ANÁLISE DA DINÂMICA NÃO-LINEAR NO BALANÇO PARAMÉTRICO DE UMA EMBARCAÇÃO PESQUEIRA
Jerver Elio Manuico Vivanco
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Oceânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Oceânica.
Orientador: Marcelo de Almeida Santos Neves
Rio de Janeiro Janeiro de 2009
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ANÁLISE DA DINÂMICA NÃO-LINEAR NO BALANÇO PARAMÉTRICO DE UMA EMBARCAÇÃO PESQUEIRA
Jerver Elio Manuico Vivanco
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Aprovada por:
________________________________________________ Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, Ph.D.
________________________________________________ Prof. Paulo Batista Gonçalves, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Alberto Paiva, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Antonio Carlos Fernandes, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JANEIRO DE 2009
Vivanco, Jerver Elio Manuico
Análise da Dinâmica Não-Linear no Balanço Paramétrico de uma Embarcação Pesqueira/ Jerver Elio Manuico
Vivanco. - Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2009. IX, 132 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Marcelo de Almeida Santos Neves Dissertação (mestrado): UFRJ/COPPE Programa de Engenharia Oceânica, 2009.
Referencias Bibliográficas: p. 124-132.
1. Ressonância Paramétrica. 2. Dinâmica Não-Linear. 3. Caos Determinístico. I. Neves, Marcelo de Almeida Santos II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.
DEDICATÓRIA
A minha família pelo apoio, amor e principalmente pela
compreensão e exemplo de luta.
A meus amigos que são o refúgio em momentos de debilidade, pela ajuda, amizade e confiança.
AGRADECIMENTOS
Em especial ao Professor Marcelo de Almeida Santos Neves pela sua valiosa orientação, compreensão e principalmente por sua amizade que fez mais agradável o desenvolvimento do presente trabalho.
Aos professores do Programa de Engenharia Oceânica da COPPE/UFRJ pelos valiosos conhecimentos compartidos, aos caros amigos e colegas pela sincera amizade, e a todo o pessoal do PENO e DENO pela amizade e apoio em todos os momentos.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior e ao Programa de Engenharia Oceânica da COPPE/UFRJ pelo suporte financeiro.
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DA DINÂMICA NÃO-LINEAR NO BALANÇO PARAMÉTRICO DE UMA EMBARCAÇÃO PESQUERIA
Jerver Elio Manuico Vivanco Janeiro/2009
Orientador: Marcelo de Almeida Santos Neves Programa: Engenharia Oceânica
Em tempos recentes, em face de diversos acidentes graves, tem havido um crescente interesse no estudo da Ressonância Paramétrica. Trata-se de fenômeno não-linear no qual os diferentes acoplamentos entre os graus de liberdade envolvidos introduzem significativas complexidades na modelação do problema. Nesse contexto, faz-se necessário o desenvolvimento e uso de técnicas avançadas de análise numérica. As técnicas de Dinâmica Não-Linear permitem a verificação de características próprias do sistema não-linear e o reconhecimento das complexidades das respostas, não observáveis pela análise linear.
No presente trabalho a ocorrência de ressonância paramétrica em um barco pesqueiro de popa espelhada é analisada à luz da Dinâmica Não-Linear. Os principais métodos numéricos discutidos são: mapeamentos de Poincaré, os expoentes de Lyapunov, diagramas de bifurcação e as bacias de atração para diferentes parâmetros, como a amplitude da onda e sintonia. Essas técnicas são usadas para aprofundar a discussão sobre importantes questões relativas à ressonância paramétrica, inclusive a ocorrência de movimentos caóticos para algumas regiões do diagrama de estabilidade dinâmica.
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
ANALYSIS OF THE NONLINEAR DYNAMICS IN THE ROLL PARAMETRIC RESONANCE OF A FISHING VESSEL
Jerver Elio Manuico Vivanco January/2009
Advisor: Marcelo de Almeida Santos Neves Department: Ocean Engineering
Parametric excitation in head seas has received wide attention in the last few years due to some recent accidents. Parametric rolling is a dynamic mechanism in which the roll motion may develop quite rapidly due to the transfer of energy from the vertical modes (heave & pitch motions) to the roll motion. It is a non-linear phenomenom in which the different couplings introduce important complexities in the configuration of the pertinent mathematical model. In this context it is necessary to develop and apply advanced techniques of numerical analysis. The techniques of Nonlinear Dynamics allow the verification of intrinsic characteristics of the nonlinear system and recognition of complex results not observable by means of linear analysis.
In this thesis the occurrence of parametric resonance in a fishing vessel that has a transom stern is analyzed employing tools of nonlinear dynamics. The main numerical aspects to be discussed are: Poincaré mappings, Lyapunov exponents, diagrams of bifurcation and safe basins for different parameters, like wave amplitude and frequency tuning. These techniques are used as a basis to in depth discussions about important topics related to parametric resonance, including the occurrence of chaotic motions in some regions of the diagram of dynamic stability.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 1
1.1 Roll Ressonante Clássico 3
1.2 Roll Paramétrico 4
1.3 Antecedentes e Cenário Atual em Ressonância Paramétrica 6
1.4 Noções de Caos 11
1.5 Classificação dos Pontos de Equilíbrio 14
1.6 Atratores 16
1.6.1 Atrator de Ponto Fixo 17
1.6.2 Atrator de Órbita Periódica Contínua 18
1.6.3 Atratores Estranhos 18
1.7 Espaço de Fase 19
1.8 Estabilidade Estrutural 19
1.9 Ferramentas de Análise da Dinâmica Não-linear 19
1.10 Antecedentes e Cenário Atual em Dinâmica Não-linear 20
1.11 Objetivos e Conteúdo da Tese 25
CAPÍTULO 2: MODELO MATÉMATICO 27
2.1 Sistemas de Referência 27
2.2 Freqüência de Encontro 28
2.3 Equações Gerais do Movimento 29
2.3.1 Conservação do Momentum Linear 30
2.3.2 Conservação do Momentum Angular 31
2.4 Forças e Momentos Externos 32
2.5 Equações de Movimento Não-Linear 34
2.6 Análise da Estabilidade da Equação de Roll 36
2.7 A Equação Variacional de Roll 37 CAPÍTULO 3: MÉTODOS DA ANÁLISE NÃO-LINEAR 40
3.1 Sistemas Dinâmicos e o Caos Determinístico 40
3.2 Sistemas Caóticos 40
3.3 Diagramas de Bifurcação 41
3.3.1 Bifurcações Locais 41
3.3.2 Bifurcações Globais
49
3.5 Bacias de Atração 51 3.5.1 Dimensão Fractal 51 3.5.2 Atratores 52 3.5.3 Bacias de Atração 56 3.6 Expoentes de Lyapunov 56 3.6.1 Definição 56
3.6.2 Cálculo dos Expoentes de Lyapunov 57
3.6.3 Cálculo dos Expoentes de Lyapunov pelo Método das 62
Trajetórias – Método de Wolf CAPÍTULO 4: RESULTADOS E ANÁLISE 66
4.1 Diagrama de Bifurcação 66 4.1.1 Diagrama de Bifurcação we/wn4 =2.0 68 4.1.2 Diagrama de Bifurcação we/wn4 =2.2 77 4.2 Mapeamento de Poincaré 81 4.2.1 Mapeamento de Poincaré we/wn4 =2.0 81 4.2.1.1 Intermitência 82 4.2.1.2 Multiestabilidade 84 4.2.2 Mapeamento de Poincaré we/wn4 =2.2 89 4.3 Bacias de Atração 94 4.3.1 Bacias de Atração we/wn4 =2.0 95 4.3.2 Bacias de Atração we/wn4 =2.2 99 4.4 Expoentes de Lyapunov 106 4.4.1 Expoentes de Lyapunov we/wn4 =2.0 107 4.4.2 Expoentes de Lyapunov we/wn4 =2.2 112 CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 118
5.1 Generalidades 118
5.2 Conclusões e Recomendações 118
5.3 Trabalhos Futuros 122
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Nos últimos anos organizações e instituições internacionais vinculadas ao setor naval vêm dando grande importância ao estudo da estabilidade dinâmica do navio em ondas, com o crescente interesse por parte dos pesquisadores e instituições do setor em analisar a sensibilidade das embarcações aos fatores externos que possam levar a emborcamentos. É sabido que as embarcações, em geral, têm suas vidas operativas em presença de ondas. Freqüentemente os emborcamentos ocorrem em condições extremas, nas quais as embarcações têm que responder de forma segura e econômica, com uma boa manobrabilidade e adequados níveis de acelerações. Evidentemente, mesmo nessas condições extremas, as embarcações devem suportar as condições ambientais sem emborcar.
