Taxas Relacionadas. 1.Variáveis Relacionadas 2.Resolução de Problemas Sobre Taxas Relacionadas

(1)

Taxas Relacionadas

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Taxas Relacionadas

1.Variáveis Relacionadas

(3)

Nesta aula, estudaremos problemas relativos a grandezas que variam em relação ao tempo. Se duas (ou mais) dessas grandezas estão relacionadas entre si, então suas taxas de variação em relação ao tempo também estão relacionadas.

(4)

4

1. Variáveis relacionadas

Suponhamos, por exemplo, as variáveis

x

e

y

relacionadas pela equação

y = 2x

. Se ambas estão variando em relação ao tempo, então suas taxas de variação também estão relacionadas.

As taxas de variação de e e estão relacionadas estão relacionados

2

x y x y

dy

dx

y

x

dt

=

→

=

(5)

Neste exemplo simplificado, podemos ver que, como

y

tem sempre o dobro do valor de

x

, a taxa de variação de

y

em relação ao tempo é sempre o dobro da taxa de variação de

x.

(6)

6

1. Variáveis relacionadas

Exemplo 1: As variáveis

x

e

y

são funções diferenciáveis de

t

e estão relacionadas pela equação

y = x

2

_{+ 3}

_{. Quando}

_{x = 1}

_,

_{dx/dt = 2}

_{. Ache}

(7)

Solução: Aplique a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os membros da equação

em

relação a t

.

[ ]

2 2 3 Equação original 3 Diferenciar em relação a t 2 Regra da Cadeia y x d d y x dt dt dy dx x dt dt = +   = _ + _ =

(8)

8 1. Variáveis relacionadas Quando

x = 1

e

dx/dt = 2

, temos 2 2 (1) (2) 4 dy dx x dt = dt = ⋅ ⋅ =

(9)

No exemplo anterior, foi

dado

um modelo matemático.

No próximo exemplo, pode-se

criar

um modelo matemático análogo.

2

Equação dada: 3

Taxa dada: 2 quando 1

Achar: quando 1 y x dx x dt dy x dt = + = = =

(10)

10

2. Resolução de problemas sobre taxas relacionadas

Exemplo 2: Deixa-se cair um seixo em um lago de águas tranquilas, ocasionando ondas na forma de círculos concêntricos, conforme a figura a seguir. O raio

r

da onda exterior está aumentando à razão constante de 1 pé por segundo. Quando o raio é igual a 4 pés, a que taxa está variando a área total

(11)

Solução: As variáveis

r

e

A

estão relacionadas pela equação da área de um círculo,

A =

π

r

2_{. Para} resolver este problema, tenha em mente que a taxa de variação do raio é dada por

dr/dt

.

2

Equação:

Taxa dada: 1 quando 4

Achar: quando 4 A r dr r dt dA r dt

π

= = = =

(12)

12

Utilizando este modelo, podemos proceder como no Exemplo 1.

[ ]

2 2

Equação

Diferenciar em relação a t

2 Regra da Cadeia

A

r

d

A

r

dt

dA

dr

r

dt

π

=





=

_

_

=

(13)

Quando

r = 4

e

dr/dt = 1

, temos 2

2 2 (4)(1)

8 pés /s

dA

dr

r

dt

=

π

dt

=

π

=

π

(14)

14

Nota:

No Exemplo 2, notamos que o raio varia a uma taxa

constante

(

dr/dt = 1

para todo

t

), mas a área varia a uma taxa

não-constante

.

2 2 2 2

Quando

1 pé

2 pés /s

Quando

2 pés

4 pés /s

Quando

3 pés

6 pés /s

Quando

4 pés

8 pés /s

dA

r

dt

dA

r

dt

dA

r

dt

dA

r

dt

π

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

(15)

A solução apresentada no Exemplo 2 ilustra as etapas para a resolução de um problema de taxas relacionadas.

(16)

16

Diretrizes para a Resolução de um Problema de Taxas Relacionadas

1. Atribuir símbolos a todas as grandezas

dadas

e a todas as grandezas a

serem determinadas

.

2. Estabelecer uma equação que relacione todas as variáveis cujas taxas de variação são dadas ou devem ser determinadas.

3. Aplicar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os membros da equação

em relação ao

tempo

.

4. Levar na equação resultante todos os valores conhecidos das variáveis e de suas taxas de variação. Resolver então em relação à taxa de variação procurada.

