Abstract— This paper proposes to extend the discrete Verhulst power equilibrium approach, previously suggested in [1], to the power-rate optimal allocation problem. Multirate users associated to different types of traffic are aggregated to distinct user classes, with the assurance of minimum rate allocation per user and QoS. Herein, Verhulst power allocation algorithm of [1] was adapted to the DS-CDMA jointly power-rate control problem. The analysis was carried out taking into account static and dynamic channels, as well as the convergence time (number of iterations), quality of solution, in terms of the normalized mean squared error (NSE), when compared to the analytical solution based on interference matrix inversion, and the solution given by classical Foschini algorithm [2] as well, besides the computational complexity analysis.
Keywords— Resource allocation, power-rate control, SISO
multirate DS-CDMA, discrete Verhulst equilibrium equation, QoS.
I. INTRODUÇÃO
ARA atender a exigência de novos serviços de comunicações que demandam maior largura de banda, disponibilidade e mobilidade, muitos esforços têm sido empregados no sentido de encontrar melhores algoritmos para alocação de recursos, facilmente aplicáveis a sistemas de comunicação de acesso múltiplo por divisão de código com sequência direta (DS/CDMA, direct sequence code division multiple access). A fim de satisfazer estas necessidades, algoritmos de controle de potência distribuídos (DPCA, distributed power control algorithm) têm sido propostos nas últimas décadas, como por exemplo, o trabalho de Miljanic e Foschini [2], o qual pode ser considerado o fundamento de vários outros DPCAs.
Em [1], o modelo matemático de Verhulst, concebido com o intuito de descrever o crescimento populacional de espécies biológicas com restrição de alimento e de espaço físico [3], foi adaptado para a criação de um DPCA aplicado a sistemas DS/CMDA unitaxa. Esse trabalho foi o primeiro a propor uma adaptação da equação do equilíbrio de Verhulst para o problema de alocação de recursos em sistemas DS/CDMA.
No cenário atual de telecomunicações, as redes de múltiplo acesso são fundamentais para atender novos serviços do tipo
L. D. H. Sampaio, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, [email protected]
M. F. Lima, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, [email protected]
M. L. Proença Jr., Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, [email protected]
T. Abrão, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, [email protected]
quadri-play, composto por voz, vídeo, dados e mobilidade [4]. Neste tipo de rede, a utilização eficiente dos recursos de sistema, principalmente espectro e energia (autonomia das baterias nas unidades móveis), é de fundamental importância, tanto para a receita das empresas de telecomunicações quanto para a satisfação do consumidor de serviços.
Desta forma, neste trabalho, o DPCA proposto em [1] foi estendido para o problema de alocação de recursos em sistemas DS/CDMA multitaxa atendendo os distintos requisitos de qualidade de serviço (QoS, quality of service), relativos às diferentes classes de usuários, o que aproxima o DPCA proposto das necessidades atuais de mercado das redes DS/CDMA.
Este artigo está organizado da seguinte forma: a seção II. fornece uma visão geral da solução clássica para o problema do controle de potência em sistemas de múltiplo acesso de taxa única e como tal solução é adaptada ao problema multitaxa. Na seção III. é sugerido o algoritmo de alocação de taxa e potência baseado na equação discreta de Verhulst, originalmente proposto para prever o crescimento populacional de indivíduos sob restrição de recursos. Resultados numéricos e respectivos parâmetros de simulação são discutidos na seção IV. Finalmente, as principais conclusões são apresentadas na seção V.
II. OPROBLEMA DA ALOCAÇÃO ÓTIMA DE POTÊNCIA E TAXA
Em um sistema de múltiplo acesso, tal como o DS/CDMA, o problema do controle de potência é de grande importância para que o sistema atinja expressiva capacidade (No contexto explorado neste trabalho, capacidade e throughput são empregados para expressar a quantidade total de bits ou símbolos por segundo que o sistema suporta em equilíbrio.). O problema do controle de potência pode ser resolvido por um vetor que contém potências mínimas a serem atribuídas na próxima iteração para cada usuário ativo, a fim de atingir a qualidade de serviço (QoS) mínima, medida pela razão entre a potência da portadora do usuário de interesse pela interferência total (CIR, carrier to interference ratio).
Em sistemas de comunicação sem fio de múltiplo acesso, a taxa de erro de bit (BER, bit error rate) é frequentemente utilizada como forma de medir o QoS. Uma vez que a BER está diretamente associada à relação sinal-interferência mais ruído (SNIR, signal to noise plus interference ratio), torna-se possível utilizar o SNIR como parâmetro de avaliação da QoS. Desta forma, associando-se o SNIR, referente ao slot temporal resulta:
L. D. H. Sampaio, M. F. Lima, M. L. Proença Jr. and T. Abrão
Power-Rate Allocation in DS-CDMA Systems
Based on Discretized Verhulst Equilibrium
[ ] = [ ]× Γ [ ], = 0,1, … , (1) Onde é o SNIR do -ésimo usuário na -ésima iteração, é a taxa de chip, [ ] é a taxa de dados para o usuário Γ [ ] é o CIR do usuário na iteração , e é o número máximo de iterações.
