Conjectura FPm para grupos metabelianos em dimensões pequenas

(1)

Conjectura F P

m

para Grupos Metabelianos

em dimens˜

oes pequenas.

Daniel Cariello

ra015757@ime.unicamp.br

Prof. Dra. Dessislava Hristova Kohloukova

desi@ime.unicamp.br

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matem´

atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜

ao Cient´ıfica

Departamento de Matem´

atica

Caixa Postal 6065

CEP: 13081-970; Campinas, S˜

ao Paulo

Matem´

atica

Agosto 2006 - Agosto 2008

(2)

dimens˜

oes pequenas.

Este exemplar corresponde `a

reda¸cão final da disserta¸cão devi-damente corrigida e defendida por Daniel Cariello e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 17 de setembro de 2008.

Banca Examinadora:

1. Prof.(a). Dr(a). Dessislva Hristova Kochloukova; 2. Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura;

3. Prof. Dr. Vitor de Oliveira Ferreira.

Disserta¸cão apresentada ao Insti-tuto de Matemática, Estat´ıstica e Computa¸cão Cient´ıfica, UNI-CAMP, como requisito parcial

para obten¸c˜ao do T´ıtulo de

MESTRE em Matem´atica.

(3)

(4)

aprovada pela Banca Examinadora composta pelos Professores

Doutores

(5)

E faz a febre em mim de navegar S´o encontrar´a de Deus na eterna calma O porto sempre por achar. ”

(Fernando Pessoa - Padr˜ao )

(6)

Agradecimentos!

Agrade¸co sinceramente ao seu Sergio, a dona Angela e a Raquel. Reconhe¸co em mim um pouco de cada um de vocês. Se não fosse pela paciência que aprendi com você, pai, eu não conseguiria insistir tanto em resolver os problemas aos quais me dedico. Mãe, muito obrigado pela sua generosidade, o que você ensinou me permitiu fazer bons amigos. Aprecio muito o seu senso de humor, minha irmã. Ele sempre me faz rir da maioria das coisas que me incomodam.

Outra pessoa a quem devo muito ´e a Fernandinha. Apesar de serem pequenos, nunca

encontrei tamanha ternura em outros olhos. Você que aguenta minhas piadas sem gra¸ca, minhas reclama¸cões e até minha presen¸ca meio alterada, se tornou uma pessoa muito

importante na minha vida. Eu n˜ao consigo lembrar de nenhum momento espec´ıfico

en-gra¸cado com vocˆe, porque todos os dias a gente se mata de rir.

Muito obrigado Angela, Aya, 19, Wanderson, Derivaldo, Celso, Yu, Chris, Lonardo, Nataly, Janusz. Agrade¸co as suas amizades. Voem ´Aguias, Voem!

Agrade¸co à Unicamp e ao Imecc por me acolherem. Apesar ter aprendido matemática resolvendo problemas e ter conviçcão de que as aulas só me atrapalham, agrade¸co aqueles

professores que se dedicaram ao ensino. O ´unico motivo que me prende ao estudo da

matemática não é a sua beleza, a sua certeza ou a sua lógica, mas a possibilidade de participar disso tudo. Nunca tive ambi¸cão de ser mestre, nem doutor, mas nunca consegui substituir a satisfa¸cão de encontrar a solu¸cão de um problema após ficar meses pensando no mesmo e por isso continuo estudando matemática.

Agrade¸co a professora Dessislava pela orienta¸c˜ao, pelo projeto e a Fapesp por ter concedido a bolsa.

(7)

Resumo

Esse trabalho ´e sobre a conjectura F Pm para grupos metabelianos, para m = 2, 3.

Es-tudamos a conjectura e o invariante homol´ogico Σ0_{(Q, M ).} _{Uma das implica¸c˜}_{oes da}

conjectura F P2 est´a demonstrada no cap´ıtulo 4, para o caso do grupo metabeliano ser

ex-tensão cindida. No último cap´ıtulo damos um idéia de como estender essa demonstra¸cão

para demonstrar o mesmo resultado em dimens˜ao 3.

Palavras-Chave: Grupos Metabelianos, Grupos do tipo F Pm, ´Algebra Homol´ogica.

(8)

Abstract

This work is about the F Pm-conjecture for metabelian groups, when m = 2, 3. We study

the conjecture and the homological invariant Σ0_{(Q, M ). One of the implications of the}

F P2-conjecture is proved in chapter 4, when the metabelian group is a split extension. In

the last chapter, we expose some ideas to extend our proof to dimension 3.

Key-words: Metabelian Groups, Groups of type F Pm, Homological Algebra.

(9)

Sum´

ario

1 Propriedades Homol´ogicas de Grupos 5

1.1 Grupos Livres . . . 5

1.2 M´odulos, Complexos e Resolu¸c˜oes . . . 7

1.3 Propriedade F Pm . . . 12

1.4 Grupos do tipo F Pm . . . 15

1.5 Apˆendice do cap´ıtulo 1. . . 19

2 Grupos Metabelianos 20 2.1 Grupos Metabelianos . . . 20

2.2 An´eis e M´odulos Noetherianos . . . 21

2.3 Os invariantes Σm_{(Q; M ).} _{. . . .} ₂₅

2.4 Exemplo de Σ0(Q, M ) . . . 29

2.5 Conjectura F Pm . . . 31

2.6 Redu¸c˜_{ao ao caso Q ' Z}n _{. . . .} ₃₂

2.7 Lema Geom´etrico . . . 32

3 Uma Resolu¸c˜ao Livre 35 3.1 A Resolu¸c˜_{ao Parcial de Z. . . 35}

3.2 Defini¸c˜ao de ∂1 . . . 37

(10)

3.3 Derivada de Fox . . . 37 3.4 A Exatid˜ao de F em Dimens˜ao 1. . . 39

4 A Conjectura F P2 para G = M o Q 41

4.1 Um Corolário do Lema Geométrico . . . 41 4.2 Uma demonstra¸cão para 2-manso ⇒ F P2. . . 44

4.3 Apˆendice do Cap´ıtulo 4 . . . 48

5 Sobre a Conjectura F P3 51

5.1 Teoria de Bieri-Renz . . . 52 5.2 Defini¸c˜ao de ϕd(eaeb) para um caso particular . . . 53

(11)

Introdu¸

c˜

ao:

Freqüentemente aparecem contribui¸cões de topologia algébrica à álgebra. Elas ocorrem principalmente através da álgebra homológica que tem um papel fundamental na teoria de homologia para espa¸cos topológicos, como os CW-complexos.

As ferramentas fundamentais da álgebra homológica são os complexos, as resolu¸cões de módulos, seqüências longa de homologia. Essa última é a ferramenta básica para o cálculo de homologia.

Através das resolu¸c˜_{oes do ZG-módulo trivial Z foi poss´ıvel estender a teoria de} homolo-gia para um grupo G, mas para a defini¸cão não depender de uma resolu¸cão em particular foi importante considerar apenas resolu¸cões projetivas.

A existência de resolu¸cões projetivas parciais (finitas) para módulos se mostrou uma propriedade importante para caracterizá-los. Se um módulo M possui resolu¸cão projetiva de comprimento m, constitu´ıda de módulos finitamente gerados então dizemos que M tem tipo F Pm. Essa propriedade F Pm se estende a grupos, como será visto na se¸cão 1.4.

A propriedade F Pm foi definida primeiro por R. Bieri e B. Eckmann na d´ecada de 70.

Ela é uma versão homológica de uma propriedade homotópica anteriormente definida por C. Wall.

A conjectura F Pmsugere uma rela¸c˜ao entre a propriedade F Pmpara grupos metabelianos

finitamente gerados, que são extensões de dois grupos abelianos, com o invariante ho-mológico Σ0 definido na se¸cão 2.3. O interessante sobre a conjectura é que o tipo de extensão não é importante. Portanto a conjectura sugere que a propriedade F Pm para

um grupo G, tal que existe uma seq¨uˆencia exata

1 → M → G → Q → 1

com M e Q abelianos e G finitamente gerado, depende somente da estrutura de M como ZQ-m´odulo via conjuga¸c˜ao por Q.

Esta disserta¸c˜ao de mestrado ´e um estudo da conjectura F Pmpara grupos metabelianos

(12)

finitamente gerados, com enfoque na conjectura F P2 para extens˜oes cindidas. A

conjec-tura F P2 foi provada em [2] embora a conjectura F Pm foi sugerida apenas em [7].

Poste-riormente alguns casos da conjectura foram provados. Por exemplo em [1], a conjectura F Pm foi demonstrada para um grupo G metabeliano de posto de Pr¨ufer finito. Dizemos

que um grupo tem posto de Prüfer finito se existe um número natural d tal que cada subgrupo finitamente gerado de G pode ser gerado com d geradores. No artigo [11] foi demonstrado para um grupo G, como o da seqüência exata da página anterior, que se a extens˜_{ao for cindida ou se existir n ∈ N tal que nM = 0 então metade da conjetura vale:} G tem tipo F Pm então M é m-manso (Ver página 32). Ainda mais se existir n ∈ N tal

que nM = 0 e a dimens˜_{ao de Krull de M como ZQ-módulo é 1, então a outra dire¸cão da} conjectura também vale: M é m-manso então G tem tipo F Pm.

A conjectura F P3 para extens˜ao cindida foi demonstrada por R.Bieri e J.Harlander

em [3]. Eles utilizaram métodos homotópicos. No último cap´ıtulo mostramos uma idéia de como construir uma demonstra¸cão homológica da conjectura F P3 , continuando no

mesmo caminho da demonstra¸c˜ao que apresentamos para a conjectura F P2, para o caso

cindido.

A se¸cão sobre grupos está baseada no cap´ıtulo 1 do livro [9]. A parte que diz respeito a módulos e resolu¸cões está baseada pricipalmente no livro [12]. As se¸cões que falam sobre a propriedade F Pm e os resultados referentes a ela, foram baseados no livro [8]. O lema

geom´etrico e o resultados sobre o invariante Σ0_{(Q, M ) foram retirados do artigo [2].}

No cap´ıtulo 1 se encontram as defini¸c˜oes sobre m´odulos e grupos F Pm. No cap´ıtulo 2

se encontram alguns resultados sobre o invariante Σ0 e a defini¸cão da conjectura. Nesse cap´ıtulo também se encontra demonstrado o lema geométrico, que tem papel fundamental na demonstra¸cão da conjectura F P2. No cap´ıtulo 3 apresentamos um complexo exato de

comprimento 3, que foi utilizado no cap´ıtulo 4 para demonstrar uma das implica¸cões da conjetura F P2, quando o grupo metabeliano é extensão cindida. Finalmente, no quinto

cap´ıtulo foram apresentadas algunas id´eias de como estender essa demonstra¸c˜ao para a conjectura F P3.