Na análise da estabilidade em ondas os movimentos de heave, roll e pitch são determinantes na definição das condições sob as quais o movimento em roll pode apresentar grandes ângulos ou até mesmo emborcar.
Foi Froude (1863) quem pela primeira vez reconheceu que o problema de estabilidade de roll em ondas deveria ser considerado a partir da análise dinâmica e não estática. Foi ele também um dos primeiros a notar a existência do fenômeno da ressonância paramétrica, no qual os navios podem apresentar movimentos não desejados em roll quando o período em heave ou pitch é a metade do período natural do roll, sendo estes movimentos acoplados de grande complexidade. Dada a complexidade, é necessário o emprego de ferramentas avançadas de cálculos matemáticos, como a dinâmica não-linear, tal que se possa entender melhor os diferentes fenômenos não-lineares presentes no estudo da ressonância paramétrica.
Os sistemas e modelos lineares têm sido utilizados sistematicamente para descrever e modelar a dinâmica da muitos sistemas físicos, químicos, econômicos,
etc. No entanto, sabe-se que os sistemas não-lineares podem apresentar dinâmicas muito complexas que não podem ser aproximadas mediante modelos lineares. Pelo contrário, a iteração de uma equação linear só pode dar lugar a duas situações distintas: pode convergir a um valor constante, ou divergir para o infinito. Entre a grande variedade de comportamentos possíveis de um sistema não-linear, aquele conhecido por caos determinístico é um dos que se destaca por sua complexidade. Os sistemas caóticos são sensíveis a pequenas perturbações externas e se comportam de forma imprevisível, apesar de estarem definidos por equações determinísticas. Portanto, por mais preciso que seja o conhecimento do estado inicial, o comportamento a longo prazo de um sistema caótico é impossível de ser previsto.
A geometria fractal e a teoria dos sistemas dinâmicos estão intimamente ligadas, já que a região do espaço a que tende assintoticamente uma órbita caótica tem estrutura fractal (atratores estranhos). Portanto, a geometria fractal permite estudar o suporte sobre o qual se definem os sistemas dinâmicos caóticos. Os objetos fractais têm propriedades muito particulares, como a auto-semelhança e a aparência irregular, que permite caracterizá-los com base em medidas quantitativas relativas ao seu grau de irregularidade. A mais popular destas medidas quantitativas é a dimensão fractal, uma extensão da dimensão euclidiana para objetos auto-semelhantes.
As principais características dos sistemas caóticos são: a sensibilidade às condições iniciais; espectro contínuo de freqüência, caracterizando um comportamento aperiódico; e a invariância de escala, significando certa estrutura hierárquica com características de auto-similaridade e estacionariedade.
Uma técnica clássica para analisar os sistemas dinâmicos é o mapa de Poincaré, que permite uma substituição da análise de fluxos de sistemas contínuos no tempo por uma análise de sistemas discretos. Desta forma, logra-se reduzir uma dimensão do sistema.
1.1 Roll Ressonante Clássico
O denominado roll ressonante clássico é um mecanismo causado pela excitação direta das ondas do mar que atuam sobre o navio a dada velocidade de avanço, com certa freqüência e ângulo de incidência, que determinam uma freqüência de encontro próxima à freqüência natural de roll. Então podem ocorrer condições que levem o navio a alcançar movimentos grandes que podem levar a emborcar o navio. Este tipo de fenômeno (roll ressonante clássico) pode ocorrer em ondas de través ou também em ondas oblíquas. Um outro conceito muito importante é o de excitação interna (vide seção 1.2), que não deve ser confundido com a excitação direta; o movimento de roll em ondas estritamente longitudinais não pode ser causado ou não é possível pela excitação direta das ondas.
Um dos sistemas que apresenta a ressonância clássica é o sistema oscilador mecânico forçado, conhecido como a equação de Duffing, que é uma equação não-linear de segunda ordem, com coeficiente de amortecimento linear e restauração não-linear. A ressonância se apresenta quando a freqüência de excitação ( ) da força externa é igual ou próxima à freqüência natural do sistema ( ), como se pode observar na figura 1.1; resultando em grandes amplitudes na resposta (X). A figura 1.1 mostrada é para o caso com: w
w
n
w
0 = 1, ε = 2/3 e f = 1, e
para vários valores do coeficiente de amortecimento (β). Mostra-se abaixo a equação de Duffing: ) cos( 3 2 0 x x f wt w x x&&+β&+ +ε = (1.1)
para a qual define-se:
2 2 0 4 3 X w wn = + ε
Figura 1.1: Ressonância clássica para equação de Duffing.
1.2 Roll Paramétrico
O aparecimento desse tipo de movimento não é devido à excitação direta das ondas (Levadou e Palazzi, 2003), sendo causado pela excitação interna, como conseqüência das variações periódicas dos parâmetros do sistema dinâmico. Nesse caso, com as devidas sintonias, grandes amplitudes de movimento podem ser atingidas mesmo na ausência de excitação externa.
Para um navio que se encontra em ondas longitudinais, a passagem da onda, conjuntamente com a variação dos movimentos verticais (heave e pitch), faz com que a geometria submersa varie periodicamente com o tempo, fazendo com que se modifique ciclicamente a curva de restauração (logo, a altura metacêntrica), (Shin
et al. 2004). Com o decorrer do tempo, gera-se uma variação das características
restaurativas a partir de uma pequena perturbação, que pode desenvolver rapidamente o movimento de jogo em crescimento progressivo, até patamares permanentes de amplitude de roll ou até mesmo um eventual emborcamento.
No caso das embarcações pesqueiras, como no caso comum no litoral do Pacífico (Equador, Peru, Chile), a ressonância paramétrica é altamente perigosa devido às
condições favoráveis dos perfis de cascos, como também das condições ambientais.
Seja o sistema com variação periódica da restauração:
1 2cos( ) 0
ax bx&&+ &+c x+c wt x=
A ressonância paramétrica é observada na análise da equação de Mathieu, France
et al., (2001), cuja forma canônica é:
(
2 cos)
0 2 2 = + + x d x d α ε τ τ (1.2) onde 2 2 0 2 2 1 4 w w α = − μ ; b aw μ = ; 2 1 2 0 2 2 1 w c w c aw c = = ε ; τ =wt; a c w2 1 0 = que possui regiões de instabilidade definidas em torno de:... , 2 , 1 , 4 2 2 0⎟ = =± ± ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n n w w
Das regiões de instabilidade mostradas na figura (1.2), pode-se observar que a zona de maior risco de instabilidade do sistema é no entorno de α2
=1/4, onde, para baixos níveis de amortecimento, se tem w=2w0, região de maior relevância para o estudo da ressonância paramétrica, vide Hooft (1982), Francescutto e Bullian (2002).