Observa-se que em sistemas DS/CDMA multitaxa com múltiplos ganhos de processamento (MPG, multiple
processing gain), cada classe de usuários é caracterizada por um ganho de processamento > 1 específico, definido em função da taxa de chip:
= ℓ, ℓ = 1,2, … , (2)
sendo o número total de classes de usuários no sistema (voz, dados, vídeo, etc). Assim, em sistemas de múltiplo acesso do tipo MPG-DS/CDMA, a SNIR para a ℓ-ésima classe de usuários e a CIR estão relacionadas pelo ganho de processamento relativo àquela classe de serviço, ℓ= ℓ× Γ .
Com base em (1), torna-se possível calcular a taxa de dados para o usuário na iteração .
[ ] = [ ]× Γ [ ], = 1,2, … , (3)
A CIR para o -ésimo usuário pode ser calculada como [1][5]:
Γ [ ] = [ ] [ ]
∑ [ ] [ ] + , = 1,2, … , (4)
onde [ ] é a potência designada ao -ésimo usuário no slot temporal , sendo limitada por [ ; ]; o ganho de canal, incluindo perda de percurso, desvanecimento, e sombreamento, entre o usuário e o usuário (ou estação rádio base) é identificado por ; é o número de usuários ativos no sistema, e = = é a potência média do ruído aditivo branco Gaussiano (AWGN, additive white Gaussian noise) à entrada do -ésimo receptor, admitida idêntica para todos usuários. Portanto, em sistemas DS/CDMA multitaxa, a CIR mínima para se alcançar a taxa mínima pode ser calculada para cada usuário como segue [6]:
Γℓ = ℓ ∗, ℓ = 1,2, … , (5)
onde Γℓ e ℓ são a CIR mínima e a taxa mínima do
usuário associado à ℓ-ésima classe de serviço, respectivamente; ∗ é a SNR mínima (ou alvo) para que o
sistema alcance a BER mínima aceitável1.
Além disso, a potência alocada para o -ésimo usuário
1 Em problemas de alocação de potência, taxa e medida de qualidade de
serviço, a taxa de erro de bit, símbolo ou quadro e a QoS são figuras de mérito intercambiáveis.
pertencente à ℓ-ésima classe na -ésima iteração é expressa por:
ℓ[ ], = 1,2, … , ; ℓ = 1,2, … , . (6)
Consequentemente, o número total de usuários ativos no sistema é dado por = ∪ … ∪ ℓ∪ … ∪ . Note que os
índices associados aos usuários foram designados pela concatenação das taxas ascendentes das diferentes classes de usuários. Assim, identifica o número de usuários pertencente à classe de serviço (1) caracterizada pela taxa de bits mais reduzida, enquanto identifica o número de usuários da classe de serviço ( ) com taxa de informação mais elevada.
A matriz de ganho, de dimensão × , considerando perda de percurso, sombreamento e desvanecimento, entre o usuário
e o usuário (ou estação rádio base) é dada por:
= ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ,
a qual pode ser assumida estática ou dinâmica durante a janela de otimização ( slots temporais).
A otimização da potência em sistemas CDMA multitaxa, tendo em vista garantir a taxa mínima para cada usuário pertencente à mesma classe de serviço, encontra conexão direta na equação da capacidade de Shannon, associando-se o CIR mínimo à taxa mínima em cada classe de usuário:
Γℓ = 2 ℓ − 1 (7)
Considerando a matriz de interferência, dimensão × :
=
0, =
Γ, , ≠ (8)
sendo Γ, obtido de (5), tendo em conta o requisito de
taxa de cada classe, e os seguintes vetores coluna × 1:
=Γ, , (9)
pode-se obter analiticamente o vetor de alocação de potência ótimo simplesmente através da inversão de matriz:
∗= ( − ) (10)
se e somente se o maior autovalor de for menor que 1 [7]; é a matriz identidade × . Satisfeita essa restrição, o problema de controle de potência é realizável.
