2) Observe a matriz seguinte e responda:

PROF. GILBERTO SANTOS JR

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

I-MATRIZES

1 . INTRODUÇÃO

Muitas vezes, para designar com clareza certas situações é necessário um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em li-nhas e colunas, formando o que se chama ma-triz.

Observe por exemplo a seguinte situação: As vendas de uma editora em relação aos livros de Matemática, Física e Química, no primeiro tri-mestre de um ano, podem ser expressas pela tabela a seguir.

Janeiro Fevereiro Março Matemática 20000 32000 45000

Física 15000 18000 25000

Química 16000 17000 23000

Se quisermos saber:

 Quantos livros de Matemática foram vendidos em Fevereiro, basta olharmos o número que es-tá na primeira linha e na segunda coluna;  Quantos livros de Física foram vendidos em

Ja-neiro, basta olharmos o número que está na segunda linha e na primeira coluna;

 Quantos livros de Química foram vendidos nos 3 meses, basta somarmos os números da ter-ceira linha. E assim por diante.

Nessa tabela os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, é chamada matriz do tipo ou ordem 3 × 3 (lê-se três por três), pode ser representada por:

        23000 17000 16000 25000 18000 15000 45000 32000 20000 ou         23000 17000 16000 25000 18000 15000 45000 32000 20000 2 . DEFINIÇÃO

Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n) qualquer tabela retangular formada por m li-nhas e n colunas, sendo m e n números inteiro maior que zero.

Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou de ordem m × n.

Exemplo:

A2 × 3 =       0 1 5 4 3 2

é uma matriz de or-dem dois por três.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

1)

Os estudantes de um colégio responderam a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou Português?” Cada estudante escolheu uma única matéria. Os resultados seguem na tabela:

Sexo

Matéria masculino feminino

Matemática 137 98

Português 105 117

a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?

b) Quantos estudantes do sexo feminino respon-deram à pergunta?

c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à pergunta?

2)

Observe a matriz seguinte e responda:

              25 8 11 4 2 12 6 17 9 7 3 1 5 1 0 10

a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? b) Quais são os números da 1ª linha? c) E os da 3ª coluna?

d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª coluna?

e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? f) E na 4ª linha e na 2ª coluna?

g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª coluna?

EXERCÍCIO DE VESTIBULAR

3)

(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados

De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?

(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 3 . MATRIZES ESPECIAIS

3.1 MATRIZ QUADRADA

É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Exemplo:

A matriz A = 2 3 5 1       é de ordem dois por dois ou simplesmente ordem 2, simbolica-mente A2 × 2 = 2 3 5 1       ou simplesmente, A2 =     1 5 3 2 .

Observação:

Em toda matriz quadrada temos a diagonal principal e a diagonal secundária, veja

          33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a diagonal principal diagonal secundária

Observe que na diagonal principal os índi-ces (i e j) são iguais.

3.2 MATRIZ IDENTIDADE

É uma matriz quadrada em que todos os elemento da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, seu símbolo é In.

Exemplos

: I2 = 1 0_{0 1}  ,I3 =          1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 3.3 MATRIZ NULA

É qualquer matriz que possui todos os elementos iguais à zero. Simboliza-se a matriz nula de ordem m  n por 0m  n e a de ordem n

por 0n.

Exemplos

: 03  2 = 0 0 0 0 0 0           , 02 = 0 0 0 0      , 03 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0           , 01  4 = _0 0 0 0_ 4 . IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, tem a mesma ordem e seus elementos cor-respondentes (que estão na mesma linha e na mesma coluna) são iguais.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

4)

Calcule os termos desconhecidos:

a)       d c b a =       8 5 3 6 b)       2y 5 3 x =       8 5 3 6 c) _ _ q p n m = I2 d)       1 n 0 0 m =       5 0 0 3 e)       y x 0 0 y = I2 f)        b -a y b y x =       8 1 3 5 g)









 17 2b 3d b a ₌ 5 9 6 17       h)

_











_ 1 -y 0 6 5x -x2 z _{= I2} 5 . ADIÇÃO DE MATRIZES

Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m × n denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, a ma-triz C do tipo m × n na qual cada elemento é obtido adicionando os elementos corresponden-tes de A e B.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

