Capítulo 9. A Derivada de uma Função. 9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos

(1)

A Derivada de uma Fun¸

c˜

ao

9.1 Defini¸

c˜

ao

No Cap. 5, motivados pela geometria, vimos que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma fun¸cão

f , em um ponto (x0, f (x0)), é obtido tomando-se o limite das declividades de uma seqüência de retas secantes que convergem para a tangente, mais precisamente, o coeficiente angular m da tangente ´e dado por

m = lim

x→x0

f (x)− f(x0)

x− x0 conforme mostra o diagrama a seguir:

Esta defini¸cão do coeficiente angular da tangente ao gráfico de uma fun¸c˜ao f , no ponto (x0, f (x0)), nos leva à defini¸cão de derivada de uma fun¸cão em um ponto.

Defini¸c˜ao

A derivada de uma fun¸cão f em um ponto x0 do seu dom´ınio, denotada por f′(x0) (lê-se f linha de x zero) é

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f(x0)

x− x0

, se esse limite existir.

Neste caso, dizemos que a fun¸cão f é derivável ou diferenciável nesse ponto. Se f for derivável em todos os pontos do seu dom´ınio, dizemos, simplesmente, que f é derivável ou diferenciável.

A raz˜ao f (x)− f(x0)

x− x0 ´

e chamada de raz˜ao incremental ou quociente de diferen¸cas. ´

E importante notar que f′(x0) ´e a declividade da reta tangente ao gr´aﬁco de f no ponto (x0, f (x0)). Assim, a fun¸c˜ao f ´e deriv´avel em x0se e somente se existe a reta tangente (n˜ao vertical) `a curva y = f (x), no ponto (x0, f (x0)).

9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos

Exemplo 1

Considere a fun¸c˜ao f(x) = 1

x, x̸= 0. Para determinar a derivada dessa fun¸c˜ao, em um ponto x0qualquer, precisamos

calcular lim

x→x0

f (x)− f(x0)

x− x0

, isto ´e, estudar o comportamento da raz˜ao incremental f (x)−f(x0)

x−x0 , quando x se aproxima

de x0. Neste exemplo particular

f (x)− f(x0) x− x0 = 1 x− 1 x0 x− x0 . 125

(2)

Com a experiência adquirida no estudo de limites, sabemos que o comportamento desta raz˜ao, quando x se aproxima de x0, se torna claro ap´os algumas manipula¸cões algébricas. Assim, simplificando a fra¸cão, obtemos:

1 x− 1 x0 x− x0 = x0−x x x0 x− x0 =− x− x0 (x− x0) x x0 =− 1 x x0 A partir desta igualdade vemos imediatamente que

f′(x0) = lim x→x0 1 x− 1 x0 x− x0 = lim x→x0 − 1 x x0 =− 1 x2 0 .

Examinando o gráfico da fun¸c˜ao f (veja a seguir) podemos verificar que o resultado obtido ´e consistente com o significado geométrico da derivada de uma fun¸c˜ao. Como x2

0 ´e sempre positivo, a derivada f′(x0) =− 1

x2 0

´

e sempre negativa. Isso corresponde ao fato de que as retas tangentes ao gráfico da fun¸c˜ao f descem em dire¸c˜ao à direita. (Por quê?) Al´em disso, quando x0 está próximo de zero −_x12

0

´

e um número negativo de valor absoluto muito grande e, portanto, a reta tangente ´e quase vertical; quando x0cresce em valor absoluto, −x102 é quase zero e a reta tangente é

quase horizontal. –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 –3 –2 –1 1 x 2 3 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 –3 –2 –1 1 x 2 3

Na realidade, mais tarde, em vez de usarmos o gráfico da fun¸cão para verificar se a derivada foi calculada correta-mente, como foi feito neste exemplo, usaremos a derivada para nos ajudar a tra¸car gráficos de fun¸cões.

Exemplo 2

Considere a fun¸c˜ao f (x) = x3_{. Como das vezes anteriores, para calcular a derivada desta fun¸}_c˜_{ao no ponto x} 0 ´e preciso calcular o lim

x→x0

x3− x30

x− x0

. Este limite pode ser calculado facilmente simpliﬁcando-se a raz˜ao incremental, como se segue: x3− x3₀ x− x0 = (x− x0) (x 2_{+ x x0}_{+ x}2 0) x− x0 = x2+ x x0+ x2₀ Da´ı, conclu´ımos imediatamente que

lim x→x0 x3_{− x}3 0 x− x0 = lim x→x0 (x2+ x x0+ x02) = 3 x02. Exemplo 3

De um modo geral, o racioc´ınio empregado no exemplo anterior para calcular a derivada da fun¸c˜ao f (x) = x3pode ser empregado no cálculo das derivadas das fun¸c˜oes f (x) = xn, onde n é um inteiro positivo em um ponto x0qualquer. Para isso é necessário calcular o

lim x→x0 xn_{− x}n 0 x− x0 .

Como (x− x0) ´e um fator do polinˆomio xn _{− x}n

0, para calcular o limite acima, basta, como no exemplo anterior, simpliﬁcar o quociente xn−xn0

x−x0 . Nesse caso geral, teremos:

xn_{− x}n

0

x− x0

= x(n−1)+ x0x(n−2)+ x02x(n−3)+ . . . + x(n₀ −2)x + x(n₀ −1).

Desta última expressão, sem dificuldade, obtemos lim

x→x0

xn− xn0

x− x0

= n x(n₀ −1),

(3)

Exemplo 4

Vamos, agora, calcular a derivada da fun¸c˜ao f (x) =√x, em um ponto x0 > 0 qualquer. Para isso temos que calcular lim x→x0 √ x− √x0 x− x0 . Como (√x− √x0) ( √ x +√x0) = x− x0, temos que √ x− √x0 x− x0 = ( √ x− √x0) (√x− √x0) (√x +√x0)= 1 √ x +√x0 . Logo, lim x_→x0 √ x− √x0 x− x0 = lim x_→x0 1 √ x +√x0 = 1 2√x0 .

Observe que este limite n˜ao existe quando x0= 0. Deste modo, o dom´ınio de f′´e o intervalo (0, +∞), que ´e menor que o dom´ınio da fun¸c˜ao f .

9.2.1 Exerc´ıcios

1. Seja f (x) = x2_.

(a) Calcule a derivada de f nos pontos x = 1, x = 2

3, x =−2.

