PUCRS – FAMAT – Exemplos de Equações Diferenciais Parciais- Prof. Eliete
Equação diferencial parcial (EDP) é a uma equação que envolve duas ou mais variáveis independentes (x,y,z,t,K e derivadas parciais de uma função incógnita (variável ) dependente que queremos determinar)
u
≡
u
(
x
,
y
,
z
,
t
,
K
)
.Ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da derivada parcial de maior ordem que surge na equação.
Chama-se solução de uma equação diferencial parcial a uma função que verifica identica-mente essa equação.
A forma geral de uma equação diferencial parcial de segunda ordem linear em duas variáveis independentes x e y é G Fu y u E x u D y u C x x u B x u A 2 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ,
onde A, B, C, D, E, F e G são funções de x e y. Quando G(x,y)=0, a equação é dita homogênea; em caso contrário é não-homogênea.
Se os coeficientes A, B, C, D, E, F são constantes reais G(x,y)=0, a EDP é dita:
Hiperbólica se B2−4AC>0. Ex. Equação unidimensional da onda (x,t) 0 x u ) t , x ( t u a 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ .
Parabólica se B2−4AC=0. Ex. Equação do calor (x,t) 0, k 0. t u ) t , x ( x u k 2 2 > = ∂ ∂ − ∂ ∂
Elíptica se B2−4AC<0. Ex. Equação de Laplace (x,y) 0 ( u 0). y u ) y , x ( x u 2 2 2 2 2 = ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂
Princípio da Superposição
Se u1, u2 ,... un são soluções de uma EDP linear e homogênea, então a combinação linear
u=c1u1+c2u2+...+cnun tambémé solução dessa equação, onde c1, c2, ...cn são constantes.
Admitiremos que sempre que tivermos um conjunto infinito u1, u2,,... de soluções de uma
equação diferencial parcial linear e homogênea, poderemos obter uma outra solução construindo a série infinita. n 1 n u u
∑
∞ = =Separação de Variáveis
A técnica da Separação de Variáveis reduz uma equação diferencial parcial a várias equa-ções diferenciais ordinárias. Para resolver uma equação diferencial parcial por separação de variá-veis, supomos que uma solução pode ser expressa como o produto de duas funções desconhecidas, em que uma delas é função de apenas uma das variáveis independentes e a outra das restantes. A equação resultante escreve-se de modo a que um dos membros dependa apenas de uma das variá-veis e o outro das variávariá-veis restantes. Sendo assim cada um dos membros terá de ser uma constante, o que vai permitir determinar as soluções.
Exemplo1 - Resolver ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ − x e 5 ) 0 , x ( u 0 ) y , x ( y u 3 ) y , x ( x u 7
2 Solução: Consideramos u(x,y)=X(x)Y(y)
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ ' XY y u Y ' X x u . Então, K Y ' Y 3 X ' X 7 0 ' XY 3 Y ' X 7 ) y , x ( y u 3 ) y , x ( x u 7 = + = ⇒ =− = ∂ ∂ + ∂ ∂ .
Como X é função somente da variável x e Y da variável y, cada termo da última igualdade deve ser constante K, dita constante de separação.
Obtemos então duas equações diferenciais ordinárias:
x 7 K 1 e C ) x ( X K X ' X 7 = ⇒ = e y 3 K 2 e C ) y ( Y K Y ' Y 3 − = ⇒ = − . Assim, y 3 K x 7 K y 3 K 2 x 7 K 1e C e Ce C ) y ( Y ) x ( X ) y , x ( u − − = = = .
Aplicando a condição u(x,0)=5e−x, obtemos:
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ − = = ⇒ = − 7 K 1 7 K 5 C e 5 e C x x 7 K . A solução procurada é y 3 7 x e 5 ) y , x ( u + − = .
Exemplo2 - Resolvero problema de condução de calor transiente numa placa
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < + − = = = < < > ∂ ∂ = ∂ ∂ M ) t , x ( u ) x 10 ( sen 2 ) x 8 ( sen 3 ) x 4 ( sen 5 ) 0 , x ( u 0 ) t , 3 ( u ) t , 0 ( u 3 x 0 , 0 t ), t , x ( x u 2 ) t , x ( t u 2 2 π π π
Solução: Consideramos u(x,y)=X(x)T(t) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒ = ∂ ∂ ⇒ ' Xt t u T ' ' X x u T ' X x u 2 2 . Então, 2 2 2 K X ' ' X T 2 ' T T ' ' X 2 ' XT ) t , x ( x u 2 ) t , x ( t u ⇒ = ⇒ = =− ∂ ∂ = ∂ ∂ .
O sinal negativo da constante de separação K2 garante que a solução T(t) decairá com o tempo. Obtemos então duas equações diferenciais ordinárias:
t K 2 2 2 T' 2K T 0 T(t) C e 2 K T 2 ' T =− ⇒ + = ⇒ = − ; ) Kx ( sen C ) Kx cos( C ) x ( X 0 X K ' ' X K X ' ' X 2 1 2 2⇒ + = ⇒ = + − = .
Assim, u(x,y)=X(x)T(t)=Ce−2K2t
[
C1cos(Kx)+C2sen(Kx)]
e, considerando2 1,B CC CC A= = , escrevemos
[
Acos(Kx) Bsen(Kx)]
2 e ) t , x ( u = −2K t + .Mas aplicando as condições de contorno, obtemos 0 A 0 2 Ae 0 ) t , 0 ( u = ⇒ −2K t = ⇒ = , e para B≠0 ,... 2 , 1 , 0 n , 3 n K n K 3 0 ) K 3 ( sen 0 ) K 3 ( Bsen 2 e 0 ) t , 3 ( u = ⇒ −2K t = ⇒ = ⇒ = π ⇒ = π = ± ± Assim, ) 3 x n ( sen 9 t 2 2 n 2 e B ) t , x ( u π π −
= é uma solução da equação da equação dada e também o é
) 3 x n ( sen 9 t 2 2 n 2 e B ) t , x ( u n 1 n π π − =
∑
∞ = .Quando aplicamos agora a condição inicial u(x,0)=5sen(4πx)−3sen(8πx)+2sen(10πx)obtemos
2 B 24 n , e 3 B 24 n , 5 B 12 n= ⇒ 12 = = ⇒ 24 =− = ⇒ 30 = e Bn = para 0 n≠5, n≠24, n≠30. A solução do problema de condução de calor transiente dado é
) x 10 ( sen t 2 200 e 2 ) x 8 ( sen t 2 28 1 e 3 ) x 4 ( sen 2 e 5 ) y , x ( u = −32π t π − − π π + − π π ,
4
Obs.:
Se no exemplo2, a condição inicial fosse substituida por u(x,0)=f(x), teríamos ) 3 x n ( sen B ) x ( f ) 0 , x ( u n 1 n π∑
∞ = == . Nesse caso os valores de Bn são os conhecidos coeficientes de Fourier de f(x) (Vide teoria das Séries de Fourier).
Exercícios
1. Utilizando a Separação de Variáveis ( u(x,y)=X(x)Y(y) ou u(x,y)=X(x)T(t) ), determinar possíveis soluções de:
a) (x,y) 0 y u ) y , x ( x u = ∂ ∂ − ∂ ∂ b) (x,y) u( x,y) y u ) y , x ( x u = ∂ ∂ + ∂ ∂ c) (x,y ) 0 y u y ) y , x ( x u x = ∂ ∂ − ∂ ∂ d) (x,y) 0 y u ) y , x ( y x u ) y , x ( x u 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ e) ( x,t), 0 t u ) t , x ( u ) t , x ( x u 2 2 > ∂ ∂ = − ∂ ∂ α α f) ( x,t) t u ) t , x ( x u 2 2 2 2 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ α g) (x,y ) 0 y u ) y , x ( x u 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ Respostas: a) u(x,y)=AeK(x+y) b) u(x,y)= Aey+K(x−y) c) u(x,y)= A(xy)K
d) A EDP dada não é separável
e)
[
]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =e− e 2 Acosh(Kx) Bsenh(Kx) ) t , x ( u t αK t[
]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =e− e− 2 Ccos(Kx) Dsen(Kx) ) t , x ( u t αK t u(x,t)=(Ex+F)e−tf) u(x,t)=
[
Acosh(Kx)+Bsenh(Kx)][
Ccosh(Kαt)+Dsenh(Kαt)]
u(x,t)=
[
Ecos(Kx)+Fsen(Kx)][
Gcos(Kαt)+Hsen(Kαt)]
u(x,t)=(Ix+J)(Lt+M )
g) u(x,y)=
[
Acosh(Kx)+Bsenh(Kx)][
Ccosh(Ky)+Dsenh(Ky)]
u(x,y)=
[
Ecos(Kx)+Fsen(Kx)][
Gcos(Ky)+Hsen(Ky)]
2) Resolver a equação da difusão, para , t 0 , 1 x 0< < ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ≥ = = = ∂ ∂ − ∂ ∂ ) x 2 ( sen 5 ) 0 , x ( u 0 t , 0 ) t , 1 ( u ) t , 0 ( u 0 ) t , x ( x u ) t , x ( t u 2 2 π Resposta: u(x,t)=5e−4π2tsen2πx
3) Resolver a equação da onda, para , t 0 , 1 x 0< < ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ≥ = = = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 ) 0 , x ( t u ), x ( sen ) 0 , x ( u 0 t , 0 ) t , 1 ( u ) t , 0 ( u 0 ) t , x ( x u ) t , x ( t u 2 2 2 2 π
