LISTA DE EXERCÍCIOS – MATRIZES E DETERMINANTES PROFESSOR: Claudio Saldan CONTATO: saldan.mat@gmail.com PARTE 1
1* - Julgue se verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua escolha.
*Referente a proposições de questões de vestibulares da UEM. a.( ) Considere = 2 4 2 5 2 3 A e − = 2 4 2 1 0 3 B .
As matrizes X e Y, tais que + − = − + = + B 3 A 3 Y 2 X B A 4 Y X 2 , são = 4 8 4 4 2 6 X e = 2 4 2 11 4 3 Y .
b.( ) O determinante da matriz quadrada A de ordem 2, cujo elemento genérico é
5 j 3 i 2 aij= − + , é igual a –12.
c.( ) Se A é uma matriz de ordem 3×4 e B uma matriz de ordem n×m, então os produtos AB e BA existem se, e somente se, n = 4 e m = 3.
d.( ) Se o determinante de uma matriz quadrada A é 10 e se a segunda linha for multiplicada por 4 e a quinta linha por
2 1
, então o determinante da matriz resultante é 20.
e.( ) Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que seus elementos satisfazem aij + aji =
0 para todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Então, det(A) ≠ 0. f.( ) Se uma matriz quadrada A de ordem n
tem determinante satisfazendo a equação det(A2) + 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1 ou – 3.
g.( ) Se A é a matriz dada por
− k 0 k 2 1 1 1 1 k ,
então o único valor de k que torna o determinante de A2 nulo é zero.
h.( ) A equação matricial Xt ⋅ A ⋅ X = 3 onde A é a matriz dada por
−4 3 4 3 , tem como
solução o conjunto das matrizes = × y x X21 , tais que x2 + y2 = 1. i.( ) Se A = B ⋅ C, onde = 1 1 0 1 0 0 1 B 3 4 3 1 e − = 4 0 0 0 4 2 3 C 3 2 3 1 , então o determinante de A é igual a – 4.
j).( ) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, m e n são números naturais tais que det(AB)=2m e det(A)=2n, então
n m 2 ) B det( = . k).( ) − ≠ 1 3 0 0 0 2 0 4 6 3 0 0 0 2 0 4 .
2. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007:
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o
número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores:
– ouro: 3 pontos;
– prata: 2 pontos;
– bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz = 1 2 3 V
Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente.
PARTE 2
01 - (UEPG PR) Sobre matrizes, assinale o que for correto.
01. Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p, onde m, n e p são números distintos, é possível efetuar a operação t
B A + .
02. O determinante da matriz A =(aij)2x2, definida por ≠ = = j i se , j i j i se , i a j ij , vale 3. 04. Dadas as matrizes A=(x−25) e − = 4 x 3 2 B , se ) 4 ( B . A = − , então x=3.
08. Se A, B e C são matrizes dos tipos 7x5 e 4x7 , 4 x
3 , respectivamente, então a matriz resultante do produto (A.B).C é do tipo 3x5. 16. Dadas as matrizes = 2 y x 3 A e = 4 y -3 2x 6 B , se B A A+ t= , então x+y=2.
02 - (ITA SP) Dadas as matrizes reais:
= 1 3 1 2 8 y 0 x 2 A e − = 2 x 3 x 2 8 0 y 3 2 B analise as afirmações: I. A = B ⇔ x = 3 e y = 0 II. A + B = 1 6 3 4 16 1 1 5 4 ⇔ x = 2 e y = 1 III. = 3 3 1 0 1 0 A ⇔ x = 1 e conclua
a) Apenas a afirmação II é verdadeira b) Apenas a afirmação I é verdadeira
c) As afirmações I e II são verdadeiras d) Todas as afirmações são falsas e) Apenas a afirmação I é falsa
03 - (UFG GO) Dadas as matrizes
θ θ θ − θ = cos sen sen cos M e θ − θ θ θ = sen cos cos sen N
Onde θ é um ângulo compreendido entre 0 e π/2 rad.
Abaixo estão relacionadas algumas operações envolvendo estas matrizes. As igualdades corretas são: 01. = 0 1 1 0 N . M ; 02. det M + det N = 2; 04. M.N = N.M; 08. = + 0 2 0 2 N M no caso em que θ = π/4 rd; 16. N–1 = N, onde N–1 é a inversa de N; 32. det kM = k det M, onde K ∈ R.