1.3 Antecedentes e Cenário Atual em Ressonância Paramétrica
Como mencionado acima, Froude (1863) foi uns dos primeiros a perceber o efeito do fenômeno da ressonância paramétrica, ressaltando o comportamento (não desejável) do navio quando a freqüência natural em heave (ou pitch) é o dobro da freqüência em roll. Entre as contribuições mais importantes no estudo da ressonância paramétrica, serão apresentados a seguir os trabalhos que foram os precursores e a base até onde tem avançado o estudo da ressonância paramétrica no contexto atual e servem de guia para este trabalho.
Kerwin (1955), a partir da equação de Mathieu, observou que, para um navio em ondas longitudinais, existem certas freqüências de encontro que podem levar o navio a adquirir oscilações instáveis em roll. Na análise, verificou os efeitos de amortecimento linear e não-linear. Também investigou a variação do GMT (ondas
longitudinais) mediante uma análise hidrostática, já que os efeitos hidrodinâmicos próprios do movimento do navio em ondas não foram considerados. No caso da restauração, esta foi expressa como uma função periódica no tempo, sendo a equação de roll representada como uma equação de Mathieu (só considerando um grau de liberdade).
Paulling e Rosenberg (1959) consideraram as equações não-lineares do movimento do navio com três graus de liberdade oscilando em águas calmas; observaram a influência dos modos verticais (heave e pitch) na resposta em roll, quando são introduzidos os termos não-lineares até segunda ordem na restauração, sem considerar a forma da superfície livre. Foram observadas instabilidades quando a freqüência natural do movimento instável corresponde à metade da
freqüência de excitação do movimento, sendo isto também verificado experimentalmente quando o modelo foi excitado mecanicamente por um oscilador harmônico.
Paulling (1961) fez a análise teórica e experimental da estabilidade transversal do navio em ondas longitudinais e mostrou que a estabilidade do navio em ondas difere consideravelmente da estabilidade do navio em águas calmas e que ainda em alguns casos a redução da estabilidade é drástica. Obteve uma expressão analítica para o momento de restauração em ondas longitudinais, considerando os efeitos dos movimentos tanto em heave como em pitch, assim como também por efeito da passagem da onda.
Blocki (1980) fez o estudo da ressonância paramétrica em forma experimental e numérica. No modelo apresentado, utilizou três equações acopladas em heave-roll-pitch, derivando os coeficientes de restauração até segunda ordem, obtidos por expansões em séries de Taylor. Considerando o amortecimento não-linear, obteve expressões para as amplitudes de excitação paramétrica. Também apresentou uma solução analítica para a resposta da ressonância paramétrica em roll, baseada no método de Krylov-Bogoliubov, que foi comparada com resultados experimentais, observando-se bons resultados na integração da equação analítica do movimento para simulações de emborcamento.
No que concerne à incorporação de amortecimento não-linear, Himeno (1981) propôs que o amortecimento em roll pode ser estimado a partir das características geométricas do casco, sendo a proposta baseada em uma série de experiências com modelos de cascos. O modelo de Ikeda, apresentado por Himeno, faz a hipótese de que o amortecimento pode ser aproximado por um equivalente linear dependente da amplitude, composto por uma soma das contribuições de diferentes origens físicas que controlam o movimento. O amortecimento total é subdivido em cinco parcelas que envolvem o amortecimento por formação de ondas no casco, fricção, formação de vórtices, sustentação e bolinas no casco.
Perez (1985) apresentou o desenvolvimento de técnicas experimentais para o registro do comportamento de modelos em escala reduzida. Foram apresentados e analisados resultados experimentais do estudo de instabilidade paramétrica para dois navios pesqueiros em ondas longitudinais regulares pela proa e com velocidade nula. O autor ressaltou as diferentes respostas obtidas, que foram associadas às diferenças nas formas de popa dos dois pesqueiros.
Sanguinetti (1985) fez uma análise dinâmica da estabilidade do movimento do navio em ondas regulares para velocidade nula, na qual foram apresentadas duas formulações: uma considerando o movimento em roll desacoplado para o navio em ondas longitudinais; e a outra não-linear tomando em conta os acoplamentos de heave, roll e pitch. As não-linearidades consideradas foram todas de segunda ordem e tomando os termos de restauração em águas calmas. Investigaram-se numérica e analiticamente os fenômenos de ressonância paramétrica e os limites de estabilidade para dois navios pesqueiros de dimensões similares, observando-se novas freqüências ressonantes correspondentes às freqüências combinadas de heave e pitch resultantes de um sistema de equações de Mathieu acopladas.
Hua (1992) realizou simulações numéricas para o estudo do fenômeno de ressonância paramétrica de um navio RoRo em ondas longitudinais, onde analisou a influêcia de certos parâmetros como a velocidade de avanço, do valor de KG, da amplitude da onda, e outros parâmetros. Nesse trabalho foram considerados o heave, roll e pitch como os graus de liberdade mais significativos. Explicitamente não é apresentada nenhuma expressão analítica para a excitação paramétrica, já que esta é calculada numericamente baseada em uma análise quase-hidrostática. Nesse trabalho se fez a análise da influência da amplitude da onda na restauração em roll, observando-se que a variação da restauração em ondas é não-linear em relação ao valor em águas calmas, e que a freqüência de roll do navio em ondas muda em comparação como a freqüência natural em águas calmas.
Valério (1994) fez a análise da estabilidade de navios pesqueiros em ondas longitudinais regulares para velocidade de avanço nula. Para o estudo da
ressonância paramétrica considerou relevantes três graus de liberdade, que são heave, roll e pitch, sendo a equação de roll a única a ser considera como não-linear, sendo as não-linearidades correspondentes à restauração (inclui um termo cúbico). A importância desse trabalho é a contribuição na determinação analítica da estabilidade em roll para ondas longitudinais, também sendo considerados os efeitos da passagem da onda na restauração, deste modo aprimorando os modelos analíticos apresentados anteriormente por Sanguinetti (1985) e Pernambuco (1990).
Neves et al (1999) investigaram a estabilidade dinâmica de um navio, tanto analítica, numérica e experimentalmente, para dois navios pesqueiros de características similares (TS e RS) em ondas longitudinais, e a influência que tem a forma da popa na ressonância paramétrica, encontrando-se ressonância forte para o navio TS. Também foram obtidos os limites de estabilidade para as duas primeiras regiões de instabilidade, baseados na análise da equação de Mathieu. As respostas obtidas pelo método analítico mostraram uma boa aproximação aos resultados experimentais.
Spyrou (2000), empregando a equação de roll desacoplada, investigou as características da instabilidade paramétrica para a variação da restauração por efeito da passagem da onda, considerando tanto a restauração como o amortecimento como não-lineares. Numericamente, mostrou evidências da existência de super-harmônicos na restauração, como também de que, em face de não-linearidades na restauração, a freqüência natural de roll em ondas é maior que a de águas calmas. O estudo foi feito tanto analítica como numericamente.
Valerio (2000) aprimorou o trabalho apresentado por Valerio (1994), estendendo o método não-linear de segunda ordem, adicionando não-linearidades nas equações do movimento de heave, roll e pitch, considerando ondas regulares com incidência arbitrária; as respostas obtidas numericamente e os limites de estabilidade foram analisados e comparados com resultados experimentais, obtendo-se em geral boas aproximações. Foram analisadas também as influências
de alguns parâmetros, tais como a velocidade de avanço, a altura metacêntrica, a forma do casco, entre outros, e a importância desses parâmetros na ressonância paramétrica.
Lorca (2001) fez o estudo em forma analítica e experimental da influência da velocidade de avanço na estabilidade dinâmica de navios pesqueiros em ondas regulares. O modelo analítico é similar ao proposto por Valerio (2000). Foram realizadas provas experimentais para dois navios pesqueiros de diferentes formas da popa, sendo seus resultados comparados com simulações numéricas utilizando o modelo proposto. Foi estudada a estabilidade do movimento do navio por meio de limites de estabilidade obtidos para diferentes velocidades e condições de carregamento.
