C
Ca
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1
C
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Qu
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ca
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Todas as equa¸Todas as equa¸c˜c˜oes oes que que obtivemos obtivemos at´at´e e agora agora foram foram lineareslineares, , isto isto ´´e, e, equa¸equa¸c˜c˜oes que envolvem apenasoes que envolvem apenas termos do primeiro grau em
termos do primeiro grau em x, x, yy e e z z .. Neste cap Neste cap´´ıtulo ıtulo estudarestudaremos pemos primeirarimeiramente as mente as curvas plancurvas planasas que podem ser representadas pelas equa¸
que podem ser representadas pelas equa¸c˜c˜oes do segundo grau nas vari´oes do segundo grau nas vari´aveisaveis xx ee y.y. A seguir, A seguir, estud
estudaremoaremos s as as superfsuperf´´ıcieıcies s que que podem podem ser ser reprrepresenesentadas tadas pelas pelas equa¸equa¸c˜c˜oes do segundo grau nasoes do segundo grau nas vari´
vari´aveisaveis x,x, yy ee z.z.
1
1..1
1 C
Cˆ
ˆ
onicas
onicas
AsAs cˆcˆonicasonicas s˜s˜ao curvas planas obtidas pela intersec¸ao curvas planas obtidas pela intersec¸c˜c˜ao de um cone circular duplo (figura 1.1)ao de um cone circular duplo (figura 1.1) com um ´
com um ´uniunico planoco plano. . A incliA inclina¸na¸c˜c˜ao do plano com rela¸ao do plano com rela¸c˜c˜ao ao eixo de simetria do cone determi-ao ao eixo de simetria do cone determi-nar´
nar´a a os diveos diversorsos s tipotipos s de curvde curvas. as. EssEssas curvas curvas s˜as s˜ao chamadas de cˆao chamadas de cˆonionicascas. . S˜S˜ao ao elas: elas: cc´´ırculo ırculo ouou circ
Figur
Figura a 1.2:1.2:
Observa¸
Observa¸c˜c˜ao 1.1ao 1.1 Se Se o o plano plano passar passar pelo pelo v´v´ertice ertice OO do cone obtemos as do cone obtemos as cˆcˆonicas degeneradas:onicas degeneradas:
Figura 1.3: cˆ
Figura 1.3: cˆonicas degeneradasonicas degeneradas
Estudaremos somente as cˆ
1
1.1.1.1 .1 ElElipipssee
Uma
Uma elipse elipse ´ ´e e o o conjunto conjunto dos dos pontospontos P P ((x,x, yy) do plano tais que a soma das distˆ) do plano tais que a soma das distˆancia deancia de P P a dois a dois pontos fixos
pontos fixos F F 11 ee F F 22 situados no situados no mesmo plano mesmo plano ´´e constante. e constante. Os pOs pontosontos F F 11 ee F F 22,, s˜s˜ao chamadosao chamados
focos
focos da elipse. da elipse.
Figura 1.4: elipse Figura 1.4: elipse
Seja
Seja dd((F F 11,, F F 22) ) = = 22cc (distˆ (distˆancia focal) e sejaancia focal) e seja aa um n´ um n´umero real tal que 2umero real tal que 2a a >> 2 2c.c. O conjunto de O conjunto de
todos os pontos
todos os pontos P P do plano que satisfazem a equa¸ do plano que satisfazem a equa¸c˜c˜aoao
d d((P,P, F F 11) +) +dd((P,P, F F 22) ) = 2= 2aa ou ou −−−PP F −→F →11 ++ −−−PP F −→F →22 = = 22aa (1.1.1)(1.1.1) ´´e
e uma uma elipse elipse com com focosfocos F F 11 ee F F 22..
Observa¸
Elementos da elipse
• Focos: s˜ao os pontos F 1 e F 2.
• Distˆancia focal: ´e a distˆancia 2c entre os focos.
• Centro: ´e o ponto m´edio C do segmento F 1F 2.
