A função hipergeométrica e o pêndulo simples

(1)

Cientí a

Dissertação de Mestrado

A Função Hipergeométri a e o Pêndulo

Simples

Ester Cristina Fontes de Aquino Rosa

Orientador: Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira

Fevereiro de 2011

(2)

o Pêndulo Simples

Banca Examinadora:

Este exemplar corresponde

à

redação final

da dissertação

devida~te

corrigida e

defendida por Ester Cr stina Fontes de

Aquino Rosa e aprov da pela comissão

julgadora.

\

Campinas, 01

Prof. Dr.

Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira

Prof. Dr. Jayme Vaz Júnior

Prof. Dr. Denilson Gomes

Dissertação apresentada ao Instituto de

Matemática, Estatística e

Computa-ção Científica, Unicamp, como

requi-sito parcial para obtenção do Título de

Mestre em Matemática.

(3)

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Data

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02120

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(4)

e aprovada pela Banca Kx:anlinà.d,ot composta pelos Profs. Drs.

Prof. (a). Dr (a).

(5)

(6)

matemáti o perfeito do qual, no entanto, não se pre ise.

(7)

AgradeçoaDeus, quemefortale eunasadversidades, guiouminhases olhas

e aplainouos meus aminhos.

Agradeço a minha família que, mesmo resignada pela minha onstante

au-sên ia, en ontrou meios de manifestar arinhoe in entivo.

Agradeço,emespe ial,aomeumarido,Mar usVini ius,que,estando omigo

nosmomentosmaisdifí eis,a reditouemminha apa idadeemeapoiou,sem

hesitar.

Agradeço ao meu orientador Edmundo, que, no de orrer desse trabalho, foi

sempre presente eaten ioso.

Agradeçoaos professoresEdson, Joni,Plínio, Sandra,Veraeà oordenadora

Sueli Costa,entre outros, pelaini iativaeenvolvimentonesse projeto

inova-dor de Mestrado Prossional, que a tantos surgiu omo uma oportunidade

de realização de seus sonhos, salvando muitos professores da estagnação.

Agradeço tambémaos tutores Adriano,Aguinaldo eJoão Paulo.

Agradeço aos fun ionáriosdo IMECC, gentise prestativos.

Agradeço aos meus amigos, Beto, Cláudio e Már ia, om os quais tive a

oportunidade de ompartilhar boa parte dessa trajetória, onvivên ia essa

que suavizouas agrurasdesse aminho.

(8)

Este trabalho tem por objetivo modelar e resolver, matemati amente, um

problema físi o onhe ido omopêndulosimples. Dis utimos, omo aso

par-ti ular,as hamadas os ilaçõesde pequenaamplitude, istoé,uma

aproxima-ção que nos leva a mostrar que o período de os ilaçãoé propor ional à raiz

quadrada do quo iente entre o omprimento do pêndulo e a a eleração da

gravidade.

Como vários outros problemas oriundos da Físi a, o pêndulo simples é

re-presentado atravésde equações diferen iaispar iais. Assim,nabus a de sua

solução, apli amos a metodologia de separação de variáveis que nos leva a

um onjunto de equaçõesordináriaspassíveis de simples integração.

Es olhendo um sistema de oordenadas adequado, é onveniente usar o

mé-todode Hamilton-Ja obi,dis utindo,antes, o problemado os ilador

harm-ni o, apresentando, em seguida, o problema do pêndulo simples e impondo

ondições a m de mostrar que as equações diferen iais asso iadas a esses

dois sistemassão iguais, ouseja, suas soluçõessão equivalentes.

Paratanto,estudamosométododeseparaçãode variáveisasso iadoàs

equa-çõesdiferen iaispar iais,linearesedesegunda ordem, om oe ientes

ons-tantes e três variáveis independentes, bem omo a respe tiva lassi ação

quanto ao tipo. Posteriormente, estudamos as equações hipergeométri as,

ujassoluções,asfunçõeshipergeométri as,podemser en ontradaspelo

mé-todode Frobenius.

Apresentamos o método de Hamilton-Ja obi, já men ionado, para o

enfren-tamento do problema apresentado. Fizemos no apítulo nal um apêndi e

sobre a função gama por sua presente importân ia no trato de funções

hi-pergeométri as,emespe ial aintegralelípti a ompleta deprimeirotipoque

(9)

This work aims to present and solve, mathemati ally, the physi s problem

that is alledsimple pendulum. We reasoned, asan spe i ase, the so

al-ledlowamplitude os illation,that is,a onvenientapproximationthatmake

us show that the periodof os illationis proportionalto the quotient square

rootbetween the pendulum length and the gravity a eleration.

Likeseveral otherproblems arising fromthe physi s,weare going tobroa h

it through partial dierentialequations. Thus, in the sear h of its solution,

we madeuse of the variableseparation methodology thatleads ustoa body

of ordinary equations sus eptible of simpleintegration.

Choosinganappropriate oordinatesystem,itis onvenienttousethemethod

Hamilton-Ja obi,arguing,rst,the problemoftheharmoni os illator,with,

then the problem of sf simple pendulum and imposing onditions to show

that the dierentialequations asso iated with these two systems are equal,

that is, their solutionsare equivalent.

With the purpose of rea hing the obje tives, we studied the variable

sepa-ration method asso iated with partial dierential equations, linear and of

se ond order, with onstant oe ient and three independent variables, as

well as the respe tive lassi ation about the type. Afterwards, we studied

the hypergeometri al equations whose solutions,the hypergeometri al

fun -tions, are found by the Frobenius method.