(13)

Cap´ıtulo 1

Propriedades Homol´

ogicas de

Grupos

1.1 Grupos Livres

Defini¸c˜ao 1.1 Seja A um conjunto, G um grupo e i : A → G uma fun¸c˜ao. O par (G, i) ´

e livre em A se para cada grupo H e fun¸c˜ao f : A → H existe um ´unico homomorfismo ϕ : G → H tal que f = ϕi.

Teorema 1.1 Para todo conjunto A existe um grupo F(A) e uma fun¸c˜ao i : A → F (A)

tal que o par (F (A), i) ´e livre em A.

Demonstra¸cão: Seja M (A) o conjunto de todas as seqüências finitas (ai1, ..., ain) de

ele-mentos de A, para n ≥ 0 (n = 0 corresponde a seqüência vazia). Defina a multiplica¸cão em M (A) por

(ai1, ..., ain)(aj1, ..., ajm) = (ai1, ..., ain, aj1, ..., ajm).

Essa multiplica¸cão é associativa e tem como unidade a seqüência vazia denotada por 1. Portanto M (A) é um monóide.

Seja A um conjunto em bije¸cão com A, tal que A ∩ A é vazio. Essa bije¸cão manda a em a, denotamos a por a−1. O conjunto M (A ∪ A) é chamado de palavras de A. Seja w a palavra a1

i1...a

n

in, onde s = ±1. Dizemos que n ´e comprimento da palavra e a

r

ir s˜ao as

letras de w.

(14)

A palavra w ´e dita reduzida se para 1 ≤ r ≤ n − 1 ou ir+1 6= ir ou ir+1 = ir, mas

r+1 6= −r. Por defini¸c˜ao a palavra vazia ´e reduzida.

Se w n˜ao ´e reduzida escolha r tal que air = air+1 e r+1 = −r. Seja w

0 _{a palavra}

obtida de w deletando o par ar

ir e a

r+1

ir+1. Dizemos que w

0 _{foi obtida de w por uma redu¸c˜}_ao

elementar. Se w00é obtida de w por uma série de redu¸cões elementares então dizemos que w00 foi obtida de w por redu¸cão (w00 pode ser w).

Dizemos que w é equivalente a w0 se e somente se w é idêntica a w0 ou existe uma seqüência de palavras w1, ..., wk tal que w1 = w e wk = w0 e para todo j < k ou wj+1 vem

de wj por uma redu¸cão elementar ou o contrário. Isso é uma rela¸cão de equivalência em

M (A ∪ A), denotamos a classe de w por [w] e conjunto das classes de equivalˆencia por F (A).

Se u é equivalente a u0 e w a w0 então uw é equivalente a u0w0. Assim temos que a multiplica¸cão [u][v] = [uv], em F (A), está bem definida. É poss´ıvel notar que ela é associativa e tem identidade [1]. Se w = a1

i1...a n in, denotamos por w −1 _{= a}−1 in ...a −n i1 . ´E

fácil notar que ww−1 é equivalente a 1. Portanto todo elemento em F (A) tem inverso provando que F (A) é grupo.

Agora seja G um grupo e f : A → G uma fun¸c˜ao. Podemos estender f a M (A ∪ A)

definindo f (a1 i1...a n in) = f (ai1) 1_{...f (a} in)

n_{. ´}_{E claro que se w}0 _{vem de w por um redu¸c˜}_ao

elementar então eles têm a mesma imagem. Portanto se w é equivalente a w0 então f (w) = f (w0). Essa fun¸cão induz ϕ : F (A) → G definida por ϕ([w]) = f (w) . É obvio que ϕ é homomorfismo de grupos e que f (x) = ϕi(x), onde i : A → F (A) é a fun¸cão i(a) = [a]. Como i(A) gera F (A) então só pode existir um homomorfimo de F (A) em G com as imagens de i(A) definidas por i(a) → f (a) = ϕ(i(a)). Portanto ϕ é ´_unico.

Defini¸c˜ao 1.2 Dizemos que um grupo G ´e livre se existir um conjunto A tal que F (A) ' G.

Defini¸c˜ao 1.3 Seja G um grupo, A um conjunto e ϕ : F (A) → G um epimorfismo.

Então ϕ(A) é chamado de conjunto de geradores de G. Denotamos apenas G = hϕ(A)i. Se existir A finito e ϕ : F (A) → G um epimorfismo então dizemos que G é finita-mente gerado.

Defini¸c˜ao 1.4 Seja S um subconjunto de um grupo H, denotamos por hSi o menor

sub-grupo de H (com respeito à inclusão) que contém S.

Denotamos hSiH por fecho normal de hSi em H, o menor subgrupo normal de H que

(15)

Defini¸c˜ao 1.5 O grupo dos comutadores [G, G] ´e o subgrupo de G gerado por {[g1, g2] =

g1g2g1−1g −1

2 } onde g1, g2 ∈ G.

Lema 1.1 Seja G um grupo gerado por um conjunto A. Ent˜ao o subgrupo dos

comu-tadores de G ´e gerado por {[ai, aj]g | ai, aj ∈ A, g ∈ G}. Onde [ai, aj] = aiaja−1i a −1 j e

hg _{= g}−1_hg.

Demonstra¸c˜ao: Sejam g1, g2 ∈ G ent˜ao g1 = a11...ass, onde ai ∈ A e i = ±1. Defina

g1 = a11g10. Obtemos [g1, g2] = g1g2g−11 g −1 2 = a 1 1 g01g2g0−11 a −1 1 g −1 2 = = (a1 1 g10g2g10−1g −1 2 a −1 1 )a 1 1 g2a −1 1 g −1 2 = [g10, g2]a −1 1 [a1 1 , g2].

Por indu¸cão no número de elementos de A que compõem g1 temos que [g10, g2] é produto

de elementos do tipo {[aj

j , g2]g | 1 ≤ j ≤ s, g ∈ G}. Agora [aj j , g2] = a j j g2a −j j g −1 2 = [g2, a −j j ] a−j_j

Pelo mesmo racioc´ınio [g2, a −j j ] ´e produto de [b ρi i , a −j j ]g, 1 ≤ i ≤ α, onde g2 = bρ11...bραα, bi ∈ A e ρi = ±1.

Com isso obtemos que [G, G] = h{[ai

i , a j

j ]g | ai, aj ∈ A, i = ±1}i.

Mas note que

[a−1_i , a−1_j ] = [ai, aj]ajai, [a−1i , aj] = [aj, ai]ai, [aj, a−1i ] = [ai, aj]ai.

Isso prova que [G, G] = h{[ai, aj]g | ai, aj ∈ A, g ∈ G}i.

Defini¸c˜ao 1.6 Seja A ´e um conjunto finito e ϕ : F (A) → G um epimorfismo. Se o

Núcleo de ϕ = hSiF (A), com S finito, dizemos G é finitamente apresentável.

1.2 M´

odulos, Complexos e Resolu¸

c˜

oes

Defini¸cão 1.7 Se R é um anel associativo com unidade então um R-módulo à direita M ´

e um grupo abeliano aditivo para o qual existe uma fun¸c˜ao M × R → M , denotada por (m, r) = mr, que satisfaz

(16)

1. (m + m0)r = mr + m0r; 2. m(r + r0) = mr + mr0; 3. m(rr0) = (mr)r0; 4. m1 = m;

onde m, m0 ∈ M e 1, r, r0 _{∈ R.}

Uma fun¸cão f : M → N entre R-módulos à direita M, N é um homomorfismo ou um

mapa se f (m + m0) = f (m) + f (m0) e f (mr) = f (m)r.

Observa¸cão: As defini¸cões apresentadas a seguir consideram sempre os módulos como módulos à direita, em geral isso não é importante. Elas podem ser definidas com módulos `

a esquerda.

Defini¸cão 1.8 Sejam P0,P , P00 R-módulos à direita e

P0 f→ P → Pg 00

mapas entre R-módulos. Dizemos que o par de mapas f, g é exato em P se a imagem de f é igual ao núcleo de g. A seqüência de mapas (pode ser infinita)

... → Pn+1 fn+1 → Pn fn → Pn−1 → ... ´

e exata em dimensão n se o par fn, fn+1 é exato. Dizemos que a seqüência é exata se

ela for exata em qualquer dimens˜ao.

Se a seqüência não for exata, mas a imagem de fn+1 estiver contida no núcleo de fn

para todo n, dizemos que essa seqüência é um complexo de R-módulos.

Defini¸cão 1.9 Seja {Aj | j ∈ J} uma fam´ılia de R-módulos à direita. Dizemos que o

produto direto Q Aj dos Aj ´e o m´odulo formado pelo produto cartesiano dos Aj, com as

opera¸c˜oes

(aj) + (bj) = (aj + bj),

(aj)r = (ajr).

Defini¸c˜ao 1.10 Dizemos que a soma direta L

jAj dos Aj ´e o subm´odulo de Q Aj que

(17)

Teorema 1.2 Sejam A e {Aj | j ∈ J} R-módulos à direita. Então A '

L

jAj se e

somente se existem mapas λj : Aj → A tais que dado um R-m´odulo X e qualquer fam´ılia

de mapas fj : Aj → X existe um ´unico mapa ϕ : A → X tal que ϕλj = fj para todo

j ∈ J .

Demonstra¸c˜ao: Se A = L

jAj então sejam pj : A → Aj as proje¸cões canônicas e λj :

Aj → A as inclusões canônicas. Defina ϕ : A → X por ϕ(a) = Σfjpja, como só existe um

número finito de coordenadas não nulas de a, essa fórmula está bem definida. Agora ϕλjaj =

X

k

fkpkλjaj = fjaj.

Se existir ψ : A → X que tamb´em satisfaz ψλj = fj, para todo j, ent˜ao ψ(a) = Σψλjpja =

Σfjpja = ϕa. Portanto ϕ ´e ´unico.

Reciprocamente, suponha que exista λj : Aj → A para (j ∈ J) e que para qualquer

R-m´odulo X e fam´ılia de mapas fj : Aj → X exista um ´unico ϕ : A → X tal que

ϕλj = fj. Ent˜ao considere X = L jAj e as inclus˜oes fj : Aj → L jAj. Portanto existe um ϕ : A →L jAj tal que ϕλj = fj. X Aj λj fj ? ? ? ? ? A_ _ _ϕ_ _ //_

Sabemos que a propriedade do par´agrafo anterior tamb´em vale para L

jAj no lugar do

A, fj no lugar de λj e A no lugar de X. Portanto para a fam´ılia λj : Aj → A existe

ψ :L jAj → A tal que ψfj = λj. L jAj ψ oo^ ^ ^ ^ ^ Aj λj fj ? ? ? ? ? A

Então temos que ψϕλj = λj para cada j ∈ J , pela unicidade ψϕ : A → A é único que

satisfaz isso, mas a identidade tamb´em satisfaz. Conclu´ımos que ψϕ = idA. De maneira

an´aloga prova-se que ϕψ = idL

jAj.