• Eixo maior: ´e o segmento A1A2 de comprimento 2a.
• Eixo menor: ´e o segmento B1B2 de comprimento 2b.
• V´ertices: s˜ao os pontos A1, A2, B1 e B2.
• Excentricidade: ´e o n´umero e dado por e = c
a. Como c < a, temos 0 ≤ e < 1.
Figura 1.5:
Observa¸c˜ao 1.3 Em toda elipse vale a rela¸c˜ ao: a2
= b2
Equa¸c˜ao da elipse com centro na origem do sistema cartesiano
Consideremos a elipse com focos F 1(−c,0) e F 2(c,0).
Figura 1.7:
Logo, a equa¸c˜ao (1.1.1) pode ser escrita como
(x + c)2+ y2 +
(x−c)2 + y2 = 2a ⇒
(x + c)2 + y2 = 2a−
(x−c)2 + y2 ⇒ (
(x + c)2 +y2)2 = (2a−
(x−c)2 + y2)2 ⇒ (x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a
(x−c)2+ y2 + (x−c)2 + y2 ⇒x2 + 2xc +c2 + y2 = 4a2 − 4a
(x−c)2+ y2 + x2− 2xc + c2 + y2 ⇒4a
(x−c)2 + y2 = 4a2 − 4xc ⇒ a
(x−c)2 + y2 = a2 −xc ⇒ (a
(x−c)2 +y2)2 = (a2−xc)2 ⇒ a2((x−c)2 +y2) = a4 − 2a2xc + x2c2 ⇒ a2(x2− 2xc + c2 +y2) = a4 − 2a2xc + x2c2 ⇒ a2x2−a22xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2 ⇒ a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + x2c2 ⇒ a2x2−x2c2 + a2y2 = a4 −a2c2 ⇒ x2(a2 −c2) + a2y2 = a2(a2−c2) ⇒ x2b2 + a2y2 = a2b2 (pois a2 = b2+ c2) ⇒ Dividindo ambos os membros por a2b2
(a e b s˜ao n˜ao-nulos) temos
x2
+ y
2
que e a equa¸c˜ ao da elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo x. Analogamente, se tomarmos F 1(0,−c) e F 2(0, c), obtemos a equa¸c˜ao
x2
b2 +
y2
a2 = 1 (1.1.3)
que e a equa¸c˜ ao da elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo y. (Veja figura 1.8)
Figura 1.8:
Exemplo 1.1 Determine os elementos de cada uma das elipses a seguir: a)x 2 9 + y2 4 = 1 b) x 2 4 + y2 9 = 1 c) 9x2 + 25y2 = 225 c) 4x2 +y2 = 16
Transla¸c˜ao de eixos Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O(h, k). Vamos
introduzir um novo sistema xOy tal que os eixos Ox e Oy tenham a mesma unidade de
medida, a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, um sistema pode ser obtido do outro atrav´es de uma transla¸c˜ao de eixos.
Figura 1.9:
Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas s˜ao:
x e y em rela¸c˜ao ao sistema xOy,
x e y em rela¸c˜ao ao sistema xOy,
Pela figura (1.9) temos:
x = x + h e y = y + k ou x = x −h e y = y −k
que s˜ao as f´ ormulas de transla¸c˜ ao e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.
Equa¸c˜ao da elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano
10
caso: O eixo maior ´e paralelo ao eixo dos x.
Figura 1.10:
Consideremos um novo sistema de eixos xOy com origem em O em C. Veja figura (1.10)
A equa¸c˜ao da elipse referente ao sistema xOy ´e
x2 a2 + y2 b2 = 1 mas, x = x −h e y = y −k logo, (x−h)2 a2 + (y −k)2 b2 = 1,
que ´e a equa¸c˜ ao da elipse com centro C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo dos x.
20
caso: O eixo maior ´e paralelo ao eixo dos y
De modo an´alogo ao caso anterior, obtemos: (x−h)2
b2 +
(y −k)2
a2 = 1,
Figura 1.11:
Exemplo 1.2 Determinar a equa¸c˜ ao da elipse, cujo eixo maior ´e paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4, -2), excentricidade e = 1
2 e eixo menor de medida 6.