Introdu ingthe Hamilton-Ja obimethod,already mentioned, foraddressing

the problem presented. We made an appendix in the nal hapter on the

gamma fun tion by its present importan e in dealing with hypergeometri

fun tions, inparti ular the ellipti integral of rst kind onsists of the exa t

(10)

Introdução 1

1 Equações Diferen iais Par iais 4

1.1 Notação edenições . . . 5

1.1.1 Equação diferen ialpar ial de segunda ordem . . . 5

1.2 Classi ação . . . 8

1.2.1 Equação dotipohiperbóli o . . . 8

1.2.2 Equação dotipoparabóli o . . . 10

1.2.3 Equação dotipoelípti o . . . 10

1.2.4 Exemplo . . . 10

1.3 Métodode separação de variáveis . . . 11

1.3.1 Condições de ontorno . . . 11

1.3.2 Funçõesortogonais e série de Fourier . . . 12

1.3.3 A equação de Sturm-Liouville . . . 14 1.3.4 Prin ípioda superposição . . . 15 1.3.5 Separação de variáveis . . . 15 2 Funções Hipergeométri as 20 2.1 Métodode Frobenius . . . 21 2.2 Equação hipergeométri a . . . 27 2.3 Funçõesde Legendre . . . 30

2.4 Equação hipergeométri a onuente . . . 33

2.5 Funçõesde Bessel . . . 34

3 Os iladores Harmni os 36 3.1 Movimento harmni osimples . . . 36

3.2 Equação de Lagrange . . . 40

3.2.1 Prin ípiode Hamilton . . . 41

3.2.2 Função de Lagrange . . . 44

(11)

4 O Pêndulo Simples 57

4.1 Um pou o de história . . . 57

4.2 Christiaan Huygens e opênduloisó rono . . . 58

4.3 Apli açãodas equações de

Hamilton-Ja obi. . . 65

(12)

Durante osúltimos dois sé ulos, diversos métodos foram desenvolvidos para

a resolução das equações diferen iais par iais,sendo o métododa separação

de variáveis o mais antigo, usado na segunda metade do sé ulo XVIII na

investigação sobre ondas e vibrações; posteriormente ele passou por

rena-mentos e generalizações [22℄. O que ara teriza o método de separação de

variáveiséapossibilidadedetransformarumaequaçãodiferen ialpar ialem

um onjunto de equações diferen iais ordinárias, restringindo nosso estudo

original ao estudo de equações diferen iais ordinárias. Entre essas últimas

estão as equações om três pontos singulares regulares. O protótipo desse

tipo de equação é a hamada equação hipergeométri a, ou equação

diferen- ial de Gauss, uja solução re ebe o nome de função hipergeométri a, ou

ainda função de Gauss. Essas funções hipergeométri asperten em à lasse

de funções ditas espe iais [3℄. Dentre asfunções espe iais mais importantes,

temos a função de Legendre e a função de Bessel, ujas equações são

gera-das, algumasvezes,pelaseparaçãodaequaçãode Helmholtzem oordenadas

polares esféri as [12℄ e apare em em muitos problemas físi os. Nos

proble-mas tridimensionais,aseparação de variáveisapli adaà equaçãode Lapla e

u

xx

+ u

yy

+ u

zz

= 0

leva à equação de Bessel em oordenadas ilíndri ase à equação de Legendre em oordenadas esféri as, ir unstân ia talque

poten- ializaarelevân iadoestudodessasequaçõesedasfunçõesgeradasporelas.

As funções de Bessel formam uma área da Análise Matemáti a muito ri a,

om muitasrepresentações, propriedadeseinter-relaçõesmuito úteis. Existe

uma variedade de funções, até mesmo as elementares (ra ionais,

trigonomé-tri as, logarítmi as,exponen ias, et ...),que pode ser representada poruma

funçãohipergeométri a. Umexemplovistonessetrabalhoéaintegralelípti a

ompletade primeiraespé ie queapare e naresolução daequaçãonão-linear

do pêndulosimples.

Ini iamos o primeiro apítulo explorando on eitos e denições bási as de

equações diferen iais par iaisde segunda ordem e estudamos a lassi ação

(13)

e as ondições ini iais do problema, o qual envolve uma equação diferen ial

par ial om

m

variáveisindepedentes,poressemétodoessaequaçãoé

ondu-zidaaum onjuntode

m

equaçõesdiferen iaisordinárias, ujasresoluçõessão

mais simples. Um modeloexemplarde equaçõesdiferen iaispar iaisbási as

asso iadas afenmenosfísi osé aequação da ondução do alor, uja

inves-tigaçãopropor ionamuitainformaçãosobre asequaçõesdiferen iaispar iais

linearesde segunda ordem. Porisso, ontemplamos, nesse apítulo,oestudo

doproblemadedifusãode alornumapla aretangularrepresentadoporuma

equação om três variáveis independentes, uma delas temporal.

No apítulo dois estudamos as funções hipergeométri as omo soluções das

equações hipergeométri as geradas pelo método de Frobenius apli ado na

equação diferen ial ordinária om três pontos singulares regulares a saber,

zero, um einnito. Estudamos, omo asoparti ular de função

hipergeomé-tri a,afunçãodeLegendre. Emseguida,usandoum onvenientepro essode

limite,oqualgeraa onuên iadeduassingularidadesdaequação

hipergeo-métri a, introduzimos a equação hipergeométri a onutente ujas soluções

são as funções hipergeométri as onuentes. Como exemplo, apresentamos

a função de Bessel.

Já no ter eiro apítulo, omeçamos om a revisão de on eitos e fórmulas

envolvidas nos os iladores harmni os; emseguida, estudamos as teorias

la-grangiana e hamiltoniana, reformulações permanentes e on omitantes om

a teorianewtoniana [10℄, asquaispropi iamuma representação simpli ada

de vários problemas dinâmi os. Exempli amos a representação do

movi-mento dopêndulosimples sob aóti a dessas teorias, obtendo, emambosos

asos, uma mesmaequação naqual,imposta uma ondiçãode aproximação,

onsolidamosasemelhança dopêndulo omoos iladorharmni o. Para

en- erraro apítulo,estudamos ateoriade Hamilton-Ja obiusandosua té ni a

para dis utir o movimento de um os ilador harmni o unidimensional e do

sistema massa-mola.

No apítulo quatro, fazemos uma abordagem históri a sobre a importân ia

do pêndulo na pre isão do tempo, sem deixar de desta ar, obviamente, o

matemáti o, Christiaan Huygens e sua bus a pelo pêndulo isó rono.

