Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Aula #2c

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Métodos Quantitativos para

Ciência da Computação Experimental

‐Aula #2c

Virgílio A F Almeida Virgílio A. F. Almeida Abril 2010

Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais Universidade Federal de Minas Gerais

(2)

(3)

Servidor Web: medições experimentais

Request No CPU time (sec) I/O time (sec) Elapsed time (sec) Request No. CPU time (sec) I/O time (sec) Elapsed time (sec)

1 0.0095 0.0400 0.0710 2 0.0130 0.1100 0.1450 3 0.0155 0.1200 0.1560 4 0.0088 0.0400 0.0650 5 0 0111 0 0900 0 1140 5 0.0111 0.0900 0.1140 6 0.0171 0.1400 0.1630 7 0.2170 1.2000 4.3800 8 0.0129 0.1200 0.1510 9 0.0091 0.0500 0.0630 10 0 0017 0 1400 0 1890 10 0.0017 0.1400 0.1890 Average 0.03157 0.205 0.5497

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Servidor Web: medições experimentais

como descrever?

e se fosse uma grande quantidade de dados?

1 0.0095 0.0400 0.0710 2 0.0130 0.1100 0.1450 3 0.0155 0.1200 0.1560 4 0.0088 0.0400 0.0650 5 0 0111 0 0900 0 1140 5 0.0111 0.0900 0.1140 6 0.0171 0.1400 0.1630 7 0.2170 1.2000 4.3800 8 0.0129 0.1200 0.1510 9 0.0091 0.0500 0.0630 10 0 0017 0 1400 0 1890 10 0.0017 0.1400 0.1890 Average 0.03157 0.205 0.5497

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Servidor Web: medições

ç

1 0.0095 0.0400 0.0710 2 0.0130 0.1100 0.1450 3 0.0155 0.1200 0.1560 4 0.0088 0.0400 0.0650 5 0 0111 0 0900 0 1140 5 0.0111 0.0900 0.1140 6 0.0171 0.1400 0.1630 7 0.2170 1.2000 4.3800 8 0.0129 0.1200 0.1510 9 0.0091 0.0500 0.0630 10 0 0017 0 1400 0 1890 10 0.0017 0.1400 0.1890 Average 0.03157 0.205 0.5497

Como sumarizar os dados experimentais?

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P f

B D i

M

é & Al

id

Performance By Design, Menascé & Almeida

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(49)

i

ib i õ

d

iá i

l

ó i

Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias

Discretas

if

1. Uniforme

2. Bernoulli

3. Binomial

4 Geometrica

4. Geometrica

5. Poisson

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Distribuição Discreta Uniforme

• A v.a. discreta X que assume n valores discretos

com probabilidade p (i) = 1/n 1

≤

i

≤

n

com probabilidade p

_X

(i) = 1/n, 1

≤

i

≤

n

f

(

)

⎨

⎧

1 /

n

,

se

x

i

∈ X

• pmf

⎩

⎨

=

contrário

caso

x

p

_X _i i

,

0 )

(

• CDF:

F

t

p

i

t

t X

=

∑

(

)

(

n

i X

∑

=1

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Variável de Bernoulli

– V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {0,1}

– A v a binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:

–Função de massa de probabilidade

:

)

1 (X

P

p

)

0 (

1 )

1 (

=

−

=

X

P

p

q

X

P

p

)

(

p

q

(52)

Distribuição de Bernoulli

• CDF

p+q=1 x 0 0 1 0 q 0.0 1.0

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Binomial

Numa distribuição binomial, tem‐se:

1 Todos experimentos são independentes 1. Todos experimentos são independentes.

2. Número de sucessos x numa sequência de experimentos de Bernoulli.

2 C d lt d é “ ” “f lh ” 2. Cada resultado é um “successo” ou “falha”.

3. A probabilidade de sucesso de um experimento é dado por p. A probabilidade de uma falha é 1‐ p.

4. Uso do modelo: número de processadores “down” num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

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(55)

Distribuição Binomial

A distribuição binomial com parâmetros

n 0 and 0 < p < 1, is

≥

n

_x _{n x}

( )

⎛

_⎜

⎞

_⎟

(

1 )

−

≥

p x

x

p

x n x

( )

=

⎛

(

)

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 −

Qual a média e variância????