6 Aplicação da
Transformada de Laplace
na resolução de Equações DiferenciaisOrdinárias
Para resolver equações diferenciais parciais utilizando a técnica da Transformada de Laplace aplicada na variável t, denotando L
{
u(x,t)}
=U(x,s), consideramos que) 0 , x ( u ) s , x ( sU ) t , x ( t u L = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ , (x,0) t u ) 0 , x ( u s ) s , x ( U s ) t , x ( t u L 2 2 2 ∂ ∂ − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ , ) s , x ( U dx d ) t , x ( x u L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ e U(x,s) dx d ) t , x ( x u L 2 2 2 2 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂
Exercícios
1)Determinar uma solução limitada u(x,t) se , t 0 , x 0< ≤ para o problema ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ∂ ∂ = ∂ ∂ − x3 e 6 ) 0 , x ( u ) t , x ( u ) t , x ( t u 2 ) t , x ( x u Resposta: u(x,t)=6e−2t−3x
2) Resolver a equação da condução do calor, para , t 0 , 1 x 0< < < ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ∂ ∂ − ∂ ∂ ) x 2 ( sen 3 ) 0 , x ( u 0 ) t , 1 ( u ) t , 0 ( u 0 ) t , x ( x u ) t , x ( t u 2 2 π Resposta: u(x,t)=3e−4π2tsen2πx
(Representa a temperatura no tempo t >0, em qualquer ponto do sólido limitado pelas faces planas infinitas x=0 e x=1, mantidas à temperatura zero. u(x,0)=3sen(2πx)representa a temperatura inicial para.0<x<1)
3) Resolver a equação da condução do calor, para 0<x, 0<t, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 ) 0 , x ( u 1 ) t , 0 ( u 0 ) t , x ( x u ) t , x ( t u 2 2 Resposta: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =
∫
∞ − − − t 2 x erfc dv 2 e 2 s e L ) t , x ( u t 2 x v s x 1 π (Representaa temperatura num ponto qualquer do sólido semi-infinito com temperatuna inicial nula e cuja face x=0 e x=1 é mantida à temperatura unitária. )
4)Determinar uma solução limitada u(x,t) se , t 0 , 1 x 0< < ≤ para o problema ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = ∂ ∂ − ∂ ∂ − x ) 0 , x ( u e 1 ) t , x ( t u ) t , x ( x u t Resposta: u(x,t)=1+x−e−t
Observações
Um corpo é isotrópico se a condutividade térmica em cada um de seus pontos é independente da direção do fluxo de calor através do ponto.
Em um corpo isotrópico, a temperatura,
u
≡
u
(
x
,
y
,
z
,
t
),
é obtida resolvendo-se a equação diferencial parcial (EDP)t u cp z u k z y u k y x u k x ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂
onde k, c e p são funções de (x,y,z), e representam respectivamente, a condutividade térmica, o calor específico e a densidade do corpo no ponto (x,y,z).
Quando k, c e p são constantes, essa equação é denominada equação simples tridimensional do calor, e é expressa como
. t u k cp z u y u x u 2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
Se o domínio do problema é relativamente simples, a solução dessa equação é obtida utilizando a série de Fourier. Na maioria das situações onde k, c e p não são constantes ou
8 quando o domínio é irregular, uma estimativa da solução da equação diferencial parcial deve ser obtida por meio de métodos numéricos.
1.1-Equação Do Potencial ou de Poisson(EDP Elíptica)
Consideremos a equação de Poisson:
). y , x ( f ) y , x ( y u ) y , x ( x u 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂
Nessa equação supomos que a função
f
descreve os dados do problema em uma região plana R com fronteira S. Equações desse tipo aparecem durante o estudo de diversos problemas físicos dependentes do tempo; por exemplo, a distribuição de calor para um estado estável em uma região plana, a energia potencial de um ponto em um plano sobre o qual atuam forças gravitacionais e os problemas bidimensionais do estado de equilíbrio em fluidos .Para se obter uma solução única para equação de Poisson é necessário impor outras restrições. Por exemplo, o estudo da distribuição de calor no estado de equilíbrio em uma região plana requer que f
( )
x,y ≡0 que é a equação de Laplace, 0 ) y , x ( y u ) y , x ( x u 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂
Se a temperatura na região é determinada por sua distribuição no fronteira da região, as restrições são denominadas Condições de fronteira de Dirichlet, dadas por u(x,y)= g(x,y), para todo(x,y) em S, a fronteira da região R ( ver figura 1).
Figura 1
1.2- Equação de Calor ou da Difusão (EDP Parabólica)
A equação do calor ou de difusão (que é uma equação diferencial parcial parabólica) , 0 ) t , x ( x u ) t , x ( t u 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂
modela matematicamente o problema físico referente ao fluxo de calor ao longo de uma barra de comprimento l (figura 2), a qual tem uma temperatura uniforme dentro de cada elemento transversal. Essa condição requer que a superfície lateral da barra esteja perfeitamente isolada. A constante α é determinada pelas propriedades de condução de calor do material de que a barra é feita e é independente da posição da barra.
Um dos conjuntos típicos de restrições para um problema de fluxo de calor desse tipo consiste em especificar a distribuição inicial de calor na barra: u(x,0)=f(x) e em descrever o comportamento nas extremidades da barra. Por exemplo, se as extremidades são mantidas em temperaturas constantes Ui e U2, as condições de contorno têm a forma:
1 U ) t , 0 ( u = e u(l,t)=U2,
e a distribuição de calor se aproxima da distribuição limite de temperatura . ) , ( 1 2 1 lim x l U U U t x u t − + = ∞ →
Se, a barra estiver isolada de modo que não flua calor por suas extremidades, as condições de contorno serão: 0 ) , 0 ( = ∂ ∂ t x u e (, )=0, ∂ ∂ t l x u
o que resulta em uma temperatura constante na barra como caso limite.
A equação diferencial parcial parabólica também é importante para o estudo da difusão dos gases.
1.3- Equação da Onda (EDP Hiperbólica
)
Consideremos a equação da Onda unidimensional , um exemplo de uma equação diferencial parcial hiperbólica. Supomos que uma corda elástica ,de comprimento l , seja
esticada entre dois suportes no mesmo nível horizontal(figura 3) Figura 3
Se
pusermos a corda em movimento de modo que ela vibre em um plano vertical, o deslocamento vertical u ( x , t ) de um ponto x no tempo t satisfará a equação diferencial parcial
t 0 , l x 0 para ), t , x ( t u ) t , x ( x u 2 2 2 2 2 < < < ∂ ∂ = ∂ ∂ α ,
se os efeitos de amortização forem desconsiderados e a amplitude não for muito grande.
Para impor restrições a esse problema, vamos supor que a posição e a velocidade iniciais da corda sejam dadas por
) ( ) 0 , (x f x u = e (x,0) g(x), t u = ∂ ∂ Se os pontos extremos forem fixos, teremos:
0 ) t , l ( u e 0 ) t , 0 ( u = = .
10 Os outros problemas físicos envolvendo a equação diferencial parcial hiperbólica ocorrem no estudo de vigas vibrantes com uma ou ambas as extremidades fixas e na transmissão de eletricidade em uma linha de transmissão longa onde exista alguma perda de corrente para o solo.
8.4 – Bibliografia para EDP`s
BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro : LTC, 1992.
BRONSON, Richard. Moderna introdução às equações diferenciais. São Paulo : MacGraw-Hill, 1977.
BUEDEN, Richard L., Faires, J. Douglas. ”Analise Numérica”, São Paulo, SP, 2003, THOMSON.
KORN, Grandino A, Korn, Thereza M.- Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York, 2000, Dover Publications.
KREYSZIG, Erwin. Matemática superior. Rio de Janeiro : LTC, 1969. v.1.
SPIEGEL, Murray R. Transformadas de Laplace. Rio de Janeiro : McGraw-Hill, 1979. STROUD, K.A, Booth, Dexter J., Advanced Engineering Mathematics, New York, 2003, Pal-grave Macmillan.
ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Equações diferenciais. São Paulo : Makron Books, 2001. 2 v.
