Solução de sistemas de equações lineares

(1)

C´

alculo Num´

erico

Solu¸c˜

ao de sistemas de equa¸c˜

oes lineares

Prof. Daniel G. Alfaro Vigo [email protected]

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao IM – UFRJ

(2)

(3)

Motiva¸c˜

ao: Circuito el´

etrico

A figura mostra um circuito el´etrico simples. Queremos determinar as correntes que circulam no circuito, sabendo que R1 = 10 Ω,

R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω, E1 = 3 V e E2 = 4 V

(4)

Motiva¸c˜

ao: Circuito el´

etrico

Usando as leis de Kirchhoff, temos pela Lei dos n´os que i1− i2− i3 = 0.

Da Lei das malhas, em s1 temos

−R1i1− R2i2+ E1 = 0 =⇒ −R1i1− R2i2= −E1, e em s2 −R₃i3− E2− E1+ R2i2 = 0 =⇒ R2i2− R3i3= E2+ E1.    i1 − i2 − i3 = 0 −10i1 − 20i2 = −3 20i2 − 30i3 = 7

(5)

Motiva¸c˜

ao: Circuito el´

etrico

Usando as leis de Kirchhoff, temos pela Lei dos n´os que i1− i2− i3 = 0.

Da Lei das malhas, em s1 temos

−R1i1− R2i2+ E1 = 0 =⇒ −R1i1− R2i2= −E1,

e em s2

−R₃i3− E2− E1+ R2i2 = 0 =⇒ R2i2− R3i3= E2+ E1.

Assim, chegamos no sistema de equa¸c˜oes lineares    i1 − i2 − i3 = 0 −10i1 − 20i2 = −3 20i2 − 30i3 = 7

(6)

C´alculo de sistemas el´etricos.

Eletrônica de Potência para Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica J. A. Pomilio

Figura 8.1 Sistema elétrico convencional. Figura obtida em xi

Da década de 1970 para a década de 1990, a demanda crescente levou a um aumento do número de usinas geradoras. Em algumas áreas, o abastecimento de eletricidade, especialmente em horários de pico, não poderia ser mantido com essa demanda crescente, resultando em uma piora na qualidade da energia elétrica fornecida, o que incluía oscilações de tensão, quedas, cortes de energia e até “apagões”. Cada vez mais a sociedade dependia de eletricidade para a indústria, condicionamento de ambientes, comunicação, iluminação e entretenimento, e os consumidores exigiram níveis cada vez mais elevados de confiabilidade.

Estabeleceram-se comportamentos de demanda de eletricidade mais críticos, levando a picos diários de demanda atendidos por geradores só utilizados por curtos períodos do dia. A relativamente baixa utilização destes geradores (normalmente turbinas a gás, devido ao seu custo de capital relativamente baixo e tempos de partida mais rápidos, ou então a óleo diesel), juntamente com a redundância necessária na rede elétrica, resultou em maiores custos para as concessionárias de eletricidade, custos estes que foram repassados aos consumidores.

Embora possa ter surgindo anteriormente, o termo smart grid, tem sido usado mais frequentemente desde 2005, a partir do artigo "Toward a Smart Grid" (Amin and Wollenberg, IEEE Power and Energy Magazine, v. 3, n. 5, p. 34-38, set./out. 2005).

Na década de 1980, a leitura automática de medidores foi usada para monitoramento de cargas de grandes clientes e evoluiu para uma infraestrutura avançada de monitoração. Medidores inteligentes passaram a adicionar comunicação em tempo real, tornando-se dispositivos de comando-resposta e comandos remotos com os usuários.

Transmissão Geração Distribuição Indústria Comércio Residências

(Fonte: X. Yu et al.,The New Frontier of Smart Grids [ieeexplore.ieee.org])

(7)

Motiva¸c˜

ao: C´

alculo estrutural

C´alculo de estruturas pelo m´etodo dos elementos finitos.

(8)

Sistema de equa¸c˜

oes lineares

Vamos estudar métodos para a solu¸cão de um sistema de n equa¸cões com n incógnitas

       a11x1+ a12x2+ · · · +a1,n−1xn−1+ a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ · · · +a2,n−1xn−1+ a2nxn = b2 . . . . an1x1+ an2x2+ · · · +an,n−1xn−1+ annxn = bn A · x = b

onde a matriz dos coeficientes A, o vetor das inc´ognitas x e o vetor do lado direito b s˜ao dados por

A =      a11 a12 · · · a1,n−1 a1n a21 a22 · · · a2,n−1 a2n .. . ... ... ... an1 an2 · · · an,n−1 ann      , x =      x1 x2 .. . xn      e b =      b1 b2 .. . bn     

(9)

Sistema de equa¸c˜

oes lineares

Vamos estudar métodos para a solu¸cão de um sistema de n equa¸cões com n incógnitas

       a11x1+ a12x2+ · · · +a1,n−1xn−1+ a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ · · · +a2,n−1xn−1+ a2nxn = b2 . . . . an1x1+ an2x2+ · · · +an,n−1xn−1+ annxn = bn

Usando nota¸c˜ao matricial

A · x = b

onde a matriz dos coeficientes A, o vetor das inc´ognitas x e o vetor do lado direito b s˜ao dados por

A =      a11 a12 · · · a1,n−1 a1n a21 a22 · · · a2,n−1 a2n .. . ... ... ... an1 an2 · · · an,n−1 ann      , x =      x1 x2 .. . xn      e b =      b1 b2 .. . bn     

(10)

Também usaremos a representa¸cão do sistema através da matriz aumentada [A|b] =      a11 a12 · · · a1,n−1 a1n b1 a21 a22 · · · a2,n−1 a2n b2 .. . ... ... ... ... an1 an2 · · · an,n−1 ann bn      .

(11)

Interpreta¸c˜

ao geom´

etrica de um sistema de equa¸c˜

oes

A solu¸cão do sistema consiste dos pontos de interse¸cão no espa¸co n-dimensional Rn dos n hiperplanos associados às equa¸cões do sistema. -4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 -2.4 -1.6 -0.8 0.8 1.6 2.4 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ x₁ x₂

(12)

Solu¸c˜ao ´unica -4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 -2.4 -1.6 -0.8 0.8 1.6 2.4 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ x₁ x₂

(13)

N´

umero de solu¸c˜

oes de um sistema de equa¸c˜

oes (cont.)