Defini¸cão 1.11 Dizemos que um R-módulo à direita P é livre se for soma direta de cópias de R. Se P = L

i∈IaiR tal que aiR ' R ent˜ao chamamos o conjunto {ai | i ∈ I}

(18)

Defini¸cão 1.12 Um R-módulo M é dito finitamente gerado se existe n > 0 e um mapa sobrejetor Rn_{→ M .}

Teorema 1.3 Seja X = {ai | i ∈ I} uma base do R-m´odulo livre A. Dado qualquer

R-módulo B e uma fun¸cão f : X → B, existe um único mapa ef : A → B que estende f .

Demonstra¸c˜ao: Para um i ∈ I defina fi : aiR → B por fi(air) = fi(ai)r. Como A =

L

iaiR, pelo teorema 1.2, existe um ´unico ef : A → B com ef ai = fiai = f ai.

Teorema 1.4 Qualquer módulo M é quociente de um módulo livre.

Demonstra¸cão: Seja S o conjunto dos elementos do módulo M e seja A o módulo livre com base S. Defina f : S → M por f (m) = m. Pelo teorema 1.3, existe um mapa

e

f : A → M que estende f . O mapa ef ´e sobrejetor pois f ´_{e sobrejetor.}

Teorema 1.5 Sejam B, C R-m´odulos e F um R-m´odulo livre . Sejam α : F → C,

β : B → C mapas entre R-módulos. Então se β é sobrejetor existe um mapa γ : F → B tal que βγ = α.

Demonstra¸c˜ao: Seja X = {xi | i ∈ I} uma base de F . Como β ´e sobrejetor, para cada

α(xi) existe bi tal que α(xi) = β(bi). Seja ϕ : X → B tal que ϕ(xi) = bi ,para todo

i ∈ I. Pelo teorema 1.3 existe um mapa γ : F → B com γ(xi) = ϕ(xi), para todo i. Para

perceber que α = βγ, ´e suficiente notar isso na base X, mas βγ(xi) = βϕ(xi) = β(bi) =

α(xi).

Defini¸cão 1.13 Dizemos que um R-módulo à direita P é projetivo, se para quaisquer mapas entre R-módulos, B → C sobrejetor e Pβ → C, existir o homomorfismo Pα → B talγ que βγ = α. P α γ ~~ ~~ B _β //C //0

Exemplo: Todo m´odulo livre ´e projetivo, pelo teorema 1.5.

Teorema 1.6 Se P é projetivo e β : B → P é um epimorfismo então B = Ker(β) ⊕ P0, com P0 ' P .

(19)

Demonstra¸c˜ao: Considere a idP : P → P . Como P ´e projetivo existe γ : P → B tal que

βγ = idP. Ent˜ao γ ´e injetor, portanto P0 = Im(γ) ' P . Agora para b ∈ B,

b = b − γβb + γβb.

Mas b − γβb ∈ Ker(β) e γβb ∈ Im(γ).

Para provar que B ' Ker(β) ⊕ P0 ´e suficiente provar que 0 = P0 ∩ Ker(β) . Se

w ∈ Ker(β) ∩ P0 ent˜ao w = γw0, mas 0 = βw = βγw0 = w0_{. Portanto w = 0.}

Corolário 1.1 Seja 0 → K0 → Q → P → 0 uma seqüência exata com P projetivo então Q ' P ⊕ K0.

Demonstra¸c˜ao. K0 _{= Ker(Q → P ). Agora use o teorema 1.6.}

Teorema 1.7 Um módulo P é projetivo se e somente se existe um módulo Q tal que

P ⊕ Q = F ´e livre.

Demonstra¸cão: Pelo teorema 1.4, existe um módulo livre F e um epimorfismo p : F → P . Se P é projetivo então pelo teorema 1.6, F = Ker(p)⊕P0, com P0 ' P . Seja Q = Ker(p).

Reciprocamente, seja F = P ⊕ Q com F livre, i : P → F a inclus˜ao e p : F → P a

proje¸c˜ao. Note que pi = idp.

Considere os mapas f : P → C e β : B → C, com β sobrejetor. Pelo teorema 1.5,

para a composi¸c˜ao f p : F → C, existe um mapa γ : F → B tal que f p = βγ, portanto

βγi = f pi = f idP = f . O mapa γi : P → B ´e o mapa requerido. Isso prova que P ´e

projetivo.

Defini¸cão 1.14 Uma resolu¸cão projetiva de comprimento n de um R-módulo à direita M é um seqüência exata

Pn fn → Pn−1 → ... → P1 f1 → P0 → M → 0 onde cada Pi é um R-módulo à direita projetivo.

(20)

1.3 Propriedade F P

_m

Teorema 1.8 As seguintes condi¸cões sobre um R-módulo M são equivalentes:

1. Existe uma seq¨uˆencia exata Rm _{→ R}n _{→ M → 0 com m e n inteiros.}

2. Existe uma seqüência exata P1 → P0 → M → 0 onde os Pi são módulos projetivos

finitamente gerados.

3. M é finitamente gerado e para qualquer sobreje¸cão : P → M com P finitamente gerado e projetivo, o núcleo de é finitamente gerado.

A demonstra¸c˜ao desse teorema ´e baseada no lema de Schanuel.

Lema 1.2 (Lema de Schanuel) Sejam 0 → K → P → M → 0 eπ

0 → K0 → P0 π_{→ M → 0 seq¨}0 _uˆ_{encias exatas de R-m´}_{odulos com P e P}0 _{projetivos. Ent˜}_ao

P ⊕ K0 ' P0_{⊕ K.}

Demonstra¸cão: Seja Q o submódulo de P ⊕ P0 que consiste dos pares (x, x0) tais que π(x) = π0(x0) (Q é chamado de pullback dos mapas π e π0). Agora considere as seqüências exatas 0 → K → Qi → Pp0 0 _{→ 0,} 0 → K0 i 0 → Q→ P → 0p onde i(k) = (k, 0), i0(k0) = (0, k0) e p(x, x0) = x , p0(x, x0) = x0.

Pelo corol´ario 1.1 temos que P0⊕ K ' Q ' P ⊕ K0

.

Demonstra¸cão do teorema 1.8: É claro que 3 ⇒ 1 ⇒ 2. Para provar 2 ⇒ 3, note que M é finitamente gerado pois P0 é finitamente gerado. Aplique o lema de Schanuel nas

seq¨uˆencias

0 → Ker() → P → M → 0 e

0 → Ker(P0 → M ) → P0 → M → 0

e obtenha P ⊕ Ker(P0 → M ) ' P0 ⊕ Ker(). O lado esquerdo ´e finitamente gerado

(21)

finitamente gerado.

Dizemos que um módulo M é finitamente apresentável se ele satisfaz a condi¸cão 1 do teorema acima. Uma generaliza¸cão do conceito de ser finitamente apresentável é a seguinte.

Defini¸cão 1.15 Dizemos que um R-módulo M é do tipo F Pm se existe uma resolu¸cão

projetiva de comprimento m de R-m´odulos

Pm → . . . → P2 → P1 → P0 → M → 0 (1.1)

tal que Pi ´e finitamente gerado para i ≤ m

Uma generaliza¸c˜ao do teorema 1.8 ´e o seguinte teorema.

Teorema 1.9 Para um R-módulo M e um inteiro n ≥ 0 as seguintes condi¸cões são

equivalentes:

1. Existe um resolu¸c˜ao parcial Fn → ... → F0 → M → 0 onde cada Fi ´e livre e

finitamente gerado. 2. M ´e do tipo F Pn.

3. M ´e finitamente gerado e para cada resolu¸c˜ao projetiva de comprimento finito Pk→

... → P0 → M → 0 com k < n, o n´ucleo Pk→ Pk−1 ´e finitamente gerado.

Para demonstrar a generaliza¸c˜ao do teorema 1.8 necessitamos de uma generaliza¸c˜ao do lema de Schanuel.

Lema 1.3 Sejam

Pn → Pn−1 → ... → P0 → M → 0 e

P_n0 → P0

n−1 → ... → P00 → M → 0

seqüências exatas com Pi e Pi0 projetivos para i ≤ n − 1. Então

(22)

Conseqüentemente se Pi e Pi0 são finitamente gerados para i ≤ n − 1 então Pn é

finitamente gerado se e somente se P_n0 ´e finitamente gerado.

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão é por indu¸cão. Sejam K = Ker(Pn−2 → Pn−3) e K0 =

Ker(P_n−20 → P0

n−3). Por hip´otese de indu¸c˜ao temos

K ⊕ Q ' K0⊕ Q0_,

onde

Q = P_n−20 ⊕ Pn−3⊕ · · ·

e

Q0 = Pn−2⊕ Pn−30 ⊕ · · ·

Por outro lado temos as seq¨uˆencias exatas

0 → Pn→ Pn−1⊕ Q → K ⊕ Q → 0

0 → P_n0 → P0

n−1⊕ Q

0 _{→ K}0_{⊕ Q}0 _{→ 0.}

Através do teorema 1.7 é facil ver que a soma direta de projetivos é projetivo. Portanto Pn−1⊕ Q e Pn−10 ⊕ Q0 são projetivos. Aplicando o lema de Schanuel temos que

P_n0 ⊕ Pn−1⊕ Q ' Pn⊕ Pn−10 ⊕ Q 0_,

que ´_{e o isomorfismo desejado.}

Demonstra¸cão do teorema 1.9: 1 ⇒ 2 é trivial, pois cada módulo livre é projetivo. Para 2 ⇒ 3: Se M é do tipo F Pn então para qualquer k < n existe um resolu¸cão parcial

projetiva Pk → ... → P0 → M → 0 com Ker(Pk → Pk−1) finitamente gerado. Pelo lema

1.3 qualquer outra resolu¸c˜ao projetiva P_k0 → ... → P0

0 → M → 0 de mesmo comprimento

tem o Ker(P_k0 → P0

k−1) finitamente gerado, provando 3. Para 3 ⇒ 1, observe que se 3 ´e

verdade então podemos construir a resolu¸cão que aparece em 1, construindo módulo por módulo utilizando sempre 3, no caso espec´ıfico quando os P1, ..., Pk são livres.

Existem módulos que são F Pn para todo n > 0. O próximo teorema fala sobre

(23)

Teorema 1.10 Para um R-módulo M as seguintes condi¸cões são equivalentes:

1. Existe uma resolu¸c˜ao infinita ... → Fn → ... → F0 → M → 0 onde cada Fi ´e livre e

tem base finita.

2. Existe uma resolu¸c˜ao projetiva infinita ... → Pn → ... → P0 → M → 0 onde cada

Pi ´e finitamente gerado.

3. M ´e do tipo F Pn, para todo n > 0.

Observa¸c˜ao: Nas resolu¸c˜oes acima permitimos Fi = 0 ou Pi = 0.

