Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de F´ısica Te´oricaDoutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a SEGUNDA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte ´udo
28 Corrente e Resistˆencia 2 28.1 Quest˜oes . . . 2 28.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 2 28.2.1 Corrente el´etrica . . . 2 28.2.2 Densidade de corrente . . . 2 28.2.3 Resistˆencia e resistividade . . . 328.2.4 Energia e potˆencia em circuitos el´etricos . . . 6
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28
Corrente e Resistˆencia
28.1
Quest˜oes
Q 28-1.
No estado estacion´ario n˜ao pode existir nenhuma car-ga livre no interior da superf´ıcie fechada. Portanto, a taxa de variac¸˜ao da carga que entra (corrente que entra) deve ser exatamente igual `a corrente que sai. Ou se-ja, a integral de ao longo da superf´ıcie externa
do corpo ´e igual a zero. Isto ser´a sempre verdade, in-dependentemente do n´umero de condutores que entram ou que saem da superf´ıcie considerada. Como a Lei de Gauss tamb´em pode ser aplicada no estado estacion´ario, conclu´ımos que o fluxo el´etrico tamb´em n˜ao pode variar atrav´es da superf´ıcie externa do corpo.
Q 28-19.
Este aparente paradoxo possui soluc¸˜ao trivial. Vocˆe n˜ao pode comparar situac¸˜oes diferentes, ou seja, vocˆe deve especificar a(s) grandeza(s) que permanece(m) constante(s) em cada situac¸˜ao concreta. Mantendo-se
fixo, a potˆencia varia de acordo com a relac¸˜ao
. Mantendo-se fixo, a potˆencia varia
de acordo com a relac¸˜ao
. Caso ocorra uma variac¸˜ao simultˆanea de e de
, a potˆencia s´o pode
ser determinada mediante o c´alculo integral; neste caso, vocˆe n˜ao poder´a usar nenhuma das duas relac¸˜oes ante-riores.
28.2
Problemas e Exerc´ıcios
28.2.1 Corrente el´etricaE 28-1.
Uma corrente de A percorre um resistor de
du-rante minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos
el´etrons passam atrav´es da secc¸˜ao transversal do resis-tor neste intervalo de tempo?
(a) A carga que passa atrav´es de qualquer secc¸˜ao transversal ´e o produto da corrente e o tempo. Como
minutos correspondem a "!# segundos,
te-mos$% &(') *+ !% ,-!# C.
(b) O n´umero de el´etrons ´e dado por $" /.10 ,
on-de 0 ´e a magnitude da carga de um el´etron. Portanto .2 3$ 04 657-!# C8 59: ; <->=@?9A C8B DC>:E ? el´etrons. E 28-3.
Uma esfera condutora isolada tem um raio de cm.
Um fio transporta para dentro dela uma corrente de
FGHH!H A. Um outro fio transporta uma corrente de FGHHH A para fora da esfera. Quanto tempo levaria
para que o potencial da esfera sofresse um aumento de
-H V?
Suponha que a carga na esfera aumente deIE$ num
tempo I+'. Ent˜ao neste tempo seu potencial aumenta
de I
JIE$
5KHL@MONP8, ondeP ´e o raio da esfera. Isto
significa queIE$% QHL@MON@P)I
. Por´emIE$4 "5Kentra
R
sai8SIT'. Portanto
IT'U IE$ entra R sai L@M N P#I entra R sai 5VW:X m8Y59H V8 5VZ[ \ A F/m 8]59:HH!H A R A8 W: ; \ =_^ s : 28.2.2 Densidade de corrente E 28-5.
Um feixe cont´em!B T` ´ıons positivos duplamente
car-regados por cm^ , todos movendo-se para o norte com
velocidade de ab m/s. (a) Quais s˜ao o m´odulo,
a direc¸˜ao e o sentido da densidade de corrente ? (b)
Podemos calcular a corrente total neste feixe de ´ıons?
Em caso negativo, que informac¸˜oes adicionais s˜ao ne-cess´arias?
(a) A magnitude da densidade de corrente ´e dada por
c
&d@$eHf , onded ´e o n´umero de part´ıculas por unidade
de volume, $ ´e a carga de cada part´ıcula, eeHf ´e a
ve-locidade de deriva das part´ıculas. A concentrac¸˜ao das part´ıculas ´ed g!h i` cm=j^k g!h il?nm m=_^ a carga
´e$; ,!#0T ,!W59: ; oW=p?7A C8q DrS:!H; o>=@?9A C, e a
velocidade de deriva ´e% \
b m/s. Portanto c 5V!E \ ?9m m =j^8Y5srW:t!E \ =@?9A C 8#uG% <- bSvwx W: A/m :
Como as part´ıculas est˜ao carregadas positivamente, a densidade de corrente est´a na mesma direc¸˜ao do mo-vimento: para o norte.