(b) O que representa, geometricamente, o valor encontrado, em cada um dos pontos dados, no item anterior? 2. (a) Levando em conta a defini¸cão geométrica da derivada de uma fun¸cão, o que se pode concluir a respeito da

derivada de uma fun¸c˜ao constante?

(b) Prove a sua conclusão, isto é, usando a defini¸c˜ao, mostre que se f (x) = c, c um n´umero real qualquer, então

f′(x) = 0 para todo x.

(c) Qual o maior dom´ınio da derivada calculada no item anterior?

(d) Os itens anteriores mostram que a reta tangente ao gráfico de uma fun¸cão constante coincide com o gráfico desta fun¸cão. Dê exemplo de uma fun¸cão não constante, cujo gráfico coincida com a sua reta tangente em todos os pontos de seu dom´ınio. Neste caso, o que se pode afirmar a respeito da derivada desta fun¸cão? (Veja o próximo exerc´ıcio)

3. (a) Se o gr´aﬁco de y = f (x) ´e uma reta, qual a derivada de f ?

(b) Qual a derivada da fun¸c˜ao f (x) = a x + b? (Observa¸c˜ao: Vocˆe n˜ao precisa fazer nenhuma conta para responder as perguntas anteriores!)

(c) Se f (x) ´e a fun¸c˜ao deﬁnida no item anterior, prove, analiticamente, que f′(x) = a. (d) Qual o maior dom´ınio da derivada calculada no item anterior?

4. (a) Qual a declividade da reta tangente ao gráfico da fun¸c˜ao f (x) = x3no ponto (2, 8). (b) Seja g a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, a3_{). Ache uma equa¸c˜}_{ao desta reta.}

(c) Se a̸= 0, mostre que f e g se interceptam em dois pontos. 5. Use a f´ormula obtida no Exemplo 3 para calcular a derivada de:

(a) f (x) = x5 (b) f (x) = x100

6. Suponha que f (x) = x3. Calcule:

(a) f′(9), f′(25), f′(36) (b) f′(32_{), f}′₍₅2_{), f}′₍₆2₎ _{(c) f}′_{(a), f}′_(a2_{), f}′_(x2₎

7. Se f (x) ´e uma fun¸cão diferenci´avel e c um n´umero real qualquer, use o significado geométrico da derivada de uma fun¸cão para obter uma f´ormula para g′(x) em cada um dos itens abaixo: (Veja Atividades de Laborat´orio.)

(a) g(x) = f (x) + c (b) g(x) = f (x + c)

(c) g(x) = c f (x) (d) g(x) = f (c x)

(e) g(x) = c f (c x)

(f) Use a defini¸cão de derivada para comprovar a sua intui¸cão geométrica. (g) Use os resultados obtidos acima para calcular f′(x), nos seguintes casos:

i. f (x) = (x + 3)5 ii. f (x) = x5_{+ 100}

iii. f (x) = 2 (x4_{− 3)} iv. f (x + 3) = x5

(4)

9.3 Outras nota¸

c˜

oes para a derivada de uma fun¸

c˜

ao

Na deﬁni¸c˜ao de derivada de uma fun¸c˜ao f em um ponto x0,

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f(x0)

x− x0

fazendo x− x0= ∆ x, ou seja, x = x0+ ∆ x, o limite acima se transforma em

f′(x0) = lim ∆ x→0 [ f (x0+ ∆ x)− f(x0) ∆ x ] .

Quando n˜ao estamos interessados em caracterizar um determinado ponto x0, escrevemos simplesmente para um ponto x qualquer: f′(x) = lim ∆ x→0 [ f (x + ∆ x)− f(x) ∆ x ] .

Esta nota¸c˜ao nos mostra claramente que a cada x associamos o valor f′(x), obtendo assim uma nova fun¸c˜ao f′, a derivada da fun¸c˜ao original f . O dom´ınio de f′´e o conjunto de todos os pontos x do dom´ınio de f tais que este limite existe.

Outros s´ımbolos podem ser empregados para denotar a derivada de uma fun¸c˜ao. `

As vezes pode ser conveniente denotar f′(x) por Dx(f (x)). O ´ındice x, em D, tem por objetivo designar a vari´avel

independente em rela¸cão à qual estamos calculando a derivada da fun¸c˜ao f . Por exemplo, se a fun¸cão f ´e uma fun¸cão da vari´avel independente t, escreve-se f′(t) = Dt(f (t)). Quando n˜ao houver possibilidade de dúvida em rela¸cão

a esta variável, isto é, quando a vari´avel independente for claramente explicitada, podemos escrever D(f (x)) ou, simplesmente, D(f ) para designar a derivada da fun¸cão f em rela¸cão a sua variável independente. Os s´ımbolos Dx,

Dt, D s˜ao chamados operadores diferenciais, porque quando aplicados a uma fun¸cão têm o efeito de uma opera¸cão,

cujo resultado é a derivada (ou diferencial) da fun¸cão dada. Os s´ımbolos, acima, isoladamente, não têm significado algum, no entanto quando aplicados a uma expressão obtém-se a sua derivada.

Veja os exemplos abaixo:

(a) Dx(3 x2− 5 x + 4) = D (3 x2− 5 x + 4) = 6 x − 5

(b) D f (x) = f′(x) (c) Dx(a x + b) = a

O Maple usa o s´ımbolo D para calcular a fun¸c˜ao derivada de uma dada fun¸c˜ao f . Veja como isto pode ser feito nos exemplos abaixo: > _{f:=x->3*x^2-5*x+4;} f := x→ 3 x2_{− 5 x + 4} > _{derivada:=D(f);} derivada := x→ 6 x − 5 > _D(f)(x); 6 x− 5 > D(f)(2); 7 > _g:=y->a*y+b; g := y→ a y + b > _D(g); y→ a

9.3.1 A nota¸

c˜

ao de Leibniz

Leibniz, ao desenvolver sua vers˜ao do c´alculo (por volta de 1675), denotou as derivadas pelo s´ımbolo df_dx, em vez de

f′(x). Sua nota¸c˜ao provém da defini¸cão de derivada e nos ajuda a ter em mente seu significado geométrico. Para explicar a nota¸cão de Leibniz, vamos come¸car com uma fun¸c˜ao y = f (x) e escrever o quocientef (x)−f(x0)

x−x0 . Este

quociente, que representa, geometricamente, a declividade da reta secante `a curva y = f (x), que passa pelos pontos (x0, f (x0)) e (x, f (x)), pode ser escrito na forma ∆ y_{∆ x} , onde ∆ x = x− x0 e ∆ y = f (x)− f(x0). O denominador, portanto, é a diferen¸ca de dois valores de x e o numerador, a diferen¸ca correspondente nos valores de f . Por este motivo é chamado de quociente de diferen¸cas. Este fato é ilustrado no desenho:

(5)

x ∆ y ∆ f(x )o x o f(x) x ´

E importante ressaltar que, neste contexto, ∆ y n˜ao é uma diferen¸ca entre quaisquer dois valores da fun¸c˜ao f , mas o incremento ocorrido nos valores da fun¸c˜ao f quando a variável independente muda de x0 para x0+ ∆ x, isto ´e, quando h´a um incremento de valor ∆ x na vari´avel independente. Por este motivo este quociente é também chamado de razão incremental e pode ser interpretado como a razão da varia¸c˜ao de y pela varia¸c˜ao de x ao longo da curva

y = f (x). (Veja o cap´ıtulo Velocidade, Acelera¸c˜ao e Outras Taxas de Varia¸c˜ao).

O limite deste quociente de diferen¸cas quando ∆ x tende a zero ´e, como j´a vimos, a derivada da fun¸c˜ao f , isto ´e, se y = f (x),

f′(x) = lim ∆ x→0

∆ y ∆ x.

Leibniz usou a nota¸cão dy_dx (leia-se: a derivada de y em rela¸cão a x ou, simplesmente, dy,dx) para denotar este limite. Assim, usando a nota¸cão de Leibniz, temos que

dy dx = lim∆ x→0 ∆ y ∆ x, isto ´e, dy dx = f ′_(x).

Note que dy_dx, apesar da forma como é escrito, é um único s´ımbolo individual, não o quociente de duas quantidades,

dy e dx, que, at´e agora, não foram definidas. (Para entender como ´e poss´ıvel definir dy e dx de tal modo que o s´ımbolo

dy

dx, usado para denotar a derivada de uma fun¸c˜ao y = f (x), seja realmente a raz˜ao entre duas quantidades veja o Cap.

19 ).

A nota¸c˜ao de Leibniz apresenta a vantagem de nos fazer lembrar, rapidamente, de todo o processo de se formar o quociente de diferen¸cas ∆ y_{∆ x} e calcular o seu limite quando ∆ x→ 0 (a passagem ao limite ´e simbolicamente expressa pela substitui¸c˜ao da letra grega ∆ pela letra d ).

Há muitas varia¸cões sobre esta nota¸cão, escolhidas de acordo com as conveniências do contexto onde são empre-gadas. Por exemplo, se

y = 2 x2+ x ⇒ dy dx = 4 x + 1 , ou, ainda, se f (x) = 2 x2+ x ⇒ df dx = 4 x + 1 , ou, ainda, d (2 x2_{+ x)} dx = 4 x + 1 .

Todas estas são maneiras aceitáveis de se dizer que a derivada da fun¸c˜ao definida por f (x) = 2 x2+ x é uma outra fun¸c˜ao dada por f′(x) = 4 x + 1.

De maneira an´aloga, d (5 t_dt2−4 t)= 10 t− 4, e se z = 12 x2_{− 4, ent˜ao} dz

dx = 24 x.

A nota¸c˜ao dy_dx

x=x0

expressa a derivada da fun¸c˜ao y = f (x) calculada no ponto x = x0, isto ´e, se

y = f (x)⇒ dy dx x=x0 = f′(x0) .

A nota¸cão de Leibniz é particularmente apropriada nas aplica¸cões. Além disso, certas regras fundamentais e propriedades operatórias são mais fáceis de lembrar e usar quando as derivadas são escritas na nota¸cão de Leibniz. (Veja o cap´ıtulo Teoremas e Propriedades Operatórias.)

O Maple usa o comando diff(f,x) para calcular a derivada de uma fun¸cão ou expressão algébrica em rela¸cão `

a vari´avel x. O programa usa tamb´em uma simbologia um pouco diferente para designar derivadas com a nota¸cão de Leibniz arredondando a letra d. Você verá posteriormente em Cálculo II a utiliza¸cão deste s´ımbolo para designar derivadas parciais para fun¸cões de várias variáveis. Assim, para o Maple, df

dx = ∂

(6)

> _diff(x^2,x); 2 x > f:=x->x^2; f := x→ x2 > _{diff(f(x),x);} 2 x > _{Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);} ∂ ∂xx 2_{= 2 x}

9.3.2 Exerc´ıcios

1. As afirma¸cões abaixo foram escritas usando-se a nota¸cão de Leibniz para derivadas. Interprete cada uma delas. (a) d xn dx = n x (n−1) (b) Se z = 1_y, então dz_dy =−_y12 (c) d [f (x)+c]_dx =d f (x)_dx 2. Seja y = f (x) e z = y + c. Calcule dz_dx.

9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade

Pela nossa experiência no estudo de retas tangentes é fácil concluir que existem fun¸cões que, em alguns pontos, não tˆem reta tangente; portanto, em tais pontos, f′ não está definida. Conseqüentemente, em alguns casos o dom´ınio de

f′ ´e um conjunto menor que o dom´ınio de f .

Vamos ilustrar esta aﬁrma¸c˜ao com alguns exemplos.

Exemplo 1

Considere a fun¸c˜ao f (x) =| x |. Já vimos, geometrica-mente, que não existe reta tangente ao gráfico dessa fun¸cão no ponto (0, 0). Geometricamente também é fácil ver que, para cada x > 0, a inclina¸c˜ao da reta tangente a esse gráfico é 1 (por quˆe?); e que, para cada x < 0, a inclina¸c˜ao da tan-gente é−1 (por quê?).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 –2 –1 1 2 x

Na primeira se¸cão deste cap´ıtulo, definimos a derivada de uma fun¸c˜ao em um ponto x0como a declividade da reta tangente ao seu gráfico neste ponto. Vamos usar esta defini¸cão para mostrar, rigorosamente, que a fun¸c˜ao f (x) =| x |, n˜ao tem derivada no ponto (0, 0), portanto, n˜ao existe reta tangente ao gráfico desta fun¸cão neste ponto. Para isso vamos calcular o lim

x→0

f (x)− f(x0)

x− x0

, para x0= 0. Neste caso particular,

lim x→0 f (x)− f(x0) x− x0 = lim x→0 | x | x .

Como, | x |_x = 1, para x > 0, ent˜ao lim

x→0+

| x |

x = 1, e como

| x |

x =−1, para x < 1, temos que lim x→0−

| x | x =−1.

Como os limites laterais s˜ao diferentes, podemos concluir que n˜ao existe o limite procurado.

Os dois limites laterais calculados no exemplo anterior s˜ao chamados derivada lateral `a direita e derivada lateral `a esquerda, respectivamente, da fun¸c˜ao f no ponto zero.

A derivada desta fun¸c˜ao existe em qualquer outro ponto x0̸= 0. De fato,

f′(x) = { 1, x > 0 −1, x < 0 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8x 1

(7)

Repare que f′(x) n˜ao est´a definida para x = 0 e, portanto, f n˜ao é diferenciável neste ponto.

Exemplo 2

Uma dificuldade semelhante àquela apresentada no exemplo anterior ocorre com a fun¸cão

f (x) =

{

x2, se x≥ 0

−x , se x < 0. No ponto x0= 0, temos que f (x)−f(0)_x =

{_x2 x x > 0 −x x x < 0 , ou seja, f (x)− f(0) x = { x, x > 0 −1, x < 0.

Conseq¨uentemente, lim

x→0+

f (x)− f(0)

x = 0 e limx→0−

f (x)− f(0) x =−1.

Como as derivadas laterais s˜ao diferentes, podemos concluir que n˜ao existe f′(0) = lim

x→0

f (x)− f(0)

x , isto ´e, f n˜ao

´

e diferenci´avel em zero. Novamente, podemos facilmente concluir que f′(x) existe para qualquer outro ponto x0̸= 0.

Exerc´ıcio Demonstre que f′(x) = {

2 x, x > 0 −1, x < 0.

Os gr´aﬁcos de f e de f′, respectivamente, s˜ao mostrados a seguir.

–2 –1 0 1 2 y –2 –1 1 2 x –2 –1 0 1 2 y –2 –1 1 2 x Exemplo 3

Vamos examinar agora a fun¸c˜ao f (x) = x(1

3) cujo gráfico tra¸camos abaixo. Convém observar aqui que o Maple

deﬁne esta fun¸c˜ao apenas para valores positivos de x. Se quisermos considerar esta fun¸c˜ao deﬁnida em toda a reta real usando o Maple, precisamos utilizar uma sub-rotina, chamada surd, que faz esta convers˜ao automaticamente da seguinte maneira:

Se x≥ 0, ent˜ao surd(x, n) = x(1

n). Se x < 0, ent˜ao surd(x, n) =−(−x(1n)).

Abaixo, utilizamos este comando para tra¸car o gráfico desta fun¸cão no intervalo [−2, 2].

> f:=x->surd(x,3): > plot(f(x),x=-2..2,y=-2..2); –2 –1 0 1 2 y –2 –1 1 2 x

Neste caso, para x0= 0,

f (x)− f(0) x = x(1 3) x = 1 x(2 3) .

A express˜ao acima se torna arbitrariamente grande quando x→ 0; portanto, a fun¸cão f não é diferenciável no zero, pois não existe o lim

x_→0

f (x)− f(0)

(8)

Observe os diagramas a seguir e examine o comportamento das retas secantes `a curva passando pela origem e por um ponto (x, f (x)) qualquer da curva `a medida que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, respectivamente.

Geometricamente, este comportamento significa que, embora f n˜ao seja diferenci´avel em (0, 0), o gráfico de f apresenta uma reta tangente vertical neste ponto.

Exemplo 4

A situa¸cão se torna um pouco pior quando examinamos a fun¸c˜ao y =√|x|, cujo gráfico é seguinte:

5 10 15 20 25 30 –1000 –600 –200 0 200 400 600 800 1000x

Calculando o quociente de diferen¸cas para x0= 0, obtemos:

f (x)− f(0) x = {√_x x , x > 0 √ −x x , x < 0 = { ₁ √ x, x > 0 −_√1 −x, x < 0 .

Neste caso, mais uma vez, como os limites laterais n˜ao existem, f′(0) = lim

x→0

f (x)− f(0)

x tamb´em n˜ao existe e,

conseq¨uentemente, f n˜ao ´e diferenci´avel em x0= 0. Al´em disso, lim x_→0+ f (x)− f(0) x = limx_→0+ 1 √ x= +∞,

pois os valores de √1_x se tornam arbitrariamente grandes quando x se aproxima de zero pela direita e,

lim x→0− f (x)− f(0) x = limx→0−− 1 √ −x =−∞

pois, quando x se aproxima de zero pela esquerda, os valores de −√1

−x se tornam arbitrariamente grandes em valor

absoluto, mas s˜ao sempre negativos.

O diagrama a seguir ilustra estas aﬁrma¸c˜oes.

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 –2 –1 _x1 2

(9)

Estes dois últimos exemplos motivam a defini¸cão dada a seguir.

Defini¸c˜ao: Reta tangente vertical

A curva y = f (x) admite uma reta tangente vertical no ponto (x0, f (x0)) se f ´e cont´ınua em x0 e f′(x) tende a +∞ ou −∞ quando x → x+₀ e/ou quando x → x−₀. Se f′(x) tender a +∞ por um lado e a −∞ por outro, dizemos

que a fun¸c˜ao tem uma c´uspide em x0.

(A exigˆencia de que f seja cont´ınua em x = x0 implica que f (x0) deve ser definida neste ponto, pois não teria sentido exigir uma reta (vertical ou n˜ao) tangente a uma curva y = f (x) em um ponto x0onde a fun¸cão não estivesse definida.)

Dos exemplos acima, podemos concluir que, graficamente, o dom´ınio de f′ é o conjunto de todos os pontos para os quais a fun¸c˜ao original f tem uma tangente n˜ao vertical. Portanto, a fun¸c˜ao f n˜ao é diferenciável nos pontos onde o seu gráfico forma “bicos” ou muda abruptamente de dire¸cão ou nos pontos onde a reta tangente é vertical ou nos pontos onde ela não ´e cont´ınua. Nos exemplos dados, o dom´ınio de f′ est´a contido (estritamente) no dom´ınio de f .

Até agora estudamos a diferenciabilidade de fun¸cões em determinados pontos. Como foi feito no estudo de con-tinuidade (Cap. 8 ), podemos estender este conceito a todo um intervalo. As defini¸c˜oes a seguir têm este objetivo.

Defini¸c˜ao: Diferenciabilidade em intervalos abertos

Dizemos que uma fun¸cão é diferenciável em um intervalo aberto (a, b) se o é para todo ponto x0 em (a, b). Esta defini¸cão é estendida, naturalmente, às fun¸c˜oes definidas em intervalos do tipo (a,∞), (−∞, a) ou a toda reta.

Defini¸c˜ao: Diferenciabilidade em intervalos fechados

Uma fun¸cão f é diferenciável em um intervalo fechado [a, b] se é diferenciável em (a, b) e se existem as derivadas laterais à direita no ponto a e à esquerda no ponto b, isto é, se existem os limites

lim h_→0+ f (a + h)− f(a) h e hlim_→0− f (b + h)− f(b) h .

Se f está definida em um intervalo [a,b], as derivadas laterais acima nos permitem, tamb´em, definir a declividade da reta tangente `a curva y = f (x) nos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Assim, o coeficiente angular da reta tangente `a curva no ponto (a,f(a)) ´e dado por

lim

h→0+

f (a + h)− f(a) h

e o coeﬁciente angular da reta tangente no ponto (b,f(b)) por lim

h_→0−

f (b + h)− f(b)

h .

Veja os gráficos a seguir, onde a fun¸c˜ao y =−x2_{+ 4 est´}_{a definida no intervalo fechado [a, b] = [}_{−2, 2]. O primeiro} mostra a derivada lateral `a direita em a =−2; o segundo, a derivada lateral à esquerda em b = 2.

2 4 6 8 10 y –2 –1 1 2 x 2 4 6 8 10 y –2 –1 1 2 x

Utilizando-se as derivadas laterais em um dos extremos, deﬁne-se de maneira an´aloga a diferenciabilidade em intervalos da forma [a,b), [ a,∞ ), (a,b] e ( −∞, b].

Da mesma maneira, dizemos que uma curva y = f (x) tem uma reta tangente vertical no extremo de um intervalo fechado onde estiver definida se f for cont´ınua neste ponto e se as derivadas laterais (`a esquerda ou à direita, conforme o caso) crescerem sem limite, em valor absoluto. Veja o gráfico a seguir que exemplifica esta situa¸cão para a fun¸cão

(10)

9.4.1 Exerc´ıcios

1. (a) Calcule a derivada da fun¸c˜ao f (x) = [[x]], onde o s´ımbolo [[ . ]] denota o maior inteiro menor ou igual a x. (b) Calcule lim

x→0+

f (x)− f(0)

x e limx→0−

f (x)− f(0)

x . O que signiﬁcam estes limites?

(c) Qual o dom´ınio de f′.

2. Mostre que a fun¸c˜ao f (x) =−x(1

3) apresenta uma reta tangente vertical em (0, 0).

9.5 Diferenciabilidade e continuidade

Na se¸c˜ao Derivadas Laterais e Diferenciabilidade, estudamos alguns exemplos de fun¸c˜oes que são cont´ınuas mas não são diferenci´aveis. Quando estudamos fun¸cões cont´ınuas, afirmamos que ser cont´ınua seria a primeira propriedade que

uma fun¸cão “razoavelmente bem comportada” deveria satisfazer. De uma certa maneira, as fun¸cões diferenciáveis têm um “comportamento melhor” do que aquelas que simplesmente são cont´ınuas. Neste sentido, ser diferenciável é uma condi¸cão mais forte que ser cont´ınua. O teorema abaixo torna clara esta última afirma¸cão.

Teorema

Se f é uma fun¸cão diferenciável em um ponto x0, então f é cont´ınua em x0.

Demonstra¸c˜ao

Para mostrar que f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, precisamos provar que lim

x_→x0

f (x) = f (x0). Isto ´e equivalente a mostrar que lim

x→x0

(f (x)− f(x0)) = 0. Como x̸= x0 (por quˆe?), temos que

lim x→x0 (f (x)− f(x0)) = lim x→x0 (f (x)− f(x0)) (x− x0) (x− x0) .

Como, por hip´otese, f ´e diferenci´avel em x0, existe o lim

x→x0

f (x)− f(x0)

x− x0

, e este limite ´e igual a f′(x0). Estes fatos nos permitem aﬁrmar que

lim x→x0 ( (f (x)− f(x0)) (x− x0) (x− x0) ) = lim x→x0 ( f (x)− f(x0) x− x0 ) . lim x→x0 (x− x0) = f′(x0).0 = 0 , o que demonstra o teorema.

´

E muito importante lembrar que a rec´ıproca do teorema acima não vale. Uma fun¸cão diferenciável é cont´ınua, mas uma fun¸cão cont´ınua não precisa ser, necessariamente, diferenciável (se você se lembrar da fun¸c˜ao f (x) =| x |, jamais esquecerá qual dessas duas afirma¸cões é a verdadeira e qual é a falsa).

(11)

As fun¸c˜oes cont´ınuas, examinadas na se¸c˜ao Derivadas Laterais e

Diferenciabilidade, s˜ao diferenciáveis, exceto em um ponto. É fácil dar exemplos de fun¸cões cont´ınuas que não são diferenciáveis em vários pontos, até mesmo em um número infinito de pontos (veja figura ao lado).

Existem exemplos muito piores do que esse. Existem fun¸cões que são cont´ınuas em todos os pontos da reta mas não são

difer-enci´aveis em nenhum! –1.5

–1 –0.5 0.5 1 1.5 –20 –10 10 20 x

Em 1872, o matemático alemão Weierstrass chocou a comunidade matemática com um exemplo deste tipo, apre-sentando a seguinte fun¸cão:

f (x) = ∞ ∑ n=0 (1 2) n_cos(13n_{π x)}

Evidentemente, num curso de Cálculo I não é poss´ıvel demonstrar a afirma¸cão acima, mas você pode ter uma ideia geométrica desta fun¸cão observando o gr´afico abaixo para n = 15 e deduzindo como seria uma fun¸c˜ao deste tipo.

–1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5_x 2 2.5 3

9.5.1 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1

1. Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f :R → R cont´ınua em toda a reta e que n˜ao tenha derivada em x = 2.

2. A figura a seguir mostra o gráfico da derivada de uma fun¸c˜ao f . Sabendo que f é cont´ınua em x = 1, trace um esbo¸co do seu gráfico.

–6 –4 –2 2

x

9.6 Derivadas de ordem superior

Vimos nas se¸cões anteriores que, por meio do processo de deriva¸cão, é poss´ıvel obter, a partir de uma dada fun¸c˜ao f , uma outra fun¸c˜ao f′, a derivada de f , cujo dom´ınio pode ser consideravelmente menor do que o dom´ınio da fun¸cão f original. É claro que a no¸cão de derivabilidade e o processo de deriva¸cão podem ser aplicados a esta nova fun¸c˜ao f′, definindo-se, assim, uma outra fun¸c˜ao (f′)′, cujo dom´ınio consiste de todos os pontos x0tais que f′é deriv´avel em x0. A fun¸c˜ao (f′)′ ´e denotada, simplesmente por f′′(lˆe-se: f duas linhas) e chamada a derivada segunda de f . Se f′′(x0) existe, ent˜ao dizemos que f ´e duas vezes derivável (diferenci´avel) em x0, e o n´umero f′′(x0) é a derivada segunda de

f calculada no ponto x = x0.

Da mesma maneira podemos deﬁnir a derivada terceira de f como f′′′ = (f′′)′, e assim por diante. De uma maneira geral, se k ´e um inteiro positivo, ent˜ao f(k)_{denota a derivada de ordem k de f , que ´}_{e obtida derivando-se f ,}

(12)

sucessivamente, k vezes. As v´arias fun¸c˜oes para k≥ 2 s˜ao, usualmente, chamadas derivadas de ordem superior de f. `

As vezes, ´e conveniente pensar na fun¸c˜ao original como a derivada de ordem zero e escrever f = f(0).

Muitas nota¸cões podem ser empregadas para as derivadas de ordem superior de uma fun¸cão. Usando a nota¸cão de operadores escrevemos

f′′(x) = Dx(f′(x)) = Dx(Dx(f (x))) = Dx2(f (x))

e, de maneira geral,

f(k)(x) = Dxkf (x).

Quando não houver possibilidade de dúvidas a respeito da variável independente podemos escrever, simplesmente,

f′′= D2_{f e f}(k)_{= D}k_{f .}

Usando a nota¸c˜ao de Leibniz escreve-se f′′(x) =d 2_{f (x)}

dx2 e, de maneira geral, f(k)(x) = d

k_{f (x)}

dxk

De maneira an´aloga, o Maple denota estas derivadas usando a seguinte nota¸c˜ao:

f′′(x) = ∂ 2

∂x2f (x) , f

′′′_{(x) =} ∂3

∂x3f (x) . . .

Os exemplos a seguir mostram como as derivadas de ordem superior est˜ao relacionadas com a fun¸c˜ao original.

9.6.1 Exemplos

Exemplo 1

Seja f (x) = x2_{. Ent˜}_{ao, ´}_{e f´}_{acil veriﬁcar que f}′_{(x) = 2 x, f}′′_{(x) = 2 e f}(k)_{(x) = 0, para k}_{≥ 3.}

Observando os gráficos destas fun¸cões, tra¸cados a seguir, tente relacionar as principais caracter´ısticas da fun¸cão original com o comportamento das suas duas primeiras derivadas.

0 1 2 3 4 –2 –1 1 2 x f –4 –2 2 4 –2 –1 _x1 2 Derivada de f 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 –2 –1 0 1 2 x Derivada Segunda de f Exemplo 2

Um exemplo mais ilustrativo ´e dado pela fun¸c˜ao f (x) = {

x2_, _{x > 0}

−x2_, _x_{≤ 0}. E f´´ acil ver que f′(x) = {

2 x , x > 0 −2 x , x < 0.

Al´em disso, f′(0) = lim

x→0 f (x)− f(0) x = limx→0 f (x) x . Como lim x→0+ f (x) x = limx→0+ x2 x = 0 e xlim→0− f (x) x = limx→0− − x2 x = 0,

ent˜ao f′(0) = 0. Resumindo, f′(x) = 2| x |. Veja os gr´aﬁcos de f e f′, a seguir.

–4 –2 2 4 –2 –1 1_x 2 0 1 2 3 4 –2 –1 1_x 2 Neste caso, f′′(x) = { 2 , x > 0

−2 , x < 0 e, como j´a vimos, n˜ao existe f′′(0). Veja, abaixo, o gr´aﬁco de f′′.

–2 –1 1 2

(13)

Repare que mesmo fun¸cões aparentemente “suaves”, como a analisada neste exemplo, revelam um certo tipo de irregularidade quando se examina a sua segunda derivada. Portanto, exigir que uma fun¸cão seja duas vezes derivável (diferenciável) é mais restritivo do que exigir, simplesmente, que ela seja derivável. De um modo geral, quando dizemos que uma fun¸cão é “bem comportada” estamos afirmando que tal fun¸cão é pelo menos duas vezes derivável em todos os pontos do seu dom´ınio.

Exemplo 3: Derivando fun¸c˜oes com o aux´ılio do Maple

Veja como é poss´ıvel usar o Maple para calcular as três primeiras derivadas da fun¸c˜ao f (x) = x4_{. Primeiro,} definimos a fun¸c˜ao f

> _f:=x->x^4;

f := x→ x4

e a seguir calculamos as suas derivadas:

> _{Diff(f,x)=diff(f(x),x);} ∂ ∂xf = 4 x 3 > Diff(f,x,x)=diff(f(x),x,x); ∂2 ∂x2f = 12 x 2 > Diff(f,x,x,x)=diff(f(x),x,x,x); ∂3 ∂x3f = 24 x ou, equivalentemente: > _{Diff(f,x$3)=diff(f(x),x$3);} ∂3 ∂x3f = 24 x

Observe agora como podemos deﬁnir as trˆes primeiras fun¸c˜oes derivadas de f usando o Maple:

> D(f); x→ 4 x3 > D(D(f)); x→ 12 x2 > _(D@@2)(f); x→ 12 x2 > _{(D@@2)(f)(x);} 12 x2

9.6.2 Exerc´ıcios

1. Ache f′′(x) se: (a) f (x) = x3 (b) f (x) = x5 (c) f′(x) = x4 (d) f (x + 3) = x5 2. Seja f (x) = { x3_, _x_{≥ 0}

−x3_, _{x < 0}. Calcule f′(x) e f′′(x). Existe f′′′(x), para todo x ?

9.7 Atividades de laborat´

orio

Usando um computador e o Maple, fa¸ca as atividades propostas no arquivo labder.mws da vers˜ao eletrˆonica deste texto.

(14)

9.8 Exerc´ıcios adicionais

1. Considere o gr´aﬁco da fun¸c˜ao y = f (x):

x5 x4 x3 x2 x1

(a) Se f′(x1) = a, quanto vale f′(x2)?

(b) Existe f′(x3)? Justiﬁque geometricamente sua resposta.

(c) Qual o sinal de f′(x4) e de f′(x5)? Justiﬁque geometricamente sua resposta. 2. Nos exerc´ıcios abaixo, supondo-se conhecido o valor de f′(x0), calcule f′(−x0) se:

(a) f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, isto ´e, f (x) =−f(−x) em todos os pontos do seu dom´ınio. (b) f ´e uma fun¸c˜ao par, isto ´e, f (x) = f (−x) em todos os pontos do seu dom´ınio.

(c) Prove que, se f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, ent˜ao f′(x) ´e par. (d) Prove que, se f ´e uma fun¸c˜ao par, ent˜ao f′(x) ´e ´ımpar.

(e) Se f é par, o que se pode afirmar a respeito de f′′? E se f ´e ´ımpar? (f) Ilustre estes fatos usando fun¸cões polinomiais.

3. Em cada um dos itens a seguir, encontre a inclina¸cão da reta tangente ao gr´afico de y = f (x) no ponto (x1, y1). Escreva a equa¸cão da reta tangente ao gráfico da fun¸cão nesse ponto. Ache os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal.

(a) y = 9− x2 _{(b) y =} x2

4 (c) y =

√ x + 1

4. (a) Mostre que os gráficos das equa¸c˜oes y = 3 x2 e y = 2 x3+ 1 tˆem a mesma tangente no ponto (1, 3). (b) Encontre as equa¸c˜oes das retas que passam pelo ponto (3,−2) e são tangentes à curva y = x2_{− 7.}

(c) Ache duas retas que passam pelo ponto (2, 8) que sejam tangentes `a curva y = x3 . 5. Em cada um dos itens abaixo, encontre os valores de α e β para que exista f′(1).

(a) f (x) = { x2_, _{x < 1} α x + β , x≥ 1 (b) f (x) = { α x2+ β , x≤ 1 1 | x |, x > 1

6. Em cada um dos itens abaixo:

(a) Determine se f ´e cont´ınua em x1.

(b) Encontre as derivadas laterais de f no ponto x1, se existirem. (c) Decida se f ´e diferenci´avel em x1.

i. f (x) = { √ 1− x , x < 1 (1− x)2, x≥ 1, x1= 1 ii. f (x) = 1 +| x + 2 |, x1= 2 iii. f (x) = { ₁ (x+1)2, x̸= −1 1 , x =−1, x1=−1 iv. f (x) = { x2−1 | 1−x |, x̸= 1 2 , x = 1, x1= 1 v. f (x) =    √ x , x≤ 25 x2 500+ 75 20, x≥ 25 10 x + 75 , x > 50 , x1= 25 e x1= 50 7. Seja f (x) = { xn_, _x_{≥ 0} 0 , x≤ 0. Prove que f

(n)_{existe para todo n e para todo x}_{̸= 0 (ache uma f´ormula para estas} derivadas).

(15)

9.9 Problemas propostos

1. Com os conhecimentos obtidos nesse cap´ıtulo, você ´e capaz de resolver completamente o problema da caixa, proposto na se¸c˜ao Motiva¸cão do Cap. 4 ? Isto ´e, qual o tamanho do corte que se deve fazer nos cantos de uma folha de plástico quadrada de 20 cm de lado, de modo a formar uma caixa sem tampa que contenha o maior volume de água poss´ıvel quando completamente cheia?

Sugestão: Nessa mesma se¸cão do Cap. 4 vimos que, para resolver esse problema, era necessário encontrar o valor do corte x, entre 0 e 10, para o qual a fun¸c˜ao V = x (20− 2 x)2 _{atinge o seu valor m´}_{aximo. Caracterize} geometricamente esses pontos. Use a defini¸cão de derivada e a caracteriza¸cão geométrica desses pontos para resolver esse problema.

2. Suponha que a reta L ´e tangente `a curva y = f (x) no ponto (1, 1) como indicado na ﬁgura.

y=f(x)

L

Sabendo que a reta L corta o eixo x no ponto (3, 0), ache f (1) e f′(1). 3. A curva a seguir representa a derivada de uma fun¸c˜ao y = f (x).

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 _x4 5 6 7

(a) Esboce a curva y = f (x) a partir do ponto x = π, onde a fun¸c˜ao vale zero. (b) Qual o ˆangulo de interse¸c˜ao da curva y = f (x) com o eixo y?

(c) Qual o ˆangulo de interse¸c˜ao da curva com o eixo x, em x = π?

4. (a) Ache a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y = x4_{− 2 x}2_{− x no ponto (1, −2).}

(b) Veriﬁque que a reta obtida no item anterior tangencia a curva em outro ponto e ache este ponto.

5. (a) Determine o valor de k, sabendo que a reta 3 x− 4 y = 0 é tangente à curva y = x3_{+ k, definida para x >} 0.

(b) Ache uma equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto (1, 5) e ´e tangente `a curva y = x3_. (c) Ache duas retas passando pelo ponto (2, 8) que sejam tangentes `a curva y = x3_. (d) Determine as constantes a, b, c, e d para que a curva

y = a x3+ b x2+ c x + d tenha tangentes horizontais nos pontos (0, 1) e (1, 0).

(e) Prove que a curva y = x5_{+ 2 x n˜}_{ao tem tangentes horizontais. Qual ´}_{e o menor coeﬁciente angular que uma} reta tangente a esta curva pode ter?

(f) Ache a declividade máxima do gráfico de

y =−x3_{+ 3 x}2_{+ 9 x}_{− 27.}

(g) Seja f (x) = x3_{− x}2_{− 4 x + 4. O ponto (a,b) pertence ao gráfico de f e a reta tangente ao gráfico de f em} (a,b) passa pelo ponto (0,−8) que não está no gráfico de f. Ache o valor de a e b.

6. (a) Considere fun¸c˜ao g(x) = {

x sen(1

x) , x̸= 0

0 , x = 0.

Observe que| g(x) | ≤ x, para todo x. Esta fun¸c˜ao ´e

difer-enci´avel no zero? –0.4

–0.2 0.2 0.4

(16)

(b) A seguir tra¸camos o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao g(x) = { x2sin(1_x) , x̸= 0 0 , x = 0 . Observe que | g(x) | ≤ x 2_{, para} todo x. –0.2 –0.1 0.1 0.2 –0.4 –0.2 0.2x 0.4

i. Prove que g′(0) = 0 e que o mesmo acontece para toda fun¸cão com a propriedade acima. ii. Verifique que g′(x) não tem limite quando x tende a zero.

(Os dois exerc´ıcios acima mostram que quando calculamos a derivada g′(x) de uma fun¸cão g em um ponto qualquer x, o cálculo de g′(x0) só ´e poss´ıvel se a derivada g′ for cont´ınua em x0).

iii. As fun¸c˜oes f (x) = x|x|, g(x) = x2_{|x|, h(x) = x}3 _{|x| possuem derivada no ponto zero? Em caso} aﬁr-mativo, quanto vale a derivada neste ponto?

7. Utilize o gráfico de dy_dx = f′(x) = (x− 1) (x − 2)2_(x_{− 3)}3 _{a seguir para esbo¸}_{car o gr´}_{afico de y = f (x).}

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 1 2 x 3 4 5

8. (a) Seja P um ponto da curva y = x3_{e suponha que a reta tangente `}_{a curva em P intercepte-a novamente em}

Q. Mostre que a inclina¸c˜ao da reta tangente em Q ´e quatro vezes a inclina¸c˜ao da reta tangente em P . (b) Encontre os pontos P e Q na par´abola y = 1− x2, tais que o triˆangulo ABC formado pelo eixo x e pelas

retas tangentes ao gr´aﬁco em P e Q seja equil´atero.

(c) Considere a par´abola y = x2 _{e um ponto x0}_{̸= 0 no eixo das abscissas. Por x}_{0, tra¸}_{ca-se uma paralela ao} eixo das ordenadas, que ao interceptar a par´abola, determina Q0. Por Q0tra¸ca-se a reta normal à parábola cuja interse¸c˜ao com o eixo das ordenadas determina P0. Este procedimento define uma fun¸cão f que a cada

x0̸= 0 associa P0= f (x0). Determine, se existir, a posi¸c˜ao limite de P0 quando x0→ 0 tende a zero.

9.10 Para vocˆ

e meditar: Um sofisma

Sabemos (se¸c˜ao Diferenciabilidade e Continuidade) que se uma fun¸cão y = f (x) ´e diferenci´avel em um ponto x0, então é necessariamente cont´ınua neste ponto. No entanto, a interpreta¸cão geométrica de derivada parece nos levar ao paradoxo descrito a seguir. O gráfico a seguir mostra uma fun¸cão cont´ınua com a sua reta tangente no ponto de abscissa x0. x o 0 10 20 30 1 2 3 4 5 6 7 8

Não existe nenhuma dúvida quanto ao fato de a curva ser diferenci´avel em x0. Considere, agora, uma nova fun¸cão

f (x) obtida a partir da fun¸c˜ao anterior “cortando-se” a curva dada no ponto x0e transladando-se para cima “a parte da direita do seu gr´aﬁco”.

0 10 20 30 40 50 1 2 3 4 5 6 7 8 x

(17)

“Por constru¸c˜ao, vemos que, no ponto de abscissa x0, a declividade da tangente ao arco de curva `a esquerda

(derivada lateral à esquerda) é igual a declividade da tangente ao arco de curva à direita (derivada lateral à direita). Portanto, o caso acima é um exemplo de uma fun¸cão derivável em x0 e, evidentemente, descont´ınua neste ponto, o

que contradiz o teorema citado!”

- Mostre onde est´a o erro no racioc´ınio acima, reaﬁrmando, assim, a veracidade do teorema.

9.11 Um pouco de hist´

oria: Curvas sem tangentes e Movimento

Brow-niano

Vimos, na se¸c˜ao Diferenciabilidade e Continuidade, que existem curvas cont´ınuas sem derivada em nenhum ponto, ou seja, fun¸cões cont´ınuas cujos gráficos não têm tangente em nenhum ponto. Vários matemáticos, dentre eles Bolzano (1781-1849) e Weierstrass (1815-1897), constru´ıram fun¸cões deste tipo. O exemplo que atraiu mais aten¸cão foi o que Weierstrass apresentou à Academia de Berlim em 1872. Embora a idéia geométrica da constru¸cão de tais fun¸cões possa parecer simples (trata-se de obter, por um processo de limite, uma fun¸cão cujo gráfico seja composto somente por pontos angulosos!), a constru¸cão anal´ıtica de uma fun¸cão com esta propriedade é um processo muito delicado, que não cabe fazer num curso de Cálculo.

A idéia de curva cont´ınua sem tangente não condiz com a nossa intui¸cão geométrica. Seria de esperar que tais curvas não passassem de exemplos matemáticos, sem aplica¸cões no mundo f´ısico. No entanto, acontece o contrário! Existe na natureza um tipo importante de movimento, chamado movimento Browniano, cuja trajetória é uma curva cont´ınua sem tangente.

Em 1827, um botânico escocês chamado Robert Brown (1773-1858), investigando o processo de poliniza¸cão numa certa espécie de flor, observou no microscópio um rápido movimento desordenado de part´ıculas em suspensão num meio fluido.

Os f´ısicos só come¸caram a estudar este movimento muito mais tarde, sem resultados significativos, até que, em 1905, Albert Einstein, num estudo memorável sobre o efeito fotoelétrico, lan¸cou a idéia deste movimento ser devido à agita¸cão térmica das part´ıculas.

Nesta época, as idéias de átomos e moléculas eram mais usadas pelos f´ısicos como um meio de explicar determinados fenômenos e muito pouco como part´ıculas com existência real. Einstein procurou deduzir conseqüências que pudessem ser verificadas experimentalmente, o que confirmaria a existência dessas part´ıculas atômicas.

Procedendo deste modo e considerando que part´ıculas em suspensão num fluido sofrem o impacto de inúmeras moléculas à sua volta, Einstein foi levado a prever um movimento desordenado das part´ıculas, o chamado movimento Browniano. É curioso notar que Einstein descobriu esse fenômeno num estudo puramente teórico, só vindo a conhecer os estudos anteriores sobre este movimento depois de ter terminado suas investiga¸cões.

Na década de 1920, o matemático americano Nobert Wiener (1894-1964) iniciou uma teoria matemática sobre o movimento Browniano, dando uma interpreta¸cão precisa de “movimento ao acaso” de uma part´ıcula. Neste trabalho, ele demonstrou que a trajetória de uma part´ıcula em suspensão num fluido é uma curva cont´ınua sem tangente em nenhum ponto. Isto acontece porque a part´ıcula, a cada instante, está recebendo o impacto desordenado das moléculas do fluido, de maneira que, em seu movimento, muda continuamente de dire¸cão, não possuindo velocidade instântanea definida em nenhum ponto.

(18)