Demonstra¸cão: 1 ⇒ 2 ⇒ 3 é trivial. Para 3 ⇒ 1: Se 3 é verdade então podemos usar a condi¸cão 3, do teorema 1.9, para construir módulo por módulo da resolu¸cão que aparece em 1.

1.4 Grupos do tipo F P

m

O conceito F Pm se estende a grupos da seguinte maneira.

Defini¸cão 1.16 Um grupo G tem tipo F Pm se Z é do tipo F Pm como ZG-módulo, onde

ZG ´e a algebra de grupo integral de G.

Podemos ver Z como ZG-m´odulo, definindo uma a¸c˜ao de G sobre Z de modo trivial, isto ´

e, mg = m. Portanto a multiplica¸c˜ao de um elemento arbitr´_{ario de ZG por m ∈ Z fica} m(Σg∈G zgg) = m(Σzg).

Exemplo: Todo grupo ´e F P0. Basta considerar a sobreje¸c˜ao : ZG → Z

(Σg∈G zgg) = Σzg. Denotamos seu n´ucleo por AugZG.

Teorema 1.11 G tem tipo F P1 se e somente se G ´e finitamente gerado.

Demonstra¸cão: Observe que o núcleo do mapa ´_{e gerado como Z-módulo por {g − 1, g ∈ G},} pois se (P g∈G zgg) =P zg = 0 então X g∈G zgg = X g∈G zgg − X zg = X g∈G zg(g − 1).

(24)

Se G é gerado por g1, ..., gk então o núcleo de é gerado como ZG-módulo à direita por

{g1− 1, ..., gk− 1}.

Por exemplo se g = g1g2−1 ent˜ao

g − 1 = g1g2−1− g1+ g1− 1 = (g−12 − 1)g1+ g1 − 1 = (g2− 1)(−g1g2−1) + g1− 1.

Para g arbitr´ario, escrevemos g = g1

i1...g

k

ik com i = ±1 e usamos indu¸c˜ao em k.

Portanto a seq¨uˆencia Lk

i=1eiZG φ

→ ZG → Z → 0, tal que φ(e i) = gi − 1, ´e exata.

Provando que Z ´e F P1.

Reciprocamente se G for F P1 então Z é F P1. Pela condi¸cão 3 do teorema 1.8, o

núcleo de ´_{e finitamente gerado como ZG-módulo. Já vimos que {g − 1, g ∈ G} gera} o n´_{ucleo como Z-módulo, conseqüentemente também como ZG-módulo. Se {s}1, .., sm}

também gera o núcleo, podemos escrever cada si em fun¸cão de um número finito de

elementos de {g − 1, g ∈ G} com coeficientes em ZG. Portanto existem g1, ..., gk, tais que

g1 − 1, ..., gk− 1 geram Ker() como ZG-m´odulo.

Seja S o subgrupo de G gerado por {g1, ..., gk}.

Considere a seq¨uˆ_{encia exata 0 → AugZS → ZS → Z → 0. Sabe-se que ZG ´e}

ZS-módulo livre portanto plano (Ver apêndice do cap´ıtulo 4). Portanto existe a seguinte seqüência exata:

0 → ZG ⊗ZSAugZS → ZG → ZG ⊗ZSZ → 0.

Mas

ZG ⊗ZSZ ' Z(G/S),

ZG ⊗ZSAugZS ' ZGAugZS = AugZG.

Onde Z(G/S) ´e o Z-m´odulo livre com base as classes laterais de S em G.

Isso mostra que a seqüˆ_{encia 0 → AugZG → ZG → Z(G/S) → 0 é uma seqüência}

exata. Portanto G = S.

Teorema 1.12 Se G é um grupo finitamente apresentável então G tem tipo F P2.

Para demonstrar o teorema 1.12 precisamos da seq¨uˆencia exata do seguinte teorema.

Teorema 1.13 Seja G um grupo tal que G = F (A)/R, onde A ´e um conjunto, F (A) ´e o

grupo livre gerado por A e R um subgrupo normal de F (A). Então existe uma seqüência exata de ZG-módulos

(25)

0 → Rab d →L a∈AZGea ∂ → ZG→ Z → 0

onde Rab= R/[R, R], ∂(ea) = a − 1 e a ´e a imagem de a em G.

Demonstra¸cão: Seguimos a demonstra¸cão do livro de K. Brown [8]. Suponhamos que o leitor já conhe¸ca a base de recobrimentos de CW complexos.

Seja Y um buquê de c´ırculos indexados por A e v o vértice que corresponde á interse¸cão desses c´ırculos. Observamos que o grupo fundamental π1(Y ) ' F (A). Seja eY um espa¸co

de recobrimento regular conexo de Y tal que π1( eY ) = R. Identifica-se G = F (A)/R com

o grupo de transforma¸cões de recobrimento, conforme está explicado no apêndice no final desse cap´ıtulo (Veja se¸cão 1.5). A a¸cão de G sobre o complexo celular C∗Y nos fornece ae resolu¸c˜_{ao parcial de ZG-módulos livres}

L

a∈AZGea ∂

→ ZG→ Z → 0,

correspondente a C1Y → Ce ₀Y → Z → 0.e

Para qualquer f ∈ F (A) = π1(Y ), consideramos f uma concatena¸c˜ao de caminhos

cujas imagens são os c´ırculos que formam Y . Denotamos por ef o levantamento de f a eY que come¸ca num vértice _ev, previamente escolhido, cuja imagem em Y é o vértice v.

Pelo teorema de Hopf sabemos que H1( eY ) ' (π1( eY ))ab ' Rab. Esse isomorfismo ´e

induzido pelo mapa ed : R → H1( eY ), definido da seguinte maneira:

Seja_er o caminho fechado em eY que ´e o levantamento do caminho em Y correspondente a r ∈ R. Ent˜ao _er ∈ H1( eY ), define-se ed(r) =er.

Sejam f ∈ F (A), r ∈ R e f a classe de f em G. O levantamento de f rf−1 ´e a

concatena¸c˜ao de ef , f_er, ef−1, onde f_er ´e o elementor sob a¸c˜_e ao de f . Em H1( eY ) temos que

e

d(f rf−1) = ef + f_er + ef−1 = f_er = f ed(r). Se definirmos a a¸cão à esquerda de F (A) em R pela conjuga¸cão (f ∗ r = f rf−1), obtemos uma a¸cão de G em Rab e portanto Rab é um

ZG-módulo à esquerda. Esse ed induz um mapa d : Rab → H1( eY ) que preserva a¸cão de G,

portanto temos que d ´_{e um isomorfismo de ZG-módulos.} Agora H1( eY ) é o núcleo de ∂, portanto

0 → Rab d →L a∈AZGea ∂ → ZG→ Z → 0 ´ e exata.

(26)

Demonstra¸c˜ao do teorema 1.12: Seja G = F (A)/R, onde R = hSiF (A) para S e A conjuntos finitos. Seja 0 → Rab d →L a∈AZGea ∂ → ZG→ Z → 0,

a seqüência exata do teorema 1.13, para o G acima. Como já foi observado na demon-stra¸cão do teorema 1.13, a a¸cão de F (A) à esquerda de R via conjuga¸cão (f ∗ λ = f λf−1) induz uma a¸cão de F (A)/R = G em Rab, tornando Rab um ZG-módulo à esquerda.

Como R = hSiF (A) _ent˜_{ao R ´}_{e gerado como grupo por {f sf}−1 _{| f ∈ F, s ∈ S}, assim R} ab

´

e gerado como grupo por {f ∗ s[R, R] | f ∈ G, s ∈ S}. Portanto Rab ´e finitamente gerado

como ZG-m´odulo por {s[R, R] | s ∈ S}.

Seja f :L

s∈SZGes→ Rab o epimorfismo tal que f (es) = s[R, R].

Portanto L s∈SZGes d◦f → L a∈AZGea ∂ → ZG→ Z → 0 ´

e uma seqüˆ_{encia exata de ZG-módulos à esquerda finitamente gerados e livres. Posso} considerá-los como módulos à direita definindo a a¸cão de g em w por wg = g−1w. É óbvio que seqüência continua exata. Provando que G é F P2.

O próximo teorema será muito útil na se¸cão (2.5).

Teorema 1.14 Se H ⊆ G um subgrupo de ´ındice finito ent˜ao G ´e do tipo F Pn (0 ≤ n ≤

∞) se e somente se H ´e do tipo F Pn.

Demonstra¸cão: Qualquer resolu¸c˜_{ao projetiva finita de Z por ZG-módulos finitamente} gerados também é uma resolu¸c˜_{ao projetiva finita de Z por ZH-módulos. Os módulos} também s˜_{ao finitamente gerados como ZH-módulos pois o ´ındice de H em G é finito.}

Para a outra implica¸c˜ao, suponha H do tipo F Pn. Seja P uma resolu¸c˜ao projetiva

de Z por ZG-módulos finitamente gerados, cujo comprimento é k < n. Ela existe pois todo grupo é F P0. Agora considerando P uma resolu¸cão de ZH-módulos, podemos usar

a condi¸c˜ao 3 do teorema 1.9 e concluir que o Ker(Pk → Pk−1) ´e finitamente gerado sobre

ZH. Mas isso implica que o Ker(Pk → Pk−1) ´e finitamente gerado sobre ZG, portanto a

(27)

1.5 Apˆ

endice do cap´ıtulo 1.

A leitura desse apêndice só é necessária para a demonstra¸cão do teorema 1.13. Aqui é explicado como G age sobre o complexo celular C∗( eY ).

Seja p : eY → Y uma aplica¸cão de recobrimento entre espa¸cos conexos e localmente conexos por caminho então denota-se por transforma¸cão de Deck de p um homeomorfismo m : eY → eY tal que pm = p. O grupo G das transforma¸cões de Deck age livremente sobre

e Y .

Se o recobrimento p : eY → Y for regular, isto é, satisfaz as condi¸cões equivalentes abaixo então G ' π1(Y )/π1( eY ).

Exemplo: Para o buquˆe de c´ırculos Y, da demonstra¸c˜ao do teorema 1.13, e seu

recobri-mento eY temos que G ' F (A)/R.

Essa a¸c˜ao de G no CW-complexo eY induz uma a¸c˜ao no complexo celular C∗( eY ), o

que nos permite consider´_{a-lo um complexo de ZG-m´odulos. Como a a¸c˜ao de G permuta}

as c´elulas de eY livremente (isto ´e, gσ 6= σ para todo σ, se g 6= 1), Cn( eY ) tem uma base

como Z-módulo que é permutada livremente por G, tornando-o um ZG-módulo livre. Defini¸cão 1.17 p : eY → Y é um recobrimento regular se satisfaz as seguintes condi¸cões equivalentes.

1. G age transitivamente em p−1(y) para todo y ∈ Y .

2. A imagem de π1( eY ) → π1(Y ) ´e normal em π1(Y ) para alguma (e portanto para

qualquer) escolha de ponto base.

3. Para qualquer caminho fechado w ∈ Y , se um levantamento de w para eY é fechado então todos os poss´ıveis levantamentos de w são fechados.

(28)

Cap´ıtulo 2

Grupos Metabelianos

Neste cap´ıtulo se encontra a maioria das defini¸c˜oes e resultados utilizados neste trabalho.

2.1 Grupos Metabelianos

Defini¸cão 2.1 Dizemos que G é um grupo metabeliano se existe uma seqüência exata de grupos

1 → M → G → Q → 1π (2.1)

com M e Q abelianos.

O isormorfismo de M com sua imagem em G nos permite considerar o mapa M → G como sendo a inclusão, isto é, M é subgrupo normal de G. Além disso definimos uma a¸cão à direita do grupo Q no grupo M via conjuga¸cão (mq é g−1mg onde π(g) = q), isso nos dá que M ´_{e um ZQ-módulo.}

Quando pensamos na estrutura de M como ZQ-módulo, pensamos na sua opera¸cão como sendo a soma e a opera¸cão de Q como sendo o produto, portanto a multiplica¸cão de um elemento arbitr´_{ario de ZQ por m ∈ M é feita da seguinte maneira m.(Σ}q∈Qzqq) =

Σq∈Q zqmq, onde zq ∈ Z e q ∈ Q.

Lema 2.1 Em (2.1), G é finitamente gerado como grupo se e somente se M é finitamente gerado como ZQ-módulo e Q é finitamente gerado como grupo.

Demonstra¸c˜_{ao : Seja M finitamente gerado como ZQ-m´odulo com geradores m}1, ..., mn

e Q finitamente gerado com geradores q1, ..., qk. Sejam g1, .., gk elementos de G tais que

π(gi) = qi. Ent˜ao os elementos m1, ..., mn, g1, ..., gk geram G.

(29)

Se G for finitamente gerado, seja S = {g1, .., gk} um conjunto de geradores de G.

Seja [G, G] o subgrupo dos comutadores de G. Sabemos que [G, G] é normal e G/[G, G] é abeliano. M/[G, G] é subgrupo de G/[G, G] que é abeliano e finitamente gerado, portanto M/[G, G] também é finitamente gerado como grupo. Se provarmos que [G, G] é finita-mente gerado como ZQ-módulo então M será finitafinita-mente gerado como ZQ-módulo, pois M/[G, G] já ´_{e finitamente gerado como ZQ-módulo ( M/[G, G] é Z-módulo finitamente} gerado).

Mas pelo lema 1.1

[G, G] = h{[gi, gj]g | g ∈ G, 1 ≤ i ≤ j ≤ k}i.

A a¸cão de q à direta de m por defini¸cão é mq = g−1mg, onde π(g) = q. Então [G, G] = h{[gi, gj]g | gi, gj ∈ S, g ∈ G}i = h{[gi, gj]q | gi, gj ∈ S, q ∈ Q}i.

Como {[gi, gj] | gi, gj ∈ S} ´e um conjunto finito temos que [G, G] ´e finitamente gerado

por {[gi, gj] | gi, gj ∈ S} como ZQ-m´odulo.

Daqui para frente o grupo G será um grupo finitamente gerado e a seqüência (2.1) será cindida, portanto G será o produto semidireto de M e Q e vale o resultado do lema (2.1). Já foi discutido como M ´_{e um ZQ-módulo, mas G tendo essa forma nos possibilita}

conceber M tamb´_{em como um ZG-m´odulo. Se g ∈ G ent˜ao g = nq com n ∈ M, q ∈ Q.}

Para todo m ∈ M definimos mg = m(nq) = (mn)q, como j´a temos definido a a¸c˜ao de

q em elementos de M , essa a¸c˜_{ao fica bem definida. Note que para todo ZM -m´odulo}

livre, essa multiplica¸cão nos permite vˆ_{e-lo como um ZG-módulo. Além disso, se a a¸cão} de Q também for livre sobre uma base desse módulo, permutando-as livremente, então o módulo também ser´_{a um ZG-módulo livre.}

2.2 An´

eis e M´

odulos Noetherianos

Quando trabalhamos com a propriedade F Pmestamos sempre preocupados com a quest˜ao

dos m´odulos serem ou n˜ao finitamente gerados, em alguns casos precisamos saber se

um submódulo também é finitamente gerado. Sabemos que em geral nem sempre isso é verdade, mas sabemos que isso ocorre se o anel for Noetheriano e um módulo com respeito a esse anel for finitamente gerado.

Defini¸cão 2.2 Dizemos que um anel R é Noetheriano à direita se todo ideal à direita é finitamente gerado. Se R for comutativo dizemos apenas que é Noetheriano.

(30)

Exemplos:

Todo anel de ideal principal ´_{e Noetheriano, portanto Z ´e Noetheriano.}

Todo quociente de um anel Noetheriano à direita por um ideal, também é um anel Noethe-riano à direita.

Teorema 2.1 O anel R é Noetheriano à direita se e somente se todo submódulo de um R-módulo à direita M finitamente gerado também é finitamente gerado.

Demonstra¸cão: Suponha primeiro que R é Noetheriano à direita. Seja M gerado por {x1, ..., xn} e S é um submódulo de M . Prova-se que S é finitamente gerado por indu¸cão

em n. Se n = 1 ent˜ao M ' R/I, onde I = Ker(R → M ), com f (r) = xf 1r. Portanto

S ' J/I, para algum ideal à direita J contendo I. J é finitamente gerado pois R é Noetheriano portanto S ' J/I também é finitamente gerado.

Suponha n > 1. Se M0 = xnR então a seqüência exata

0 → M0 → M → M/M0 _{→ 0}

possui M/M0 gerado por n − 1 elementos como R-módulo. Existe uma outra seqüência exata

0 → S ∩ M0 → S → S/(S ∩ M0_{) → 0.}

Agora S ∩ M0 ´e finitamente gerado pelo caso n = 1, enquanto S/(S ∩ M0) ' (S + M0)/M0 ⊂ M/M0 _´_{e finitamente gerado por indu¸c˜}_{ao. Isso implica que S ´}_{e finitamente}

gerado.

Para a outra implica¸cão do teorema, observe que os submódulos à direita de R são os ideais à direita, portanto R ´_{e Noetheriano.}

Defini¸cão 2.3 Dizemos que um R-módulo à direita M é Noetheriano se M é finitamente gerado e R é Noetheriano à direita.

Teorema 2.2 Seja M um R-módulo à direita. Então M é Noetheriano se e somente se cada cadeia crescente de submódulos de M

M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ ...

(31)

Demonstra¸cão: Se M é Noetheriano temos que M0 = ∪jMj é submódulo de M e portanto

finitamente gerado. Seja M0 = m1R + ... + mnR. Existe Mk tal que {m1, ..., mn} ⊂ Mk.

Assim Mj ⊆ M0 ⊆ Mk⊆ Mj, para todo j ≥ k.

Reciprocamente, se S é um submódulo de M que não é finitamente gerado. Escolha s1 ∈ S e defina M1 = s1R. Assuma por indu¸cão que já foram escolhidos s1, ..., sn, com

Mi = s1R + ... + siR, tais que Mi 6= Mi+1.

Como S n˜ao ´e finitamente gerado existe sn+1 ∈ M/ n. Defina Mn+1 = Mn + snR,

portanto Mn+1 6= Mn. A cadeia crescente de submódulos constru´ıda por essa indu¸cão não

estabiliza, concluindo a demonstra¸c˜_ao.

Corolário 2.1 R é um anel Noetheriano à direita (esquerda) se e somente se toda cadeia crescente de ideais à direita (esquerda) estabiliza.

Demonstra¸cão: Os submódulos de R, como módulo à direita, são os ideias `_{a direita.}

Teorema 2.3 (Hilbert) Se o anel R for comutativo e Noetheriano ent˜ao o anel de

polinômios R[x] também é Noetheriano. Por indu¸cão R[x1, ..., xn] também é

Noetheri-ano.

Demonstra¸c˜ao: Seja J ideal de R[x]. Defina Im como

Im = {r ∈ R | ∃ f (x) = rxm+ Σm−1j=0 bjxj ∈ J, r 6= 0} ∪ {0}.

Im ´e um ideal pois se r1, r2 ∈ Im ent˜ao existem

f1 = r1xm+ Σm−1j=0 bjxj ∈ J e

f2 = r2xm+ Σm−1j=0 cjxj ∈ J.

Assim f1− f2 = (r1− r2)xm+ Σj=0m−1djxj, portanto r1− r2 ∈ Im.

Para todo r ∈ R, rf1 ∈ J, se f1 ∈ J ent˜ao rr1 ∈ Im, se rr1 6= 0. Se rr1 = 0 entao rri

tamb´em pertence a Im. Provando que Im ´e um ideal.

´

E f´acil notar que Im ⊂ Im+1. Pelo corol´ario 2.1 essa cadeia de ideais estabiliza, Ij = Ik

para todo k ≤ j . Portanto seja

(32)

Para cada ri,j (0 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ ji) existe fi,j(x) = ri,jxi+ Σs<ibsxs ∈ J.

O objetivo ´e provar que S = {fi,j | 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ ji} gera J.

Seja f (x) ∈ J . Se f (x) é um polinômio constante então f (x) ∈ I0. Então f (x) ∈

Rf0,1+ ... + Rfi0,j0.

Agora suponha

f (x) = axm_{+ Σ}

s<mbsxs, a 6= 0 e m > 0.

Se m ≤ k ent˜ao a = a1rm,1+ ... + ajmrm,jm.

O polinˆomio g(x) = f (x) − a1fm,1 − ... − ajmfm,jm ∈ J e tem grau menor ou igual

a m − 1. Por indu¸c˜ao no grau do polinˆomio, g(x) pertence ao ideal gerado por S. Isso implica que f (x) pertence ao ideal gerado por S.

Se m > k ent˜ao Im = Ik. Portanto a = a1rk,1+ ... + ajkrk,jk.

O polinˆomio g(x) = f (x) − a1fk,1xm−k− ... − ajkfk,jkx

m−k _{∈ J e tem grau m − 1, por}

indu¸c˜ao g pertence ao ideal gerado por S. Isso implica que f (x) pertence ao ideal gerado por S.

Assim todo polinˆomio de J pertence ao ideal gerado por S, mas esse ideal est´a contido em J .

Corolário 2.2 Se Q é um grupo abeliano e finitamente gerado, ent˜_{ao ZQ é Noetheriano.}

Demonstra¸cão: Se Q é finitamente gerado então sejam q1, ..., qkseus geradores como grupo.

Seja Z[X ∪ Y ] = Z[x1, ...xk, y1, ..., yk] o anel de polinˆomios de 2k vari´aveis comutativas.