(b) A corrente n˜ao pode ser calculada a menos que a ´area da secc¸˜ao transversal seja conhecida. Se o for, podemos determinar a corrente total usando a equac¸˜aoy
c%z
.
E 28-7.
Um fus´ıvel num circuito el´etrico ´e um fio cujo objetivo ´e derreter-se e, desta forma, interromper o circuito, caso a corrente exceda um valor predeterminado. Suponha que o material que comp ˜oe o fus´ıvel se derreta sempre que a densidade de corrente atingir A/cm
. Qual o diˆametro do condutor cil´ındrico que dever´a ser usado para restringir a corrente aS: A?
A magnitude da densidade de corrente ´e
c 3 {z 5sLpP
8, ondeP ´e o raio do fio. Portanto
P| } L c ~ W:t A L[5KE \ m A/m 8 H:Z+ \ =m m :
O diˆametro ´e a!#P% arW:; <->=m m.
P 28-14.
Um feixe estacion´ario de part´ıculas alfa ($2 !#0 ),
deslocando-se com energia cin´etica constante de !H
MeV, transporta uma corrente de S:! A. (a) Se o
feixe for dirigido perpendicularmente contra uma perf´ıcie plana, quantas part´ıculas alfa atingir˜ao a su-perf´ıcie em r segundos? (b) Num instante qualquer,
quantas part´ıculas existem em !# cm de
comprimen-to do feixe? (c) Qual foi a diferenc¸a de potencial ne-cess´aria para acelerar cada part´ıcula alfa, a partir do re-pouso, levando-a a uma energia de!# MeV?
(a) A corrente transportada ´e dada por) a!>:t E>=j
C/s. Uma vez que cada part´ıcula transporta uma carga igual a!#0 , o n´umerod de part´ıculas que atingem a
su-perf´ıcie em trˆes segundos ´e dado por
d ' !H0 W:t!H+ <->=j4 ir !E \H: ; \ =@?9A *!>:r#; <- ? part´ıculas:
(b) Seja. o n´umero de part´ıculas existentes no
compri-mento g!H cm do feixe. A corrente ´e dada por
$ ' !H0. e !#0-e. e, portanto, . n !H0e :
Para determinar este valor de. falta-nos apenas
deter-minar a velocidadee . Para tanto, note que a massa de
uma part´ıcula ´e dada por
v Q v , onde v ´e a mas-sa do pr ´oton. Umas-sando o fator de convers˜ao do apˆendice F para passar MeV para Joules, temos:
,5V!#8]57H: H!+ \ =p?7^ 8 v e !
Explicitandoe e substituindo os dados num´ericos,
obte-mos o seguinte resultadoe; arW:HZ) % m/s. Note que
nestes c´alculos usamos as f´ormulas cl´assicas; se vocˆe desejar aplicar as f´ormulas relativ´ısticas, dever´a consul-tar o Cap´ıtulo 42 do livro-texto. Substituindo este valor na express˜ao de. acima, encontramos facilmente:
. aW:T \ ^ part´ıculas no feixe : (c) Como a , o potencial
solicitado ´e dado por
!H10 !#0 !#; \H: HE \ =p?7^ !E \H: E <- =@?9A M Volts: 28.2.3 Resistˆencia e resistividade E 28-17.
Um fio condutor tem diˆametro de mm, um
compri-mento de ! m e uma resistˆencia de #
v
. Qual ´e a
resistividade do material?
A ´area da secc¸˜ao transversal ´e
z QL4P aL[5sW:tE \ =j^ m 8 *C>:T \ =_ m :
Portanto, a resistividade ´e
\z 5#; \ =j^ q8]5C>:E <- =j m 8 ! m !E \ =_` m: E 28-18.
Uma pessoa pode ser eletrocutada se uma corrente t˜ao pequena quanto# mA passar perto do seu corac¸˜ao. Um
eletricista que trabalha com as m˜aos suadas faz um bom contato com os dois condutores que est´a segurando. Se a sua resistˆencia for igual a!HHH , de quanto ser´a a
voltagem fatal?
Como a diferenc¸a de potencial
e a corrente
est˜ao relacionadas por
, onde
´e a re-sistˆencia do eletricista, a voltagem fatal ´e
5VH W=_^ A8]5V!HH4q8 , V.
