'I TEORIA DOS CON~JUWrI'OS~COI:IJ UNTOS NUMÉRICOS. RELAÇÕES

(1)

'I

TEORIA DOS

CON~JUWrI'OS~COI:IJ UNTOS

NUMÉRICOS. RELAÇÕES

Estudaremos agora os í':onJnntos numéricos

mais

pro--J\mdamenw, do q""l vo"a já tomúllconlJecímcmo

tIO l' grau.

COMO REPRESENTAFt

UM CONJUNTO

Um conjunto pode ser representado por duas foúnas:

lltFúrmn: por

cxtcns~,)

Enumeram ·-se.seus elemento~, escreveHdo~os

,I;m.tre

cha~

e $epar~nd'H'$ por vfrgltla.Por exemplo, O conjunto dos

n~tul~Jil5

mCtlUres.que

5:·

A= {D,I,.2,3.41

Podemüs utilizar a representação por extensão,; mesmo

Q

conjunto seJa infinito ou finUo,

ma..~

com

Ut.ilntírnerú

ado de elementos, F..xemplns:

éúnjufl~o

dos

mimeros ímpares:

{I, 3, 5, ...

l~

conjunto Infiui!o

'Conjunto '-dosnúmc(os pares POSItiVOS, meno:res que

{2,4,6, ..., J98}"-'conjulItofmito

211;

Forma: por (omprt~cns!-o

O

conj unto$(.':1'6

representado

por

m.eio de uma

propdüda-Como cxemplQ, \) conjunto dos númerOs natOl;ais m{,:ih{)~ e :5 po{le ser representado por:

A

'o

Ix

E Nlx

-<

5}

Assim:

Nlx <:5}",

{O,1,2,3,4}

PIERAÇÕES COM CONJUNTOS

UNIÃO DE CONJUNTOS

Sejam osc""juntosA'"

{O,2,4, 6}c fl

=

{O,

1,2,3,4}.

Vamns determinar um cDnjunto C formadQ pelos: elcmeo .• pertencem a

A

ou a

B

ou

á

ambos:

c

o

{O,1,2,3,4,6}

J3"'{O,I,2,3,4)

b conjunto C, a"im formado,

é

ehamado ,millo deAe J3.

Então;

A união de d,)i.' eoojunlos, A e 13,

é

o

~QS

os dcmt:ntu~ '1ue ,pertencem a

~A.

ou a

DesignaJllo, 1\ oniil0 de Ae B por

AUB

(Iê-se A união

Exemplos: fi)

l~~ {J~3~.s,7}

A

U

8 ""

{O,1,2,3,4,5,n

@.o

A

"i~

.5

B

"""'"

".·'3

.4

.,

]:i)

A={O,I,2}

B={O,I,2,3,4)

A UB",

{D,1

,2,3,4} '" B

c)

A ~

{O,2}

B={1,3,5}

'A

U

8 '" {O,1 ,2,

Em díagr<im", ~.'

~

ml'ERsu:cÇAO i)E CONJUNTOS

Sejam <>sconjuntosA= {O, 2, 4, 6} eB= {O, 1,2,

3A}.

Vamos

det'êrrmnar

um c

tos

o

Ael3,

A

intersecção

de dOIS cOfijun:ws; A e B~

é

o ,conjunto

fonnado pelos elememos qne são comuns a A e B, Isto é, pelos

elementos que pertencem a Ae também portencem á B.

Designamos a intersecçil() d. A e B por

A

n

B

(!ê~se;

A

InterB),

.

Ana",

(x

f

x

E A

e x

E

aj

E"~mpl(lS;

a)

A={O,1,2,J,4}

B={1,3,5,7}

Ana

=

{i,

3}

(2)

:I

.

,.,.,.,.

,

"

(a\.'..:.~w~,1.:~:;;."

:);~'. ',,' 'I

~j""

Consh:l:em-sccolllo illl~:l V,r'!;;I'''l! .111((rI .. H.

IVIATLIVIÁI

J( :

A

iNTERVALOS

ffioníunerü$re~ü ..\(,C:li)Il·, lJ.,:,ft, Hir"ll' IlHI1l",1p',luln "11

a

!osOSseguintes subc'mju,,!oo de Il:

{x

E R

I

a -.: x<.

h

L

I;Ullhl'''1t1 Illdh ,1110 pOI 1.11, lir

(intervalo aberto de l':Xtll'llli I', l\ ('

I,

•

{x

E R!

a

:s;

x :S:

h},

tJII1I1H"1II indlCTlIll ~

I

~l'I

Ia, "I

{intervafofechado de e.l{lh:nlO:; :n

('li

{K

E R

I

Pl

S

X<:

b }.

j;lIuhóu ifldil',lIC!n 11tH

l"r

fll

(interv.alo serni-abertü

li

d]reila de

('.\lll~lllll,\ li I'

h.

{x

E

RlxS a} I....

,,',"I

{x E R 13<'X::;;; h},lwl1hélll jlldHiltI~lpur Jll,hHhll~'I\"r1rl &..:;n-i~abc"rtOtl C-Sqtlerdn dl~ extlt~flH 1.'1~lj'I •.

intervalo)

Sua representação na reta

Itwl ~~j~~ifdc/li,"9',lIll1h.'111011(1.

{xERla<x<b}

la,bl

-o---o--~

_a

_b

a

(a bolinnaO vazia é

1,.Uil indk;11'

tjlll'.'I

(·Ir

Illlll

pl'l rr'Flt,c'ltl

ao intervalo)

{x

E

Rlas'""b)

1","1

{x E Rlx;?: a} "ln,+O:II

{x

ERlasxsb}

la,hl 1$ -.'

a

b

~ lliIl

O

a

h

Definimos

como

inh~r",ll(l~

ill.inHn:<., rl~:

';"I'.llinl~";

suoc-onjuntos

d.~~R,

com SH.i.lrqm~!;t:II[;I'\,:h) Illlld;l lç;ll

{x E Rlx>a} '"1'1,

Ild

'--~

_a

-

.•.

{xERlx<a}

j-tx),"1

----..,0----"--·,,

a

b,

RESPOSTAS

situado enlre 2 e 7 na rela rcal.

HtUnCro negativo1 ou seja, se situa

à esquerda de

A 1l01a<;1l<)

y

>

·1 significa q"e

y

é "m número real

~lu~: r~i~l~ewle, pottant()~ y se situa,

à

direita de

Emdiagramô

';tt~a.

EXEIIU:íCiOS

.0

Us.andoa notação de deslg1.1aldadeJ eScreva as seguin~ layl\es:

.) x está situado

à

direita de 10 nll rell\ real.

b)

y está

situado entre -I e

ti

na rela reaL

e) ~ está situado

à

esquerda de -2 na reta real.

d) 2

é

um número

posiliv;",

Ou

seja, se situa à direita de"

RELAÇÃO DE ORDEM

NO CONJUMTOR

Sejam dois números quaisquer a e b •

- Entre a e b poderá ,ocorrer uma, e somente uma~ dôs relações:

a=b

Ou

.n>b

oua<b

li desigualdade

represenlada""r

a

<

b 4gnifíca quç

<)

l1umel'Ü t'e-s! a é rnenorque o número real b. GeometdcaJnente, se,a

<

b, então a está situado

à

esquer ... da de b na rela real.

