A G E N O R DIAS DE M E IRA J U N I O R

C U R S O D E P Ó S - G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A M E C Â N I C A D E S E N V O L V I M E N T O E A P L I C A Ç Ã O D O M É T O D O D A F U N Ç A O D E G R E E N L O C A L M O D I F I C A D O (MLGFM) P A R A S O L U Ç Ã O D E P R O B L E M A S D A E L A S T O S T Á T I C A T R I D I M E N S I O N A L D I S S E R T A Ç Ã O S U B M E T I D A À U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E S A N T A C A T A R I N A P A R A A O B T E N Ç Ã O D O G R A U DE M E S T R E E M E N G E N H A R I A M E C Â N I C A A G E N O R D I A S D E M E IRA J U N I O R F L O R I A N Ó P O L I S , D E Z E M B R O D E 1994

L O C A L M O D I F I C A D O (MLGFM) P A R A S O L U Ç A o D E P R O B L E M A S D A E L A S T O S T AtICA T R I D I M E N S I O N A L A G E N O R D I A S D E M E IRA J U N I O R E S T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A A D E Q U A D A P A R A A O B T E N Ç A o D O T l T U L O DE M E S T R E E M E N G E N H A R I A E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A M E C Â N I C A , Á R E A D E C O N C E N T R A Ç Ã O P R O J E T O E A N Á L I S E D E C O M P O N E N T E S M E C Â N I C O S , A P R O V A D A EM S U A F O R M A F I N A L P E L O C U R S O D E P Ó S - G R A D U A Ç A o E M E N G E N H A R I A M ECÂ N I C A . *Pp Cl*. C L O V Í S S P E R í T D E B A R C E L L O S , Ph.D. O r i e n t a d o r B A N C A E X A M I N A D O R A : A N T O N I O F Á B I O / C A R V A L H O D A SILVA, D r . E n g . M e c . C o o r d e n a d o r C A R L O S A L B E R T O ^ E /CAMPOS SELKE, Ph.D. P r e s iáente L '

,

R E N A T O B A R B I E R I , D r . E n g . M e c . E D I S O N D A R O S A ^ p r . ^ n g . M e c . T A N C R E D O W E S T P H A L J U N I O R ,U | .E n g . M e c .

A o Pro f. C l o v i s S p e r b de B a r c e l l o s , p e l a o r i e n t a ç ã o r e c e b i d a d u r a n t e a e x e c u ç ã o d e s t e tra ba lho.

A o Prof. E d i s o n da R o s a p e l a o r i e n t a ç ã o de m a t r í c u l a . Ao Eng. T a n c r e d o W e s t p h a l Jun ior, p e l a c o - o r i e n t a ç ã o e x t r a - o f i c i a l e p e l a s a t i v i d a d e s de " p r o c u r a d o r " e x e r c i d a jun to à s e c r e t a r i a do cu rs o. Ao Eng. R e n a t o B a r b i e r i p e l a sua c o n t r i b u i ç ã o na s o l u ç ã o de p r o b l e m a s r e l a t i v o s ao M F G L M . A o Eng. M a r c o A n t o n i o L u e r s e n , p e l o s u p o r t e c o m p u t a c i o n a l e p e l a s c o n t r i b u i ç õ e s d a d a s d u r a n t e o d e s e n v o l v i m e n t o d e s t e t r a b a l h o . Ao s c o l e g a s d o " G r e e n T e a m " : C a r i o G i u s e p p e F i l i p p i n , M a r c e l o M a l d a n e r e P a b l o A n d r é s Mufioz Roja s , p e l a s su as c o n t r i b u i ç õ e s p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d e s t e t rabalho. A t o d o s os a m i g o s e c o l e g a s de t rabalho, p a r t i c u l a r m e n t e , G e r a l d o B e l m o n t e , A r m a n d o de Sá Jr., J u c é l i o T o m á s P e r e i r a e R o g é r i o M a r c z a k . À U n i v e r s i d a d e de P a s s o Fundo, por i n t e r m é d i o d a p e s s o a do Prof. L u i s F e r n a n d o P r e s t e s , D i r e t o r d a F a c u l d a d e de E n g e n h a r i a , p e l o i n c e n t i v o n a r e a l i z a ç ã o d e s t e trab a l h o . A o s c o l e g a s p r o f e s s o r e s Z a c a r i a s C h a m b e r l a i m e R u b e n s S t u g i n s k y Jún io r, p e l o s u p o r t e c o m p u t a c i o n a l n a e t a p a d e s t e t r a b a l h o r e a l i z a d a e m P a s s o Fundo.

C A P Í T U L O 1 - R E V I S Ã O B I B L I O G R Á F I C A 1.1- C A R A C T E R Í S T I C A S E P R I N C Í P I O S F U N D A M E N T A IS D O M É T O D O D A F U N Ç Ã O D E G R E E N L O C A L M O D I F I C A D O ( M F G L M ) ... 1 1.2- H I S T Ó R I C O E A P L I C A Ç Õ E S ... 2 C A P Í T U L O 2 - F O R M A L I S M O D O M É T O D O D A F U N Ç Ã O D E G R E E N L O C A L M O D I F I C A D O (MFGLM) 2 . 1 - F O R M U L A Ç Ã O D O M F G L M ... 14 2.2- D I S C R E T I Z A Ç Ã O D O D O M Í N I O E D O C O N T O R N O ... 19 2.3- A P R O X I M A Ç Ã O N U M É R I C A P E L O S M É T O D O S D O S E L E M E N T O S F I N I T O S E D O S E L E M E N T O S D E C O N T O R N O ... 21 C A P Í T U L O 3 - F O R M A L I S M O D O M É T O D O D A F U N Ç Ã O D E G R E E N L O C A L M O D I F I C A D O (MFGLM) A P L I C A D O A E L A S T O S T Á T I C A T R I D I M E N S I O N A L 3 . 1 - I N T R O D U Ç Ã O ... 30 3 . 2 - E Q U A Ç Õ E S D A E L A S T O S T Á T I C A ... .. 30 3 . 2 . 1 - E q u a ç S e s de N a v i e r ... .. 30 3 . 3 - D E T A L H A M E N T O D O F O R M A L I S M O D O M F G L M A P L I C A D O À E L A S T O S T Á T I C A T R I D I M E N S I O N A L .. 34 3 . 3 . 1 - E q u a ç õ e s d o P r o b l e m a C l á s s i c o de N e u m a n n ... .. 34 3 . 3 . 2 - E l e m e n t o s de C o n t o r n o e E l e m e n t o s F i n i t o s ... .. 36 3 . 3 . 3 - A p r o x i m a ç ã o das P r o j e ç õ e s da F u n ç ã o de G r e e n G d(P ) e G d ( p ) ... .. 38 3 . 3 . 4 - A p r o x i m a ç ã o das P r o j e ç õ e s da F u n ç ã o de G r e e n G c (P ) e G c (p ) ... .. 42

A U X I L I A R D E E L E M E N T O S D E C O N T O R N O ... 46

3 . 5 - E L E M E N T O H I E R Á R Q U I C O (HE XAED RO, D E O R D E M p = 1 A T É p=5) 51 3 . 5 . 1 - E s p a ç o das F u n ç õ e s H i e r á r q u i c a s ... 51 3 . 5 . 2 - F u n ç õ e s H i e r á r q u i c a s ... 52 3 . 6 - E L E M E N T O H I E R Á R Q U I C O ( Q U A D R I L Á T E R O , D E O R D E M p=l A T É p= 5) ... 55 3 . 6 . 1 - F u n ç õ e s H i e r á r q u i c a s ... 55 3.7- C O N D I Ç Õ E S D E C O N T O R N O ... 56 3 . 8 - C O N D I Ç Õ E S D E C O N T O R N O A P L I C A D A S A N Ó S H I E R Á R Q U I C O S ... 57 3.9- C A R G A S N O D A I S S O B R E S U P E R F Í C I E S C U R V A S C O M T R A Ç Ã O ... A P L I C A D A ... 58 C A P Í T U L O 4 - A P L I C A Ç Õ E S 4 . 1 - I N T R O D U Ç Ã O ... 60 4 . 2 - P R O B L E M A 1: B A R R A P R I S M Á T I C A SOB T R A Ç Ã O U N I F O R M E ... 61 4 . 3 - P R O B L E M A 2: B L O C O S U B M E T I D O A C I S A L H A M E N T O S I M P L E S ____ 66 4 . 4 - P R O B L E M A 3: F L E X Ã O D E U M A V I G A C U R T A U N I F O R M E M E N T E C A R R E G A D A ... 69 4.5- P R O B L E M A 4: C I L I N D R O D E P A R E D E E S P E S S A C O M P R E S S Ã O I N T E R N A ... 77 4 . 6 - P R O B L E M A 5: F L E X Ã O D E U M A V I G A C U R V A P O R U M A F O R Ç A N A SUA E X T R E M I D A D E ... 83 4 . 7 - P R O B L E M A 6: F L E X A o P U R A D E U M A V I G A P R I S M Á T I C A ... 90 4 . 8 - C O N C L U S Ã O ... 96 C A P Í T U L O 5 - C O N C L U S Õ E S E S U G E S T Õ E S ... 97 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S ... 100 A P Ê N D I C E A - D E D U Ç Ã O D A E Q U A Ç Ã O ( 3 . 3 4 ) ... 108

t e r p o l a çAo H I E R Á R Q U I C A S ... 111 B . 1- N U M E R A Ç A o D A S F U N Ç Õ E S D E I N T E R P O L A Ç Ã O H I E R Á R Q U I ­ C A S T R I D I M E N S I O N A I S ... 111 B . 2 - C O N S T R U Ç Ã O D A S F U N Ç Õ E S D E I N T E R P O L A Ç Ã O H I E R Á R Q U I ­ C A S T R I D I M E N S I O N A I S ... 116 B . 3 - C A R A C T E R Í S T I C A S D A S F U N Ç Õ E S DE I N T E R P O L A Ç Ã O H I E R Á R Q U I ­ C A S ... 121 B . 4 - N U M E R A Ç Ã O D A S F U N Ç Õ E S D E I N T E R P O L A Ç Ã O B I D I M E N S I O N A I S . . 122 B . 5 - C O N S T R U Ç Ã O D A S F U N Ç Õ E S D E I N T E R P O L A Ç Ã O B I D I M E N S I O N A I S H I E R Á R Q U I C A S ... 124