E 28-19.
Uma bobina ´e formada por!HH voltas de um fio de
co-bre n 16 (com diˆametro deH:r mm) isolado numa ´unica
camada de forma cil´ındrica, cujo raio mede-! cm.
De-termine a resistˆencia da bobina. Despreze a espessura do material isolante.
A resistˆencia da bobina ´e dada por
{z , onde
´e o comprimento do fio,
a resistividade do cobre, e
z
´e a ´area da secc¸˜ao transversal do fio. Como cada volta do fio tem comprimento!LpP , ondeP ´e o raio da bobina,
,5V!#8Y5V!#LpP8B D5V!#8]5V!#L8]5VW:X-! m8 DW:t m:
SendoP o raio do fio, a ´area da sua secc¸˜ao transversal
´ez ,LpP DL5VW: [ o->=j^ m8 H:rHr o>=j m . Da Tabela 28-1 tiramos que a resistividade do cobre ´e
H: HZE \W=_` m. Portanto, finalmente,
z 57H: HZE <- =j` m8Y59-HW:t m8 H:rHrE \ =_ m *!>:h: E 28-27.
Um fio cuja resistˆencia ´e igual a \ ´e esticado de tal
forma que seu novo comprimento ´e trˆes vezes seu com-primento inicial. Supondo que n˜ao ocorra variac¸˜ao na resistividade nem na densidade do material durante o processo de esticamento, calcule o valor da resistˆencia do fio esticado.
Como a massa e a densidade do material n˜ao mudam, seu volume tamb´em permanece o mesmo. Se N
repre-sentar o comprimento original, o novo comprimento,
z
N a ´area original da secc¸˜ao transversal, e
z
a ´area da nova secc¸˜ao transversal, ent˜aoN
z N4 a z e z N z N N z N rN z N r :
A nova resistˆencia ´e
z rN z N r aZ N z N aZ N F onde
N ´e a resistˆencia original. Portanto
aZ; i & a#Th:
P 28-30.
Dois condutores s˜ao feitos do mesmo material e tˆem o mesmo comprimento. O condutor
z
´e um fio s´olido e tem mm de diˆametro. O condutor ´e um tudo oco
de diˆametro interno de mm e de diˆametro externo de!
mm. Quanto vale a raz˜ao entre as resistˆenciashh
medidas entre as suas extremidades?
A resistˆencia do condutor
z
´e dada por
¡ LpP F ondeP
´e o raio do condutor. SendoP-¢ eP-£ os raios
in-terno e exin-terno, respectivamente, do condutor , temos
para sua resistˆencia a equac¸˜ao
¡ L5KP £ R P ¢ 8 :
A raz˜ao procurada ´e, portanto,
P £ R P ¢ P 59H: mm8 R 5VW:t mm8 5VW:t mm8 W:¤C# W:t!H arS: P 28-36.
Quando uma diferenc¸a de potencial deH V ´e aplicada
atrav´es de um fio cujo comprimento mede m e
cu-jo raio ´e de W:r mm, a densidade de corrente ´e igual a :% -#m A/m
. Determine a resistividade do condutor.
Use c ¦¥
, onde ¥ ´e a magnitude do campo
el´etrico no fio,c
´e a magnitude da densidade de corren-te, e
´e a resistividade do material. O campo el´etrico ´e dado por¥§
, onde
´e a diferenc¸a de potencial ao longo do fio e ´e o comprimento do fio. Portanto
c 5s 8 e c V 59- m8]57H:[ <- m A/m ) W:t!E <- =_m m:
P 28-41.
Quando uma barra met´alica ´e aquecida, varia n˜ao s´o sua resistˆencia, mas tamb´em seu comprimento e a ´area de sua sec¸˜ao transversal. A relac¸˜ao
{z
sugere que todos os trˆes fatores devem ser levados em conta na medida de
em temperaturas diferentes. (a) Quais s˜ao, para um condutor de cobre, as variac¸˜oes percen-tuais em
, a
z
quando a temperatura varia de grau
cent´ıgrado. (b) Que conclus˜oes podemos tirar da´ı? O coeficiente de dilatac¸˜ao linear do cobre ´e H:¤C a->=_b
por grau cent´ıgrado.
