CAPÍTULO 4: RESULTADOS E ANÁLISE
4.1 Diagrama de Bifurcação
A análise do comportamento da série temporal e sua sensibilidade à mudança do parâmetro de controle amplitude de onda (Aw) é de crucial importância para a avaliação do comportamento periódico dos modos (heave, roll, pitch) e as condições para as quais os diferentes modos chegam ao comportamento caótico e a rota que este apresenta; e que tipo de comportamento apresenta suas divergências periódicas e da amplitude das soluções dos modos a tratar.
A bifurcação é o estudo do comportamento de um sistema mediante a variação de parâmetros. A teoria da bifurcação é o estudo das possíveis alterações na estrutura do espaço de fase, vide Krishnaiah et al. (2002), da forma qualitativa das soluções de uma equação diferencial que depende de muitos parâmetros, equações que modelam sistemas físicos. E que em nosso caso é a equação que governa o movimento do navio, modelo não-linear proposto por Rodríguez (2004). Uma forma interessante de compreender este conceito é no contexto da perda de
estabilidade estrutural de um sistema. Esta é uma forma ampla de conceituar as bifurcações. O diagrama de bifurcação ilustra o caminho dinâmico para o caos, a presença da cascata de duplicações de período que dá origem a órbitas estáveis de períodos 1, 2, 4, 8,..., e todos os números de períodos que são potências de dois. E como também são encontradas órbitas de número de períodos igual a três, que corresponde a um cenário de coexistência de atratores de diferentes periodicidades. Vale ainda observar que ao final da faixa que leva aos três períodos, o sistema apresenta intermitência (caos), vide Pomeau e Manneville (1980), Chávez (2000). A partir daí, o diagrama de bifurcação se caracterizará por alternância, duplicação de períodos e caos.
Construímos os diagramas de bifurcação referentes ao modelo estudado, em que o eixo horizontal corresponde aos valores de amplitude da onda (Aw) e o eixo vertical aos valores de amplitude máxima em jogo (φ) na solução permanente da
série temporal. Toma-se a mesma condição inicial e gera-se a órbita para cada amplitude em roll correspondente a cada valor da amplitude de onda. Certo número dos primeiros pontos da órbita é descartado (resposta transiente), para dar tempo a que a órbita evolua para o seu comportamento final (resposta permanente), esta seja uma órbita periódica ou caótica; chama-se a isto eliminar o transiente. Os valores da amplitude em jogo φ assumido pela órbita ao longo de
um número bastante grande de iterações t=800 seg., sendo tomado o valor correspondente ao valor de (φ) na amplitude máxima.
Os diagramas de bifurcação que serão mostrados são para duas sintonias próximas e dois conjuntos de condições iniciais dos modos estudados. As equações do movimento a estudar serão resolvidas por método de integração de Runge Kutta de 4ta ordem, para um número de Froude (Fn) igual a 0.30, GM=0.37 m, ksi=180°.
Cabe assinalar que os diagramas de bifurcação em roll para as duas sintonias foram obtidos tomando-se o período correspondente à freqüência de excitação, e não a freqüência natural na qual responde o movimento de roll, que vem a ser a metade da freqüência de excitação. Por isso, nos digramas de bifurcação para roll,
pode-se visualizar a existência de dois ramos de bifurcação, porque são tomados tanto os valores negativos como os positivos para a criação dos diagramas de bifurcação para roll. O mesmo se poderá visualizar no mapeamento de Poincaré.
As sintonias serão we/wn4 =2.0 e we/wn4 =2.2 e as condições iniciais serão:
C.I.#01: z0 =0.0m, 01z&0 =0. m/s, φ0=2deg, φ&0 =−0.5deg/s, 0θ0 =0. deg, 01
. 0 0 =
θ& deg/s.
C.I.#02: z0 =0.0m, 01z&0 =0. m/s, 5φ0 =2. deg, 8φ&0 =−0. deg/s, 0θ0 =0. deg,
01 . 0 0 =
θ& deg/s.
Pode-se observar que os resultados obtidos para duas sintonias (we/wn4) muito
próximas apresentam diagramas com estruturas muito diferentes, conseqüência direta das não-linearidades e da sensibilidade do sistema a pequenas variações do parâmetro de controle.
4.1.1 Diagrama de Bifurcação we/wn4 =2.0
A seguir serão mostrados os diagramas de bifurcação para a sintonia de
0 . 2
/ n4=
e w
w e as condições iniciais C.I.#01 dadas acima. Para esses dados são obtidos os diagramas de bifurcação apresentados nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, sendo que as figuras 4.2 e 4.3 correspondem a ampliações de regiões do diagrama 4.1.