5)

Dadas as matrizes A = _      1 0 4 2 _{, B =}       0 7 1 4 _e C = _      2 -5 0 3 _{, calcule:} a) A + B = c) B + C = b) A + C = d) A + B + C =

6)

Determine x, y, z e t, sabendo que: a) x y z           +           5 1 3 =           5 4 10 b)           z y x +           4 z y =           9 15 20 c) _      2z 3 y x + _      z t 3 x = _      18 4 1 10 d) _      t 3x y x + _      2 y -z y = _      0 14 7 6 6 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem, de-nomina-se diferença entre A e B (representada por A – B) a soma de A com a matriz oposta de B, simbolicamente A – B = A + (-B)

EXERCÍCIOS BÁSICOS

7)

Calcule: a)           2 7 8 -           3 6 3 = c) _      10 3 6 4 2 1 _-       1 5 6 2 1 0 ₌ b) _      4 1 3 2 _-       5 1 2 0 ₌

8)

Dadas as matrizes A =           3 6 2 , B =           2 6 1 e

C =           2 -4 0 , calcule: a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C

9)

Determine x, y e z sabendo que:

a)           z y x -           8 5 3 =             6 4 10 b)                     0 z y z y x =           8 2 15 c) _            z 3 -4 x 2z 1 6 x ₌       1 4 y 12 d) _       2 2 z y 1 x _-       1 -5 -3 -2 = _      10 8 4 1

-7 . MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ

Se A é uma matriz de elementos aij, e  é um número real, então A é uma matriz cujos ele-mentos são aij.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

10)

Sendo A = _      3 1 4 1 0 2 e B = _      6 0 5 2 1 -0 , de-termine: a) 5A = c) A 2 1 ₌ e) 5A – 02 x 3 = b) -2B = d) 2A + B =

11)

Se A = _      0 2 3 1 , B = _      2 -1 3 1 e C = _      3 4 2 1 , calcule 3A + 2B - 4C. 8 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto da ma-triz A pela mama-triz B é a mama-triz C = (cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é calculado multi-plicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da colu-na j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos.

A matriz C é o produto de A por B, vamos indi-cá-la por AB.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

12)

Determine os produtos: a) 6 5 2 4 1 0 1 3             = d)            3 -4 1 -2 6 1 5 0 2 3 1 5 = b) _            2 0 4 7 1 2 4 5 = e) _                2 1 -5 3 3 4 1 2 -6 1 = c) _      0 2 3 4 .I2 =

13)

O quadro abaixo registra os resultados obti-dos por quatro times em um torneio em que toobti-dos se enfrentam uma vez:

Vitórias Empates Derrotas

América 0 1 2

Botafogo 2 1 0

Nacional 0 2 1

Comercial 1 2 0

a) Represente em forma de matriz a tabela. b) Qual é a ordem da matriz?

c) Sendo A a indicação da matriz, o que repre-senta o elemento a32 da matriz?

d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitó-ria do Comercial?

e) Considerando que um time ganha três pontos na vitória e um ponto no empate, usando plicação de matrizes, calcule, fazendo uma multi-plicação de matrizes, quantos pontos fez cada time.

f) Qual foi a classificação final do torneio?

14)

Para a fabricação de caminhões, uma in-dústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:

Componentes/modelos A B C

Eixos 2 3 4

Rodas 4 6 8

Para os primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:

Modelo/Meses Janeiro Fevereiro

A 30 20

B 25 18

C 20 15

Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

15)

(Enem-2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que pode-ria calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele con-seguiu é mostrada a seguir.

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por:

1 1 1 1 2 2 2 2       1 1 1 1 4 4 4 4       1 1 1 1             1 2 1 2 1 2 1 2                         1 4 1 4 1 4 1 4                        

16)

(UFRS) A matriz C fornece, em reais, o cus-to das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na com-posição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse

restau-rante. C = arroz carne salada 1 3 2           P =

arroz carne salada prato prato prato 2 1 1 1 2 1 2 2 0           P1 P2 P3

A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é:

(a)           8 9 7 (b) 44 4           (c) 9 11 4           (d) 26 8           (e) 2 2 4          

II-DETERMINANTES

1 . INTRODUÇÃO

Toda matriz quadrada tem, associado a ela, um número chamado de determinante da matriz, obtido a partir de operações que envol-vem todos os elementos da matriz.