Considere o seguinte homomorfismo de an´_{eis Z[X ∪ Y ]}_{→ ZQ onde α(x}α i) = qi e α(yi) =

q−1_i _{. Pelo teorema 2.3 e como Z é Noetheriano temos Z[X ∪ Y ] Noetheriano. Observe que} α ´_{e sobrejetor, portanto Z[X ∪ Y ] quocientado pelo núcleo de α é isomorfo ao ZQ, como} todo quociente de um anel Noetheriano ´_{e Noetheriano temos que ZQ é Noetheriano.}

Observa¸cão: Se Q é um grupo abeliano finitamente gerado ent˜_{ao ZQ é anel} Noethe-riano pelo corolário 2.2. Se M ´_{e ZQ-módulo finitamente gerado (Noetheriano) então M} ´

(33)

2.3 Os invariantes Σ

m

(Q; M ).

Seja Q um grupo finitamente gerado. Denotamos por Hom(Q, (R, +)) todos os

homomor-fismos de grupos de Q em R. Sejam χ1 e χ2 ∈ Hom(Q, (R, +)) n˜ao nulos, dizemos que

eles s˜ao equivalentes se existe λ real positivo tal que χ1 = λχ2. As classes de equivalˆencia

desses homomorfismos (também chamados de caracteres) não nulos é chamada esfera de caracteres S(Q).

Ela recebe esse nome pelo seguinte motivo.

Lema 2.2 Se Qab ' Zn⊕ T , onde T é a parte de tor¸cão de Qab = Q/[Q, Q], então S(Q)

´

e homeomorfo a Sn−1. Portanto S(Q) ´e compacto.

Demonstra¸cão: Como Qab ' Zn⊕ T , onde T é o grupo de tor¸cão, então temos

Hom(Q, R) ' Hom(Qab, R) ' Hom(Zn⊕ T, R) ' Hom(Zn, R) ⊕ Hom(T, R) =

Hom(Zn_{, R) ⊕ 0 ' R}n_.

Defina uma topologia em Hom(Q, R) induzida pela topologia canˆonica do Rn atrav´es

desse isomorfismo de grupos. Excluindo o homomorfimo nulo de Hom(Q, R) e seu corre-spondente 0 no Rn _{e quocientando pela rela¸c˜}_{ao de equivalˆ}_{encia temos S(Q) homeomorfo}

a Sn−1_.

Seja χ ∈ Hom(Q, (R, +)) define-se Qχ = {q ∈ Q | χ(q) ≥ 0}. ZQχ ´e um subanel de

ZQ, pois Qχ é monóide e portanto se M for um ZQ-módulo então também será um

ZQχ-m´odulo.

Defini¸c˜_{ao 2.4 Sejam Q um grupo finitamente gerado e M um ZQ-módulo à direita} fini-tamente gerado. Então o m-ésimo invariante homológico é

Σm_{(Q; M ) = {[χ] ∈ S(Q) | M ´}_{e do tipo F P}

m como ZQχ-m´odulo}.

A propriedade F P0 ´e equivalente a ser finitamente gerado, portanto

Σ0(Q; M ) = {[χ] ∈ S(Q) | M ´_{e finitamente gerado como ZQ}χ-m´odulo}.

Observa¸cão: Essa defini¸cão é para qualquer Q finitamente gerado, no nosso caso Q é abeliano. Daqui em diante sempre que o invariante for mencionado será com Q abeliano.

(34)

Seria interessante se ZQχ fosse Noetheriano pois isso implicaria que para um M do

tipo F P0 sobre ZQχ então M é F Pm sobre ZQχ para todo m ≥ 0. Assim Σm(Q; M ) não

seria vazio para todo m ≥ 0.

Teorema 2.4 Se Q ´e um grupo abeliano e finitamente gerado ent˜_{ao ZQ}χ ´e um anel

Noetheriano se e somente se Im(χ) ´_{e isomorfa a Z, isto ´e, χ ´e um caracter discreto.}

Demonstra¸c˜_{ao: Se a Im(χ) ' Z ent˜ao existe x ∈ Q}χ tal que

χ(x) = min{χ(y) | χ(y) > 0}.

Seja Q0 = Ker(χ). Ent˜ao para w ∈ ZQχ, w = Σziqi com χ(qi) ≥ 0, mas χ(qi) = niχ(x)

para algum ni ∈ N. Portanto w = Σzi(qix−ni)xni, com qix−ni ∈ Q0. Assim todo w pode

ser escrito como soma de potˆ_{encias de x com coeficientes em ZQ}0.

Obtemos assim uma sobreje¸c˜ao do anel de polinˆ_{omios ZQ}0[x] em ZQχ. Pelo corol´ario

2.2, como Q0 ´e comutativo e finitamente gerado temos ZQ0 Noetheriano, portanto ZQ0[x]

tamb´em ´_{e Noetheriano implicando ZQ}χ Noetheriano.

Reciprocamente, suponha ZQχ Noetheriano. Se n˜ao existir x ∈ Qχ tal que

χ(x) = min{χ(y) | χ(y) > 0}

então existe uma seqüência (qi)i∈N, com qi ∈ Qχ tal que χ(qi) > χ(qi+1) > 0.

Defina Ik = ZQχq1 + ... + ZQχqk. Observe que Ik ´e um ZQχ-subm´odulo de ZQχ,

portanto s˜_{ao ideais de ZQ}χ. Afirmo que essa cadeia de ideais n˜ao estabiliza, pois se isso

ocorresse existiria qj ∈ Ij−1.

Isso implica que

qj = Σzqqi,

com z ∈ Z, q ∈ Qχ e 1 ≤ i ≤ j − 1.

Mas ZQχ é um Z-módulo livre com base Qχ. Então qj deve ser igual a algum dos qqi que

aparecem na igualdade qj = Σzqqi . Ent˜ao

(35)

contrariando χ(qj) < χ(qi), para 1 ≤ i ≤ j − 1.

Portanto existe x ∈ Qχ tal que χ(x) = min{χ(y) | χ(y) > 0}, mas isso ´e equivalente

a Imχ ' Z.

Existe um crit´_{erio envolvendo o conjunto dos centralizadores de um ZQ-m´odulo M ,} C(M ) = {λ ∈ ZQ | mλ = m, ∀m ∈ M },

para garantir que um [χ] ∈ Σ0_{(Q; M ). O crit´}_{erio est´}_{a apresentado no teorema abaixo.}

Defini¸c˜ao 2.5 Se w =P zqq ∈ ZQ definimos o suporte de w como sup(w) = {q | zq 6=

0}.

Podemos estender χ ∈ Hom(Q, R) a uma aplica¸c˜ao de ZQ a R definindo χ(w) = min{χ(q), q ∈ sup(w)}.

Teorema 2.5 Seja M um ZQ-m´odulo finitamente gerado. Ent˜ao [χ] ∈ Σ0_{(Q, M ) se e}

somente se existe λ ∈ C(M ) tal que χ(λ) > 0.

Demonstra¸c˜_{ao: Seja λ ∈ C(M ) com χ(λ) > 0. Dado 0 6= µ ∈ ZQ podemos escolher um}

n´umero inteiro m > 0 tal que

mχ(λ) ≥ −χ(µ).

Ent˜ao χ(λnµ) ≥ χ(µ) + nχ(λ) ≥ 0 e dessa maneira λm_{µ ∈ ZQ}χ. Isso implica que mµ =

mλn_{µ ∈ mZQ}

χpara todo m ∈ M , isto ´e, mZQχ = mZQ . Como M = m1ZQ+...+mkZQ,

ent˜ao M = m1ZQχ+ ... + mkZQχ.

Para implica¸c˜ao contr´aria seja RM = {m1, ..., mk} um conjunto de geradores para M

como ZQχ-módulo. Pegue q ∈ Q tal que χ(q) > 0. Então temos um sistema de k equa¸cões

lineares

miq−1 = Σjmjλij, onde λij ∈ ZQχ,

ou

(36)

Como conseq¨uˆencia temos que o determinante det(δij− λijq) anula todos os elementos de

M. Mas

det(δij − λijq) = 1 − µq, com µ ∈ ZQχ,

e χ(µq) ≥ χ(q) + χ(µ) > 0 ent˜ao λ = µq ´_{e o elemento desejado de C(M ).}

Exemplo: Se M ´_{e ZQ-módulo livre então C(M ) é vazio. Portanto Σ}0(Q, M ) é vazio. Teorema 2.6 Seja M um ZQ-módulo finitamente gerado então

1. Σ0_{(Q, M ) ´}_{e aberto em S(Q),}

2. Σ0(Q, M ) = Σ0_{(Q, ZQ/Ann(M )), onde Ann(M ) / ZQ ´e o ideal anulador de M,} Ann(M ) = {λ ∈ ZQ | mλ = 0, para todo m ∈ M }.

3. Se 0 → M0 → M → M00 _{→ 0 ´}_{e seq¨}_uˆ

encia exata de ZQ-m´odulos, Σ0_{(Q, M )=Σ}0_{(Q, M}0_{) ∩ Σ}0_{(Q, M}00_).

Demonstra¸c˜ao:

Se Q ' Zn_{⊕ T , onde T ´e a tor¸c˜}_{ao de Q ent˜}_{ao seja π : Q/T → Z}n _{um isomorfismo.}

Todo χ ∈ Hom(Q, R) pode ser escrito como χ(y) = hvχ, π(y)i, para algum vχ ∈ Rn

(hx, yirepresenta o produto interno de x por y no Rn_{). Se [χ] e [χ}0_{] estiverem pr´}_oximos

em S(Q) então o ângulo entre vχ e vχ0 é pequeno. Portanto se χ(q_i) > 0 então χ0(q_i) > 0.

Isso implica que se χ(λ) > 0 ent˜ao χ0(λ) > 0. Obtemos que o conjunto {[χ], χ(λ) > 0} ´e aberto em S(Q).

Uma conseqüência imediata do teorema 2.5 é que

Σ0(Q, M ) = [

λ∈C(M )

{[χ], χ(λ) > 0},

o que prova o item 1.

Para o item 2, observe que o Σ0(Q, M ) depende somente do centralizador de M , isto ´

e, C(M ). Mas como C(M ) − 1 = Ann(M ), temos que o invariante depende somente do ideal anulador de M , portanto quaisquer dois ZQ-m´odulos finitamente gerados com o mesmo ideal anulador I tem o mesmo invariante, o que prova o item 2.

´

(37)

Σ0(Q, M ) ⊆ Σ0(Q, M00) e Σ0_{(Q, M}0_{) ∩ Σ}0_{(Q, M}00_{) ⊆ Σ}0_{(Q, M ).}

Agora como C(M ) ⊆ C(M0) temos que Σ0_{(Q, M ) ⊆ Σ}0_{(Q, M}0_{), mas essas trˆ}_{es inclus˜}_oes

provam o item 3.