I 1

a

b

A desigualdade representada por a:> b significa que o

número real a

é

maior queOnúmero real b. G eümetricamente" se a

>

b~ então a está situado

à

direita

de b na rela real.

b

•

Também écomum C-1)crevc:rmos;

a:::;b

(lê-sc: aé mcnorquebon

a

é

iguah b),

a2:b

(Ié-.>.' a

é

maiorqueb ou aé igual a

b),

~ B}

E

RIê~lPOS'fAS

I)

a)

{O, 1,2,3, 5}

b){O,I,2,3,4,6,S}

ç) {O,I,2,3,5, 7,9}

d) {O,2,3,4,5,6,S}

d)

Se li

e B são disjUlllOS,

quanto,

elementos lerá o

000-A-B=

jmlto

A

ri

B

?

elementos que pertencem a A mas não pertencem a B,

Designllmos a diferença de A " B

pOr

A - B

menosB).

tem lln~ sÓ

elemento?

AnB",{O,

i

2}=A

b)

'@'

_.

.3 ~,.2,',

•4

~

_.

A

_B

n) Como se cbama

b)Se

Hn .•. I

LIVnAtlt;j},

2

(3)

-~-,~---ri

d;-il d /.,

IIIl/\lI

MA 11' 1\

/'1, LI \\

I

V:t

.

li",,,,j,I,,, 1"1

RELAÇAo DE

OR.bEM

NO CONJUNTO

n~

Entre.e c b poderá ocorrer

umat

e

5.()JH{~n(ç 1.tITlil,dolo';

relações:

cor'u •••.••

u

IIUft

•••••

Mr••u••

nUfAc lONA I

tJ

J;'

1<11,1"

I',

J:i

1,

i

t:'I.",j 1/1

(l["+11I ""lIllil"" ' 111,1".

'li" ,

i.I. 111

,j.

,11'1'1'

IHlill!II',

11'\'1

I,'''ll''ld''''II!'''' 1'''1.

"'1111'1",," ;,1,;••,("

ll!l1 l\1'nllf'lll 11Im Itllld 1111',1.11111' 'tlilltt, Id" ,o, II Hlll11('IO

()h',C'l VI' ti'.,'P,tlillf'· 11'0',11111,;1" 11141.1111', III~,""II;\ H Ilil'li

Sejam dois mimems quaísqucr a c b.

I

lI.., 11110'

'11" "

1

"'lj"H"

llllm.;

v,ji'ili,j';;l I'.""l 111111'ril'Qjl1· 'I

llt"tclnWllIl JI'ill,lj'I"''''lIj'I\I" ,il' 11IPd

ti

que nihi

I'Pdnn

',fi j,l' IIH, Ild 1"1111"

_I,

pr di"lilÍt

'li"•• I\',

;pldl'i

jllllllP"

t, «,'I,l! ,I, IIH1I1.'I,," hl '11

illflllh

~',;:11 11.:

~:l,'I..

J

1~~D:lll!l:\~'

75 '20~3,75

3

1 0,333'''::;;"9 '"

"3

5 "'-1,25

1 '2"'0,5

Podemos, representar geQmetri.émnenw os numeros meio ..

Então, toda decimal éxata ou periódica pode ser fepre·

.Estes ex,emplo$ se referem às dedm:::;dsé1l::atils ou

finihu.

Ê:

lmetes,""!e

considerar

a

representllçilQ

decimal de um

E;j-i~-ti;:xçrüpr:;r~>;:;?-.;;:fe.;,.::~:~i-·/·:~;:;::~:t;;

t;;'~?§~~:':d<::::

G~~

1

2

3 1=1'='2"''3

As-sim1 podemos eserever;

a

Q ~

{x

I

x ~ b,com a

E

Z, b

E

Z

e

b ," O}

7

6 0,333... 6~-1,1666...

0,857142857142

...

Obs •.rvamos

!lO

gráfico que,

5

6 6:3

5 Entre

e 4' existe 5"

entre 5' e 2'éXiste

4"

•. :entre doi~ inteiros nem sempre existe Qutr-o inteiro.

..ellrre

dois

raciona;" sempre

existe outro racional.

Exemplo,:

a

tada na forma de

númetO

racional

a

.

número radona!

b'

'lU" se obtém dMdindo-se a por b;

-2

-6

~ 2

"'3'

o

O

O ~

T'"

"'"3

-2

5 Entilo;-2,-4" -1

a

Todo

l1útnem

raciona! pode ser c"l"c~do em

(onull.

b

I

t

L

I~

Z= {...,3, ·2, .1, 0,1,2,3,4,5,

...}

.2.+

conjunto

dos rUlmems ínteiros não ...negativ{)s "'"

Observe que Z+zxN

Exemplos,

z*=z·

{Q}

CONJUMTO

DO$ MÚMEROS

tQl

.z~

=

conjunto dos números hlteirós nãÔ'~pos:itívos

;;;<

IO,·j ,·2. ·3,4, ...}

pio. são númerost1l,c íonais. reta, confam,. o gráfico a seguir:

Vamos acresc:e~~tí'!if

as

frações positivas

e

negativas

nÚmeros inteiro,s,e tere.mos

05

números

t'lldonuis.

Cem

a

E

Z, b

E

Z e

b,p. O.

{O,1,2,3,4, ...}

Além

do conjUJlto

Z, couvem

destncu

os

seguln:C'

subconjuntos de Z:

~ os números irracionais.

-- os t1í1meros natura.is,

N=

{ú,

1,2,3,4,5, ...j·

Um "ubcúnj,mtoimpQrtante d. N ,; o ""'\Junto H':

N* ~ {I, 2, 3,4, 5, 6, ...} ~o:wro(oiexclutdodoconjunto

Assjm~s~,onÚmeros!~.ais:

R'I -"""

eOl~íunto

dos nluneros reais

\,1§ü"'negativos.

H' R·(o)

- os números f'aCÍonais.

Cmllo ~lJbçonjunto$, importantes de

f<..,

temos:

R= Q U

{irracionais} '" {x

I

x

&

- os núme,ros inteiros,

DefirJl.>se {) cemjuntü: dos números reais

como:

R_

r.>COrljun1Q

dos

númerOS reais não~p{)sitiyôs,

@

COIM.UJNl'@ I)@S

l'núlMER.OS

MATUR.AiS

.mmm···.m

I

R -

Q

/

(I

(racionais)

J

/

L

P'oJemos cOUl.üderar os mímcros naturais ordc11ados so,.,

bre unta retu* cünforme o gráfiw a s'egulr:

4

N.

~1N/\

j

L.:M·'"\ 11 CA

(4)

h)A.(If)

I

1\(1.1

B(.\)

1:-;1 I,t:,dlll!{'

:::>

1'(')

11 b) ..l

. I "

:::>(.J)'+4{.3y·a(.J)+]

=0

iC~

a=-3"

10 1'(-3)=0

1'(3),< 3'-5

3 + 6

Resposta; P(J)'" O.

I'1XlElttCiCIOS

11

1) fi)

n

") 11

III

CY{

3)M

InN~'lolnl1wI1lI'j10

S}:k-'--:8

,_!

.•_ •..

_.."''''-_...•.