Exemplo 1.3 Determinar o centro, os v´ertices, os focos e a excentricidade da de equa¸c˜ ao 4x2
+ 9y2
1.1.2 C´ırculo ou Circunferˆencia
O c´ırculo ou circunferˆencia de raio r e centro C (c1, c2) ´e o conjunto dos pontos P (x, y) do plano
que est˜ao a uma distˆancia r do centro C, isto ´e, s˜ao os pontos P (x, y) que satisfazem `a equa¸c˜ao
−→P C = r, ou seja, (x −c1) 2 + (y −c2) 2 = r ou , x2+ y2 − 2c1x− 2c2y + d = 0 onde d = c2 1 + c 2 2 −r 2 Figura 1.12: circunferˆencia
Observa¸c˜ao 1.4 Se F 1 = F 2 = C a elipse 1.6 acima reduz-se ao c´ırculo de centro C e raio a.
Al´em disso, e = 0 (pois c = 0). Assim, um c´ırculo ´e uma elipse de excentricidade nula.
Exemplo 1.4 Determinar o centro e o raio das circunferˆencias: a) x2 + y2 = 9 b) x2 +y2 + 6x− 8y = 0
1.1.3 Hip´erbole
Uma hip´erbole com focos F 1 e F 2 ´e o conjunto dos pontos P (x, y) do plano tais que
|d(F 1, P ) −d(F 2, P )| ´e constante.
Figura 1.13: hip´erbole
Sejam F 1 e F 2 dois pontos do plano tais que d(F 1, F 2) = 2c e seja a um n´umero real tal que
2a < 2c. O conjunto de todos os pontos P do plano que satisfazem a equa¸c˜ao
|d(P, F 1) −d(P, F 2)| = 2a
ou
| −−→P F 1 − −−→P F 2 | = 2a (1.1.1)
´e uma hip´erbole com focos F 1 e F 2.
Observa¸c˜ao 1.5 Se a = c a equa¸c˜ ao | P F −−→1 − −−→P F 2 | = 2c descreve os pontos P, situados
sobre a reta que passa pelos pontos F 1 e F 2 n˜ ao interiores ao segmento F 1F 2.
Consideremos a reta que passa por F 1 e F 2 e sejam A1 e A2 os pontos de interse¸c˜ao da
hip´erbole com esta reta. Consideremos outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto m´edio C do segmento F 1F 2. A hip´erbole ´e sim´etrica em rela¸c˜ao a essas duas retas, como tamb´em
em rela¸c˜ao ao ponto C. Consideremos ainda uma circunferˆencia de raio c e centro C. Tracemos por A1 e A2 cordas perpendiculares ao diˆametro F 1F 2. As quatro extremidades dessas cordas s˜ao
os v´ertices do retˆangulo M N P Q inscrito nessa circunferˆencia. As retas que cont´em as diagonais do referido retˆangulo chaman-se ass´ıntotas da hip´erbole. Observemos que em toda hip´erbole vale a rela¸c˜ao: c2
= a2
+ b2
Figura 1.14:
As ass´ıntotas s˜ao retas das quais a hip´erbole se aproxima cada vez mais `a medida que os pontos se afastam dos focos.
Elementos da hip´erbole
• Focos: s˜ao os pontos F 1 e F 2.
• Distˆancia focal: ´e a distˆancia 2c entre os focos.
• Centro: ´e o ponto m´edio C do segmento F 1F 2.
• V´ertices: s˜ao os pontos A1 e A2.
• Eixo real: ´e o segmento A1A2 de comprimento 2a.
• Eixo imagin´ ario: ´e o segmento B1B2 de comprimento 2b.