Os determinantes são usados, por exem-plo, para resolver sistemas como o seguinte, chamado de sistema linear 3 × 3 (de três equa-ções, com três incógnitas):

x 2y z 4 3x - 5y z 1 4x y - 2z 0      _{ }   _{ } 

Muito utilizado também em geometria

ana-lítica, por exemplo, para cálculo de área de

triân-gulo, encontrar equação da reta e verificar se três pontos são colineares.

2 . DETERMINANTE DE MATRIZ QUA-DRADA DE ORDEM 1

Sejam as matrizes A = [4] e B = [-2], o determinante da matriz A é igual a 4, simbolica-mente det A = 4, e o det B = -2.

3 . DETERMINANTE DE MATRIZ QUA-DRADA DE ORDEM 2

Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, cal-culamos o seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada a matriz A = 11 12 21 22 a a a a      , indicamos seu determinante assim:

det A = a11.a22 – a12.a21 ou 11 12 21 22 a a a a = a11.a22 – a12.a21

EXERCÍCIOS BÁSICOS

17)

Calcule os determinantes: a) 6 2 4 3 = c) -5 -2 3 2 = b) 6 10 3 5 = d) -3 -8 1 2 =

18)

Se a = 1 3 -2 5 , b = 2 6 3 10 e c = 2 8 0 1 , calcule o valor de a2 _{+ 3b – 2c.} 4 . REGRA DE SARRUS

Podemos obter o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizando uma re-gra prática muito simples denominada rere-gra de Sarrus. Seja a matriz A =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

Vamos repetir a 1ª e a 2ª coluna à direita da ma-triz, conforme o esquema abaixo:

3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a

Em seguida faz-se a diferença entre o pro-duto dos elementos da diagonal principal somado as suas paralelas pelos elementos da diagonal segundaria e somado as suas paralelas suas para-lelas, simbolicamente:

[(a11.a22.a33)+(a12.a23a31)+(a13.a21a32 )]-[(a11.a22.a33)+(a12.a23.a31)+(a13.a21a32)]

 Os produtos assim obtidos na direção da dia-gonal principal permanecem com o mesmo si-nal;

 Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;

 O determinante é a soma dos valores assim obtidos.

Exemplo:

Seja A a matriz abaixo, A = 3 1 5 2 0 -2 -1 4 -3           , calculando o determinante da matriz, segue, 3 1 5 3 1 2 0 -2 2 0 -1 4 -3 1 4 Logo [0 +2 + 40] - [0 – 24 - 6] = 42 – [-30] = 42 + 30 = 72. O det A = 72.

EXERCÍCIOS BÁSICOS

19)

Aplicando a regra de Sarrus, calcule os de-terminantes: a) 3 2 1 5 0 4 2 3 1 = d) 3 0 8 0 7 7 4 9 0 = b) 1 2 0 1 4 4 1 8 0 = e) 3 5 -1 0 4 2 0 0 -2 = c) 2 2 0 1 1 1 4 3 0 = f) 2 1 - 2 3 -1 0 4 1 -3 =

20)

Sabendo que x = 1 3 2 2 e y = 1 3 1 2 2 1 3 1 3 , determine x2 _{- 2y.}

21)

Se a = 2 1 -2 3 -1 0 4 1 -3 e b = -1 0 2 2 -1 0 3 4 1 , cal-cule a2 _{– ab + 3b.}

22)

Resolva a equação 2 3 -2 0 1 x 2 x -3 = 2.

(Veja a resolução dessa questão )

III-SISTEMAS LINEARES

1 . EQUAÇÕES LINEARES Dizemos que:

 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas

incógni-tas x e y;

 2x + 3y – 2z = 10 é uma equação linear nas

incógnitas x , y e z;

 x - 5y + z – 4t = 0 é uma equação linear nas

incógnitas x , y, z e t; 

De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b na qual:

a1, a2, a3, ... , an são números reais chamados coeficientes das incógnitas;

x1, x2, x3 ,..., xn são as incógnitas; b é o termo independente.

Pela definição, não são equações lineares: xy = 10

x2 _{+ y = 6}

x2 _{– xy – yz + z}2 _{= 1}

Observe, agora, as seguintes equações li-neares:

1ª) 3x + 2y = 18 Dizemos que:

 O par (4, 3) é uma solução da equação, pois 3.4 + 2.3 = 18;

 O par (6, 0) é uma solução da equação, pois 3.6 + 2.0 = 18;

 O par (5, 1) não é solução da equação, pois 3.5 + 2.1 ≠ 18.

2ª) 3x + y – 2z = 8 Dizemos que:

 O terno (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3.2 + 4 – 2.1 = 8;

 O terno (0, 6, -1) é uma solução da equação, pois 3.0 + 6 – 2.(-1) = 8;

 O terno (5, -2, 3) não é solução da equação, pois 3.5 + (-2) -2.(3) ≠ 8.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

23)

Verifique se o par:

a)(6, 2) é uma solução da equação linear 4x – 3y = 18

b)(3, -5) é uma solução da equação linear 2x + 3y = 21

2. EQUAÇÃO DO TIPO ax = b

Observe a equação do tipo ax = b, com va-riável real x, a ∈ ℝ e b ∈ ℝ, nos exemplos abaixo: 1º) Em 2x = 6, temos x =

2 6

= 3 como o único valor real possível para x.

2º) Em 0x = 7, não temos valor real para x, pois não existe número real que multiplicado por 0 dê 7.

3º) Em 0x = 0, x pode assumir qualquer valor real, pois todo número real multiplicado por 0 dá 0. De modo geral:  ax = b, com a ≠ 0  x = a b _{é o único valor} de x;

 ax = b, com a = 0 e b ≠ 0  não existe valor real para x;

 ax = b, com a = 0 e b = 0  x pode assumir qualquer valor real.

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Denomina-se sistema linear m x n o con-junto S de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado assim:

S =                       m n 3 m3 2 m2 1 m1 2 n 3 23 2 22 1 21 1 n 1n 3 13 2 12 1 11 b x a ... x a x a x a .. ... ... ... ... ... b x a ... x a x a x a b x a ... x a x a x a mn 2n

Exemplos:

1º)       10 3y x 6 2y -3x

é um sistema linear 2 x 2 nas in-cógnitas x e y. 2º)        y 12 y 2x 2x -3 y -x

é um sistema linear 2 x 2 nas incógnitas x e y. 3º)          6 Z Y -X 1 -z -y -2x 0 z -2y -x

é um sistema linear 3 x 3 nas

4. SISTEMAS LINEARES 2 × 2

4.1 Resolução pelo método da adição Resolver um sistema linear significa desco-brir o seu conjunto solução S, formados por todas as soluções do sistema.

A resolução dos sistemas lineares 2 x 2, já foi vista no Ensino Fundamental, por meio de al-guns métodos como adição, substituição, com-paração e outros.

Vamos retomar, com exemplos, a resolu-ção pelo método da adiresolu-ção:

       1 5y 2x .(5) 10 y 3x _ 1 5y 2x 50 5y -15x       17x = 51  x = 3 (valor único de x).

Substituindo o valor de x = 3 em qualquer uma das equações do sistema, por exemplo em 2x + 5y = 1, segue,

2.3 + 5y = 1  6 + 5y = 1  5y = 1 – 6  5y = -5  y = -1 (valor único de y).

Então, (3, -1) é o único par que é solução do sistema.

Dizemos então que o sistema tem S = {(3, -1)}, e que tem uma única solução.

2º)        2 4y 2x .(-2) 5 2y x  8 -0y 2 4y 2x 10 -4y 2x -       

Se 0y = -8 não existe valor real para y, lo-go não existe par de números reais que seja solu-ção do sistema.

Dizemos que o sistema tem S =  e que é sistema impossível ou sistema sem solução. 3º)        (2) . 12 -9y 3x -24 18y 6x  0 0y 24 -18y 6x -24 18y -6x       

Se 0y = 0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y = 1, e substituindo em uma das equações do sistema, temos:

6x – 18.1 = 24  6x - 18 = 24  6x = 24 + 18  6x = 42  x = 6 42  x = 7. Logo o par (7, 1) é solução do sistema.

Fazendo para y = 2, fazendo todos os cál-culos semelhantes ao de cima, encontraremos x = 10. E assim por diante.

Portanto para cada valor de y, temos uma solução para o sistema, logo S = {(7, 1), (10, 2), (4, 0), (1, -1)...}. Dizemos que o sistema tem infinitas soluções.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

24)

Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método da adição: a)       1 -2y -3x 4 y 2x b)       28 -3y -2x 14 y 4x c)       9 3y x 1 4y -3x d)        19 2y -3x 20 -5y 2x

25)

Observe a figura abaixo:

Quanto pesa cada animal?

26)

Usando sistemas lineares, calcule a quanti-dade de cada objeto, na figura abaixo:

27)

Classifique os seguintes sistemas lineares em única solução, infinitas soluções ou im-possível, utilizando o método da adição:

a)       8 y -x 6 y x b)       3 y -2x 4 2y x c)        20 2y 2x 10 y x d)      3 9y -6x 3 6y -4x

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

28)

(Enem-2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi

informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.

A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era

(a) R$ 166,00. (d) R$ 46,00.

(b) R$ 156,00. (e) R$ 24,00.

(c) R$ 84,00.

29)

(UFRA-2004) Uma função de custo linear é da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a parte fixa desse custo total. Suponha que uma indústria ao produzir 150 unidades de um produ-to, gasta R$ 525,00 e quando produz 400 uni-dades seus gastos são de R$ 700,00, então po-demos afirmar que os custos fixos dessa indústria são, em reais, (Veja a resolução dessa questão )

(a) 175 (c) 375 (e) 475

(b) 225 (d) 420

30)

(UEPA-2012) Em um Shopping Center, uma pessoa verificou o valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais (samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela abaixo:

Samba Forró

Loja A R$ 18,00 R$ 21,00

Loja B R$ 17,00 R$ 20,00

Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD do gênero samba e y unidades de CD do gê-nero forró, na loja A, ela gastaria R$ 138,00. Mas, se ela comprasse as mesmas quantidades de CDs x e y na loja B ela gastaria R$ 131,00. En-tão a soma x+y é igual a:

(a) 8 (b) 7 (c) 6 (d) 5 (e) 4

31)

(UEPA-2011) Em uma empresa na qual foi implantado um projeto de coleta seletiva será necessário compra coletores para pilhas e lâmpa-das. Ao se fazer o orçamento desses coletores foram recebidas propostas de duas lojas que apresentam o mesmo preço para cada coletor, conforme indicado na tabela abaixo. Se a decisão for de comprar 3 coletores de pilha e 2 coletores de lâmpadas, será gasto o valor de:

Orçamento _Lâmpada Coletor Coletor _Pilhas Total

Loja 1 2 unidades 2 unidades R$ 1.060,00

Loja 2 3 unidades 1 unidades R$ 1.130,00

(a) R$ 1.005,00 (d) R$ 2.233,00 (b) R$ 1.236,00 (e) R$ 2.370,00 (c) R$ 1.290,00

32)

(UEPA-2010) Um empresário do ramo da informática comprou para sua loja 40 memórias

dos tipos: DDR2/2GB/800MHz/PC e DDR2/1GB/667MHz/PC. Sabendo-se que as memórias custaram, cada uma, respectivamente, R$ 80,00 e R$ 50,00, e que o valor total gasto com elas foi de R$ 2.750,00, a quantidade de memórias do tipo DDR2/2GB/800MHz/PC é igual a:

(a) 10 (b) 12 (c) 18 (d) 20 (e) 25

Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estrutu-ras desse tipo já estudadas é o Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz de

453.060 linhas e colunas.

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DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São Paulo: Ática, 2000, v.3.