Infinitas solu¸c˜oes

-4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 -2.4 -1.6 -0.8 0.8 1.6 2.4 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ x₁ x₂

(14)

N˜ao existe solu¸c˜ao -4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 -2.4 -1.6 -0.8 0.8 1.6 2.4 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ x₁ x₂

(15)

N´

umero de solu¸c˜

oes de um sistema de equa¸c˜

oes (cont.)

Unicidade da solu¸c˜ao

O sistema de n equa¸c˜oes com n inc´ognitas A · x = b,

terá uma única solu¸cão, se e somente se o determinante da matriz é não nulo (det A 6= 0).

Se det A = 0 o sistema poderá ter um número infinito de solu¸cões ou nenhuma solu¸cão.

(16)

Sistema de equa¸c˜

oes lineares

Estudaremos métodos para a resolu¸cão de sistemas de n equa¸cões com n incógnitas, no caso quando a solu¸cão é única.

Observamos que nas aplica¸c˜oes podemos ter sistemas com centenas ou milhares de equa¸c˜oes.

Classes de m´etodos

Métodos diretos: a solu¸cão é obtida em um número finito de passos;

Métodos iterativos: constru´ımos uma sequência de aproxima¸cões para a solu¸cão.

⇒ Esse método generaliza a técnica de substitui¸cão que é usada

(17)

Sistema de equa¸c˜

oes lineares

Estudaremos métodos para a resolu¸cão de sistemas de n equa¸cões com n incógnitas, no caso quando a solu¸cão é única.

Observamos que nas aplica¸c˜oes podemos ter sistemas com centenas ou milhares de equa¸c˜oes.

Classes de m´etodos

Métodos diretos: a solu¸cão é obtida em um número finito de passos;

Métodos iterativos: constru´ımos uma sequência de aproxima¸cões para a solu¸cão.

Come¸caremos estudando um m´etodo direito conhecido como

m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss.

⇒ Esse método generaliza a técnica de substitui¸cão que é usada

(18)

Exemplo: circuito el´

etrico

Assim temos que resolver o sistema    i1 − i2 − i3 = 0 −10i1 − 20i2 = −3 20i2 − 30i3 = 7

Da primeira equa¸c˜ao: i1 = i2+ i3

Substituindo na segunda equa¸c˜ao obtemos −10i₁− 20i₂ = −3

(19)

Exemplo: circuito el´

etrico

Substituindo na segunda equa¸c˜ao obtemos

−10i₁− 20i₂ = −3 ⇒ −10(i2+ i3) − 20i2= −3

(20)

−10i₁− 20i₂ = −3 ⇒ −10(i2+ i3) − 20i2= −3

(21)

Exemplo: circuito el´

etrico

Agora nos focamos no sistema com duas equa¸c˜oes

−30i2 − 10i3 = −3

20i2 − 30i3 = 7

Da primeira equa¸c˜ao temos que i2= −3+10i₋₃₀ 3 = ₁₀1 −1₃i3.

Substituindo na segunda equa¸c˜ao obtemos −20i2− 30i3 = 7 ⇒ −20(1 10− 1 3i3) − 30i3 = 7 ⇒ − 70 3 i3= 9

Assim o sistema inicial foi reduzido na forma    i1 − i2 − i3 = 0 − 30i2 − 10i3 = −3 − 70 3i3 = 9

(22)

Exemplo: circuito el´

etrico

−30i2 − 10i3 = −3

20i2 − 30i3 = 7

Substituindo na segunda equa¸c˜ao obtemos −20i2− 30i3 = 7 ⇒ −20(₁₀1 −1₃i3) − 30i3 = 7

(23)

Exemplo: circuito el´

etrico

−30i2 − 10i3 = −3

20i2 − 30i3 = 7

−20i2− 30i3 = 7 ⇒ −20(₁₀1 −1₃i3) − 30i3 = 7 ⇒ −70₃ i3= 9

(24)

−30i2 − 10i3 = −3

20i2 − 30i3 = 7

−20i2− 30i3 = 7 ⇒ −20(₁₀1 −1₃i3) − 30i3 = 7 ⇒ −70₃ i3= 9

Assim o sistema inicial foi reduzido na forma    i1 − i2 − i3 = 0 − 30i₂ − 10i₃ = −3 − 70 3i3 = 9

(25)

Exemplo: circuito el´

etrico

Para resolver esse sistema reduzido    i1 − i2 − i3 = 0 − 30i₂ − 10i₃ = −3 − 70₃i3 = 9

come¸camos pela ´ultima equa¸c˜ao e obtemos −70

3 i3= 9 ⇒ i3 = −

27 70.

Da segunda equa¸c˜ao temos

−30i2− 10i3= −3 ⇒ i2 = −3 + 10 · (−27 70) −30 = 8 35 Finalmente, da primeira equa¸c˜ao temos

i1−i2−i3 = 0 ⇒ i1= 8 35+ −27 70 = −11 70

(26)

Exemplo: circuito el´

etrico

3 i3= 9 ⇒ i3 = −

27 70. Da segunda equa¸c˜ao temos

−30i₂− 10i₃= −3 ⇒ i2 = −3 + 10 · (−27 70) −30 = 8 35 i1−i2−i3 = 0 ⇒ i1= 8 35+ − 27 70 = − 11 70

(27)

Exemplo: circuito el´

etrico

3 i3= 9 ⇒ i3 = −

27 70. Da segunda equa¸c˜ao temos

−30i₂− 10i₃= −3 ⇒ i2 = −3 + 10 · (−27 70) −30 = 8 35 Finalmente, da primeira equa¸c˜ao temos

i1−i2−i3 = 0 ⇒ i1= 8 35+ −27 70 = −11 70

(28)

M´

etodo de elimina¸c˜

ao de Gauss

Essa ideia pode ser aplicada no caso de um sistema geral. Reduzimos o sistema de equa¸cões a um sistema equivalente mais simples (de fácil solu¸cão).