O diagrama de bifurcação das figuras 4.1 a 4.3 apresenta grande diversidade em informação de soluções de um sistema dinâmico, como é o caso de nosso sistema em estudo, o sistema dinâmico do navio. O diagrama de bifurcação apresenta faixas de comportamento com diferentes tipos de respostas, as quais podem ser sumarizadas como mostrado na tabela 1. Além da discussão apresentada a seguir, observamos que o comportamento em cada uma das faixas será discutida com mais detalhes no item 4.2 por meio do mapeamento de Poincaré.
Tabela 1. Bifurcações para we/wn4=2.0, C.I.#01.
Faixa de Aw (m) Tipo de resposta em roll
0.0000 - 0.6036 Tipicamente linear 0.6037 - 0.6129 Coexistência de atratores, 3 períodos 0.6130 - 0.6626 Multiestabilidade, 1 período 0.6627 - 0.6758 Multiestabilidade, 2 períodos 0.6759 - 0.6782 Multiestabilidade, 4 períodos 0.6783 - 0.67881 Multiestabilidade, 8 períodos 0.67882 - 0.7000 Caos
Figura 4.1: Diagrama de bifurcação, roll, para we/wn4=2.0, condições iniciais C.I.#01.
Figura 4.2: Diagrama de bifurcação, roll, ampliação da parte negativa da figura 4.1.
Figura 4.3: Diagrama de bifurcação, roll, ampliação da parte positiva da figura 4.1.
Na figura 4.1 é mostrado o diagrama de bifurcação avaliado para uma sintonia de
0 . 2
/ n4 =
e w
w onde o parâmetro de controle vem a ser a amplitude da onda (Aw), aqui analisada para a faixa de amplitude da onda de 0.55 m até 0.7 m, faixa suficiente para poder observar-se a rota para o caos mediante a cascata de duplicação de período. São encontradas faixas para a amplitude da onda (Aw) de diferentes comportamentos: na faixa de Aw (0.0 m – 0.6036 m), nesta faixa de resposta se tem uma oscilação simétrica para roll e com número de períodos igual a um, caracterizando um comportamento estável e crescimento da amplitude de roll de forma praticamente linear com respeito à amplitude da onda. Na faixa de Aw (0.6037 m – 0.613 m) apresenta-se coexistência de atratores com número de períodos igual a três; também são observados efeitos de intermitência na parte final da faixa, para Aw=0.613 m, aproximadamente. Já na faixa Aw (0.6131 m – 0.6626 m) tem-se a presença de uma resposta em oscilação assimétrica em roll com efeitos de alternância introduzidos pelo fenômeno da multiestabilidade, com número de períodos igual a um. Com mais detalhes, esse comportamento peculiar será analisado no item 4.2. Na faixa Aw (0.6627 m – 0.6782 m) tem-se uma oscilação assimétrica em roll, com presença de efeitos de alternância e com número de períodos igual a dois. Na faixa Aw (0.6759 m – 0.6782) apresenta-se uma oscilação assimétrica em roll, com a presença de alternância da amplitude em roll e número de períodos igual a quatro. Na faixa Aw (0.6783 m – 0.67881 m) tem-se uma oscilação assimétrica em roll com alternância em roll e número de períodos igual a oito, e finalmente tem-se a faixa de Aw (0.678882 m – 0.7 m) onde se tem comportamento caótico para as respostas em roll. Deve-se observar que em todas as faixas, com exceção da caótica, o movimento de roll tem características típicas da ressonância paramétrica na primeira região de instabilidade da equação de Mathieu, ou seja, o período do movimento é próximo ao período natural de roll. Já os movimentos de heave e pitch respondem em períodos próximos do período de excitação.
Na figura 4.4 é mostrado o digrama de bifurcação para as mesmas condições de sintonia, Fn, GM, ksi que do diagrama de bifurcação da figura 4.1, com a única mudança sendo das condições iniciais para roll (C.I.#02). Pode observar-se no
diagrama de bifurcação da figura 4.4 que a zona de coexistência de atratores apresentada na faixa para amplitude da onda de Aw (0.6037 - 0.6129) mostrada no diagrama de bifurcação da figura 4.1 já não se manifesta; ou seja, desaparece o atrator de período igual a três, para logo passar-se, para maiores amplitudes de onda, a uma zona de número de períodos igual a um com multiestabilidade. A multiestabilidade, ao invés de alternância, passa agora a manifestar características de salto dinâmico, associado a bifurcação de dobra cíclica.
Figura 4.4: Diagrama de bifurcação, roll, para we/wn4=2.0, condições iniciais C.I.#02.