Con-siderando uma partí ula abandonada de uma erta altura numa superfí ie

i loidal, al ulamos seu período de os ilação e onstatamos, om isso, que

(14)

deHamilton-Ja obi omoobjetivodeobterarepresentaçãoexatadoperíodo

do pêndulosimples atravésde uma função hipergeométri a.

Na parte nal desse estudo, temos a on lusão de todo o trabalho e, em

(15)

Par iais

Resolver uma equação diferen ial par ial geralmente requer mais trabalho,

ouseja,émaisdifí ilquearesoluçãodasequaçõesdiferen iaisordináriase,a

não ser para ertos tipos espe iais de equações diferen iaislineares,nenhum

método geral de resolução é viável. Esse apítulo propõe a resolução de

ti-posparti ularesdeequa õeslineares,sendoessasre orrentesemumagrande

variedadede importantesapli açõesemmuitos ramosdaFísi a,daQuími a

e da Engenharia. É notório que a des rição matemáti a dos fenmenos da

natureza ou de eventos e pro essos físi os é realizada através de funções de

duas ou três variáveis espa iais

x

,

y

e

z

e uma variável tipo tempo

t

. Vem

daía importân iade nos on entrarmos emtaisequações.

Neste apítulo introduzimos o on eito de equação diferen ial par ial linear

e de segunda ordem, bem omo sua lassi ação quanto ao tipo [2℄.

Apre-sentamos o método de separação de variáveis através de uma equação om

duas variáveis independentes [5℄, de modo a reduzir, omo extensão da

me-todologia,uma equação diferen ial par ial, linear, de segunda ordem e om

três variáveis independentes, num onjunto de três equações diferen iais

or-dinárias 1

.

1

(16)

1.1 Notação e denições

Amde simpli aranotação,nestetrabalhoutilizamos

t, x, y

e

z ∈ IR

para

denotarasvariáveisindependentes, enquantoque

u

e

v

denotam asvariáveis

dependentes. Umaequação diferen ialédita par ial quandoapresentapelo

menos uma derivada par ial e sua ordem é determinada pela mais alta

ordem da diferen ial par ial que nela ontenha. Dizemos que uma equação

diferen ial par ial é linear se suas derivadas par iais o orrem somente no

primeiro grau e se não existirem produtos da variável dependente e suas

derivadas par iais, aso ontrário, dizemosque a equaçãoé não linear.

1.1.1 Equação diferen ial par ial de segunda ordem

A forma mais geral de uma equação diferen ial par ial linear de segunda

ordem om duas variáveisindependentes é:

A

∂

2 _u

∂x

2 + B

∂

2 _u

∂x∂y

+ C

∂

2 _u

∂y

2 + D

∂u

∂x

+ E

∂u

∂y

+ F u = G

(1.1)

onde os oe ientes

A, . . . , G

são funções das variáveis

x

e

y

e

u = u(x, y)

.

Consideremos os oe ientes da equação e

u(x, y)

funções

C

2

, além disso,

A

,

B

e

C

não simultaneamente nulos. Essa equação é também dita linear porque todos os oe ientes dependem somente das variáveis independentes

x

e

y

e é hamada de segunda ordem porque esta é a mais alta ordem da diferen ial par ial[2℄.

Enm, quando

G = 0

, dizemos que essa equação é homogênea, aso

on-trário, não homogênea.

Vamosmostrar,ini ialmente,que,numaequaçãodiferen ialpar ial omduas

variáveisindependentes, existe apossibilidadede seen ontrar uma

transfor-mação de oordenadas que onserva sua forma, desde que o ja obiano da

transformação sejadiferentede zero. Considere a transformaçãodas

seguin-tes oordenadas:

ξ = ξ(x, y)

e

η = η(x, y).

Utilizando aregra da adeia,podemoses rever para asprimeirasderivadas

∂u

∂x

=

∂u

∂ξ

∂x

+

∂u

∂η

∂x

(1.2)

(17)

∂u

∂y

=

∂u

∂ξ

∂y

+

∂u

∂η

∂y

(1.3)

bem omo para assegundas derivadas

∂

2 _u

∂x

2 =

∂

∂x

∂u

∂x

=

∂u

∂ξ

∂

∂x

∂ξ

∂x

+

∂ξ

∂x

∂

∂x

∂u

∂ξ

+

∂u

∂η

∂

∂x

∂η

∂x

+

∂η

∂x

∂

∂x

∂u

∂η

ou aindana forma

∂

2 _u

∂x

2 =

∂

2 _u

∂ξ

2 ∂ξ

∂x

2 + 2

∂

2 _u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂x

+

∂

2 _u

∂η

2 ∂η

∂x

2 +

∂u

∂ξ

∂

2 _ξ

∂x

2 +

∂u

∂η

∂

2 _η

∂x

2 .

E, de maneira análoga,obtemos:

∂

2 _u

∂y

2 =

∂

2 _u

∂ξ

2 ∂ξ

∂y

2 + 2

∂

2 _u

∂ξ∂η

∂ξ

∂y

∂η

∂y

+

∂

2 _u

∂η

2 ∂η

∂y

2 +

∂u

∂ξ

∂

2 _ξ

∂y

2 +

∂u

∂η

∂

2 _η

∂y

2

e

∂

2 _u

∂x∂y

=

∂

2 _u

∂ξ

2 ∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

+

∂

2 _u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂y

+

∂ξ

∂y

∂η

∂x

+

∂

2 _u

∂η

2 ∂η

∂x

∂η

∂y

+

∂u

∂ξ

∂

2 _ξ

∂x∂y

+

∂u

∂η

∂x∂y

.

Substituindo asexpressões para asderivadas naEq.(1.1), temos:

A

"

∂

2 _u

∂ξ

2 ∂ξ

∂x

2 + 2

∂

2 _u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂x

+

∂

2 _u

∂η

2 ∂η

∂x

2 +

∂u

∂ξ

∂

2 _ξ

∂x

2 +

∂u

∂η

∂

2 _η

∂x

2 #

+B

∂

2 _u

∂ξ

2 ∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

+

∂

2 _u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂y

+

∂ξ

∂y

∂η

∂x

+

∂

2 _u

∂η

2 ∂η

∂x

∂η

∂y

+

∂u

∂ξ

∂

2 _ξ

∂x∂y

+

∂u

∂η

∂x∂y

+C

"

∂

2 _u

∂ξ

2 ∂ξ

∂y

2 + 2

∂

2 _u

∂ξ∂η

∂ξ

∂y

∂η

∂y

+

∂

2 _u

∂η

2 ∂η

∂y

2 +

∂u

∂ξ

∂

2 _ξ

∂y

2 +

∂u

∂η

∂

2 _η

∂y

2 #

+D

∂u

∂ξ

∂x

+

∂u

∂η

∂x

+ E

∂u

∂ξ

∂y

+

∂u

∂η

∂y

+ F u = G.

(18)

Rearranjando os termos,podemos es rever:

"

A

∂ξ

∂x

2 + B

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

+ C

∂ξ

∂y

2 #

∂

2 _u

∂ξ

2 +

2A

∂ξ

∂x

∂η

∂x

+ B

∂ξ

∂x

∂η

∂y

+

∂ξ

∂y

∂η

∂x

+ 2C

∂ξ

∂y

∂η

∂y

∂

2 _u

∂ξ∂η

+

"

A

∂η

∂x

2 + B

∂η

∂x

∂η

∂y

+ C

∂η

∂y

2 #

∂

2 _u

∂η

2 +

A

∂

2 _ξ

∂x

2 + B

∂

2 _ξ

∂x∂y

+ C

∂

2 _ξ

∂y

2 + D

∂ξ

∂x

+ E

∂ξ

∂y

∂u

∂ξ

+

A

∂

2 _η

∂x

2 + B

∂

2 _η

∂x∂y

+ C

∂

2 _η

∂y

2 + D

∂η

∂x

+ E

∂η

∂y

∂u

∂η

+ F u = G.

Usando essa transformação na Eq.(1.1), obtemos:

A

1 ∂

2 _u

∂ξ

2 + B

1 ∂

2 _u

∂ξ∂η

+ C

1 ∂

2 _u

∂η

2 + D

1 ∂u

∂ξ

+ E

1 ∂u

∂η

+ F

1 u = G

1

(1.4)

onde introduzimosanotação:

A

1 = A

∂ξ

∂x

2 + B

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

+ C

∂ξ

∂y

2 ,

B

1 = 2A

∂ξ

∂x

∂η

∂x

+ B

∂ξ

∂x

∂η

∂y

+

∂ξ

∂y

∂η

∂x

+ 2C

∂ξ

∂y

∂η

∂y

,

C

1 = A

∂η

∂x

2 + B

∂η

∂x

∂η

∂y

+ C

∂η

∂y

2 ,

D

1 = A

∂

2 _ξ

∂x

2 + B

∂

2 _ξ

∂x∂y

+ C

∂

2 _ξ

∂y

2 + D

∂ξ

∂x

+ E

∂ξ

∂y

,

E

1 = A

∂

2 _η

∂x

2 + B

∂

2 _η

∂x∂y

+ C

∂

2 _η

∂y

2 + D

∂η

∂x

+ E

∂η

∂y

,

F

1 = F,

G

1 = G.

(19)

Enm, om um pou o de álgebra,podemos veri ar que

B

2 _{− 4AC = (B}

₁

2 _{− 4A}

1 C

1 )

∂ξ

∂x

∂η

∂y

−

∂ξ

∂y

∂η

∂x

2

e, portanto,atransformação não singular não muda o tipoda equação.

Outraobservaçãoimportante,prin ipalmenteparaapróximaseção,éque

a lassi ação dessa equação depende somente dos seus oe ientes

A

,

B

e

C

onde

A

2 _{+ B}

2 _{+ C}

2 _{6= 0}

. Logo, obtemos as seguintes formas para a Eq.

(1.1) e a Eq.(1.4),respe tivamente

A

∂

2 _u

∂x

2 + B

∂

2 _u

∂x∂y

+ C

∂

2 _u

∂y

2 = H

x, y, u,

∂u

∂x

,

∂u

∂y

A

1 ∂

2 _u

∂ξ

2 + B

1 ∂

2 _u

∂ξ∂η

+ C

1 ∂

2 _u

∂η

2 = H

1 ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η

onde as funções

H

e

H

1

não ontêm as derivadasde ordem dois.

1.2 Classi ação

Como os oe ientes

A

,

B

e

C

não são simultaneamente nulos, om uma

mudança onveniente das variáveis

ξ

e

η

, podemos transformar a equação

diferen ial par ial linear de segunda ordem, em sua forma original, na

de-nominada forma anni a [5℄, podendo ser do tipo parabóli o, hiperbóli o

ou elípti o, omo pode ser visto a seguir. De maneira análoga às quádri as

da geometria analíti a,a lassi açãoda Eq.(1.1) depende dodis riminante

∆ = B

2 _{− 4AC}

; essa equaçãoserá dotipoparabóli o,hiperbóli o ouelípti o

se

∆

for nulo, positivoou negativo,respe tivamente.

1.2.1 Equação do tipo hiperbóli o

Se

B

2 _{− 4AC > 0}

, a equação é do tipo hiperbóli o e pode ser es rita na

hamadaprimeira forma anni a da equaçãohiperbóli adada por

∂

2 _u

∂ξ∂η

= Φ

1 ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η

(1.5)

(20)

Para tal transformação devemos ter

A

1 = C

1 = 0

. Se trabalharmos om

A

1 = 0

, podemos obter:

A

∂ξ

∂x

2 + B

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

+ C

∂ξ

∂y

2 = 0.

(1.6)

Considerando uma urva

ξ(x, y) =

te, temos:

dξ = 0

de onde segue-se

∂ ξ

∂ x

dx +

∂ ξ

∂ y

dy = 0

ou ainda,na forma

∂ ξ/∂ x

∂ ξ/∂ y

= −

dy

dx

.

Dividindoa Eq.(1.6) por

(

∂ ξ

∂ y

)

2

e onsiderandoa igualdade a ima,temos

A

dy

dx

2 − B

dy

_dx

+ C = 0

que é uma equaçãoalgébri a om raízesreais e distintasdadas por

dy

dx

=

B ±

√

∆

2A

.

Essas equações são hamadas equações ara terísti as. Obtemos, assim,

duas soluçõesque são as duas famíliasde urvas ara terísti as.

Com uma segunda mudançade variáveis independentes

α = ξ + η

e

β = ξ − η,

podemos es rever, neste aso, a hamadasegunda forma anni a dada por

∂

2 _u

∂ α

2 −

∂

2 _u

∂ β

2 = ¯

Φ

1 α, β,

∂u

∂β

,

∂u

∂β

.

(1.7)

(21)

1.2.2 Equação do tipo parabóli o

Se

B

2 _{− 4AC = 0}

, essa equação é do tipo parabóli o e pode ser es rita na

forma anni a

∂

2 _u

∂ ξ

2 = Φ

2 ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η

(1.8) om

Φ

2 = H

1 /A

1

e

A

1 6= 0

,bem omo

∂

2 _u

∂η

2 = Φ

3 ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η

(1.9) om

Φ

3 = H

1 /C

1

e

C

1 6= 0

.

Analogamenteà anterior, temosa respe tiva equação ara terísti a

dy

dx

=

B

2A

.

1.2.3 Equação do tipo elípti o

Se

B

2 _{− 4AC < 0}

, a equação é do tipo elípti o e pode ser es rita na forma

anni a

∂

2 _u

∂α

2 +

∂

2 _u

∂β

2 = Φ

4 α, β,

∂u

∂β

,

∂u

∂β

(1.10)

onde introduzimosas oordenadas reais

α

e

β

taisque

α = (ξ + η)/2

e

β = (ξ − η)/2i.

1.2.4 Exemplo

Tendoemvistaqueo orremtrêstiposna lassi ação,podemosexempli ar

om uma equação interessante, asaber,

y

∂

2 _u

∂x

2 + 2x

∂

2 _u

∂x∂y

+ y

∂

2 _u

∂ y

2 = 0,

u = u(x, y).

Como

∆ = 4(x

2 _{− y}

2 ₎

, essa equação é do tipo hiperbóli o, parabóli o ou

elípti o se

x

2 _{− y}

2

for, respe tivamente, positivo, nulo ou negativo. Assim,

no segundo aso, temos omo solução as bissetrizes dos quadrantes pares e

(22)

Podemos estender a nomen latura hiperbóli o, parabóli o ou elípti o para

asequações om

n

variáveisindependentes [24℄. Enm,este tipode equação

quepode mudarde tipo,dependendododomínio,é onhe ido omoequação

do tipo misto [2℄.

1.3 Método de separação de variáveis

Antesde apresentarmosométodode separaçãode variáveis[1℄, vamos

intro-duzir as ondições de ontorno, as séries de Fourier 2

e o hamado problema

(ousistema)deSturm-Liouville 3

,tópi osessesque onstituempanodefundo

para o métodoqueserá desenvolvido.

1.3.1 Condições de ontorno

Sendo uma equação denida numa região

ℜ

do espaço, sua solução será

uma função que possui todas as derivadas par iais da equação em questão,

num erto domínioI, onde I

⊃ ℜ

. Além disso, essa função, bem omo suas

derivadas satisfazem aequação nodomínio

ℜ

.

Modelando, por exemplo, um problema físi o om uma equação diferen ial

par ial,interessamo-nosporumasoluçãoparti ular,úni aeestávelnogrupo

das soluções gerais que satisfazem tal equação. Para tanto, nos utilizamos

das hamadas ondiçõesde ontorno, advindasda geometriada fronteira do

domínio,bem omo das ondições ini iaisoriundas dopróprio problema.

São três os tipos prin ipaisde ondições de ontorno, usuais em problemas

da físi a,a saber,

i) Condições de Diri hlet (1805-1859), em que determinada função u é

espe i ada em ada pontode uma fronteira daregião,

u(x, y)|

x=x

0 = a

dado

a

.

2

Joseph Fourier(1768-1830) foi um estudioso da propagaçãodo alore es reveuum

dosgrandes lássi osdamatemáti a:aThéorie AnalytiquedelaChaleur(Teoriaanalíti a

doCalor).

3

Sturm-Liouville, nomedadoem homenagem aosmatemáti os Ja ques-Charles

(23)

ii) Condiçõesde Neumann(1903-1957),emqueédadoovalordaderivada

da função nafronteira, ouseja:

∂

∂ x

u(x, y)|

x=x

0 = b

om

b

dado.

iii) Condições de Cau hy 4

, emque são forne idos os valores de u, em, por

exemplo,

x = x

0

, e daderivada par ial,nesse aso emrelaçãoa

x

.

1.3.2 Funções ortogonais e série de Fourier

O matemáti o Fourier mostrou que uma função pode ser expressa por uma

série trigonométri a,a hamada série de Fourier. Apesar de não ser

abso-luta omo propunha, essa série representa uma extensa lasse de funções eé

muito utilizada no estudo de problemas advindos da a ústi a, óti a,

eletro-dinâmi a,termodinâmi a,dentre outras áreas.

Diz-se que um onjunto de funções

τ

n

(x)

,

n

= 1, 2, 3,.... é ortogonal em relação auma função peso

ω(x)

emum intervalo

(a, b)

se

Z

b

a

ω(x)τ

n

(x)τ

m

(x)dx = 0

para

m 6= n.

Se

ω(x) = 1

em

(a, b)

,dizemosqueo onjunto

τ

n

(x)

,

n

= 1,2,... éortogonal

neste intervalo.

Suponha que uma função

f

, denida no intervalo

(−l, l)

,

l > 0

, possa ser

desenvolvida nasérie trigonométri a:

f (x) =

a

0

2 +

∞

X

n=1

a

n

cos

nπ

l

x + b

n

sen

nπ

l

x

(1.11) 4

Cau hy nas eu emParis, em 1789e morreuem 1857. São numerosos ostermos em

matemáti aquepossuemseunome. Eleinventouométododas ara terísti as,importante

na análise das equações diferen iais par iais. Entre suas obras, estão Cours d'analyse

de 1821 e os 4 volumes Exer ises d'analyse et de physique mathematique (Exer í ios de

AnáliseedeFísi aMatemáti a,1840-47). Foioprimeiroafazerumestudo uidadosodas

ondiçõespara onvergên iadesérieinnita;tambémdeu umadeniçãorigorosadeuma

integralindependentedopro essodediferen iaçãoedesenvolveuateoriamatemáti ada

(24)

onde o onjunto

Λ =

1, cos

nπ

l

x,

sen

nπ

l

x

,

n

= 1,2,... é ortogonal.

Integrando formalmenteambosos membros da equação a ima,temos:

Z

l

−

l

f (x)dx =

a

0

2 Z

l

−

l

dx +

∞

X

n=1

a

n

Z

l

−

l

cos

nπ

l

x dx + b

n

Z

l

−

l

sen

nπ

l

x dx

.

Pelaortogonalidadedo onjunto

Λ

, obtemos:

Z

l

−

_l

f (x)dx =

a

0

2 Z

l

−

_l

dx = la

0

de onde segue-se

a

0 =

1 l

Z

l

−

l

f (x)dx.

Multipli ando a Eq.(1.11) por

cos

mπ

l

x

e sen

mπ

l

x

, respe tivamente, e inte-grando, obtemos:

a

n

=

1 l

Z

l

−

l

f (x) cos

nπ

l

xdx

e

b

n

=

1 l

Z

l

−

l

f (x)

sen

nπ

l

xdx.

Aparidadedafunçãopermitesimpli ação. Seafunção

f

forparnointervalo

(−l, l)

, eladeverá ser expandida em uma série de ossenos:

f (x) =

a

0

2 +

∞

X

n=1

a

n

cos

nπ

l

x

onde

a

0 =

2 l

Z

l

0 f (x)dx

e

a

n

=

2 l

Z

l

0 f (x) cos

nπ

l

x dx.

Por outro lado, se a função f for ímpar no intervalo

(−l, l)

, ela deverá ser

expandida emuma série de senos:

f (x) =

∞

X

n=1

b

n

sen

nπ

l

x

om

b

n

=

2 l

Z

l

0 f (x)

sen

nπ

l

xdx

.

(25)

1.3.3 A equação de Sturm-Liouville

Aoresolveruma equaçãodiferen ialpar ialde segunda ordempelométodo

de separaçãode variáveis, omoserávistomaisadiante,éfrequente

emer-gir equações diferen iaisordináriasdotipo:

d

dx

p

dϕ(x)

dx

+ (q + λr)ϕ(x) = 0

onde

p

,

q

e

r

são funções da variável independente

x

,

λ

é um parâmetro e

ϕ(x)

é a variável dependente. Essa equação re ebe o nome de equação de Sturm-Liouville.

Impondoas ondições de ontorno

α

1 ϕ(a) + α

2 ϕ

′

(a) = 0

β

1 ϕ(b) + β

2 ϕ

′

(b) = 0

om

α

1

,

α

2

,

β

1

,

β

2 ∈ R

,não simultaneamentenulas, temososistema(ou pro-blema)de Sturm-Liouville,queé ditoregular nointervalo

[a, b]

seasfunções

p e r são estritamentepositivas nesse intervalo.

Consideremos ooperador diferen iallinear:

L ≡

_dx

d

p

d

dx

+ q(x).

A equação de Sturm-Liouvillepode ser es rita omo:

Lϕ(x) + λr(x)ϕ(x) ≡ 0 .

Esse sistema trará soluções da equação diferen ial ordinária de segunda

or-dem original,queserão asautofunçõesortogonais orrespondentes aos

auto-valores

λ

. É importante men ionar, então, algumas propriedades dos

mes-mos, dadas emforma de teoremas[2℄.

Teorema 1.3.1. Todos os autovalores de um sistema de Sturm-Liouville

regular são reais.

Teorema1.3.2. TodosistemadeSturm-Liouvilleregulargeraráuma

sequên- ia innita de autovalores reais

λ

1 < λ

2 < λ

3 < ....

os quais orrespondem univo amente às autofunções,a menosdeuma onstante. Essas funções

for-mam um sistema ortogonal ompleto em relação à função peso r(x). Ainda

(26)

Teorema1.3.3. Qualquerfunçãofsuavepor pedaçosem[a,b℄, quesatisfaça

as ondições de ontorno do sistema regular de Sturm-Liouville, pode ser

expandida numa série absoluta e uniformemente onvergente [13℄

f (x) =

∞

X

n=1

c

n

u

n

(x)

onde os oe ientes são dados por

c

n

=

Z

b

a

r(x)f (x)u

n

(x)dx

Z

b

a

r(x)u

2 _n

(x)dx

om

n = 1, 2, 3, ...

1.3.4 Prin ípio da superposição

Sejam

u

1 , ..., u

n

,funçõesque onstituemsoluçõesdeuma equaçãodiferen ial linear ordináriahomogênea, então a ombinação lineardessas funções

u = c

1 u

1 + ... + c

n

u

n

om

c

i

=

onstante

também satisfaz a equação. Issode orre do fatode serem linearesos

opera-dores diferen iaissobre o onjuntodas funções [2℄.

1.3.5 Separação de variáveis

Ressaltamos que, ombinandoo métodode separação de variáveis om a

su-perposiçãode soluçõesbem omoutilizandoas ondiçõesde ontorno

impos-tas, onstruímoso hamadométodo de Fourier pararesolução daequação

a derivadaspar iais linear ehomogênea.