Rodriguez (2004) desenvolveu um modelo matemático não-linear até a terceira ordem na restauração com consideração dos efeitos da passagem da onda para navios pesqueiros de tipo transom stern (TS) e round stern (RS), estendendo assim, do ponto de vista teórico, o trabalho feito por Lorca (2001). Foram considerados três graus de liberdade, heave, roll e pitch para o cálculo numérico dos movimentos em roll, os quais foram comparados aos dados dos testes experimentais, analisados para diferentes condições. A importância desse trabalho foi a inclusão dos termos de terceira ordem no modelo dinâmico do navio. Por meio do estudo dos limites de estabilidade mediante a equação de Hill, observou-se a preobservou-sença de termos bi-harmônicos na equação variacional.
Existem na atualidade outros trabalhos de referência necessária, que foram publicadas em diversas revistas científicas, workshops. É preciso destacar a importância dos avanços nessa linha de pesquisa no estudo da ressonância paramétrica que foram desenvolvidos no Programa de Engenharia Oceânica da COPPE/UFRJ sob a coordenação do professor Marcelo de Almeida Santos Neves, conjuntamente com outros autores, seja em revistas cientificas, como também em conferências nacionais e internacionais sobre estabilidade de navios, dentre os quais se poderiam citar como os mais importantes: STAB’94, STAB’97,
STAB’2000, STAB’2003, STAB’2006, workshops internacionais, etc. vide: Neves e Valerio (1994), Neves et al. (1997), Neves et al. (1999), Neves et al (2000), Neves et al. (2002a), Neves et al. (2002b), Neves et al. (2003), Neves et al. (2003a), Neves et al. (2006a), Neves et al. (2006b), Neves et al (2007), Neves et al. (2008), etc.
1.4 Noções de Caos
Na década dos 70, um grupo de investigadores científicos começou a encontrar a rota para o caos. Foram matemáticos, físicos e biólogos, todos buscando os nexos entre as diferentes classes de irregularidades. Junto com a teoria relativa e a quântica, a moderna teoria do caos em sistemas dinâmicos forma parte da grande evolução da física e matemática aplicada do século XX. Assim como no caso das outras duas ciências mencionadas, o caos ataca os princípios newtonianos, já que o caos termina com a teoria do determinismo de Laplace.
A matemática sobre teoria de sistemas dinâmicos engloba os conceitos de multiplicidade de soluções e surgimento de caos em uma trajetória dinâmica. As origens da teoria de sistemas dinâmicos remontam-se a um século atrás. A teoria das bifurcações contribuiu para uma melhor compreensão da existência de múltiplas soluções em sistemas não lineares e de como o número e a estabilidade de ditas soluções mudam quando se varia algum parâmetro. A questão crucial sobre a estabilidade de uma solução é se uma solução persiste ou não sob uma perturbação infinitesimal e como se modifica quando o número de soluções varia.
Ao final do século XIX se formulou a teoria de bifurcações devido a Henri Poincaré (1881). Poincaré foi uns dos pais da teoria de bifurcações e inclusive iniciou o desenvolvimento da teoria moderna de sistemas dinâmicos. Importantes contribuições relacionadas com o estudo de sistemas dinâmicos ocorreram durante o século XX. Julia apresentou um trabalho em 1918 sobre processos iterativos envolvendo números complexos, observando as propriedades básicas de iterar no plano complexo, que mais tarde seria conhecido como “Conjuntos de Julia”. Sua
contribuição foi resgatada, a partir da década de 70, com o desenvolvimento dos fractais, sendo que este trabalho foi mais tarde melhorado por Mandelbrot (1975). Um desenvolvimento significativo ocorreu após a publicação por parte de Lorenz (1963) de um artigo sobre o fluxo não periódico relacionado com a turbulência, no qual se descobre a existência de soluções aperiódicas em um modelo simplificado das equações de Navier-Stokes.
A contribuição de Lorenz junto com os trabalhos realizados sobre mapas por May (1976), May e Oster (1980) e outros investigadores, proporcionaram o caminho de diferentes estudos nos quais sistemas determinísticos muito simples geram trajetórias dinâmicas fortemente influenciadas pela sensibilidade às condições iniciais.
A sensibilidade de certos sistemas não-lineares a pequenas mudanças nas condições iniciais revela comportamentos caóticos. Matematicamente, todos os sistemas não-lineares com mais de dois graus de liberdade podem mostrar caos e, portanto chegarem a ser imprevisíveis à longo prazo, vide Hilborn (1994), Freeman et al. (1997), como também é encontrado caos em sistemas com dois graus de libertadade como é caso da equação de Duffing, entre outras. Desde a metade da década de 70 o termo caos tem aparecido cada vez com mais freqüência na literatura, o caos se encontra em acontecimentos cotidianos, como a queda das folhas ou nas ondas do mar, como também em fenômenos como as flutuações climáticas, etc.
O movimento caótico aparece quando apresentam-se divergências exponenciais locais na trajetória e estão acompanhados de uma limitação global no espaço de fases, e pode se representar como uma dilatação do espaço de fase, tendo como resultado o mecanismo da combinação de dobras com um número infinito de expansões em pelo menos uma direção e contrações em outras direções (ferradura de Smale), Fiedler-Ferrara e Prado (1994).
O nome caos e o adjetivo caótico são usados para descrever o comportamento temporal de um sistema quando dito comportamento é aperiódico e aparentemente aleatório ou ruidoso, ao tempo em que, sob esta aparente aleatoriedade caótica, subjace uma determinada ordem, dada pelas equações que descrevem o sistema.
Em geral se precisa de três componentes para se determinar o comportamento de um sistema: as equações de evolução temporal, os valores dos parâmetros que descrevem o sistema e por último as condições iniciais. A imagem que mais contribuiu para difundir a teoria do caos é o conhecido efeito borboleta, que faz menção especial à sensibilidade dos sistemas caóticos às condições iniciais, o qual estabelece: “O bater das asas de uma borboleta pode causar uma tempestade do outro lado do planeta (Efeito Borboleta)”, Gleick (1987); o caos encerra em sí mesmo uma fina estrutura geométrica, uma ordem atrás da aparente casualidade.
Os requisitos para que um comportamento se considere caótico são as não intersecções de diferentes trajetórias, a divergência exponencial de diferentes entornos no caso de sistemas de mais de três dimensões, e a capacidade das trajetórias de permanecerem dentro de alguma região limitada sem interceptarem-se e interceptarem-sem repetirem-interceptarem-se de forma exata.
A noção de divergência exponencial de órbitas próximas é formalizada com a introdução do conceito dos expoentes de Lyapunov. Dadas duas órbitas próximas de um atrator começando no instante t=0 com uma separação d0, ao longo do
tempo as trajetórias estarão divergindo de modo que sua separação no instante t, dada por d(t), satisfeita pela expressão d(t)=d0eλt ; se o parâmetro λ, chamado
expoente de Lyapunov, é positivo, então a trajetória será caótica. O expoente de Lyapunov permite obter informação valiosa sobre a estabilidade do sistema, já que fornece a taxa média de divergência das trajetórias.
Deve-se mencionar que um sistema dinâmico determinístico não-linear é perfeitamente previsível quando existe um conhecimento perfeito das condições iniciais, e na verdade na prática é sempre previsível num curto espaço de tempo.
A razão da imprevisibilidade à longo prazo é uma propriedade conhecida como dependência sensível das condições iniciais, isto é, duas trajetórias infinitesimalmente próximas inicialmente divergem exponencialmente a um ritmo característico do sistema até que, por razões práticas, se tornam não correlacionadas. No entanto, após um período finito de tempo, as trajetórias que ambas definem divergem e tornam-se macroscopicamente distintas. Estas trajetórias no espaço de fase definem um atrator, que neste caso, devido à impossibilidade de se saber qual a curva exata que uma trajetória inicial vai executar, chama-se um atrator caótico.