'

2. Delerrni'nern E '1f-t,paral.·/·U("opnlill('hllld I'1:.\)' (111 ,i,t :'('

~.(m2 - 16) x~-l- (rn I(1):-:

+

4 Stj1J

(t'

grillJ<->_

3.N\'.HH polill61llioP(x)"Jo Y) grau,

(I

('Or.:!It·Wllll: de.\".; j

Se P{

i)=

1'(2) ,(Ie 1'(3 )., JO, <ai"" k "v11I", dO'1'( J). 4, Sendo P(x)""rl.X,f+ bx1 +ce<)(x)";j.v.;1 I h:·; ,I (;, ddl'nllitv' oscoefi,c.lenl'c:".H,hecjsabt~ndoqllC"I)(O)

l).l'(l)

f)I':(}(I)----I

1

5. Detcrm-Jiw k, de modo que x ,-- ::; st:ja_<. 1<11).(['(; 11(,1() il;-.:I.

8,,'· (k+5)x"1

(11,·"):<

+ 5- k

Resposta: a

=

3'exémplo:

Sejã mnpolioámlo P(x) do 2° grau. Sabe:ndo·"se que:2 (~miz

de P(xl,P(·l)=

12.

1'(0)=6, ca!cularP(3).

Resolução;

Se p(x)édo2"wau,eletemaf(}nnaP(x)'~a,'+bx

f

c,

I"i'.l>:

P(2)=O=:>4a+2b+c=O

(í)

1'(-1)= 12=:> .-0+<= 12 (6)

~O)=6=:>C=6

(p

Substituindo

(p

em

<lJ

e

<D,

vem:

{4a+2b

a-b=6

=-43

Res:{)lvendoosistema,t~-m(}~;-~

IlJl, . .'i. [~lf!I,I!lfr,

P(x)'~x'-5x+6

Cah::.uf;rmdú P(3), f)btcrt~mos:

"(

RESPOSTAS:

POtlNÓMIOS IGUAIS

th)l~,

jllllali'mllll', 1\(1'.)e

B(x)

.são iguaiS ou

idêl"ltkü~;

qlHlll·· dü :lS~ltll1(,llt \111101'1", IUllllt':dcos iguaí.o,;lima qualquer valor co .. mum ntt"ihllhll';'\ \';111.:1\,'('1;\.

1\ CtHld I~ ,111li!' I.(:!.sária e suficíentc

para que dois

polill.,:'mlil)', f\(""l' 1\( 'il ,',Clilln !:?uai5 ou ídêntíoJs t: que m; COt;]I clCIHcS

d(l~i

1I'11I\~f~,'111I('~<;ponaentes.sejam iguais.

f""::'l.t"lllllll',

<.

';iI~

111.11'l,11l' I , ·••ll)l~tldoMse que

"

h

I

1 "('.'

I, I

1)

+(b,,+

c)(:<

+ I)

HI"ilJi111,iill

j;linillul"l" 11,\1(I,\teses- e s-o-rmmdc os tC'UOlb ~'<:u'; llL.Ultl I-I110 '''li •• Inl'llj_ klllllS:

que I.,Qvaiorm.lmérkJ:) de p(x),

---_."_.

__

.,-~_

.."..,_...

FUNÇÕES E EQUAÇÕES

POLINO~feNAJSE

TRANSCENDENTAIS

(ESPONENCIAIS,

LOGARfTIMICAS

E

TffUGONOMÉTRICAS)

P(x):" ~nxn

+

-3n->t•x'fI>l -+ fl:n-J • XFi<L+ ••.

+

81X1+-3'1X +-"\ré

denominada função pollnominal ou, sImplesmente,

polillilmio,

Em que:

'''I' ~,ai .•-a. são'nút'fl€'t(1$ mah:· rnal'n]dos ~tes

é

a V"&iâ'vel

úb,erv.\,)",,;

1') Se

an

*

O,

O expoente máximo n

é

dito grau do

pQlinõmloe indícamosgr(P)=n.

Exemplo,;

a) P(x) = 7 ou J>(x)=7 .x' éum polinômiocoastllnte, isto

é,

il'\p)e,O.

b) P(x)

=

2,," 1

é

um polínõm;o do I"

grau,

b'lO

é,

gr(P)

=

L

Toda funçilo definida pela tel,~ll()

poHnómiü.

l' exemplo; Caicularm

E

P(x)=

(01"

l)x' i·(rrrH)i'.J< +4 >eja:

a) do 3"grau.

b) do 2°grau

c)do 1· grau.

liesGluç11o:

Fazendo

O~

coeficientes de

xJ

e

>,;,2

iguais :a

7....ero" temos:

m'·I=O

m+l~()

m=± I

m=·1

~)Sem7: 1e m 7:

4) Sem = I,

Q

polil)ômio~

c) Se m =·1, o polinômlo li do I" grau.

2' exemplo: sabendo-se que·3

é

l1liz

de P(x)

=

x'

+ 4x' • ax

'to ] ~

caJcular o valor deu.

Resoluçiio:

Se x ~ -3 é raiz de P(,,), entilo p(-3)'~ O

.', ija)x> 10

E}{IEJ~ch~lO$

I) Usando a notação de desigualdade, escreva as

b) Y

está

situado entre-I e61la

reta real.

c) x está situado à esquerda de-2 na reta real.

a) x está situado iI direita de lOna reta real.

e) x está situado entre 2 e 7 na reta fea

t.

b) <'y <6

c)x<-:J

d)z>O

e)2<'x<:7

Ox<O

tes relações:

d) z

é

um número PQsitiv:Ío\ ou seja, se situa na reta r-eaL

f)

x

é

um llúme.ro negativo) ou sf.lia, Qna reta real.

((;:-"e:~~,~m~i'1{)r O!H. hryvs

?,i~uzd ~_~!,

ü"'"l, ou

,fl>b

nu;\.<:;b

A desigualdade representada por a» bSigtlifiC8 que O númérü r~al a f: maior .que o numero tê4.1lr.

á

Um número real:t está eHtN;: ali;:b se", e smneUle Sé}a

.««<. •••.•••••

""---na reta reaL

~ c .ee<:b,Podemos' representttr IstoC011l0 lJ!l:ladu~ pIa desigualdade; 11

<

c

<

b.

de b na reta re.L

A notação x

<:

2 significa que x

é

um mln,ero

ne:al

que

é

menor que

2

t.

portanto~ x se situa

ã

e~

querida

de 2

A notação·3 <x <4,ignifica que-3

<' "", tambél'll,X

<

4; assim x sesiwa entre -3 e 4 nareta:real,

A

notação

Y"'1

significa que

y

é um nÚl]\l'lro

real

queé maio'·que.1 e, porlanto.y se situa

à dil!eimde

~1

nareta

real.

Oeom etricamenC#t $e a::> b, entlI-O a €:-st.ás.itul\do ârlirei ta (ie()metrk.:!:'l:t1:1bnte. sea

<

b, ·então a está situaJv

ae$qu-er~

I I llr!,\lll~J\

Também

é

comum eS<:revermos;

a zb

(lê.se: ali

maiOr

queh ou a li iguala b)

ASSlrl"l:

... <1

(5)

I, j

li-H

I,

11" -lil '11

,-''','

. ·11"1 ,t, ',.II"H I,

I Xl !lel! li'"

I1

"

ll(xi

A(O) I

> \

1\(1) 11 '" I, " 11

A«')

.J "';', ;'1",

R('~,;olvl'ndllo

',h(I-III'I, 1111111. 1,0/',11

I lu\

lJjl"',lll d'l

"h'LI1"d, l'i I

.I),~

1 1,[

'I

é

a ,raiz do

divJsor.

a

Demon~traçilo:

P(x)

r

Como õ resto 'da divisão

é

Independente

de x, isjo

é, é

iguaia Uma cOllstante, .h1ill1.remos

[{(x)

de

r.

