Resistência dos Materiais

Resistência dos Materiais

Eng. Mecânica, Produção

UNIME – 2016.1

Prof. Corey

2

Tensão e deformação:

Carregamento axial

Conteúdo

Tensão e Deformação: Carregamento Axial Deformação Normal

Teste de Tensão-Deformação

Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcte is

Diagrama de tensão-deformação: materiais fráge is

Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico versus Plástico Fadiga

Deformações sob Carregamento Axial Exemplo 2.01 Problema Resolvido 2.1 Indeterminação Estática Exemplo 2.04 Tensão Térmica Coeficiente de Poisson

Lei de Hooke Generalizada Dilatação: Módulo de

Compressibilidade Volumétrica Deformação de Cisalhamento Exemplo 2.10

Relação entre E, e G Problema Resolvido 2.5 Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant

Concentração de Tensão: Furos Concentração de Tensão: Arredondamentos Exemplo 2.12 Materiais Elastoplásticos Deformações Plásticas Tensões Residuais Exemplos 2.14, 2.15, 2.16

Tensão e Deformação: Carregamento Axial

• Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender

das deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura, bem como as tensões induzidas por estas cargas. A análise estática por si só não é suficiente.

• Considerando as estruturas como deformáveis e analisando as

deformações em seus vários componentes, poderemos calcular as forças

estaticamente indeterminadas.

• A determinação da distribuição de tensões dentro de um componente também exige a consideração das deformações que ocorrem neste componente.

• O Capítulo 2 está preocupado com a deformação de um componente  estrutural sob carregamento axial. Nos outros capítulos trataremos de torção e flexão pura.

Deformação Normal

σ =P A =tensão ε=δ L =deformação normal Fig. 2.1 σ =2 P 2 A = P A ε=δ L Fig. 2.3 σ =P A ε=2 δ 2 L = δ L Fig. 2.4 δ δ δ

Teste de Tensão-Deformação

Fig 2.7 Esta máquina é utilizada para ensaios de corpos de

Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis

Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

• Abaixo da tensão de proporcionalidade

σ=Eε

E=Módulo de Young ou

Módulo de Elasticidade

• Algumas das propriedades físicas dos metais estruturais, como

resistência, ductilidade, podem ser afetadas pela inclusão de elementos de liga, tratamento térmico e

processos de fabricação, mas a rigidez (módulo de elasticidade) não pode ser afetada.

Fig 2.16 Diagramas tensão-deformação para o ferro e diferentes tipos de aço.

Comportamento Elástico versus Plástico

• Se a deformação desaparece quando a tensão é removida, dizemos que o material se comporta elasticamente.

• Quando a deformação não

retorna a zero após a tensão ser removida, dizemos que o

material se comporta

plasticamente.

• O maior valor de tensão para o qual isso ocorre é chamado de limite elástico do material.

Fadiga

• Propriedades de fadiga são mostrados no diagrama de σ-n

• A medida que a tensão é

reduzida, o número de ciclos para provocar a ruptura aumenta até alcançar o limite de resistência à

fadiga, que é a tensão para a qual

não ocorre falhas.

• Um componente estrutural pode falhar devido à fadiga em níveis de tensão significativamente abaixo da resistência última

quando sujeitos a muitos ciclos de carga.

Deformações sob Carregamento Axial

σ =Eε ε = σ

E= P AE • Para a Lei de Hooke:

• A definição de deformação específica: ε=δ

L

• Transformando e substituindo a equação anterior na equação acima, temos

δ= PL AE

• Para barras com carregamentos em outros pontos, diversas seções transversais e

diferentes materiais,

δ=

∑

PiLi A E

Exemplo 2.01

Determine a deformação da barra de aço mostrada

submetida às forças dadas.

E=200 GPa

SOLUÇÃO:

• Divida a barra em componentes de acordo com a aplicação das forças. • Aplique uma análise de corpo livre

de cada componente para determinar a força interna.

SOLUÇÃO: • Divida a barra em três componentes: L₁=L₂=300 mm . A₁=A₂=580 mm2 L₃=400 mm . A₃=200 mm2

• Aplicar a análise de corpo livre em cada componente para determinar as forças internas, P₁=300 kN = 300 × 103 N P₂=−50 kN = −50 ×103N P₃=150 kN = 150×103N • Deformação total δ=

∑

i P_iL_i A_i E_i = 1 E

(

P₁L₁ A₁ + P₂L₂ A₂ + P₃L₃ A₃

)

δ=1 200

[

(300×300) 580 + (−50×300) 580 + (150×400) 200

]

δ=429 ,31 200 = 2,15 mm .

Problema Resolvido 2.1

A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD.

A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm2_{; A barra CD é feita de aço (E = 200}

GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2_{. Para a força de 30 kN mostrada,}

determinar os deslocamentos dos pontos a) B, b) D e c) E.

SOLUÇÃO:

• Realizar uma análise do corpo livre para a barra BDE para encontrar as forças exercidas pelas barras AB e DC.

• Avaliar a deformação das barras AB e DC para encontrar os

deslocamentos de B e D.

• Realize uma análise geométrica para encontrar o deslocamento do ponto E dado os deslocamentos em B e D.

Problema Resolvido 2.1

Corpo Livre: Barra BDE

∑

M_B=0 0=−(30 kN×0.6 m)+F_CD×0.2 m F_CD=+90 kN tração

∑

M_D=0 0=−(30 kN×0.4 m)−F_AB×0.2 m F =−60 kN compressão SOLUÇÃO: Deslocamento do ponto B:















m 10 514 Pa 10 70 m 10 500 m 3 . 0 N 10 60 6 9 2 6 -3           AE PL B  δ_B=0.514 mm ↑ Deslocamento do ponto D: δ_D=PL AE δ_D=

(

90×10 3_N

₎

_{(0. 4 m)}

(

600×10-6 m2

)(

200×109 Pa

)

δ_D=300×10−6m δ =0.300 mm ↓

Problema Resolvido 2.1

Deslocamento do ponto E: B B' D D' = BH HD 0 .514 mm 0 .300 mm = (200 mm)−x x x=73 .7 mm δ_E=1.928 mm ↓ E E' D D' = HE HD δ_E 0 .300 mm = (400+73 .7)mm 73 . 7 mm δ_E=1. 928 mm

Indeterminação Estática

• Estruturas onde as forças internas e as reações não podem ser determinadas apenas por meio da

estática, são chamadas de estruturas estaticamente

indeterminadas.

δ =δ_L+δ_R=0

• Deformações devido as forças reais e pela reações redundantes são determinadas separadamente e, em seguida, adicionadas ou superpostas.

• Reações redundantes são substituídas por forças desconhecidas que, juntamente com as demais forças, deve produzir deformações compatíveis com as restrições originais.

• A estrutura será estaticamente indeterminada

sempre que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles necessários para manter seu equilíbrio.

Exemplo 2.04

Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os carregamentos mostrado,

assumindo que não existe folgas entre os apoios e a barra.

• Exigir que os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante sejam compatíveis, ou seja, exigir que sua soma seja zero.

• Resolver o deslocamento em B devido à reação redundante em B.

SOLUÇÃO:

• Consideramos a reação em B como redundante e liberamos a barra daquele apoio. A reação R_b é considerada desconhecida.

• Resolver a reação em A pelo diagrama de corpo livre da barra, uma vez que se conhece a reação em

Exemplo 2.04

SOLUÇÃO:

• Resolvendo o deslocamento em B devido às forças aplicadas,

P

₁

=0 P

₂

=

P

₃

=600×10

3

N P

₄

=

900×10

3

N

A

₁

=

A

₂

=

400×10

−6

m

2

A

₃

=

A

₄

=

250×10

−6

m

2

L

₁

=

L

₂

=

L

₃

=

L

₄

=0.150 m

δ

_L

=

∑

i

P

_i

L

_i

A

_i

E

_i

=

1.125×10

9

E

• Resolvendo o deslocamento em B devido à reação redundante,

P₁=P₂=−R_B A₁=400×10−6m2 A₂=250×10−6m2 L₁=L₂=0.300 m δ_R=

∑

PiLi A E =−

(

1.95×103

)

R_B E

• Os deslocamentos devido às forças e devido à reação redundante devem ser compatíveis,

δ=δ_L+δ_R=0 δ=1.125×109 E −

(

1.95×103

)

R_B E =0 R_B=577×103N =577 kN

Exemplo 2.04

• Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B

∑

F_y=0=R_A−300 kN−600 kN+577 kN

R_A=323 kN

R_A=323 kN

Tensão Térmica

• A mudança de temperatura numa barra resulta uma mudança no comprimento da mesma chamada de

deformação térmica. Não há tensão associada com a

deformação térmica, a menos que o alongamento seja contido pelo apoio.

δ_T=α (ΔT)L δ_P=PL

AE

α= coeficiente de dilatação térmica

• Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o princípio da superposição.

δ =δ_T+δ_P=0

• A deformação térmica e a deformação do apoio redundante devem ser compatíveis.

α(ΔT )L+PL AE =0 P=−AE α(ΔT )