1.5 Classificação dos Pontos de Equilíbrio – 2DOF
Os pontos de equilíbrio ou pontos fixos de um sistema dinâmico são aqueles pontos nos quais o sistema pode permanecer estacionário, à medida que o tempo evolui, caso não sofra novas perturbações. Então, se pode entender como ponto de equilíbrio o ponto no qual a solução pode não variar com o tempo (Savi, 2004).
Os pontos de estabilidade se classificam dependendo dos auto-valores obtidos mediante o Jacobiano na posição de equilíbrio da equação. Estes autovalores permitem avaliar as diferentes possibilidades do movimento, vide Belenky e Sevastianov (2003). Para isso, considerem-se as partes reais e imaginárias dos autovalores, ) Im( ) Re( k k k λ i λ λ = + (1.3) i) 0 ) Im( , 0 ) Re( 0 ) Im( , 0 ) Re( 2 2 2 1 1 1 = < − = = < − = λ λ λ λ a a
Figura 1.3: Ponto fixo tipo poço – nó estável.
ii) 0 ) Im( , 0 ) Re( 0 ) Im( , 0 ) Re( 2 2 2 1 1 1 = > + = = > + = λ λ λ λ a a
Sendo a1, a2 > 0, é um ponto tipo fonte - instável.
Figura 1.4: Ponto fixo tipo fonte – nó instável.
iii) 0 ) Im( , 0 ) Re( 0 ) Im( , 0 ) Re( 2 2 2 1 1 1 = < − = = > + = λ λ λ λ a a
Sendo a1, a2 > 0, é um ponto tipo sela - instável.
Figura 1.5: Ponto fixo tipo sela.
iv) ) Im( , 0 ) Re( ) Im( , 0 ) Re( 2 2 1 1 b b − = = + = = λ λ λ λ
Figura 1.6: Ponto fixo tipo centro.
v) ) Im( , 0 ) Re( ) Im( , 0 ) Re( 1 2 1 2 1 1 1 1 b a b a − = < − = + = < − = λ λ λ λ
Sendo a1, b2 > 0, é um ponto tipo espiral - estável.
Figura 1.7: Ponto fixo tipo espiral.
vi) ) Im( , 0 ) Re( ) Im( , 0 ) Re( 1 2 1 2 1 1 1 1 b a b a − = > + = + = > + = λ λ λ λ
Sendo a1, b2 > 0, é um ponto tipo espiral - instável.
Figura 1.8: Ponto fixo tipo espiral.
1.6 Atratores
Entendemos como um atrator o conjunto de pontos no espaço de estados visitados pela solução de uma equação em evolução. Diz-se simplesmente que “atratores
são órbitas imersas num espaço de estados”. O conjunto de pontos define uma órbita ou trajetória que tem um comportamento assintótico para um regime estacionário ou para um regime caótico.
Para se obter um atrator, registramos um determinado número de pontos descritos pela série temporal. O desafio consiste em obter um conjunto de pontos suficientemente grande, mas viável do ponto de vista de tempo de experimentação. Um espaço de estados, numa dimensão adequada para preservar as características do sistema físico em estudo, poderá então ser construído a partir dessa série temporal. Em conseqüência, teremos encontrado o espaço de estados em que o atrator estará descrito (ou imerso) e, conseqüentemente, poderemos analisar a dinâmica do sistema. A seguir, serão apresentados três atratores clássicos e suas características básicas, com o objetivo de ilustrar a metodologia de estudos de dinâmica não-linear. São os atratores de ponto fixo, ciclo limite e caótico.
1.6.1 Atrator de Ponto Fixo
Para ilustrar o atrator de ponto fixo iremos utilizar o pêndulo físico em presença de forças de amortecimento. Em seu regime estacionário ele não executa oscilações. Uma perturbação provoca um movimento oscilatório amortecido e, com o tempo, o pêndulo volta assintoticamente para o repouso. Vemos assim que este ponto de repouso tem características de um ponto fixo do sistema, devido à convergência assintótica da órbita no espaço de estados. Nesse caso, o ponto fixo é denominado como ponto de atração. Passemos a outra situação desse pêndulo físico, aquela em que ele é colocado na posição de equilíbrio instável na parte superior do eixo de rotação. Ele permanecerá indefinidamente nessa situação, caracterizando, portanto outro ponto fixo, até que uma perturbação, tão pequena quanto se queira, o tire dessa posição de equilíbrio instável. Devido à perdida de energia presente no sistema, ele irá assintoticamente para o ponto fixo estável, descrito anteriormente. Nesse caso, por haver um sistemático distanciamento (no
caso, assintótico) do ponto fixo original ele é denominado como ponto fixo repulsivo.
1.6.2 Atrator de Órbita Periódica Contínua
Uma situação ligeiramente mais complexa que o caso anterior é o do atrator de linha, que na prática representa uma mudança na dimensão topológica (de zero para um) do atrator. O exemplo clássico é o de um objeto que é lançado da Terra com uma velocidade para colocá-lo em órbita. Do ponto de referência de um observador externo à Terra, o objeto descreveria uma rota espiral contínua até atingir o movimento orbital. Esta órbita seria uma elipse, sendo essa órbita chamada de ciclo limite do atrator. Nesse caso, o atrator é “de dentro para fora”, ou seja, de um ponto central para uma órbita. Por outro lado, se o objeto mudasse de órbita pela mudança de energia para uma órbita de menor raio, o atrator seria “de fora para dentro”.
1.6.3 Atratores Estranhos
Agora deseja-se discutir a situação em que a órbita tem uma alta sensibilidade às condições iniciais. Isso significa que, começando com dois pontos ligeiramente separados no espaço de estados, as órbitas se distanciam exponencialmente com o passar do tempo. Nesse caso, a órbita do atrator não se fecha e ele fica descrevendo uma trajetória aperiódica numa região finita do espaço de estados. Esses atratores são conhecidos na literatura como “atratores estranhos”. Esses atratores não apresentam uma dimensão topológica inteira. Na realidade, embora sejamos levados a pensar que ele teria uma dimensão infinita, foi mostrado que ele tem uma dimensão topológica fracionária. O nome estranho decorre, exatamente, dessas características um tanto quanto exóticas, advindas do fato das órbitas estarem se distanciando exponencialmente numa região finita do espaço de estados. Sistemas dinâmicos determinísticos, com evolução temporal assintótico para um atrator estranho, são definidos como apresentando uma dinâmica caótica. Numa descrição de condicionantes matemáticos, a existência de comportamento
caótico em sistemas contínuos dissipativos pode ocorrer somente em sistemas não-lineares.
1.7 Espaço de Fase
O Espaço de Fase de um sistema dinâmico é definido como o espaço formado pelas variáveis dependentes de um sistema dinâmico; de um modo geral, o espaço de fase forma um conjunto aberto no Rn. Todavia, em alguns casos a topologia do espaço pode estar restrita a uma superfície de alguma forma geométrica particular. Alguns exemplos típicos destas figuras são o cilindro e o toro. Topologicamente, diz-se que este espaço é uma variedade (manifold).
1.8 Estabilidade Estrutural
Um sistema é dito ser estruturalmente estável se a topologia do seu diagrama de fase não se altera mediante uma pequena perturbação no campo vetorial, tal que, de forma consistente, ele não deve ser sensível a perturbações. A estabilidade estrutural estabelece a robustez de um único ponto no espaço do campo vetorial do diagrama de fase, enquanto que a estabilidade no sentido de Lyapunov está relacionada com a robustez de uma órbita (trajetória) no diagrama de fase, frente a perturbações nas condições iniciais do sistema.