Sabemos'lue P(x) =(ax+

b)'

Q(x)

+

r.

'fEORIEMA DO

RESTO

t)

l'(:',sto da d_!vi~QOde m'l!

p'llinl)n~:~,;

O(x) pelc' hi.pfin~i(j ('1":

+b) 6 igU;1

a

p( ~~)

b

Se x for igual li rn"iz:dodívisor, ist<>é.

x!:::':. - ~~ t vem,;

{-;)=(a

.~+b).

{~},r

{-;}<-b+b),

Q(-~)+r

[HB

MATE

MA

TI CA

TEORIEMA DE D"AL.IEMBIEIJU

Um polinônlioP(x.)é dívisív(~1pelo

tmli\min (,I;"; I

h)

t(~, ('

somentesc,{~;J

~

IJ 1(!exemp'lo:

Detenninmovulordup,pumoopoJi:tltilllulJ'fq'

>'x.

1

i :,x

",px+2};~ji?c.;v.i;'l:!~'dpt.lrx :1.,

Resafuçdo:

Se:P(x)édiví.sivt:J pon;

'/.i:1l1.IIJ

1'(/) ()

P(2)~O

2 . 8--l--5· 4 :,>p t '::; O

16+20,2p

';'.

(I

I'

I"

RestA'sla:

p

[I) 2QcxcmpJu:

OpoHn6IHioA(x)do,"'glilllilIVHlllllIIHII

".l':

I)r-\:': I

'J

"prescnhlfes\'o:)' J,OC·'I,IT',pn,lívdllll'lllj'

( dl,llLu

Rcsoluçi.úl

Sei\(x)lldu:~";nllll,(."dH

jll!lll,1 ,'\~ )

,\~J

I I,

SabenlO<; qUI':

/,l'l'l'-Iltllll'

flllhlll'lllIlI!

1'1'

I I"

1 x=2'

::::>

R(x)=I2x+7

R(x)=Q

4)

p~ Oe'l =·1

2x-I=O

2x·l

2X

::::::>

q'~-IO

UM

POUNO!'llUO POR

UM

DA FORMA

ax

+b

p(i)=J

exemplo deseuvolvido,

moslr1ill1OS

'1uo

o

resto da

jlolinomio 4x' • 2x

+

3 por 2x ., I

é

'guai ao valor

1 q+IO=O

Observe que:

Vimos, pelos exemplos dados, que: gr(Q) =llr(A)- gr{B).

EXEIU;ícmJs

1;' exemplo:

o

resto deve sei illJJal a ZCIO; logo p - )

Resolução:

UtilíZand"

O

método da ch,ve. temos;

x:i+Ox1-+" px

+

ti

-x'-2x'-

_{-2,,' +}

5". ~

_{Ir -}

_5'"

₄

_q

2x'

+

4"

+

10

11"

1)" +

Iq •• 10) ::::::>

p=+1

A raiz do divlSor

é

1

Calculemos, agora, I'(x)

para)(

=

'2'

1

3, Delermin.e

a

e j3., para que seja

exala

a divisâQ de

)=2x"+Ux'1' ~x-I POTB(x)=2x'.x- L

de modo que o te.lo da divisão de

por

B(x)=x'+x+

I

sej.igUllI

ax+2,

H'l\!.t~;fU:li'

c

b

a

RESPOSTAS

t)m= 1;11=2ep=<3

2)m=2;n~ I ep=.3

3)A~' J;B=-2eC=3

1

4)

a) a "''4'

b

se"

A OPERAÇAo DEDI'lfiSAO

-1

x

O

O -1

)(

1 g(x) '"

'4(x -

3)(x

+

5)

a) delermine.s

constantes a, b e c pa,..~'1'" f(x) 5

b) calcule o

\itllor mfninH)

deg(x),

r,(x)'"

(nl+n+p)x'

-(p41)x'+mx'

+(ro-p)x+ TI

r,(x)=2nll('+(2p

+ 7)x' +

5rnx+2m.

2. Determinem, n ep,demodoque(mx'+nx+

p)(x+

2x1

+

3x~~2x ~3

3. Quaisdcwm s"r os valoresdeA,

B. C para que

2x2+5x-l

A

8 C

---'-. _.-'"-+

_{x3_x}

-'-'+--X

x+1

)(,1

4. Dadas as

funções

f

e

g,

definidas no conjunto

números reais por

I!l:XlEWU~íCiOl:$

A(xIIB(X)

R(x) Q(x)

I')Q(>:). S(x)+ R(x)sA(x)

2') gr(R)<gr(B) ou R(x)=O

Em que:

A(x)

é

odi'lidenJo.

B(x)

é

o divisor.

Observação:

OttandoA,(x)

édlvisfvel

por B(x) ou B(x)é

divt",rdeA

dizemos que a divis1l<>

é

exa1:Jl, isto

é,

R(x)

=

O,

SeB(x)édivi$OrdeA(x)

ç;>

R{x)=O.

I"e""mp!o:

De;erminatoq<JooienredeA(x)=x'+x'.

7){'

+9x· 1

(x)=){'+3x-2,

A+3=

5 A =2

+20-6=0

5x+l0

x2+

3x -4'

::::::>0"-3

l)~~

A

8 Sabendo-seque

;:+4+

X-I

calcular A.c-

B. Resolu"ão:

Ob,'>Ol"Vam"''1ue(x1'4)(x-1)EX'+

3x-4;pürtllnto.lemos:

Resposta:'

11 ~41b=z-3

e

c;:;;;-3 2f'

~Xeml)lo:

+

I ~

mi~+ax+:a+

b>:_~·;, b.'{+

ex +c

-2~:.[. 1~·

I

a+b",)

(j)

í.

êl+

b

+C

= -2

(V

la+C=1

Gl

St.!hstitui'ldo

<D

em

G).

J

+c ~-2::::::>

c~-3

Substítuindo c =-3 em

Q)

a - 3 =1

::::>

a = 4

l' ,',lI. I

h,t.

5x+10

x2+3x-4

Ax-A+Bx+4B

~-~--~-(X+

4)(x -1)

+3x-4

Para que:

il

identidade se

verifiquei

dtNemO$

ter:

A+B"S

Resolvendo ú sistema:

A

+

'"

5 5B=15::::::>

B=3

Logo:A=2

é

B~l,

3'~exemplo;

Calcular a, b e c para

'Os

(fuais o poHn&mio

I'(x)= (a+0 )x'1'(a - 0-4)x+ (0+ 20- 6)sejaIJ41ti<ah1Cnte

nuh

Resolução:

{ a+p",Q

(j)

Sef'(x) '" O::::>

a -

b - 4 '" O

(V

• . b

+

20 -5", O

Gl

De <D e (;D vem,

O

4

Resolvendo O sistema.) tf.Hno:t a =:2

ê

bw;-2.

R,,';spOSla::4 =:2lb .""'""2 e e""" 4, Sub:stítubdQ h;:::.",2 na uquação

=-~

cMl:4

(6)

II

) I

II

!I

9

1I

MATI:l\IlÁ lI!

,A

11 r--~

-5

lU

~.h:~~·4>-:

3 EXlERCÚCIOS

Logo:

8

é)

l'I(x)

2 I

a

b

c

a)~~)

b

(;

d

b)

.:'.

..