• Excentricidade: ´e o n´umero e dado por e = c
Equa¸c˜ao da hip´erbole com centro na origem do sistema cartesiano 1◦ caso: O eixo real est´ a sobre o eixo dos x
Sja P (x, y) um ponto qualquer da hip´erbole de focos F 1(−c,0) e F 2(c,0).
Figura 1.15: Da defini¸c˜ao temos |d(P, F 1) −d(P, F 2)| = 2a ⇒ |
(x + c)2+y2 −
(x−c)2+ y2| = 2a ⇒
(x + c)2+y2 −
(x−c)2+ y2 = ±2a ⇒
(x + c)2+ y2 = ±2a +
(x −c)2 + y2Com procedimento an´alogo ao que foi usado na dedu¸c˜ao da equa¸c˜ao da elipse e usando a rela¸c˜ao c2 = a2 + b2 obtemos: x2 a2 − y2 b2 = 1 (1.1.2)
que ´e a equa¸c˜ ao da hip´erbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo x.
2 ◦ caso: O eixo real est´ a sobre o eixo dos y
Analogamente, se tomarmos F 1(0,−c) e F 2(0, c), obtemos a equa¸c˜ao
y2
a2 −
x2
b2 = 1 (1.1.3)
que ´e a equa¸c˜ ao da hip´erbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo y.(Veja figura 1.16)
Figura 1.16:
Exemplo 1.5 Esboce as hip´erboles a seguir e determine: a) a medida dos semi-eixos;
b) os v´ertices; c) os focos;
d) a excentricidade;
e) as equa¸c˜ oes das ass´ıntotas. I) x 2 9 − y2 4 = 1 II) x2 4 − y2 9 = 1
Equa¸c˜ao da hip´erbole com centro fora da origem do sistema cartesiano
10
caso: O eixo real ´e paralelo ao eixo dos x.
Consideremos uma hip´erbole de centro C (h, k) e seja P (x, y) um ponto qualquer dessa hip´erbole.
Analogamente como no estudo da elipse temos que
x2
a2 −
y2
b2 = 1
´e a equa¸c˜ao de uma hip´erbole com centro C (0,0) e eixo real sobre o eixo dos x; quando o eixo real for paralelo ao eixo dos x e o centro ´e C (h, k), sua equa¸c˜ao passa a ser:
(x−h)2
a2 −
(y −k)2
b2 = 1
20
caso: O eixo real ´e paralelo ao eixo dos y
Neste caso, a equa¸c˜ao ´e:
(y −k)2
a2 −
(x− h)2
Exemplo 1.6 Esboce o gr´ afico da hip´erbole (y − 1) 2 9 − (x− 3)2 4 = 1 e determine: a) o centro; b) os v´ertices; c) os focos; d) a excentricidade;
1.1.4 Par´abola
Cosideremos em um plano uma reta d e um ponto F n˜ao pertencente a d. Uma par´abola com focos F 1 e F 2 ´e o conjunto dos pontos P (x, y) do plano equidistantes de F e de d.
Figura 1.17: par´abola
Seja P 1 ´e o p´e da perpendicular de um ponto P do plano sobre a reta d (figura 1.1.1). De
acordo com a defini¸c˜ao, P pertence `a par´abola se, e somente se:
d(P, F ) = d(P, P 1)
ou
−→P F =−−→P P 1 (1.1.1)
Elementos da par´abola
• Foco: ´e o ponto F.
• Diretriz: ´e a reta d.
• Eixo: ´e a reta que passa pelo foco e ´e perpendicular `a diretriz.
• V´ertice: ´e o ponto V de interse¸c˜ao da par´abola com seu eixo.
Equa¸c˜ao da par´abola com v´ertice na origem do sistema cartesiano 1◦ caso: O eixo da par´ abola ´e o eixo dos x
Consideremos a par´abola de foco F (a,0).
Figura 1.18:
Um ponto P (x, y) do plano pertence `a par´abola se, e somente se:
d(P, F ) = d(P, P 1) ou −→P F = −−→P P 1 isto ´e,
(x + a)2 + (y −y)2 =
(x−a)2 + (y − 0)2 ⇒ (x + a)2 = (x−a)2 + y2 ⇒ x2+ 2xa + a2 = x2− 2xa + a2 + y2 ⇒ y2 = 4axque ´e a equa¸c˜ ao da par´ abola com v´ertice V (0,0) e foco sobre o eixo dos x.
Considerando um ponto P (x, y) de uma par´abola com foco F (0, a), de modo an´alogo ao primeiro caso obtemos a equa¸c˜ao
x2 = 4ay
que ´e a equa¸c˜ ao da par´ abola com v´ertice V (0,0) e foco sobre o eixo dos y.
Figura 1.19:
Observa¸c˜ao 1.8 Se a > 0, a par´ abola tem concavidade voltada para cima e se a < 0, a par´ abola tem concavidade voltada para baixo.
Exemplo 1.7 Determinar a equa¸c˜ ao da reta diretriz, o v´ertice e o foco das par´ abolas x2
= 8y e
y2
Equa¸c˜ao da par´abola com v´ertice fora da origem do sistema cartesiano
10
caso: O eixo da par´ abola ´e paralelo ao eixo dos x.
Consideremos uma par´abola com v´ertice V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos x. Ap´os uma transla¸c˜ao de eixos, an´alogo ao que foi feito no estudo da elipse e da hip´erbole, temos que
(y −k)2 = 4a(x −h)
´e a equa¸c˜ao da par´abola com v´ertice no ponto V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos x.
Analogamente,
(x−h)2 = 4a(y −k)
´e a equa¸c˜ao da par´abola com v´ertice no ponto V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y.
1.2
Superf´ıcies Qu´
adricas
As ´unicas superf´ıcies vistas at´e agora foram os planos, que podem ser representadas pelas equa¸c˜oes lineares nas vari´aveis x, y, e z. Superf´ıcies que podem ser representadas por uma equa¸c˜ao do tipo
ax2 +by2 +cz2 +dx+ey +fz+g = 0
com pelo menos uma das constantes a,b,c,d,e,f, ou g diferentes de zero s˜ao chamadas
qu´adricas. Estudadremos as qu´adricas, cuja representa¸c˜ao ´e dada por uma equa¸c˜ao da forma
ax2 +by2 +cz2 +d = 0.
S˜ao elas: a esfera, o elips´oide, parabol´oide el´ıptico, parabol´oide hiperb´olico, hiperbol´oide de uma folha, hiperbol´oide de duas folhas, o cilindro e o cone qu´adrico.
Cilindro
Seja c uma curva situada num plano π. O cilindro de diretriz c ´e a superf´ıcie descrita por uma reta que se move ao longo da curva c e perpendicularmente ao plano π. A reta chama-se geratriz do cilindro.
Se π ´e o plano xy e a curva c ´e dada por f (x, y) = 0, ent˜ao P (x,y,z ) pertence ao cilindro gerado por c ’se, e somente se, o ponto Q(x, y) pertence `a curva c. Se c for uma cˆonica, isto ´e, se f (x, y) ´e um polinˆomio do segundo grau, o cilindro diz-se qu´ adrico. Assim, temos o cilindro circular, o cilindro el´ıptico, o cilindro parab´olico e o cilindro hiperb´olico, conforme a curva c seja um c´ırculo, uma elipse, uma par´abola ou uma hip´erbole.
Figura 1.20: cilindro
Exemplo 1.9 A equa¸c˜ ao x2
= 4ay representa no plano uma par´ abola e no espa¸co um cilindro parab´ olico.
Superf´
ıcie de Revolu¸
c˜
ao
Sejam uma curva c e uma reta r, ambas situadas em um mesmo plano π. A superf´ıcie descrita pela curva quando o plano π gira ao redor reta r chama-se superf´ıcie de revolu¸c˜ ao.
Considerarmos P um ponto da superf´ıcie de revolu¸c˜ao e tracemos por esse ponto o plano perpendicular a reta r. Seja C o ponto onde o plano corta a reta r e Q o ponto onde plano corta a curva c. Assim, temos
−→CP = −→CQ .
Notemos que se π ´e o plano yz, r ´e o eixo z e c ´e a curva dada pela equa¸c˜ao y = f (z ),
ent˜ao temos
x2 + y2 = (f (z ))2,
que ´e a equa¸c˜ao da superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pela curva c.
Figura 1.21: superf´ıcie de revolu¸c˜ao
Se c for a uma reta paralela `a reta r, obtemos o cilindro de revolu¸c˜ao.
Se c for a uma reta que intercepta r segundo um ˆangulo agudo, obtemos um cone circular. Se c for a uma cˆonica (elipse, hip´erbole e par´abola) e r um eixo dessa cˆonica, obtemos o elips´oide, o hiperbol´oide, e o parabol´oide de revolu¸c˜ao, respectivamente.
Exemplo 1.10 A equa¸c˜ ao do parabol´ oide de revolu¸c˜ ao gerado pela par´ abola y2
= 4az ´e
x2
+ y2
Exemplo 1.11 Se c for um c´ırculo de raio r, situado em um plano π e l, uma reta de π, que passa pelo centro C do c´ırculo, a superf´ıcie de revolu¸c˜ ao descrita por c, quando π gira ao redor de
l, ser´ a a esfera de centro C (c1, c2, c3) e raio r, que ´e o conjunto dos pontos P (x,y,z ) do espa¸co
que satisfazem `a equa¸c˜ ao
−→CP = r, isto ´e, (x−c1) 2 + (x−c2) 2 + (x−c3) 2 = r2
Veremos a seguir tipos mais gerais de qu´adricas que n˜ao s˜ao necessariamente cilindros e qu´adricas de revolu¸c˜ao. Dada a equa¸c˜ao da qu´adrica vamos descrever sua forma, estudando as curvas obtidas ao interceptarmos a superf´ıcie por planos convenientemente escolhidos.
Elips´
oide
Consideremos a superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e x
2
a2 +
y2
b2 +
z 2
c2 = 1, onde a, b e c s˜ao n´umeros
O plano z = k, se | k |< c intercepta a superf´ıcie segundo uma elipse e os planos x = k,
se | k |< a e y = k, se | k |< b tamb´em interceptam a superf´ıcie segundo elipses . Se a = b = c,
o elips´oide ´e uma esfera.
Os planos xy,xz e yz interceptam a superf´ıcie segundo as elipses
x2 a2 + y2 b2 = 1, x2 a2 + z 2 c2 = 1 e y2 b2 + z 2 c2 = 1
respectivamente. Essa superf´ıcie ´e um elips´ oide .
Observa¸c˜ao 1.9
a) Se dois dos trˆes n´ umeros a, b e c forem iguais, a superf´ıcie (1.22) ´e um elips´ oide de revolu¸c˜ ao.
b) Se a = b = c, a superf´ıcie ´e uma esfera.
Exemplo 1.12 Identifique e esboce o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ ao 9x2
+y2
+ 9z
2
Hiperbol´
oide de um folha
Consideremos a superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e da forma x
2
a2 +
y2
b2 −
z 2
c2 = 1, onde a, b e c s˜ao
n´umeros reais positivos.
Figura 1.23:
Os tra¸cos horizontais s˜ao elipses. Os tra¸cos verticais nos planos x = k e y = k s˜ao hip´erboles se k = 0 e s˜ao um par de retas se k = 0.
O eixo de simetria corresponde `a vari´avel cujo coeficiente ´e negativo. O plano xy intercepta a superf´ıcie segundo a elipse
x2
a2 +
y2
b2 = 1, z = 0
e os planos xz e yz interceptam a superf´ıcie segundo as hip´erboles
x2 a2 − z 2 c2 = 1, y = 0 e y2 b2 − z 2 c2 = 1, x = 0
respectivamente. Essa superf´ıcie ´e um hiperbol´ oide de uma folha . O plano z = k intercepta essa superf´ıcie segundo a elipse
x2 a2
1 + k 2 c2
+ y2 b2
1 + k 2 c2
= 1 , z = k (1.2.1)b) O eixo de simetria corresponde `a vari´avel cujo coeficiente ´e negativo.
Exemplo 1.13 Esbo¸car o gr´ afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ ao x2
+ y
2
4 −
z 2
Hiperbol´
oide de duas folhas
Consideremos a superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e da forma −x
2 a2 + y2 b2 − z 2 c2 = 1, onde a, b e c
s˜ao n´umeros reais positivos.
Figura 1.24:
Se | k |< b o plano y = k n˜ ao intercepta a superf´ıcie e se | k |> b o plano y = k intercepta a superf´ıcie segundo a elipse.
x2 a2 + z 2 c2 = k2 b2 − 1, y = k. (1.2.2)
Vemos que essa superf´ıcie tem duas folhas , uma na regi˜ao y ≥ b e outra na regi˜ao y ≤ −b.
Os planos xy e yz interceptam a superf´ıcie segundo as hip´erboles
y2 b2 − x2 a2 = 1, z = 0 e y2 b2 − z 2 c2 = 1, x = 0
respectivamente. Essa superf´ıcie ´e um hiperbol´ oide de duas folhas.
Observa¸c˜ao 1.11
a) Se a = b, ent˜ ao (1.2.2) ´e a equa¸c˜ ao de um c´ırculo e, portanto, a superf´ıcie (1.24) ´e um hiperbol´ oide de revolu¸c˜ ao.
Parabol´
oide el´
ıptico
A superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e da forma x
2
a2 +
y2
b2 = cz.
Figura 1.25: ´e um parabol´ oide el´ıptico
Se c > 0, o plano y = k intercepta essa superf´ıcie segundo a elipse
x2
cka2 +
y2
ckb2 = 1 y = k. (1.2.3)
se k > 0. Se k < 0 o plano z = k n˜ao intercepta a superf´ıcie. Isto ´e, se c > 0, a superf´ıcie est´a contida na regi˜ao z ≥ 0. Analogamente, temos que se c < 0, a superf´ıcie est´a na regi˜ao
z ≤ k. esta na regi˜ao z ≥ 0. O plano z = k intercepta a superf´ıcie segundo uma elipse se k > 0.
Analogamente c < 0 a superf´ıcie esta na regi˜ao z ≤ 0.
Os planos xz e yz interceptam a superf´ıcie segundo as par´abolas
x2 = a2cz , y = 0 e y2 = b2cz x = 0.
respectivamente.
Observa¸c˜ao 1.12
Se a = b, as elipses (1.2.3) s˜ ao c´ırculos e, portanto, a superf´ıcie (1.25) ´e um parabol´ oide de revolu¸c˜ ao.
Exemplo 1.15 Esbo¸car o gr´ afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ ao z = 4x2
Parabol´
oide hiperb´
olico
A superf´ıcie cuja equa¸c˜ao ´e da forma −x
2
a2 +
y2
b2 = cz ´e um parabol´ oide hiperb´ olico .
Figura 1.26:
O plano xz intercepta a superf´ıcie segundo a par´abola x2
= −ca2
z, y = 0 a qual tem concavidade voltada para baixo, se c > 0 e seu eixo focal ´e o eixo dos z.
O plano yz intercepta a superf´ıcie segundo a par´abola y2
= cb2
z, x = 0 a qual tem concavidade voltada para cima, se c > 0 e seu eixo focal tamb´em ´e o eixo dos z.
Se k = 0, o plano z = k intercepta a superf´ıcie segundo a hip´erbole
− x
2
cka2 +
y2
ckb2 = 1 z = k. (1.2.4)
Se k > 0, o eixo focal da hip´erbole e paralelo ao eixo dos y e se k < 0 esse eixo ´e paralelo ao eixo dos x.
Exemplo 1.16 Esbo¸car o gr´ afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ ao z = y2
