UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DIRETORIA DE PESQUISA

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA – PIBIC

RELATÓRIO FINAL

Período: Agosto de 2014 a Julho de 2015

Nome do orientador: Cícero Roberto Teixeira Régis Titulação do orientador: Doutor

Faculdade: Geofísica

Unidade: Instituto de Geociências

Nome do bolsista: René Michel Jacob Júnior Tipo de Bolsa : ( x ) PIBIC/ CNPq

INTRODUÇÃO:

                                                                                     A pesquisa na modelagem e na inversão de métodos geofísicos eletromagnéticos depende fundamentalmente da programação computacional voltada para métodos numéricos. No caso da modelagem, a ênfase é em métodos de solução de equações diferenciais parciais e de equações integrais.

Dentre os métodos numéricos empregados, o método dos Elementos Finitos (Becker at all, 1981) apresenta grande flexibilidade na construção da discretização do domínio no qual se busca a solução, permitindo uma distribuição de pontos com densidades diferentes em diferentes regiões dentro do domínio. Por esta vantagem, o método é um dos mais empregados para a modelagem de métodos geofísicos eletromagnéticos.

Ao longo dos seis primeiros meses de bolsa, o projeto focou na programação de técnicas numéricas, no ambiente MATLAB (Matsumoto, 2003), voltadas para dois problemas que se complementam e que formam a base do método dos Elementos Finitos, que é o principal objetivo deste trabalho: a primeira parte tratou da solução de

sistemas de equações lineares através do método da Decomposição LU (Press et al., 2007); na segunda parte implementamos o método de Rayleigh-Ritz (Rijo, 2005) para solução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.

Durante a segunda metade do projeto, o resultado da aprendizagem conseguida nestes problemas foi aplicado na formulação e implementação do método dos elementos finitos para a modelagem de dados do método Magnetotelúrico. Este é um dos mais importantes métodos geofísicos eletromagnéticos, com aplicações tanto na Geofísica Global, em estudos da crosta, quanto na Geofísica Aplicada, na exploração de petróleo e de recursos minerais.

JUSTIFICATIVA:

Este trabalho surge da necessidade do domínio do conhecimento multi-disciplinar envolvido na modelagem de dados de métodos geofísicos eletromagnéticos, particularmente para um estudante que pretendem ingressar na pós-graduação nesta linha de pesquisa do CPGf/UFPA e precisam criar uma base de conhecimento que os facilitem a realização da pesquisa na pós dentro dos prazos exíguos exigidos.

OBJETIVOS:

O objetivo do trabalho é a implementação da técnica numérica para a solução de equações diferenciais parciais conhecida como Método dos Elementos Finitos, visando aprendizagem e modelagem do método Magnetotelúrico. Para isto, foi necessário construir o conhecimento a partir dos fundamentos de matemática das equações diferenciais parciais de segunda ordem, da física da propagação do campo eletromagnético em meios condutores e da programação computacional voltada para métodos numéricos.

METODOLOGIA NUMÉRICA:

Para atingir o objetivo final de implementar um código de Elementos Finitos para modelar dados Magnetotelúricos, o trabalho foi dividido em etapas, cada uma aumentando o grau de complexidade do problema numérico.

Solução de sistemas de equações algébricas lineares

Muitos métodos numéricos para solução de equações diferenciais, particularmente o método de Elementos Finitos, formulam o problema na forma de um sistema de equações algébricas lineares. Dentre os vários métodos disponíveis para solução destes sistemas, implementamos o método da Decomposição LU, através de eliminação gaussiana. Este é o método direto de solução mais comum, e tem a vantagem de poder ser adaptado para sistemas com estruturas particulares, como é o caso dos sistemas tri-diagonais gerados pelos elementos finitos em problemas 1D, como os que estudamos neste projeto.

O método consiste na realização de combinações lineares entre as linhas da matriz de coeficientes do sistema, de maneira a reescrever a matriz como o produto de uma matriz triangular superior (escalonada), na qual os elementos na diagonal principal são os pivôs do processo de eliminação, com uma triangular inferior. As duas matrizes ocupam o mesmo espaço de armazenamento que a matriz original e contêm toda a informação necessária para, juntamente com o vetor da parte não homogênea do sistema, gerar a solução.

