coordenadas polares

ISCTEM

Análise Matemática II

Curso de Engenharia Informática

_____________________________________________________________________ Coordenadas polares. Coordenadas cilíndricas. Curvas e superfícies

no espaço.

1.

COORDENADAS POLARES

Um método importante de representação de pontos num plano consiste no uso de coordenadas polares. Para introduzir um sistema de coordenadas polares no plano, partimos de um ponto fixo O (chamado origem ou pólo) e uma semi-recta orientada (chamada eixo polar) com extremidade O. Seja

P

um ponto arbitrário do plano, distinto de O, r =d

(

O,P

)

e θ a

medida do ângulo determinado pelo eixo polar e OP. Desta forma, a cada ponto

P

do plano, podemos fazer corresponder o par de coordenadas polares

( )

r,

θ

.

O ângulo θ considera-se positivo se é gerado por uma rotação anti-horária do eixo polar, caso contrário θ é considerado negativo.

Como se sabe, quando consideramos o sistema de coordenadas cartesianas,

( )

x,y , no plano, cada ponto tem representação única. Usando o sistema de coordenadas polares isto não acontece. Mostram-se três representações distintas do mesmo ponto.

No caso de

r

ser negativo, para encontrar o ponto

( )

r,θ no plano, faz-se em primeiro lugar a rotação θ e, em seguida, mede-se ⏐

r

⏐ ao longo da semi-recta

de extremidade O e sentido oposto ao lado terminal do ângulo θ. Na figura encontram-se duas representações do mesmo ponto, com r=−3, sendo a rotação

θ feita, respectivamente, no sentido anti-horário e no sentido horário.

Para além do que foi dito, repare que o pólo é representado por

( )

0,

θ

onde

θ

é qualquer ângulo.

1.1.

MUDANÇA DE COORDENADAS:

( ) ( )

r,

θ

→ x, y e

( ) ( )

x, y → r,

θ

Para estabelecer a relação entre o sistema

de coordenadas rectangulares ou cartesianas

( )

x,y e o sistema de coordenadas polares

( )

r,θ , considere o eixo polar a coincidir com o semi-eixo positivo dos

XX

e o pólo com a origem do referencial cartesiano. Pode verificar-se que:

x

y

tg

θ

=

,

r

x

θ

cos

=

,

r

y

sen θ

=

Assim, as coordenadas polares

( )

r,

θ

de um ponto estão relacionadas com as coordenadas rectangulares

( )

x,y da seguinte forma:

( ) ( )

r,

θ

→ x,y

( ) ( )

x,y → r,

θ

⎩

⎨

⎧

=

=

θ

sin

r

y

θ

cos

r

x

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

=

2 2 2

_x

_y

r

x

y

arc tg

θ

Exemplo: Dado P→

( )

r,

θ

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 ,

1π e uma vez que

⎩

⎨

⎧

=

=

θ

sin

r

y

θ

cos

r

x

, em coordenadas

cartesianas representamos P da seguinte forma,

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = 2 2 , 2 2 y , x 4 sin 1 y 4 cos 1 x π π .

1.2.

EQUAÇÕES POLARES E GRÁFICOS

Diversos gráficos importantes possuem equações mais simples na forma polar do que na forma rectangular. Por exemplo, a equação polar de uma circunferência de raio a e de centro na origem é simplesmente r=a. A título ilustrativo mostramos alguns gráficos com a respectiva equação na forma polar.

2

r

=

tg

θ

=

3

r =sec

θ

Caracóis: θ ± = θ ± = sin b a r cos b a r

₍

₎

0 b , 0 a> >

Rosas de n pétalas

( )

θ =acos n

r r =acos

( )

nθ r =asin

( )

nθ r=asin

( )

nθ

Circunferências e lemniscatas

(

a>0

)

θ = cosa

r r = sina θ

_r

2

₌

_a

2

_sin

( )

₂

_θ

_r

2

₌

_a

2

_cos

( )

₂

_θ

2.

ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA, EM COORDENADAS POLARES. O desenvolvimento de uma fórmula para

a área de uma região polar é semelhante ao desenvolvimento utilizado para a área de uma região plana limitada definida no sistema de coordenadas rectangulares, bastando para tal considerar sectores circulares, em vez de rectângulos, como elementos básicos da área.