1 li

a}

<1"

l; b

;,1

I!,

ti b)n

4,;il

i,d

I)

{'I

Q(x),,"x' .

a)

R(x)

--11

{Q(X)

:;x

b) R(x)

[,U

1. Q(x)

/"

c) R(x)

_,I

1

2) coelicierttt!o<> do (I\"witmkn

Observe que o coctidentc: d{~x no hín(,mí(lIl,l11l\ 1)',11;11ilI,

fizemos, então, a

divisão

de I'(x) ror ( x

::)

r

ri"" I,,,,,,,, ".,

coeficientes

(h~

Q(x.) devemos dividil

O:J rOl\fH;lt~ll'(',li

ulltlllo.';

nO disp<)Sitivo pratico por

J. RESPOSTAS

o últirno nútuero lorlll,H!o. '1111'li IpIIJd ,tO

resto-dadivi:são.

eosnúrnel"ÇlsqlJl: IÍI.;llll ,\1,:';qW.-ltl.l ,1t',11 ,'\1'

oS- coeficientes do quoch':nt(~

l.'exernpfo

Determinafoquodcnru

c ()

n~NrUdI! divl,,:lo li,"

li{,)

4,

+Zpor(:lx-l),

I,ApHc.ando o dlspnsitiv(J pr:Hko jll' f',I'i,)j l~llrfilli. (.11\1111' o quociente

fi {)

resto da divisr.lo de'

a)P(x) ~ x·

-S,'

+

J.,'

I 1x - I 1'''1x·:>

I

1)

c)P(x)~x' -2x

j

11'01('." 1)

2. Nus esqu:cma~; lHJirtrlle, J(li Hl'lit.'l(io \I di·,po',i(iv(! IJI,',li co de Briot-Rt1ffi.l1i~ calcule o valor do~;l: lcrlwlltn.,; 111-:';1'\lnllci:i

dos em cada um deles:

-2

_______ -A~~-.;+,-,-·_._..

_._._·_"~"N_,_--~'

d''''~(!:!M'''':'

COM:lelMt!!lá -do rli~l:'lnGl(l

.2

I"

-5

----r"

1

4') Multiplicamos

li

raiz do divisorpelo número c(,locatio do 2t} coeficiente e somamOS {)produto com o 3<i

coefid ..

locandQ Qresultado abaixo destel e assim sucessiva'"

SugestãO: faça

x'·

x'

2 ~ (x' 2)(x

+

I),

-2

Mu itiplicamos , raiz do divisor pelo ""eficiente

mp<ld-amos: .o proouto com

{l'

segundo coeficiente do dívi~

, coJocando o resaltado abaixo deste,

q

"/'.

~opolinômk)

P(x);;;;

2x" '"

xJ

RESPOSTAS

)

])m"'1gen~"2:l

2)7

3)a"'! eh~O

4)m~.7en'~2·

Obserwção;

Se (}l"'línômio p(x) não tivesse

Mem",

em x',<)coeík:bnte

tenHO seria igual a O (7""0).

Z"} Rep<ltimos (ab.iX3mos) o

"",,,dto

""eficiente da

divi-O DISPdivi-OSITIVdivi-O

DE

BRIOT·RUIFFINI

Neste itern~ vamos: utilizar um dispositivo muíto simples e

prático para efetuar a divisão de um polinõmio P(x) por um

bindmio da foro,a (.x

+

b).

l'exemplo

Determinar o quociente e

o

resto da divisão de l'(x) ~

'>x'·

5x'+x-2 por(x-2).

<i)

P(I3)~r,~O

- ~H'·-,

(j)

- ~i!l

m

1 @

PCa)=r,

~O f.x-+1)

(~7..

~IN ~ ll_pÚd '" h,

+'Ht)l-

'O Ix+2~QDd -\;-:Rb.)

P(x)=(x+ l)(1<-I)(x+Z)Q(1<)+ax'+bx+c

EXERCfcu:)s

Substituindo

®

em

@,

vem: Substituindo

(j),

G:J,

®

em

®,

vem ;

x~-l

:::::>

a-b+c=-!

x=1

x=-2

:::::>

4a-2b+o'"

1 Resolvendo o sistema, remos: a

=

I, b

=

!

e c ~. L

Resposta; R(x)

=

x'

+

x· I

:::::>

a+b+c=1

fi(d

_-,

P{:d

_,

Phdl L __

ro::;w

?' __,±_2._ _ Pl-_:2~ "'" 1 (ID 2,

Q

poHnl.\mlc Pl:d A!-Xl

R{x) '"

+ af2.afj '"

O

a-

a-13

2') Generalizando, temos:

",(x-Cl,),

,,,(x-Cl,,).

exemplo:

Um pol1nômio P(x) dividido por (x

+ t)

dá resto· - I) dá

resto! e por (x

+

2) dá

rcsm

t.

Determiml1' o rosto

dívisãode P(x) por (x + 1)(x-I)(1<+2).

Resolução:

I. Determine m e

n,

de modo que P(x) ~ 2x'

+

3x'

+

+ nx - 3 s.ja divislvel por (x

+

l) (x" 3).

(x.l)(x-2).Cakulllo

valordeSm+2n.

I.

,., (x - ~l tx ~.mQ{><l+ft[.;.::)

®

P(0't= r~ <D P/fi! - r. q:)

3)a~3eb~4

RESPOSTAS

273 0)43

e)a

to(>polín6mio P(x)

porll('

I obtém.se'luucien\e

PH)~O,c:alcukm,

iI)tl\

IIC/\

1 a",

--3

J)n)8S

4) •.~

o ou

a~-2

5)1l1~6

6) (m

E Rll

<m<4)

1'1-1'0

R:)$oivendo o sistema: a a _

B

ê

b"'

Logo:

R(x) '"

X

+

com

a

'* fi.

Ohs~rvações:

13),

temes:

,~a:::::>

p(a)~aCl,+b

®

pf3

P(fJ)~af3+b

®

De

(D,

G:J,

@

e®

,temos:

Fazendo:

A DIVISÃO PELO PRODtl'TO

pC.

a}(x.

13>

Vamus r;:;su lver o seguinte prQbloma:

Coleul., o resto

da divisão

do

polini'imio

P(x) pejo produ ..

to (x

fi)

(x'

l3),

sabend!J-.se que 05 reSIOs dadivisâü deP(x)

por (é< -IX) e por (x -

fi)

sllo, respectivamente, r, e

r,.

Temos:

o

resto da divisão de P(x) por (x - IX)(x-(1(, ["grau, poLs o divlsor

é

do T' grsu;log,o:

R(x)~ax+b

(7)

11,11,

i

1111"'\ 11', ,li,

IVIAIIMA flC/\

I"

'\liI'I""I",I,I,o' 1',<1"" 1"11 1,1'I,o,d.I"I:]'" 1""11, \ i)/ IIJ Il'![I)'" ,1)[,,' )(11:'11 , ) I" ~" I 11:1hlt', I:' .

l'Iil',"

J:';

I

1".), I 1'111 111.11

"!

i

1'1 c) [u",,} 1-"; ~»J'~I:\ I . k':"'"t: I

i)

I

Ii

:;;ti

32

ltalol": log, de 8jnai.':"'l:;(; .~

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l),l';~'

I) c.)J(lgde125 nú1';I::;!." 1 i d) Jog de [DOO rm b:I';{' 10

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I

uma invtj'~

logadtmk:a,

_,

1/1

log,

Jin '"._}

sendo

lOGARíT!\InCA

<::> <=;:-n·.) "jogau:,,: 1

a, Logo:

ü

logaritinlco da base

é

s'ernpte

rfI-) Seb ,,'C"enU10

J(lg~b Jog/

I~)~logl:;;;O

'""' 1, jb~l O iogarÍtmico de em quó.Jgu<"r 31=9 <=> 5<':"'''625 ~

2m::::..•

/"2 3'.'~~.<:1/27

Se y

=

a:< então X"" Iog&y

que se le: x é fgwd a lüg.arUmo de

y

na base -a.

rn,rior cümpreensão

V:iffiü$

dar

equivalências

entre as.