No caso de sistemas tri-diagonais, a implementação é extremamente eficiente, pois permite o armazenamento apenas dos valores nas três diagonais e realização de um número mínimo de operações. A figura 1 mostra o código do programa que calcula a solução de um sistema de equações lineares por decomposição LU.

Figura 1: Código MATLAB para a decomposição LU. Método de Rayleigh-Ritz

O primeiro passo no estudo dos Elementos Finitos foi o Método de Rayleigh-Ritz. Ele é o problema piloto com condições de fronteira homogênea e consiste em determinar soluções aproximadas para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, utilizando para isso o Teorema da Projeção (Strang, 2009).

(1)

O método consiste em calcular a projeção ortogonal da solução em um espaço vetorial de dimensão finita (n) gerado por funções bases que satisfazem as condições de fronteira do problema.

O código na figura 2 exemplifica a aplicação ao problema apresentado nas notas de aulas do prof. Luiz Rijo (Rijo, 2005). Trata-se da equação diferencial:

−d2_u d x2 +u=6+20 x−3 x 2 −

(

)

com condições de fronteira homogêneas. Chama-se a parte direita da equação (2) de h(x). Este exemplo tem solução analítica e serve como teste da solução numérica.

Figura 2: Códigos do programa para o método de Rayleigh-Ritz

Este problema é um passo na direção da implementação do método de Elementos Finitos, por apresentar algumas das ideias fundamentais: a aplicação do teorema da projeção para buscar uma solução em um semi-espaço de dimensão finita, e a transformação do problema de equação diferencial em um de solução de um sistema algébrico.

Método dos Resíduos Ponderados

O segundo passo foi o estudo do Método do Resíduo Ponderado que consiste na minimização do resíduo (erro) da aproximação da solução de uma equação diferencial. Com isso, apesar de ter uma semelhança com o Método de Rayleigh-Ritz, o Método do RP é mais completo e oferece uma melhor aproximação. Simbolicamente tem-se, onde

ϵ _{é o resíduo:}

−d2u

Figura 5: Código do programa para o método de Resíduo Ponderado

Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos é uma análise matemática que consiste na discretização de um meio contínuo em pequenos elementos, mantendo as mesmas propriedades do meio original. Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos, para que sejam obtidos os resultados desejados, que são facilmente encontrados com o auxílio de computadores, fato que explica porque esse método se tornou mais popular recentemente, mesmo tendo sido criado no século XVIII.

Na geofísica, o Método do Elementos Finitos é utilizado para auxiliar nos cálculos e ajudar na modelagem de dados geofísicos. Durante esse ano de bolsa, foi possível aprender sobre esse método e simula-lo através da ferramenta MATLAB, na qual alguns códigos foram criados com o objetivo de treinamento e aprendizagem na área geofísica do método eletromagnético, principalmente voltada ao magnetotelúrico. A equação diferencial abaixo foi usada:

−d dx

(

)

Antes dos códigos serem mostrados e explicados, uma pequena explicação sobre os métodos geofísicos vai ser dada. O método eletromagnético envolve a propagação de campos eletromagnéticos de baixa frequência e é baseada nos fenômenos físicos de eletricidade e magnetismo.

APLICAÇÃO À MODELAGEM DO MÉTODO MAGNETOTELÚRICO

O método magnetotelúrico foi introduzido pelo francês Louis Cagniard (1953) e pelo russo A. N. Tikhonov (1950). É usado para mapear a variação espacial da resistividade da Terra, medindo os campos magnéticos e elétricos naturais da mesma, operando no domínio da frequência.

Possui diversas aplicações, tais como: geotectônica, águas subterrâneas, bacias sedimentares, meio-ambiente, exploração de petróleo, entre outros. Sua principal vantagem em relação as outras técnicas geofísicas são: utilizar fontes de sinais naturais que praticamente não provocam impactos ambientais e podem ser utilizadas em quase qualquer lugar.