Aqui, o problema clássico de controle de potência é estendido para incorporar o critério multitaxa, no sentido de garantir a taxa mínima de dados a cada uma das classes de
serviços (ou de usuários). Matematicamente, deseja-se resolver o seguinte problema de otimização:
min = … , … , ℓ… ℓ ℓ , … , … restr. ℓ ≤ ℓ≤ ℓ ℓ= ℓ , ∀ ∈ ℓ, e ℓ = 1,2, … , (11)
III. OTIMIZAÇÃO DE POTÊNCIA-TAXA VIA VERHULST
O modelo matemático de Verhulst foi primeiramente idealizado para descrever a dinâmica populacional com base na limitação de alimentos e espaço. Em [1] esse modelo foi adaptado ao problema de controle de potência distribuído em sistemas DS/CDMA unitaxa, sendo estendido aqui para incorporar os requisitos de sistemas MPG-CDMA multitaxas. Neste sentido, obtém-se a seguinte equação discreta iterativa:
ℓ[ + 1] = (1 + ) ℓ[ ] − ℓ[ ] ∗ ℓ[ ] restr. ℓ ≤ ℓ≤ ℓ ℓ= ℓ , ∀ ∈ ℓ, e ℓ = 1,2, … , (12)
sendo ℓ a potência do usuário pertencente à classe ℓ, ℓ e ℓ a potência mínima e máxima, respectivamente, possíveis
de serem alocadas aos usuários da classe ℓ. [ ] e [ + 1] referem-se à -ésima e ( +1)-ésima iteração; ∈ (0,1], é o fator de convergência de Verhulst, ℓ[ ] é a SNIR do -ésimo usuário pertencente à ℓ-ésima classe na iteração , ∗ é a SNR
mínima para o -ésimo usuário (assumida idêntica para todos os usuários pertencentes à ℓ-ésima classe de serviço) que garante um QoS mínimo em termos de taxa de erro de bit ou símbolo. Tendo em vista não sobrecarregar a notação, sempre que possível nas discussões que se seguem, será omitido o sobrescrito ℓ que identifica a classe de usuários.
A recursão (12) pode ser efetivamente implementada na i-ésima unidade móvel uma vez que todos os parâmetros necessários ( , QoS deteterminado por ∗ e a potência
transmitida no slot anterior, [ ]), exceto [ ], podem ser considerados conhecidos na unidade móvel . O SINR [ ] só pode ser obtido na estação base correspondente que demodula o sinal do usuário . Desta forma, a estação base estima [ ], quantiza o correspondete valor em um número conveniente de bits, e transmite essa informação para o -ésimo usuário através do canal direto. Assim, (12) depende apenas de parâmetros locais, permitindo que o controle de potência possa ser implementado de forma distribuída, ou seja, em cada um dos enlaces reversos (terminais móveis para estação base) o controle de potência é operado separadamente, justificando a designação de algoritmo de controle de potência distribuído, DPCA.
A equação (12) fornece uma atualização de potência recursiva, próxima à solução ótima após iterações. No entanto, originalmente em [1], não foram considerados os requisitos de taxa relativos ao ambiente multitaxa. Para alcançar o QoS de cada classe de usuário, (12) foi adaptada para alcançar o equilíbrio lim → ,
∀ ∈ ℓ
[ ] = ∗ quando a
potência alocada para cada usuário satisfaz a restrição de taxa mínima para cada classe de serviço, ℓ = ℓ . Assim, a
equação recursiva foi reescrita considerando o SNIR por classe de usuário, através de (1), a fim de incorporar um cenário multitaxa.
Neste cenário, a CIR mínima por classe de usuário é obtida diretamente por (5). Desta forma, considerando a relação entre o CIR e SNIR em um contexto DS/CDMA multitaxa, propõe-se a equação abaixo, a fim de solucionar iterativamente o problema de otimização em (11) ou (12):
ℓ[ ] = ℓ × Γ
[ ] ℓ = 1, … ,
= ℓ× [ ] [ ]
∑ [ ] [ ] + , = 1, … , (13)
sendo ℓ o máximo ganho de processamento referente à
ℓ-ésima classe de usuários:
ℓ =
ℓ (14)
Note que a CIR do -ésimo usuário na -ésima iteração é ponderada pelo fator de espalhamento; assim, a SNIR correspondente é inversamente proporcional à taxa de dados associada à ℓ-ésima classe de usuários.
A. Qualidade da Solução × Tempo de Convergência
A qualidade da solução alcançada pela equação iterativa de Verhulst (12) é medida por quão próximo o vetor [ ] está da solução ótima, e pode ser quantificada por meio do erro quadrático médio normalizado (NSE, normalized squared error), quando o equilíbrio é alcançado. A definição do NSE é dada por:
[ ] = ‖ [ ] −‖ ∗‖ ∗‖ ,
onde ‖⋅‖ denota a distância Euclidiana quadrática para a origem, e o operador esperança estatística.
Por outro lado, a velocidade de convergência da equação de Verhulst é ditada pelo parâmetro . Assim, para valores pequenos, ou seja, → 0, a convergência é lenta, mas o NSE após a iteração é bem menor quando comparado à configuração oposta: a convergência é rápida quando → 1, mas o NSE cresce.
