Antecedentes e Cenário Atual em Dinâmica Não-linear

Nas últimas décadas tem havido um grande desenvolvimento no estudo dos fenômenos não-lineares. Um dos aspectos mais importantes é o do comportamento caótico determinístico. A introdução do conceito de atrator caótico e a noção subjacente de dependência sensitiva às condições iniciais estabelecem uma base para a teoria matemática dos processos caóticos.

A reconstrução das propriedades topológicas de atratores caóticos a partir de séries temporais tem permitido uma interpretação alternativa dos processos caóticos. Poincaré (1890) estudou a dinâmica de um sistema de três corpos, para a resolução de quão estável é o sistema solar. Uma variação do problema dos três corpos, ressaltou que o problema não estava bem estabelecido, e provou que a solução completa não pode ser achada. Ele mostrou que a evolução daquele

sistema é freqüentemente caótico, no sentido de que pequenas perturbações em seu estado inicial levam a uma mudança radical na resposta final.

Lorenz (1963) trabalhou com os fundamentos matemáticos do sistema de equações da meteorologia a partir do modelo de convecção de Rayleigh-Barnard, um dos primeiros trabalhos na teoria do caos; ele propôs e estudou um sistema de equações diferenciais utilizado como protótipo do estado atmosférico. Trata-se de um sistema de três equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:

bZ XY Z XY Y rX Y Y X X − = − − = − − = & & & σ( ) (1.4)

tendo as principais variáveis de estudo um significado físico: X é proporcional à intensidade da convecção, Y è proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente, e Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, vide Fiedler-Ferrara e Prado (1994), com os parâmetros de controle σ (número de Prandtl), r (número de Rayleigh relativo), e b=4/(1+a2). Lorenz observou que esse sistema determinístico pode ter dinâmicas extremamente irregulares para uma grande extensão de parâmetros; a partir de condições iniciais ligeiramente diferentes, a solução oscila irregularmente, nunca repetindo o mesmo estado, mas se mantendo sempre numa região limitada do espaço de fase. Quando plotou as trajetórias, descobriu que se ajustavam num complicado conjunto, figura 1.9, conhecido hoje como atrator estranho. Desde então, inúmeros pesquisadores passaram a estudar o caos determinístico, analisando diferentes sistemas dinâmicos associados a uma série de situações físicas.

Figura 1.9: Atrator de Lorenz, r=45.92, b=4.0, σ=16.0.

Por outro lado, Robert May (1976) investigou um sistema dinâmico relacionado com o crescimento populacional das espécies modelado pela equação matemática: Xi+1=μXi(Xi-1), conhecida como mapa logístico, que avalia a população em um ano

Xi+1, a partir do ano anterior XI, sendo uma equação determinística, cuja situação

futura será determinada pelas condições presentes. O que chamou a atenção de May foi que o comportamento deste mapa varia radicalmente para diferentes valores de μ. O comportamento desse sistema passa de periódico a caótico devido a pequenas variações do parâmetro de controle (μ). Sem dúvida, trata-se de um sistema simples do ponto de vista matemático, mas que possui uma dinâmica muito rica. Na figura 1.10 é mostrado o comportamento aperiódico para μ=3.8, e uma condição inicial X0=0.1 para o mapa logístico.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Xi

Xi+1 curva_logistic

Xi+1=Xi

Com o passar dos anos, inúmeras contribuições relevantes foram proporcionadas por diversos pesquisadores. Dentre eles, vale destacar: Feigenbaum, Smale, Shaw, Duffing, van der Pol, Yorke, Grebogi, Otto, Guckenheimer, Holmes, Moon, Abarbanel, Thompson, Chua.

O principal trabalho de Mandelbrot (1975) foi a proposta de um novo conceito de geometria, que ficou conhecida como geometria fractal. O objetivo desse novo conjunto de objetos foi minimizar o vazio deixado pela geometria Euclidiana com respeito às formas existentes na natureza. Essa nova família de formas geométricas ficou conhecida como fractais, que fornece uma primeira aproximação das estruturas dos objetos físicos. Fractais têm sido observados na natureza em diferentes situações, variando desde formas geométricas às ciências físicas. Basicamente, é possível caracterizar fractais em dois grupos distintos: objetos sólidos e atratores estranhos. Foi em 1975 que o professor Benoit Mandelbrot popularizou os fractais com um livro, que ilustrava os primeiros fractais a serem vistos, vide a figura 1.11. Mandelbrot foi à primeira pessoa que ilustrou os fractais, por isso estes foram nomeados fractais de Mandelbrot. O termo fractal descreve fenômenos matemáticos que exibem, auto-similaridade em várias escalas. Estes fenômenos envolvem a definição de algoritmos ou funções recursivas.

Figura 1.11: Conjunto de Mandelbrot (Campos, 2006).

Na atualidade, diversas áreas do conhecimento têm-se deparado com o caos, dentre as quais vale destacar a engenharia, Mees e Sparrow (1987), Piccoli e Weber (1998), Moon e Stiefel (2006), a medicina, Goldberger et al. (1990),

Câmara (2008), a biologia, Hassel et al. (1991) e a economia, Aguirre e Aguirre (1997).

A aplicação da teoria de caos na ressonância paramétrica em navios é um campo bastante novo; os trabalhos neste caso são poucos, dentre os quais podemos citar:

Umeda et al., (2003) – o trabalho estuda a ressonância paramétrica de um navio porta-contentor em mar de frente, avaliando o momento de restauração como uma função não-linear da amplitude da onda. Apresenta os correspondentes mapeamento de Poincaré, dobradura de períodos e caos e a ocorrência de bifurcação subcrítica, associada à resposta de roll.

Neves e Rodríguez (2007) - neste trabalho é discutida a ressonância paramétrica em mar regular de proa com o uso de um conjunto de equações não-lineares descrito pelos modos acoplados de heave-roll-pitch. O trabalho explora a influência das não-linearidades de terceira ordem, assim como a relevância dos acoplamentos entre os modos verticais e o movimento de roll nos limites de estabilidade. São analisadas as influências das condições iniciais sobre o desenvolvimento das amplificações da resposta de roll, identificando-se a ocorrência do fenômeno do salto.

Bullian e Francescutto (2008) - analisaram o problema da presença de múltiplos estados de estabilidade em ondas longitudinais em mar regular baseado em um modelo analítico para roll desacoplado (1-DOF), por meio da predição analítica e da verificação experimental, pelo qual foi possível determinar analiticamente a região de instabilidade e o estado estável para a amplitude de roll. Apresentaram uma análise das bacias de atração e a sensibilidade às condições, mudando a velocidade do navio, também achando para que valores da velocidade se apresentava o salto dinâmico (jump at fold).