É importante observar as características dos modos acoplados, seus comportamentos para o mesmo parâmetro de controle, como se pode ver na figura 4.5, onde os movimentos de heave e pitch têm respostas com número de períodos iguais para uma mesma amplitude de onda, enquanto que o movimento de roll apresenta um comportamento de multiestabilidade. Na figura 4.5 se mostram, para
C.I.#01, os diagramas de bifurcação de pitch, que está em torno de -5 graus (cor
heave em escala (x30, e cor azul) e que está em torno de 22 m, todos mostrados na mesma figura; se pode ver que para mesmos valores de amplitude de onda (Aw), os três movimentos apresentam as mesmas características na sua estrutura dos pontos de bifurcação; se pode observar também que para a mesma faixa de amplitude os três movimentos apresentam a coexistência de atratores (número de períodos igual a três). Observa-se também que os três movimentos apresentam os pontos de bifurcação para a mesma amplitude da onda, o qual é comportamento devido aos acoplamentos dos movimentos de heave, roll e pitch. Vale notar que no caso de heave, para Aw>0.6627 há a passagem para quatro períodos, ainda que esse aspecto não seja claramente percebido na figura, uma vez que os dois períodos são muito próximos.
Figura 4.5: Diagramas de bifurcação de pitch, heave em escala (x30), e bifurcação em roll, parte positiva, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Para detalhar o que acontece na figura 4.5, é mostrado a seguir o mapeamento de Poincaré para os modos de heave e pitch, sendo esta uma maneira de notar as suas bifurcações, como também a periodicidade dos modos (heave, pitch). O mapeamento de Poincaré para roll, devido à sua importância no contexto dessas análises, será apresentado com mais detalhe no capítulo 4.2.
A seguir se fará o mapeamento de Poincaré para heave para valores de amplitudes de onda dentro de faixas de diferentes comportamentos, de modo a conferir os valores obtidos e periodicidades observadas no digrama de bifurcação, figura 4.5. Esta análise é para uma sintonia de dois (we/wn4=2.0), e com os mesmos valores
dos parâmetros e condições iniciais (C.I.#01) que as usadas para a análise do diagrama de bifurcação em roll. Na figura 4.6 são mostrados: série temporal, espaço de fase e a seção de Poincaré, os quais nos permitem definir o tipo de comportamento e o número de períodos para as amplitudes de onda estudadas. A figura 4.6 mostra um comportamento em heave com número de períodos igual a um, e uma amplitude máxima para heave de 0.78 m, para uma amplitude de Aw=0.58 m. Na figura 4.7 observamos o mapeamento de Poincaré em heave para o intervalo com coexistência de atratores, com número de períodos igual a três para uma amplitude Aw=0.605 m, e na figura 4.8 é mostrado um comportamento em heave com número de períodos igual a dois para uma amplitude de Aw=0.64 m, pelo que se pode constatar a periodicidade mostrada no digrama de bifurcação, figura 4.5.
Figura 4.6: Série temporal de heave, espaço de fase e seção de Poincaré com número de períodos igual a um, para Aw=0.58 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Figura 4.7: Série temporal de heave, espaço de fase e seção de Poincaré com número de períodos igual a três, para Aw=0.605 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Figura 4.8: Série temporal de heave, espaço de fase e seção de Poincaré com número de períodos igual a dois, para Aw=0.64 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Seguindo a mesma análise, com a finalidade de conferir o diagrama de bifurcação em pitch, será apresentado o mapeamento de Poincaré para pitch, para uma sintonia de dois, e sem mudança nos valores dos parâmetros, e as mesmas condições iniciais que para a análise já mostrada para os demais modos (heave, roll), com o fim de conhecer sua periodicidade para diferentes amplitudes de onda em faixas definidas no diagrama de bifurcação da figura 4.5: na figura 4.9 mostra- se um comportamento em pitch com número de períodos igual a um, para uma amplitude de Aw=0.58 m. Na figura 4.10, temos a coexistência de atratores em pitch com número de períodos igual a três para uma amplitude Aw=0.605 m, e na figura 4.11 temos o comportamento em pitch com número de períodos igual a dois para uma amplitude de Aw=0.64 m, e com número de períodos igual a quatro para uma amplitude de onda igual à Aw=0.67 m, figura 4.12.
Figura 4.9: Série temporal em pitch, espaço de fase e seção de Poincaré com número de períodos igual a um, para Aw=0.58 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Figura 4.10: Série temporal em pitch, espaço de fase e seção de Poincaré com número de períodos igual a três (coexistência de atratores), para Aw=0.605 m,
0 . 2 / n4 = e w w , C.I.#01.