Resolvemos o sistema reduzido.

         a(0)₁₁x1+ a(0)12x2+ · · · +a(0)1,n−1xn−1+ a(0)1nxn = b1(0) a(0)₂₁x1+ a(0)22x2+ · · · +a(0)2,n−1xn−1+ a(0)2nxn = b2(0) . . . . a(0)_n1x1+ a(0)n2x2+ · · · +a(0)n,n−1xn−1+ a(0)nnxn = bn(0)

No primeiro est´agio, da primeira equa¸c˜ao temos que x1= b(0)₁ a(0)₁₁ −a (0) 12 a(0)₁₁ x2− · · · − a(0)_1,n−1 a(0)₁₁ xn−1− a(0)_1n a(0)₁₁ xn

(29)

M´

etodo de elimina¸c˜

ao de Gauss

Para facilitar a nota¸c˜ao do processo o sistema a ser resolvido ser´a representado na forma A(0)· x = b(0)_{, ou seja}

(30)

Para facilitar a nota¸c˜ao do processo o sistema a ser resolvido ser´a representado na forma A(0)· x = b(0)_{, ou seja}

(31)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao

Substituindo x1 na equa¸c˜ao j -´esima (2 ≤ j ≤ n) temos

a(0)_{j 1} x1+ a(0)_{j 2} x2+ · · · + a_{j ,n−1}(0) xn−1+ a(0)_jn xn= b(0)_j ⇒ a(0)_{j 1} b (0) 1 a(0)₁₁ −a (0) 12 a(0)₁₁ x2 − · · · −a (0) 1,n−1 a₁₁(0) xn−1 −a (0) 1n a(0)₁₁ xn ! + a(0)_{j 2} x2+ · · · + a(0)_{j ,n−1}xn−1+ a(0)_jn xn= b_j(0),

donde, agrupando obtemos

a(0)_{j 1} a(0)₁₁ b (0) 1 + a (0) j 2 − a (0) j 1 a(0)₁₂ a(0)₁₁ ! x2+ · · · + a_{j ,n−1}(0) − a(0)_{j 1} a (0) 1,n−1 a(0)₁₁ ! xn−1+ a(0)jn − a (0) j 1 a(0)_1n a(0)₁₁ ! xn= b(0)j .

(32)

Substituindo x1 na equa¸c˜ao j -´esima (2 ≤ j ≤ n) temos a(0)_{j 1} x1+ a(0)_{j 2} x2+ · · · + a_{j ,n−1}(0) xn−1+ a(0)_jn xn= b(0)_j ⇒ a(0)_{j 1} b (0) 1 a(0)₁₁ −a (0) 12 a(0)₁₁ x2 − · · · −a (0) 1,n−1 a₁₁(0) xn−1 −a (0) 1n a(0)₁₁ xn ! + a(0)_{j 2} x2+ · · · + a(0)_{j ,n−1}xn−1+ a(0)_jn xn= b_j(0),

donde, agrupando obtemos a(0)_{j 1} a(0)₁₁ b (0) 1 + a (0) j 2 − a (0) j 1 a(0)₁₂ a(0)₁₁ ! x2+ · · · + a_{j ,n−1}(0) − a(0)_{j 1} a (0) 1,n−1 a(0)₁₁ ! xn−1+ a(0)_jn − a(0)_{j 1} a(0)_1n a(0)₁₁ ! xn= b(0)_j .

(33)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

Logo a(0)_{j 2} −a(0)_{j 1} ·a (0) 12 a(0)₁₁ ! x2+ · · · + a(0)_{j ,n−1}−a_{j 1}(0)· a(0)_1,n−1 a(0)₁₁ ! xn−1 + a(0)_jn −a(0)_{j 1} ·a (0) 1n a(0)₁₁ ! xn = b_j(0)− a_{j 1}(0) a₁₁(0) b(0)₁ , e introduzindo mj 1= a(0)_{j 1} a(0)₁₁ obtemos a(0)_{j 2} −mj 1· a(0)₁₂x2+ · · · + a(0)_{j ,n−1}−mj 1· a(0)_1,n−1xn−1 +a_jn(0)−mj 1· a(0)1n xn= b(0)j −mj 1b1(0)

(34)

Logo a(0)_{j 2} −a(0)_{j 1} ·a (0) 12 a(0)₁₁ ! x2+ · · · + a(0)_{j ,n−1}−a_{j 1}(0)· a(0)_1,n−1 a(0)₁₁ ! xn−1 + a(0)_jn −a(0)_{j 1} ·a (0) 1n a(0)₁₁ ! xn = b_j(0)− a_{j 1}(0) a₁₁(0) b(0)₁ , e introduzindo mj 1= a(0)_{j 1} a(0)₁₁ obtemos a(0)_{j 2} −mj 1· a(0)₁₂x2+ · · · + a(0)_{j ,n−1}−mj 1· a(0)_1,n−1xn−1 +a_jn(0)−mj 1· a(0)1n xn= b(0)j −mj 1b1(0)

(35)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

Ou seja, chegamos em a(1)_{j 2} x2+ · · · + a_{j ,n−1}(1) xn−1+ a(1)_jn xn= b(1)_j , j = 2, . . . , n, onde a(1)_jl = a(0)_jl − mj 1· a(0)_1l , b(1)_j = b_j(0)− m_{j 1}· b(0)₁ , mj 1= a(0)_{j 1} a(0)₁₁ ,              j = 2, . . . , n, l = 1, . . . , n.

O sistema inicial foi transformado em                a(0)₁₁x1+ a(0)12x2+ · · · +a(0)1,n−1xn−1+ a(0)1nxn = b1(0) 0 · x1+a(1)₂₂x2+ · · · +a(1)_2,n−1xn−1+ a(1)_2nxn = b₂(1) 0 · x1+a(1)₃₂x2+ · · · +a(1)_3,n−1xn−1+ a(1)_3nxn = b₃(1) . . . . 0 · x1+a(1)_n2x2+ · · · +a(1)_n,n−1xn−1+ a(1)nnxn = bn(1)

(36)

Ou seja, chegamos em a(1)_{j 2} x2+ · · · + a_{j ,n−1}(1) xn−1+ a(1)_jn xn= b(1)_j , j = 2, . . . , n, onde a(1)_jl = a(0)_jl − mj 1· a(0)_1l , b(1)_j = b_j(0)− m_{j 1}· b(0)₁ , mj 1= a(0)_{j 1} a(0)₁₁ ,              j = 2, . . . , n, l = 1, . . . , n.