Definição. Seja f função contínua e não negativa em

[ ]

a,b

. A área da região limitada pelo gráfico de

r

= f

( )

θ

e pelas rectas

θ

=

a

e

θ

=

b

é dada por:

( )

[

]

∫

=

∫

= b a b a 2 2 _{r d} 2 1 d f 2 1 A θ θ θ

Exemplos:

a) Encontre a área da região plana limitada por uma pétala da rosa de três pétalas cuja equação é r=3cos

( )

3θ

Solução:

Observando a figura, verifica-se que a pétala da direita é traçada fazendo variar θ desde

6

π

−

até

6

π

. Assim,

( )

[

θ

]

θ

=

+

( )

θ

θ

=

=

∫

∫

π π − π π − 6 6 6 6 2

d

2

6

cos

1

2

9

d

3

cos

3

2

1

A

( )

₌

_π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

+

π

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

θ

+

θ

=

π π −

4

3

6

6

4

9

6

6

sin

4

9

6 6

b) Encontre a área da região sombreada na figura. A equação do caracol com laço é r=1−2sinθ.

Solução:

Na figura pode observar-se que o laço interior é traçado fazendo variar θ desde

6

π

até

π

6

5

. A área da região plana limitada por este laço é:

(

−

θ

)

θ

=

(

−

θ

+

θ

)

θ

=

=

_∫

_∫

π π π π 6 5 6 2 6 5 6 2 1

1

4

sin

4

sin

d

2

1

d

sin

2

1

2

1

A

∫

π π

=

θ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

θ

+

θ

−

=

6 5 6

d

2

2

cos

1

4

sin

4

1

2

1

( )

[

]

∫

π π

=

θ

θ

−

θ

−

=

6 5 6

d

2

cos

2

sin

4

3

2

1

( )

[

]

(

)

2

3

3

3

3

2

2

1

2

sin

cos

4

3

2

1

5 ₆ 6

=

π

−

=

π

−

θ

−

θ

+

θ

=

_ππ

De forma semelhante, a área total interior ao caracol com laço é:

(

)

2

3

3

2

d

sin

2

1

2

1

A

6 13 6 5 2 2

=

∫

−

θ

θ

=

π

+

π π

Assim, a área pretendida é:

3

3

2

3

3

2

3

3

2

A

_⎟⎟

=

π

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

π

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

π

=

.

c) A

2

ª

Lei de Kepller: A

2

ª

Lei de Kepller afirma que quando um planeta se move em torno do Sol, um raio do Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos iguais. Esta Lei pode também ser aplicada a cometas ou asteróides com órbitas elípticas.

O asteróide Apollo

O asteróide Apollo tem um período de 478 dias e a sua órbita é descrita aproximadamente pela elipse de equação

θ

cos

5

9

1

r

+

=

onde

r

é medido em

unidades astronómicas. Quanto tempo demorará Apollo a mover-se da posição dada por

2

π

θ

=

−

até à posição dada por

2

π

θ

=

? Solução:

Para θ a variar entre

2

π

−

e

2

π

, utilizando a definição dada para a área da região,

90429 . 0 dθ senθ 5 9 9 2 1 A 2 π 2 π 2 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

∫

−

sendo o integral calculado fazendo a substituição

2

tg

u

=

θ

.

Do mesmo modo se calcula a área total da elipse, encontrando-se o valor: Área da elipse≈5.46507.

Como o tempo necessário para uma órbita completa é 478 dias, aplicamos agora a

2

ª

lei de Kepller para calcular o tempo

t

necessário para Apollo se mover da posição dada por

2

π

−

=

θ

até à posição dada por

2

π

=

θ

. Será

46507

.

5

90429

.

0

478

t =

donde se conclui que t ≈79 dias.

Sugestão de trabalho:

Radiação emitida por uma antena de transmissão

A radiação emitida por uma antena de transmissão não é uniforme em todas as direcções. Para uma antena particular, a intensidade é modelada por

r

=

a

cos

2

θ

.

a) Converta a equação polar na forma rectangular.

b) Use uma calculadora gráfica para traçar o gráfico do modelo para a=4 e 6

a= .

c) Encontre a área da região geográfica limitada pelas duas curvas encontradas na alínea anterior.

3.

