Prof. Graça. Circuitos elétricos CC

Circuitos

elétricos CC

Prof.

Graça

Circuitos elétricos de CC

Conteúdo

• Circuitos Equivalentes

• Princípio da Superposição

• Elementos Lineares

• Regras de Kirchoff

• Divisor de tensão

• Circuito de várias malhas (regra de Cramer)

• Carga e Descarga de capacitores

Corrente elétrica

Para aparecer uma corrente através de um resistor, devemos ter uma diferença de potencial entre as suas pontas, o que é equivalente à existência de um campo elétrico:

O dispositivo capaz de manter essa diferença de potencial é uma fonte de força eletromotriz

fem. A fem é capaz de realizar continuamente um trabalho capaz de manter a diferença de

potencial V₊ - V_-

Exemplos de fem

V₊ V_{_}

E

Trabalho energia e fem

Analisando o circuito:

a) Em um intervalo dt, uma carga dq passa através da seção transversal aa´

b) A fem deve realizar um trabalho dW para levar a carga dq do potencial menor para o maior.

A fem representa o trabalho por unidade de carga para levar a carga do potencial mais baixo para o mais alto.

Fem ideal e real

Fonte

Ideal

1. Possui resistência interna nula

2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem da fonte:

Fonte Real

1. Possui resistência interna

2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem só quando a fonte está aberta, ou seja sem carga:

3. Quando há corrente através da fonte ddp entre os seus terminais é diferente da fem.

Circuito elétrico: Fontes e cargas

Cálculo da corrente

Dois métodos básicos:

1º Baseando-se na conservação de energia 2º Baseando-se na conservação de carga.

Método da Energia

• A energia produzida pela fonte aparece no resistor sob a forma de calor, sendo a potência:

Como se trata de uma fonte

Cálculo da corrente

Método do Potencial- regra das malhas:

ddp...aplicando a conservação de energia.

• Vamos aplicar o método partindo do ponto ´a´ no sentido horário:

Cálculo da corrente

Método do Potencial- regra das malhas:

aplicando a conservação de energia.

A regra das malhas de Kirchoff, aplicação do método do potencial ou conservação de energia pode ser

resumido assim:

A soma algébrica das variações de potencial

ao longo de uma malha fechada deve ser nula:

Cálculo da corrente: fonte real

A fonte real possui uma resistência interna r, Aplicando a regra das malhas teremos:

Diferença de Potencial Entre Dois Pontos Quaisquer do circuito

Muitas vezes queremos calcular a d. d. p. entre dois pontos de um circuito, o método dos potenciais pode ser útil neste momento.

Problema: Considere o mesmo circuito anterior onde os pontos que vamos considerar são os pontos a e b.

Cálculo da corrente

b) Usando o mesmo valor da corrente do 1º caso

Obs.: não importa o sentido que percorremos o circuito, devemos encontrar a mesma ddp entre os pontos a e b, pois esta ddp independe da trajetória.

Resistores em série

Problema: dadas as resistências de uma combinação em série, devemos encontrar o resistor equivalente, que para a mesma bateria, substitui os demais resistores da combinação.

Divisor de tensão

v

R

R

R

R

i

R

v









v

R

R

R

R

i

R

v









v

R

R

R

R

i

R

v









v

R

R

R

R

i

R

v









Aplicação

do divisor de tensão

V

5

.

1

15

6000

2000

1000

1000

1000





















v

R

R

R

R

R

v

Na bateria, lembrando que dq=Idt, a Energia será dada por:

Idt

dq

dW

;

dt

dW

_

_









Circuitos de Malhas Múltiplas

O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente pois o resultado indicará o sentido verdadeiro

Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:

1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia) 2. Regra dos nós conservação da carga

Circuitos de Malhas Múltiplas

O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente pois o resultado indicará o sentido verdadeiro

Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:

1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia) 2. Regra dos nós conservação da carga

Malha abda Malha bcda Nó b −𝜖₁ − 𝐼₂𝑅₂ + 𝐼₁𝑅₁ = 0 𝜖₂+𝐼₂𝑅₂ + 𝐼₃𝑅₃ = 0 −𝐼₁ − 𝐼₂ + 𝐼₃ = 0

Circuitos de Malhas Múltiplas

Temos três equações, envolvendo as três correntes. Resolvendo para as três incógnitas (I₁,

I₂ e I₃):

R

I

- R

I

+ 0 I

= ε

0 I

+ R

I

+ R

I

= - ε

- I

− I

+ I

= 0

O método de solução mais agradável é o matricial:

A solução deste sistema envolve a

inversão da matriz de coeficientes e a sua multiplicação pelo vetor de termos

independentes

Circuitos de Malhas Múltiplas

Vamos dar como exemplo:

R₁= 1; R₂= 2; R₃= 3; ₁=12volts; ₂=6volts

Em vez da inversão de matrizes pode ser utilizada a regra de Cramer que se encontra no livro

1 -2 0 0 2 3 -1 -1 1 12 -6 0 0,454545 0,181818 -0,54545 -0,27273 0,090909 -0,27273 0,181818 0,272727 0,181818 12 -6 0 x = = x 4,363636 -3,81818 0,545455 =

Circuítos

Capacitivos

Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores

Antes: tratamos até aqui com correntes elétricas que não variam no tempo.

Agora: vamos tratar com correntes elétricas variáveis no tempo.

1º Carregando um Capacitor

O capacitor está inicialmente descarregado. Movendo-se a chave S para a temos um circuito RC em série e a fem, ε, em série com a resistência R e a capacitor C.

Como a corrente varia no tempo? Para responder isso, vamos aplicar a Regra das Malhas no circuito (com chave S em a), no sentido horário e começando do ponto x:

ε − V_R − V_C = 0 ou V_R+V_C = ε .

Usando V_R = R I e q = C V_C, então, , tanto q quanto I variarão com o tempo, logo

esta é uma equação com duas variáveis (q, I), precisamos de mais uma equação : I=dq/dt Então temos a equação de carga:

Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores

inicialmente descarregado. Condição de contorno = condição inicial = para t = 0 s, q₀ = 0 C. Felizmente a equação diferencial é de variáveis separáveis dt

Solução:

Carga

Corrente

ddp no capacitor

Descarga do Capacitor

Suponha agora que o capacitor está plenamente carregado (VC = ε e q = ε C), e para t = 0 s, giramos a chave S para o ponto b, para que o capacitor C possa descarregar na resistência R.

Como a corrente de descarga do capacitor varia no tempo?

A equação anterior continua sendo válida, exceto que agora não temos a bateria no circuito (ε = 0 V).

V

+V

= 0

Então, a equação de descarga será

A condição inicial agora é que o capacitor esteja inicialmente totalmente carregado: q(t=0)=q₀ = ε C.

Descarga do Capacitor

Da mesma maneira que na carga, esta equação também é de variáveis separáveis, então podemos escrever:

derivando

Portanto

26

A equação de descarga RC

q

 

q

_max

e



t

RC

2

4

6

8

10

q

tempo

q

/e

Carga

37% of q

tempo = RC (constante de

tempo)

27

Corrente de descarga

2

4

6

8

10

I

tempo

cor

re

nte

37% de I

28

Exemplos

R

C

T

10k



10nF

1



s

1M



10pF

1



s

1k



10pF

?

1M



10



F

?

29

Circuito Integrador

V

_i

R

C

_V

c

T

V

V

T/10

5T



V

_c



1

RC



V

i

dt

30

Circuito Diferenciador

T

V

_i

V

_R

T/10

V

_R



RC

dV

i

dt

V

_i

R

C

V

_R

31

• Capacitância é uma constante de proporcionalidade

relacionando q e V

• Capacitância depende de fatores geométricos

• Capacitores podem armazenar energia elétrica

• Circuitos gráficos e equações C - R (V, q e I)

• Transientes ajudam a explicar o comportamento de

circuitos AC

• Como os capacitores se somam quando em paralelo e

em série

• Leia os capítulos 4 e 11 das notas de aula

32

Tipos de Capacitores

....

Circuitos

Indutivos

Prof. Graça

2012

Circuito RL

• Quando a chave S é fechada a

corrente não atinge imediatamente

o seu valor máximo.

• A Lei de Faraday pode ser usada

par explicar o fato

fem auto induzida

 A fem tem polaridade inversa ao (b) quando a corrente decresce (c)

 Uma corrente na bobina produz um campo B para a esquerda (a).

 Se a corrente cresce, o fluxo aumenta e a fem induzida tem o sinal indicado, criando um campo induzido contrário ao crescimento da corrente (b)

Auto Indutância





d

nIA

d

dI

NBA dI

N

N

N

nA

dt

dt

dt

I

dt





 

 

  

 



o

B

 

nI

N

dI

dI

L

I

dt

dt



 

 



N

L

I





Indutância de um Solenoide

• O fluxo magnético através de cada espira será

:

• Portanto a indutância será:

• Isto demonstra que a indutância é dependente da

geometria do solenoide





 

_{ }

_



I



N

BA

μ

A

I

N

μ N A

L







Unidades de Indutância

N

L

I





dI

L

dt

 





 

  

V

L

s

Henry

H

A / s







_

_

   







Circuíto RL

Carga

Lei das malhas:

o

dI

V

RI L

0

dt







Solução:





V

I

1 e

R





L

R

 

Circuíto RL

Descarga

Lei das malhas:

dI

RI L

0

dt





Solução:

I



I e

L

R

 

Energia na bobina

dI

P

VI

L

I

dt







_{ }

_





1

U

LI

2



PE no Indutor

PE no Capacitor

U

1

CV

2



Densidade de energia na bobina

1

U

LI

2



PE no indutor





N

NI /

A

N

NBA

L

I

I

I















_{ }

N

N A

1

B

1

U

B

A

2

N

2











_

_

_















B

I

N





1

u

B

2





1

u

E

2

 

Exemplo: Cabo Coaxial

• Calculo de L para o cabo

• O fluxo total flux é

• Portanto, L é

• A energia total será

ln

2

2

I

I

μ

μ

b

B dA

dr

πr

π

a

 

 





_{ }

 





ln

2

I

μ

b

L

π

a



_{ }





_{ }

 

1

ln

2

4

I

I

μ

b

U

L

π

a

 





_{ }

 

Circuíto LC

Q

dI

L

0

C



dt



d Q

Q

0

dt



LC



Equação das malhas:

Solução:





Q



Q

cos

  

t

1

LC

 





I t



0



0

Energia em um circuito LC





Q

1 Q

U

cos

t

2 C

2C





  

 

Q



Q

cos



t

₁

LC

 

 

 

L

Q

Q

1

U

LI

sin

t

sin

t

2

2

2C







 



 

dQ

I

Q

sin

t

dt

 







 

 

max max max

E B

Q

Q

Q

U

U

cos

t

sin

t

2C

2C

2C

Circuitos RLC

Q

dI

RI L

0

C





dt



Equação das malhas:

Solução:

d Q

dQ

Q

L

R

0

dt



dt



C







Q



Q

e

cos

  

t

1

R

LC

4L

 



R

2L

 

Circuito RLC amortecido

• O máximo valor de Q

decresce após cada

oscilação

– R < R

• Isto é análogo ao

sistema massa-mola

amortecedor

Circuitos RLC

A. Subamortecido

B. Amortecimento critico

C. sobramortecido





Q



Q e

cos

  

' t

1

R

'

LC

4L

 



1

R

LC



4L

1

R

LC



4L

1

R

LC



4L

4L

R

C



4L

R

C



4L

R

C



Analogias entre sistemas elétricos e mecânicos

Circuito Elétrico Variáveis Sistema Mecânico Unidimensional

Carga elétrica Q  x Posição Corrente I  v_x Velocidade Diferença de Potencial V  F _x Força

Resistência R  b Coeficiente de Amortecimento Capacitância C  1/k Constante elástica

Indutância L  m Massa Corrente Velocidade Derivada da corrente Aceleração Energia no indutor Energia Cinética

Energia no capacitor Energia potencial armazenada em mola Energia perdida na

resistência

Perda de Energia por atrito Circuito RLC Sistema massa-mola-amortecedor