O sistema inicial foi transformado em                a(0)₁₁x1+ a(0)12x2+ · · · +a(0)1,n−1xn−1+ a(0)1nxn = b1(0) 0 · x1+a(1)₂₂x2+ · · · +a(1)_2,n−1xn−1+ a(1)_2nxn = b₂(1) 0 · x1+a(1)₃₂x2+ · · · +a(1)_3,n−1xn−1+ a(1)_3nxn = b₃(1) . . . . 0 · x1+a(1)_n2x2+ · · · +a(1)_n,n−1xn−1+ a(1)nnxn = bn(1)

(37)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

O resultado do primeiro est´agio fazemos as transforma¸c˜oes E_j(1) = E_j(0)− mj 1· E1(0) onde mj 1= a_{j 1}(0) a₁₁(0)        j = 2, . . . , n,

e obtemos um sistema com matriz aumentada

[A(1)|b(1)_{] =}          a(0)₁₁ a(0)₁₂ · · · a(0)_1,n−1 a(0)_1n b(0)₁ 0 a(1)₂₂ . . . a(1)_2,n−1 a(1)_2n b(1)₂ 0 a(1)₃₂ · · · a(1)_3,n−1 a(1)_3,n b(1)₃ .. . ... ... ... ... 0 a(1)_n2 . . . a(1)_n,n−1 a(1)nn b(1)n         

(38)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

No segundo est´agio, usando a segunda equa¸c˜ao temos que

x2 = b₂(1) a(1)₂₂ −a (1) 23 a₂₂(1)x3 − · · · −a (1) 2,n−1 a(1)₂₂ xn−1 −a (1) 2n a(1)₂₂ xn. Substituindo x2 na equa¸c˜ao j -´esima (3 ≤ j ≤ n) obtemos

a(1)_{j 2} b (1) 2 a(1)₂₂ −a (1) 23 a(1)₂₂ x3 − · · · −a (1) 2,n−1 a₂₂(1) xn−1 −a (1) 2n a(1)₂₂ xn ! + a(1)_{j 3} x3+ · · · + a(1)_{j ,n−1}xn−1+ a(1)_jn xn= b_j(1), e agrupando a(1)₂₂ a(1)₂₂ + a(1)_jn −a(1)_{j 2} a (1) 2n a₂₂(1) ! xn= b_j(1)− a_{j 2}(1) a₂₂(1) b(1)₂ .

(39)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

No segundo est´agio, usando a segunda equa¸c˜ao temos que

x2 = b₂(1) a(1)₂₂ −a (1) 23 a₂₂(1)x3 − · · · −a (1) 2,n−1 a(1)₂₂ xn−1 −a (1) 2n a(1)₂₂ xn. Substituindo x2 na equa¸c˜ao j -´esima (3 ≤ j ≤ n) obtemos

a(1)_{j 2} b (1) 2 a(1)₂₂ −a (1) 23 a(1)₂₂ x3 − · · · −a (1) 2,n−1 a₂₂(1) xn−1 −a (1) 2n a(1)₂₂ xn ! + a(1)_{j 3} x3+ · · · + a(1)_{j ,n−1}xn−1+ a(1)_jn xn= b_j(1), e agrupando a(1)_{j 3} −a(1)_{j 2} a (1) 23 a(1)₂₂ ! x3+ · · · + a(1)_{j ,n−1}−a(1)_{j 2} a_2,n−1(1) a(1)₂₂ ! xn−1 + a(1)_jn −a(1)_{j 2} a (1) 2n a(1)₂₂ ! xn = b_j(1)− a_{j 2}(1) a₂₂(1) b(1)₂ .

(40)

Assim, chegamos em a(2)_{j 3} x3+ · · · + a_{j ,n−1}(2) xn−1+ a(2)_jn xn= b(2)_j , j = 3, . . . , n, onde a(2)_jl = a(1)_jl − m_{j 2}· a(1)_2l , b(2)_j = b_j(1)− m_{j 2}· b(1)₂ , mj 2= a(1)_{j 2} a(1)₂₂ ,              j = 3, . . . , n, l = 1, . . . , n.

O sistema inicial foi transformado em                a₁₁(0)x1+ a(0)12x2+ a(0)13x3+ · · · +a(0)1,n−1xn−1+ a1n(0)xn = b(0)1 0 · x1+a(1)₂₂x2+ a(1)₂₃x3+ · · · +a(1)_2,n−1xn−1+ a_2n(1)xn = b(1)₂ 0 · x1+ 0 · x2+a(2)₃₃x3+ · · · +a(2)_3,n−1xn−1+ a_3n(2)xn = b(2)₃ . . . . 0 · x1+ 0 · x2+a(2)_n3x3+ · · · +a(2)_n,n−1xn−1+ a(2)nnxn = b(2)n

(41)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

No segundo est´agio fazemos as transforma¸c˜oes E_j(2) = E_j(1)− mj 2· E2(1) onde mj 2= a_{j 2}(1) a₂₂(1)        j = 3, . . . , n,

O sistema inicial foi transformado em

[A(2)|b(2)_{] =}          a(0)₁₁ a(0)₁₂ a(0)₁₃ · · · a(0)_1,n−1 a(0)_1n b(0)₁ 0 a(1)₂₂ a(1)₂₃ · · · a(1)_2,n−1 a(1)_2n b(1)₂ 0 0 a(2)₃₃ · · · a(2)_3,n−1 a(2)_3n b(2)₃ .. . ... ... ... ... ... 0 0 a(2)_n3 · · · a(2)_n,n−1 a(2)nn b(2)n         

(42)

Repetindo esse processo no final do k-´esimo est´agio obtemos                      a(0)₁₁x1+ a(0)12x2+ · · · + a(0)1,k+1xk+1+ · · · +a(0)1nxn = b(0)1 0 · x1+a(1)22x2+ · · · + a_2,k+1(1) xk+1+ · · · +a(1)2nxn = b(1)2 . .. .._. .._. .._. 0 · x1+ 0 · x2+ · · · +a(k)_k+1,k+1xk+1+ · · · +a (k) k+1,nxn = b (k) k+1 . . . . 0 · x1+ 0 · x2+ · · · +a(k)_n,k+1xk+1+ · · · +a(k)nnxn = bn(k) onde a(k)_jl = a(k−1)_jl − m_jk· a(k−1)_kl , b(k)_j = b_j(k−1)− m_jk· b_k(k−1), mjk = a(k−1)_jk a(k−1)_kk ,              j = k + 1, . . . , n, l = 1, . . . , n.

(43)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

No k-ésimo estágio fazemos as transforma¸cões E_j(k)= E_j(k−1)− m_jk· E_k(k−1), onde mjk = a(k−1)_jk a(k−1)_kk        j = k + 1, . . . , n.

e obtemos o sistema com a matriz aumentada

[A(k)|b(k)] =             a₁₁(0) a(0)₁₂ · · · a_1,k+1(0) · · · a(0)_1n b₁(0) 0 a(1)₂₂ . . . a_2,k+1(1) · · · a(1)_2n b₂(1) .. . ... . .. ... ... ... 0 0 · · · a(k)_k+1,k+1 · · · a(k)_k+1,n b(k)_k+1 .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k)_n,k+1 · · · a(k)nn b(k)n            

(44)

Observa¸c˜oes

Durante o k-ésimo estágio o elemento na diagonal da k-ésima linha, a(k−1)_kk é chamado de elemento pivô do estágio. Os números mjk = a(k−1)_jk a(k−1)_kk , j = k + 1, . . . , n, são chamados de multiplicadores.