O Método Magnetotelúrico (MT) tem como objetivo mapear a distribuição da resistividade elétrica das rochas de subsuperfície, através da medida das variações temporais das componentes horizontais dos campos elétrico e magnético naturais sobre a superfície da Terra (Wannamaker & Hohmann, 1991).

Considerando um campo eletromagnético distante, tem-se que próximo a superfície ele é aproximadamente uma onda plana, com componente vertical apenas no eixo Z na direção do acamamento. Com isso, através dos cálculos que utilizam as equações de Maxwell abaixo, é possível encontrar uma relação entre Elementos Finitos e o Método Magnetotelúrico 1D. Esta relação está no fato de que o Elemento Finito possui como um caso particular método MT, o que faz com que os coeficientes “k”, “p” e “q” mostrados nos códigos do primeiro sejam base para os coeficientes do segundo.

∇ ×h = j + ∂

∂ t(ϵ0E) (5)

∇×e = − ∂

∂ t(µ0H) (6)

Utilizando as equações acima e passando para o domínio da frequência, se tem:

∇×H=(σ+i ωϵ0)E (7)

∇×E=−i ωµ H (8)

Calculando os rotacionais acima e considerando-se que para a onda plana só existem derivadas no eixo Z com componente vertical, tem-se:

∂ Ex

∂ z = −iω µ0Hy (9)

∂ Hy

∂ z = (σ+i ωϵ0)Ex (10)

Substituindo (10) em (9) tem que:

∂ ∂ z

(

∂ Hy

∂ z

)

Comparando (4) com (11), percebe-se a relação dos coeficientes que havia sido comentada anteriormente.

O código a seguir foi criado para que fornecendo os dados de entrada seja possível criar um modelo do método MT e foi feito com base nos conhecimentos adquiridos e expostos anteriormente.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) (b)

Figura 9: Valores de amplitude de Hy gerados pelo programa (a) e pelo modelo de referência (b).

A resistividade é uma propriedade intrínseca as rochas, mas quando se apresenta um solo heterogêneo, a resistividade varia de acordo com a posição dos eletrodos e passa a se chamar resistividade aparente. A seguir, tem-se mais um código do MT para a produção de qualquer modelo que só dependerá dos dados de entrada. No entanto, esse é mais completo que o anterior pois utiliza a resistividade aparente entre seus cálculos. A fórmula utilizada para o cálculo da resistividade aparente é a seguinte:

ρa = 1 ωµ0

‖

‖

Figura 10: Código para a simulação de uma sondagem MT.

-3 -2 -1 0 1 2 3

101 102 103

CONCLUSÃO

Ao longo deste um ano de bolsa, foi possível estudar uma área muito importante para a Geofísica iniciando com a decomposição LU, passando por Rayleigh e Resíduos Ponderados, até chegar nos elementos finitos e sua particularidade, que foi o objetivo principal da bolsa, que é o método magnetotelúrico 1D.

O conhecimento adquirido foi importante não só para realizar as atividades da bolsa de estudos, mas também foi de fundamental importância para melhor compreensão de algumas matérias da graduação, pois como mencionado anteriormente, além do conhecimento sobre uma área do método eletromagnético, também foi estudado o método numérico.

BIBLIOGAFIA

MATSUMOTO, Élia Yathie. Matlab 7: Fundamentos. 2a. ed. São Paulo: Érica, 2003. PRESS, William H.; TEUKOLSKY, Saul A.; VETTERLING, William T.; FLANNERY Brian P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd. ed., Cambridge, 2007.

RIJO, Luiz. Notas de aula para o livro Eletromagnetismo com Mathematica. Belém, 2005.

STRANG, Gilbert. Introduction to Linear Algebra, 4th. ed. Welleslay Cambridge Press, 2009.

Becker, E. B.; Carey, G. F.; Oden, J. T. Finite Elements an Introduction, Vol. 1. Ed Prentice-Hall; 1981.

Tikhonov, A. N. On Determining Electrical Characteristics of the Deep Layes of the Earth's Crust: Dolk. Akad Nauk SSSR. 1950.

Cagniard, L. Theory of the Magneto-Telluric Method of Geophysical Prospecting: Geophyssics. 1953.