C A P Í T U L O 4 T A B E L A 1. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ... 2. D e s l o c a m e n t o s ... 3. T e n s õ e s de r e a ç ã o ... 4. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ... 5. T e n s õ e s <t33 (no p l a n o A B C D ) ... 6. D i s t o r ç ã o H23 ... 7. T e n s ã o de c i s a l h a m e n t o t__ ... 23 8. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ... 9. D e f l e x ã o m á x i m a , d ... 10. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ... 11. C o m p a r a ç ã o dos r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l o M F G L M c o m a s o l u ç ã o a n a l i t i c a e M E F ... 12. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o p a r a v i g a c u r v a e m b a l a n ç o ... 13. D e s l o c a m e n t o r a d i a l no raio m é d i o da e x t r e m i d a d e livre.. 14. T e n s õ e s n o r m a i s n o e n g a s t e ... 15. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o p a r a f l e x ã o p u r a ... 16. T e n s õ e s p a r a v i g a sob f l e x ã o p u r a ... 17. D e s l o c a m e n t o s p a r a n ó s dos v é r t i c e s p a r a v i g a sob f l e x ã o p u r a ... ... 18. C o m p a r a ç ã o dos e r r o s ... 64 65 66 67 68 68 68 73 74 81 82 88 88 89 93 94 95 95

C A P Í T U L O 3 1. C o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ... 2. E l e m e n t o s u t i l i z a d o s p a r a d i s c r e t i z a ç ã o da m a l h a a u x i l i a r de e l e m e n t o s f i n i t o s ... 3. E l e m e n t o s u t i l i z a d o s p a r a d i s c r e t i z a ç ã o da m a l h a a u x i l i a r de e l e m e n t o s de c o n t o r n o ... 4. M a l h a a u x i l i a r de e l e m e n t o s f i n i t o s e m a l h a a u x i l i a r de e l e m e n t o s de c o n t o r n o p a r a u m a b a r r a de s e ç ã o r e t a n g u l a r 5. a) E l e m e n t o h e x a é d r i c o p a d r ã o ... ... b) E l e m e n t o q u a d r i l á t e r o p a d r ã o ... 6. E l e m e n t o de r e f e r ê n c i a ... 7. F a c e Ç=1 de u m e l e m e n t o s ó l i d o line ar ... C A P Í T U L O 4 8. B a r r a p r i s m á t i c a sob t r a ç ã o u n i f o r m e ... 9. D i s c r e t i z a ç ã o do d o m í n i o ... 10. D e f o r m a ç ã o p r e v i s t a ... ... 11. B l o c o s u b m e t i d o à c i s a l h a m e n t o s i m p l e s r=40 ... 12. V i g a c u r t a sob f l e x ã o ... 13. M a l h a s u t i l i z a d a s p a r a s o l u ç ã o do p r o b l e m a 3 ... 14. D i a g r a m a de c o n v e r g ê n c i a ( M F G L M ) ... 15. D i a g r a m a de c o n v e r g ê n c i a ( M F G L M ) ... 16. C o m p a r a ç ã o e n t r e c u r v a s de c o n v e r g ê n c i a ( M F G L M ) ... 17. C i l i n d r o v a z a d o ... 35 48 49 50 52 52 56 58 61 63 63 67 70 72 76 76 77 77

18. C i l i n d r o c o m p r e s s ã o i n t e r n a p j ... .79 19. D i s c r e t i z a ç ã o do d o m i n i o ... .81 20. V i g a c u r v a e m b a l a n ç o ... .84 21. D i s c r e t i z a ç ã o do d o m i n i o ... ... .86 22. F a c e s A e B d a f i g u r a 20 ... .87 23. V i g a p r i s m á t i c a sob f l e x ã o p u r a ... .90 24. M a l h a s H 0 2 C 1 0 P 3 , S 0 5 C 2 2 P 2 p a r a f l e x ã o p u r a ... .91 25. F a c e s A e B d a f i g u r a 23 ... .92

b V e t o r F o r ç a de C o r p o G e n e r a l i z a d a ( b } V a l o r e s N o d a i s d a F o r ç a de C o r p o G e n e r a l i z a d a B(*,*) F o r m a Bi linear c D i s t â n c i a d a L i n h a N e u t r a à F i b r a c o m T r a ç ã o ou C o m p r e s s ã o M á x i m a d D e f l e x ã o M á x i m a dO(p) E l e m e n t o I n f i n i t e s i m a l do C o n t o r n o c o m o P o n t o p € dd dft(P) E l e m e n t o I n f i n i t e s i m a l do D o m í n i o R e l a t i v o às C o o r d e n a d a s do p o n t o P € Q E M ó d u l o de Y o u n g { f } V a l o r e s N o d a i s das R e a ç õ e s G e n e r a l i z a d a s s o b r e o C o n t o r n o G(*,*) S o l u ç ã o F u n d a m e n t a l e / o u F u n ç ã o de G r e e n G . . D e s l o c a m e n t o G e n e r a l i z a d o na D i r e ç ã o i de Q u a l q u e r P o n t o “ «/ P € ft, P r o v o c a d o p o r u m a F o r ç a G e n e r a l i z a d a U n i t á r i a A p l i c a d a n o P o n t o Q € £1 n a D i r e ç ã o j Gc(*) P r o j e ç ã o d a F u n ç ã o de G r e e n na B a s e do E s p a ç o dos E l e m e n t o s de C o n t o r n o G c 1 i - é s i m a C o m p o n e n t e d a P r o j e ç ã o da F u n ç ã o de G r e e n no E s p a ç o dos E l e m e n t o s de C o n t o r n o Gd(*) P r o j e ç ã o d a F u n ç ã o de G r e e n na B a s e do E s p a ç o dos E l e m e n t o s F i n i t o s G d 1 i - é s i m a C o m p o n e n t e d a P r o j e ç ã o da F u n ç ã o de G r e e n no E s p a ç o dos E l e m e n t o s F i n i t o s G e M ó d u l o de E l a s t i c i d a d e T r a n s v e r s a l O n [G ] V a l o r e s N o d a i s de Gc(*) s o bre o C o n t o r n o CP [G ] V a l o r e s N o d a i s de Gc(*) no D o m í n i o

[GDp 3 [gd p ] I J ( - ) k o [K] [Kq ] V a l o r e s N o d a i s de Gd(*) s o b r e o C o n t o r n o V a l o r e s N o d a i s de Gd(*) no D o m í n i o M a i o r D i â m e t r o E x t e r n o E n t r e T o d o s os E l e m e n t o s da M a l h a de E l e m e n t o s F i n i t o s T e n s o r I d e n t i d a d e F u n c i o n a l qu e D e p e n d e de (•) C o n s t a n t e Real N ã o N u l a M a t r i z de R i g i d e z C o n v e n c i o n a l de E l e m e n t o s F i n i t o s M a t r i z de R i g i d e z A d i c i o n a l D e v i d o à P r e s e n ç a do O p e r a d o r s o b r e o C o n t o r n o m N ú m e r o [m] M a t r i z [M] M a t r i z M E C M é t o d o M E C G M é t o d o M E F M é t o d o M F G L M é t o d o M F G L M M é t o d o n V e t o r U ne 1 c N ú m e r o ntn N ú m e r o n t n c N ú m e r o NGL N ú m e r o s r j Po 1 i n o m p,q P o n t o s p .Q P o n t o s R n D o m í n i o V e t o r T r a ç ã o

V e t o r D e s l o c a m e n t o G e n e r a l i z a d o V e t o r D e s l o c a m e n t o P r e s c r i t o V a l o r e s N o d a i s do D e s l o c a m e n t o V a l o r e s N o d a i s do D e s l o c a m e n t o no D o m i n i o V a l o r e s N o d a i s do D e s l o c a m e n t o s obre o C o n t o r n o D e s l o c a m e n t o R a d i a l Q u a n t i d a d e Q u a l q u e r " B e m C o m p o r t a d a " no D o m i n i o Q V a l o r e s N o d a i s d a Q u a n t i d a d e Y D i s t r i b u i ç ã o D e l t a de D i r a c T e n s o r D e f o r m a ç ã o i n f i n i t e s i m a l C o n j u n t o de F u n ç õ e s de I n t e r p o l a ç ã o de C o n t o r n o D i s t o r ç ã o A n g u l a r C o n j u n t o de F u n ç õ e s de I n t e r p o l a ç ã o de D o m i n i o C o n s t a n t e s C l á s s i c a s de Lamé C o e f i c i e n t e de P o i s s o n D e n s i d a d e In icial T e n s o r T e n s ã o de C a u c h y T e n s ã o Ra dial T e n s ã o T a n g e n c i a l T e n s ã o de C i s a l h a m e n t o D o m í n i o A b e r t o e L i m i t a d o F e c h a m e n t o de í) M o d e l o de E l e m e n t o s F i n i t o s de Q S u b r e g i ã o L i m i t a d a F e c h a d a de Rn ( e l e m e n t o finit o) C o n t o r n o de 0 F e c h a m e n t o de díi P a r c e l a do C o n t o r n o O n d e u é E s p e c i f i c a d o

C o o r d e n a d a s do E l e m e n t o de R e f e r ê n c i a M o m e n t o de I n é r c i a C o m p r i m e n t o d a V i g a G r a u do P o l i n ó m i o A p r o x i m a d o r do E l e m e n t o F i n i t o N ú m e r o de S u b r e g i Õ e s L i m i t a d a s F e c h a d a s $ de R n_e O p e r a d o r D i f e r e n c i a l O p e r a d o r A d j u n t o F o r m a l de t O p e r a d o r de N e u m a n n p a r a £ ♦ O p e r a d o r de N e u m a n n p a r a £ O p e r a d o r A d i c i o n a l O p e r a d o r N a b l a T r a n s p o s t o de (•) .., F M a t r i z e s D e r i v a d a P a r c i a l de (•) c o m R e l a ç ã o à C o o r d e n a d a C a r t e s i a n a "x " P r o d u t o i n t e r n o P r o d u t o v e t o r i a l . ,F M a t r i z e s C a r a c t e r í s t i c a s de G r e e n