2'\:;C'8 ~.

!og~b::;:

C.Ç:;>-â.'

b

Exercícios

KGsúfvifÍo5-J)-Calcula.r

ü

togadtmo de 25 na b.ase:;

Jogj25:00: X <::> Y:R>

2:5

(:;>

Y=

510 X=:2

I.ogo;

=2

log de 1/4 na base 8 fog~ U4::"'x <:::.)-

S"=

U4 <=> 23><:""2-2

G,x.= ..

213

logo: log~ 1/4

=

-2/$

1

fazendo 2x

=

y,~ tcrelríQS y

+

2' y

i:

8' y ,:: 13 Re,solvendo t.e-remos:

)'''''8

rtlí'lsco:màZ"""'8

=>

2":;;;2;1 :::::::> }1'rn3 Y;_l-i.-)-

y,

3"Lj-. 3~,

}:~+

:,V_3'-'1;-;::: [20 Fazendo:5"''''

y~

teretnÚ'$; 2x: +- 27.·,j

+

2);··}

=

13 '3:<=y:::"Z;. 3);;:;;24.3=;;>3);',-;;o3~,~x=5

:4)Remi"""

;:;fmplitka.ndo teremos; 2" +;2''',2-) +2'"<2·,·3~";:}3

Sendo 8>0 t' a;;1: 1, b>D.,8â-Q válidas a,5seg~~rnte-,-, pi'Opd'~

PR(U'llRH;:E)A!JIIE~ DA

FUNÇÃO

LOGAfUrM[CA

1

!

+

2'7Y

81

y ~

120

Re.~ülvel1d(}-;\1,equ.ação -do 1<>grau~ teremos

y

'= 243 ma.s

c·onH) A sa.A o-ü ;-: n ·1· 3'C-~-+-T....·:

3~(:;RL~P't]

f;8:0

5üIUCi:.t:J

(2)""Y ser escrin'\; D ""f8D:iK1n

9 :::: -10

l) ReSOlver 3"-;

Es-Cfc\-'endü ;ku~rm tn8.nfkl1 nwís :..impk'~ Exemr,lns' 2f. "" ",:;;,'x 1.) R-?s{úver 2~"" .{- :::::320pr·H{.s.and0 w~ral 2'[ 2<:+4 ir-3)O~cO x, +4 4 . Xl:,+ S _2.~'- 320.v:,:

J

fôz)~ndc:2' .,~y

<l.i

+

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y. 320

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Ao pründrü gn!:pú vão

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DeFINiçÃO L GR~

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(8)

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j,I ' '\, ' ,lil

3) Quatllo.'> ItÚntctll'. ~k I ,df"'t1I',lll(' dl.1 tllh "'1'1" I"UII1 I, 11tll,ll

rom{).'H~Ig;llú;Cllu,; I,}. \, ,I, .••f,. I,H,t', ~J '

4)QU<lnl,t,,;l',lfavlll'.,dI' i ldl;V, \1tilI'

t"li'.i~',

I"I'I,tlH ,', 11!IIlI;!1

roU1<.ti

9

pli!lI(,~il1l." ICltj\" I '"111 ~'.';,) ;111.11"

i,~"

5)

QU,H'lli1:; ])i11.1\11;1"

1k' 1.11:1';

dl',1l1!fll'l"lill'lll "" Jl'lllld

das com ,\S VOf~.II'. lil" HO';.~I

,lILil"

r,,"

6) ()UJllllll'; llHllln~, ,I, ·1;Ij" '111-111,''••.1111111',I" li l'IH' I', li 1Ilfl,Il

com oo.;.t!gmi:ilil\l;0,

t,!

I,'l

',(,1;\, I)'

Portalljo u!l1!4ddi:'llllIlWIW, 1\ '1/\11,' í /\', '

·11\(1 i,il ,1;'1/

Rc~"po:a,l:

1\ld,,'lll1l;.IJillII'1I

'l'li

IIIUtP 11'

1)(.':'1<-')"'" '1',',,1 1',,1

/\I'i,:! l A,I,:I

/\',

a) .

1\",:,

rE )(

If.:r,~

1(; á Ir:O

tO

3

Quando

O~;IHllll"'II,I'1 kl1ll1WlUIl1fll '

·1

ltll fi, I'h·, l1ilq \'"

dem

começal fH!I.I,L-;lli

126 63

: '10 =

5'

AS,4

+

A3,2

b)A4•2

N,AZ•1

Au,~,,":::.',i.tfn-

i)'ÚI";2},

- Uma fónnllla 'mporro .••!e

l'Exemplo:

('",k"lar,

a)

A.,

Respostas: a) 30

Resoluçllo,

a)A.,-6.5-30

As,. +

AS,2

5. 4.

3 2

-+

3.

2 h) Ao.:! -

AZ,l ~~- , -f,.""" t:2 :.:.:::::~'x (x·, . )~' 2<1':".mpl(1'

Resolver aequaçãoA.,t:

12

ResoluçãQ:

""'12-0

Com (JsaJgarismos 1,2, 3,4, 5 e7~quantQSmlmer05 de3 algatl~~ Sém os repetir, podemos fomlw?

Reso!uçlló; Os números formados devem ter 3 .•Igaris.

por exemplo:

lnvertend<Fwa

ord"," destes .!gari$mos, obtemos no.

numeros; portanto o problema

é

de àlTIlll.iossimples,

A",-6.5.4=110

Respostas: P'ldemo. foonar 1,20números.

4'Exemplo:

nÚmeros parts de 4 algarismos,

seJ:ll 0$

repetir,

com os algarismos O, 1,2,3,4,5

e 61

l'o."uimoo um toIal de seteaJgat1smos <:os nume.

0<;.

forrnardevem ter

qumro algmisnlO<;,

o número formado

Ser par,

deve terminarem

O, 2,4

nu

i':'..=JW,

'(fi-p)l

€~

_rt-l

RESPCU;iTAS

1)l5

2}648

3)60

4)40

5)

dem~l dnco a

vice,-p.rcsidente,

sers a se:cretário

miro, Quantos, podem sei o, resultado. da eleiçilo?

,

~

4-

!~

5 [~ 54

Observe que os grupn. (mimern'"1I elementos)oblid,

diferern entre si:'

" pela ordemdo$ elementos (23

9"4" ••.• t::In'::M<ijro<l fMp;:w;:;i!)íl'iWír.il!-t;J ~, <;:, ~. .:. '!;!, 1;. f:', 'C'" e:I l::l C.•t~ (:,. c,.<>, t',. 1;:.,.<:, (:~ <:.<&:. O;J S1~ (:." Itlt:•.tl 0::.1:::, .ç,. Cj ti.on, (le\ 'I:;. <:, -1;;, "<I <:, -t', {i, ~. ~.f!. C', lCl01:Q.o (,1, e.. t:. o~

4

t:~ ~.ç, ::l, (l~ -{:, <). 'I!.,jj::, ~, >t. ~. {;'J ç., f:, a, .e." 1:,>:1, ':ltr"(,!,,, J,~~~M tJ Il<l}HI~fii:lil~~fr2~~~jj!j,ffJ{Jo~1

r, (

o número de possibilidade,; da I

'elapa

r,

ti

o m'mem de possibilidades d.