(a) Seja I+¨ a variac¸˜ao de temperatura e © o
coe-ficiente de expans˜ao linear do cobre. Ent˜ao, I+ª © IT¨ e IE ©«I+¨ 59:tC+ \ =_b 8q I+¨a D:+ \ =jb W:HSCh¬ :
Agora, como sabemos que a ´areaz
´e proporcional a
, qualquer que seja o valor da constante de proporcionali-dade, temos sempre que
I z z !HIE *! I+ g!©«I+¨: Como 5 FGF z
8, uma variac¸˜ao arbitr´aria de
´e dada por I ® I %¯ I+ ¯ zI z : Da relac¸˜ao {z
obtemos facilmente que
z F z§ F z R z R z :
Al´em disto, da Eq. 28-16, pg. 120, sabemos que
I
°I+¨ , onde ´e o coeficiente de temperatura
da resistividade do cobre que, segundo a Tabela 28-1, pg. 119, ´e dado por &:r; \W=_^ por grau. Portanto
I ¯ IE R I z z 5s ¯ © R !©y87I+¨ 5s R ©«87I+¨ 5sS:r; <- =j^ R W:WCT <- =_^ 8± < S:l!#%¬ ² S:r4¬ :
(b) A mudanc¸a percentual na resistividade ´e muito maior que a mudanc¸a percentual no comprimento e na ´area. Mudanc¸as no comprimento e na ´area afetam a re-sistˆencia muito menos do que mudanc¸as na resistivida-de.
P 28-42.
Um resistor tem a forma de um tronco circular reto (Fig. 28-20). Os raios da base s˜ao³ e´ e a altura ´e .
Para uma inclinac¸˜ao suficientemente pequena, podemos supor que a densidade de corrente ´e uniforme atrav´es de qualquer sec¸˜ao transversal. (a) Calcular a resistˆencia deste objeto. (b) Mostre que sua resposta se reduz a
]z
para o caso especial´± g³ .
(a) Em cada secc¸˜ao do cone circula uma mesma cor-rente, por´em a densidade
c
´e diferente. Chamando de
µ
a distˆancia a partir da face superior do cone, pode-mos expressar o campo el´etrico ¥ 5
µ
8 em cada secc¸˜ao
em func¸˜ao da corrente e us´a-lo para achar a diferenc¸a
de potencial total
atrav´es do cone. Ent˜ao, a resistˆencia ser´a
B .
Assumindo que a densidade
c
de cada secc¸˜ao ´e unifor-me podemos escrever [ ·¶ c z ¸LpP c , ondeP
´e o raio da secc¸˜ao. Sabemos ainda que c ¸¥ 5 µ 8 . Portanto, aLpP ¥ 5 µ 8 , de onde obtemos ¥ 5 µ 8 & 5KLpP 8{:
O raioP cresce linearmente com a distˆancia
µ , deP% a³ paraµ ¹ , at´eP< ¹´ para µ º . Assim sendo, da
equac¸˜ao da reta que passa por estes pontos, encontra-mos P>5 µ 8B g³ ¯ ´ R ³ µ
que, realmente, paraµ
a forneceP g³ enquanto que
paraµ
1 fornecePE ,´. Substituindo este valor deP
na express˜ao acima para o campo temos
¥ 5 µ 8B L¹» ³ ¯ ´ R ³ µS¼ = :
A diferenc¸a de potencial ´e ent˜ao dada por
R¾½o¿ N ¥ 5 µ 8) µ R LÀ» ³ ¯ ´ R ³ µ ¼ = µ
L ´ R ³ » ³ ¯ ´ R ³ µW¼ =p?>Á Á Á ¿ N L ´ R ³ » ³ R ´ ¼ L ´ R ³ ´ R ³ ³>´ L@³>´ :
Com isto tudo, segue facilmente que a resistˆencia ´e
L@³>´ : (b) Para´q Q³ temos L@³ z F onde z ÂL@³
´e a ´area do cilindro ao qual o cone se reduz, coincidindo neste caso com a Eq. 28-15 da pag. 119, como era de se esperar.
28.2.4 Energia e potˆencia em circuitos el´etricos
E 28-44.
Um estudande deixou seu r´adio port´atil deZ V e C W
ligado dasZ horas `asY horas. Que quantidade de carga
passou atrav´es dele?
A corrente que circulou no r´adio era de
C Z aW:¤C Amp`eres:
Portanto, a quantidade de carga que passou atrav´es do radio em horas ´e
$% Q(')
C
Z
5V[ ir HH segundos8 DY kCoulombs:
E 28-45.
Um determinado tubo de raios-X opera na corrente deC
mA e na diferenc¸a de potencial de kV. Que potˆencia
em Watts ´e dissipada?