1.9 Ferramentas de Análise da Dinâmica Não-linear
• Mapeamento de Poincaré - uma maneira de simplificar a análise de um sistema contínuo é mediante a seção de Poincaré, que permite a eliminação de uma dimensão do sistema, podendo-se assim analisar a estabilidade da série temporal por meio da análise da periodicidade e das órbitas caóticas do sistema dinâmico.
• Expoentes de Lyapunov - é uma das ferramentas de análise de sistema global de um espaço de estado, que avalia a sensibilidade às condições iniciais,
verificando a taxa de divergência/convergência das trajetórias das respostas, que no nosso caso vem a ser a dinâmica do movimento da ressonância paramétrica.
• Diagrama de Bifurcação - permite observar as soluções da equação a analisar, observar a cascata de bifurcações e as rotas possíveis para o caos, conseguindo-se ver o tipo de comportamento com a mudança de um parâmetro de controle (no nosso caso, Aw, amplitude da onda). Permite-nos visualizar o início da duplicação de períodos, como também o início da resposta caótica do nosso sistema dinâmico do navio em ressonância paramétrica.
• Bacias de Atração - em sistemas não-lineares que apresentam um comportamento de muita complexidade, este sistema tem uma forte dependência às condições iniciais. A bacia de atração é capaz de distinguir as zonas estáveis e instáveis associado ao emborcamento em nossa análise, para um conjunto de condições iniciais, tanto em posição como em velocidade, tomando em conta a mudança de outros parâmetros de controle, como as características das ondas (amplitude e comprimento), velocidade de avanço, etc.
1.10 Antecedentes e Cenário Atual em Dinâmica Não-linear
Nas últimas décadas tem havido um grande desenvolvimento no estudo dos fenômenos não-lineares. Um dos aspectos mais importantes é o do comportamento caótico determinístico. A introdução do conceito de atrator caótico e a noção subjacente de dependência sensitiva às condições iniciais estabelecem uma base para a teoria matemática dos processos caóticos.
A reconstrução das propriedades topológicas de atratores caóticos a partir de séries temporais tem permitido uma interpretação alternativa dos processos caóticos. Poincaré (1890) estudou a dinâmica de um sistema de três corpos, para a resolução de quão estável é o sistema solar. Uma variação do problema dos três corpos, ressaltou que o problema não estava bem estabelecido, e provou que a solução completa não pode ser achada. Ele mostrou que a evolução daquele
sistema é freqüentemente caótico, no sentido de que pequenas perturbações em seu estado inicial levam a uma mudança radical na resposta final.
Lorenz (1963) trabalhou com os fundamentos matemáticos do sistema de equações da meteorologia a partir do modelo de convecção de Rayleigh-Barnard, um dos primeiros trabalhos na teoria do caos; ele propôs e estudou um sistema de equações diferenciais utilizado como protótipo do estado atmosférico. Trata-se de um sistema de três equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
bZ XY Z XY Y rX Y Y X X − = − − = − − = & & & σ( ) (1.4)
tendo as principais variáveis de estudo um significado físico: X é proporcional à intensidade da convecção, Y è proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente, e Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, vide Fiedler-Ferrara e Prado (1994), com os parâmetros de controle σ (número de Prandtl), r (número de Rayleigh relativo), e b=4/(1+a2). Lorenz observou que esse sistema determinístico pode ter dinâmicas extremamente irregulares para uma grande extensão de parâmetros; a partir de condições iniciais ligeiramente diferentes, a solução oscila irregularmente, nunca repetindo o mesmo estado, mas se mantendo sempre numa região limitada do espaço de fase. Quando plotou as trajetórias, descobriu que se ajustavam num complicado conjunto, figura 1.9, conhecido hoje como atrator estranho. Desde então, inúmeros pesquisadores passaram a estudar o caos determinístico, analisando diferentes sistemas dinâmicos associados a uma série de situações físicas.
Figura 1.9: Atrator de Lorenz, r=45.92, b=4.0, σ=16.0.
Por outro lado, Robert May (1976) investigou um sistema dinâmico relacionado com o crescimento populacional das espécies modelado pela equação matemática: Xi+1=μXi(Xi-1), conhecida como mapa logístico, que avalia a população em um ano
Xi+1, a partir do ano anterior XI, sendo uma equação determinística, cuja situação
futura será determinada pelas condições presentes. O que chamou a atenção de May foi que o comportamento deste mapa varia radicalmente para diferentes valores de μ. O comportamento desse sistema passa de periódico a caótico devido a pequenas variações do parâmetro de controle (μ). Sem dúvida, trata-se de um sistema simples do ponto de vista matemático, mas que possui uma dinâmica muito rica. Na figura 1.10 é mostrado o comportamento aperiódico para μ=3.8, e uma condição inicial X0=0.1 para o mapa logístico.
-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Xi
Xi+1 curvalogistic
Xi+1=Xi
Com o passar dos anos, inúmeras contribuições relevantes foram proporcionadas por diversos pesquisadores. Dentre eles, vale destacar: Feigenbaum, Smale, Shaw, Duffing, van der Pol, Yorke, Grebogi, Otto, Guckenheimer, Holmes, Moon, Abarbanel, Thompson, Chua.
O principal trabalho de Mandelbrot (1975) foi a proposta de um novo conceito de geometria, que ficou conhecida como geometria fractal. O objetivo desse novo conjunto de objetos foi minimizar o vazio deixado pela geometria Euclidiana com respeito às formas existentes na natureza. Essa nova família de formas geométricas ficou conhecida como fractais, que fornece uma primeira aproximação das estruturas dos objetos físicos. Fractais têm sido observados na natureza em diferentes situações, variando desde formas geométricas às ciências físicas. Basicamente, é possível caracterizar fractais em dois grupos distintos: objetos sólidos e atratores estranhos. Foi em 1975 que o professor Benoit Mandelbrot popularizou os fractais com um livro, que ilustrava os primeiros fractais a serem vistos, vide a figura 1.11. Mandelbrot foi à primeira pessoa que ilustrou os fractais, por isso estes foram nomeados fractais de Mandelbrot. O termo fractal descreve fenômenos matemáticos que exibem, auto-similaridade em várias escalas. Estes fenômenos envolvem a definição de algoritmos ou funções recursivas.
Figura 1.11: Conjunto de Mandelbrot (Campos, 2006).
Na atualidade, diversas áreas do conhecimento têm-se deparado com o caos, dentre as quais vale destacar a engenharia, Mees e Sparrow (1987), Piccoli e Weber (1998), Moon e Stiefel (2006), a medicina, Goldberger et al. (1990),
Câmara (2008), a biologia, Hassel et al. (1991) e a economia, Aguirre e Aguirre (1997).
A aplicação da teoria de caos na ressonância paramétrica em navios é um campo bastante novo; os trabalhos neste caso são poucos, dentre os quais podemos citar:
Umeda et al., (2003) – o trabalho estuda a ressonância paramétrica de um navio porta-contentor em mar de frente, avaliando o momento de restauração como uma função não-linear da amplitude da onda. Apresenta os correspondentes mapeamento de Poincaré, dobradura de períodos e caos e a ocorrência de bifurcação subcrítica, associada à resposta de roll.
Neves e Rodríguez (2007) - neste trabalho é discutida a ressonância paramétrica em mar regular de proa com o uso de um conjunto de equações não-lineares descrito pelos modos acoplados de heave-roll-pitch. O trabalho explora a influência das não-linearidades de terceira ordem, assim como a relevância dos acoplamentos entre os modos verticais e o movimento de roll nos limites de estabilidade. São analisadas as influências das condições iniciais sobre o desenvolvimento das amplificações da resposta de roll, identificando-se a ocorrência do fenômeno do salto.
Bullian e Francescutto (2008) - analisaram o problema da presença de múltiplos estados de estabilidade em ondas longitudinais em mar regular baseado em um modelo analítico para roll desacoplado (1-DOF), por meio da predição analítica e da verificação experimental, pelo qual foi possível determinar analiticamente a região de instabilidade e o estado estável para a amplitude de roll. Apresentaram uma análise das bacias de atração e a sensibilidade às condições, mudando a velocidade do navio, também achando para que valores da velocidade se apresentava o salto dinâmico (jump at fold).
1.11 Objetivos e Conteúdo da Tese
Em termos dos desenvolvimentos atuais há a necessidade de entender e modelar os fenômenos não-lineares por meio de modelos matemáticos e ferramentas da análise de sistemas caóticos; e entender as possibilidades da resposta dos fenômenos não-lineares, como a rota para o caos dos diferentes sistemas dinâmicos. Sendo esses fenômenos não observáveis em modelos lineares, este trabalho tem como objetivo descrever a diversidade de respostas e suas sensibilidades às condições iniciais.
No capítulo 2 são apresentadas as equações que regem o movimento do sistema dinâmico, o qual consta do um modelo matemático cuja equação mostra o movimento acoplado com três graus de liberdade (heave, roll, pitch), com os termos não-lineares até a terceira ordem, considerando também o efeito da passagem da onda até a terceira ordem. Este modelo que será posteriormente resolvido (limites de estabilidade) é analisado por meio de técnicas de sistemas dinámicos. Nesse capítulo também é analisada a estabilidade da equação de roll mediante o cálculo numérico dos limites de estabilidade.
No capítulo 3 são introduzidas as ferramentas de análise da dinâmica não-linear, como o mapeamento de Poincaré, diagrama de bifurcação, bacias de atração e os expoentes de Lyapunov, os quais, em conjunto, nos ajudam a entender com mais detalhes as respostas do sistema dinâmico. Também são apresentados conceitos da dinâmica não-linear, conceitos importantes para poder entender e descrever o que se passa em cada um dos fenômenos dos sistemas não-lineares.
No capítulo 4 são apresentadas a análise e a solução da dinâmica não-linear para o navio pesqueiro Transom Stern (TS), análise feita para duas sintonias ( ) próximas, e sua posterior comparação. Essa análise será feita por meio das ferramentas de sistemas caóticos, mencionadas acima. Estas são ferramentas necessárias para se entender os fenômenos não-lineares, cuja análise será mostrada por meio de gráficos com seus respectivos estudos dos fenômenos
4
/ n
e w
mostrados. Os algoritmos numéricos discutidos adiante foram implementados por meio de códigos computacionais desenvolvidos em linguagem Fortran, compilador (6.5).
No capítulo 5, por fim, serão apresentadas as conclusões finais do estudo feito neste trabalho, como também as recomendações para seguir na luz do caminho longo do entendimento do fascinante mundo dos sistemas caóticos.
CAPÍTULO 2
MODELO MATEMÁTICO A ANALISAR
A seguir apresentam-se as equações que governam os movimentos do navio, considerando relevantes três modos acoplados (heave-roll-pitch), tendo termos não-lineares tanto no amortecimento em roll como na restauração em heave, roll e pitch. O objetivo é obter o modelo matemático no domínio do tempo, que posteriormente será estudado por meio de ferramentas da dinâmica não-linear.
2.1 Sistemas de Referência
As equações do movimento do navio serão escritas referindo-se ao navio com velocidade de avanço constante em águas calmas, movendo-se em ondas em torno de sua posição de equilíbrio, para o qual nós usaremos dois sistemas de referência.
Um primeiro sistema inercial Cxyz, que se desloca na mesma velocidade de avanço do navio, e que no tempo t=0, coincide com a superfície livre em águas calmas, tendo o ponto C na mesma vertical que o centro de gravidade do navio G, onde qualquer ponto neste sistema será denotado por (x,y,z).
O segundo sistema de referência móvel Oxyz, sistema fixo no casco, cujo plano
xy coincide sempre com o plano de flutuação do navio em águas calmas, o eixo x
O pertence ao plano diametral sendo positivo no sentido do avanço, e o eixo z
O passa pelo centro de gravidade do navio G, com sentido positivo para acima, onde qualquer ponto neste sistema será denotado por (x,y,z).
Os movimentos de translação do navio na direção dos eixos X, Y, Z são denotados por surge, sway e heave, respectivamente, e os movimentos de rotação do navio nos mesmos eixos são definidos como roll, pitch e yaw, respectivamente. A figura 2.1 ilustra esses movimentos.
Z
Z YSurge
Swa
y
Y
Pitch
Co
Roll
X
G XHeave
Popa ProaYaw
Direção d e propagaçao da ondaFig. 2.1: Sistemas de referência.
Para passar de um sistema de referencia para outro é preciso aplicar a matriz de transformação (T), Bishop e Parkinson (1970), que permite expressar qualquer vetor ou ponto do espaço do sistema móvel Oxyz, no sistema inercial CXYZ.
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ) )cos( cos( ) )sen( cos( ) sen( ) )sen( cos( -) )cos( )sen( sen( ) )cos( cos( ) )sen( )sen( sen( ) )cos( sen( ) )sen( sen( ) )cos( )cos( cos( ) )cos( sen( -) )sen( )sen( cos( ) cos( ) cos( φ θ φ θ θ φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ θ ψ φ ψ φ θ ψ φ ψ φ θ ψ θ ψ T (2,1) a partir da seqüência de rotações definida como: ψ: ângulo de yaw, θ: ângulo de pitch e φ: ângulo de roll.
2.2 Freqüência de Encontro
A freqüência de encontro ( ) é a freqüência com a qual o navio oscila quando se desloca com uma velocidade constante (U) encontrando a freqüência da onda (w
e
w
) cos( 2 χ w w e w g U w w = − (2.2)
sendo (g) a aceleração da gravidade; no caso de onda longitudinal em mar de proa (χ=180°), a equação (2.2) fica: 2 w w e w g U w w = + (2.3)
A equação da superfície de uma onda regular é definida pela teoria de Airy:
(
x,y,t,χ)
= Awcos[
kxcos(χ)+kysen(χ)−wet]
ς
(2.4)
onde:
Aw: amplitude da onda,
k: número de onda, dado por:
λ π 2 2 = = g w k w , λ: comprimento da onda.
Para ondas longitudinais com mar de proa, a equação da superfície da onda fica sendo:
( )
x,t = Awcos[
kx+wet]
ς
(2.5)
2.3 Equações Gerais do Movimento
As equações do movimento são derivadas a partir da segunda lei de Newton, considerando o navio como corpo rígido, tal que as equações correspondem aos balanços de quantidade de movimentos linear e angular.
2.3.1 Conservação da Quantidade de Movimento Linear EXT F dt P dr = r (2.6) onde: EXT
Fr : vetor de forças externas,
Pr: quantidade de movimento linear, que pode ser expresso como: . G r M &r r = P
M: matriz de massa do navio, sendo m a massa do navio.
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = m 0 0 0 m 0 m 0 m M G
r&r : vetor velocidade do C.G. do navio, a partir do sistema inercial CXYZ:
' xG O G r r r&r =&r +Ω r (2.7) O
r&r : velocidade translacional da origem do sistema Oxyz,
Ωr : velocidade angular do sistema Oxyz, '
G
rr : vetor posição do C.G. do navio com referência ao sistema Oxyz.