Se o elemento pivô do k-ésimo estágio é não nulo, então esse estágio poderá ser finalizado com sucesso.

Se o elemento pivô do k-ésimo estágio for nulo não podemos definir os multiplicadores diretamente, e precisaremos fazer

(45)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

Pivoteamento simples

Se antes de come¸car o k-ésimo estágio observamos que o elemento pivô a(k−1)_kk = 0, procuramos na k-ésima coluna um elemento não nulo abaixo da diagonal, ou seja um a(k−1)_pk 6= 0 com

p ∈ {k + 1, . . . , n}.

Se esse elemento existe permutamos as posi¸cões da k-ésima e a p-ésima equa¸cão, e procedemos a realizar o k-ésimo estágio do processo de redu¸cão a partir do sistema permutado.

Observa¸c˜ao

Se a(k−1)_jk = 0 para j = k, . . . , n então o sistema não possui solu¸cão ´

(46)

Pivoteamento simples

Se antes de come¸car o k-ésimo estágio observamos que o elemento pivô a(k−1)_kk = 0, procuramos na k-ésima coluna um elemento não nulo abaixo da diagonal, ou seja um a(k−1)_pk 6= 0 com

p ∈ {k + 1, . . . , n}.

Se esse elemento existe permutamos as posi¸cões da k-ésima e a p-ésima equa¸cão, e procedemos a realizar o k-ésimo estágio do processo de redu¸cão a partir do sistema permutado.

Observa¸c˜ao

Se a(k−1)_jk = 0 para j = k, . . . , n então o sistema não possui solu¸cão ´

(47)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: redu¸c˜

ao (cont.)

Conclus˜ao

Ap´os (n − 1)-est´agios bem sucedidos obtemos o sistema reduzido                        a(0)₁₁x1+ a(0)12x2+ · · · + a_1,k+1(0) xk+1+ · · · +a(0)1nxn = b1(0) 0 · x1+a(1)₂₂x2+ · · · + a_2,k+1(1) xk+1+ · · · +a(1)_2nxn = b₂(1) . .. .._. .._. .._. 0 · x1+ 0 · x2+ · · · +a(k)_k+1,k+1xk+1+ · · · +a(k)_k+1,nxn = b(k)_k+1 . .. .._. .._. 0 · x1+ 0 · x2+ · · · + 0 · xk+1 + · · · +a (n−1) nn xn = b(n−1)n

Esse tipo de sistema de equa¸c˜oes ´e chamado de sistema

triangular superior, pois todos os elementos abaixo da diagonal principal s˜ao nulos.

(48)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: substitui¸c˜

ao reversa

Na fase final do método, resolvemos o sistema triangular superior obtido no (n − 1)-ésimo estágio. Aplicando a técnica de

substitui¸c˜ao reversa ou regressiva.

xn=

bn(n−1)

ann(n−1)

.

Depois na pen´ultima equa¸c˜ao substitu´ımos xn e calculamos xn−1

a_n−1,n−1(n−2) xn−1+a(n−2)n−1,nxn= b(n−2)n−1 ⇒ xn−1 =

b_n−1(n−2)− a(n−2)_n−1,nxn a(n−2)_n−1,n−1

(49)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: substitui¸c˜

ao reversa

Come¸camos pela ´ultima equa¸c˜ao. Se a(n−1)nn 6= 0 obtemos que

xn=

bn(n−1)

a(n−1)nn

.

b_n−1(n−2)− a(n−2)_n−1,nxn a(n−2)_n−1,n−1

(50)

Come¸camos pela ´ultima equa¸c˜ao. Se a(n−1)nn 6= 0 obtemos que

xn=

bn(n−1)

a(n−1)nn

.

b_n−1(n−2)− a(n−2)_n−1,nxn a(n−2)_n−1,n−1

(51)

M. de elimina¸c˜

ao de Gauss: substitui¸c˜

ao reversa (cont.)

Continuando esse processo após calcularmosxn, xn−1, . . . , xk+1 podemos usar a k-ésima equa¸cão para calcular xk

a_kk(k−1)xk + a(k−1)_k,k+1xk+1+ · · · + a_k,n−1(k−1)xn−1+ a(k−1)_k,n xn= b(k−1)_k

⇒ xk =

b(k−1)_k − a(k−1)_k,k+1xk+1− · · · − a(k−1)_k,n−1xn−1− a_k,n(k−1)xn

a(k−1)_kk ,

ou seja, temos que para k = n − 1, n − 2, . . . , 1

xk = b(k−1)_k −Pn j =k+1a (k−1) kj xj a(k−1)_kk .

Observa¸cão: Se ann(n−1)= 0 o sistema não possui solu¸cão única. O

sistema possui infinitas solu¸c˜oes se b(n−1)n = 0, e nenhuma solu¸c˜ao

(52)

Continuando esse processo após calcularmosxn, xn−1, . . . , xk+1 podemos usar a k-ésima equa¸cão para calcular xk

a_kk(k−1)xk + a(k−1)_k,k+1xk+1+ · · · + a_k,n−1(k−1)xn−1+ a(k−1)_k,n xn= b(k−1)_k

⇒ xk =

b(k−1)_k − a(k−1)_k,k+1xk+1− · · · − a(k−1)_k,n−1xn−1− a_k,n(k−1)xn

a(k−1)_kk ,

ou seja, temos que para k = n − 1, n − 2, . . . , 1

xk = b(k−1)_k −Pn j =k+1a (k−1) kj xj a(k−1)_kk .

Observa¸cão: Se a(n−1)nn = 0 o sistema não possui solu¸cão única. O

sistema possui infinitas solu¸c˜oes se b(n−1)n = 0, e nenhuma solu¸c˜ao

(53)

Algoritmo: M. de elimina¸c˜

ao de Gauss (sem pivoteamento)

Entradas: dimens˜ao do sistema n; matriz A = [aij]; vetor b = [bi]

(i , j = 1, . . . , n)

Sa´ıda: solu¸c˜ao x1, . . . , xn ou mensagem de erro

1 Para k = 1, . . . , n − 1, execute opasso 2-3

2 _{Se akk} _{= 0 ent˜}_{ao SA´IDA:‘o m´}_{etodo falhou’; PARE}

3 Para j = k + 1, . . . , n, execute ospassos 4-5

4 Fa¸ca m = a_jk/a_kk

5 Fa¸ca E_j = E_j − m · E_k

6 Se a_nn = 0 então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE 7 Fa¸ca x_n= b_n/a_nn

8 Para k = n − 1, . . . , 1, execute opasso 9

9 Fa¸ca xk = (bk −Pn

j =k+1akj · xj)/akk

(54)

Algoritmo: M. de elimina¸c˜

ao de Gauss (sem pivoteamento)

(i , j = 1, . . . , n)

Fa¸ca xn= bn/ann

(55)

Algoritmo: M. de elimina¸c˜

ao de Gauss (sem pivoteamento)

(i , j = 1, . . . , n)

6 Se a_nn = 0 então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE 7 Fa¸ca x_n= b_n/a_nn

j =k+1akj· xj)/akk

(56)

Observa¸c˜

oes sobre o Algoritmo

Re-escrevemos em detalhes os passos 5 e 9 do algoritmo.

Passo 5: Fa¸ca Ej = Ej − m · Ek

1 _{Fa¸ca b}_j _{= b}_j− m · b_k

2 _{Para l = k, . . . , n, execute o passo 3} 3 Fa¸ca a_jl = a_jl − m · a_kl

1 Fa¸ca s = 0

2 _{Para j = k + 1, . . . , n, execute o passo 3}

3 Fa¸ca s = s + a_kj· x_j

(57)

Observa¸c˜

oes sobre o Algoritmo

Re-escrevemos em detalhes os passos 5 e 9 do algoritmo.

Passo 5: Fa¸ca Ej = Ej − m · Ek

1 _{Fa¸ca b}_j _{= b}_j− m · b_k

2 _{Para l = k, . . . , n, execute o passo 3} 3 Fa¸ca a_jl = a_jl − m · a_kl

Passo 9: Fa¸ca xk = (bk −

Pn

j =k+1akj· xj)/akk

1 Fa¸ca s = 0

2 Para j = k + 1, . . . , n, execute o passo 3

3 _Fa¸_{ca s = s + a}_kj· x_j

(58)

Algoritmo: Elimina¸c˜

ao de Gauss com pivoteamento simples

(i , j = 1, . . . , n)

3 _{Se n˜}_{ao existe tal p ent˜}_{ao SA´IDA:‘sem solu¸}_c˜_{ao ´}_{unica’; PARE}

4 Se p 6= k ent˜ao troque E_k e E_p

5 _{Para j = k + 1, . . . , n, execute os}_{passos 6-7}

8 Se a_nn = 0 então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE 9 _{Fa¸ca x}_n_{= b}_n_/a_nn

11 Fa¸ca x_k = (b_k −Pn

(59)

Algoritmo: Elimina¸c˜

ao de Gauss com pivoteamento simples

(i , j = 1, . . . , n)

2 Fa¸ca p = menor inteiro em {k, . . . , n} tal que apk 6= 0

3 Se não existe tal p então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE

8 Se a_nn = 0 então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE 9 _{Fa¸ca x}_n_{= b}_n_/a_nn

(60)

Algoritmo: Elimina¸c˜

ao de Gauss com pivoteamento simples

(i , j = 1, . . . , n)

n n nn

(61)

Algoritmo: Elimina¸c˜

ao de Gauss com pivoteamento simples

(i , j = 1, . . . , n)

8 Se a_nn = 0 então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE 9 _Fa¸_{ca x}_n_{= b}_n_/a_nn

10 Para k = n − 1, . . . , 1, execute opasso 11 11 Fa¸ca x_k = (b_k −Pn

j =k+1akj· xj)/akk

(62)

Neste algoritmo o pivoteamento simples ´e realizado nos passos 2 ao 4.

Re-escrevemos esses passos em uma forma mais detalhada para a implementa¸c˜ao computacional

Passos 2 ao 4(pivoteamento simples)

1 Fa¸ca p = k

2 Enquanto p ≤ n e a_pk = 0 execute opasso 3

3 Fa¸ca p = p + 1

4 Se p > n então SAÍDA:‘sem solu¸cão única’; PARE

5 _{Se p 6= k execute os} _{passos 6 e 8}

6 _{Para l = k, . . . , n, execute o}_{passo 7}

7 Fa¸ca aux = a_kl, a_kl = a_pl, a_pl = aux

(63)

Observa¸c˜

oes sobre o m´

etodo de elimina¸c˜

ao de Gauss

Aplicado para sistemas lineares de qualquer dimensão. A solu¸cão é obtida em um número finito de passos. Quantidade de opera¸cões aritméticas

Etapa multiplica¸cões/divisões adi¸cões/subtra¸cões

Redu¸c˜ao 2n3+3n₆2−5n 2n3₃−n

Substitui¸c˜ao n2₂+n n2₂−n

Total n3+3n₃2−n 2n3+3n₆2−5n

Exemplos de valores

n multiplica¸cões/divisões adi¸cões/subtra¸cões

10 430 375

50 44.150 42.875

100 343.300 338.250

(64)

⇒ Na pr´atica, recorremos ao computador para fazer os c´alculos

e nesse caso obtemos apenas uma solu¸c˜ao aproximada.

⇒ Para evitar a propaga¸c˜ao descontrolada dos erros de

arredondamento são usadas diferentes estratégias de pivoteamento. ⇒ Essas estratégias, propõem usar, no in´ıcio de cada estágio, um elemento pivô a(k−1)_kk que não seja muito próximo de zero.

⇒ Discutiremos duas estrat´egias b´asicas: o pivoteamento

(65)

Pivoteamento parcial

Antes de come¸car o k-´esimo est´agio procuramos na coluna k, da

diagonal para baixo, o primeiro elemento com o modulo m´aximo e

positivo. Ou seja, achamos o menor p ∈ {k, . . . , n} tal que |a(k−1)_pk | = max

k≤j ≤n{|a (k−1)

jk |} 6= 0.

Se esse elemento existe permutamos as posi¸cões da k-ésima e a p-ésima equa¸cão.

Observa¸c˜ao max k≤j ≤n{|a (k−1) jk |} = 0 =⇒ a (k−1) jk = 0 para j = k, . . . , n.

(66)

Pivoteamento parcial

Antes de come¸car o k-´esimo est´agio procuramos na coluna k, da

diagonal para baixo, o primeiro elemento com o modulo m´aximo e

positivo. Ou seja, achamos o menor p ∈ {k, . . . , n} tal que |a(k−1)_pk | = max

k≤j ≤n{|a (k−1)

jk |} 6= 0.