2'

etapa

,li", ,'t

l!L

ji,

sem Se' um ceSStV~lS e

(9)

~!J\ j

tJl/íA

n,

,PI

" "

MAl/MAr

. ...

j/

!,/"

l"1 U;IHIl11111,1t1lrlljllWld,,',

ti!

,):11

ri

~ tl

3!«»!

:11 :,'1

:lI

liJ 2"EUUlllJo

Cotn os lW•.••.

i~Jl{lll((l'~,

IHJlkrllil',

lIJql11' ( 11.

Illi~lwnltl."

CÜITt'~

pe!\~HliI'l,

QIl.lII1H.'i~

(lltlh'llk"

'.IIII';tiIutd.,'. dll

à

(.:11j,ltlcil'i,t, nJ,H l Wr1 ,',(' >rr/lJl!o~; ~}Wlll:ll. r. ,:'illl'

ti

,3'"Exemplo:

R<:-spú:';ta; podeltlo:-; 1~lmlHf 10 l'I~Jllj',,'.t)I"; Rel"lolll\':!.11

Sobre uma Ida, llIiH·(;1fII""d,~ it IHtll!l)'i ': iôohtl' 1lI11:1 011

!nvcrtcndo~.'ie

li

qrdw

1I dl"'P;~h jl('''.'.( 1;1'1,nbtntlu~; ,'1I

As '~(lI"l]i.';~iik.\ lllllltlldH'. dn'CJlI 1('1

i

lli'ii'Jllil'i. po ('

C,U

SO~I.spo<km ~ll'r

1~llllhl",I::"

para a retíJ ri ;. ('~ 1111\0f;lt((l;,II11 11Itlllr"JIJ.'.llil!llill.' l"i1i'lí

pura .n1"(:111 I'J

POflalll'1) o loclIl dl tllihl,l'IJI,,·, '11'11,1,"1 I"".1011111111

CLl~(· C•.I 4 '\, /l\(, 'fi! II1 '.'lJ

PIO[~~J

lu

j

I

C

I

Resolllç~,,;

~.'----'-."-'~ ••'.<iI .••

Rc.spo~\IW

},IlIll

1!1(1!-.Irl~I"

ma comí'ssào. POrlatllu o plUhJI'JlI,l ,:ltf('I Olllhlllll~';lll

--

...•.__._"..."..•..._

..

Ias obteremos" uIllu(lo ,,1quUt:'l,)III.'1 dC'I',["; 1'11'Jlltl~;'.

.."

MO """" At:"

<-""""

'-Me--.•...

.••...

#to ~ ABC

~

-

~

~ oco-~.,

.-~

,~J<t-.,.,..

~

.;OOe."

~

""" ~r-!l'lM:~>1 iJ'lli.'ll •• 4i fi ~ :;z; !;:':

n!

COM'I!ilINAÇÕIE$ $IM"LIE$

"'15 ~

X(X-l){X-2)!

2.1 ,(X-2)!

'" 15

Para calcuIartnos " numero de oomi>sões, 00sm

""/curar "

"de

ftn",uos

e dividir o re,"llado pe, 6(24:6

~4),

que é o

do mimem de elementos

quecompõetll

cadaCOmIss<!o (3),

diferente d. outro apenas pela

nentcoS, Exemplo:

Quamas camiSSÕeil de 3 4 e1cmento, (A, 13, C e D) de uma classe?

1:""~1

1: ~~~

-i~JI"o;»«1

r~~~U'o:<"r 1:a:jlO1.~ld~ Q9J:<f;~i

2 1

ao

=,24

~ 24

f.l

6

2 P-t "" 4r 1'. ~ 41 P. ~ 41 PJ ~ 31

p~ ;;;;;

3} ~

p.

21 ~ P, .• 21 1', ~ 11

!l0.'

1:»120

b) 720 c) Imo

mODOD

!1JDODO

[[JOODD

0mOoo

00000

[iJ[]JIIJOO

rnOOrnOD

mrnrnmo

rn@][]J0rn

J"EXémplo

lllXiERCíC!O$

jIÚni~r(;'1

Resposta: o<;up. (>90" IUgaL

andoNse todas as p.enrlUtaÇ-Ões: deseus a!gat'Í;;mO$, Colocando

,.) COmeçam por

A?

b)'omeçalll por

A

e termi",,,,, pór

fi?

"úmel'O<!3521?

Resoluçilo; Vamos coio<,.r as fI"l1l1Utações obtída.s

QSMdoo.$ru~Jistnos 1~43,5eg?

5

.• ) começam PQr:fi.

c)cQme,am pcr voga

I?

por consoante?

.5)

Quanto. são os

4~'5 452· ún;jen.;\{b (',rn (:H::~~A::m

$~!\;1fg;oiLJEtz

E~~?tl'0f;

f""'rt,{y·· Z"ExempIQ:

MITO?

Resoiuç:to:

Qualquer

ordenaçlio dáS lelms de Uma pala.

Observe

que

0$

grupos (números) assim obtidos

um dQ o"lro .apenas pela ordem dos eiemetos (245 .254),

exemplo),

Os grupos assim obtidos

Suo

denorulnados permutações:

:!:1impk.s dos 3 efeme.ntos tomados:

J

a 3, c s:1:10ltldJcados PJ,

Observe que a permutaçiiú simples

-ê

um caso p~rUcular

de:

i.~ro0,

A:, ~P,

=3,2.

1.'6

usando

o

=>

P4 = 4! = 4, 3, .2.1 = 24

fl.espo"tfl: Podem ser formados 24 números

A'A

temos:

Sen=f}, vem;

,..(0'1'+1)

Fó~ULA MS PEmlIlUtAÇÕmSIM~

tanto,

I"E.",,,,,I,,

Qr.Jfintüs núme-ro,~ de 4 algarismos distintc,s podem fOH'nado.s> t1s<tl1doos

algarismos

11

3...5

e

7?

R<snluçuo:

(10)

,,'1.1'"

I,

1. 1(.111111'1 .\ ~·4,,_1l·L·. 1..,

I

0'1"f"-"'''~'''.'',,,,I.., I'"'''''' ." ••"h ",',nk"""~ , ,,', ~•." j~"'t'"f,,, ,' .•••t.I~', ••••, ''','".• ""L,. '1'''' .'••" ~ ",~,Hi ·r'N 1I ., 11I"

jl,lrlllll."l" illlll,I'I"'II'lrlll.llllll'HJI"ltlll,flllllll,llll'HJIU-'·,

l\llJ,:'fl )

) ?,~ró:~nln

As progrcss(jçs

genllll:~t]jra'~';,'

d;~',',illl ,,11r!

l:',·1,II,lfJ,:I.',r,·HIl

1'nu_;;,

ql);an1o.a.o hf;' dlti Jérmm.

1"

!)

