9. ano #etapa2. Prof a. Carolina Pinotti

(1)

9˚. ano

#etapa2

(2)

2

9º

. ano

#etapa2

Matemática

Semanas 1 a 3 - 1º semestre - 9º ano - EF2 Neste Guia, você vai estudar os

Volumes 1 e 2 Profa_{. Carolina Pinotti}

(3)

Teorema de Tales (páginas 10 a 17, Volume 1)

Do mesmo lado da transversal t Somam 180° Lados alternados da transversal t São iguais (opostos

pelo vértice)

Ângulos colaterais Ângulos alternos

Ângulos correspondentes Entre as retas r e s

Ex.: ângulos 4 e 6 ou 3 e 5 _{Ex.: ângulos 4 e 5 ou 3 e 6}Entre as retas r e s

Por fora das retas r e s Ex.: ângulos 2 e 7 ou 1 e 8

Por fora das retas r e s Ex.: ângulos 1 e 7 ou 2 e 8 Do mesmo lado da transversal, um interno e outro externo São iguais Ex.: ângulos 2 e 6, 4 e 7, Internos _Internos Externos Externos

(4)

4 9º. ano – #etapa2

Atividade 1

Encontre o valor das incógnitas x, y e z para os dois feixes de retas paralelas abaixo, em que r e s são paralelas e u e t transversais à r e s.

(5)

Teorema de Tales (páginas 18 a 31, Volume 1)

Duas retas transversais determinam segmentos proporcionais no feixe:

AB

= BC AB = DE BC = EF DE EF AC EF AC DF

Temos, ainda, uma relação em relação às bases dos triângulos AEF e ABC:

AE

= AB AF = AC EF BC EF BC

Uma ou mais retas paralelas a um dos lados do triângulo determinam segmentos proporcionais:

AE

= AF AE = AF EB = FC AB AC EB FC AB AC Uma ou mais retas paralelas a um

dos lados do triângulo determinam segmentos proporcionais: AE AB = AF AC AE EB = AF FC EB AB = FC AC MATEMÁTICA

Teorema de Tales (páginas 18 a 31, Volume 1)

Teorema de Tales

Duas retas transversais determinam segmentos proporcionais no feixe: AB DE = BC EF AB AC = DE EF BC AC = EF DF

AE EF = AB BC AF EF = AC BC

ICO: imagens das páginas 18 e 21

Uma ou mais retas paralelas a um dos lados do triângulo determinam segmentos proporcionais: AE AB = AF AC AE EB = AF FC EB AB = FC AC MATEMÁTICA

Teorema de Tales (páginas 18 a 31, Volume 1)

Teorema de Tales

Duas retas transversais determinam segmentos proporcionais no feixe: AB DE = BC EF AB AC = DE EF BC AC = EF DF

AE EF = AB BC AF EF = AC BC

ICO: imagens das páginas 18 e 21

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Atividade 2

Dados os triângulos, encontre as medidas desconhecidas x e y.

(7)

Semelhança (páginas 32 a 36, Volume 1)

Observador na frente do objeto Observador em cima do objeto Observador ao lado do objeto Vistas ortogonais

(8)

Atividade 3

Conforme as posições indicadas de cada vista, determine qual o objeto que possui as três vistas apresentadas abaixo:

(9)

Semelhança (páginas 36 a 48, Volume 1)

_MATEMÁTICA

Semelhança (páginas 36 a 48, Volume 1)

Polígonos semelhantes

Mesmo formato Ampliado ou reduzido Medidas proporcionais Ângulos congruentes

Razão de semelhança

Proporção entre as medidas expressa em uma razão C′_D′ CD = A′_D′ AD = A′_B′ AB = B′_C′ BC → 7,5 3 = 5 2 = 10 4 = 12,5 5 ICO: imagem da página 37 Polígonos semelhantes Polígonos semelhantes Mesmo formato Ampliado ou reduzido Medidas proporcionais Ângulos congruentes

Proporção entre as medidas expressa em uma razão

(10)

Atividade 4

(11)

Semelhança (páginas 51 a 63, Volume 1)

Triângulos semelhantes possuem os mesmos ângulos, medidas proporcionais e o mesmo formato.