Tendo em vista acelerar a convergência, propomos dois critérios adaptativos para o fator de convergência (em função da evolução do número de iterações), baseados em a) diferença entre SNIR e SNR alvo; b) mapeamento tangente hiperbólica para essa diferença, como segue:
a) [ ] = min ;| [ − 1] −∗ ∗|+ , (15)
b) [ ] = max ; tanh(| [ − 1] − ∗|) , (16)
IV. RESULTADOS NUMÉRICOS
Tendo em vista comprovar a validade do método de otimização proposto, simulações numéricas foram realizadas utilizando plataforma MatLab ver.7.3. O principais parâmetros de sistema, canal e do algoritmo de controle de potência-taxa proposto estão indicados na Tabela I.
Para todos os resultados discutidos nesta seção, assumiu-se geometria multi-célula retangular, [(0; ); (0; )], com um número de estações rádio-base igual a $4$ e terminais móveis uniformemente distribuídos em cada dimensão espacial. Uma configuração espacial típica para os terminais móveis (mt, mobile terminals) e estações-base (BS, base stations) é mostrada na Fig. 1. Adicionalmente, foram consideradas três taxas, submúltiplas da taxa de chip, para a alocação de taxa dos usuários: = ; ; [bps]. Adotou-se um número de terminais móveis na faixa de = 5 até 30.
Figura 1. = 25 Terminais móveis e 4 estações-base localizados em uma célula com geometria retangular de 25 .
Todos os enlaces mt-BS estão sujeitos a desvanecimentos lentos, ou seja, a seguinte relação é sempre satisfeita:
< (Δ ) ≈ 1 (17)
onde é a duração do slot temporal, e (Δ ) é o tempo de coerência do canal2 e é a máxima freqüência Doppler, diretamente proporcional à velocidade do terminal móvel. Nesta condição, cada atualização de potência realizada pelo
DPCA ocorre com taxa , assumida aqui igual a =
1500 atualizações por segundo. iterações são realizadas pelo algoritmo a cada segundos. A recursão em (12) deve convergir para o ponto ótimo antes que cada ganho de canal experimente mudanças significativas. Note que satisfazendo (17) as matrizes de ganho permanecem aproximadamente estáticas durante um intervalo do processo de convergência.
Em todas as simulações os valores da SNIR alvo foi fixada em = 4 ; a potência do ruído no receptor para todos os
2 Corresponde ao intervalo de tempo em que as características do canal
não sofrem variações expressivas.
usuários foi adotada igual a = −63 , e a matriz de ganho de canal possui valores intermediários entre aqueles utilizados em [8] e [6]. Os valores adotados para perda de percurso, sombreamento, desvanecimento Rice e máxima frequência Doppler estão indicados na seção Ganhos de Canal da Tabela I.
TABELA I
PARÂMETROS ADOTADOS NA ANÁLISE DO ALGORITMO DE CONTROLE DE POTÊNCIA-TAXA
Parâmetros Valores adotados
Sistema de alocação de taxa e potência DS/CDMA Potência do ruído = −63[ ]
Taxa de chip = 3,84 × 10 Taxa min. Signal-noise = 4 Potência max. por usuário = 20 Potência min. por usuário = [ ]
Slot Temporal = 666,7
# terminais móveis ∈ [5; 30] # estações-base = 4
Geometria da célula retangular, com = = 5 Distribuição dos term.
móveis ∼ [(0; ); (0, )]
Ganho de Canal perda de percurso ∝
sombreamento log-normal descorrel., = 6 desvanecimento Rice: [0,6; 0,4]
Freq. Doppler máx. = [11; 90]
Estimativas de erro = (1 + ) , onde ∼ [± ] = 0 ∶ 0,02 ∶ 0,2
Tipos de usuários
# classes de usuários = 3 (voz, dados, vídeo) Taxas para classes de us.
= 1 128; 1 32; 1 16 [ ] Algoritmo Alocação de Taxa-Potência de Verhulst
Tipo parcialmente distribuído
fator convergência, faixa [0,10; 0,95]
Janela de otimização ∈ [150; 800] iter. (Canal Estático) = 10 e = 45 iter. (Canal Dinâmico) Simulação Monte-Carlo
Número de trials, TR 100 realizações (Fig. 3)
Os resultados de simulação discutidos a seguir foram obtidos sob duas condições de canal:
a) canal estático, situação em que os coeficientes de canal permanecem constantes durante todo o processo de convergência ( iterações), i.e., por um período igual ou maior que ;
b) canal dinâmico: os coeficientes sofrem modificações conforme o tempo de coerência do canal, sendo observada a condição de desvanecimento lento
> (Δ ) da eq. (17) para as duas mobilidades adotadas, i.e., pedestre e veicular ( < 90 ). Observe-se que nesta condição procurou-se quantificar o menor número de iterações necessário à convergência em termos de NSE aceitável. Com isto, pôde-se avaliar a viabilidade de implementação do algoritmo de alocação de potência de Verhulst em sistemas multitaxas sob canais e condições realistas. Esta condição é analisada na subseção IV-D.