(56)

Distribuição Binomial

A distribuição binomial com parametros n 0 and 0 < p < 1, is

≥

n

_x _{n x}

⎛

⎜

⎞

⎟

A édi iâ i d bi i l ã

p x

n

x

p

x n x

( )

=

⎛

(

)

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

1

A média e variância da binomial são: 2

μ

=

np

σ

2

=

np

(

1 −

p

)

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Distribuição Geométrica

• Número de experimentos até incluir o 1o _sucesso

• Número de experimentos até incluir o 1o _sucesso.

• Em geral S pode ter um tamanho infinitamente contávelEm geral , S pode ter um tamanho infinitamente contável

• Definir a v.a Z (

∈

S): amostra: 0 i-1 1 = i • Por causa da independência:p

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(59)

Geométrica

• A distribuição geometrica é a única distribuição

discreta que exibe a propriedade MEMORYLESS

discreta que exibe a propriedade MEMORYLESS.

• Resultados futuros são independentes de eventos

passados

passados.

• n experimentos completaram todos com falhas. Y

experimentos adicionais são executados antes de

um sucesso, i.e. Z = n+Y or Y=Z-n

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Geométrica: ausência de memória

• Y=Z-n

) | ( ) | ( n Z i n Z P n Z i Y P > = − = > = = ) ( ) | ( n Z and i n Z P n Z i n Z P > + = = > + = = ) ( ) ( ) ( ) ( i n p i n Z P i n Z P n Z P Z + = + = = + = = > = ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 i pq n F n F n Z P i i n Z Z − = − = > = − − + ) ( ) 1 ( 1 q pq p i pq Z i n = = − − =

(61)

V.A. Geometrica

• Exercício: Mostre que

1

∞ 1

1 ( )

1 and ( )

X

P x

E x

p

∞

=

∑

1 x=

p

(62)

Poisson: propriedades

• Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto: transações em um minuto: • Espera‐se que: – O início de cada transação é independente dos outros;ç p ; – Para cada pequeno intervalo de tempo Δt, a probabilidade de uma nova transação chegar é λΔt – A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo é zero!

• O processo de Poisson tem as propriedades acima • O processo de Poisson tem as propriedades acima.

(63)

Di t ib i ã d P i

•

F ã d d b bilid d ( f)

Distribuição de Poisson

•

Função de massa de probabilidade (pmf):

)

(

λ

t

k

{

}

k!

)

(

)

(

t

k

e

t

N

P

p

_k

=

−λt

λ

•

CDF:

)

(

λ

k

( )

⎣ ⎦

k!

)

(

0 k

∑

−

=

x k t

t

e

x

F

λ

k!

0 = k

(64)

Poisson

(65)

Poisson pmf

p

_k

p

(66)

Poisson pmf

p

_k

p

λt=4.0

(67)

Poisson

• Uma v.a. de Poisson X tem sua pmf:: x

λ

(

)

0,1, 2,...

!

P X

x

e

x

λ

₋

=

Onde

λ

> 0 é uma constante

E

i i

λ

• Exercicio:

mostre que: E(X) =

λ

_{P x}

_{( ) 1}

∞

Σ

λ

E(X) =

λ

0 X

( ) 1

x

Σ

=

P x

=

(68)

Poisson: aplicações

• A v.a. de Poisson é boa para modelar

vários fenômenos, como o número de

transações que chega num servidor em

uma hora, ou o número de queries que

chega numa máquina de busca em 1

minuto ou número de pacotes que chega

p

q

g

num roteador em 1 segundo.

(69)

Exponencial

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Search Algorithms: Is the Web‐Graph a

Search Algorithms: Is the Web Graph a

Random graph? No!

• Random graph G_n,p: – n nodes

– Every directed edge occurs with probability pEvery directed edge occurs with probability p • Is the Web‐graph a random graph G_n,p? • The probability of high degrees decrease exponentially • In a random graph degrees are distributed according to a Poisson distribution distribution • Therefore: The degree of a random graph does not obey a power law

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Experimental results

• Player/Stage simulations; • Sensor Network of 25 • Sensor Network of 25 motes;

• Groups of 1-4 robots, 10Groups of 1 4 robots, 10 trials/group

• 10 Alarms are drawn from

h P i di ib i

the Poisson distribution with λ=1/60;

• Empty environment A = • Empty environment, A =

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Exercícios

1. Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t Calcule a seguintes probabilidades: – Exatamente tres mensagens chegarão num intervalo de 10 seg.g – No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg. – O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails mails. 2. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10(‐ 4)_{. Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa} sequência de 1000 queries? sequência de 1000 queries?