Semelhança de triângulos

1º caso: ângulo-ângulo (AA)

3º caso: lado-lado-lado (LLL) 2º caso: lado-ângulo-lado (LAL)

(12)

Atividade 5

Determine o caso de semelhança (AA, LAL ou LLL) para cada par de triângulos apresentado.

(13)

Números reais (páginas 64 a 67, Volume 1)

Conjunto dos

números naturais _{números racionais}Conjunto dos

ℕ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…} _{Todos os números}

que podem ser transformados em fração.

Ex.: frações, números decimais (com casas decimais finitas e dízimas periódicas). Excluem-se desse grupo as dízimas não periódicas e as raízes não exatas. Conjunto dos números inteiros ℤ={−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

(14)

Atividade 6

Insira cada número no seu conjunto correspondente (alguns números serão colocados em mais de um conjunto e outros em nenhum).

ℕ (números naturais)

ℤ (números inteiros)

ℚ (números racionais)

MATEMÁTICA

Atividade 6

Insira cada número no seu conjunto correspondente (alguns números serão

colocados em mais de um conjunto e outros em nenhum).

25 − 2,5 3,99 …

1 ₂

10 45

−16

₂

21 − 10

10 ₅

− 0,333 …

ℕ (números naturais)

ℤ (números inteiros)

(15)

Números reais (páginas 68 a 74, Volume 1)

Conjunto dos números irracionais

Conjunto dos números reais

Todos os números que não podem ser transformados em frações.

ℕesse conjunto, entram as dízimas não periódicas e as raízes não exatas.

Todos os números que pertencem aos conjuntos:

ℕúmeros naturais; ℕúmeros inteiros; ℕúmeros racionais; ℕúmeros irracionais.

(16)

Atividade 7

Sobre as afirmações abaixo, marque um X nas verdadeiras.

( ) Todo número irracional é também real. ( ) O número –2,5 é racional e inteiro.

( ) A fração é um número natural inteiro, racional e real.

( ) As raízes exatas, com resultado positivo, podem ser números naturais. ( ) Todo número real é racional.

( )

( ) O conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos números naturais.

MATEMÁTICA

Atividade 7

Sobre as afirmações abaixo, marque um X nas verdadeiras.

( ) Todo número irracional é também real.

( ) O número –2,5 é racional e inteiro.

( ) A fração

12₄

é um número natural inteiro, racional e real.

( ) As raízes exatas, com resultado positivo, podem ser números naturais.

( ) Todo número real é racional.

( ) 15 ∈ ℕ.

( ) O conjunto dos inteiros está contido no conjunto dos números naturais.

MATEMÁTICA

Atividade 7

Sobre as afirmações abaixo, marque um X nas verdadeiras.

( ) Todo número irracional é também real.

( ) O número –2,5 é racional e inteiro.

( ) A fração

12₄

é um número natural inteiro, racional e real.

( ) As raízes exatas, com resultado positivo, podem ser números naturais.

( ) Todo número real é racional.

( ) 15 ∈ ℕ.

(17)

Números reais (páginas 77 a 90, Volume 1)

1ª propriedade Radicais 4ª propriedade 3ª propriedade 2ª propriedade

Números reais (páginas 77 a 90, Volume 1)

MATEMÁTICA

Radicais

2ª propriedade

4ª propriedade

3ª propriedade

1ª propriedade

𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 _{= 𝑎𝑎, com 𝑎𝑎 ∈ ℝ} + e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑛𝑛 ≥ 2 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑚𝑚 ₌ 𝑛𝑛:𝑝𝑝 _𝑎𝑎𝑚𝑚:𝑝𝑝 _e𝑛𝑛 _𝑎𝑎𝑚𝑚 ₌ 𝑛𝑛·𝑝𝑝 _𝑎𝑎𝑚𝑚·𝑝𝑝_, com 𝑎𝑎 ∈ ℝ₊, 𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑛𝑛 ≥ 2 , 𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 divisíveis por um mesmo

número 𝑝𝑝 ≠ 0. 𝑛𝑛 𝑚𝑚 _{𝑎𝑎 =} 𝑛𝑛·𝑚𝑚 _{𝑎𝑎, com 𝑎𝑎 ∈ ℝ} +, 𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ≥ 2. 𝑛𝑛 _{𝑎𝑎 ·} 𝑛𝑛 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏, com 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ₊ e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑛𝑛 ≥ 2 𝑛𝑛 _𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 _𝑎𝑎 𝑛𝑛 _𝑏𝑏 ou 𝑛𝑛 𝑎𝑎: 𝑛𝑛 𝑏𝑏, com 𝑏𝑏 ≠ 0.