A m de introduzirmos expli itamente o método de separação de variáveis

[1℄, vamos dis utir o problema asso iado à propagação de alor

(distribui-ção de temperaturas) numa pla a retangular. Este problema é des ritopela

hamadaequação de difusão (ou do alor) bidimensional(duas variáveis

as-so iadasàs duas oordenadas artesianas

x

e

y

):

k

∂

2 _u

∂ x

2 +

∂

2 _u

∂ y

2 =

∂ u

∂ t

para

u = u(x, y, t)

e

t > 0, 0 < x < b

e

0 < y < c.

(27)

Pararesolveraequação diferen ialpar ialde segundaordem om três

variá-veisindependentes, propomosasoluçãonaforma

u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t).

Introduzimos

u = u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t) ≡ XY T

naequação do alore,

utilizandoa notação om linha, temos:

k(X

′′

Y T + XY

′′

T ) = XY T

′

.

Dividindoa equação anterior peloproduto

kXY T

,obtemos:

X

′′

X

+

Y

′′

Y

=

T

′

kT

ou aindana forma

X

′′

X

= −

Y

′′

Y

+

T

′

kT

.

Comoomembrodaesquerdaéindependentede

y

e

t

eomembrodadireitaé

independentede

x

,então adamembrodeve serigual auma onstantequeé

a hamada onstante de separação. Portanto, igualamosambos osmembros

à onstante 5

−λ

2

:

X

′′

X

= −

Y

′′

Y

+

T

′

kT

= −λ

2

de onde seguem-se asequações:

X

′′

+ λ

2 X = 0,

(1.12)

Y

′′

Y

=

T

′

kT

+ λ

2 _.

Comra io ínioanálogo,introduzimosumaoutra onstantedeseparação

−µ

2

na equaçãoanterior de modoa obter:

Y

′′

Y

= −µ

2

e

T

′

kT

+ λ

2 _{= −µ}

2

ou ainda:

Y

′′

+ µ

2 Y = 0

e

T

′

+ k(λ

2 + µ

2 )T = 0.

(1.13)

Isto é,reduzimosaequaçãodiferen ialpar ialemum onjuntode três

equa-ções diferen iaisordinárias, uma para ada variávelindependente.

5

A onstante, neste aso, foi es rita om um sinal de menos e um quadrado

uni a-mentepor onveniên iadenão arregarmosumaraizquadradabem omonãotermosque

(28)

Passemosagora aresolverasequaçõesdiferen iaisordináriasam de

deter-minar,atravésdas ondiçõesde ontornoaserem impostas,as onstantes de

separação.

As soluçõesgerais das equações diferen iaisordináriassão:

X(x) = c

1 cos λx + c

2

sen

λx

(1.14)

Y (y) = c

3 cos µy + c

4

sen

µy

(1.15)

T (t) = c

5

e

−

_k(λ

2 _+µ

2 _)t

(1.16)

onde

c

1

,

c

2

,

c

3

,

c

4

e

c

5

são onstantes de integração.

Amdeefetuarmosos ál ulos,impomosasseguintes ondiçõesde ontorno:

u(0, y, t) = 0 = u(b, y, t)

u(x, 0, t) = 0 = u(x, c, t)

de onde segue-se

X(0) = X(b) = 0

Y (0) = Y (c) = 0;

bem omo a ondição ini ial

u(x, y, 0) = f (x, y).

Apli ando as ondições de ontorno naEq.(1.14), temos:

c

1 = 0

bem omo, para

c

2 6= 0

,

c

2

sen

λb = 0 ⇒ λb = mπ ⇒ λ =

mπ

b

om

m = 1, 2, ....

Neste aso,

sen

mπ

b

x

é o onjunto ortogonal ompleto de autofunções om

autovalores

λ

m

=

mπ

b

,

m =1, 2,...

Analogamente, apli ando as ondiçõesde ontornona Eq.(1.15),obtemos:

(29)

bem omo, para

c

4 6= 0

,

c

4

sen

µx = 0 ⇒ µ =

nπ

c

om

n = 1, 2, ...

Voltandono produto

u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t)

,obtemos:

u

mn

(x, y, t) = A

mn

e

−

_k[(

mπ

b

)

2 +(

nπ

c

)

2 ]t

sen

mπ

b

x

sen

nπ

c

y

onde

A

mn

é uma onstante a ser determinada.

Utilizando oprin ípioda superposição, temos:

u(x, y, t) =

∞

X

m=1

∞

X

n=1

A

mn

e

−

k[(

mπ

b

)

2 +(

nπ

c

)

2 ]t

sen

mπ

b

x

sen

nπ

c

y.

(1.17) Impondoa ondição ini ial

u(x, y, 0) = f (x, y)

, podemoses rever

f (x, y) =

∞

X

m=1

∞

X

n=1

A

mn

sen

mπ

b

x

sen

nπ

c

y.

A expressão anterior é uma série de Fourier dupla. Para determinarmos

os oe ientes

A

mn

, em analogia à série de Fourier, multipli amos o duplo somatório pelo produto sen

(mπx/b)

sen

(nπy/c)

e integramos no retângulo

0 ≤ x ≤ b

,

0 ≤ y ≤ c

. Temos 6 :

Z

c

0 Z

b

0 f (x, y)

sen

mπ

b

x

sen

nπ

c

y dx dy = A

mn

Z

c

0 Z

b

0

sen

2 mπ

b

x

sen

2 nπ

c

y dxdy.

Cal ulando as integrais,obtemos:

Z

c

0 Z

b

0 f (x, y)

sen

mπ

b

x

sen

nπ

c

y dx dy =

bc

4 A

mn

,

6

Naverdade,devemosmultipli arporsen

(pπx/b)

sen

(qπy/c)

eusaraortogonalidadede,

ondesegue-sequesomente

p = m

e

q = n

éque ontribuemnaintegraçãodeondepodemos,

(30)

de onde segue-se para os oe ientes

A

mn

=

4 bc

Z

c

0 Z

b

0 f (x, y)

sen

mπ

b

x

sen

nπ

c

y dxdy.

Emresumo,forne idaa ondiçãoini ial

f (x, y)

,determinamosos oe ientes

A

mn

e a solução do problema é dada por Eq.(1.17). Estudos mostram que esta soluçãoexiste e é úni a.