E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a a u t i l i z a ç ã o do M é t o d o da F u n ç ã o de G r e e n L o c a l M o d i f i c a d o (MFGLM) p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s da e l a s t ò s t ã t i c a t r i d i m e n s i o n a l . A r e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a a p r e s e n t a p r i m e i r a m e n t e as c a r a c t e r í s t i c a s e p r i n c í p i o s f u n d a m e n t a i s do MFG LM, s e g u i d o de u m h i s t ó r i c o do m é t o d o . 0 f o r m a l i s m o m a t e m á t i c o do M F G L M é a p r e s e n t a d o a f i m de m o s t r a r c o m o é u t i l i z a d a a f u n ç ã o de G r e e n s e m o c o n h e c i m e n t o de s u a f o r m a e x p l í c i t a , a t r a v é s do u s o das p r o p r i e d a d e s d o o p e r a d o r a d j u n t o . 0 M F G L M u t i l i z a as p r o j e ç õ e s da f u nção de G r e e n s o b r e o s u b e s p a ç o g e r a d o p e l a s f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o d e f i n i d a s s o b r e o c o n t o r n o e no d o m í n i o e n ã o u t i l i z a d e r i v a d a s d a f u n ç ã o de G r e e n . As p r o j e ç õ e s da s e q u a ç õ e s i n t e g r a i s são f e i t a s de m a n e i r a s i m i l a r ao M é t o d o dos E l e m e n t o s de C o n t o r n o de G a l e r k i n , o b t e n d o - s e as p r o j e ç õ e s d a f u n ç ã o de G r e e n sem o c o n h e c i m e n t o da m e s m a . Isto é f e i t o a t r a v é s da d i s c r e t i z a ç ã o das v a r i á v e i s d e s c o n h e c i d a s de m a n e i r a s i m i l a r ao M é t o d o dos E l e m e n t o s F i n i t o s (MEF) ou ao M é t o d o do s E l e m e n t o s de C o n t o r n o (MEC). N e s t e t r a b a l h o o f o r m a l i s m o do MFGL M, a c i m a d e s c r i t o , é a p l i c a d o à e l a s t o s t á t i c a t r i d i m e n s i o n a l . São a p r e s e n t a d a s as e q u a ç õ e s b á s i c a s d a e l a s t o s t á t i c a e o p r o c e d i m e n t o p a r a o b t e n ç ã o das e q u a ç õ e s do p r o b l e m a c l á s s i c o de Neum a n n . O m é t o d o p a r a o b t e n ç ã o da s p r o j e ç õ e s d a f u n ç ã o de G r e e n p a r a o caso t r i d i m e n s i o n a l é d e t a l h a d o e t a m b é m são a p r e s e n t a d o s os e l e m e n t o s u t i l i z a d o s p a r a a g e r a ç ã o das m a l h a s a u x i l i a r e s de

e l e m e n t o s f i n i t o s e de e l e m e n t o s de cont o r n o . São a p r e s e n t a d a s t a m b é m a a p l i c a ç ã o de c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o e o t r a t a m e n t o de c a r g a s n o d a i s s o b r e s u p e r f í c i e s c u r v a s c o m t r a ç ã o apli cada. O M F G L M é u t i l i z a d o p a r a a s o l u ç ã o dos s e g u i n t e s e x e m p l o s de a p l i c a ç ã o e m e l a s t i c i d a d e t r i d i m e n s i o n a l : b a r r a p r i s m á t i c a s o b t r a ç ã o u n i f o r m e , b l o c o s u b m e t i d o à c i s a l h a m e n t o s i m p l e s , f l e x ã o de u m a v i g a c u r t a u n i f o r m e m e n t e c arr e g a d a , c i l i n d r o de p a r e d e e s p e s s a c o m p r e s s ã o interna, f l e x ã o de u m a v i g a c u r v a po r u m a f o r ç a na sua e x t r e m i d a d e e f l e x ã o p u r a de u m a v i g a p r i s m á t i c a . F i n a l m e n t e , são a p r e s e n t a d a s as c o n c l u s õ e s e s u g e s t õ e s p a r a n o v a s p e s q u i s a s s o b r e o c o m p o r t a m e n t o do M F G L M q u a n d o a p l i c a d o p a r a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s d a e l a s t o s t â t i c a .

In this w o r k the M o d i f i e d L o c a l G r e e n ’s F u n c t i o n M e t h o d (MLGFM) is u s e d to s o l v e p r o b l e m s of t h r e e - d i m e n s i o n a l e l a s t o s t a t i c s . A b i b l i o g r a p h i c a l r e v i e w p r e s e n t s the c h a r a c t e r i s t i c s , p r i n c i p l e s a n d a b r i e f h i s t o r i c a l b a c k g r o u n d of the MLGFM . T h e m a t h e m a t i c a l f o r m a l i s m of the M L G F M is p r e s e n t e d , in o r d e r to s h o w h o w the m e t h o d t r e a t s the G r e e n ’s f u n c t i o n w i t h o u t the k n o w l e d g e of its e x p l i c i t form, t h r o u g h the a d j o i n t o p e r a t o r p r o p e r t i e s . T h e M L G F M u s e s the G r e e n ’s f u n c t i o n p r o j e c t i o n s over the s u b s p a c e s p a n n e d by the i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s d e f i n e d on the b o u n d a r y a n d in the domain, not u s i n g the d e r i v a t e s of the G r e e n ’s f u n c t i o n s . T h e p r o j e c t i o n s of the inte gra l e q u a t i o n s are done in a w a y s i m i l a r to the G a l e r k i n B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d ,

in o r d e r to p r o d u c e the G r e e n ’s f u n c t i o n p r o j e c t i o n s w i t h o u t its p r i o r k n o w l e d g e . T h e s e p r o j e c t i o n s are o b t a i n e d t h r o u g h the d i s c r e t i z a t i o n of the u n k n o w n v a r i a b l e s in a m a n n e r s i m i l a r to both, the F i n i t e E l e m e n t M e t h o d (FEM) and the B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d (BEM).

T h e M L G F M f o r m a l i s m is a p p l i e d to t h r e e - d i m e n s i o n a l e l a s t o s t a t i c s in this work . T h e b a s i c e q u a t i o n s of the e l a s t o s t a t i c s are p r e s e n t e d , as well as the p r o c e d u r e to o b t a i n the e q u a t i o n s of the N e u m a n n ’s c l a s s i c a l prob lem. T h e m e t h o d to

o b t a i n the G r e e n ’s f u n c t i o n p r o j e c t i o n s for the t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e is p r e s e n t e d in deta il, as well as the e l e m e n t s u s e d to g e n e r a t e the B E M and the FE M a u x i l i a r m e s h are o b t a i n e d . T h e a p p l i c a t i o n of the b o u n d a r y c o n d i t i o n s and the t r e a t m e n t of the n odal loads on c u r v e d s u r f a c e o v e r t r a c t i o n s are a l s o p r e s e n t e d .

T h e M L G F M is u s e d to sol ve the f o l l o w i n g a p p l i c a t i o n s e x a m p l e s of t h r e e - d i m e n s i o n a l e l a s t o s t a t i c s : a p r i s m a t i c bar u n d e r u n i f o r m te ns i o n , p u r e shea r i n g , the f l e x u r e of an u n i f o r m l o a d e d beam, a c y l i n d e r w i t h inter nal p r e s s u r e , the f l e x u r e of a b e n d e d b e a m and the p u r e f l e x u r e of a p r i s m a t i c beam.

F i n a l l y , the c o n c l u s i o n s of this w o r k are p r e s e n t e d and s u g g e s t i o n s for n e w s t u d i e s on the M L G F M b e h a v i o r w h e n s o l v i n g e l a s t o s t a t i c s p r o b l e m s are a l s o d i s c u s s e d .

R E V I S A O B I B L I O G R Á F I C A 1.1- C A R A C T E R Í S T I C A S E P R I N C Í P I O S F U N D A M E N T A I S D O M É T O D O D A F U N Ç A O D E G R E E N L O C A L M O D I F I C A D O (MFGLM) O M é t o d o d a F u n ç ã o de G r e e n Local M o d i f i c a d o (M FGLM ou M L G F M - M o d i f i e d L o c a l G r e e n ’s F u n c t i o n M e t h o d ) é u m a n o v a t é c n i c a integral qu e e s t á s e n d o u t i l i z a d a p a r a a s o l u ç ã o de d i v e r s o s p r o b l e m a s d a m e c a n i c a do co nti nuo. O M F G L M a p r e s e n t a a l g u m a s das v a n t a g e n s de o u t r a s três técn i c a s : o M é t o d o dos E l e m e n t o s F i n i t o s (MEF), o M é t o d o dos E l e m e n t o s de C o n t o r n o (MEC) e o M é t o d o da F u n ç ã o de G r e e n (MFG).

O M F G L M foi o r i g i n a l m e n t e c o n c e b i d o p a r a u s o de p a r t i ç õ e s de d o m í n i o e c onto rno, c o m a p o s s i b i l i d a d e de u t i l i z a ç ã o de m a l h a s g r o s s e i r a s . N o enta n t o , B A R C E L L O S e B A R B I E R I [1] v e r i f i c a r a m que bons r e s u l t a d o s p o d e m ser o b t i d o s s e m p a r t i ç ã o de d o m í n i o , m e s m o em p r o b l e m a s s i n g u l a r e s .