2.4 Exemplo de Σ

0

(Q, M )

Nessa se¸c˜ao calcula-se um exemplo Σ0_{(Q, M ), utilizando um teorema que relaciona o}

com-plementar desse invariante com o conjunto ∆v_S(Q), definido abaixo, que est´a relacionado com valoriza¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 2.6 Seja B um anel comutativo. Uma valoriza¸c˜ao real de B

v : B → R∞= R ∪ {∞}

´

e uma fun¸c˜ao que satisfaz

v(b1b2) = v(b1) + v(b2),

v(b1+ b2) ≥ m´ınimo {v(b1), v(b2)},

v(1) = 0, v(0) = ∞.

Defini¸c˜ao 2.7 Seja M ´_{e um ZQ-m´odulo finitamente gerado. Seja S = ZQ/Ann(M ) e}

e

Z a imagem de Z em S (Observamos que eZ = Z/(Ann(M ) ∩ Z)).

Dada uma valoriza¸c˜_{ao real de Z}

v : Z → R∞,

define-se ∆v

S(Q) como o subconjunto de Hom(Q, R), onde cada χ ∈ ∆vS(Q) satisfaz a

seguinte propriedade:

Existe uma valoriza¸c˜_{ao w : S → R}∞ tal que a composi¸c˜ao Z π

→ e_Z_{→ R}w ∞ ´e igual a v e a

composi¸c˜_{ao Q ,→ ZQ}→ Si _{→ R}w ∞ é igual a χ, onde π e i são proje¸cões canônicas.

Teorema 2.7 Σ0(Q, M )c = {[χ] ∈ S(Q) | χ ∈[

v

∆v_S(Q)}, onde Σ0(Q, M )c = S(Q) \ Σ0(Q, M ).

(38)

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão desse resultado utiliza a teoria de valoriza¸cões. (Veja artigo [5]).

Para o c´alculo do exemplo, precisamos do seguinte lema.

Lema 2.3 Seja v : B → R∞ uma valoriza¸c˜ao real do anel B. Se v(b1) 6= v(b2) ent˜ao

v(b1 + b2)= m´ınimo {v(b1), v(b2)}

Demonstra¸c˜ao: Como 0 = v(1) = v((−1).(−1)) = 2v(−1) ent˜ao v(−1) = 0. Temos que

v(−b1) = v(−1.b1) = v(−1) + v(b1) = v(b1).

Suponha v(b2) < v(b1), note que

v(b2)=v(b2 + b1− b1) ≥ min{v(b2+ b1), v(−b1)},

mas v(b2 + b1) ≥ min{v(b1), v(b2)} = v(b2) e

v(−b1) = v(b1) > v(b2).

Como v(b2) n˜ao pode ser maior que ele mesmo obtemos v(b2) = v(b2+ b1).

Exemplo: Seja Q o grupo abeliano livre gerado por 2 elementos, isto ´_{e, Q = hx, yi ' Z}2 e M = ZQ/ZQ(x + y + 1).

Pelo teorema 2.7 sabemos que [χ] /∈ Σ0_{(Q, M ) se e somente se χ ∈ ∆}v

S(Q) para alguma

valoriza¸c˜_{ao v : Z → R}∞. Isto significa que existe alguma valoriza¸c˜ao w : S → R∞ tal que

restrita a Z ´e igual a v e restrita a Q ´e igual a χ.

Para calcular os [χ] /∈ Σ0_{(Q, M ), basta saber quais s˜}_{ao as poss´ıveis imagens das}

val-oriza¸c˜_{oes w : S → R}∞ em {x, y}. Pois para cada [χ] /∈ Σ0(Q, M ) existe uma valoriza¸c˜ao

w : S → R∞ que restrita a Q ´e igual a χ e para definir qualquer χ : Q → R basta definir

χ(x) e χ(y).

Inicialmente observe que em S, x + y + 1 = 0, portanto w(x + y + 1) = ∞.

Se w(x), w(y) e 1 s˜ao diferentes entre si ent˜ao pelo lema 2.3 temos ∞ = w(0) = w(x + y + 1) = m´ınimo {w(x), w(y), w(1)}, portanto ∞ = w(x) = w(y) = w(1) = 0.

(39)

Essa contradi¸cão nos dá as seguintes possibilidades para as valoriza¸cões:

1. w(x) = w(y), 2. w(y) = w(1) = 0, 3. w(x) = w(1) = 0.

Vamos avaliar os casos separadamente.

Caso 1: Se w(x) = w(y) > w(1) = 0 ent˜ao w(x + y) ≥ w(x) > w(1), portanto

w(x + y) 6= w(1). Pelo lema 2.3 temos que

∞ = w(x + y + 1) = m´ınimo {w(x + y), w(1)} = w(1) = 0. Portanto se w(x) = w(y) ent˜ao w(x) = w(y) ≤ w(1) = 0.

Caso 2: Para o caso de w(y) = 0 temos que w(y + 1) ≥ 0. Se w(x) < 0 ent˜ao pelo lema 2.3

∞ = w(x + (y + 1)) = w(x) < 0. Portanto se w(y) = 0 ent˜ao w(x) ≥ 0.

Caso 3: Trocando x por y no caso 2 obtemos o mesmo resultado. Se w(x) = 0 ent˜ao

w(y) ≥ 0

Ent˜ao para os [χ] /∈ Σ0_{(Q, M ) temos somente as seguintes possibilidades:}

χ(x) = χ(y) < 0 ou χ(y) = 0 e χ(x) > 0 ou χ(x) = 0 e χ(y) > 0. Isso nos fornece apenas 3 pontos em S(Q) que n˜ao pertencem a Σ0_{(Q, M ).}

2.5 Conjectura F P

m

Defini¸c˜_{ao 2.8 Seja Q um grupo abeliano finitamente gerado e M um ZQ-m´odulo} finita-mente gerado. M ´_{e chamado de m-manso,como ZQ-m´odulo, se para quaisquer [χ}1], ..., [χm] ∈

S(Q)\Σ0_{(Q; M ) temos χ}

(40)

Conjectura FPm Seja 1 → M → G π

→ Q → 1 uma seq¨uˆencia exata de grupos com

M, Q abelianos e G finitamente gerado. Ent˜ao G tem tipo F Pm se e somente se M ´e

m-manso como ZQ-m´odulo.

A defini¸cão da conjectura é para qualquer G metabeliano. Nos próximos cap´ıtulos se encontra demonstrado que se M é 2-manso então G é F P2, para o caso de G = M o Q,

isto é, quando a seqüência acima é cindida. No último cap´ıtulo é dada uma idéia da demonstra¸cão do fato: M é 3-manso então G é F P3, para G = M o Q e discutimos as

dificuldades encontradas.

Daqui para frente assumimos que M ´_{e 2-manso. Observamos que o ZQ-m´odulo M da}

se¸cão 2.4 é 2-manso, mas não é 3-manso.

2.6 Redu¸

c˜

_{ao ao caso Q ' Z}

n

Como todo grupo abeliano finitamente gerado, Q ' Zn_{⊕ T onde T ´e o seu subgrupo de}

tor¸cão. Como Q é finitamente gerado então T é finito.

Lema 2.4 O ´ındice do grupo M o Zn _{em M o (Z}n_{⊕ T ) = M o Q = G ´e finito.}

Demonstra¸c˜ao:

Observe que M o Zn _´_{e normal em M o (Z}n_{⊕ T ), pois [G, G] ⊂ M ⊂ M o Z}n _{e todo}

subgrupo de G que cont´em [G, G] ´_{e normal. O quociente de M o (Z}n_{⊕ T ) por M o Z}n_´_e

isomorfo T , mas T ´_{e finito.}

Com o teorema 1.14 e com o lema 2.4 conclu´ımos que ´e suficiente considerar o caso G = M o Zn, isto ´_{e, Q = Z}n, para demonstrar que G tem tipo F P2 se M for 2-manso.

2.7 Lema Geom´

etrico

Considere uma cole¸c˜_{ao finita H de subconjuntos finitos L ⊂ R}n_{. Dizemos que um elemento}

x ∈ Rn pode ser levado a

Bρ= {x, |x| < ρ, x ∈ Rn}

por H se x ∈ Bρ ou existe L ∈ H tal que x + L = {x + y, y ∈ L} ⊆ Bρ.

Lema 2.5 (Lema geom´_{etrico): Se para todo 0 6= x ∈ R}n existir L ∈ H tal que o

(41)

e : {ρ ∈ R, ρ > ρ0} → R+ com a propriedade que cada elemento de Bρ+e(ρ) pode ser

levado a Bρ por H.

Demonstra¸c˜ao: Definem-se dois n´umeros auxiliares C e D da seguinte maneira. Seja

Sn−1 _{⊂ R}n a esfera unit´aria e considere a fun¸c˜ao f : Sn−1 _{→ R dada por}

f (u) = maxL∈Hminy∈L{hu, yi}, para u ∈ Sn−1.

A fun¸cão f é cont´ınua e H satisfaz a hipótese do lema então temos que f (u) > 0 para todo u ∈ Sn−1_{. Como S}n−1 _´_{e compacto temos que}

C = inf {f (u) | u ∈ Sn−1_{} > 0.}

O segundo n´umero D ´e definido por

D = maxL∈Hmaxy∈L{|y|},

onde |y| denota a norma euclidiana. Logo L ⊂ BD para todo L ∈ H, onde Bρ denota o

fecho de Bρ. Afirmo que o lema ´e valido para a seguinte escolha expl´ıcita de ρ0 e e(ρ):

ρ0 = D2/2C, e(ρ) = C − (D2/2ρ).

Note que e ´e uma fun¸c˜_{ao positiva e crescente definida em {ρ ∈ R | ρ > ρ}0}.

Seja x ∈ Rn tal que |x| ≥ ρ0. Por defini¸c˜ao de C existe L = Lx ∈ H tal que

miny∈Lx{h−x/|x|, yi} ≥ C,

ou

maxy∈Lx{hx/|x|, yi} ≤ −C.

Portanto n´os temos que para todo y ∈ Lx,

|x + y|2 _{= |x|}2_{+ 2hx/|x|, yi|x| + |y|}2 _{≤ |x|}2_{− 2C|x| + D}2 _{≤ |x|}2_.

Al´em disso temos que |x + y| − |x| = |x+y|_|x+y|+|x|2−|x|2 ≤ −2C|x|+D_2|x| 2 = −e(|x|). Se em particular x e ρ s˜ao tais que ρ0 < ρ ≤ |x| < ρ + e(ρ) obtemos

(42)

Ent˜ao x + Lx ⊆ Bρ. Isso mostra que x pode ser levado a Bρ por H.

Com o lema geom´etrico podemos provar o seguinte resultado.

Teorema 2.8 Se Q ´_{e um grupo abeliano finitamente gerado e M um ZQ-m´odulo}

fini-tamente gerado então Σ0(Q, M ) = S(Q) se e somente se M é finitamente gerado como Z-módulo.

Demonstra¸c˜ao: Seja T o subgrupo de tor¸c˜_{ao de Q e π : Q → R}n um homomorfismo que

induz um isomorfismo Q/T ' Zn _{⊂ R}n_{. Para cada ρ ∈ R}+ _{seja X}

ρ = π−1(Bρ) a pr´

e-imagem da bola aberta Bρ. Ent˜ao {Xρ| ρ ∈ R+} ´e uma cadeia crescente de subconjuntos

cuja união é Q. Note que se k é um inteiro positivo temos

X√

k = Xρ, para

√

k − 1 < ρ ≤√k.

Se S(Q) = Σ0_{(Q, M ) ent˜}_{ao os conjuntos {[χ] | χ(λ) > 0}, para λ ∈ C(M ), formam}

uma cobertura aberta do compacto S(Q). Portanto existe um subconjunto finito R ⊂ C(M ) tal que

S(Q) =S

λ∈R{[χ], χ(λ) > 0}.

Isso junto com o fato que os homomorfismos de Q em R podem ser interpretados como produto escalar nos dá que o conjunto H = {sup(λ) | λ ∈ R} satisfaz a hipótese do lema geométrico. Portanto para esse H existe ρ0 e uma fun¸cão e : {ρ > ρ0} → R+ com a

seguinte propriedade. Para cada ρ > ρ0 e q ∈ Xρ+e(ρ) existe λ ∈ R tal que λq ∈ ZXρ.

Como λ centraliza M isto implica que mq = mλq ∈ mZXρ para todo m ∈ M . Variando

q ∈ Xρ+e(ρ) temos

mZXρ+e(ρ)= mZXρ,

para cada ρ > ρ0 e m ∈ M . Aplicamos isso para ρ =

√

k > ρ0 e k ∈ Z, podemos concluir

que mZQ=mZXρ, para cada ρ > ρ0. Como Xρ ´e finito e M ´e finitamente gerado sobre

ZQ segue que M é finitamente gerado sobre Z. Para a outra implica¸cão observe que se M = m1Z + ... + msZ então M = m1ZQχ+ ... + msZQχ para cada [χ] ∈ S(Q).

(43)

Cap´ıtulo 3

Uma Resolu¸

c˜

ao Livre

3.1 A Resolu¸

c˜

_{ao Parcial de Z.}

Objetivo dessa se¸cão é apresentar o complexo F que é uma resolu¸c˜_{ao parcial de Z de} comprimento 3 constitu´ıda de ZG-módulos. Ele será utilizado na demonstra¸cão de uma das implica¸cões da conjetura F P2 para G = M o Q.

Seja G = M o Q um grupo finitamente gerado com M e Q abelianos. Consideramos M um ZQ-módulo à direita com a a¸cão de Q via conjuga¸cão, como foi explicado na se¸cão 2.1. Consideramos Q ' Zn _{(Essa redu¸c˜}_{ao j´}_{a foi explicada na se¸c˜}_{ao 2.6).}

Pelo lema 2.1, M ´_{e finitamente gerado como ZQ-m´odulo e Q ´e finitamente gerado}

como grupo. Pelo corol´_{ario 2.2, ZQ ´e anel Noetheriano. Conclu´ımos que M ´e um}

ZQ-módulo Noetheriano. Isso garante que M é F Pn como ZQ-módulo, para todo n ≥ 0.

Portanto existe uma seq¨uˆ_{encia exata de ZQ-m´odulos}

ZC→ ZBd2 → ZAd1 → M → 0,d0 (3.1)

onde C, B, A são uniões finitas e disjuntas de Q-´_{orbitas livres, i.e., ZA, ZB, ZC são} ZQ-módulos livres de posto finito.

Essa seqüência está relacionada com a resolu¸cão F .

Teorema 3.1 Existe uma resolu¸c˜_{ao F de ZG-m´odulos}

F3 ∂3 → F2 ∂2 → F1 ∂1 → ZM → Z → 0 35

(44)

com F3, F2, F1 livres e definidos por F3 = M a1, a2, a3∈A ea1ea2ea3ZM ⊕ M a∈A, b∈B eaebZM ⊕ M c∈C ecZM F2 = M a1, a2∈A ea1ea2ZM ⊕ M b∈B ebZM F1 = M a∈A eaZM .

Al´em disso esse complexo em dimens˜ao ≥ 1 possui um produto anticomutativo e as derivadas satisfazem a regra de Leibniz ∂(n.m) = ∂(n)m + (−1)dim(n)n∂(m).

Nesse cap´ıtulo demonstra-se que o complexo é exato até dimensão 1. O teorema 3.1 ´

e uma versão particular do resultado principal da referência [10]. Esse fato é utilizado na demonstra¸cão da conjectura F P2. No último cap´ıtulo apresentamos uma idéia da

demonstra¸c˜ao da conjectura F P3 utilizando esse complexo.

Defini¸c˜ao 3.1 Chamamos de base de F o conjunto

{ea1, eb1, ea1ea2, ea1eb1, ea1ea2ea3, ec | a1, a2, a3 ∈ A, b1 ∈ B, c ∈ C}.

A justaposi¸c˜ao de elementos da base significa produto desses elementos, com isso obtemos que

ea1ea2 = (−1)

dima1.dima2_e

a2ea1 = −ea2ea1

eaeb = (−1)dima.dimbebea= ebea.

Observa¸c˜ao 1: Definimos a a¸c˜ao de Q em eaλ como (eaλ)q = eaq(λq), com λ ∈ ZM .

Para ebλ, ecλ é análogo. Para definir a a¸cão de Q em um produto, distribu´ımos a a¸cão

em cada elemento do produto. Essa a¸cão é livre sobre a base de F portanto os módulos Fi são ZG-módulos livres.

Observa¸cão 2: Como as derivadas devem satisfazer a regra de Leibniz só é necessário definir ∂1(ea), ∂2(eb), ∂3(ec). Essas derivadas preservarão a a¸cão de Q então esse é um

(45)

3.2 Defini¸

c˜

ao de ∂

₁

Considere o mapa ZA→ M → 0 da seq¨d0 uˆencia exata (3.1).

Note que ZA ' F (A)/[F (A), F (A)]. Recordamos que F (A) denota o grupo livre com base A e F (A)/[F (A), F (A)] ´e o grupo livre abeliano com base A.

Defina o homomorfismo de grupos δ : F (A) → M como δ = d0π, onde π ´e a proje¸c˜ao

canˆ_{onica de F (A) em ZA. Seja R = Ker(δ) ent˜ao F (A)/R ' M .}

No nosso caso M é comutativo ent˜_{ao ZM é comutativo. Podemos considerar C}∗Y doe teorema 1.13 como ZM -módulos à direita com a multiplica¸cão eam = mea. A seqüência

exata do mesmo teorema nos fornece até dimensão 1, o complexo F. Assim a nossa defini¸cão para ∂1 do teorema 3.1 é ∂1(ea) = δ(a) − 1M.

Por simplicidade denotaremos δ(a) = a.

Além disso o teorema 1.13 nos diz qual é o núcleo de ∂1. Portanto já temos F exato

em dimensão 0. Para defin´ı-lo em dimensão 2 e provar sua exatidão em dimensão 1 , precisamos de uma descri¸cão algébrica do mapa d do teorema 1.13. Ela é dada pela derivada de Fox.

3.3 Derivada de Fox

Defini¸c˜_{ao 3.2 Seja F um grupo e Q um ZF -módulo. Denotamos por deriva¸}cão de F para Q uma fun¸cão d : F → Q tal que d(f g) = d(f ) + f d(g), para todo f, g ∈ F .

Se F = F (A) e Q é livre com base {d(a) | a ∈ A} então o coeficiente de d(f ) com respeito a d(a) é denotado por ∂f /∂a, portanto d(f ) = Σa(∂f /∂a) d(a). Nesse caso d(f )

´

e chamado de Derivada (Livre) de Fox.

Lema 3.1 ∂/∂a : F → ZF ´e uma deriva¸c˜ao que satisfaz ∂b/∂a = δa,b, para b ∈ A. Essa

propriedade carateriza ∂/∂a completamente.

Demonstra¸c˜ao: Como d(f g) = d(f )+f d(g) e Q ´e livre com base {d(a) | a ∈ A}, temos que ∂(f g)/∂a = ∂f /∂a + f (∂g/∂a). Agora d(a) = 1.d(a), portanto ∂a/∂a = 1 e ∂b/∂a = 0, para a 6= b ∈ A.

Exemplo 1: Como d(1) = 0 temos

(46)

Portanto

∂(a−1)/∂a = −a−1 e ∂(a−1)/∂b = 0, se a 6= b ∈ A.

Exemplo 2: Sejam a, b ∈ A ent˜ao

∂(aba−1b−1)/∂a = 1 − aba−1, ∂(aba−1b−1)/∂b = a − aba−1b−1.

Portanto d(aba−1b−1) = (1 − aba−1)da + (a − aba−1b−1)db.

Lema 3.2 Se F = F (A) ent˜ao qualquer deriva¸c˜ao d : F → Q pode ser descrita por

d(f ) =P

a∈A(∂f /∂a) da.

Demonstra¸cão: Para qualquer deriva¸cão d : F → Q , sua imagem está contida no

subm´odulo de Q gerado por {d(a) | a ∈ A}. Se d(a) = 0 para todo a ∈ A ent˜ao a

deriva¸cão é nula. Portanto se duas deriva¸cões d1 e d2 satisfazem d1(a) = d2(a) para todo

a ∈ A então a deriva¸cão d1− d2 é nula, implicando que d1 = d2.

Seja M o subm´odulo de Q gerado por {d(a) | a ∈ A} e Q0 _{o ZF -m´odulo livre com}

base {d(a) | a ∈ A}.

Seja π : Q0 → M a proje¸c˜ao canˆonica. Defina d1 : F → Q0 como a derivada (livre)

de Fox, com d1(a) = d(a). Como πd1(a) = d(a) para todo a ∈ A e πd1 : F → M ⊂ Q

também é uma deriva¸cão, temos que πd1 e d são iguais.

Descri¸c˜ao Alg´ebrica do mapa d do teorema 1.13:

Na demonstra¸c˜ao do teorema 1.13 vimos que d : Rab →

L

a∈AZM ea ´e induzido pela

restri¸c˜ao do mapa ed : F (A) →L

a∈AZM ea ( ed(f ) = ef = levantamento do caminho f ) ao

R ⊂ F (A).

Por defini¸cão ed é um deriva¸cão de F emL

a∈AZM ea. Como d(a) = ea, pelo lema 3.2,

temos que

d([r]) = ed(r) = Σa(∂r/∂a)ea,

onde ∂r/∂a ∈ ZF , F = F (A), [r] ´e a classe de r ∈ R em Rab e ∂r/∂a ´e a imagem de