Se esse elemento existe permutamos as posi¸cões da k-ésima e a p-ésima equa¸cão.

Observa¸c˜ao max k≤j ≤n{|a (k−1) jk |} = 0 =⇒ a (k−1) jk = 0 para j = k, . . . , n.

(67)

Pivoteamento parcial (cont.)

[A(k−1)|b(k−1)] =                  a(0)₁₁ a(0)₁₂ · · · a(0)_1,k · · · a(0)_1n b₁(0) 0 a(1)₂₂ . . . a(1)_2,k · · · a(1)_2n b₂(1) .. . ... . .. ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nn b(k−1)n                 

(68)

[A(k−1)|b(k−1)_{] =}                   a(0)₁₁ a(0)₁₂ · · · a(0)_1,k · · · a(0)_1n b₁(0) 0 a(1)₂₂ . . . a(1)_2,k · · · a(1)_2n b₂(1) .. . ... . .. ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nn b(k−1)n                   |a(k−1)_pk | = max k≤j ≤n{|a (k−1) jk |} 6= 0

(69)

Pivoteamento parcial (cont.)

[A(k−1)|b(k−1)] =                   a(0)₁₁ a(0)₁₂ · · · a(0)_1,k · · · a(0)_1n b₁(0) 0 a(1)₂₂ . . . a(1)_2,k · · · a(1)_2n b₂(1) .. . ... . .. ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nn b(k−1)n                   Ek ←→ Ep

(70)

[ ˜A(k−1)|˜b(k−1)] =                   a(0)₁₁ a(0)₁₂ · · · a(0)_1,k · · · a(0)_1n b₁(0) 0 a(1)₂₂ . . . a(1)_2,k · · · a(1)_2n b₂(1) .. . ... . .. ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nn b(k−1)n                   [A(k−1)|b(k−1)] −→ [ ˜A(k−1)|˜b(k−1)]

(71)

Pivoteamento completo

Antes de come¸car o k-´esimo est´agio procuramos na submatriz com

linhas e colunas da k at´e a n um elemento com o modulo m´aximo

e positivo. Ou seja, achamos p, r ∈ {k, . . . , n} tais que |a(k−1)_pr | = max

k≤j , l ≤n{|a (k−1)

jl |} 6= 0.

Se esse elemento existe permutamos as posi¸cões da k-ésima e da p-ésima equa¸cão e depois da k-ésima e da r -ésima variáveis. (Ou seja, na matriz aumentada permutamos as linhas k e p, e as colunas k e r .)

Observa¸c˜ao

max

k≤j , l ≤n{|a (k−1)

(72)

Pivoteamento completo

Antes de come¸car o k-´esimo est´agio procuramos na submatriz com

linhas e colunas da k at´e a n um elemento com o modulo m´aximo

e positivo. Ou seja, achamos p, r ∈ {k, . . . , n} tais que |a(k−1)_pr | = max

k≤j , l ≤n{|a (k−1)

jl |} 6= 0.

Se esse elemento existe permutamos as posi¸cões da k-ésima e da p-ésima equa¸cão e depois da k-ésima e da r -ésima variáveis. (Ou seja, na matriz aumentada permutamos as linhas k e p, e as colunas k e r .)

Observa¸c˜ao

max

k≤j , l ≤n{|a (k−1)

(73)

Pivoteamento completo (cont.)

[A(k−1)|b(k−1)_{] =}                a₁₁(0) · · · a(0)_1,k · · · a_1r(0) · · · a(0)_1n b₁(0) .. . . .. ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_kr · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)pr · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nr · · · a(k−1)nn b(k−1)n               

(74)

[A(k−1)|b(k−1)] =                a₁₁(0) · · · a(0)_1,k · · · a_1r(0) · · · a(0)_1n b₁(0) .. . . .. ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_kr · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)pr · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nr · · · a(k−1)nn b(k−1)n                |a(k−1)pr | = max k≤j , l ≤n{|a (k−1) jl |} 6= 0

(75)

Pivoteamento completo (cont.)

[A(k−1)|b(k−1)] =                a₁₁(0) · · · a(0)_1,k · · · a_1r(0) · · · a(0)_1n b₁(0) .. . . .. ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_kr · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)pr · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nr · · · a(k−1)nn b(k−1)n                Ek ←→ Ep

(76)

[ ˜A(k−1)|˜b(k−1)] =                a₁₁(0) · · · a(0)_1,k · · · a_1r(0) · · · a(0)_1n b₁(0) .. . . .. ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)pr · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_kr · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nr · · · a(k−1)nn b(k−1)n                [A(k−1)|b(k−1)] −→ [ ˜A(k−1)|˜b(k−1)]

(77)

Pivoteamento completo (cont.)

[ ˜A(k−1)|˜b(k−1)] =                a₁₁(0) · · · a(0)_1,k · · · a_1r(0) · · · a(0)_1n b₁(0) .. . . .. ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)pr · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_kr · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nr · · · a(k−1)nn b(k−1)n                xk ←→ xr

(78)

[ ˆA(k−1)|ˆb(k−1)] =                a(0)₁₁ · · · a(0)_1r · · · a(0)_1,k · · · a(0)_1n b₁(0) .. . . .. ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)pr · · · a(k−1)_p,k · · · a(k−1)p,n b(k−1)p .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)_kr · · · a(k−1)_k,k · · · a(k−1)_k,n b(k−1)_k .. . ... ... ... ... 0 · · · a(k−1)nr · · · a(k−1)_n,k · · · a(k−1)nn b(k−1)n                ˜ A(k−1)· x = ˜b(k−1) −→ ˆA(k−1)· ˆx = ˆb(k−1) onde xk = ˆxr, xr = ˆxk e xj = ˆxj em c.c.

(79)

Estrat´

egias de pivoteamento

Observa¸c˜oes

As duas estrat´egias apresentadas ajudam no controle da

propaga¸c˜ao dos erros de arredondamento mas o pivoteamento

completo, em geral, produz resultados de melhor qualidade. Por outro lado, no pivoteamento completo precisamos o elemento de modulo m´aximo dentre (n − k + 1)2 coeficientess entanto que no pivoteamento parcial ser´a apenas dentre n − k + 1 coeficientes.

A implementa¸c˜ao computacional do pivoteamento parcial ´e bem mais simples do que o pivoteamento completo.

Essas estrat´egias podem ser combinadas com outras t´ecnicas para se obter melhores resultados.

(80)

Exemplo

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

possui a solu¸c˜ao exata ´e x1 = 10 e x2 = 1. Vamos resolve-lo

usando aritmética de ponto flutuante com 4 d´ıgitos de precisão (na base decimal) pelo método de elimina¸cão de Gauss.

(81)

Exemplo

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

⇒ Primeiro sem pivoteamento

Temos que

m21←

5.291 · 100

3.000 · 10−3 =1.76366 . . . · 10

(82)

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

(83)

Exemplo

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m₂₁← 1.764 · 103

(84)

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m₂₁← 1.764 · 103

(85)

Exemplo

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m₂₁← 1.764 · 103

(86)

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m₂₁← 1.764 · 103

(87)

Exemplo

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m21← 1.764 · 103

(88)

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m21← 1.764 · 103

⇒ a22← −1.043 · 105

(89)

Exemplo

O sistema (

3.000 · 10−3x1+ 5.914 · 101x2 = 5.917 · 101

5.291 · 100x1− 6.130 · 100x2 = 4.678 · 101

Temos que

⇒ m₂₁← 1.764 · 103

⇒ a₂₂← −1.043 · 105

(90)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x1 ← −1.000 · 101

A solu¸c˜ao aproximada obtida x1 = −10 e x2= 1.001 ´e muito ruim!

Temos os erros relativos x1 = 2 e x2 = 10

−3_.

Observe que o erro de x1 ´e muito grande comparado com o epsilon

(91)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo x2← −1.044 · 105 −1.043 · 105 =1.000958773 ⇒ x2 ← 1.001 · 100 ⇒ x1← −1.000 · 101

−3_.

(92)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2 ← 1.001 · 100

−3_.

(93)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2 ← 1.001 · 100 x1 ← 5.917 · 101− (5.914 · 101_{)(1.001 · 10}0₎ 3.000 · 10−3 ⇒ x1 ← −1.000 · 101

−3_.

(94)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2← 1.001 · 100 x1← 5.917 · 101−5.919914 · 101 3.000 · 10−3

−3_.

(95)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2← 1.001 · 100 x1 ← 5.917 · 101− 5.920 · 101 3.000 · 10−3 ⇒ x1 ← −1.000 · 101

−3_.

(96)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2← 1.001 · 100 x1← −3.000 · 10−2 3.000 · 10−3

−3_.

(97)

Exemplo (cont.)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2 ← 1.001 · 100 ⇒ x1 ← −1.000 · 101

−3_.

(98)

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =3.000 · 10 −3 _{5.914 · 10}1 _{5.917 · 10}1 0.000 · 100 −1.043 · 105 _{−1.044 · 10}5 Logo ⇒ x2 ← 1.001 · 100 ⇒ x1 ← −1.000 · 101

−3_.

(99)

Exemplo (cont.)

Agora vamos usar pivoteamento parcial.

A matriz aumentada do sistema ´e

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

Aplicamos o pivoteamento parcial: E1↔ E2, e obtemos

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo

(100)

Exemplo (cont.)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # .

(101)

Exemplo (cont.)

[A(0)|b(0)_{] =} " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 _{5.917 · 10}1 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo m21← 3.000 · 10−3 5.291 · 100 =5.67000567 . . . · 10 −4

(102)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo ⇒ m21← 5.670 · 10−4

(103)

Exemplo (cont.)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo ⇒ m21← 5.670 · 10−4 a22← 5.914 · 101− (5.670 · 10−4)(−6.130 · 100)

(104)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo ⇒ m21← 5.670 · 10−4 a22← 5.914 · 101+3.47571 · 10−3

(105)

Exemplo (cont.)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo ⇒ m21← 5.670 · 10−4 a22← 5.914 · 101+ 3.476 · 10−3

(106)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo ⇒ m21← 5.670 · 10−4 a22←5.9143476 · 101

(107)

Exemplo (cont.)

[A(0)|b(0)] = " 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 # .

[ ˜A(0)|˜b(0)] = " 5.291 · 100 −6.130 · 100 _{4.678 · 10}1 3.000 · 10−3 5.914 · 101 5.917 · 101 # . Logo ⇒ m₂₁← 5.670 · 10−4 ⇒ a₂₂← 5.914 · 101

(108)

Exemplo (cont.)

b2 ← 5.917 · 101− (5.670 · 10−4)(4.678 · 101)

Obtemos a matriz aumentada

[A(1)|b(1)_{] =}5.291 · 100 −6.130 · 100 4.678 · 101

5.914 · 101 5.914 · 101

.

(109)

Exemplo (cont.)

⇒ b₂← 5.914 · 101

[A(1)|b(1)_{] =}5.291 · 100 −6.130 · 100 4.678 · 101

5.914 · 101 5.914 · 101

.

(110)

Exemplo (cont.)

⇒ b₂← 5.914 · 101

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =5.291 · 10

0 _{−6.130 · 10}0 _{4.678 · 10}1

5.914 · 101 5.914 · 101

.

(111)

Exemplo (cont.)

⇒ b₂← 5.914 · 101

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =5.291 · 10 0 _{−6.130 · 10}0 _{4.678 · 10}1 5.914 · 101 5.914 · 101 . Logo x2← 5.914 · 101 5.914 · 101

(112)

⇒ b2← 5.914 · 101

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =5.291 · 10 0 _{−6.130 · 10}0 _{4.678 · 10}1 5.914 · 101 5.914 · 101 . Logo ⇒ x2 ← 1.000 · 100

(113)

Exemplo (cont.)

⇒ b₂← 5.914 · 101

[A(1)|b(1)_{] =}5.291 · 100 −6.130 · 100 4.678 · 101 5.914 · 101 _{5.914 · 10}1 . Logo ⇒ x₂ ← 1.000 · 100 x1 ← 4.678 · 101+ (6.130 · 100)(1.000 · 100) 5.291 · 100

(114)

⇒ b₂← 5.914 · 101

[A(1)|b(1)_{] =}5.291 · 100 −6.130 · 100 4.678 · 101 5.914 · 101 _{5.914 · 10}1 . Logo ⇒ x₂ ← 1.000 · 100 x1 ← 4.678 · 101+ 6.130 · 100 5.291 · 100 = 5.291 · 101 5.291 · 100

(115)

Exemplo (cont.)

⇒ b2← 5.914 · 101

Obtemos a matriz aumentada [A(1)|b(1)] =5.291 · 10 0 _{−6.130 · 10}0 _{4.678 · 10}1 5.914 · 101 5.914 · 101 . Logo ⇒ x2 ← 1.000 · 100 ⇒ x1 ← 1.000 · 101