D(.ltt.:mlín<J"I' o O](i1\'(1 lerl\lo l'Ll111'0,,,,1( ';·,lio ( e1\ -H klgu .1.1 ; 1I 11' •.Il~ I "

"

, ,1, li *>IIoJl",~~ M"IW,",l"'nl~"""••,.,•••"",~,r,,,~,HI",'.",II"",II" I ...••... ftp.<!,!l'"l

lI/IAIEMAllr:/\

~~2'!r.'!:; ·~~l\"';""I,',IU·I"I~'''''llnl"I,' I

INTERP'OLAÇJl.O

l;;'I:OMI'TIUCJ\

Na

ptogrC:S$~(} georn('ll'ira cltl ~IIll;11pnllldll ~1('1I111)f:JlII' a ramO é.q,

ü

n-ésllHo termo

l~:

~r:~.~.~!:f.~.!'.••••"l"I,,,~I,',I., "I'.'" I'" ~,,,' .' "

""ti'''' 'l'~' '~<."", ,.•." I"~,,u,.1", "'" li, ,,",)-,It•.•, " """,'" "'~,I" ~I'"1(IHUY, I( I.' 11 1

l!;t.!lli!ll\il~J3·~"H,,,I~,,I'~"~V,,lh"l~li"",'" I

IEXIERcíCiIl)S

1l'.!E$ OU.VItr.1l()l:e"

FÓIFtMULA DO TERM'O

GIEJUU.

2) Obt{:rn lJúmn\1 d •.11'_on(I" ri,·

Illil

I'r11'(111111'. III I, li"

256eq

o:::

2.

temos.:a ::'a .q"l(jU!:C:JIt_)"l('" I .,,,1 :. "'(I' .,'''1'',1111''

o valor dt~:1euilhcdd'f

r: IUI.j'lIpClf'tlll· P,'I lif'tl, 1;1111.'1Ir, I k~"l'lll'l', 19ua!,í.lr a:~ bi\~CS.

256:c,;~,d

>:J.~

H II I Il IJ

D,Hln'; doi:',IUlllWl'll", n~·11, IIII<"qllll.1I 1111IWi'111 " 111'"1"· geom,étric-os {'Illl"(' jl l'h

Illlllhll

11ft f_1 \ ti 1'1'_11 ;.:11 ~!',+1111H'11 ~I ,I , 'li' I

primeiro termo (~a,

Il úlillllO ,\f, ,-I'IlltlJll'l"

de

Io-lliI' I·, ,'!- I I

PnPll'c\cdv(>\UIO', r'.t,

plllldlllhl

IH'!il

11.ti11IIfILlIlIllf'_ il razão (; rOl'nn !i,i1Il·li11". U ~,dllj

,I" I'~

!lllt 11", .lq lill illl'I, "l(Ot, 1,1' ,

de terrJ)o.'-", a[illill' I'1'111 llllll d,LI 111',IH\lII' ,., lnl·l' t'" .11\1'-'11111111'

dotcrll1~"1 ,1I.[·f;1I Exc-UlI,IJI.

)ntclj1ll!.lI r, 11111' I""111"1. I' "- I,li"

1, 'I

lllJIIO":"1 1,,1, 'lri!1 l' 1\1"1'"

I

3) Numa PG1/-1t·,,1,Ifi!!! ;,:,;lbc":,l"1,1:_:It'

L~

tjlt',' i1,C ,I

do

e

ü

quinto tt.::lIlm, J!,

ti'

I/,!

I' 'I''I'

l/Ir,

:o::>

corno il~

aI

Ir' krno'.

I'

I' 111"1,I,

1/,1

3 ;~:= ~

l)-~ -j ~ 59

GEOMÉTRiCA

denominamos t"'.a-zi\o" de progressOo, geométricas:

",=2,,'1=.3

",=

1/5""1=2

",=20"1=,2

",=4000q=,1/2

a, =40eq=-1f2

" =2eq

~ lI4

a"

=1"'1=0

a,~3eq=1

.,=.lOeq=2

", =-6 e

"1

= l!.3

dos múltiplos de 3 compreendídos en~

valor den

reremos;

a f6nl1ula da soma, teremos,

112~UC-.;;Q

2

=>

$50 ~ 2,500

(2000<:>

e

múltiplo de.3)

fO!l1lam uma

PAder=.3)

noo

são mú'llíplos

de J)

EJ(IERCíCIOS

R!ESOLVI!)OS

I) Calculara $Orna

dos)O

pnmeir05númems ímp""'" pos~lvos, Temos

SOMA !)OSN

7, 9,

7+Al

2

;;;s;j.al'lm!58:e-n-"'"

2

l1,xemplos: Exemplo,

(1, 3, 5,

2) Obt.ct a fff7.110de tnn<t PA em que«'I

=

6 a, ~ 6" a" ~ 82 enll10

"",=., +

19r:::;>82~6+ 19r~,'> 82 ·6'" i9,,=:'

~nwrv';

::L;V

~-:;d('~~d~'~~";;:>,;

..

/H,

e~ti'e:

3

e:53

€~éml>Jo:

(O, 10, ~O, 30, 40, 50,

I

~fFJ

14;

E.WaJ éa (",?:zfio qua~ o prittleir-o termo

TértlOS:- ~~'~ S e ai, """14 mas

a,. =

ft,

+ 14,.:0::>14=8+

dOlemlQ _

58~J+(12,

I)r=>

55~llr=>r~5

e a progress~o 6:

(3,

48,

PR()PRIIEDADES DA$ PROGR~$

ARiTMÉTICAS

eu onde r

é

a constante -dada que

W!IDji~ 'a;msellioom tm) tHlrT'O'BfOiltfitllJadi)1(:1;rm-;;l\1,

p,H'"a, ..,I(l2, $, 0,

tltl'ita", , $pff.ltl-en~ um ~lWlfHl;I finitn ,:;16ren;nt)~. {1,2,5.7)n 1»4

(~3:,..a,-!I'.-t2,-15} ~'<':5

~~,s:r~.!~

v{!~litl1d.-,<im:i:S\,,' tlJ'~ lt'll::ll'(jT({:titl :;-:It:I·O

{7.:5,J,I,,,.}f""Hl f:(lI:l~lnnjH

crl::Ji<:cntE:!.'t '. Q'U:h.rwh;,.t, N'.:1:ÜO t"nf 11'\!lj(1r tlH~um

(2A,l{j,;14 .••.,}t~4

cadatenno,

com uma constante

PROGIFÚ!ssAo

JUU'fMÉTICA,

DEFINiÇÃO ECLASSIFICAÇÃO

AJgum

exemplo:$.

de progr~ssõ:e$aritméticas;

~1m:5er=2

" = 16e,2-3

a, ~-8er=4

a,

=7

er~O

(1n,2IJ,I,4/3)

a,=II3'~1'21i3

As progressões aritméticas se:

dassifkarn:

f(!)·'., f(2)~

i

I

f

(3)

15

e

1'(6)""2 I,

mas como o

diminío

é

uma parte dos natura.ls ternos uma seqUênda e em

vez

da notação tradicional

p{)dernQ5

escrever tâ(H'iOmente

!

I ~13,11 t15121)

e~óm isto

csUm:m'lO$ diZ€ I

é ()

6, quea imagem do 2110 1,ie assim

M/\ ~

,:ll!ll\ll(;;",

dü conjunto dN; natHraÍ$; djfe,~

rentes de 7~/'() CI\f*} ou dü

SUbcÜr1jl.tnt.o

{!,2')~"lnJ

do N*

~ohj'C b conjunto

fxe"'plo:

SejaA'* {'ll2),4,,5,,6} éfa1u11l:;aodeA!~m

IR

deflnrdapelo diagrama

ICÓRMULAOOTERMOGERAL

tia

{lm;m,lon \'lIál2l.;fjó ~lJ1inW-~{l- ~~ Qe I~rm~

nraiQ é

K~On"ésilno