A. Desempenho e Convergência Típicos sob Diferentes 's O comportamento típico de convergência para canal estático, fixo, = 7 usuários multitaxa, com alocação de taxa aleatória e uniformemente distribuída entre três classes,
[1/128; 1/32; 1/16] [ ], é mostrada na Fig. 2, para CIR (dois gráficos superiores) e solução para alocação de potência (dois gráficos inferiores). Platô indica a convergência para o vetor de potência solução, e as linhas pontilhadas ( na legenda) indicam a solução analítica, i.e, o vetor de potência ótimo ∗, dado por (10). Observe a rápida convergência de todos os
usuários quando = 0,9, ou seja, ≈ 45 iterações, contra ≈ 150 para = 0,1. Evidentemente, a qualidade da solução nas duas situações são distintas, como discutido na próxima subsecção.
B. Desempenho sob Erros de Estimativas de Canal
Em um cenário real, as estimativas de SINR na BS não são perfeitas, no sentido de que os valores estimados apresentam uma característica de erro aleatório. A fim de incorporar esta característica, um erro aleatório é adicionado a cada elemento da matriz de ganho do canal, a cada iteração. A relação entre os valores estimados e verdadeiros de ganho de canal é dada por:
= (1 + )
sendo considerada uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [− ; ]. Nas simulações apresentadas, foram adotados valores para o erro de estimação na faixa de 0 a 0,2, em passos de 0,02.
1) Dependência da Qualidade da Solução em Termos de : Uma vez que temos alguma idéia de quão rápido o algoritmo de Verhulst atinge o equilíbrio para diferentes valores de , é importante determinar a qualidade da solução em termos do tempo de convergência. Para a mesma configuração de sistema da Fig. 2, obtemos na Fig. 3 a razão do NSE associado a diferentes fatores de convergência:
= ( = 0,9)
( = 0,1)=
( . )
( . ) (18)
Verifica-se na Fig. 3 que independentemente dos erros nas estimativas do canal , a qualidade da solução para ambos = 0,9 (convergência rápida) e = 0,1 (lenta) na região final das iterações ( > 170) mostra elevada similaridade ( ≈ 1), mas com uma ligeira vantagem em termos de convergência para = 0,1. Nesta região, para ambos os fatores de convergência, o algoritmo aproxima-se da solução ótima com mesma velocidade; como conseqüência, → 1. Inversamente, na região inicial, ou seja entre 23 e ≈ 120 iterações, o algoritmo com = 0,9 produz uma solução
muito melhor, resultando em ( = 0,9) ≪ ( =
0,1). Devido ao número insuficiente de iterações, o algoritmo não é capaz de alcançar a completa convergência para
= 0,1 para < 150.
Figura 3. Taxa de NSE considerando comportamento de convergência de potência rápido ( = 0,9) e lento ( = 0,1) de = 7 terminais móveis, e valores de erro de estimativa para ganho de canal. Gráfico inferior é uma ampliação em ∈ [21; 150].
Figura 2. CIR e convergência de potência para: = 7 , , = [120, 120, 240, 240, 30, 120, 30][ ]. = 0,1 0,9.
Portanto, a melhor escolha de valor para depende da limitação do número máximo de iterações. Se o número de iterações é uma preocupação, devido a limitações de processamento, hardware, combinados a um cenário de rapidez do canal, a escolha natural consiste em ajustar o fator de convergência o mais elevado possível, mesmo sacrificando a precisão da solução. Caso contrário valores baixos para produzem um NSE ligeiramente menor.
2) Qualidade da Solução como Função do Carregamento de Sistema:
A Fig. 4 mostra o comportamento do NSE médio após = 1000 iterações, quando tanto o erro nas estimativas do ganho de canal quanto o carregamento de sistema crescem; considerou-se = 10, 20 e 30 terminais móveis com diferentes realizações aleatórias para a distribuição em classes (usuários uniformemente distribuídos nas três taxas de dados, 30, 120 e 240 Kbps). O fator de convergência foi assumido como fixo = 0,2. Os valores médios para NSE foram obtidos sobre = 100 realizações de convergência para cada combinação de , e taxas de usuários.
Figura 4. Degradação do NSE como função do aumento no número de terminais móveis e dos erros nas estimativas do ganho de canal . Valores de NSE após = 1000 iterações; adotou-se = 0,2.
Observe ainda na Fig. 4 que os valores NSE são mais elevados para sistemas com baixos carregamentos ( = 10), mostrando um aumento na taxa de degradação da solução quando as estimativas dos erros de canal aumentam. Essa tendência encontra explicação por efeito da granularidade, ou seja, sob elevados carregamentos, a norma da distância entre a solução obtida e a ótima resulta em valores menores devido à granularidade, quando comparada aos casos de baixos carregamentos de sistema ( reduzido). Em termos de NSE, os erros nas estimativas de canal têm um efeito progressivo sobre a qualidade da solução.
