fator. Neste exemplo, podemos escrever, 1 [−(1) + a − b + ab − c + ac − bc + abc − d + ad − bd + abd − cd 8 1 +acd − bcd + abcd] = (−550 + 669 − 604 + 650 − 633 + ac − 601 + 635 8 −1037 + 749 − 1052 + 868 − 1075 + 860 − bcd + 729) = −81, 33 A=. 1 [−(1) − a + b + ab − c − ac + bc + abc − d − ad − bd + abd − cd 8 1 −acd + bcd + abcd] = (−550 − 669 + 604 + 650 − 633 − ac + 601 + 635 8 −1037 − 749 − 1052 + 868 − 1075 − 860 + bcd + 729) = 1 B=. 1 [−(1) − a − b − ab + c + ac + bc + abc − d − ad − bd − abd + cd 8 1 +acd + bcd + abcd] = (−550 − 669 − 604 − 650 + 633 + ac + 601 + 635 8 −1037 − 749 − 1052 − 868 + 1075 + 860 + bcd + 729) = 12, 5 C=. 1 [−(1) − a − b − ab − c − ac − bc − abc + d + ad + bd + abd + cd 8 1 +acd + bcd + abcd] = (−550 − 669 − 604 − 650 − 633 − ac − 601 − 635 8 +1037 + 749 + 1052 + 868 + 1075 + 860 + bcd + 729) = 294, 83 D=. Resolvendo os pares de equa¸cões (A, B), bem como os pares: (A, C), (A, D), (B, C), (B, D) e (C, D), obtemos:   ac − bcd. = −258, 67 (A, B)  −ac + bcd = 442.. (A, C).   ac − bcd. = −258, 67.  ac + bcd. = 1746, 0.. →. →. não possui solu¸caõ.   ac. = 743, 67 e.  bcd. = 1002, 33..