O M F G L M a p r e s e n t a a i n d a co mo c a r a c t e r í s t i c a a d i m i n u i ç ã o da m á x i m a o r d e m das s i n g u l a r i d a d e s a s e r e m trat a d a s , pois nã o u t i l i z a d e r i v a d a s da f u n ç ã o de Gre en, o b t e n d o - s e a s s i m e q u a ç õ e s m a i s a p r o p r i a d a s p a r a i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a . Isto, a p r i n c í p i o ,

e x i g i r i a o c o n h e c i m e n t o da f u n ç ã o de G r een. R e s o l v e - s e es te p r o b l e m a f a z e n d o - s e p r o j e ç õ e s das e q u a ç õ e s i n t e g r a i s de m a n e i r a s i m i l a r ao M é t o d o dos E l e m e n t o s de C o n t o r n o de G a l e r k i n ( M E C G ) , o b t e n d o - s e as p r o j e ç õ e s da f u n ç ã o de G r e e n s e m o c o n h e c i m e n t o e x p l i c i t o da mesma . D e s d e qu e as p r o j e ç õ e s das f u n ç õ e s de G r e e n t ê m c o m p o n e n t e s c o n t í n u a s [2], elas p o d e m ser a p r o x i m a d a s por f u n ç õ e s c o n t í n u a s . A s s i m , elas são e x p r e s s a s como o p r o d u t o de u m v e t o r das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o de d o m í n i o ou de c o n t o r n o por u m t e n s o r c ujas c o m p o n e n t e s são as c o o r d e n a d a s das p r o j e ç õ e s da f u n ç ã o de G r e e n s o b r e os s u b e s p a ç o s g e r a d o s p e l a s f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o . D e t e r m i n a d o o tensor, as m a t r i z e s de G r e e n p o d e m ser o b t i d a s . A d e t e r m i n a ç ã o dos v e t o r e s de G r e e n ê r e a l i z a d a r e s o l v e n d o d o i s p r o b l e m a s a s s o c i a d o s , u s a n d o o M E F e, p o s t e r i o r m e n t e , as c o m p o n e n t e s dos v e t o r e s s o l u ç ã o são a d e q u a d a m e n t e r e a r r a n j a d a s , f o r m a n d o a r e p r e s e n t a ç ã o m a t r i c i a l do tenso r. 1.2- H I S T Ó R I C O E A P L I C A Ç Õ E S A s e g u i r s e r á a p r e s e n t a d o u m h i s t ó r i c o do M F G L M , a p r e s e n t a n d o u m r e s u m o dos t r a b a l h o s e p u b l i c a ç õ e s e x i s t e n t e s s o b r e o méto d o . B U R N S [3] a p r e s e n t o u u m a f o r m u l a ç ã o inte gra l p a r a o p r o b l e m a m u l t i d i m e n s i o n a l de d i f u s ã o de n ê u t r o n s , u t i l i z a n d o o M é t o d o d a F u n ç ã o de G r e e n Local (MFGL). Os p r o b l e m a s t e s t a d o s

e n v o l v e m s e m p r e g e o m e t r i a s si mp l e s , p a r a os q u a i s se d i s p õ e da f u n ç ã o de G r e e n a p r o p r i a d a , d e t e r m i n a d a a n a l i t i c a m e n t e . H O R A K [4] a p r e s e n t o u o M F G L p a r a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s de c o n d u ç ã o de c a l o r e de e s c o a m e n t o s i n c o m p r e s s í v e i s , p a r t i c u l a r i z a n d o a a p l i c a ç ã o do m é t o d o a d o m i n i o s q u e p o s s u a m c o n t o r n o s c o i n c i d e n t e s c o m linh as de c o o r d e n a d a s . L A W R E N C E [5] a p r e s e n t o u o M F G L p a r a d i f u s ã o m u l t i d i m e n s i o n a l de n ê u t r o n s . Os t r a b a l h o s de B U R N S [3], H O R A K [4] e L A W R E N C E [5] a p r e s e n t a r a m os a s p e c t o s f o r m a i s de m é t o d o s que u s a m f u n ç õ e s de G r e e n d e f i n i d a s loca l m e n t e . S I L V A [6] a p r e s e n t o u a f o r m u l a ç ã o a b s t r a t a do M é t o d o da F u n ç ã o de G r e e n Local M o d i f i c a d o (MFGLM). C o m o a p l i c a ç ã o do M F G L M a n a l i s a p r i m e i r a m e n t e h a s t e s de lg a d a s , e m o s t r a como o b t e r de m a n e i r a s i s t e m á t i c a as c o n d i ç õ e s de t r a n s m i s s ã o nas i n t e r f a c e s de e l e m e n t o s . O f o r m a l i s m o do M F G L M é d e s e n v o l v i d o p a r a h a s t e s d e l g a d a s e é a p r e s e n t a d a u m a a p r o x i m a ç ã o n u m é r i c a do p r o b l e m a . A h a s t e c o n s i d e r a d a é b i - e n g a s t a d a e de r i g i d e z c o n s t a n t e , s u j e i t a a u m c a r r e g a m e n t o u n i f o r m e . Os t e stes c o m p u t a c i o n a i s são r e a l i z a d o s s e m p a r t i ç ã o da haste, e os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s são m u i t o p r e c i s o s . T a m b é m é v e r i f i c a d o o c o m p o r t a m e n t o do m é t o d o q u a n d o há v a r i a ç õ e s na rigi d e z , na c a r g a e no tipo de c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o . C o n s i d e r a o p r o b l e m a de u m a h a s t e d e l g a d a de r i g i d e z v a r i á v e l , com u m e x t r e m o fixo e o u t r o livre, sob a ç ã o de c a r g a de c o m p r e s s ã o axial. A h a s t e ê p a r t i c i o n a d a em dois e l e m e n t o s . Os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s , c o m p a r a d o s c o m os r e s u l t a d o s a n a l í t i c o s , a p r e s e n t a m e rros

r e l a t i v o s da o r d e m de n o m á x i m o 5%. As m a t r i z e s de G r e e n o b t i d a s p e l a f o r m u l a ç ã o do M F G L M e m hast e s d e l g a d a s p o s s u e m as m e s m a s c a r a c t e r í s t i c a s das q u e r e s u l t a m do MEF. A a p l i c a ç ã o do M F G L M e m v i g a s t a m b é m foi a p r e s e n t a d a por S I L V A [6]. N o t r a t a m e n t o n u m é r i c o os o p e r a d o r e s i n t e g r a i s são e x p r e s s o s n a f o r m a m a t r i c i a l . As m a t r i z e s r e s u l t a n t e s da d i s c r e t i z a ç ã o p a r a o c á l c u l o das p r o j e ç õ e s são s i m é t r i c a s e de band a , com a m e s m a l a r g u r a das que r e s u l t a m do MEF. É a p r e s e n t a d a u m a a p l i c a ç ã o do M F G L M p a r a u m a v i g a em b a l a n ç o , c o m r i g i d e z v a r i á v e l , s u j e i t a a u m a c a r g a c o n c e n t r a d a . A v i g a é p a r t i c i o n a d a e m 3 e l e m e n t o s , e os r e s u l t a d o s n u m é r i c o s p r a t i c a m e n t e c o i n c i d e m c o m os a n a l í t i c o s . S I L V A [6] a p r e s e n t o u a i n d a a a p l i c a ç ã o d o M F G L M em m e m b r a n a s e l á s t i c a s n ã o - h o m o g ê n e a s . N o caso geral, n ã o se d i s p õ e de u m a s o l u ç ã o f u n d a m e n t a l p a r a e s tes p r o b l e m a s . As m a t r i z e s de G r e e n são c a l c u l a d a s d i r e t a m e n t e . I n i c i a l m e n t e é e s t a b e l e c i d o o p r o b l e m a n u m a e s t r u t u r a m a t e m á t i c a c o n d i z e n t e c o m as t é c n i c a s de c o n t o r n o . A s e g u i r são i d e n t i f i c a d o s os e s p a ç o s f u n c i o n a i s onde o p r o b l e m a e s t á i nse r i d o . A a p r o x i m a ç ã o n u m é r i c a é f e i t a v a r i a c i o n a l m e n t e , e a d i s c r e t i z a ç ã o é b a s e a d a e m e l e m e n t o s finitos. É m o s t r a d o o p r o c e d i m e n t o p a r a a a p r o x i m a ç ã o d i r e t a das m a t r i z e s de G r een, e v á r i a s a p l i c a ç õ e s do m é t o d o t e s t a m - n o q u a n t o à f l e x i b i l i d a d e n a a b o r d a g e m d e s t e s tipos de p r o b l e m a s . B A R C E L L O S e S I L V A [2] a p r e s e n t a r a m u m a f o r m u l a ç ã o m o d i f i c a d a b a s e a d a no M é t o d o da F u n ç ã o de G r e e n Lo cal ( H O R A K [4]), d e s e n v o l v i d a p a r a o p r o b l e m a de m e m b r a n a e l á s t i c a fina. E s t a m e t o d o l o g i a c o n d u z a e q u a ç õ e s i n t e g r a i s de c o n t o r n o c o m a