04 - (UFBA) A matriz 2 x 3, com aij 2i j, se i j i j, se i j − ≠ = + = , é: 1 1 -4 3 -0 2 a) 1 1 4 0 3 2 b) 2 1 4 0 3 2 c) 1 4 3 1 -0 2 d) 1 4 3 -1 -0 2 e)
05 - (UDESC SC) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que
= + 1 2 4 3 Y X e = 11 6 2 1 Y -X ;
logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 06 - (FGV) Considere as matrizes
( )
3 x 3 ij a A = , em que( )
j ij 2 a = − e( )
3 x 3 ij b B = , em que bij=( )
−1i. O elemento c23, da matriz( )
3 x 3 ij c C = , em que C= A ⋅B, é: a) 14 b) −10 c) 12 d) −8 e) 407 - (UEMS) Sejam A, B e C três matrizes definidas por:
( )
( )
( )
2 ij 3x2 ij 2x2 , tal que a ; , tal que b ;, tal que C AB.
ij ij ij A a i i B b i j C c = = − = = + = = O elemento C32 da matriz C é: a) 0 b) 10 c) 14 d) 30 e) 42
08 - (UNIFEI MG) Dadas as matrizes = 3 2 2 1 A , = 4 1 3 0 B e − − = 1 2 0 1 C , considere as seguintes afirmativas: I. = − + = 8 1 5 2 C B A X II. − = − − = 2 3 1 0 C A B Y III. = − = 7 2 4 3 C A 2 Z
Pode-se afirmar que:
a) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. b) todas as afirmativas são verdadeiras.
c) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. d) todas as afirmativas são falsas.
09 - (UFTM) A matriz 0 2008 x M y = ,
em que x e y são números reais, é tal que
2
1
0
2
0
1
M
+
M
=
−
−
.Nessas condições, é correto concluir que a) x=−1 e y=-1. b) x=0 e y=0. c) e y 2008 2008 1 x= = . d) x=1 e y=1. e) x=2008 e y=-2008.
10 - (FFFCMPA RS) A matriz = 3 m k 1 A é tal que − = 7 4 -8 1 A2 . O valor de m k é a) 4. b) 2. c) 1. d) – 2. e) – 4.
11 - (UNCISAL) Dadas as matrizes
= x 1 1 -1 y x A e = 0 1 0 0 1 1 B , sendo − = 1 8 2 4 A . B t , pode-se afirmar que a) x = 2 y. b) y = 2 x. c) x = y = 8. d) x – y = –2. e) x = y + 4. 12 - (UEPB) Dadas At = [10 6 5], Bt = [8 2 2] e Ct = [−6 0 −4], tal que 2A − B + 2M + C = 0, a matriz Mt é igual a: a) [– 3 5 2] b) [– 3 – 5 – 2] c) [– 3 – 5 2] d) [ 3 – 5 – 2] e) [ 3 5 – 2]
13 - (UEPG) Sobre matrizes, assinale o que for correto.
01) Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p, onde m, n e p são números distintos, é possível efetuar a operação A+Bt.
02) O determinante da matriz A=(aij)2X2, definida por
j ij i , se i j a i , se i j j = = ≠ , vale 3. 04) Dadas as matrizes A=(x−2 5) e 2 B 3x 4 − = , se A.B=(-4), então x=3.
08) Se A, B e C são matrizes dos tipos 3X4, 4X7, 7X5, respectivamente, então a matriz resultante do produto (A.B).C é do tipo 3x5.
16) Dadas as matrizes A 3 x y 2 = e 6 2x B 3-y 4 = , se A + At = B, então x + y = 2.
14 – (UEL) O determinante da matriz
− x 0 x 0 x 2 0 2 1 é positivo se a) x > −4 b) x < 0 c) x < 2 d) x < −4 ou x > 0 e) x > −2 ou x < −6
15 - (UEL PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:
1. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C ;
2. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC =P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada;
3. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1=a, 2=b, 3=c, ...., 23=z; 4. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo
as letras k, w e y;
5. O número zero corresponde ao ponto de exclamação;
6. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33. Considere as matrizes: = = 0 14 19 17 38 18 1 10 2 P e 1 2 0 0 1 0 0 1 1 C
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a) Boasorte!
b) Boaprova! c) Boatarde! d) Ajudeme! e) Socorro!
GABARITO PARTE 1 1. a V b F c V d V e F f V g F h V i V j F k F 2
EUA = 519; CUBA = 288; Brasil = 309
PARTE 2 01 02 03 04 05 30 A 25 D E 06 07 08 09 10 A E B A D 11 12 13 14 15 B B 30 D A