C. Desempenho dos métodos de convergência adaptativos Tendo em vista acelerar a convergência do algoritmo, dois critérios adaptativos baseados na diferença de SNIR's foram sugeridos na seção III-A. Existem dois aspectos de desempenho importantes a serem analisados, considerando os métodos adaptativos sugeridos em contraponto ao algoritmo de fixo: tempo de convergência e qualidade da solução. Delimitado o menor fator em = 0,1, avalia-se a seguir o desempenho para os três métodos (ambos adaptativos, além
daquele com fixo) somente em termos de tempo de convergência.
Uma avaliação preliminar sobre a redução do tempo de convergência com a adoção do fator adaptativo pode ser obtida inspecionando-se a Fig. 5. Ambos gráficos foram obtidos sob as mesmas condições de canal, = 30 usuários e estimativas perfeitas para os ganhos de canal. Como esperado, a taxa de convergência, principalmente no início, é bastante melhorada. Podemos ver que o procedimento adaptativo
permite que o algoritmo proposto alcance a condição de total convergência 50% mais rápido em relação à abordagem clássica com = 0,1 fixo e mesma qualidade de solução em termos de NSE.
Figura 5. Comparação da convergência entre adaptativo usando a função tangente hiperbólica (direita) e o método clássico com fixo (esquerda). é obtida via inversão de matriz, eq.(10); é a mínima potência al ocada inicialmente e “Pot. Média”, é a potência média sobre os = 30 usuários alocada pelo algoritmo de Verhulst.
Para quantificar o efeito da adaptação do fator de convergência sobre o NSE ao longo das iterações, a Fig. 6 mostra o NSE e o NSER para cada número de iterações no intervalo de [0; 700], e considerando o mesmo cenário da Fig. 5. Note que para qualquer iteração, após as primeiras iterações ( > 100), o fator de convergência adaptativo proporciona um melhor desempenho de pelo menos uma década e meia, em termos de NSE. Especificamente, para > 200, o
( − ) ≈ 2 ⋅ 10 × ( = 0,1). Em
outras palavras, o método tanh com adaptativo proposto pode alcançar a mesma qualidade de solução que = 0,1 usando menos iterações, i.e., ≈ 140 menos iterações quando
> 100.
Tendo em vista determinar o melhor método adaptativo para o fator de convergência, entre os dois propostos, Eq. (15) e (16), pode-se comparar o NSE para ambos os métodos sob as mesmas condições de canal e sistema. A Fig. 7 mostra os resultados da simulação considerando = 30 usuários e = 0. Note que o mapeamento da tangente hiperbólica sempre resulta em valores mais baixos de NSE, embora esta diferença seja marginal. Portanto, para qualquer número de iterações a convergência da solução fornecida pelo método da
ℎ é melhor do que o mapeamento da diferença entre o SNR e o SNR alvo às custas de um maior esforço computacional consumido na avaliação função ℎ.
Figura 6. NSE e NSER para o método adaptativo com função tanh, tendo como referência = 0,1 fixo.
Figura 7. NSE para ambos métodos com -adaptivo. = 30 usuários
D. Desempenho e Convergência sob Canais Dinâmicos O comportamento do algoritmo de alocação de potência de Verhulst em termos de NSE e capacidade de acompanhar as mudanças do canal é analisado nesta subseção. Foram avaliados dois perfis de canal com desvanecimento Rayleigh: pedestre, cuja frequência Doppler máxima resultante para uma frequência de portadora de = 1,8 GHz é da ordem de
11 Hz e veicular, tipicamente com uma = 90 Hz. Assim, para um = 667 s, o canal pode ser considerado lento em termos de atualização das potências. Tendo em vista otimizar a velocidade de convergência, adotou-se o fator adaptativo baseado na tanh. Para efeito de comparação da qualidade da solução, considerou-se o desempenho do algoritmo clássico de Foschini [2]. Analisou-se a evolução do vetor de potência alocada para = 10 usuários distribuídos uniformente em três diferentes classes (taxas), ao longo de
500 ⋅ .
A Fig. 8 apresenta curvas típicas para ganho de canal, respectiva alocação de potência e o NSE Verhuslt e Foschini para o primeiro usuário, enquanto que a Fig. 9 apresenta valores médios para os = 10 usuários. Verifica-se a partir da Fig. 8 que a alocação de potência segue o sentido oposto ao desvanecimento instantâneo do canal, na tentativa de compensar tais desvanecimentos. Adicionalmente, nas duas condições de canal da Fig. 8, pedestre e veicular, o NSE de
Verhulst, instantâneo e médio (sobre 500 ⋅ ), resultou menor que o de Foschini. Os valores de N iterações são os mínimos necessários à obtenção de NSE menores que o de Foschini. Adicionalmente, considerou-se que no primeiro
ambos algoritmos são executados em uma janela de otimização de 300 iterações tendo em vista garantir uma convergência inicial mínima, e deste ponto em diante apenas acompanhar as mudanças no canal utilizando = 10 (pedestre) ou = 45 (veicular) iterações.
Figura 8. Ganho de canal, respectiva alocação de potência e o NSE Verhuslt -tanh comparado ao de Foschini para o usuário 1 (de usuários). Conjunto a) = 11 Hz e = 10 iterações; b) = 90 Hz e = 45 iterações
Na Fig 9 são apresentados resultados para a potência média alocada e o respectivo NSE médio sobre = 10 usuários, considerando duas mobilidades: a) pedestre e b) veicular. Tendo em vista aspectos de implementação e redução de complexidade, obteve-se o número de iterações mínimo por time slot, i.e., = 10 para o cenário pedestre e = 45 para o veicular necessário à obtenção de um menor NSE médio
sobre = 500 para o algoritmo de Verhuslt quando
comparado ao algoritmo clássico de Foschini [2], conforme indicado na Tabela II. Assim, uma vez que é necessário um pequeno número de iterações por slot temporal para se atingir qualidade na solução de alocação de potência com o algoritmo de Verhulst multitaxa, mesmo para canais do tipo veicular, pode-se facilmente estender a implementação do algoritmo para canais com desvanecimento rápido, obtendo-se a mesma qualidade na solução do vetor de potências alocada.
Figura 9. Potência alocada e NSE médios para Verhuslt com -tanh: média sobre os respectivos valores de = 10 usuários, considerando a) = 11 Hz e = 10 iterações por ; b) = 90 Hz e = 45 iterações por
.
TABELA II NSE MÉDIO SOBRE 500 ⋅
Pedestre Veícular = 11 Hz = 90 Hz
Foschini 4,38 ⋅ 10 4,25 ⋅ 10 Verhulst 3,54 ⋅ 10 3,95 ⋅ 10
º ./ 10 45
A partir da Tabela II e de resultados de simulação complementares (não mostrados aqui) é possível concluir que para um número de iterações maior que 10 no caso pedestre e maior que 45 no caso veicular, a diferença entre a qualidade da solução dada pelo algoritmo de Verhulst e a de Foschini tende a crescer, pois a velocidade com que a solução obtida por Verhulst se aproxima da solução ótima analítica obtida pela inversão da matriz de interferência é maior que a velocidade observada nas soluções apresentadas pelo algoritmo de Foschini
E. Complexidade Computacional
Em um método distribuído, cada enlance mt-BS realiza sua atualização separadamente, ou seja, o controle de potência é realizado por processadores em paralelo e cada um realiza apenas operações escalares. Assim, a análise pode ser reduzida ao estudo de uma iteração em cada terminal móvel. Portanto, comparando-se o algoritmo proposto e o clássico de Foschini [2], resultam na mesma complexidade.
Adicionalmente, tendo em vista estabelecer uma análise comparada de complexidade computacional entre algoritmo proposto e a abordagem da matriz analítica inversa, avalia-se o número de adições e multiplicações em função do número de terminais móveis interferentes ( − 1). Avaliou-se o número de operações necessárias à implementação das equações (12), (13) e (16) em cada terminal e a cada iteração, utilizando-se o algoritmo proposto com o método -tanh adaptativo. A Tabela III mostra o número de operações de adição e multiplicação executadas por iteração. As avaliações da função tanh por iteração foram admitidas operações de consulta a tabela (look-up table).
TABELA III
OPERAÇÕES POR ITERAÇÃO EXECUTADAS EM CADA TERMINAL MÓVEL PARA O ALGORITMO PROPOSTO.
Equação Operação Número de Operações
(12) Adições 2 Multiplicações 3 (13) Adições Multiplicações + 3 (16) Adições 1 Multiplicações 1
Assim, a complexidade computacional do algoritmo proposto é de ( + 1), onde é o número de iterações necessárias para a convergência. Comparando com o melhor caso de complexidade da operação de inversão de matriz, dada por [ ⋅ log( )] [9][10], o algoritmo proposto resulta em um redução razoável de complexidade sob a condição de elevado número de terminais móveis e requisito de NSE não é excessivamente apertado. Além disso, no método proposto, a complexidade pode ser controlada simplesmente especificando o NSE máximo admissível.
F. Análise de Convergência
Em [1] foi mostrado, a partir de 11 proposições, que o algoritmo de Verhulst para o problema do controle de potência DS/CDMA de taxa única tem sua convergência garantida. Para a extensão apresentada aqui, i.e., o caso de usuários DS/CDMA multitaxa, provar que o algoritmo de Verhulst converge para todos os casos práticos de interesse é uma simples, porém tediosa, tarefa de extensão das provas do caso unitaxa. Portanto não será mostrada aqui, bastando o leitor se remeter às respectivas provas das proposições apresentadas em [1].
V. CONCLUSÕES
Este artigo propôs um DPCA para sistemas multitaxas com fator de convergência adaptativo baseado na equação de equilíbrio de Verhulst. As simulações demonstraram que o algoritmo possui vantagem sobre a solução analítica. Adicionalmente, com a adoção do fator de convergência
adaptativo observou-se uma redução significativa de iterações necessárias à convergência.
Resultados numéricos de simulação indicam que o DPCA proposto é factível para resolver problemas práticos de alocação de recursos em sistemas DS/CDMA multitaxa, pois o mesmo mostrou-se eficiente inclusive sob a condição de canais dinâmicos, tendo sido necessárias poucas iterações por
para se atingir uma qualidade de solução razoável. Além disso, o algoritmo proposto apresenta melhor desempenho
que o algoritmo de Foschini para uma ampla faixa de mobilidade.
A abordagem do modelo de Verhulst utilizada para solução do problema de alocação de recursos em sistemas DS/CDMA possui grande potencial em termos de redução da complexidade computacional e qualidade da solução.
Trabalhos futuros incluem a alocação de potência e taxa para sistemas MIMO (multiple-input-multiple-output) CDMA, e a adaptação do equilíbrio discreto de Verhulst, com o objetivo de otimizar simultaneamente o consumo de potência e throughput do sistema.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho foi parcialmente financiado pela CAPES (bolsa DS), CNPq (Processo: 303426/2009-8) e FAP-Araucária (Convênio nº: 045/2007).
REFERÊNCIAS
[1] T. J. Gross, T.Abrão e P. J. E. Jeszensky, “Algoritmo de controle de potência distribuído fundamentado no modelo populacional de Verhulst,” em Revista da Sociedade Brasileira de Telecomunicacões, vol. 20, no. 2, 2006, pp.59–74.
[2] G. Foschini e Z. Miljanic, “A simple distributed autonomous power control algorithm and its convergence”, em IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol.42, no.4, pp.641–646, Nov. 1993.
[3] P. F. Verhulst, “Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement”, Corresp. Math. Phys., vol.10, pp.113–121, 1838. [4] A. Al-Hezmi, O. Friedrich, S. Arbanowski e T. Magedanz,
“Requirements for an ims-based quadruple play service architecture”, em IEEE Network, vol. 21, no. 2, pp.28–33, Março/Abril 2007. [5] M. Elmusrati e H.Koivo, “Multi-objective totally distributed power and
rate control for wireless communications”, em The 57th IEEE Semiannual Vehicular Technology Conference, VTC’03-Spring, vol.4, no.1, pp.2216–2220, Abril 2003.
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[9] G. H. Golub e C. F. V. Loan, "Matrix Computations". Maryland, USA: Johns Hopkins University Press, 1996.
[10] A. Tveit, “On the complexity of matrix inversion”, Mathematical Note, p. 1, November 2003, Trondheim, Norway.
Lucas Dias Hiera Sampaio received the B. S. degree
and the Masters degree in Computer Science at Londrina State University, Brazil, in 2008 and 2010, respectively. His research interests lie in the wireless communication networks, including resource allocation in DS/CDMA and 4G systems, MIMO systems, heuristic and optimization in CDMA networks.
Moisés Fernando Lima received the B.Sc degree and
the Masters degree in Computer Science from Londrina State University, Brazil, in 2008 and 2011, respectively. His research interests include management and security of networks, anomaly detection and 4G systems.
Mario Lemes Proença Jr. received the Ph.D. degree in
Electrical Engineering and Telecommunications from State University of Campinas (UNICAMP) in 2005. He received the title of M.Sc degree in Computer Science from the Informatics Institute of Federal University of Rio Grande do Sul (UFRGS), in 1998. He is currently an Adjunct Professor and leader of the group of research in computer networks of computer science department at State University of Londrina, Brazil. His research interests include Computer Network, Network Operations, Management and Security. For details, see http://lattes.cnpq.br/9511234560141062.
Taufik Abrão received the B. S., M. Sc. and Ph. D., all in Electrical Engineering from EPUSP - Escola Politécnica of University São Paulo, Brazil, in 1992, 1996, and 2001, respectively. He is currently an Associate Professor at the Electrical Engineering Department of UEL - State University of Londrina (Brazil). From 2007 to 2008, he was a visiting professor at TSC/UPC - Department of Signal Theory and Communications, Universitat Politécnica de Catalunya, Barcelona, Spain. His research interests include multi-user detection, MC-CDMA and MIMO systems, heuristic and optimization aspects of DS-CDMA systems and 4G systems. He is author or co-author of more than 90 research papers published in specialized periodicals and symposiums. http://www.uel.br/pessoal/taufik/ and http://lattes.cnpq.br/8709809037223235