(31)

Dentre as várias lasses de funções ditas espe iais, estão as funções

hiperge-ométri as, onhe idas também omo funções de Gauss 1

. Essas funções

apa-re em em nosso estudo omo solução das equações hipergeométri as, ujo

modelo é usado para representar asequações diferen iaisordináriaslineares

de segunda ordem om três pontos singulares regulares.

No presente apítulo, vamos estudar a equação hipergeométri a e suas

so-luções, a m de, posteriormente, nos on entrarmos no aso parti ular da

equação de movimento dopêndulo simples dada por

d

2 dt

2 θ +

g

l

sen

θ = 0,

ujasoluçãoexata noslevaaoperíodode os ilaçãodopêndulosimples,dado

em termosde uma função hipergeométri a.

Essa última equação, apesar de se onstituir numa equação diferen ial

or-dinária de segunda ordem não-linear, des reve, de forma pre isa, o

movi-mentopendular. A aproximação sen

θ ≈ θ

,validadapara

θ

pequeno, onduz

a uma equação diferen ial de segunda ordem linear, fa ilmente integrável e

que forne e, porexemplo, omosolução

θ(t) = θ

0 cos ωt + (α/ω)

sen

ωt

,onde dene-se

ω =

pg/l

e seimpõemas ondições ini iais

θ(0) = θ

0

e

θ

′

(0) = α

(ver[3℄).

Neste estudo, partindo de uma equação diferen ial ordinária, linear, de

se-1

(32)

gunda ordem e homogênea, introduzimos a hamada equação de

Riemann-Papperitz 2

ontendotrês pontos singulares regulares: zero,um einnito[18℄.

Assim,obtemosaequaçãohipergeométri ae, omisso,apartirdométodode

Frobenius 3

,obtemosas hamadasfunções hipergeométri as. Como asos

parti ulares dessas funções, onsideramos as funções de Legendre 4

. Em

se-guida, estudamosasfunções hipergeométri as onuentes,oufunções

deKummer(1810-1893), omosoluçõesdasequaçõeshipergeométri as

on-uentesnasquaisseestabele eaexigên iade umadequadolimiteeobtém-se

a onuên iade doispontos singularesdaequação[3℄. Como asoparti ular,

estudamos as funçõesde Bessel 5

.

2.1 Método de Frobenius

Nesta seção, apli ando ométodode Frobenius, vamos analisartodos os

pos-síveis asos, envolvendo três parâmetros,que apare em naequação

hiperge-ométri a.

Começamos esse assunto apresentando e dis utindo pontos importantes de

uma equação diferen ialordinária, homogênea,linear ede segunda ordem,

P

d

2 dx

2 u(x) + Q

d

dx

u(x) + R u(x) = 0

(2.1)

onde onsideramos

P = P (x)

,

Q = Q(x)

e

R = R(x)

, polinmios que não

têm fatores omuns. Assim, para os pontos

x 6= x

0

, em que

P (x

0 ) = 0

, podemos dividiraequação a ima por

P (x)

, obtendo:

2

JohannesErwinPapperitz(1857-1938).

3

Fernand Georg Frobenius (1848-1917) foi estudante e, depois, professor na

Univer-sidade de Berlim. Mostrou omo onstruir as soluções em série no entorno de pontos

singulares regulares, em 1874. O seu trabalho mais importante, porém, foi na álgebra,

ondeapare eu omoumdospre ursoresdodesenvolvimentodateoriadosgrupos.

4

Adrien-MarieLegendre(1752-1833),autordeÉlémentsdeGéométrie,obradesu esso,

om propostapedagógi a onde reordenou e simpli ou as proposições de Eu lides (360

a.C.- 295 a.C.). No entanto, seu maior trabalho está nos ampos das funções elípti as

e teoriados números. As funções de Legendre apare empela primeira vez em 1784, na

investigaçãosobreaatraçãodeesferóides.

5

Friedri h Wilhelm Bessel (1784-1846), matemáti o e astrnomo alemão; entre seus

feitos, sistematizou as funções de Bessel (des obertas por Bernoulli) em sua

investiga-ção sobre as perturbações planetárias, em 1824. Fi ou famosopor ter feito a primeira

(33)

d

2 dx

2 u(x) + p(x)

d

dx

u(x) + q(x)u(x) = 0

(2.2) onde

p(x) =

Q(x)

P (x)

e

q(x) =

R(x)

P (x)

.

Os pontosonde

P (x)

não seanulasão hamadospontos ordinários da

equa-ção e, omo

P (x)

é uma função ontínua, então tambémesta função não se

anula na vizinhança desses pontos. Assim,

p(x)

e

q(x)

são analíti as nessa

vizinhança epodem ser expandidas emsérie de Taylor 6

[3℄. Já oponto

x

0

é hamadopontosingularseasfunções

p(x

0 )

e

q(x

0 )

deixaremde seranalíti as e, ainda mais, se

x

0

é pólosimples de

p(x)

e pólode ordem menor ou igual a dois de

q(x)

, então

x

0

édito ponto singular regular. Caso ontrário, é ha-madode pontosingular irregular [4℄. Notequeestamosdis utindoaequação

denida emvariávelreal,masvaleressaltarqueosresultadosposteriormente

obtidos no trato dessa equação tambémsão válidos se a mesma for denida

em

C

[12℄. Emse tratando dasolução geral da Eq.(2.2), é provado que, em

seus pontos singulares, os quais estão ontidos no plano omplexo,

p(x)

e

q(x)

possuem seus pólos, eviden iandoaí uma relação entre aspropriedades dessas funções edas soluções daequação.

Assim,tomemosumaequaçãodiferen ialordináriahomogênea omtrês

pon-tos singulares regulares,

x = x

1

,

x = x

2

e

x = x

3

, isso será possível se, e somente se,

p(x)

tem pólo simples e

q(x)

tem pólo menor ou igual a dois

nesses pontos. Ainda ondi ionamos que o ponto no innito seja um ponto

ordinário dessa equação [2℄. Para tanto, realizamos a mudança de variável