Considerando a matriz do navio constante ao longo do tempo, a equação de conservação da quantidade de movimento linear será:
(
rO xrG)
FEXTdt d
M &r +Ωr r ' = r
2.3.2 Conservação da Quantidade de Movimento Angular
A equação de conservação da quantidade de movimento angular, o qual é referido ao C.G. do navio, expressa-se como:
dt h d M G G EXT r r = (2.9) sendo: G EXT
Mr : vetor de momentos das forças externas FEXT
r
em relação ao C.G. do navio,
G
hr : vetor do momento angular referido ao C.G. do navio,
Agora expressamos a equação (2.9) em relação à origem do sistema Oxyz:
EXT o G r M dt d r m dt h dr r &r r = × + ' (2.10) onde,
hr: vetor da quantidade de movimento angular referido à origem Oxyz:
Ω = r r J h (2.11)
J: matriz de inércias de massa do navio referidas aos eixos do sistema Oxyz:
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = zz yz xz yz yy xy xz xy xx J J J -J J J J J J J (2.12) EXT
Mr : vetor de momentos das forças externas FEXT
r
em relação à origem do sistema Oxyz.
Assumindo que a matriz de inércias do navio é invariável no tempo, então a equação fica dada na forma:
(
')
G O EXT d d J Mr r M dt dt Ωr + r ×r& = r (2.13) As equações (2.8) e (2.13) descrevem a dinâmica do navio que é submetido à ação de forças e momentos externos em seis graus de liberdade.Já que nosso interesse é o estudo do navio em movimento em ondas longitudinais, então só serão relevantes três movimentos (heave (z), roll (φ), pitch (θ)), restringindo-se os outros três graus de liberdade (surge (x), sway (y), yaw (ψ)), levando assim ao seguinte conjunto de três equações:
EXT o Z dt z d m = 2 EXT xx K dt d J φ = 2 EXT yy M dt d J θ = 2 (2.14)
onde o lado direito da equação (2.14), representa a força em heave e os momentos em roll e pitch que atuam sobre o navio. Estas forças podem ser assumidas como forças devidas, aos movimentos do navio (forças hidrostáticas e forças hidrodinâmicas), devido às forças de gravidade, e forças devidas às excitações produzidas pelas ondas, desprezando-se forças como vento, leme, etc.
2.4 Forças e Momentos Externos
As forças devidas aos movimentos do navio são funções analíticas dos deslocamentos z, φ, θ; das velocidades ; e das acelerações . As forças devidas ao movimento do navio são funções diferenciáveis, podendo ser
θ φ& & & ,,
desenvolvidas por séries de Taylor até a terceira ordem. As ações das forças gravitacionais se cancelam com as forças hidrostáticas na posição do equilíbrio. Generalizando a representação das ações externas, pode-se escrever:
( , , , , , , , , )
EXT g
Q =Q z φ θ φ θ φ θz& & & &&z && && +Q
(2.15)
Na expressão (2.15), Q e suas dependências, z, φ, θ, levam em conta as forças de restauração hidrostáticas, enquanto que e correspondem aos termos hidrodinâmicos de amortecimento e massa adicional.
θ φ& & & ,,
z z&& ,,φ&&θ&&
É conveniente introduzir os termos , para denotar sucessivamente , k j i q q q, , z
q1= q2 =φ,q3 =θ , assumindo o movimento em torno da sua posição de equilíbrio (zO =0,φO =0,θO=0) as forças devidas ao movimento do navio são funções diferenciáveis, podendo ser expandidas em séries de Taylor até a terceira ordem: + ∂ ∂ ∂ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + =
∑
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
= = = = = = = i j i j i j j i i j i j i i i i i i i i i q q q q Q q q q Q q q Q q q Q q q Q Q Q & & & & && && & & 3 1 3 1 2 0 3 1 3 1 2 0 3 1 0 3 1 0 3 1 0 2 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
= = = = = = = = 3 1 3 1 0 2 3 1 3 1 0 2 3 1 3 1 3 1 3 1 0 2 0 2 i j j i j i i j j i j i i j i j j i j i j i j i q q q q Q q q q q Q q q q q Q q q q q Q && & && & && && & & && && && && + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = = = = = = = = k j i i j k i j k i j k k j i k j i k j i i j k i j k q q q q q q Q q q q q q q Q q q q q q q Q & & & & && && & & 3 1 3 1 3 1 0 3 3 1 3 1 3 1 0 3 0 3 1 3 1 3 1 3 + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = = = = = = = = k j i i j k i j k k j i i j k i j k k j i i j k i j k q q q q q q Q q q q q q q Q q q q q q q Q && && & && && & && & & && & & && && && && 0 3 1 3 1 3 1 3 0 3 1 3 1 3 1 3 0 3 1 3 1 3 1 3 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂∑∑∑
= = = k j i i j k i j k q q q q q q Q && & && & 0 3 1 3 1 3 1 3 (2.16)Na equação anterior, a expressão Q0 denota as forças hidrostáticas na posição de
equilíbrio, sendo que o empuxo é igual ao peso e o momento do empuxo é igual ao momento do peso, tal que, na equação (2.15), a ação gravitacional Qg devido
ao peso se cancela com as forças hidrostáticas Q0 na posição de equilíbrio.
2.5 Equações de Movimento Não-Linear
Os modelos lineares são limitados para a representação de alguns fenômenos físicos, como é o caso da ressonância paramétrica, para a qual é necessário desenvolver um modelo não-linear que nos permita observar os diferentes fenômenos físicos característicos, assim, podendo-se obter resultados mais próximos aos resultados experimentais.
A partir do trabalho de Abkowitz (1969), se pode dizer que a interação entre as forças inerciais e as forças viscosas é pouco significativa, aceitando-se assim que as forças hidrodinâmicas que resultam das acelerações são lineares nas acelerações. E por Salvesen et al. (1970), usando a teoria potencial linear e aplicando o método das faixas, se conclui que com exceção do amortecimento em roll, a teoria potencial dá bons resultados no cálculo das forças hidrodinâmicas: massa adicional e amortecimento em heave e pitch, admitindo-se que os coeficientes dos termos não-lineares contendo acelerações e/ou velocidades são nulas ou desprezíveis.
O amortecimento em roll apresenta fortes não-linearidades. O método de Ikeda apresentado por Himeno (1981), o qual diz que o amortecimento em roll é representado como uma função não-linear da velocidade angular em roll será empregado.
No caso dos movimentos em heave e pitch os termos não-lineares a serem considerados serão os termos das ações hidrostáticas e Froude-Krilov, portanto as forças hidrodinâmicas de massa adicional e amortecimento serão lineares; para roll só o termo de massa adicional é linear, sendo o amortecimento e as ações
hidrostáticas e de passagem da onda não-lineares. Considerando a equação (2.15), definida até a terceira ordem, as ações externas serão dadas como:
) ( 6 1 2 1 0 3 1 3 1 3 1 3 0 3 1 3 1 2 0 3 1 0 3 1 0 3 1 t Q q q q q q q Q q q q q Q q q Q q q Q q q Q Q w j j i i j k i j k j i i j i j i i i i i i i i i EXT + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =
∑∑∑
∑∑
∑
∑
∑
= = = = = = == & & && &&
(2.17)
que é um modelo matemático que privilegia, nos termos não-lineares, a importância das parcelas correspondente aos acoplamentos nas restaurações hidrostáticas e passagem da onda, que nos permite estudar os efeitos dos acoplamentos nas forças e momentos, e as transferências de energia entre os modos de heave, roll, e pitch. Deve-se observar que na equação (2.17) o termo descreve as excitações das ondas determinadas para o navio na posição média, sendo que os termos de Froude-Krilov não-lineares (determinados para o navio em posições deslocadas) estão representados nos termos com somatórios duplo e triplo.
) (t
Qw
Iremos expressar a equação (2.17) na forma de componentes excluindo aqueles coeficientes que, por razões de simetrias, são nulos; levando em conta os termos inerciais do navio, e usando o modelo não-linear quadrático para amortecimento em roll.
Chega-se ao modelo matemático do movimento com não-linearidades quadráticas e cúbicas, considerando a passagem da onda, proposto por Rodríguez (2004), o qual tem alguns coeficientes dependentes do tempo, como se mostra abaixo:
