A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

RICHARD WAGNER MACIEL ALVES

Aspectos de uniformidade em espa¸cos topol´

ogicos admiss´ıveis

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING Á CENTRO DE CI ÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ÁTICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Aspectos de uniformidade em

espac

¸os topol´

ogicos admiss´ıveis

Richard Wagner Maciel Alves

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Ma-temática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: Geometria e Topologia.

Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza.

(3)

ASPECTOS DE UNIFORMIDADE EM ESPAC

¸ OS

TOPOL ´

OGICOS ADMISS´IVEIS

RICHARD WAGNER MACIEL ALVES

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requi-sito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ma-temática.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Josiney Alves de Souza Universidade Estadual de Maring´a

Prof. Dr. Lino Anderson da Silva Grama Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Carlos Jos´e Braga Barros Universidade Estadual de Maring´a

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Agradecimentos

• Senhor, não só agrade¸co como também dedico este trabalho à Ti, sei que sem tua ajuda nada disso seria poss´ıvel. Obrigado por ter me concedido sabedoria e for¸ca para realiza¸cão desse sonho.

• Agrade¸co aos meus pais Sérgio e Regina e à minha irmã Glenda pelo amor incondicional, pela ajuda nos momentos dif´ıceis, pelas ora¸cões a meu favor e principalmente por sempre acreditarem que de algum modo eu sou um vence-dor. (Amo vocês!)

• Agrade¸co tamb´em a todos os membros de minha fam´ılia.

• Em especial, rendo agradecimentos à minha avó, que apesar de não saber exatamente o que eu fa¸co, sempre me ajudou com palavras de incentivo e fé.

• Agrade¸co `a minha noiva Patricia por estar ao meu lado sempre me apoiando nos bons e nos maus momentos. (Amo vocˆe!)

• Agrade¸co a Orlando Fassina e Marli de Lima Fassina, por serem t˜ao carinhosos comigo.

• Agrade¸co aos irm˜aos da Igreja do Evangelho Quadrangular que, participaram dos cultos de adora¸c˜ao e agradecimento a Deus por cada etapa vencida neste mestrado.

• Agrade¸co tamb´em aos amigos de mestrado com quem convivi ao longo desses dois anos pela companhia e ajuda dispensadas.

• Gostaria também de expressar meus sinceros agradecimentos ao Prof. Dr. Jo-siney Alves de Souza que me orientou neste trabalho, por ser sempre atencioso e paciente. Agrade¸co também pela escolha do tema a ser estudado. Nem se pudesse escolher os rumos deste trabalho faria escolha tão aben¸coada.

Obrigado!

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Resumo

Um espa¸co topológico é dito admiss´ıvel se puder ser munido de uma fam´ılia ad-miss´ıvel de coberturas abertas. Sabemos que um espa¸co topológico é uniformizável se e somente se é completamente regular, e além disso que espa¸cos uniformizáveis são admiss´ıveis. A rec´ıproca de tal afirma¸cão até então era um problema em aberto em Topologia. Neste trabalho provamos a validade da rec´ıproca demonstrando que espa¸cos admiss´ıveis e uniformizáveis formam uma mesma classe de espa¸cos to-pológicos. Além disso, fizemos um estudo dos espa¸cos topológicos admiss´ıveis com respeito a aspectos de uniformidade e topologia.

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Abstract

A topological space is said to be admissible if it can be provided with an admis-sible family of open coverings. We know that a topological space is uniformizable if and only if it is completely regular, and moreover that uniformizable spaces are ad-missible. The converse to this fact was an open problem in Topology. In this thesis, we prove that the converse demonstrating that uniformizable and admissible spaces form the same class of topological spaces. In addition, we studied the admissible topological spaces with respect to aspects of uniformity and topology.

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SUM ´

ARIO

Introdu¸c˜ao 11

1 Espa¸cos Uniformes 14

1.1 Espa¸cos uniformes - defini¸c˜oes e exemplos . . . 15

1.2 Base para uma estrutura uniforme . . . 17

1.3 Topologia Uniforme . . . 18

1.4 Fam´ılia de coberturas uniformes . . . 24

1.5 Espa¸cos uniformes completos . . . 26

2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis 28 2.1 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas . . . 29

2.2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e exemplos . . . 31

2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis . . . 35

2.4 Lema da cobertura de Lebesgue . . . 44

2.5 Fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas em espa¸cos admiss´ıveis . . . 45

2.6 Conjuntos limitados . . . 50

2.7 Espa¸cos admiss´ıveis completos . . . 54

2.8 Compacidade uniforme local . . . 57

2.9 Conexidade uniforme local . . . 58

2.10 Dimens˜ao topol´ogica . . . 59

(10)

10

3.2 Seçcão e trivialidade local . . . 68 3.3 Fun¸cões de transi¸cão . . . 72 3.4 Fibrados associados . . . 76 3.5 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em fibrados associados . . . 83

A Redes em espa¸cos topol´ogicos 88

B A¸c˜oes de grupos e espa¸cos quocientes 92

(11)

INTRODUC

¸ ˜

AO

Nesta disserta¸cão realizamos um estudo geral dos espa¸cos topológicos admiss´ıveis no que diz respeito a aspectos de uniformidade e topologia. Dizemos que um espa¸co topológico é admiss´ıvel se puder ser munido de uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Um importante resultado provado em [16] diz que espa¸cos uniformizáveis são admiss´ıveis, porém a rec´ıproca até então era um problema em aberto em Topo-logia. Neste trabalho provamos a validade da rec´ıproca demonstrando que qualquer espa¸co uniformizável é admiss´ıvel e vice-versa. Além disso, fornecemos algumas aplica¸cões do Lema da cobertura de Lebesgue em espa¸cos não métricos.

A no¸cão de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas foi introduzida em [13] no intuito de desenvolver a teoria de transitividade por cadeias para semifluxos. Seguindo a mesma linha de investiga¸cão, os artigos [1], [3],[17] e [18] expandiram a teoria de recorrência por cadeias para a¸cões de semigrupos em espa¸cos topológicos. O artigo [12] faz uso de tal conceito aplicado ao contexto da teoria de fibrados.

Fazendo uso da estrutura admiss´ıvel de um espa¸co admiss´ıvel, a ideia central deste trabalho é estudar propriedades como completude, compacidade uniforme lo-cal, conexidade uniforme local e equicontinuidade uniforme, adaptando ao contexto da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas algumas demonstra¸cões de resultados clássicos em teoria de espa¸cos uniformes.

(12)

12

somente os resultados mais importantes que nortearão a constru¸cão do Cap´ıtulo 2. Apresentaremos na Se¸cão 1.1 os dois principais métodos de constru¸cão de estruturas uniformes em um conjunto X, além disso forneceremos alguns exemplos de espa¸cos uniformes. As Se¸cões 1.2, 1.3 e 1.4 trazem respectivamente os conceitos de base e sub-base para uma estrutura uniforme, topologia uniforme e fam´ılia de cobertu-ras uniformes, cujo intuito é familiarizar o leitor com rela¸cão aos aspectos gerais da teoria. Encerramos o Cap´ıtulo 1 com uma breve apresenta¸cão do conceito de completude em espa¸cos uniformes.

O Cap´ıtulo 2 é dedicado aos espa¸cos topológicos admiss´ıveis. Em um enfoque mais amplo faremos um estudo detalhado de tais espa¸cos investigando suas proprie-dades gerais. Mais especificamente, na Se¸cão 2.2, construiremos algumas estruturas admiss´ıveis sob certas classes de espa¸cos topológicos cujo objetivo é dar exemplos de espa¸cos admiss´ıveis e suas respectivas fam´ılias de coberturas abertas. Tal fam´ılia de coberturas abertas é o conceito-chave desse trabalho e será devidamente definida na Se¸cão 2.1.

Sabemos que todo espa¸co uniformizável é admiss´ıvel (Ver [16], Teorema 4). Pro-varemos no Cap´ıtulo 2 uma equivalência entre espa¸cos topológicos uniformizáveis e admiss´ıveis. Visto que um espa¸co topológico é uniformizável se, e somente se, é completamente regular (Ver [22], Teorema 38.2), conclu´ımos neste trabalho que espa¸cos topológicos admiss´ıveis são regulares.

Ainda com respeito ao desenvolvimento do Cap´ıtulo 2, destacamos o Lema da cobertura de Lebesgue para espa¸cos topológicos admiss´ıveis (Ver Se¸cão 2.4) o qual fornece uma nova interpreta¸cão do número de Lebesgue em espa¸cos não metrizáveis em fun¸cão da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. A demonstra¸cão de tal lema em espa¸cos admiss´ıveis foi apresentada em [16].

(13)

13

espa¸cos admiss´ıveis cujo objetivo respectivamente é fornecer um bom critério na busca de espa¸cos admiss´ıveis completos e mostrar que espa¸cos admiss´ıveis com-pactos localmente conexos são necessariamente uniformemente localmente conexos. Ainda neste cap´ıtulo, introduziremos o conceito de continuidade uniforme de fun¸cões entre espa¸cos admiss´ıveis, apresentaremos a no¸cão de conjunto limitado e além disso forneceremos uma descri¸cão do conceito de dimensão topológica de Lebesgue, em fun¸cão da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas (Ver Se¸cão 2.10).

No último cap´ıtulo do trabalho faremos um estudo introdutório da teoria de fi-brados topológicos principais e associados, dando ênfase na demonstra¸cão detalhada dos resultados mais relevantes da teoria. O intuito principal do desenvolvimento da teoria de fibrados neste cap´ıtulo é a demonstra¸cão da continuidade uniforme da aplica¸cãoπE :E −→X que define o fibrado associado com respeito a duas fam´ılias

(14)

CAP´ITULO 1

ESPAC

¸ OS UNIFORMES

Uma estrutura uniforme em um espa¸co topológico generaliza a estrutura gerada pela métrica de um espa¸co métrico. Em espa¸cos topológicos não metrizáveis, os conceitos que fazem uso da rela¸cão ǫ−δ, tais como; continuidade uniforme, completude de espa¸cos e convergência uniforme não podem ser definidos. A teoria de espa¸cos uni-formes dá condi¸cões para que tais conceitos ditos uniuni-formes sejam também definidos em espa¸cos topológicos não metrizáveis. A estrutura responsável por permitir tal constru¸cão é chamada de estrutura uniforme.

(15)

1.1 Espa¸cos uniformes - defini¸c˜oes e exemplos 15

1.1 Espa¸cos uniformes - defini¸c˜

oes e exemplos

Vejamos algumas defini¸c˜oes iniciais:

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja X um conjunto n˜ao vazio. Dado V ⊆X×X definimos

V−1 _:=_{₍_{x, y}₎_∈_X_×_X _{: (}_{y, x}₎_∈_V_}_.

Para cada U, V ⊆X×X considere

U◦V :={(x, y)∈X×X : (∃z ∈X)(x, z)∈U,(z, y)∈V}.

Para cada V ⊆X×X e para cada x∈X, a V-vizinhan¸ca de x´e o conjunto

V[x] :={y∈X : (x, y)∈V}

Definimos a diagonal de X por

∆ :={(x, x) :x∈X} ⊂X×X.

Abaixo segue uma defini¸c˜ao de espa¸co uniforme via fam´ılia de vizinhan¸cas dia-gonais, historicamente introduzida por A.Weil em [21].

Defini¸c˜ao 1.1.2. Um espa¸co uniforme ´e um par (X,D) formado por um conjunto X e uma fam´ılia D ⊆ X × X chamada estrutura uniforme ou fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais, que satisfaz as seguintes propriedades:

1. D ∈ D ⇒∆⊂D.

2. D1, D2∈ D ⇒D1∩D2∈ D.

3. D ∈ D ⇒E◦E ⊂D para algum E ∈ D. 4. D ∈ D ⇒E−1 _⊂_D _{para algum} _E _{∈ D}_.

5. D ∈ D, D⊂E ⇒E ∈ D.

Nota-se que em virtude da condi¸cão 1 cada elemento da estrutura uniforme Dé chamado de vizinhan¸cadiagonal. Sendo assim diremos quex está ′′

D′′

perto de y

(16)

1.1 Espa¸cos uniformes - defini¸c˜oes e exemplos 16

O conceito básico aqui é que quaisquer dois pontos x, y estão próximos entre si, se (x, y) está próximo à diagonal de X.

Observa¸c˜ao 2-a SeD ∈ D ent˜ao D−1 _{∈ D}_{, pelos itens (4) e (5).}

Observa¸c˜ao 2-bOs itens (3) e (4) da defini¸c˜ao anterior equivalem a:

D∈ D ⇒ E◦E−₁

⊂D

para algumE ∈D.

Suponha que (3) e (4) sejam v´alidos. TomeD∈ DeE1 ∈ Dtal queE1◦E1 ⊂D

eE2 ∈ D tal queE2−1 ⊂E1. Assim, basta tomarmosE =E1∩E2, da´ıE◦E−1 ⊂D.

Por outro lado, tome D ∈ D, encontre E ∈ D de modo que E ◦E−1 _⊂ _D_{, assim}

E−₁

⊂D e se F =E∩E−₁

logo F ∈ D e dessa forma F ◦F ⊂D, portanto vale os itens (3) e (4).

A estrutura uniforme generaliza a estrutura do espa¸co m´etrico, ou seja, todo espa¸co m´etrico corresponde a um espa¸co uniforme, como veremos mais adiante.

Dado um conjunto qualquer X, podemos mlo com diferentes estruturas uni-formes. Abaixo seguem dois exemplos de estruturas uniformes sobre um conjunto conhecidas comoestruturas uniformes triviais.

Exemplo 1.1.1. A estrutura uniforme discreta sobre um conjunto X ´e dada por:

DX :={V ⊆X×X : ∆ ⊆V}.

Exemplo 1.1.2. A estrutura uniforme indiscreta sobre um conjunto X ´e dada por:

Di ≡ {X×X}

(17)

1.2 Base para uma estrutura uniforme 17

1.2 Base para uma estrutura uniforme

Nesta se¸c˜ao apresentamos o conceito de base de uma estrutura uniforme.

Defini¸cão 1.2.1. Uma base para uma estrutura uniforme Dé qualquer sub-cole¸cão

E ⊂ D tal que cada D∈ D cont´em algum E ∈ E, ou seja:

∀D∈ D ∃E ∈ E tal que E ⊂D.

Proposi¸cão 1.2.1. Uma cole¸cão E de subconjuntos de X×X é base para alguma estrutura uniforme em X se, e somente se, satisfaz os itens 1,3 e 4 da defini¸cão

1.1.2 e 2’ onde:

2’) D1, D2 ∈ E ⇒D3 ⊂D1∩D2 para algum D3 ∈ E.

Defini¸cão 1.2.2. Uma sub-base para D é uma sub-cole¸cão E ⊂ D, tal que todas interseçcões finitas de elementos de E forma uma base para D.

Proposi¸c˜ao 1.2.2. Dado um espa¸co uniforme (X,D), seja

Sym(D) ={V ∈ D:V =V−1}.

Ent˜aoSym(D) formam uma base para D.

Demonstra¸c˜ao: Basta observar que para todoD∈ D, temos que,E =D∩D−1

´e um elemento sim´etrico. De fato,

E =D∩D−1 _{= (}_D−1₎−1_∩_D−1 _{= (}_D−1_∩_D₎−1 _{= (}_D_∩_D−1₎−1 ₌_E−1_,

logo E = E−₁

. Como D ∈ D, ent˜ao D−₁

∈ D, assim D∩D−₁

∈ D e veja que

E =D−1_∩_D_⊂_D_{. Da´ı todo elemento} _D _{cont´em um elemento sim´etrico} _E_.

A proposi¸cão anterior nos diz que as vizinhan¸cas diagonais simétricas, geome-tricamente aquelas que mantém simetria com rela¸cão à diagonal são vizinhan¸cas fundamentais de qualquer estrutura uniforme. De certa forma, são num espa¸co uniforme o que as bolas são num espa¸co métrico.

(18)

1.3 Topologia Uniforme 18

Exemplo 1.2.1. Para cada a∈R, seja

Da = ∆∪ {(x, y)|x > a, y > a}.

Dessa forma, a cole¸c˜aoE ={Da ⊂R2 :a∈R}´e base para uma estrutura uniforme

em R. Com efeito, satisfaz as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 1.2.1.

1) Obviamente, ∆⊂Da para cada a∈R.

2’) Sejam Da e Db ∈ E com a, b ∈ R. Se b ≤ a ent˜ao Da ∩Db = Da, se a ≤ b

ent˜ao Da∩Db =Db. Agora, tome c= max{a, b} da´ıDc ⊂Da∩Db.

3) Tome Da ∈ E, a ∈ R e observe que Da◦Da ⊂ Da. De fato, se tomarmos

(x, y) ∈ Da◦Da, ent˜ao existe z ∈ R tal que (x, z) ∈ Da e (z, y) ∈ Da, logo

x, z > a e y, z > aportanto (x, y)∈Da.

4) Se Da ∈ E, a∈R, existe Da =Da−1 ∈ E tal que D

−1

a ⊂Da.

Exemplo 1.2.2. Para cada ǫ > 0, seja Dǫ ={(x, y)∈R2;|x−y|< ǫ}. A cole¸c˜ao E de todos conjuntos Dǫ, com ǫ >0 ´e base para uma estrutura uniforme emR.

De fato,

1) ∆⊂Dǫ para todo ǫ >0.

2’) Considere Dǫ, Dδ ∈ E. Tome γ = min{ǫ, δ}ent˜ao Dγ ∈ E e Dγ ⊂Dǫ∩Dδ.

3) Seja Dǫ∈ E, existe δ= ₂ǫ >0 tal que Dδ ∈ E e Dδ◦Dδ⊂Dǫ.

4) Seja Dǫ∈ E, existe Dǫ =Dǫ−1 ∈ E tal que D

−₁

ǫ ⊂Dǫ.

1.3 Topologia Uniforme

Uma cole¸c˜ao de vizinhan¸cas diagonais D representa uma estrutura maior do que a estrutura topol´ogica no sentido de que, toda estrutura uniforme induz de maneira natural uma topologia sobre um conjunto X, podendo inclusive duas estruturas uniformes distintas gerar a mesma topologia.

(19)

Defini¸c˜ao 1.3.1. Para cada x∈X e D∈ D, n´os definimos: D[x] ={y ∈X|(x, y)∈D}.

Note que x∈D[x] pois (x, x)∈∆⊆D. SeA⊆X, D[A] =S_x∈AD[x].

Teorema 1.3.1. Seja (X,D) um espa¸co uniforme. Para cada x ∈ X, a cole¸c˜ao

Dx = {D[x]|D ∈ D} forma uma vizinhan¸ca b´asica em x, tornando X um espa¸co topol´ogico.

Demonstra¸c˜ao: Primeiro note que x ∈ D[x] para cada x ∈ X. Veja tamb´em que

D1[x]∩D2[x] =D1∩D2[x].

Assim a interseçcão de vizinhan¸cas é uma vizinhan¸ca. Finalmente, se D[x] ∈ Dx, encontre E ∈ D tal que E ◦E ⊂ D. Então para qualquer y ∈ E[x], E[y] ⊂ D[x], logo as propriedades de vizinhan¸ca são satisfeitas.

Defini¸c˜ao 1.3.2. A topologia assim associada com a fam´ılia de vizinhan¸cas dia-gonais D ´e chamada de topologia uniforme gerada por D denotada por τD, e

definida como:

τD ={U ⊂X|∀x∈U ∃D∈ D;D[x]⊂U}.

Defini¸cão 1.3.3. Toda vez que a topologia do espa¸co puder ser obtida através de uma fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais D, dizemos que X é um espa¸co topológico uniformizável.

Defini¸c˜ao 1.3.4. Uma estrutura uniforme D ´e dita separada se, e somente se,

\

D∈D

D= ∆

A demonstra¸cão do teorema abaixo pode ser encontrada em ([22],Teorema 35.6,página 240,item b). Optamos por reproduzir tal demonstra¸cão no intuito de deixar o texto mais auto-suficiente.

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Demonstra¸cão: Suponha D separada. Se x, y ∈ X, com x 6= y, então para algumD∈ D, (x, y)∈/ D. Tome E ∈ D um elemento simétrico tal que E◦E ⊂D. Da´ı supondoz ∈E[x]∩E[y] temos que (x, z)∈E e (y, z)∈E como E é simétrico (z, y) ∈ E e então (x, y) ∈ E ◦E ⊂ D logo (x, y) ∈ D, o que não ocorre, então

E[x], E[y] são disjuntos. Por outro lado, se a topologia é Hausdorff, então se (x, y)∈/

∆, x6=y assim E[x]∩D[y] =∅ para algum D, E ∈ D, portanto E∩D ∈ D o qual n˜ao cont´em (x, y), da´ı (x, y)∈/ T_D∈DD.

Exemplo 1.3.1. Em geral qualquer m´etricadsobre um espa¸coXgera uma estrutura uniforme Ud que tem como base a cole¸c˜ao de subconjuntos

Uǫd ={(x, y)∈X×X|d(x, y)< ǫ}.

As estruturas uniformes Ud geradas por uma métrica dsão ditas metrizáveis. Exemplo 1.3.2. Uma estrutura uniforme num espa¸co induzida por uma métrica d é sempre separada, pois

\

U∈U_d

U = \

ǫ>0

Ud ǫ =

\

ǫ>0

(x, y)∈X×X;d(x, y)< ǫ}= ∆.

Vejamos alguns exemplos de topologias geradas por estruturas uniformes. Exemplo 1.3.3. A estrutura uniforme discreta gera a topologia discreta.

Exemplo 1.3.4. A estrutura uniforme indiscreta gera a topologia indiscreta.

Exemplo 1.3.5. Considere emR a estrutura uniforme que tem como base a cole¸c˜ao

Da = ∆∪ {(x, y)|x > a, y > a}.

para cada a ∈R. Observe que Da[x] ={x} toda vez que a ≥x. Consequentemente

esta estrutura uniforme gera a topologia discreta em R.

Os dois ´ultimos exemplos nos mostra que estruturas uniformes diferentes podem gerar topologias iguais.

Segue uma importante caracteriza¸c˜ao de espa¸cos uniformiz´aveis.

(21)

Demonstra¸cão: Ver [22], Teorema 38.2, página 256. Segue o seguinte corolário.

Corolário 1.3.1. Uma estrutura uniforme é metrizável se, e somente se, é separável e possui base enumerável.

Demonstra¸cão: Ver [22], Corolário 38.4, página 258.

Exemplo 1.3.6.ConsidereΩum conjunto bem ordenado não enumerável possuindo um maior elemento ω1 com a a seguinte propriedade: se α∈Ω e α < ω1 então

{β ∈Ω|β ≤α}

é enumerável. Os elementos do conjunto Ω são ditos ordinais com ω1 sendo o

primeiro ordinal n˜ao-enumer´avel. Denotamos por Ω0 = Ω− {ω1} o conjunto dos

ordinais enumer´aveis.

Para uma constru¸cão mais detalhada do conjunto dos números ordinais enu-meráveis indicamos a leitura de [22], páginas 10 e 11.

Vejamos o teorema abaixo.

Teorema 1.3.4. Seja A ⊂ Ω um subconjunto enumerável não contendo ω1 então

supA < ω1.

Demonstra¸c˜ao: Ver [22], Teorema 1.20, p´agina 11.

O próximo exemplo nos mostra que o fato da topologia gerada por uma estrutura uniforme ser metrizável não garante que a estrutura uniforme seja metrizável. Exemplo 1.3.7. ConsidereΩ0 o conjunto ordinais enumeráveis. Para cadaα∈Ω0,

seja

Dα ={(x, y)|x=y ou x > α, y > α}.

A estrutura uniforme gerada pela base {Dα : α ∈ Ω0} não é metrizável pois não

possui base enumerável já que todo subconjunto enumerável possui supremo inferior

a ω1. No entanto veja que qualquer base enumerável leva a constru¸cão da cole¸cão

Dαn com a propriedade supn{αn} = ω1. Por´em a topologia gerada ´e obviamente a

discreta pois Dα[β] ={β} se β < α.

(22)

Teorema 1.3.5. Existe uma estrutura uniforme em R que induz a topologia usual de R.

Demonstra¸c˜ao: Defina

Dǫ ={(x, y)∈R×R;|x−y|< ǫ}

para cada ǫ >0. Seja,

U0 ={U ⊂R×R|U ⊃Dǫ}

para algumǫ >0. Afirmamos que U0 ´e uma fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais sobre

R. De fato:

1. Seja U ∈ U0 ent˜ao ∃ǫ > 0 tal que Dǫ ⊂ U, da´ı veja que D0 ⊂ Dǫ e ∆ ⊂ D0

portanto ∆⊂U ∀U ∈ U0.

2. Se U, V ∈ U0 ent˜ao existem ǫ1, ǫ2 > 0 tais que Dǫ1 ⊂ U e Dǫ2 ⊂ V, assim

Dǫ ⊂Dǫ1 ∩Dǫ2 ⊂U ∩V com ǫ= min{ǫ1, ǫ2}.

3. Para todo U ∈ U0 ∃ǫ > 0 tal que Dǫ ⊂ U assim Dǫ2 ⊂ U. Mostremos que

Dǫ

2 ◦D

ǫ

2 ⊂U. Veja que,

U ◦U[x] ={y: (x, y)∈U ◦U}={y|∃z ∈R; (x, z)∈U,(z, y)∈U}

e

Dǫ

2 ◦D

ǫ

2[x] ={y: (x, y)∈D

ǫ

2 ◦D

ǫ

2}={y|∃z ∈R; (x, z)∈D

ǫ

2,(z, y)∈D

ǫ

2}

portanto

Dǫ

2[x] ={y: (x, y)∈D

ǫ

2}={y:|y−x|< ǫ/2}

assim,

Dǫ

2 ◦D

ǫ

2[x] ={y:|x−z|< ǫ/2,|z−y|< ǫ/2} ⊂ {y:|y−x|< ǫ}=Dǫ[x]

para cada x∈R. Desse modo temos que

Dǫ

2 ◦D

ǫ

2 ⊂Dǫ

assim Dǫ

2 ◦D

ǫ

(23)

4. Se U ∈ U0 ent˜ao para cada V tal que U ⊂ V temos que existe Dǫ ⊂ U ⊂ V

ent˜ao V ⊂U0.

Por fim, mostremos que topologia uniforme τU0 gerada por U0 coincide com a

topologia usual de R. De fato considere W ∈ τU0, sendo assim para cada x ∈ W

temos que existe U ∈ U0 tal que U[x] ⊂W. Por´em Dǫ ⊂ U para algum ǫ positivo

assim (x−ǫ, x+ǫ) = Dǫ[x] ⊂ U[x] ⊂ W portanto W ´e aberto na topologia usual

da reta. Por outro lado, considere um aberto qualquer O na topologia usual de R. Sendo assim para cadax∈O existeǫ >0 tal que (x−ǫ, x+ǫ) =Dǫ[x]⊂O. Desde

queDǫ ⊂U0 temos que por defini¸c˜ao de τU0, O ∈τU0

Por 1,2,3 e 4 temos queU0 ´e um estrutura uniforme emR que induz a topologia

usual.

Segue logo abaixo a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua em espa¸cos uniformes.

Defini¸c˜ao 1.3.5. Sejam X, Y espa¸cos uniformes com estruturas uniformes da-das respectivamente por D,E . Uma fun¸c˜ao f: X → Y se diz uniformemente cont´ınua se para cada E ∈ E existe D∈ D tal que (x, y)∈D⇒(f(x), f(y))∈E.

Sendo assim, vejamos.

Teorema 1.3.6. Toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua ´e cont´ınua

Demonstra¸cão: Suponha X, Y e D,E estruturas uniformes de X e Y respec-tivamente e f : X → Y uma fun¸cão uniformemente cont´ınua. Veja que E[f(x)] é uma vizinhan¸ca básica de f(x) para algum E ∈ E, pela continuidade uniforme existeD ∈ D de modo que (f(x), f(y)) ∈E. Portanto f(D[x])⊂ E[f(x)] assim f

´e cont´ınua em x∈X.

Defini¸cão 1.3.6. Uma aplica¸cão f : X −→ Y se diz um homeomorfismo uni-formesef é uniformemente cont´ınua com inversa também uniformemente cont´ınua.

(24)

1.4 Fam´ılia de coberturas uniformes 24

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Todo homeomorfismo uniforme ´e homeomorfismo.

Exemplo 1.3.8. Um homeomorfismo pode n˜ao ser uniforme. De fato considere a seguinte fun¸c˜ao f : R+ _−→ _R+ _{definida por} _f₍_x_{) =} 1

x e a sequˆencia de Cauchy

dada por {_n1}n∈N. Veja que f é homeomorfismo que não é uniforme, pois se fosse

deveria levar sequências de Cauchy em sequências de Cauchy, porém leva {1

n}n∈N

em {n}n∈N a qual não é uma sequência de Cauchy.

Observa¸cão: Existem espa¸cos uniformes homeomorfos que não são uniforme-mente homeomorfos. Para o leitor mais interessado indicamos ([22],ex 39.E).

Agora vejamos o conceito de equicontinuidade em espa¸cos uniformes:

Defini¸cão 1.3.7. Seja X um espa¸co topológico e Y um espa¸co uniforme. Uma fam´ılia F ⊂ C(X, Y) de fun¸cões cont´ınuas se diz equicont´ınua em x ∈ X se e somente se para cada D ∈ D com D estrutura uniforme de Y existir vizinhan¸ca U de x tal que f(U) ⊂ D[f(x)] para qualquer f ∈ F. Dizemos que a fam´ılia F de fun¸cõesf :X −→Y é equicont´ınuase for equicont´ınua em cada ponto de x∈X.

1.4 Fam´ılia de coberturas uniformes

A partir de agora desenvolveremos a constru¸cão de uma estrutura uniforme num espa¸co topológico em termos de uma fam´ılia O de coberturas, e não mais em sub-conjuntos do produto cartesiano X ×X . Em outras palavras, mostraremos ser poss´ıvel definir uma estrutura uniforme em X simplesmente listando coberturas para o espa¸co, as quais consistem de conjuntos de mesmo tamanho. Os resultados desta se¸cão fornecerão uma apresenta¸cão alternativa da teoria de espa¸cos uniformes mais adequada aos propósitos do próximo cap´ıtulo.

Defini¸c˜ao 1.4.1. Uma cobertura de um espa¸co uniforme (X,D)se diz uma cober-tura uniforme, se e somente, se pode ser refinada por uma cobertura da forma

UD ={D[x]|x∈X}

para algum D∈ D.

Defini¸cão 1.4.2. Se U é uma cobertura de X e A ⊂ X, a estrela de A com respeito a cobertura U é o conjunto:

(25)

1.4 Fam´ılia de coberturas uniformes 25

Defini¸cão 1.4.3. SeU e V são coberturas de X, dizemos queU é um refinamento estrelade V e escrevemos U∗ ≺ V, se e somente se para cada U ∈ U existe V ∈ V

tal que St[U,U]⊂V.

Teorema 1.4.1. A cole¸c˜ao O de todas coberturas uniformes de um espa¸co (X,D)

possui as seguintes propriedades:

a) se U1, U2 ∈ O, ent˜ao para algum U3 ∈ O,temos U3∗ ≺ U1 e U3∗ ≺ U2,

b) se U ≺ U′

e U ∈ O ent˜ao U′

∈ O.

Por outro lado, tomeO uma fam´ılia de coberturas de um conjunto X que satisfaz a) e b) ent˜ao a cole¸c˜ao de todos conjuntos da forma DU = S{U ×U|U ∈ U} com

U ∈ O ´e base para uma estrutura uniforme em X cujas coberturas uniformes s˜ao precisamente os elementos de O.

Sendo assim, os conceitos de fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais e fam´ılia de

co-berturas uniformes s˜ao equivalentes.

Demonstra¸c˜ao: Ver[22], Teorema 36.2, p´agina 244.

Observa¸cão: Uma cobertura de um espa¸co métrico (X, d) é uniforme se é refi-nada por{B(x, r) :x∈X} para algum r >0.

Agora vejamos como ficam definidos os conceitos de base e sub-base em fun¸c˜ao da fam´ılia de coberturas uniformes.

Defini¸cão 1.4.4. Uma base para uma estrutura uniforme O em X é uma sub-cole¸cão O′

de O tal que

O ={U|U′

≺ U :U′

∈ O′

}.

Defini¸cão 1.4.5. Qualquer fam´ılia de coberturas O de X que satisfaz o item a) da defini¸cão 1.4.4 é base para uma estrutura uniforme emX.

Defini¸cão 1.4.6. Uma sub-base para uma estrutura uniforme O é qualquer sub-cole¸cãoO′

de O para a qual cole¸c˜ao de todas interse¸c˜oes finitas de elementos de O′

formam uma base para O, com a interse¸c˜ao de coberturas definida por

U ∧ V ={U ∩V :U ∈ U, V ∈ V}

Teorema 1.4.2. Uma estrutura uniforme ´e gerada por uma m´etrica dse e somente se as coberturasUd

ǫ ={Uǫd|x∈X} por ǫ- esferas, ǫ >0 formam uma base.

(26)

1.5 Espa¸cos uniformes completos 26

1.5 Espa¸cos uniformes completos

Nesta se¸cão introduziremos conceitos relativos à completude de espa¸cos uniformes. Vários resultados serão listados, porém não demonstrados, já que no Cap´ıtulo 3 faremos em detalhes praticamente todas demonstra¸cões referentes à completude de um espa¸co fazendo uso de de uma estrutura ainda mais geral do que a fam´ılia de coberturas uniformes, a saber, a fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

Seguem algumas defini¸c˜oes e resultados:

Defini¸c˜ao 1.5.1. Seja O uma fam´ılia de coberturas uniformes em X e Λ um con-junto dirigido. Uma rede (xλ)λ∈_Λ ´e uma O-rede de Cauchy se e somente se para

cada U ∈ O existir λ0 ∈Λ tal que xλ1, xλ2 ∈U toda vez que λ1, λ2 > λ0.

Sabemos que propriedade topológica se, e somente se, é invariante por home-omorfismos, ao passo que propriedade métrica se, e somente se, é invariante por isometrias. Considere novamente a fun¸cãof :R+ −→R+ definida porf(x) = 1

x e a

sequˆencia de Cauchy dada por{1

n}n∈N. Perceba quef´e homeomorfismo, por´em leva

a sequˆencia {1

n}n∈N de Cauchy em {n}n∈N a qual n˜ao ´e de Cauchy. Dessa forma

conclu´ımos que ser de Cauchy não é propriedade topológica. Obviamente é uma propriedade métrica(invariante por isometrias). Sabemos por teoria de espa¸cos métricos que se f : M −→ N é uniformemente cont´ınua, então leva sequência de Cauchy em sequências de Cauchy. Desde que definimos homeomorfismo uniforme

como uma aplica¸cão uniformemente cont´ınua com inversa também uniformemente cont´ınua, então temos queM é completo se, e somente se N é completo.

Dessa forma conclu´ımos então queser completo é invariante por homeomorfismos uniformes. Buscando contextos mais gerais onde podemos falar em continuidade uniforme em ausência de métricas, percebemos que o conceito de estrutura uniforme nos permite entres outras coisas dizer que P é propriedade uniforme, se e somente se, é invariante por homeomorfismos uniformes.

Seguem alguns resultados e defini¸cões envolvendo fam´ılia de coberturas uniformes Defini¸cão 1.5.2. Uma fam´ılia de coberturas uniformesO étotalmente limitada, se e somente se, admite uma base consistindo de coberturas finitas. Se X é um

espa¸co munido de uma fam´ılia de coberturas uniformes totalmente limitada, dizemos

(27)

1.5 Espa¸cos uniformes completos 27

Lema 1.5.1. X ´e totalmente limitado, se e somente, se cada rede em X possui sub-rede de Cauchy.

Demonstra¸c˜ao:Ver [22], Lema 39.8, p´agina 262.

Teorema 1.5.1. Um espa¸co uniforme X ´e compacto, se e somente se, ´e completo e totalmente limitado.

Demonstra¸c˜ao:Ver [22], Teorema 39.9, p´agina 262.

Teorema 1.5.2. Uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua definida em um subconjunto A de um espa¸co uniforme X num espa¸co uniforme completo Y pode ser estendida

a A

Demonstra¸c˜ao:Ver [22], Teorema 39.10, p´agina 262.

(28)

CAP´ITULO 2

ESPAC

¸ OS TOPOL ´

OGICOS ADMISS´IVEIS

A ideia central deste cap´ıtulo consiste em apresentar conceitos da teoria de fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas .

Neste cap´ıtulo apresentaremos um estudo em detalhes dos espa¸cos topológicos admiss´ıveis, investigando suas principais propriedades e, além disso, forneceremos algumas demonstra¸cões de resultados clássicos de espa¸cos uniformes adaptadas ao contexto da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

No intuito de nos familiarizarmos com a estrutura admiss´ıvel imposta por tal fam´ılia, apresentaremos vários exemplos de espa¸cos topológicos que admitem fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Além do mais, mostraremos ser poss´ıvel caracte-rizar a topologia de um espa¸co através da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Nesse sentido, uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas garante ao espa¸co to-pológico propriedades muito similares, porém ainda mais gerais do que as proprie-dades comuns a espa¸cos métricos.

De fato, tal fam´ılia nos permite, construir certosabertos que se comportam como

(29)

2.1 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas 29

2.1 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas

Come¸camos estabelecendo as devidas nota¸c˜oes:

Defini¸c˜ao 2.1.1. Se U e V s˜ao coberturas de X, dizemos que U refina V ou que U

´e um refinamento de V e escrevemos U ≺ V se, e somente se, cada U ∈ U est´a contido em algum V ∈ V.

´

E fácil ver que a rela¸cão de refinamento é uma rela¸cão de pré ordem no conjunto de todas coberturas deX.

De fato,

1)U ≺ U (propriedade reflexiva).

2) Se U ≺ V e V ≺ W ent˜ao U ≺ W (propriedade transitiva).

Lema 2.1.1. SejaXconjunto eA⊂X um subconjunto deX. SeU ´e uma cobertura qualquer de X Ent˜ao:

St[A,U] = [

a∈A

St[a,U]

Demonstra¸c˜ao: Tome x ∈ St[A,U]. Assim x ∈ U para algum U ∈ U tal que

U∩A 6=∅. Portanto existea∈A∩U, da´ı temos quex, a∈U ∈ U, logox∈St[a,U]. Por outro lado tome x ∈ [

a∈A

St[a,U]. Ent˜ao x ∈ St[a,U] para algum a ∈ A. Da´ı, temos que x, a∈ U para algum U ∈ U. Desse modo, x ∈U para algum U ∈ U tal queU ∩A6=∅ ent˜ao x∈St[A,U].

Relembremos agora a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 2.1.2. SeU e V são coberturas de X, dizemos queU é um refinamento estrelade V e escrevemosU∗ ≺ V, se e somente se, para cadaU ∈ U, existe V ∈ V

tal que St[U,U]⊂V.

Defini¸cão 2.1.3. SeU e V são coberturas de X, dizemos queU é um refinamento duplo de V e escrevemos U ≺ 1

2V, se e somente se, para quaisquer U1, U2 ∈ U tais

queU1∩U2 6=∅ ent˜ao U1∪U2 ⊂V para algum V ∈ V.

(30)

2.1 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas 30

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Todo refinamento estrela ´e um refinamento duplo.

Demonstra¸c˜ao: Suponha queU∗ ≺ V. SejamU1, U2 ∈U tais queU1∩U2 6=∅.

Desde que U∗ ≺ V ent˜ao St[U1,U] ⊂ V para algum V ∈ V. Sendo assim, como

U1 ∩U2 6= ∅ temos que por defini¸c˜ao U2 ⊂ St[U1,U] ⊂ V. Portanto, U1 ∪U2 ⊂

St[U1,U]⊂V. Desse modo, temos que U ≺ 1₂V.

Observa¸cão: Nem todo refinamento duplo é um refinamento estrela. Em outras palavras, a rec´ıproca da proposi¸cão anterior não é válida. Considere a cobertura aberta (topologia usual) deR dada por:

U ={(−n, n) :n ∈N}.

Veja que U ≺ 1

2V pois dados U1, U2 ∈ U na forma Un = (−n, n) e Um = (−m, m),

com m, n∈N tais que U1∩U2 6=∅ent˜ao:

U1∪U2 =U1 ⊂U1

sen ≥m ou

U1∪U2 =U2 ⊂U2

se n ≥ m. Porém U não é um refinamento estrela de V. Observe que para todo

n∈N temos queU1 = (−1,1)⊂Un= (−n, n,) assim;

St[(U1,U] =St[(−1,1),U] =R.

SupondoU∗ ≺ U ter´ıamos que para U1 ∈ U;

St[U1,U] =R⊂Um

para algum m ∈ N, logo R ⊂ (−m, m) para algum m ∈ N, o que ´e um absurdo! Portanto, segue o resultado.

O seguinte teorema nos será útil na demonstra¸cão de alguns resultados posteri-ores, sua demonstra¸cão pode ser encontrada em [22].

Teorema 2.1.1. Um espa¸co X ´e paracompactoT1 se, e somente se, toda cobertura

aberta de X admite refinamento estrela.

(31)

2.2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e exemplos 31

Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja Y ⊂ X um subconjunto aberto, suponha A ⊂ Y um sub-conjunto qualquer de Y. Uma cobertura U de X ´e dita A- subordinada a Y se St[A,U]⊂Y.

Vejamos agora a defini¸c˜ao de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

Defini¸c˜ao 2.1.5. Uma fam´ılia O de coberturas abertas de X se diz admiss´ıvel se satisfaz as seguintes propriedades:

1. Para cada U ∈ O, existe V ∈ O tal que V ≺ 1 2U.

2. Se Y ⊂X é um aberto qualquer deX e K um compacto em X tal que K ⊂Y, então existe U ∈ O cobertura aberta de X de modo que U éK- subordinada a Y.

3. Para quaisquer U,V ∈ OexisteW ∈ O tal queW ≺ U eW ≺ V, ou seja, duas coberturas abertas quaisquer da fam´ılia O admitem refinamento simultˆaneo.

Note que as propriedades 1 e 3 equivalem a seguinte: Dadas U,V ∈ O existe

W ∈ O tal que W ≺ 1

2U e W ≺

1

2V. Sendo assim, temos uma defini¸c˜ao alternativa

de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas que nos ser´a ´util em alguns casos mais adiante ao longo do texto.

Observa¸cão: As propriedades 1 e 2 da defini¸cão anterior garantem que as estre-lasSt[x,U] para x∈X e U ∈ O formam uma base para uma topologia em X,(Ver proposi¸cão [2.2.1]) enquanto que a propriedade 3 assegura que a fam´ılia O é um conjunto dirigido segundo a rela¸cão de pré ordem por refinamentos.

2.2 Espa¸cos topol´

ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜

oes e

exemplos

Nesta se¸cão definiremos espa¸cos topológicos admiss´ıveis e daremos alguns exemplos. Defini¸cão 2.2.1. Dizemos que um espa¸co topológico X é admiss´ıvel se admitir fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

(32)

coberturas abertas de X e Y respectivamente. Caso contrário, se X for o único espa¸co topológico admiss´ıvel envolvido, indicaremos uma fam´ılia admiss´ıvel paraX

simplesmente porO.

Defini¸cão 2.2.2. Uma base para uma fam´ılia admiss´ıvel O em X é qualquer sub-cole¸cão O′

de O tal que

O ={U :U′

≺ U :U′

∈ O′

}.

Proposi¸cão 2.2.1. Considere X um espa¸co topológico admiss´ıvel com O fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. A cole¸cão

{St[x,U]|x∈X,U ∈ O}

´e uma base para uma topologia em X.

Demonstra¸c˜ao: Veja que, por defini¸c˜ao, para todo x∈X e U ∈ O, temos que

St[x,U] é aberta, por ser união de abertos de X. Verifiquemos as condi¸cões de base:

• Para todo x∈X veja que x∈St[x,U].

• Sejam St[x,U], St[y,V] elementos da fam´ılia {St[x,U]|x∈X,U ∈ O}tais que

St[x,U]∩St[y,V]6= ∅. Tome z ∈St[x,U]∩St[y,V]. Desde que os conjuntos

St[x,U], St[y,V] são abertos por defini¸cão, aplicando a condi¸cão 2) de fam´ılia admiss´ıvel ao compacto {z} ⊂St[x,U]∩St[y,V] temos que existeW ∈ O tal queSt[z, W]⊂St[x,U]∩St[y,V]. Portanto, a cole¸cão{St[x,U]|x∈X,U ∈ O}

´e base para uma topologia em X.

Teorema 2.2.1. Considere (X, τ) um espa¸co topológico admiss´ıvel com O fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Um subconjuntoU ⊂X é aberto se, e somente se, para cada x ∈ U existe U ∈ O tal que St[x,U] ⊂ U. Ou seja, a topologia gerada pela base {St[x,U]|x∈X,U ∈ O} coincide com a topologia já existente no espa¸co.

Demonstra¸cão: Sejam U aberto em X e x ∈ U. Pela condi¸cão 2) de fam´ılia admiss´ıvel existe Ux ∈ O tal que Ux é {x}-subordinada ao aberto U, ou seja,

St[x,Ux]⊂U, logo U ⊂ [ x∈U

St[x,Ux]⊂U assim U = [

x∈U

(33)

Pelas duas proposi¸cões anteriores perceba que a topologia de um espa¸co ad-miss´ıvel é caracterizada pelos conjuntos St[x,U]. Em resumo, tais conjuntos cum-prirão papel similar ao desempenhado pelas bolas em espa¸cos métricos.

Segue logo abaixo um importante teorema de caracteriza¸c˜ao de espa¸cos Hausdorff paracompactos.

Teorema 2.2.2. Se X é um espa¸co topológico Hausdorff paracompacto então a fam´ılia de todas coberturas abertas deX é admiss´ıvel.

Demonstra¸c˜ao: Tome X um espa¸co Hausdorff paracompacto e denote por

O(X) a fam´ılia de todas coberturas abertas de X. ComoX ´e paracompacto Haus-dorff, X ´e paracompacto T1, portanto, pelo Teorema 2.1.1, temos que para cada

U ∈ O(X) existe V ∈ O(X) tal que V∗ ≺ U. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.1, V ≺ 1 2U .

Agora, considere Y ⊂ X um subconjunto aberto de X e K ⊂ Y um compacto contido em Y. Por hip´otese,X´e Hausdorff, eKcompacto implicaK fechado , assim

U = {Y, X\K} ´e uma cobertura aberta de X. Tome V ⊂ O(X) tal que V∗ ≺ U. Se V ∈ V com K ∩V 6=∅, ent˜ao V ⊂/ X\K o que implica que V ⊂ Y, portanto

St[K,V]⊂Y, da´ıV ´eK subordinada aY. Por fim, veja que seU,V ∈ O(X), ent˜ao

U ∧ V ≺ U eU ∧ V ≺ V, portanto a fam´ılia O(X) ´e admiss´ıvel.

Exemplo 2.2.1. Se X é um espa¸co topológico Hausdorff compacto então a fam´ılia

Of de todas coberturas abertas finitas de X ´e admiss´ıvel.

De fato, todo espa¸co Hausdorff compacto ´e paracompacto T1 e toda cobertura

aberta admite uma subcobertura finita.

Reproduziremos a demonstra¸cão do lema abaixo no intuito de tornar o texto mais claro, porém a mesma pode ser encontrada em ([14],Cap´ıtulo 2, página 42). Lema 2.2.1. Seja (X, d) um espa¸co métrico. Para todo ǫ > 0 e Y ⊂ X temos as inclusões:

St[Y,Uǫ

(34)

Demonstra¸c˜ao: Mostremos primeiramente que: St[Y,Uǫ

2] ⊂ B(x, ǫ). De fato

tome a∈ St[Y,Uǫ

2] assim a ∈B(x,

ǫ

2) tal que B(x,

ǫ

2)∩Y 6=∅. Assim existe y ∈Y

tal que y∈B(x,₂ǫ) logo por desigualdade triangular;

d(a, y)≤d(a, x) +d(x, y)< ǫ

2 +

ǫ

2 =ǫ. Por fim, veja que dessa forma temos:

d(a, Y) = inf{d(a, y);y∈Y} ≤d(a, y)< ǫ

então a ∈ B(Y, ǫ) = {x|d(x, Y) < ǫ}. Mostremos agora que B(Y, ǫ) ⊂ St[Y,Uǫ]. Suponha a /∈ St[Y,Uǫ] então o elemento a não pertence a qualquer bola de raio ǫ

que intercepteY. Em especiala /∈B(y, ǫ) para todo y∈Y, ou seja,d(a, y)≥ǫpara todo y ∈ Y. Consequentemente, temos que ǫ ´e uma cota inferior para o conjunto

{d(a, y);y ∈Y}assim por defini¸c˜ao de ´ınfimo:

d(a, Y) = inf{d(a, y);y∈Y} ≥ǫ.

Portantoa /∈B(Y, ǫ), e est´a demonstrado o lema.

O próximo exemplo nos mostra que espa¸cos métricos são admiss´ıveis.(Ver [13], exemplo 3, página 160) e ([14],Cap´ıtulo 2 página 42, Lema 2.4)

Exemplo 2.2.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, assim a fam´ılia Od de todas co-berturasUǫ={B(x, ǫ) :x∈X} com ǫ >0 ´e admiss´ıvel.

SeUǫ∈ Od ent˜ao Uǫ

2 ≺ 1

2Uǫ. De fato, considere B(x1,

ǫ

2), B(x2,

ǫ

2)∈ U2ǫ tais que

B(x1,₂ǫ)∩B(x2,ǫ₂) 6=∅, logo existe z ∈ B(x1,₂ǫ) e z ∈ B(x2,₂ǫ) assim d(z, x1) < ₂ǫ

e d(z, x2) < ₂ǫ, portanto B(x1,ǫ₂)∪B(x2,ǫ₂) ⊂ B(z, ǫ) ∈ Uǫ, pois se tivermos: a ∈

B(x1,₂ǫ)∩B(x1,₂ǫ) ent˜aod(a, z)≤d(a, x1) +d(x1, z)< ǫ₂+ǫ₂ =ǫ assim a∈B(z, ǫ).

Se a ∈ B(x2,ǫ₂) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x2) +d(x2, z) < ₂ǫ + ₂ǫ = ǫ assim a ∈ B(z, ǫ).

Por fim, Se a ∈ B(x1,ǫ₂)∩B(x2,₂ǫ) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x1) +d(x1, z) < ₂ǫ + ǫ₂ =ǫ

logo a ∈ B(z, ǫ). Seja U aberto em (X, d) e K ⊂ U um compacto contido em U. Defina o fechadoF =X\U e a seguinte fun¸c˜ao cont´ınua :

g :K −→R

(35)

2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 35

Observe queg(a)>0 para todoa∈F pois seg(a) = 0 para alguma∈F d(a, F) = 0 então a ∈ F =F então a ∈F absurdo! desde que F ∩K =∅. Como g é cont´ınua definida num compacto assume valor m´ınimo digamos

ǫ = min{g(a);a∈K}.

Sendo assim , temos que ǫ >0 e B(K, ǫ) ⊂U. De fato B(K, ǫ)∩F = ∅, portanto

B(K, ǫ) est´a contido no complementar de F logo B(K, ǫ) ⊂ U. Fazendo uso do lema anterior temos que St[K,Uǫ

2] ⊂ B(K, ǫ) ⊂ U ent˜ao St[K,U

ǫ

2] ⊂ U. Sejam

Uǫ1 e Uǫ2 coberturas de X por ǫ1, ǫ2-bolas. Assim tome ǫ = min{ǫ1, ǫ2}, ent˜ao

Uǫ ≺ Uǫ1 e Uǫ ≺ Uǫ2. De fato, seja B(x, ǫ) ⊂ Uǫ. Assim B(x, ǫ) ⊂ B(x, ǫ1) ∈ Uǫ1 e

B(x, ǫ)⊂B(x, ǫ2)∈ Uǫ1.

2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis

Nesta se¸c˜ao investigaremos as principais propriedades topol´ogicas dos espa¸cos ad-miss´ıveis.

Teorema 2.3.1. Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O(X) uma fam´ılia ad-miss´ıvel de coberturas abertas para X. Tome Y ⊂X um subespa¸co topol´ogico de X com a topologia induzida, para cada U ∈ O(X) defina:

UY ={U∩Y|U ∈ U}

Ent˜ao

O(Y) ={UY|U ∈ O(X)}

´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y.

Demonstra¸cão: Primeiramente observe que, as coberturas UY ∈ O(Y) são abertas emY. Veja que os elementos U∩Y ∈ UY são abertos em Y, para qualquer

U ∈ O(X) j´a queU ∈ U com U cobertura aberta de X.

1. Tome UY ∈ O(Y) uma cobertura qualquer de O(Y). Como X ´e admiss´ıvel existe V ∈ O(X) tal que V ≺ 1

2U. Afirmamos que VY ≺ 1

2UY. De fato, sejam

(V1∩Y),(V2∩Y)∈ UY tais que (V1∩Y)∩(V2∩Y)6=∅logoV1∩V2 6=∅por´em

V1, V2 ∈ V com V ≺ 1₂U temos que V1 ∪V2 ⊂ U para algum U ∈ U. Por fim

(36)

2. Seja A∩Y um aberto qualquer de Y e K ⊂ A∩Y um compacto qualquer contido nesse aberto. Por defini¸cão de topologia induzida temos que A é aberto em X. Desde que K ⊂ A∩Y assim K ⊂ A, como X é admiss´ıvel existe U ∈ O(X) tal que St[K,U] ⊂ A. Considere UY ∈ O(Y). Afirmamos que St[K,UY] ⊂ A∩Y. De fato seja a ∈ St[K,UY] então a ∈ U ∩Y para algum U ∩Y ∈ UY com U ∈ U, tal que x∈U ∩Y para algum x∈K. Dessa forma, temos que a, x ∈ U ∈ U e a, x ∈ Y. Portanto a ∈ St[K,U] ⊂ A da´ı

a ∈A, e desde que a∈Y, teremos que a∈U ∩Y.

3. Sejam UY,VY ∈ O(Y) assim U,V ∈ O(Y). Desde que O(Y) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X temos que existeW ∈ O(X) tal que

W ≺ U e W ≺ V. Afirmamos que WY ≺ UY e WY ≺ VY. De fato seja

W ∩Y ∈ WY, com W ∈ W porém W ≺ U então W ⊂U para algum U ∈ U. Portanto W ∩Y ⊂ U ∩Y com U ∩Y ∈ UY, assim WY ≺ UY. Do mesmo modo, tomemos W ∩Y ∈ WY, com W ∈ W. Porém W ≺ V então W ⊂ V

para algum V ∈ V, e portanto, W ∩Y ⊂ V ∩Y com U ∩Y ∈ VY. Assim

WY ≺ VY.

Veja que pelo teorema anterior temos que subespa¸cos de espa¸cos topológicos admiss´ıveis também são admiss´ıveis, ou seja, uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre o espa¸co X, induz de maneira natural uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre o subespa¸coY.

Lema 2.3.1. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis e O(X) e O(Y) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Para quaisquer U ⊂X, V ⊂

Y, U ∈ O(X) e V ∈ O(Y) temos que:

St[U×V,U × V] =St[U,U]×St[V,V]

Demonstra¸c˜ao: Tome (x, y)∈St[U×V,U × V] ent˜ao (x, y)∈Ux×Vy ∈ U × V

para algum Ux ×Vy ∈ U × V tal que (Ux × Vy) ∩(U × V) 6= ∅. Logo existe

(z, w)∈(Ux×Vy)∩(U×V). Da´ız∈Ux∩U ew∈Vy∩V portantox∈Ux ∈ U tal que

(37)

portanto (x, y) ∈St[U,U]×St[V,V] assim St[U ×V,U × V]⊂ St[U,U]×St[V,V]. Reciprocamente tome (x, y)∈St[U,U]×St[V,V], ent˜ao x∈St[U,U] e y∈St[V,V] assimx∈Ux ∈ U para algumUx ∈ U tal queUx∩U 6=∅ logo existez ∈Ux∩U. De

mesmo modo,y∈Vy ∈ V tal queVy∩V 6=∅logo existew∈Vy∩V. Dessa maneira o

par (z, w)∈(Ux×Vy)∩(U×V) = Ux∩Vy×U∩V. Portanto (x, y)∈Ux×Vy ∈ U ×V

com Ux×Vy∩U ×V 6=∅ ent˜ao (x, y)∈St[U ×V,U × V].

Observa¸cão: Assim como espa¸cos uniformes, existem também espa¸cos ad-miss´ıveis homeomorfos que não são uniformemente homeomorfos.

Teorema 2.3.2. Sejam X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Considere Y um espa¸co homeomorfo a X.

Ent˜aoY ´e admiss´ıvel.

Demonstra¸cão: Seja f : X −→ Y um homeomorfismo entre os espa¸cos to-pológicos X e Y. Suponha X admiss´ıvel, e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de co-berturas abertas para X. Para cada U ∈ O(X) defina f(U) = {f(U)|U ∈ U}. Induzindo a fam´ılia admiss´ıvel, os espa¸cos são uniformemente homeomorfos. As-sim a cole¸cão O(Y) = {f(U)|U ∈ O(X)} é uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y. Primeiramente note que f é sobrejetora então f(X) = Y, desde

X = [

U∈U

U ent˜ao Y =f(X) = [

U∈U

f(U) para cada U ∈ O(X). Dessa forma, para cada U ∈ O(X) temos que f(U) é uma cobertura para Y . Por outro lado, temos que os elementos f(U) ∈ f(U) são abertos, pois cada U ∈ U é aberto, já que U é uma cobertura aberta da fam´ıliaO(X). Agora, como f é homeomorfismo, portanto uma aplica¸cão aberta temos que f(U) é aberto logo f(U) é uma cobertura aberta deY para cada U ∈ O(X). Mostremos que O(Y) é admiss´ıvel.

1. Sejaf(U)∈ O(Y). Desde queO(X) ´e fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X, considereV ∈ O(X) tal queV ≺ 1

2U. Afirmamos que: f(V)≺ 1 2f(U).

De fato, sejamf(V1),f(V2)∈f(V) tais quef(V1)∩f(V2)6=∅. Logo exitey=

f(x1) =f(x2) com x1 ∈V1 e x2 ∈V2 desde que f ´e bije¸c˜ao temos que x1 =x2

assim V1 ∩V2 6= ∅. Como V ≺ 1₂U ent˜ao V1 ∪V2 ⊂ U da´ıf(V1∪V2)⊂ f(U)

para algum U ∈ U, portanto f(V1)∪f(V2) ⊂ f(V1 ∪V2) ⊂ f(U) para algum

(38)

2. Tome A ⊂ Y um aberto qualquer em Y e K ⊂ A um compacto contido no aberto A. Desde que f : X −→ Y ´e homeomorfismo ent˜ao f−1 _: _Y _−→ _X

é cont´ınua, da´ı como K ⊂ Y é compacto temos que f−1₍_K_{) é compacto em}

X. Por outro lado, K ⊂ A ent˜ao f−1₍_K₎ _⊂ _f−1₍_A_{) como} _f _{´e cont´ınua e} _A

´e aberto em Y assim teremos f−₁

(A) aberto em X. Desse modo temos um compacto f−1₍_K_{) contido num aberto}_f−1₍_A_{) de}_X_{, portanto, desde que} _X _´e

admiss´ıvel, aplicando a condi¸c˜ao 2 de fam´ılia admiss´ıvel ao compacto f−₁

(K) contido no aberto f−1₍_A_{) existe} _{U ∈ O}₍_X_{) tal que} _St_[_f−1₍_K₎_,_U_] _⊂ _f−1₍_A_).

Afirmamos mais uma vez que St[K, f(U)] ⊂ A. Seja y ∈ St[K, f(U)], ent˜ao existe x∈ K tal que y, x ∈f(U) ∈f(U) para algum U ∈ U; ent˜aoy =f(x1)

e x =f(x2) com x1, x2 ∈U. Logo x1 ∈ St[f−1(K),U] desde que x1, x2 ∈ U e

x2 ∈f−1(K), j´a que f(x2) = x∈K. Agora comoSt[f−1(K),U]⊂f−1(A) da´ı

x1 ∈f−1(A), portanto y=f(x1)∈A e est´a demonstrado.

3. Sejam f(U) e f(V) ∈ O(Y), assim U,V ∈ O(X). Desde que O(X) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X existe W ≺ U e W ≺ V. Afirmamos que f(W)≺f(U) ef(W)≺f(V). Consideref(W)∈f(W) ent˜ao

W ∈ W, por´em W ≺ U assim W ⊂ U para algum U ∈ U. Assim temos que f(W) ⊂ f(U) ∈ f(U), portanto, f(W) ≺ f(U). De mesmo modo, tome

f(W)∈f(W) ent˜ao W ∈ W, por´emW ≺ V assimW ⊂V para algumV ∈ V

assim f(W) ⊂ f(V) ∈ f(V) portanto f(W) ≺ f(V). Assim conclu´ımos que

O(Y) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y, sendo assim Y

´e admiss´ıvel.

Agora provaremos que o produto cartesiano finito de espa¸cos admiss´ıveis ´e ad-miss´ıvel.

Teorema 2.3.3. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis munidos respectiva-mente com as fam´ılias admiss´ıveis O(X) e O(Y). Dados U ∈ O(X) e V ∈ O(Y), defina

U × V ={U ×V :U ∈ U, V ∈ V}

Ent˜ao a fam´ılia

(39)

´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X×Y.

Demonstra¸c˜ao:

1) SejaU ×V, um elemento qualquer deO(X×Y). AssimU ∈ O(X) eV ∈ O(Y). Temos por hip´otese queO(X) eO(Y) s˜ao fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas deX, Y respectivamente, logo existem U′

∈ O(X) e V′

∈ O(Y) tais que U′

≺ 1 2U e

V′

≺ 1

2V. Afirmamos que U ′

× V′

≺ 1

2U × V. De fato tomemos U ′

1×V

′ 1, U

′ 2×V

′

2 ∈

U′

× V′

tais que (U′ 1×V

′ 1)∩(U

′ 2×V

′

2)6=∅da´ı teremos queU ′ 1∩U

′

2 6=∅ eV ′ 1∩V

′ 2 6=∅,

Por´em temos que U′

≺ 1

2U logo U ′

1 ∪U

′

2 ⊂ U ∈ U para algum U ∈ U. De modo

inteiramente an´alogo V′

≺ 1

2V logo V ′ 1 ∪V

′

2 ⊂ V ∈ V para algum V ∈ V. Por fim

veja que: (U′

1 ×V

′ 1)∪(U

′

2×V

′

2)⊂ (U ′

1 ∪U

′ 2)×(V

′ 1 ∪V

′

2)⊂ U ×V ∈ U × V. Dessa

forma mostramos ser v´alida a condi¸c˜ao 1 de fam´ılia admiss´ıvel. 3) Sejam U × V ,U′

× V′

∈ O(X × Y). Ent˜ao por defini¸c˜ao da fam´ılia de coberturasO(X×Y) temos que U,U′

∈ O(X) eV,V′

∈ O(Y). ComoO(X) eO(Y) s˜ao fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas paraX, Y respectivamente temos que existe U0 ∈ O(X) e V0 ∈ O(Y) tais que U0 ≺ U,U′ e V0 ≺ V,V′. Afirmamos que

U0× V0 ≺ U × V,U′ × V′. De fato, se U0×V0 ∈ U0× V0 ent˜ao U0 ∈ U0 e V0 ∈ V0.

Como U0 ≺ U temos que U0 ∈U ∈ U, para algum U ∈ U. Analogamente, V0 ≺ V,

da´ıV0 ⊂ V ∈ V, para algum V ∈ V. Portanto U0×V0 ⊂ U ×V ∈ U × V, assim

U0× V0 ≺ U × V. De modo inteiramente an´alogo mostra-se que U0× V0 ≺ U′× V′.

2) Seja K ⊂ N ⊂ X×Y um compacto contido em um aberto qualquer N do espa¸co produto X ×Y. Tome (x, y) ∈ K ⊂ N. Desde que N ´e aberto em X ×Y

existe um aberto b´asico na topologia produto digamos Ux,y×Vx,y com Ux,y aberto

em X e Vx,y aberto em Y, tal que (x, y) ∈ Ux,y×Vx,y ⊂ N. Assim x ∈ Ux,y ⊂ X

e desde que X ´e admiss´ıvel existe uma cobertura aberta Ux,y ∈ O(X) a qual ´e

{x}-subordinada ao aberto Ux,y, ou seja, St[x,Ux,y] ⊂ Ux,y. De mesm´ıssimo modo

temos y ∈ Vx,y ⊂ Y, e desde que Y ´e admiss´ıvel existe uma cobertura aberta Vx,y ∈ O(Y) a qual ´e {y}-subordinada ao aberto Vx,y, ou seja, St[y,Vx,y] ⊂ Vx,y.

Portanto, temos que St[x,Ux,y]×St[y,Vx,y] ⊂ Ux,y ×Vx,y. Usando o Lema 2.3.1,

temos que St[(x, y),Ux,y × Vx,y] = St[x,Ux,y]×St[y,Vx,y] e desde que St[x,Ux,y]×

St[y,Vx,y] ⊂ Ux,y ×Vx,y ⊂ N ent˜ao St[(x, y),Ux,y × Vx,y] ⊂ N. Pela condi¸c˜ao 1

j´a mostrada, tomemos U∗

x,y× V

∗

x,y ∈ O(X×Y) tal que U

∗

x,y × V

∗

x,y ≺ 12Ux,y × Vx,y.

Veja que K ⊂ [

(x,y)∈K

St[(x, y),U∗

x,y× V

∗

(40)

subcobertura finita, digamos K ⊂ n

[

i=1

St[(xi, yi),U∗

xi,yi× V

∗

xi,yi]. Considere agora, U × V ≺ U∗

xi,yi× V

∗

xi,yi para todo i= {1, ..., n}. Afirmamos que St[K,U × V]⊂ N.

De fato, tomemos (z, w) ∈ St[K,U × V]. Assim existe U ×V ∈ U × V tal que (z, w),(x, y) ∈ U ×V com (x, y) ∈ K. Repare que U × V ≺ U∗

xi,yi × V

∗

xi,yi para

todo i, portanto U ×V ⊂ Ui × Vi para algum Ui × Vi ∈ U

∗

xi,yi × V

∗

xi,yi. Assim

(z, w),(x, y) ∈ Ui ×Vi ∈ Uxi,yi∗ × V

∗

xi,yi. Por outro lado, note que (x, y) ∈ K ⊂ n

[

i=1

St[(xi, yi),U∗

xi,yi× V

∗

xi,yi] ent˜ao temos que (x, y),(xi, yi)∈U

′

i×V

′

i ∈ U

∗

xi,yi× V

∗

xi,yi

para algum i. Sendo assim, temos que (x, y) ∈ Ui ×Vi e (x, y) ∈ Ui′ ×V

′

i ent˜ao

Ui ×Vi ∩Ui′ ×V

′

i 6= ∅. Como U

∗

xi,yi× V

∗

xi,yi ≺ 1₂Uxi,yi× Vxi,yi logo Ui ×Vi ∪Ui′ ×

V′

i ∈ Z ×W para algum Z ×W ∈ Uxi,yi× Vxi,yi ent˜ao desde que (z, w),(xi, yi) ∈

Ui ×Vi ∪Ui′×V

′

i temos que (z, w),(xi, yi) ∈ Z ×W ∈ Uxi,yi× Vxi,yi. Desse modo,

(z, w) ∈ St[(xi, yi),Uxi,yi× Vxi,yi] ⊂ Uxi,yi×Vxi,yi ⊂ N. Logo U × V ∈ O(X ×Y)

´e K-subordinada ao aberto N. Por 1,2 e 3 o produto cartesiano de dois espa¸cos admiss´ıveis ´e admiss´ıvel.

Do teorema anterior temos o seguinte corol´ario:

Corolário 2.3.1. O produto cartesiano finito de espa¸cos topológicos admiss´ıveis é admiss´ıvel

Demonstra¸c˜ao: Como X1 ×...×Xn = (X1 ×...× Xn−1)×Xn, o corol´ario

resulta de sucessivas aplica¸c˜oes do teorema anterior.

Segue uma importante caracteriza¸c˜ao de espa¸cos admiss´ıveis a qual julgamos ser o resultado mais importante deste trabalho.

Teorema 2.3.4. Um espa¸co X é uniformizável se, e somente se, é admiss´ıvel.

Demonstra¸c˜ao: Tomemos O uma base para uma fam´ılia de coberturas unifor-mes emX. Afirmamos que O ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para

X. De fato, por defini¸c˜ao de cobertura uniforme temos que:

1. Para quaisquer U1,U2 ∈ O existe algumU3 ∈ O tal que U3∗ ≺ U1 e U3∗ ≺ U2

da´ı temos queU3 ≺ 1₂U1 eU3 ≺ 1₂U2 pois refinamentos do tipo estrela implicam

(41)

2. Seja Y ⊂ X um aberto de X e K ⊂ Y um compacto qualquer de X contido em Y. Sabemos que os conjuntos da formaSt[x,U] para algumU ∈ Oformam uma vizinhan¸ca b´asica em x na topologia uniforme de X. Sendo assim, para cada x ∈ K, existe Ux ∈ O tal que St[x,Ux] ⊂ Y. Considere U∗

x ≺ 1₂Ux

com U∗

x ∈ O. Agora veja K ⊂

[

x∈K

St[x,U∗

x] ´e uma cobertura aberta de

K. Desde que K ´e compacto, considere uma subcobertura finita digamos

K ⊂ n

[

i=1

St[xi,U∗

xi] . Agora tome V ≺ U

∗

xi para todo i∈ {1, ..., n}. Afirmamos

queSt[K,V]⊂Y. De fato, sez ∈St[K,V], ent˜ao existex∈Ktal quez, x∈V

para algum V ∈ V. Desde que V ≺ U∗

xi temos que para todo i ∈ {1, ..., n},

V ∈ Ui para algum Ui ∈ Uxi∗. Por outro lado, x ∈ K ⊂ n

[

i=1

St[xi,U∗

xi] da´ı

x, xi ∈ U′

i ∈ U

∗

xi para algum i. Assim x ∈ Ui e x ∈ Ui′ portanto Ui ∩Ui′ 6= ∅.

Agora como U∗

xi ≺ 12Uxi ent˜ao temos que Ui ∪U ′

i ∈Uxi para algum Uxi ∈ Uxi

portanto z, xi ∈ Uxi ∈ Uxi logo z ∈ St[xi,Uxi], como St[xi,Uxi] ⊂ Y segue o

resultado.

Por outro lado, seja uma fam´ılia admiss´ıvelO de coberturas abertas deX. Para cada U ∈ O defina a seguinte cobertura aberta de X:

BU ={St[x,U] :x∈X}

Seja BO = {BU : U ∈ O} a fam´ılia de todas as coberturas abertas do espa¸co

topol´ogicoX por U-vizinhan¸cas. Mostremos queBO ´e uma base para um estrutura

uniforme emX. SejamBU1, BU2 ∈ BO. AssimU1,U2 ∈ O. Desde queO´e admiss´ıvel,

considere U3 ∈ O tal que U3 ≺ 1₂U1 e U3 ≺ 1₂U2. Seja W ∈ O tal que W ≺ 1₂U3.

Afirmo que BW∗ ≺ BU1. De fato, tome St[x,W] ∈ BW um elemento qualquer da

cobertura BW e z ∈ St[St[x,W], BW]. Ent˜ao z ∈ St[y,W] para algum St[y,W] ∈

BW tal que St[y,W]∩St[x,W] 6= ∅. Logo existe a ∈ X tal que a ∈ St[y,W] e

a ∈ St[x,W]. Da´ıa, y ∈ W1 ∈ W e a, x ∈ W2 ∈ W. Desse modo W1∩W2 6= ∅ e

desde que W ≺ 1

2U3 temos que W1 ∪W2 ⊂ U3 para algum U3 ∈ U3. Dessa forma

y, x ∈ U3 ∈ U3. Por outro lado temos que z ∈ St[y,W] e portanto z, y ∈ W para

algumW ∈ W. Desde queW ≺ 1

2U3 temos queW ⊂U ′

3 para algumU ′

3 ∈ U3. Dessa

formaz, y ∈U′

3 ∈ U3. Sendo assim, veja queU3∩U3′ =6 ∅. ComoU3 ≺ 1₂U1 temos que

U3 ∪U3′ ⊂ U para algum U ∈ U1. Logo z, x ∈ U ∈ U1 e assim z ∈ St[x,U1] ∈ BU1

(42)

BU2. Conclu´ımos assim que X é um espa¸co topológico uniformizável.

Desde que o produto cartesiano arbitrário de espa¸cos uniformizáveis é unifor-mizável (Ver [22], Teorema 37.5, página 252) temos pelo Teorema 2.3.4 que o produto cartesiano arbitrário de espa¸cos admiss´ıveis também é admiss´ıvel.

A proposi¸c˜ao abaixo generaliza o resultado de que todo espa¸co pseudom´etricoT0

´e um espa¸co m´etrico.

Proposi¸cão 2.3.1. Se X é um espa¸co admiss´ıvel T0 então X é Hausdorff.

Demonstra¸c˜ao: Considere O uma fam´ılia de coberturas abertas admiss´ıvel de

X ex, y ∈X. Por hip´oteseX ´e um espa¸coT0, sendo assim tomeV ⊂X comx∈V

ey /∈V. EscolhaU,V ∈ Ode modo que U ´e{x}-subordinada ´aV eV ≺ 1

2U. Agora

tomeV1, V2 ∈ V comx∈V1ey∈V2. Afirmamos queV1∩V2 =∅. De fato temos que

V ≺ 1

2U logo se V1∩V2 6=∅, existiria U ∈ U tal queV1∪V2 ⊂U, da´ıx, y ∈U, ent˜ao

y ∈ St[x,U].Porém U é {x}- é subordinada á V, ou seja, St[x,U] ⊂ V. Portanto

y∈V, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Sendo assimV1 ∩V2 =∅.

Observe que nem todo espa¸co Hausdorff ´e admiss´ıvel. De fato considere (R, τ) a reta munida da K-topologia gerada pela base {(a, b),(a, b)−K |a, b ∈ R} com

K = {1

n|n ∈ N}. Obviamente (R, τ) ´e Hausdorff, desde que τ ´e mais fina do que a

topologia usual emR. Porém (R, τ) não é regular desde que 0 e K não podem ser separados por abertos disjuntos não vazios. Assim (R, τ) não é completamente regu-lar e portanto não-uniformizável. Pelo Teorema 2.3.4 temos que (R, τ) é Hausdorff não-admiss´ıvel.

Vejamos o exemplo abaixo.

Exemplo 2.3.1. Note que um espa¸co admiss´ıvel não necessariamente é um espa¸co T0. Considere X munido com a topologia trivial. Logo X obviamente não é um

espa¸coT0 já que seus pontos não são distingu´ıveis. Porém,O ={X}evidentemente

´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X.

(43)

com espa¸cos que admitem fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. No intuito de tornar o texto mais conciso, reproduziremos sua demonstra¸c˜ao, que pode ser encontrada em ([14], Cap´ıtulo 2, p´agina 42, Lema 2.4).

Lema 2.3.2. Sejam U e V duas coberturas de X pertencentes `a fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas O. Se V ≺ 1

2U e x∈X, ent˜ao St[x,V]⊂St[x,U].

Demonstra¸c˜ao: Tomey∈St[x,V], e considereV ∈ V um aberto tal quey∈V. Logo existe a ∈ St[x,V] com a ∈ V. Como a ∈ St[x,V] temos que a, x ∈ V1 ∈ V

para algum V1 ∈ V, logo a ∈ V ∩V1 da´ı V ∩V1 6= ∅. Por´em V ≺ 1₂U, portanto

V ∪V1 ∈U ∈ U, logoy, x∈V ∪V1 ∈U para algum U ∈ U. Ent˜ao y∈St[x,U].

Seguiremos a defini¸cão de espa¸co topológico regular segundo [22], página 92, Defini¸cão 14.1.

Defini¸c˜ao 2.3.1. Um espa¸co X se diz regular se, e somente se, A for um fechado qualquer em X tal que x /∈A, ent˜ao existem abertos disjuntos U e V com x ∈U e A⊂V.

Agora vejamos o seguinte teorema.

Teorema 2.3.5.As seguintes afirma¸cões são equivalentes para um espa¸co topológico X.

1. X ´e regular.

2. se U ´e aberto em X e x /∈ U, ent˜ao existe um aberto V contendo x tal que V ⊂U.

3. cadax∈X possui uma fam´ılia de vizinhan¸cas b´asicas consistindo de conjuntos fechados.

Segue uma importante aplica¸c˜ao do Lema 2.3.2.

Teorema 2.3.6. Todo espa¸co topol´ogico X admiss´ıvel ´e regular.

Demonstra¸cão: Suponha X um espa¸co admiss´ıvel munido de uma fam´ılia ad-miss´ıvel de coberturas O. Se U é aberto em X e x ∈ U, então existe U ∈ O

tal que St[x,U] ⊂ U. Tome V ∈ O tal que V ≺ 1

2U. Pelo lema anterior temos

que St[x,V] ⊂ St[x,U]. Ent˜ao St[x,V] ´e um conjunto aberto contendo x tal que

(44)

2.4 Lema da cobertura de Lebesgue 44

2.4 Lema da cobertura de Lebesgue

O objetivo central desta se¸cão é fornecer um nova interpreta¸cão para o número de Lebesgue em espa¸cos admiss´ıveis, (Ver [16],Teorema 5), mostrando que em espa¸cos não metrizáveis, porém admiss´ıveis o número de Lebesgue corresponde a uma co-bertura da fam´ılia admiss´ıvelO.

De fato, o lema original, como bem sabemos, diz que se{U1, ..., Un}´e um

cober-tura aberta de um espa¸co métrico compacto X, existe ǫ (número de Lebesgue) tal que seA é um subconjunto qualquer de X, cujo diâmetro é menor do que ǫ, então

A ⊂ Ui para algum i ∈ {1, ..., n}. Empregaremos uma metodologia de constru¸c˜ao

do chamado Lema da cobertura de Lebesgue para espa¸cos admiss´ıveis em fun¸c˜ao da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas do espa¸co.

Vejamos a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.4.1. A fam´ılia BO = {BU : U ∈ O} de todas as coberturas abertas

do espa¸co topol´ogico X por U-vizinhan¸cas ´e admiss´ıvel.

Demonstra¸cão: Sejam BU1,BU2 ∈ BO. Desde que por hipótese O é admiss´ıvel

existeU3 ∈ O tal que U3 ≺ ₂1U1 e U3 ≺ 1₂U2. Suponha que St[x,U3]∩St[y,U3]6= ∅,

e tome z ∈ St[x,U3] ∩St[y,U3]. Se w ∈ St[x,U3], ent˜ao w, x ∈ U e z, x ∈ U′

com U, U′

∈ U3. Desde que U3 ≺ 1₂U1, existe U1 ∈ U1 tal que U1 ∪U2 ⊂ U1, o

que implica que w ∈ St[z,U1]. Assim St[x,U3] ⊂ St[z,U1]. Do modo inteiramente

an´alogo St[y,U3] ⊂ St[z,U1]. Portanto BU3 ≺ 1₂BU1. Do mesm´ıssimo modo BU3 ≺ 1

2BU2. Dessa forma BO satisfaz os itens 1 e 3 da defini¸c˜ao de fam´ılia admiss´ıvel de

coberturas abertas. Assim só nos resta mostrar a condi¸cão (2) de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Porém, a demonstra¸cão é inteiramente análoga à prova do Teorema 2.3.4 usando a Proposi¸cão 2.2.1.

Agora segue o mais importante teorema dessa se¸c˜ao:

Teorema 2.4.1. (Lema da cobertura de Lebesgue) Seja X um espa¸co to-pol´ogico admiss´ıvel e O a fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Assuma

K ⊂ X um compacto, tal que K ⊂ [

α

Vα com a cole¸c˜ao {Vα}α∈_Λ uma cobertura

(45)

2.5 Fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas em espa¸cos admiss´ıveis 45

Demonstra¸c˜ao: Veja que para todo x∈K, x∈Vα com α ∈Λ. Tome Ux,Vx∈ O tais que Ux ´e {x}-subordinada ao aberto Vα e Vx ≺ 1₂Ux. Para o mesmo ponto

x∈K n´os obtemos uma outra cobertura aberta com K ⊂ [ x∈K

St[x,Vx]. Desde que

K ´e compacto extra´ımos uma subcobertura finita, digamos que K ⊂ n

[

i=1

St[xi,Vxi].

Agora tome U ∈ O tal que U ≺ Vxi para todoi∈ {1, ..., n}. Afirmamos que U ∈ O

´e a cobertura procurada. Repare que se x ∈ K ent˜ao x ∈ St[xi,Vxi] para algum

i∈ {1, ..., n}. Assim existe V ∈ Vxi tal que x, xi ∈ V. Desse modo se y ∈ St[x,U]

existe U ∈ U tal que y, x ∈ U. Desde que U ≺ Vxi para todo i ∈ {1, ..., n} temos quey, x∈V′

para algum V′

∈ Vxi, portantox∈V ∩V′

, ent˜aoV ∩V′

6

=∅. Por fim, comoVxi ≺ 1₂Uxi tem-seV ∪V′

⊂Ui para algumUi ∈ Uxi, logo y, xi ∈Ui ∈ Uxi da´ı

y∈St[xi,Uxi]. Desde queUxi ´e{xi}-subordinada a um abertoVα segue quey∈Vα.

PortantoSt[x,U]⊂Vα.

Qualquer cobertura U que satisfaz o teorema anterior ´e chamada de cobertura de Lebesguepara a cobertura {Vα}α∈_Λ do compactoK.

O teorema acima nos mostra que em espa¸cos topológicos admiss´ıveis , o número de Lebesgue é representado por uma cobertura. Em outras palavras, a cobertura de Lebesgue para espa¸cos topológicos admiss´ıveis constru´ıda no teorema acima cumpre papel do número de Lebesgue em espa¸cos métricos.

2.5 Fun¸c˜

oes uniformemente cont´ınuas em espa¸cos

admiss´ıveis

Nesta se¸cão caracterizaremos fun¸cões uniformemente cont´ınuas via fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas, generalizando dessa forma o conceito de fun¸cões uniforme-mente cont´ınuas em espa¸cos uniformes.