(17)

Nota:

Observar a ordem das Etapas 3 e 4 nas Diretrizes. Só substituir as variáveis pelos valores numéricos após ter diferenciado.

(18)

18

A tabela a seguir dá os modelos

matemáticos para algumas taxas de variação comuns, que podem ser utilizados na primeira etapa da resolução de um problema de taxas relacionadas.

(19)

Enunciado Verbal Modelo Matemático

A velocidade de um carro, após rodar 1 hora, é de 50 milhas por hora.

x = distância percorrida dx/dt = 50 quando t = 1 Está sendo bombeada água para

um tanque à razão de 10 pés cúbicos por minuto.

V = volume de água no tanque dV/dt = 10 pés3_/min

Uma população de bactérias está aumentando à razão de 2.000 por hora.

x = número na população

dx/dt = 2.000 bactérias por hora A receita está aumentando à R = receita

(20)

20

Exemplo 3: O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico à razão de 4,5 polegadas cúbicas por minuto, conforme indicado na figura seguinte. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 2 polegadas.

(21)

(22)

22

Solução: Sejam

V

o volume do balão e

r

o seu raio. Como o volume está aumentando à razão de 4,5 polegadas cúbicas por minuto, temos que

dV/dt

= 4,5. A equação que relaciona

V

e

r

é

V

= 4/3 π

r

3_.

(23)

3

4 Equação:

3 Taxa dada:

4,5

Achar:

quando

2 V

r

dV

dt

dr

r

dt

π

=

(24)

24

Diferenciando a equação, obtemos:

[ ]

3 3 2 2 4 Equação 3 4 Diferenciar em relação a t 3 4 (3 ) Regra da Cadeia 3 1 Resolver em relaç 4 V r d d V r dt dt dV dr r dt dt dV dr dt dt r π π π π =   = _ _   = = ão a dr/dt

(25)

Quando

r

= 2 e

dV/dt

= 4,5, a taxa de variação do raio é 2 2

1

1 (4,5)

0,09 pol./min

4 4 (2)

dr

dV

dt

=

π

r

dt

=

π

≈

(26)

26

No Exemplo 3, note que o volume está aumentando a uma taxa

constante

, mas a taxa de aumento do raio é

variável

. Neste exemplo, o aumento do raio é cada vez mais lento na medida em que

t

cresce. A figura anterior e a tabela seguinte ilustram este fato.

(27)

1 3 5 7 9 11 4,5 13,5 22,5 31,5 40,5 49,5 1,02 1,48 1,75 1,96 2,13 2,28 0,34 0,16 0,12 0,09 0,08 0,07 3 3 4 V r π = 4,5 V = t t dr dt

(28)

28

Exemplo 4: Um avião está voando a uma altitude de 6 milhas segundo uma trajetória que o leva a passar diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Seja

s

a distância (em milhas) entre a estação de radar e o avião. A distância

s

diminui à razão de 400 milhas por hora quando

s

é 10 milhas. Qual é a velocidade do avião?

(29)

Solução: Comecemos traçando uma figura e rotulando as distâncias, conforme a figura abaixo. Com auxílio do Teorema de Pitágoras, podemos escrever uma equação que relacione

x

e

s

.

(30)

30

2 2 2

Equação: x

6 Taxa dada:

400 quando

10 Achar:

quando

10 s

ds

s

dt

dx

s

dt

+

=

= −

=

(31)

Diferenciando a equação, obtemos: 2 2 2 2 2 2 x 6 Equação x 6 Diferenciar em relação a t 2 2 Regra da Cadeia Resol s d d s dt dt dx ds x s dt dt dx s ds dt x dt + =  ₊  ₌       = = ver em relação a dx/dt

(32)

32

Para achar

dx/dt

, devemos achar primeiro

x

quando

s

= 10. 2 2 2 2 2 2 2

6

36

10

36

64

8 x

s

x

s

x

s

x

+

=

−

=

−

=

−

=

(33)

Com

s

= 10,

ds/dt

= -400 e

x

= 8, podemos achar

dx/dt

como segue.

Como a velocidade do avião é de -500 milhas por hora, segue-se que o

módulo

de sua velociadde é de 500 milhas por hora.

Nota:

No Exemplo 4, a taxa de variação da

distância

x

é negativa porque

x

está decrescendo.