COMPRIMENTOS DE CURVAS EM COORDENADAS POLARES

Definição. Seja f função cuja derivada é contínua em

[ ]

a,b

. O comprimento do gráfico de

r

= f

( )

θ

desde

θ

=

a

até

θ

=

b

é dada por:

( )

[

]

[

( )

]

∫

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ + = b a b a 2 2 2 2 _d d dr r d f f L θ θ θ θ θ Exemplo:

Encontre o comprimento do arco do cardióide r= f

( )

θ =2−2cosθ desde θ=0 até

θ

=2

π

.

Solução:

Como f′

( )

θ =2sinθ é contínua em

[

0,2π

]

tem-se

(

− θ

) (

+ θ

)

θ= =

_∫

π 2 2cos 2sin d L 2 0 2 2 _{− θ θ=}

∫

π 1 cos d 2 2 2 0

=

θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ θ

=

θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ θ

=

∫

π

∫

π

d

2

sin

4

d

2

sin

2

2

2

2 0 2 0 2

(

1 1

)

16 8 2 θ cos 8 π 2 0 = + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− =

4.

ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO, EM COORDENADAS POLARES

As fórmulas para o cálculo da área de uma superfície de revolução, quando as curvas são dadas em coordenadas polares, podem ser obtidas através das fórmulas correspondentes para curvas definidas por equações paramétricas, usando as equações x= cosr θ e

y

= sin

r

θ

.

Definição. Seja f função com derivada contínua em

[ ]

a,b

. A área da superfície, com

θ

a variar de

a

até

b

, obtida pela rotação da curva

r

= f

( )

θ

i) em torno do eixo polar, é dada por:

( )

[

( )

]

[

( )

]

∫

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ + = b a b a 2 2 2 2 _d d dr r sin r 2 d f f sin f 2 S θ θ θ π θ θ θ θ θ π j) em torno da linha 2 π = θ , é dada por:

( )

[

( )

]

[

( )

]

∫

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ + = b a b a 2 2 2 2 _d d dr r cos r 2 d f f cos f 2 S θ θ θ π θ θ θ θ θ π Exemplo:

Encontre a área da superfície obtida pela rotação, em torno da linha

2

π

=

θ

, da circunferência r=cosθ. Solução:

Uma vez que f′

( )

θ =−sinθ é contínua e que a circunferência é traçada fazendo variar θ de 0 a π, temos:

(

θ

)

θ+ θ θ= θ π =

∫

π 0 2 2 _{sin d} cos cos cos 2 S = θ θ π =

_∫

π 0 2 _d cos 2

( )

[

+ θ

]

θ= π =

∫

π 0 d 2 cos 1

( )

2 0 2 2 sin _=π ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡_θ+ θ π = π

5.

VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO, EM COORDENADAS POLARES

Definição. Seja f função é contínua em

[ ]

a,b

. Seja R a região plana limitada pela curva

r

= f

( )

θ

,

θ

=

a

e

θ

=

b

. O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo polar é dado por:

( )

[

]

_∫

∫

= = b a 3 b a 3 _{r sin d} 3 2 d sin f 3 2 V π θ θ θ π θ θ Exemplo:

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo polar, do círculo limitado pela função r = f

( )

θ =cosθ.

Solução:

Como já é sabido, para gerar o sólido que se pretende, uma esfera, apenas iremos considerar o semicírculo acima do eixo polar, isto é,

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ 2 , 0 π θ . Assim,

(

)

(

)

6 4 cos 3 2 d sin cos 3 2 V 2 0 4 2 0 3 ₌ π ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ π − = θ θ θ π = π π

∫

.

6.

O ESPAÇO A TRÊS DIMENSÕES. COORDENADAS CILÍNDRICAS

Vimos anteriormente que alguns gráficos bidimensionais são mais fáceis de representar em coordenadas polares do que em coordenadas rectangulares. Situações semelhantes ocorrem em IR . As coordenadas polares definidas no 3 plano estendem-se a IR , definindo no espaço tridimensional o chamado sistema 3 de coordenadas cilíndricas.

Estas coordenadas permitem representar um ponto

P

por um terno ordenado

(

r,

θ

,z

)

onde:

•

( )

r,

θ

é a representação polar da projecção de

P

no plano XOY.

•

z

é a distância entre

( )

r,

θ

e

P

.

6.1.

MUDANÇA DE COORDENADAS:

(

r, ,z

θ

) (

→ x, y,z

)

e

(

x, y,z

) (

→ r, ,z

θ

)

Para converter coordenadas rectangulares em coordenadas cilíndricas e reciprocamente, utilizam-se as seguintes relações:

(

r, ,z

θ

) (

→ x, y,z

)

(

x, y,z

) (

→ r, ,z

θ

)

z

z

sin

r

y

cos

r

x

=

θ

=

θ

=

2 2 2 y θ arc tg x r x y z z = = + = Exemplo: a) Escreva o ponto

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_π

=

θ

,

3

6

5

,

4

z

,

,

r

em coordenadas rectangulares. Solução:

Usando a conversão apresentada anteriormente obtemos:

3

2

2

3

4

6

5

cos

4

x

_⎟⎟

=

−

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

=

2

2

1

4

6

5

sin

4

y

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

=

3 z = Então,

(

x

,

y

,

z

)

=

(

−

2

3

,

2

,

3

)

.

b) Escreva o ponto

(

x

,

y

,

z

)

=

(

1

,

3

,

2

)

em coordenadas cilíndricas. Solução:

Usando a conversão apresentada anteriormente obtemos:

2

3

1

r

=

±

+

=

±

;

z

=

2

;

π

+

π

=

π

+

=

θ

⇒

=

θ

n

3

n

3

arctg

3

tg

Te

mos duas escolhas para

r

e uma infinidade de escolhas para θ. Duas representações convenientes para o ponto são:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

2

,

3

,

2

com r>0; θ∈1º Quadrante

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

π

2

,

3

4

,

2

com r <0; θ∈3º Quadrante

7.

SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

7.1.

PLANOS.

A equação de um plano no espaço pode ser obtida através de um ponto do plano e um vector normal a esse plano.

Consideremos P

(

x₁,y₁,z₁

)

pertencente ao plano e

(

a,b,c

)

nr = um vector não nulo normal ao plano. Este plano é constituído por todos os pontos

(

x,y,z

)

Q tais que o vector PQ é ortogonal a nr. Utilizando as propriedades do produto escalar podemos escrever:

(

) (

− − −

)

= ⇔ ⇔ =0 a,b,c . x x ,y y ,z z 0 PQ . nr _{1 1 1}

(

x x

) (

b y y

) (

c z z

)

0 a − ₁ + − ₁ + − ₁ = ⇔

Definição. O plano contendo o ponto

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

e com vector normal

n

r

=

(

a

,

b

,

c

)

, pode ser representado, pela equação

(

x x

) (

b y y

) (

c z z

)

0 a − 1 + − 1 + − 1 =

ou ainda, reagrupando os termos, obtém-se para equação geral do plano:

0 d cz by ax+ + + = Exemplo:

Encontre a equação geral do plano que contém o ponto

(

2,1,1

)

e sendo nr =

(

9,6,12

)

um vector normal ao plano. Solução:

(

x

−

2

) (

+

6

y

−

1

)

+

12

(

z

−

1

)

=

0

⇔

9

⇔

=

−

+

+

⇔

9

x

6

y

12

z

36

0

⇔

3

x

+

2

y

+

4

z

−

12

=

0

equação geral do plano

7.2.

COMO ESBOÇAR PLANOS NO ESPAÇO

Para esboçar um plano no espaço, devemos em primeiro lugar encontrar as rectas de intersecção com os planos coordenados.

Exemplo:

a) Equação do plano:

3

x

+

2

y

+

4

z

=

12

. Intersecção com o plano

XOY

(

z=0

)

:

12

y

2

x

3

+

=

Intersecção com o plano YOZ

(

x=0

)

:

12

z

4

y

2

+

=

Intersecção com o plano XOZ

(

y=0

)

: 12 z 4 x 3 + =

b) Planos paralelos aos planos coordenados

Plano ax+d =0 paralelo ao plano YOZ

Plano

by

+

d

=

0

paralelo ao plano XOZ

Plano cz+d =0 paralelo ao plano XOY

7.3.

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS

Existem vários tipos de superfícies no espaço. Umas são designadas por superfícies cilíndricas ou simplesmente cilindros. Uma equação contendo unicamente duas das três variáveis

x

,

y

e

z

representa uma superfície cilíndrica em

IR

3.

Definição. Seja

C

uma curva num plano e seja L uma recta não paralela ao plano. O conjunto de todas as rectas paralelas a L que intersectam

C

diz-se um cilindro.

C

é chamada a geratriz do cilindro.

Exemplos:

2 2

2

_y

_a

7.4.

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

Outro tipo de superfícies no espaço são as superfícies quadráticas que podem ser consideradas a correspondência tridimensional das secções cónicas no plano. Definição. Uma superfície quadrática é representada por uma equação do segundo grau da forma:

0

J

Iz

Hy

Gx

Fyz

Exy

Dxz

Cz

By

Ax

2

₊

2

₊

2

₊

₊

₊

₊

₊

₊

₊

₌

_.

A intersecção de uma superfície com um plano diz-se o traço da superfície no plano. Os traços das superfícies quádricas nos planos coordenados são cónicas. Para visualizar uma superfície no espaço é útil determinar os seus traços em planos paralelos aos planos coordenados. Há seis tipos básicos de superfícies quádricas: Elipsoide

1

c

z

b

y

a

x

2 2 2 2 2 2

=

+

+

Traço Elipse Elipse Elipse Plano

Paralelo ao plano XOY Paralelo ao plano XOZ Paralelo ao plano YOZ

A superfície é uma esfera se a=b=c≠0

Hiperboloide de uma folha

1

c

z

b

y

a

x

2 2 2 2 2 2

=

−

+

Traço Elipse Hipérbole Hipérbole Plano

Paralelo ao plano XOY Paralelo ao plano XOZ Paralelo ao plano YOZ

Hiperboloide de duas folhas

1

b

y

a

x

c

z

2 2 2 2 2 2

=

−

−

Traço Elipse Hipérbole Hipérbole Plano

Paralelo ao plano XOY Paralelo ao plano XOZ Paralelo ao plano YOZ

O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço no plano coordenado perpendicular a esse eixo.

Cone elíptico

0

c

z

b

y

a

x

2 2 2 2 2 2

=

−

+

Traço Elipse Rectas Rectas Plano

Paralelo ao plano XOY Paralelo ao plano XOZ Paralelo ao plano YOZ

O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo.

Parabolóide elíptico 2 2 2 2

b

y

a

x

z

=

+

Traço Elipse Parábola Parábola Plano

Paralelo ao plano XOY Paralelo ao plano XOZ Paralelo ao plano YOZ

Parabolóide hiperbólico 2 2 2 2

a

x

b

y

z

=

−

Traço Hipérbole Parábola Parábola Plano

Paralelo ao plano XOY Paralelo ao plano XOZ Paralelo ao plano YOZ

O eixo do paraboloide corresponde à variável de grau um. Exemplo:

a) Classifique e esboce a superfície dada por

x

−

y

2

−

4

z

2

=

0

.

Solução:

Como apenas a variável x tem grau

1

, a superfície é um paraboloide. Pela mesma razão o eixo do paraboloide é o eixo dos

XX

. Desta forma a equação da superfície é

2 2

₄

_z

y

x

=

+

.

Analisemos os traços da superfície: Intersecção com XOY -

x

=

y

2

(

parábola

)

Intersecção com XOZ -

x

=

4

z

2

(

parábola

)

Plano paralelo a YOZ

(

x=4

)

-

1

(

elipse

)

1

z

4

y

2 2

=

+

Então a superfície é o paraboloide elíptico que se mostra na figura.

b) Classifique e esboce a superfície dada por

4

x

2

−

3

y

2

+

12

z

2

+

12

=

0

.

Solução:

Comecemos por escrever a equação na forma canónica.

⇔

=

+

+

−

3

y

12

z

12

0

x

4

2 2 2

⇔

=

−

−

+

−

⇔

z

1

0

4

y

3

x

2 2 2

₁

1

z

3

x

4

y

2 2 2

=

−

−

⇔

Analisando as superfícies quádricas apresentadas anteriormente concluímos que se trata de um hiperboloide de duas folhas cujo eixo é o eixo dos

YY

. Para esboçarmos o gráfico desta superfície analisemos os seus traços nos planos coordenados:

Intersecção com XOY -

1

(

hipérbole

)

3

x

4

y

2 2

=

−

Intersecção com XOZ -

1

(

sem

traço

)

1

z

3

x

2 2

−

=

+

Intersecção com YOZ -

1

(

hipérbole

)

1

z

4

y

2 2

=

−