Figura 4.11: Série temporal em pitch, espaço de fase e a seção de Poincaré com número de períodos igual a dois, para Aw=0.64 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Figura 4.12: Série temporal em pitch, espaço de fase e a seção de Poincaré com número de períodos igual a quatro, para Aw=0.67 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
4.1.2 Diagrama de Bifurcação we/wn4 =2.2
Uma vez feita a análise para uma sintonia de dois, se quer saber o que acontece para uma sintonia próxima e como varia a nova estrutura da bifurcação em relação à primeira sintonia. Para isso agora se fará o diagrama de bifurcação da solução das equações mostradas para uma sintonia da freqüência we/wn4 =2.2, as outras condições sendo as mesmas de antes. Obtém-se os diagramas de bifurcação apresentados nas figuras 4.13, 4.14, 4.15, sendo que as figuras 4.14 e 4.15 correspondem a ampliações de regiões do diagrama da figura 4.12. Observa-se que para essa sintonia se tem os pontos de bifurcação para valores menores da amplitude da onda, como também que se chega ao caos para valores de onda menores, na comparação com os diagramas de bifurcação para a sintonia de 2.0.
Tabela 2. Bifurcação para we/wn4 =2.2, C.I.#01
Faixa de Aw (m) Tipo de resposta em roll
0.0000 – 0.5075 Tipicamente linear 0.5076 – 0.5432 Multiestabilidade, 1 período 0.5433 – 0.5530 Multiestabilidade, 2 períodos 0.5531 – 0.5551 Multiestabilidade, 4 períodos 0.5552 – 0.5558 Multiestabilidade, 8 períodos 0.5559 – 0.6000 Caos
Figura 4.13: Diagrama de bifurcação, roll, para we/wn4=2.2, mesmas condições (C.I.#01).
Figura 4.14: Diagrama de bifurcação, roll, ampliação da parte negativa da figura 4.13.
Figura 4.15: Diagrama de bifurcação, roll, ampliação da parte positiva da figura 4.13.
Nos diagramas de bifurcação mostrados anteriormente apresentou-se o fenômeno de multiestabilidade, que será definido e detalhado no capitulo 4.2, mas já neste capítulo de diagramas de bifurcação é importante observar que, como conseqüência da multiestabilidade, mudanças qualitativas na dinâmica do sistema podem resultar de mudanças nas condições iniciais. Agora será mostrado o diagrama de bifurcação com os mesmos valores dos parâmetros utilizados (Fn, GM, ksi) e a mesma sintonia do diagrama de bifurcação da figura 4.13 e com a única mudança das condições iniciais em roll (C.I.#02), nesse caso sendo
5 . 2
0=
φ deg, φ&0 =−0.8deg/s. Na figura 4.16 observa-se uma mudança qualitativa
da dinâmica do sistema com o aparecimento de intermitência de Aw=0.52 m até Aw=0.53 m, como conseqüência direta da mudança das condições iniciais. Apresentando-se já desde Aw=0.5076 m, a alternância de valores pela existência de dois atratores, mostra uma suposta duplicidade de período onde na realidade se tem só um período, e assim como para a existência de dois períodos, mostrando
uma suposta existência de quatro períodos, assim sucessivamente, até atingir o caos, efeito causado pela multiestabilidade.
Figura 4.16: Diagrama de bifurcação, roll, para we/wn4=2.2, C.I.#02.
Na figura 4.13 foi mostrado o diagrama de bifurcação para uma sintonia de
2 . 2
/ n4=
e w
w , onde se tem diferentes tipos de comportamento e suas peculiaridades para cada uma das faixas da amplitude da onda. Na faixa que vai de 0.5 m até 0.6 m se observa a rota para o caos mediante a cascata por duplicação de períodos, Rothman (2005), com início da cascata para menores valores da amplitude da onda em comparação com a sintonia de 2.0. Observam-se as seguintes faixas com diferentes comportamentos: na faixa de Aw (0.0 m – 0.5075 m) tem-se uma resposta de oscilação simétrica para roll, e número de períodos igual a um; na faixa de Aw (0.5076 m – 0.5432 m) tem-se uma resposta em oscilação assimétrica em roll com efeitos de alternância introduzida pela multiestabilidade, com número de períodos igual a um; na faixa Aw (0.5433 m – 0.5530 m), oscilação assimétrica em roll, com efeitos de alternância com número
de períodos igual a dois; na faixa Aw (0.5531 m – 0.5551), oscilação assimétrica em roll, com a presença de alternância na resposta e número de períodos igual a quatro; faixa Aw (0.5552 m – 0.5558 m), oscilação assimétrica em roll com alternância e número de períodos igual a oito, e finalmente temos a faixa de Aw (0.5559 m – 0.6 m) com comportamento caótico para a resposta em roll. Essas diferentes respostas serão analisadas com mais detalhes a seguir no capítulo 4.2.
4.2 Mapeamento de Poincaré
4.2.1 Mapeamento de Poincaré we/wn4 =2.0
Para poder conhecer-se com mais detalhe as respostas em roll mostradas na figura 4.1, a qual foi trabalhada para uma sintonia we/wn4 =2.0, se fará a análise por mapeamento de Poincaré para as diferentes faixas da amplitude da onda, pegando- se uma amplitude da onda característica dentro de cada faixa.
Uma observação importante a realçar é que para a obtenção do mapeamento de Poincaré, tomou-se o duplo do valor do período natural de roll, no qual responde o movimento de roll. É por essa razão que na seção de Poincaré um período é mostrado por dois pontos, já que são tomados os valores positivos e negativos do período natural de roll.
• Intervalo de Aw (0.0 m - 0.6036 m), nesta faixa tem-se uma resposta de oscilação simétrica em roll, e número de períodos igual a um; neste intervalo a resposta em roll tem um comportamento definido, com a amplitude de roll crescendo aproximadamente de maneira linear com a amplitude da onda. Na figura 4.17 ilustra-se o comportamento de roll em oscilação de número de períodos igual a um, com valor da amplitude da onda (Aw) dentro deste intervalo.
Figura 4.17: Série temporal, roll (φmax=17.23°), espaço de fase e seção de
Poincaré com número de períodos igual a um, para Aw=0.5 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
• Intervalo de Aw (0.6037 m - 0.613 m), apresenta uma resposta de oscilação simétrica em roll, e número de períodos igual a três; neste intervalo se mostra a zona de coexistência de atratores. Observa-se na figura 4.18, a ocorrência de três períodos nessa faixa de amplitudes, para C.I.#01.
A faixa com coexistência de atratores tanto tem um comportamento periódico quanto aperiódico, gerado pela órbita periódica estável de número de períodos igual a três. A coexistência de atratores faz a mudança qualitativa das características da oscilação, conectando uma região de oscilação em jogo simétrica a uma oscilação assimétrica, que se apresenta após o final da dita região.
Figura 4.18: Série temporal, roll (φmax=24.18°), espaço de fase e a seção de Poincaré com número de períodos igual a três, para Aw=0.61 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
4.2.1.1 Intermitência
O fenômeno de intermitência em sistemas que apresentam caos manifesta-se na alternância entre comportamentos regulares e irregulares para determinados valores de parâmetros. O mecanismo de intermitência manifesta-se quando o valor do um parâmetro (Aw) de um sistema dinâmico, próximo a um ponto de bifurcação que dá origem a um ciclo limite atrativo, ultrapassa um valor crítico chamado de fronteira de intermitência. Ultrapassado este valor crítico, o sistema responde com uma oscilação regular representada por ciclo limite (laminar
phases) que são intermitentemente interrompidos por intervalos irregulares
(turbulent bursts), vide Hirsch et al. (1982), os quais são observados como uma nuvem de pontos para Aw=0.6125 m do diagrama de bifurcação, figura 4.1, vide Sequeira (2005).
A seguir serão mostradas as séries temporais, espaços de fase e as seções de Poincaré para roll, para valores de amplitude da onda onde foram observadas a intermitência, figuras 4.19 e 4.20, nas quais se pode perceber a oscilação irregular com número de períodos não definido.
Figura 4.19: Série temporal, roll, espaço de fase, e seção de Poincaré, para Aw=0.6125 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Figura 4.20: Série temporal, roll, espaço de fase, e seção de Poincaré, para Aw=0.6129 m, we/wn4 =2.0, C.I.#01.
Neste intervalo de Aw (0.6131 m - 0.6626 m), outro conceito muito importante para poder entender a alternância da resposta da amplitude em roll é a multiestabilidade, que será mais discutida a seguir.
4.2.1.2 Multiestabilidade
É o nome dado para a coexistência de vários estados de equilíbrio dinâmico para um mesmo conjunto de parâmetros. Tais estados podem tanto ser caóticos, quanto regulares (periódicos). Como conseqüência da multiestabilidade, ocorrem mudanças qualitativas na dinâmica do sistema (diagrama de bifurcação) as quais resultam para certos valores das condições iniciais. Multiestabilidade foi observada em vários sistemas, dentre os quais sistemas mecânicos, sistemas biológicos, vide Kraut e Feudel (2002), em geral em sistemas dinâmicos dotados