m e s m a e s t r u t u r a das o b t i d a s pelo MEC. F u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o são u s a d a s j u n t a m e n t e co m o M é t o d o de G a l e r k i n p a r a a d i s c r e t i z a ç ã o do s i s t e m a de e q u a ç õ e s inte grais. As m a t r i z e s são d i r e t a m e n t e c a l c u l a d a s s e m o u s o e x p l í c i t o das f u n ç õ e s de Gre en, a p l i c a n d o o M E F p a r a d o i s o u t r o s p r o b l e m a s a s s o c i a d o s , os q u a i s d i f e r e m u m do o u t r o s o m e n t e no c a r r e g a m e n t o . D i v e r s o s e x e m p l o s n u m é r i c o s s ã o a p r e s e n t a d o s e os r e s u l t a d o s m o s t r a m b o a a p r o x i m a ç ã o c o m as s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s e r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l o M E F e MEC, c o m e r r o m e n o r u t i l i z a n d o m a l h a s m a i s g r o s s e i r a s . C o n c l u e m q u e o M F G L M p o d e ter u m a e f i c i ê n c i a c o m p u t a c i o n a l c o m p a r á v e l c o m o M E F e MEC. M A C H A D O [7] a p r e s e n t o u u m a i n v e s t i g a ç ã o da a p l i c a b i l i d a d e d o M F G L M p a r a p l a c a s l a m i n a d a s o r t o t r ó p i c a s . O f o r m a l i s m o m a t e m á t i c o do M F G L M é a p r e s e n t a d o , s e n d o p r i m e i r a m e n t e a p l i c a d o p a r a p l a c a s l a m i n a d a s c o m p o s t a s u s a n d o u m m o d e l o de c a m a d a ú n i c a , com e x p a n s ã o p o l i n o m i a l de p r i m e i r a o r d e m (FSDT). As e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s g o v e r n a n t e s são d e t e r m i n a d a s a p a r t i r do P r i n c í p i o da E n e r g i a P o t e n c i a l M í n i m a . T a n t o no d o m í n i o q u a n t o s o b r e o c o n t o r n o são u s a d o s e l e m e n t o s l a g r a n g e a n o s q u a d r á t i c o s . U m a a n á l i s e p e l o M F G L M p a r a p l a c a o r t o t r ó p i c a l a m i n a d a é r e a l i z a d a de a c o r d o c o m o m o d e l o do c a m p o de d e s l o c a m e n t o s p r o p o s t o por M i n d l i n . São a p r e s e n t a d o s e x e m p l o s n u m é r i c o s e os r e s u l t a d o s são c o m p a r a d o s c o m s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s ou c o m os o b t i d o s a p a r t i r do MEF. N e s t e s e x e m p l o s o M F G L M é c o n s i d e r a d o c o m o u m p r o c e d i m e n t o gl obal, no s e n t i d o de qu e u m a ú n i c a c é l u l a de G r e e n é usada. Ass im, p o d e - s e a v a l i a r o qu e u m a ú n i c a c é l u l a é c a p a z de r e p r e s e n t a r . Os r e s u l t a d o s o b t i d o s

m o s t r a m a l t a p r e c i s ã o , q u a n d o c o m p a r a d o s c o m os r e s u l t a d o s o b t i d o s por o u t r o s m é t o d o s . C o n c l u e m que o M F G L M é u m a boa a l t e r n a t i v a p a r a a a n á l i s e de p l a c a s lam ina das .

B A R C E L L O S e M A C H A D O [8] a p r e s e n t a r a m m a i s r e s u l t a d o s s o b r e a a p l i c a ç ã o do M F G L M p a r a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s de f l e x ã o de p l a c a s o r t o t r ó p i c a s l a m inadas, m e d i a n t e t e o r i a de p r i m e i r a o r d e m (FSDT). A p l i c a m o M F G L M p a r a u m p r o b l e m a v e t o r i a l s em s o l u ç ã o f u n d a m e n t a l e x i s t e n t e n u m a f o r m a e x p l í c i t a . Os r e s u l t a d o s o b t i d o s s ã o c o n s i d e r a d o s e x c e l e n t e s q u a n d o c o m p a r a d o s c o m o u t r o s m é t o d o s . M A C H A D O at al [9] a p r e s e n t a r a m o M F G L M a p l i c a d o a p r o b l e m a s d a m e c a n i c a do c o n t í n u o , p a r t i c u l a r i z a n d o a a p l i c a ç ã o do m é t o d o à p r o b l e m a s de f l e x ã o de p l a c a s o r t o t r ó p i c a s l a m i n a d a s . M A C H A D O at al [10] a p r e s e n t a r a m u m a a n á l i s e c o m p a r a t i v a e n t r e o M E F e o M F G L M p a r a a s o l u ç ã o de p l a c a s l a m i n a d a s de m a t e r i a i s c o m p o s t o s . A p r e s e n t a m a l g u m a s a p l i c a ç õ e s q u e m o s t r a m o d e s e m p e n h o dos dois m é t o d o s e m t e rm os de p r e c i s ã o de r e s u l t a d o s , s e n s i b i l i d a d e à d i s t o r ç ã o e taxas de c o n v e r g ê n c i a . C o n c l u e m que os r e s u l t a d o s o b t i d o s t e m p r e c i s ã o c o m p a r á v e l aos d e t e r m i n a d o s p e l o MEF, b a i x a s e n s i b i l i d a d e à d i s t o r ç ã o e taxas de c o n v e r g ê n c i a m a i s a c e n t u a d a . B A R B I E R I e B A R C E L L O S [11] a p r e s e n t a r a m o M F G L M a p l i c a d o p a r a o m o d e l o de p l a c a de M i n d l i n . O f o r m a l i s m o m a t e m á t i c o do M F G L M é a p r e s e n t a d o e u m e x e m p l o n u m é r i c o ê incl uído. M e s m o u s a n d o f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o t o m a d a s a p a r t i r de e l e m e n t o s f i n i t o s de d e s l o c a m e n t o , são o b t i d o s r e s u l t a d o s s a t i s f a t ó r i o s .

C o n c l u i - s e q u e o M F G L M p o d e se f i r m a r como u m a t é c n i c a n u m é r i c a a d e q u a d a p a r a s o l u ç ã o de u m a g r a n d e c l a s s e de p r o b l e m a s de p l a c a s . B A R B I E R I e B A R C E L L O S [12] c o n t i n u a m n a a n á l i s e de p l a c a s de M i n d l i n . São a n a l i s a d o s os p r o b l e m a s de p l a c a de M o r l e y e n g a s t a d a e de p l a c a c i r c u l a r c o m e s p e s s u r a v a r i á v e l . B A R B I E R I at al [13] a p r e s e n t a r a m m a i s r e s u l t a d o s s o b r e o p r o b l e m a d a p l a c a de M i n d l i n d a n d o ê n f a s e a a s p e c t o s de c o n v e r g ê n c i a p u n t u a l e s e n s i b i l i d a d e à d i s t o r ç ã o de malha. B A R B I E R I e B A R C E L O S [14] a p r e s e n t a r a m u m a a n á l i s e do p r o b l e m a p o t e n c i a l p e l o MFGL M, u t i l i z a n d o u m a a b o r d a g e m u n i c e l u l a r p a r a o p r o b l e m a de p o t e n c i a l h o m o g ê n e o . Os r e s u l t a d o s d e m o n s t r a m a e x i s t ê n c i a de s u p e r c o n v e r g ê n c i a nodal de f l u x o e p o t e n c i a l . B A R C E L L O S e B A R B I E R I [1] a p r e s e n t a r a m a a p l i c a c ã o do M F G L M p a r a c a l c u l a r p r o b l e m a s p o t e n c i a i s s i n g u l a r e s . 0 M F G L M é u s a d o p a r a a s o l u ç ã o das e q u a ç õ e s de P o i s s o n co m s i n g u l a r i d a d e s a s s o c i a d a s à g e o m e t r i a do d o m í n i o e c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o d e s c o n t í n u a s . D o i s e x e m p l o s são r e s o l v i d o s p a r a d i f e r e n t e s m a l h a s , c o n c l u i n d o q u e as s o l u ç õ e s o b t i d a s p e l o M F G L M a p r e s e n t a m o m e s m o c o m p o r t a m e n t o q u e o MEC. S i n g u l a r i d a d e s p o d e m ser t r a t a d a s m e s m o c o m e l e m e n t o s de m e n o r ordem. B A R B I E R I e B A R C E L L O S [15] a p r e s e n t a r a m u m a a p l i c a ç ã o do M F G L M p a r a o t r a t a m e n t o de p r o b l e m a s n u m m e i o o n d e as p r o p r i e d a d e s do c a m p o p o t e n c i a l não são h o m o g ê n e a s e o n d e não há, c o n s e q u e n t e m e n t e , s o l u ç õ e s f u n d a m e n t a i s c o n h e c i d a s . 0 f o r m a l i s m o m a t e m á t i c o do m é t o d o é d e t a l h a d a m e n t e d i s c u t i d o .

A l g u n s r e s u l t a d o s n u m é r i c o s são a p r e s e n t a d o s , s e n d o os m e s m o s c o n s i d e r a d o s e x c e l e n t e s . B A R B I E R I [16] a p r e s e n t o u o f o r m a l i s m o m a t e m á t i c o , o d e s e n v o l v i m e n t o e a a p l i c a ç ã o do m é t o d o p a r a p r o b l e m a s de p o t e n c i a l , p r o b l e m a s de e l a s t i c i d a d e b i d i m e n s i o n a l e a n á l i s e de p l a c a s c o m t e o r i a s de p r i m e i r a ordem. T r a t a c o m d e t a l h e s a f o r m u l a ç ã o a b s t r a t a do M F G L M , m o s t r a n d o que e s t a n o v a t é c n i c a n u m é r i c a p o d e ser e n t e n d i d a c o m o s e n d o o M E C G n ã o c o n v e n c i o n a l . D i s c u t e as c o n d i ç õ e s de e x i s t ê n c i a e u n i c i d a d e d a s o l u ç ã o e todo o f o r m a l i s m o p a r a i m p l e m e n t a ç ã o n um érica, a c o m p a n h a d o s de i n t e r p r e t a ç ã o física. A p r e s e n t a a i n d a c o m d e t a l h e s a f o r m u l a ç ã o do M F G L M p a r a p r o b l e m a s de p o t e n c i a l e d e s e n v o l v e d i v e r s o s tipos de e l e m e n t o s , c o m o o b j e t i v o de t e star a q u a l i d a d e de c a d a u m de les, e v e r i f i c a r e x p e r i m e n t a l m e n t e a taxa de c o n v e r g ê n c i a . São o b s e r v a d a s c a r a c t e r í s t i c a s de s u p e r c o n v e r g ê n c i a p u n t u a l , t anto p a r a p o t e n c i a l como p a r a fluxo. A p r e s e n t a a i n d a a p l i c a ç õ e s como p r o b l e m a s n ã o - h o m o g ê n e o s c o m c a r a c t e r í s t i c a s do m e i o v a r i á v e i s e p r o b l e m a s s i n g u l a r e s . N o s p r o b l e m a s da e l a s t i c i d a d e b i d i m e n s i o n a l / a x i s s i m é t r i c a são d e s e n v o l v i d o s e l e m e n t o s line are s, q u a d r á t i c o s e cúbi c o s , r e s o l v e n d o p r o b l e m a s de e s t a d o p l a n o de t e n s õ e s / d e f o r m a ç õ e s e a x i s s i m é t r i c o s . A p r e s e n t o u a i n d a a a p l i c a ç ã o do M F G L M p a r a p r o b l e m a s de f l e x ã o de p l a c a s s e m i - e s p e s s a s / e s p e s s a s . B A R B I E R I at al [17] a p r e s e n t a r a m mai s r e s u l t a d o s s o b r e a a p l i c a ç ã o do M F G L M na s o l u ç ã o de p r o b l e m a s da e l a s t o s t á t i c a b i d i m e n s i o n a l . B A R B I E R I at al [18] a p r e s e n t a r a m u m a a p l i c a ç ã o do M F G L M p a r a o p r o b l e m a de c a s c a de d u p l a c u rvatu ra, o b t e n d o r e s u l t a d o s

c o n c o r d a n t e s c o m os o b t i d o s p e i o MEF. B A R B I E R I at al [19] a p r e s e n t a r a m o f o r m a l i s m o m a t e m á t i c o do M F G L M a p l i c a d o à c a s c a s s e m i - e s p e s s a s , j u n t a m e n t e c o m a l g u m a s s o l u ç õ e s n u m é r i c a s . A p l i c a m o M F G L M na s o l u ç ã o de do is p r o b l e m a s ; s c o r d e l i s - l o roof e c a s c a c i l i n d r i c a c u r t a enga s t a d a . Os r e s u l t a d o s m o s t r a m e x c e l e n t e c o n v e r g ê n c i a , p r i n c i p a l m e n t e em t e n s õ e s . B A R B I E R I at al [20] a p r e s e n t a r a m p a r a o M F G L M uma f o r m u l a ç ã o p a r a s u b r e g i õ e s . P r o p õ e m u m a a l t e r n a t i v a p a r a r e d u ç ã o do t e m p o de p r o c e s s a m e n t o (que a t u a l m e n t e é m o r o s o d e v i d o à n e c e s s i d a d e de a p r o x i m a r as p r o j e ç õ e s da f u n ç ã o de G r e e n c o m o MEF) c o m o u s o de s u b r e g i õ e s . A p r e s e n t a m r e s u l t a d o s n u m é r i c o s p a r a os p r o b l e m a s de p o t e n c i a l . C o n c l u e m que os r e s u l t a d o s p o n t u a i s de f l u x o o b t i d o s c o m o M F G L M são s u p e r i o r e s aos o b t i d o s p e l o M E F e que as t a x a s de c o n v e r g ê n c i a p a r a f l u x o são b a s t a n t e d i f e r e n t e s p a r a o F E M e o MFGLM. F I L I P P I N [21] e m p r e g o u o M F G L M p a r a a a n á l i s e m o d a l da e q u a ç ã o de H e l m h o l t z , r e s o l v e n d o u m p r o b l e m a de a u t o v a l o r / a u t o v e t o r p a r a d e t e r m i n a ç ã o das f r e q u ê n c i a s e m o d o s de v i b r a ç ã o . O m é t o d o é i m p l e m e n t a d o p a r a e q u a ç õ e s h i p e r b ó l i c a s , m o s t r a n d o a o b t e n ç ã o das m a t r i z e s de i n é r c i a p a r a as e q u a ç õ e s i n t e g r a i s e a m o n t a g e m do p r o b l e m a a l g é b r i c o de a u t o v a l o r . O M F G L M é a p l i c a d o à e q u a ç ã o de H e l m h o l t z , r e s o l v e n d o - s e p r o b l e m a s de v i b r a ç ã o livre de m e m b r a n a s e l á s t i c a s e de p r o p a g a ç ã o de o n d a s e m c a v i d a d e s a c u s t i c a m e n t e rígida s. É r e a l i z a d a a a n á l i s e e m p í r i c a de c o n v e r g ê n c i a , t a n t o h q u a n t o p. I m p l e m e n t a e l e m e n t o s l a g r a n g e a n o s q u a d r a n g u l a r e s de p r i m e i r a a d é c i m a o r d e m

( 4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , 4 9 , 6 4 , 8 1 , 1 0 0 , 1 2 1 nós). O p r o b l e m a de a u t o v a l o r / a u t o v e t o r é r e s o l v i d o p e l o m é t o d o d a i t e r a ç ã o s u b e s p a c i a l . É a n a l i s a d o o c o m p o r t a m e n t o do m é t o d o q u a n t o à d i s t o r ç ã o de malh a. Os r e s u l t a d o s o b t i d o s são c o m p a r a d o s c o m os e n c o n t r a d o s a t r a v é s de s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s , M E F ou MEC. Os v a l o r e s da s f r e q u e n c i a s n a t u r a i s são b e m p r ó x i m o s aos a n a l í t i c o s , m e s m o p a r a m o d o s s u p e r i o r e s , o que n ã o a c o n t e c e com o MEF. No e n t a n t o os r e s u l t a d o s o b t i d o s não o f o r a m c o m a m e s m a d i s c r e t i z a ç ã o e n t r e o M F G L M e o MEF. F I L I P P I N at al [22] a p r e s e n t a r a m u m a a n á l i s e e x p e r i m e n t a l de c o n v e r g ê n c i a h e p do M F G L M p a r a p r o b l e m a s e s t á t i c o s e d i n â m i c o s de p o t e n c i a l . C o n c l u e m qu e a t a x a de c o n v e r g ê n c i a h do M F G L M ê s e m e l h a n t e à do F E M e q u e a c o n v e r g ê n c i a p é m a i s f a v o r á v e l no MFGLM . F I L I P P I N at al [23] a p r e s e n t a r a m o M F G L M c o m o u m a f e r r a m e n t a c o m p u t a c i o n a l . C o m o a p l i c a ç ã o u t i l i z a m o M F G L M na s o l u ç ã o do p r o b l e m a de v i b r a ç ã o livre de m e m b r a n a . C o n c l u e m que c o m a u t i l i z a ç ã o de t é c n i c a s a d a p t a t i v a s se c o n s e g u i r á a p r o v e i t a r ao m á x i m o as p o t e n c i a l i d a d e s do mé todo. F I L I P P I N at al [24] a p r e s e n t a r a m o M F G L M a p l i c a d o a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s da m e c a n i c a do c o n t í n u o r e g i d o s p e l a e q u a ç ã o de H e l m h o l t z , a p r e s e n t a n d o c as os de m e m b r a n a r e t a n g u l a r , m e m b r a n a e m L, m e m b r a n a e l í p t i c a e c a v i d a d e r e t a n g u l a r . Os r e s u l t a d o s a p r e s e n t a m e x c e l e n t e prec i s ã o . F I L I P P I N at al [25] a p r e s e n t a r a m mais r e s u l t a d o s da a p l i c a ç ã o do M F G L M e m p r o b l e m a s de v i b r a ç ã o livre de m e m b r a n a e c a v i d a d e s a c ú s t i c a s . A p r e s e n t a m c asos c o m c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o

m i s t a s . M e s m o p a r a as a l t a s f r e q u e n c i a s os r e s u l t a d o s tem e x c e l e n t e c o n v e r g ê n c i a . M A L D A N E R [26] a p r e s e n t o u o M F G L M u t i l i z a d o p a r a a o b t e n ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e de tensões. U t i l i z a o e l e m e n t o Q u a r t e r - P o i n t , os e l e m e n t o s e s p e c i a i s de f r a t u r a d a f a m í l i a de A k i n e de S t e r n e os e l e m e n t o s c o n v e n c i o n a i s l a g r a n g e a n o s a p l i c a d o s no M F GLM. C o m p a r a o d e s e m p e n h o dos e l e m e n t o s c o n v e n c i o n a i s c o m os e l e m e n t o s e s p e c i a i s de f r a t u r a e c o n clui qu e a f a m í l i a de A k i n f o r n e c e os m e l h o r e s r e s u l t a d o s . M A L D A N E R e B A R C E L L O S [27] a p r e s e n t a r a m a a n á l i s e de p r o b l e m a s d a m e c â n i c a d a f r a t u r a b i d i m e n s i o n a l c o m o u s o do M FGL M . U t i l i z a m r e f i n o de m a l h a e m p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a junto ao v é r t i c e d a tri nca . O b t é m os v a l o r e s do fa tor de c o n c e n t r a ç ã o de t e n s õ e s p a r a c a s o s de t r i n c a cen tra l e lateral. O s r e s u l t a d o s o b t i d o s a p r e s e n t a m e r r o s m u i t o pequ e n o s . M A L D A N E R at al [28] a p r e s e n t a r a m mais r e s u l t a d o s s o b r e a u t i l i z a ç ã o do e l e m e n t o Q u a r t e r - P o i n t no MF GLM. O d o m í n i o é m o d e l a d o p e l o e l e m e n t o s e r e n d i p i t y q u a d r á t i c o e o fat or i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s é d e t e r m i n a d o f a z e n d o u s o d o s r e s u l t a d o s de d e s l o c a m e n t o s . Os r e s u l t a d o s o b t i d o s são c o n s i d e r a d o s e x c e l e n t e s . M A L D A N E R e B A R C E L L O S [29] a p r e s e n t a r a m m a i s r e s u l t a d o s s o b r e a o b t e n ç ã o do f a t o r de i n t e n s i d a d e de t e n s õ e s a t r a v é s da u t i l i z a ç ã o d o M F G L M u t i l i z a n d o e l e m e n t o s de trinc a. A p r e s e n t a m u m a c o m p a r a ç ã o do d e s e m p e n h o dos e l e m e n t o s e s p e c i a i s de f r a t u r a d a f a m í l i a de A k i n e de Ster n, q u a n d o u t i l i z a d o s no MF GLM. São u t i l i z a d o s n a a n á l i s e o e l e m e n t o de A k i n de 9 nós, o e l e m e n t o

q u a d r á t i c o de S t e r n e os r e s u l t a d o s são c o m p a r a d o s c o m o e l e m e n t o l a g r a n g e a n o q u a d r á t i c o . C o n c l u e m que a f a m í l i a de Akin f o r n e c e os m e l h o r e s r e s u l t a d o s . MUÍÍOZ [30] a p r e s e n t o u o M F G L M a p l i c a d o n a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s de f l e x ã o e v i b r a ç ã o livre de p l a c a s de R e i s s n e r - M i n d l i n . A p r e s e n t a u m a f o r m u l a ç ã o ge ral a l t e r n a t i v a do m é t o d o , d e m o n s t r a n d o qu e o e r r o d a s o l u ç ã o a p r o x i m a d a é m i n i m i z a d o s o m e n t e no d o m í n i o , d e n t r o de cada c é l u l a de Gre en . A n a l i s a a e x i s t e n c i a do f e n o m e n o de t r a v a m e n t o o u " l o c k i n g " q u a n d o d a a p r o x i m a ç ã o das p r o j e ç õ e s da f u n ç ã o de G r e e n co m e l e m e n t o s f i n i t o s b a s e a d o s e m d e s l o c a m e n t o s . MUfiíOZ at al [31] a p r e s e n t a r a m m a i s r e s u l t a d o s do M F G L M a p l i c a d o ao p r o b l e m a de v i b r a ç ã o livre de p l a c a de M i n d l i n . A n a l i s a m o p r o b l e m a de p l a c a s i m p l e s m e n t e a p o i a d a m o d e l a d a c o m s i m e t r i a . Os r e s u l t a d o s c o n c o r d a m co m os o b t i d o s p e l o M E F e p e l a t e o r i a de M i n d l i n . MUÍÍOZ e B A R C E L L O S [32] a p r e s e n t a r a m u m a a n á l i s e c o m p a r a t i v a do d e s e m p e n h o do M F G L M f r e n t e ao M E F p a r a a s o l u ç ã o de p r o b l e m a s de f l e x ã o e v i b r a ç ã o livre de p l a c a s de M i n d l i n . As c o m p a r a ç õ e s são f e i t a s p a r a d e s l o c a m e n t o s , e s f o r ç o s e f r e q u e n c i a s n a t u r a i s de v i b r a ç ã o . São e m p r e g a d o s e l e m e n t o s de d o m í n i o de 8 , 9 , 1 6 , 2 5 e 36 nós, s e m p r e a p l i c a n d o no M E F o m e s m o e l e m e n t o f i n i t o e a m e s m a d i s c r e t iza ção u t i l i z a d o s no MFGLM . C o n c l u e m que os r e s u l t a d o s p a r a e s f o r ç o s são b a s t a n t e s u p e r i o r e s no M F G L M e m r e l a ç ã o ao MEF. P a r a d e s l o c a m e n t o s e f r e q u e n c i a s n a t u r a i s os r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l o M F G L M e M E F são s e m e l h a n t e s , i n c l u s i v e e m r e l a ç ã o ao f e n o m e n o do t r a v a m e n t o ou "loc k i n g " .

MüftoZ e B A R C E L L O S [33] a p r e s e n t a r a m mais r e s u l t a d o s da a p l i c a ç ã o do M F G L M n a s o l u ç ã o do p r o b l e m a de v i b r a ç ã o livre de p l a c a s de M i n d l i n . S ã o a p r e s e n t a d o s a f o r m u l a ç ã o do M F G L M p a r a p r o b l e m a s de v i b r a ç ã o li vre de p l a c a s de M i n d l i n e r e s u l t a d o s n u m é r i c o s p a r a p l a c a s c o m v á r i a s c o n d i ç õ e s de c ontor no. C o n c l u e m qu e a a p l i c a ç ã o do M F G L M n a s o l u ç ã o d e s t e s tipos de p r o b l e m a s é v i á v e 1.

F O R M A L I S M O D O M É T O D O D A F U N Ç Ao D E G R E E N L O C A L M O D I F I C A D O (MFGLM) 2.1- F O R M U L A Ç Ã O D O M F G L M A f o r m u l a ç ã o do M F G L M é a p r e s e n t a d a n e s t e capí t u l o , t endo c o m o b a s e o t r a b a l h o r e a l i z a d o por B A R B I E R I [16]. S e j a o s i s t e m a de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s £ u(P) = b(P) P e Q (2.1) o n d e 0 é u m d o m í n i o l i m i t a d o e a b e r t o c o m c o n t o r n o f e c h a d o cX>, £ ê u m o p e r a d o r d i f e r e n c i a l , u u m v e t o r d e s l o c a m e n t o g e n e r a l i z a d o e b u m v e t o r f o r ç a g e n e r a l i z a d a . 0 p r o b l e m a a d j u n t o a s s o c i a d o é dado por £* G ( P , Q ) = Ô(P,Q) I p ,q e Çi (2.2) ♦ o n d e £ é o o p e r a d o r d i f e r e n c i a l a d j u n t o de £, S(p,Q) é u m a e x c i t a ç ã o do tipo f u n ç ã o g e n e r a l i z a d a d e l t a de Dira c , I é o t e n s o r i d e n t i d a d e e G ( P , Q ) o t e n s o r s o l u ç ã o f u n d a m e n t a l . G . . • «/

r e p r e s e n t a o d e s l o c a m e n t o g e n e r a l i z a d o na d i r e ç ã o i de q u a l q u e r p o n t o p e 0, p r o v o c a d o por u m a for ça g e n e r a l i z a d a c o n c e n t r a d a u n i t á r i a a p l i c a d a no p o n t o Q € Q na d i r e ç ã o j.

No p r e s e n t e t r a b a l h o , os d e s l o c a m e n t o s g e n e r a l i z a d o s são d e s l o c a m e n t o s "puros" e o m e i o é isotróp ico , e a s s i m s e n d o G . . =

• J G ... P a r a p r o b l e m a s de f l exão de vigas, por exemplo , os

J “

d e s l o c a m e n t o s g e n e r a l i z a d o s são d a d o s por u m a r o t a ç ã o e dois d e s l o c a m e n t o s puros, e n q u a n t o as fo rças g e n e r a l i z a d a s c o n c e n t r a d a s u n i t á r i a s são f o r m a d a s por u m m o m e n t o fletor, u m a f o r ç a t r a n s v e r s a l e u m a f o r ç a longitu dina l. M u l t i p l i c a n d o a e q u a ç ã o (2.1) por G ( P , Q ) e a e q u a ç ã o (2.2) p o r u * ( P ) , tem-se G ( P , Q ) X u(P) = G ( P,Q) b(P) (2.3) u t (P) X* G ( P , Q ) = u t (P) Ô(P,Q) I = Ô(P,Q) u t (P) (2.4) S u b t r a i n d o a e q u a ç ã o (2.3) do t r a n s p o s t o da e q u a ç ã o (2.4) o b t é m - s e u(P) Ô(P,Q) = G ( P , Q ) b(P) + [ £ * G ( P , Q ) ] tu(P) + - G ( P,Q) £ u(P) (2.5) I n t e g r a n d o s o b r e o d o m i n i o Q, r e s u l t a

u(Q) = J Q G ( P , Q ) b(P) dO(P) + G Í P . Q ) ] 1 u(P) dQ(P) +

onde dí)(P) é um e l e m e n t o infinitesimal do domínio relativo às co o r d e n a d a s do ponto P € í). C o m a i n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s das du as ú l t i m a s p a r c e l a s da e q u a ç ã o (2.6), as i n t e g r a i s de d o m í n i o r e s u l t a n t e s d e s t a o p e r a ç ã o são a u t o m a t i c a m e n t e c a n c e l a d a s e a e x p r e s s ã o final p a r a u (Q ) ê U (Q) =

JQ

G ( P , Q ) b(P) dfl(P) - Jqq [Jf* G ( p , Q ) ] t u(p) daft(p) + + Jqq G ( p , Q ) [Jf u ( p ) ] ddQ(p) (2.7) o n d e d9í)(p) é u m e l e m e n t o i n f i n i t e s i m a l do c o n t o r n o r e l a t i v o às $ c o o r d e n a d a s do p o n t o p e 9Q e Jf,Jf são o p e r a d o r e s de N e u m a n n a s s o c i a d o s aos o p e r a d o r e s d i f e r e n c i a i s £ e t , r e s p e c t i v a m e n t e . A e q u a ç ã o (2.7) r e p r e s e n t a a f o r m u l a ç ã o do M é t o d o D i r e t o do s E l e m e n t o s de C o n t o r n o , o n d e G ( P,Q) é u m a s o l u ç ã o f u n d a m e n t a l . A d i c i o n a n d o e s u b t r a i n d o do lado d i r e i t o d a e q u a ç ã o (2.7) a q u a n t i d a d e Jaa g ( p ,q) V f ’ u ( p ) ] dSQ(p) = J a a t J f G í p . Q n M p j d a í H p ) (2.8) o n d e o o p e r a d o r Jf* p o d e ser e s c o l h i d o co mo u m o p e r a d o r a d e q u a d o nã o n u l o da f o r m a (2.9)

s e n d o K Q u m a c o n s t a n t e real não nula. 0 o p e r a d o r Jf' deve ser a p l i c a d o s o b r e a p a r c e l a do c o n t o r n o o n d e são e s p e c i f i c a d a s c o n d i ç õ e s h o m o g ê n e a s de D i r i c h l e t . N a e q u a ç ã o (2.8) "JV^uÍp)" r e p r e s e n t a f o r ç a s / r e a ç õ e s f i c t í c i a s se o o p e r a d o r Jt* a t u a em r e g i õ e s de d e s l o c a m e n t o n ã o n u l o no con t o r n o . A s sim, se Jf’ é a p l i c a d o s o b r e todo o cont o r n o , isto é, o n d e e x i s t e m c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o de N e u m a n n e/ou D i r i c h l e t n ã o h o m o g ê n e a s , um t r a t a m e n t o a d i c i o n a l d e s t a s f o r ç a s / r e a ç õ e s f i c t í c i a s é n e c e s s á r i o . E x p e r i m e n t o s n u m é r i c o s i n d i c a m que v a l o r e s de K Q v a r i a n d o de 10,0 E - 6 até 10,0 E10 n ã o a l t e r a m s i g n i f i c a t i v a m e n t e os r e s u l t a d o s f i n a i s ( v a r i a ç ã o p r ó x i m a de 0%). O v a l o r de K Q d e v e ser e s c o l h i d o de tal m o d o que n ã o c o m p r o m e t a o c o n d i c i o n a m e n t o n u m é r i c o do s i s t e m a final de e q u a ç õ e s .

A e q u a ç ã o (2.7) t o r n a - s e

u(Q) = Jq ° ( p ’ Q) b ( p ) dG<p ) - Jao [ ( * * + * ’ ) G ( p , Q ) ] tu(p) dao(p) +

+ Jao G (p .Q) [ ( * + * ’) u(p)] dafí(p) (2.10)

que é a e x p r e s s ã o b á s i c a p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o do MFG LM. E s p e c i f i c a n d o - s e como c o n d i ç ã o de c o n t o r n o p a r a a e q u a ç ã o (2.2) o t e rmo e n t r e c o l c h e t e s da s e g u n d a p a r c e l a do lado d i r e i t o d a e q u a ç ã o (2.10), tem-se (**+#* ) G ( p , Q ) = 0 (2.11) A s sim, a s o l u ç ã o f u n d a m e n t a l G ( P,Q) do p r o b l e m a a d j u n t o

t o r n a - s e u m a f u n ç ã o de G r e e n . E s t e é o m o t i v o do n o m e " M é t o d o da F u n ç ã o de G r e e n " .

A e q u a ç ã o (2.10) t o r n a - s e e n t ã o

u(Q) = JfiG ( P , Q ) b(P) dfi(P) + J afíG ( p,Q) [ < * + * ' >u(p)] dcX>(p)

(

2

.

1 2

) O ú l t i m o t e r m o d a e q u a ç ã o (2.12) c o n t é m a e x p r e s s ã o "(Jf+Jf’ ) u (p )" o n d e e x i s t e m d e r i v a d a s de u(p) no s e n t i d o do traço ( d e r i v a d a s n o r m a i s de u(p ) ), i n d e s e j á v e i s p a r a a n á l i s e n umérica. P a r a e l i m i n a r este i n c o n v e n i e n t e d e f i n e - s e u m a n o v a v a r i á v e l F(p) tal que F(p) = (Jf+Jf* ) u (p ) (2.13) O i n c o n v e n i e n t e é e l i m i n a d o a p r o x i m a n d o F(p) n u m e r i c a m e n t e . S u b s t i t u i n d o a e q u a ç ã o (2.13) na e q u a ç ã o (2.12) o b t é m - s e u(Q) = JqG ( P , Q ) b(P) d«(P) + J 8qG ( p ,Q ) F(p) daí)(p) (2.14) N e s t a e q u a ç ã o não e s t ã o p r e s e n t e s d e r i v a d a s da f u n ç ã o de G r e e n n e m de F(p). C o m isto a o r d e m das s i n g u l a r i d a d e s é r e d u z i d a e a e q u a ç ã o é mais a p r o p r i a d a p a r a i n t e g r a ç ã o n u m é r i c a . E s t a e x p r e s s ã o f o r n e c e v a l o r e s de u(Q) p a r a Q e Q. T o m a n d o o t r aço de u(Q)

u(q) = lim u(Q) q e 9£>, Q e fí (2.15) Q-> q e a p l i c a n d o e s t a p r o p r i e d a d e à e q u a ç ã o (2.14), r e s u l t a u (q )= JfíG(P,q) b(P) dft(P) +

JaftG(

p,q) F(p) d5Q(p) (2.16) As e q u a ç õ e s (2.14) e (2.16) d e f i n e m o p r o b l e m a c o m p l e t a m e n t e , p o r é m e x i g e m o c o n h e c i m e n t o da f u n ç ã o de G r e e n p a r a o p r o b l e m a a s s o c i a d o , ou seja, um a s o l u ç ã o f u n d a m e n t a l co m c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o d e v i d a m e n t e e s p e c i f i c a d a s . No e n t a n t o , é p o s s í v e l c a l c u l a r p r o j e ç õ e s d e s t a e q u a ç ã o i nte gral de m a n e i r a s i m i l a r à e f e t u a d a p e l o M é t o d o de G a l e r k i n dos E l e m e n t o s de C o n t o r n o . P o d e - s e o b t e r p r o j e ç õ e s da f u n ç ã o de G r e e n m e s m o s e m o seu c o n h e c i m e n t o expl í c i t o . 2.2- D I S C R E T I Z A Ç A o D O D O M Í N I O E D O C O N T O R N O A d i s c r e t i z a ç ã o do d o m í n i o é f e i t a da m e s m a f orma qu e no M E F . U m m o d e l o de e l e m e n t o s f i n i t o s de u m d o m í n i o f e c h a d o í> é u m a r e g i ã o Q c R n a qua l é a u n i ã o de u m n ú m e r o f i n i t o E de s u b r e g i õ e s l i m i t a d a s f e c h a d a s 0 de R n , c a d a 0 s e n d o o e e f e c h a m e n t o de u m a r e g i ã o a b e r t a 0 : e Q = Q u dQ e e e (2. 17)

o n d e 90 é o c o n t o r n o de í> . As s u b r e g i S e s 0 s ã o c h a m a d a s e e e e l e m e n t o s f i n i t o s de 0 e s e l e c i o n a m o s 0 a p r o x i m a d a m e n t e como o f e c h a m e n t o de 0. A ssi m , E Q = U ft (2.18) e= 1 e Q n Q- = 0 s e e ^ f (2.19) 6 I A d i s c r e t i z a ç ã o do c o n t o r n o é f e i t a da m e s m a f o r m a que no MEC. 0 c o n t o r n o do d o m í n i o 0, d e n o m i n a d o aqui 3fl, p o d e ser d i v i d i d o e m "nele " e l e m e n t o s de c ont orno. A d i f e r e n ç a em r e l a ç ã o à m a l h a de e l e m e n t o s f i n i t o s é que e s t a d i s c r e t i z a ç ã o p o d e ou n ã o ter nó s d u p l o s o u a t é triplos, e m p o n t o s de d e s c o n t i n u i d a d e s das c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ou g e o m e t r i a (po nto s c o m n o rmal em d u a s ou três d i r e ç õ e s , r e s p e c t i v a m e n t e ) . U m a q u a n t i d a d e y q u a l q u e r " b e m - c o m p o r t a d a " no d o m í n i o 0 p o d e ser i n t e r p o l a d a c o m as f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o u s u a i s u t i l i z a d a s no MEF. y = tV>](y} (2 .20 ) o n d e {y} é o v e t o r c u j a c o m p o n e n t e "i" r e p r e s e n t a o v a l o r da q u a n t i d a d e y a v a l i a d a no nó "i" e [t|>] ê o v e t o r das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o de d o m í n i o , d a f orma

[V] = [Vj, V 2 , V>3 , V n t n ^ (2.21)

o n d e "ntn" é a q u a n t i d a d e total de nós do dom ínio.

A q u a n t i d a d e y p o d e ser i n t e r p o l a d a no c o n t o r n o com y = [

<t>]

{y} (2.22) o n d e {y } é o v e t o r c u j a c o m p o n e n t e "i" r e p r e s e n t a o v a l o r da q u a n t i d a d e y a v a l i a d a no nó "i" do c o n t o r n o e [❖] é o v e t o r das f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o do c o n t o r n o , da f o r ma [*] = [ V *2 , * 3 ... fn t n c l (2.23)

o n d e "nt nc" é o n ú m e r o total de nós do c o ntor no. As f u n ç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o de c o n t o r n o <Pj são toma d a s co mo o t r a ç o das funç õ e s de i n t e r p o l a ç ã o de d o m í n i o . 2 . 3 - A P R O X I M A Ç Ã O N U M É R I C A P E L O S M É T O D O S D O S E L E M E N T O S F I N I T O S E D O S E L E M E N T O S D E C O N T O R N O As q u a n t i d a d e s u ( Q ) , b(P) e F(p) são a g o r a d i s c r e t izad a s como d e f i n i d o na s e ç ã o a n t e r i o r u(Q) = C V ( Q ) ] ( u }D (2.24)

b(P) = [tf»(P)] {b} (2.25)

F(p) = [4>(pH {f} (2.26)

u (q ) = [<í*(q) ] {u}C (2.27)

D C

onde {u} e {u} r e p r e s e n t a m valores nodais do des locamento g e n e r a l i z a d o u no d o m í n i o e sobre o contorno; {b } e {f} r e p r e s e n t a m valores n odais das forças de corpo g e neralizadas e das reações ge n er a l i z a d a s no contorno, respectivame nte.

A eq uação (2.14) pode então ser r e es crita como

[V(Q)]{u}° = JfíG(P,Q)[tf>(p)]dft(P){b} +

+ J aíJG( p, Q) [ <D( p) ] da Q( p) { f } ( 2 . 2 8 )

A p l i c a n d o o m é t o d o de Galerkin, isto é, impondo a c o n d i ç ã o de ortogonal idade do resíduo com cada um a das funções de i n te r po l aç ã o de d o m í n i o (tomando a pr o jeção de u(Q) ortogonal a [ V ( Q ) J ) resulta:

JQ [V(Q)]t [V(Q)]dí>(Q){u}D = J Q[ V ( Q ) ] t JftG ( P , Q ) [ V ( P ) ] d í5( P) df í ( Q) { b} +

+ J Q[ V ( Q ) ] t J aííG ( p , Q ) [4>( p) ] daQ( p) df í ( Q) { f } (2.29)

A eq uação (2.29) pode ser adequ ad a me n te r e p r e s en t ad a por