A potˆencia dissipada pelo tubo de raios-X ´e
D Q gC+ \ =j^ \5VH; \ ^ 8 gH H W: E 28-46.
A taxa de dissipac¸˜ao de energia t´ermica num resistor ´e igual a W quando a corrente ´e der A. Qual ´e o valor
da resistˆencia envolvida?
Da f´ormulaº J
obtemos que a resistˆencia en-volvida ´e -H r 1H:XHqh: E 28-48.
Uma diferenc¸a de potencial de !# V ´e aplicada a um
aquecedor cuja resistˆencia ´e de , quando quente.
(a) A que taxa a energia el´etrica ´e transformada em ca-lor? (b) A centavos por kWh, quanto custa para
ope-rar esse dispositivo durante horas?
(a) A taxa de transformac¸˜ao de energia el´etrica em calor ´e 1 -!H Y D-!H W ² kW:
(b) o custo de operac¸˜ao do dispositivo ´e Custo kW à horas
centavos
kWhora !H centavos:
P 28-56.
Um aquecedor de -!HH W ´e cosntruido para operar sob
uma tens˜ao de H V. (a) Qual ser´a a corrente no
aque-cedor? (b) Qual ´e a resistˆencia da bobina de aquecimen-to? (c) Que quantidade de energia t´ermica ´e gerada pelo aquecedor em hora?
(a) A corrente no aquecedor ´e
y -!# H D-W:C A:
(b) A resistˆencia da bobina de aquecimento ´e
- S:lC ,S:HhhÄ -!HH 59!H# -H8 - -!# S:Hhh:
(c) A quantidade de energia t´ermica gerada ´e
¥, a*') D-!#E ir H4 aS:t+ <- J
P 28-58.
Um aquecedor de Nicromo dissipa # W quando a
diferenc¸a de potencial aplicada ´e de H- V e a
tempe-ratura do fio ´e H C. Qual ser´a o valor da potˆencia
dissipada se a temperatura do fio for mantida em!#H C
pela imers˜ao num banho de ´oleo? A diferenc¸a de poten-cial permanece a mesma e o valor de para o Nicromo
aHH C ´e[ <->=_m
C.
Seja¡Å
a resistˆencia na temperatura mais alta (H)
e seja
¿
a resistˆencia na temperatura mais baixa (!#H ). Como a ddp ´e a mesma para as duas
tempe-raturas, a potˆencia dissipada na temperatura mais baixa ´e ¿ T - ¿ e, analogamente, Å T -#¡Å . Mas ¿ ¡Å ¯ hÅ
I+¨ , ondeI+¨a Q¨
¿ R ¨ Å R H . Portanto ¿ ¡Å ¡Å ¯ hÅ I+¨ Å Å ¯ IT¨ # ¯ 5s \ =_m 8]5 R H8 Q H W: P 28-60.
Um acelerador linear produz um feixe pulsado de el´etrons. A corrente do pulso ´e deS: A e a sua durac¸˜ao
´e deS:Æ-E s. (a) Quantos el´etrons s˜ao acelerados por
pulso? (b) Qual ´e a corrente m´edia de uma m´aquina operando a# pulsos por segundo? (c) Se os el´etrons
forem acelerados at´e uma energia de # MeV, quais
ser˜ao as potˆencias m´edia e de pico desse acelerador?
(a) A carga $ acelerada em cada pulso ´e dada por $T g('B *W:tE o5sW:X W=_Y8 1E >=j` C. Portanto,
o n´umero. de el´etrons acelerados ´e
. $ 0 ' 0 E \W=_` C H: E <- =p?7A C rW:X-! \ ?G? el´etrons :
(b) A carga total que passa numa secc¸˜ao qualquer do fei-xe durante um intervalo de tempoÇ ´e1 ad@$Ç , onded
´e o n´umero de pulsos por unidade de tempo e$ ´e a carga
em cada pulso. Assim, a corrrente m´edianÈ por pulso ´e
È Ç &d$4 "5VHH w =p? 8]5V[ <- =_` C 8 g!q A:
(c) A voltagem aceleradora ´e
i
0 , onde
´e a energia cin´etica final de um el´etron. Portanto
0 # MeV -0 a# M Volts:
Com isto, a potˆencia por pulso ´e
1 Q
aW:tE \5#; \
8 g! MWF
que ´e a potˆencia de pico. A potˆencia m´edia por pulso (i.e. por segundo) ´e
È Q È !H+ \ =j H; <- -!# W ² :r kW:
