Centro de Educação Superior de Brasília
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília
Curso: Engenharia Civil
Professor: Douglas Esteves
Disciplina: Mecânica
Resultante de um Sistema de Forças
Momento de uma Força – Formulação Escalar
Quando uma força não central é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação do corpo em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência de rotação algumas vezes é chamada de torque, mas normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente momento.
Nas figuras acima podemos observar os seguintes aspectos:
- Na figura (a) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é diferente de 90º , dessa forma
será mais difícil provocar o giro uma vez que o braço do momento será menor que a distância
d.
- Na figura (b) o ângulo formado entre a aplicação da força e o braço é de 90º, dessa forma a chave tende a girar em torno do ponto O ( ou eixo z), e a intensidade desse momento é proporcional a intensidade da força F e a distância perpendicular do momento d. ou seja quanto maior for a força e quanto maior for o braço, maior será o efeito do momento ou o efeito de rotação.
- Na figura (c) a força foi aplicada ao longo do braço ou seja o ângulo formado entre a força e o braço é de 0º, dessa forma o momento dessa força será zero, ou seja não provoca nenhum momento.
Intensidade do Momento
A intensidade do momento ( MO) é dada pela relação: onde F representa a força que está
sendo aplicada e d representa o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da força.
Direção do Momento
A direção de MO é definida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao plano que contém a
força F e seu braço do momento d. Utilizando a regra da mão direita podemos estabelecer o sentido da direção de MO. de acordo com essa regra a curva natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados
em direção a palma da mão representa a tendência da rotação causada pelo momento e o polegar nos dá a o sentido direcional de MO.
Momento Resultante
No problemas bidimensionais, onde todas as forças estão no mesmo eixo x~y, o momento resultante (MR)O em relação ao ponto O ( o eixo z) pode ser determinado pela adição algébrica dos momentos causado
no sistema por todas as forças. Por convenção definimos que o momento é positivo quando o giro é no sentido anti-horário e o momento é negativo quando a tendência de giro é no sentido horário.
Exemplos de aplicação
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso. a)
Solução: ( ) ( )
b)
Solução: ( ) ( )
2) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura abaixo.
OBS: A força de 20N deve ser considerada fazendo a sua decomposição nos eixos x e y.
y
x
Produto vetorial
O momento de uma força será formulado com o uso de vetores cartesianos assim veremos alguns conceitos para futuras aplicações.
Produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que é escrito: C = A x B.
Intensidade
A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo entre eles ( ). Logo, C = AB sen .
Direção
O vetor C possui uma direção perpendicular ao plano que contém A e B, de modo que C é determinado pela regra da mão direita; ou seja dobrando-se os dedos da mão direita a partir do vetor A até o vetor B, o polegar aponta na direção de C, como mostra a figura.
Para conhecer a direção e a intensidade de C, podemos escrever:
C = A × B = (AB sen ) uC
Onde o escalar AB sen define a intensidade de C e o vetor unitário uC define sua direção.
Propriedades do produto vetorial
Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa;
a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a
O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição,
A × (B + D) = (A × B) + (A × D)
Formulação Vetorial Cartesiana
Maneira prática de obter esses resultados.
Construímos um círculo como o da figura abaixo, então ‘ o produto vetorial’ de dois vetores unitários no sentido anti-horário do círculo produz o terceiro vetor unitário positivo; por exemplo: K x i = J. fazendo o produto vetorial no sentido horário do círculo, um vetor unitário negativo é obtido; por exemplo: i x K = - J.
Desenvolvimento do produto vetorial em forma de vetores cartesianos
Considere agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, expressos na forma de vetores cartesianos, temos.
Essa equação também pode ser escrita de uma forma mais compacta de um determinante como:
A solução através do determinante é feita usando o teorema de Laplace que diz: “O
determinante de uma matriz quadrada M
a
m 2
m x m
ij
pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.”
Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento aij de uma matriz
quadrada de ordem n o número Aij, tal que ij j i
ij ( 1) MC
A .
Assim temos:
Momento de uma força – formulação vetorial
Momento de uma foça F em relação ao eixo de momento que passa por O ou mais exatamente em relação ao eixo do momento que passa por O e é perpendicular ao plano de O e F pode ser expresso na forma de produto vetorial:
MO = r x F
N
Nesse caso, r representa um vetor posição de dirigido de O até algum ponto sobre a linha de ação de F.
Intensidade
A intensidade do produto vetorial é definida por onde o ângulo é medido a
partir do encontro de r e F.
Assim podemos escrever: ( )
A direção e o sentido são determinados pela regra da mão direita.
Principio da Transmissibilidade
Esse princípio define que F (vetor deslizante) pode agir em qualquer ponto sobre a sua linha de ação e ainda produzir o mesmo momento em relação ao ponto O.
Formulação do Vetor cartesiano
Se estabelecemos os eixos coordenados x , y , z , então o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos. Essa relação é utilizada quando for necessário fazer o cálculo do momento de corpos tridimensionais na forma cartesiana.
| |
Onde:
- representam as componentes x, y, z do vetor posição definido no ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força.
- representam as componentes x, y , z do vetor força. - Se o determinante for expandido, então , teremos:
Momento resultante de um Sistema de Forças
Se um corpo é submetido à ação de um sistema de forças o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela adição vetorial do momento de cada força. Essa resultante pode ser escrita na forma de:
∑( )
Exemplo de aplicação.
Determine o momento produzido pela força F na figura abaixo em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.
Solução:
Como mostra a figura tanto rA como rB podem ser usados para determinar
o momento em relação ao ponto O. Esses vetores são:
{ } { }
Veja essas forças na figura ao lado
Dessa forma podemos expressar a força F como um vetor cartesiano .
Agora que já conhecemos as componentes cartesianas da força F , podemos calcular o momento em relação ao ponto O. Para isso usamos a relação do determinante.
Cálculo do momento em relação a RA.
Cálculo do momento em relação a RB.
O princípio dos momentos
Como F = F1 + F2, temos:MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2
_ O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto.
Para os problemas bidimensionais podemos usar o princípio dos momentos decompondo a força em suas componentes retangulares e depois determinar o momento usando uma análise escalar. Logo temos:
MO = Fxy – Fyx
Exemplo de aplicação
1) Determine o momento da força na figura abaixo em relação ao ponto O. Solução:
Podemos calcular esse momento de duas maneiras, uma seria usando a forma escalar e a outra usando o princípio dos momentos, vejamos.
Solução I ( forma escalar )
Agora aplicamos a definição de momento na forma escalar.
Solução II ( Princípio dos momentos )
1) Fazemos a decomposição da força F.
2) considerando o sentido anti-horário como positivo e aplicando o princípio dos momentos temos:
( ) ( )
3) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura abaixo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.
Solução I ( Análise Escalar):
Fazemos a decomposição da força nas componentes x e y. conforme figura abaixo e depois calculamos o momento.
Solução II ( Análise Vetorial )
Empregando a abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e posição podem ser escritos da seguinte forma:
Desta forma o momento pode ser calculado.
Exercícios:
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
2) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
3) Determine o momento da força em relação ao ponto O.
4) Determine o momento da força em relação ao ponto O . Despreze a espessura do membro.
5) Se o momento produzido pela força de 4 KN em relação ao ponto A é 10 KN.m no sentido horário, determine o ângulo .
6) O cabo do martelo está sujeito à força de F = 100 N. Determine o momento dessa força em relação ao ponto A.
;
7) Dois homens exercem forças de F = 400N e P = 250N sobre as cordas, determine o momento de cada
força em relação a A. Em que sentido o poste irá girar, horário ou anti-horário?
O poste irá girar no sentido horário
8) De acordo com a figura da questão 7 , se o homem B exerce uma força P = 150N sobre sua corda, determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o poste gire; ou seja para que o momento resultante em relação a A devido as duas forças seja zero.
9) Se as pinças são usadas para prender as extremidades do tubo de perfuração P . Se um torque ( momento) Mp = 1200 N.m é necessário em P para girar o tubo, determine a força que precisa ser
aplicada no cabo da pinça F. considere º.
10) Determine o momento mínimo produzido pela força F em relação ao ponto A. Especifique o ângulo Ɵ ( )
Resp: Mmin= 0 e Ɵ = 146,31º
11) Se FB = 150N e FC = 225N, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A.
Resp: M = 291,9 N.m
12) A barra do mecanismo de controle de potência de um jato comercial está sujeita a uma força de 80N. determine o momento dessa força em relação ao mancal em A.
Resp: M = 7,71 N.m
Momento em Relação a um Eixo Específico
Determina-se o momento da força em relação a um ponto do sistema e depois se realiza a projeção sobre eixo que se deseja a partir do produto escalar.
O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser determinado desde que a distância perpendicular da a partir da linha de ação da força até o eixo possa ser determinada. .
Devemos usar uma análise vetorial, ( ) onde Ua define a direção do eixo e r é
definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto sobre a linha de ação da força.
Se o valor de Ma calculado é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de Ma é
oposto a Ua.
Exemplos de aplicação.
1) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine os momentos dessa força em relação ao eixo x.
Solução:
2) Determine o momento resultante das três forças na figura abaixo em relação ao eixo x, ao eixo y e ao eixo z.
Solução:
Lembrando que uma força paralela a um eixo ou na mesma linha de ação do eixo não produz qualquer momento temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Momento de um Binário
Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas, e são separadas por uma distância perpendicular d ( conforme figura abaixo).
Como a força resultante é zero, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação em uma direção específica.
Formulação Escalar
O momento de um binário M conforme a figura abaixo é definido como tendo uma intensidade de:
Formulação Vetorial
O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando a seguinte equação. . A aplicação dessa equação deve ser usada quando calculamos o momento de duas forças em relação a um ponto situado na linha de ação de uma das forças.
Se por exemplo os momentos são tomados em relação ao ponto A da figura abaixo, o momento da força –F é zero e o momento da F deve ser calculado usando a equação .
Binários Equivalentes
Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois binários é obtido pela soma dos binários.
Exemplos de aplicação
1) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
Solução:
Ou então:
∑
O momento é positivo pois ambas as forças produzem giro no sentido anti-horário.
2) Determine a intensidade e a direção do momento de binário agindo sobre a engrenagem.
Solução:
3) Determine o momento de binário agindo sobre o tubo mostrada na figura abaixo. O segmento AB está direcionado 30º abaixo do palno x~y.
Solução:
O momento das duas forças pode ser calculado em relação a qualquer ponto, então vamos calcular em relação ao ponto O.
A força aplicada no ponto A exerce momento só em relação ao eixo y. A forção aplicada em B exerce momento nos três eixos.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) fazemos o produto vetorial e temos:
Força aplicada no ponto A Força aplicada no ponto B
( ) ( ) Assim temos que o momento resultante é igual a:
Exercícios de Aplicação.
13) Determine o momento produzido pela força F em relação a diagonal AF do bloco retangular. Expresse o resultado na forma de vetor cartesiano.
:
14) Determine o momento da força F em relação ao eixo que se estende entre A e C. expresse o resultado como um vetor cartesiano.
Resp : (11,51 i + 8,64 j) KN.m
15) Determine o momento produzido pela força F com relação ao segmento AB do encanamento. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.
Resp : (-52,8 i – 70,4 j) N.m
16) Determine o momento de binário resultante que age sobre a viga.
17) Um homem de peso 600 N caminha numa viga de madeira simplesmente apoiada em A e articulada em C. A distância entre A e C é de 4,0 m. O peso da viga é de 900 N e seu comprimento é de 6,0 m. Determine a máxima distância x, indicada na figura, que o homem pode caminhar sobre a viga para que ela permaneça em equilíbrio?
18) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado como um vetor cartesiano.
Resp :
19) Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do ventilador criam um momento de binário MO = 6,0 N.m
sobre as mesmas. Determine a intensidade das forças de binário na base do ventilador de modo que o momento de binário resultante no ventilador seja zero.
20) Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário que age sobre a viga seja 1,5 KN.m no sentido horário.
Resp : F = 2,33 KN.m
21) Determine a intensidade necessária dos momentos de M2 e M3 de modo que o momento de binário
resultante seja zero.
Resp: M2 = 424,26 N e M3 = 300 N
Simplificação de um sistema de forças e binários
Um sistema é equivalente se os efeitos externos que ele produz sobre um corpo são iguais aos causados pelo sistema de forças e momentos binários originais.
Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se referem ao movimento de rotação e translação do corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às forças reativas nos suportes se o corpo é mantido fixo. Vamos considerar que uma pessoa está segurando o bastão da figura abaixo que está sujeito a uma força F.
Se aplicarmos um par de forças F e –F iguais e opostas, no ponto B, onde se encontra a linha de ação da força F.
Observamos que –F em B e F em A se cancelam, deixando apenas a força F em B, conforme figura abaixo.
Observe que a força F foi movida de A para B sem modificar os efeitos externos sobre o bastão, ou seja a reação na empunhadura permanece a mesma. Isso mostra o princípio da transmissibilidade, que afirma que uma força agindo sobre um corpo ( bastão) é um vetor deslizante, já que pode ser aplicado em qualquer ponto ao longo da sua linha de ação.
Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura (a), então podemos aplicar um par de forças F e –F iguais e opostas no ponto B (b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em A e –F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (c).
a)
b)
Podemos generalizar esse método de reduzir um sistema de forças e binários a uma força resultante FR equivalente agindo no ponto O e um momento de binário resultante (MR)O (decorrente do deslocamento das forças na figura b) usando as duas equações a seguir:
∑ ∑ ∑
Onde a primeira equação estabelece que a força resultante do sistema seja equivalente à soma de todas forças;
A segunda equação estabelece que o momento de binário resultante do sistema seja
equivalente à soma de todos os momentos de binários ∑ , mais os momentos de todas as forças ∑ em
relação ao ponto O.
Exemplo de aplicação
Substitua o sistema de forças e binários na figura abaixo por um sistema de forças e momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O.
Solução:
Primeiro fazemos as decomposições das forças de 3KN e de 5KN. Assim temos:
Eixo Y :
3KN . sen 30º = 1,5 KN ( para cima)
( )
Mais a força de 4KN para baixo.
Eixo X
Usando o teorema de pitágoras encontramos a força resultante; √( ) ( ) √ Sua direção Ɵ é dada pelo arc tangente.
(
)
Agora substituímos os momentos de binário por o momento resultante.
Os momentos de 3KN e 5KNem relação ao ponto O serão determinados usando as componentes x e y.
( ) ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Exercícios de Aplicação.
22) Substitua o sistema de forças que age sobre a treliça por um força e momento de binário resultante no ponto C.
Resp : FR = 4250N , direção 61,9º , M = 9,6 KN.m
23) Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por uma força e momento de binário equivalente no ponto B.
Resp: FR = 5,93 KN , direção 77,8º , M = -11,6KN.m
24) Substitua as duas forças por uma força e momento de binário resultante equivalente no ponto C. Considere F = 100N
Resp: FR = 149,6 N, direção 78,4º , M = 26,41N.m
25) Substitua o sistema de forças que age sobre o poste por uma força e momento de binário resultante no ponto A.
Redução de um carregamento distribuído simples
Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque.
O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função ( )
A intensidade da força resultante é equivalente a soma de todas as forças atuantes no sistema e em muitos casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema.
A força resultante é igual a área total sob o diagrama de carga.
Exemplo:
Solução
Localização da força resultante:
Intensidade da Força Resultante de Formas Geométricas mais Simples
Algumas vezes, um corpo pode está sujeito a um carregamento que está distribuído sobre sua superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda( outdoor), outro exemplo seria a pressão da água dentro de um tanque.
O tipo mais comum de carga distribuída encontrada na prática em engenharia é geralmente uniforme ao longo de um eixo. Como por exemplo uma viga que fica sujeita a um carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x. Podemos descreve esse carregamento pode ser descrito pela função ( )
Intensidade da Força Resultante
A força resultante de um carregamento distribuído é equivalente à área sob o diagrama do carregamento e tem uma linha de ação que passa pelo centroide ou centro geométrico dessa área.
Posição de uma Carga Uniformemen te Dis tribu ída
- Carga Retangul armen te Dis tribuíd a: Para es se tipo de carregamento a carga resultant e s e encontra no meio do ret ângulo .
- Carga trian gularmen te D is tribuíd a: Para ess a ti po de c arregam ent o a carga resultant e s e encontra a 1/3 da extremidade que poss ui maior carga.
Carga Trapezoidal men te Dis tribuíd a: Para es se tipo de carregamento a
carga resultant e s e encontra at ravés da relação: ( ) Exemplos de aplicação
1) Cal cul e as reações R A e R B nos esquem as abaixo a)
b)
Solução:
Exercícios d e Apli cação.
26) Det ermine a força result ant e e especi fique onde ela atua na vi ga , m edi ndo a parti r do ponto A. P ara cada caso.
a)
Resp : FR = 40,5 KN ; Posição = 1,25m
Posição da carga pontual é sempre igual a 1/3 da base do triângulo do lado da maior concentração de carga.
b) Resp : FR = 9,9 KN ; Posição = 2,51m c) Resp : FR = 27 KN ; Posição = 1m d) Resp : FR 30 KN ; Posição = 3,4 m
27)Um carregamento distribuído com p = (800x) Pa atua no topo de uma superfície de uma viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente.
Resp: FR = 6,48 KN , x = 6m
28) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na viga medindo a partir de A.
Resp: FR = 75 KN ; x =1,2m
29) Substitua o carregamento distribuído por uma força resultante equivalente e especifique sua posição na viga medindo a partir de A.
30) O vento soprou a areia sobre uma plataforma de modo que a intensidade da carga pode ser
aproximada pela função w = (0,5x3) N/m. simplifique esse carregamento distribuído para uma força resultante equivalente e especifique sua intensidade e posição medida a partir de A.
Resp:
ESTEVES, Douglas. Resultante de um sistema de forças: Momento. 13-14 de mar de 2014. 34 p. Notas de Aula. Material retirado do livro: mecânica para engenheiros ( estática) 12ª ed do Hibbeler.. .