Números reais (páginas 77 a 90, Volume 1)

MATEMÁTICA

Radicais

2ª propriedade

4ª propriedade

3ª propriedade

1ª propriedade

𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 _{= 𝑎𝑎, com 𝑎𝑎 ∈ ℝ}₊ _{e 𝑛𝑛 ∈} ℕ, com 𝑛𝑛 ≥ 2 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑚𝑚 ₌ 𝑛𝑛:𝑝𝑝 _𝑎𝑎𝑚𝑚:𝑝𝑝 _e𝑛𝑛 _𝑎𝑎𝑚𝑚 ₌ 𝑛𝑛·𝑝𝑝 _𝑎𝑎𝑚𝑚·𝑝𝑝_, com 𝑎𝑎 ∈ ℝ₊, 𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑛𝑛 ≥ 2 , 𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 divisíveis por um mesmo

número 𝑝𝑝 ≠ 0. 𝑛𝑛 𝑚𝑚 _{𝑎𝑎 =} 𝑛𝑛·𝑚𝑚 _{𝑎𝑎, com 𝑎𝑎 ∈ ℝ} +, 𝑚𝑚 e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ≥ 2. 𝑛𝑛 _{𝑎𝑎 ·} 𝑛𝑛 _{𝑏𝑏 =} 𝑛𝑛 _{𝑎𝑎 · 𝑏𝑏, com 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ} + e 𝑛𝑛 ∈ ℕ, com 𝑛𝑛 ≥ 2 𝑛𝑛 _𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 _𝑎𝑎 𝑛𝑛 _𝑏𝑏 ou 𝑛𝑛 𝑎𝑎: 𝑛𝑛 𝑏𝑏, com 𝑏𝑏 ≠ 0.

Números reais (páginas 77 a 90, Volume 1)

MATEMÁTICA

Radicais

2ª propriedade

4ª propriedade

3ª propriedade

1ª propriedade

Números reais (páginas 77 a 90, Volume 1)

MATEMÁTICA

Radicais

2ª propriedade

4ª propriedade

3ª propriedade

1ª propriedade

(18)

Atividade 8

Simplifique cada um dos radicais inseridos abaixo: a) b) c) d) e) f) MATEMÁTICA

Atividade 8

Simplifique cada um dos radicais inseridos abaixo:

ሻ

3

216 ሻ

2 2

512 ሻ

3

343 ሻ

5

_0,01024

ሻ

3 2

8192

ሻ

31₈₁

(19)

Triângulo retângulo (páginas 2 a 15, Volume 2)

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados

dos catetos, ou seja, a2_{= b}2_{+ c}2

Relações derivadas da semelhança entre os

triângulos:

∆ABC ~ ∆HBA ~ ∆HAC b2_{= a · m} c2_{= a · n} h2_{= m · n} a · h = b · c a = m + n Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras

(20)

Atividade 9

Uma antena foi fixada no solo por cabos de aço que estavam a 5 metros de

distância da antena, no próprio solo. Se a antena possui 12 metros e os cabos foram presos no seu topo, qual o tamanho de cada cabo?

12m 5m ©Shutt erst ock /Charact erF amily

(21)

Triângulo retângulo (páginas 16 a 27, Volume 2)

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno Cosseno Tangente

MATEMÁTICA

Triângulo retângulo (páginas 16 a 27, Volume 2)

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno:

sen α = cateto oposto_hipotenusa

Cosseno:

cos α = cateto adjacente_hipotenusa

Tangente:

tg α = _{cateto adjacente}cateto oposto

Seno

Cosseno

Tangente

ICO: imagens das páginas 17 (corrigir conforme alterado) e 22

MATEMÁTICA

Triângulo retângulo (páginas 16 a 27, Volume 2)

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno:

Cosseno:

Tangente:

Seno

Cosseno

Tangente

MATEMÁTICA

Triângulo retângulo (páginas 16 a 27, Volume 2)

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno:

Cosseno:

Tangente:

Seno

Cosseno

Tangente

(22)

Atividade 10

Uma pessoa está observando um avião com um ângulo de 30° com o solo. Se o avião está a 3 km de altura, a que distância, em linha reta do avião, está essa pessoa?

(23)

Polígonos regulares, círculo e circunferência

(páginas 28 a 43, Volume 2)

Quadrado: 𝑎𝑎 = 𝑅𝑅 2 % 2 ℓ = 𝑅𝑅 2% Hexágono: 𝑎𝑎 =𝑅𝑅 3 % 2 ℓ = 𝑅𝑅 Triângulo: 𝑎𝑎 =𝑅𝑅₂ ℓ = 𝑅𝑅 3% Quadrado: ℓ = 2𝑅𝑅 𝑎𝑎 = 𝑅𝑅 2% Hexágono: 𝑎𝑎 = 𝑅𝑅 𝑅𝑅 = ℓ 3 % 2 Triângulo: 𝑎𝑎 = 𝑅𝑅 𝑅𝑅 = ℓ 3 % 6 Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígonos regulares circunscritos na circunferência

(24)

Atividade 11

O raio de uma circunferência mede 12 cm e, dentro dela, há um triângulo equilátero inscrito. Qual a medida do lado deste triângulo?

(25)

Polígonos regulares, círculo e circunferência

(páginas 50 a 53, Volume 2)

𝛽𝛽 = 𝛼𝛼 2 𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝐴𝐴𝐴𝐴+ ) Elementos da circunferência Ângulo central Raio Corda Diâmetro OD e OC CD CD e AB

(26)

Atividade 12

MATEMÁTICA

Atividade 12

Qual a medida dos arcos ෢

_{AC, ෢}

_{BC e ෢}

_{AB, sabendo que o ângulo A෡BC mede 72° e o}

ângulo B෡AC mede 30°?

(27)

Expressões algébricas e equações de 2º grau

(páginas 60 a 66, Volume 2)

Qual a área do quadrado ABCD? Qual a área do quadrado GCHI? Qual a área da superfície laranja? Produtos notáveis Quadrado da soma

Produto da soma pela diferença Quadrado da diferença

(x + y)2_{= x}2_{+ 2 · x · y + y}2

(x – y)2_{= x}2_{– 2 · x · y + y}2

(28)

Atividade 13

Desenvolva os polinômios de cada uma das áreas requeridas, utilizando produtos notáveis:

(29)

Expressões algébricas e equações de 2º grau

(páginas 67 a 77, Volume 2)

Fator comum Fatoração Trinômio quadrado perfeito Diferença de dois quadrados Agrupamento Colocar em evidência os

termos comuns (coeficientes e parte literal)

Ex.: 3x2_{y + 9x = 3x · (xy + 3)}

Extrair a raiz dos extremos e testar o termo central Ex.: 9x2_{+ 30x + 25 = (3x + 5)}2

Colocar em evidência os termos comuns (por grupos)

Ex.: 3x – 4xy + 9 – 12y = x · (3 – 4y) + 3 · (3 – 4y) = (3 – 4y) · (x + 3)

Forma reduzida: 4x3_{+ 8x}2_y

Forma fatorada:

Extrair a raiz dos termos e montar o produto da soma pela diferença

(30)

Atividade 14

Faça a fatoração de cada um dos polinômios a seguir, utilizando o método mais adequado. a) 16x3_y4_{+ 24x}2_y5 b) a2_{– 4a + 4} c) 9m2_{– 25} d) 25p2_{q – 5pq + 10p}2 e) 4x3_{– 6x}2_{y + 4xy – 6y}2 f) 121 – m6 g) 25 + 40xy + 16x2_y2

(31)

Expressões algébricas e equações de 2º grau

(páginas 78 a 90, Volume 2)

Soma e produto: 𝑆𝑆 = #$_% e 𝑃𝑃 = _%' Fórmula resolutiva: ∆ = 𝑏𝑏+ − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 = −𝑏𝑏 ± ∆ 2 2𝑎𝑎 Incompleta em b: Isola a incógnita Raízes simétricas Incompleta em c: Fatora o polinômio

Iguala cada termo a zero

∆ > 0: duas raízes reais e distintas ∆ = 0: duas raízes reais e iguais ∆ < 0: nenhuma raiz real Equações completas Estudo do ∆ Termos Equações incompletas ax2_{+ bx + c = 0, com a ≠ 0} a coeficiente de x2 b coeficiente de x c termo independente de x Equações de segundo Grau

(32)

Atividade 15

MATEMÁTICA