Grupos Universidade Federal do Rio de Janeiro Amílcar Pacheco

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´

Algebra

Am´

ılcar Pacheco

Universidade Federal do Rio de Janeiro (Universidade do Brasil), Departamento de Matem´atica Pura

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(3)

Sum´

ario

Cap´ıtulo 1. Preliminares 1

1.1. Rela¸c˜ao de equivalˆencia 2

1.2. Lema de Zorn e aplica¸c˜oes 3

Parte 1. N´umeros Inteiros 5

Cap´ıtulo 2. Algoritmos Euclideanos 7

2.1. O algoritmo euclideano para n´umeros inteiros 7

2.2. M´aximo divisor comum 8

2.3. An´eis e ideais 9

Cap´ıtulo 3. Fatora¸c˜ao de inteiros 11

3.1. Existˆencia 11

3.2. Unicidade 11

3.3. MDC e fatora¸c˜ao 12

3.4. Aplica¸c˜oes 13

3.5. Fun¸c˜oes aritm´eticas elementares 15

Cap´ıtulo 4. Indu¸c˜ao finita 19

4.1. Enunciados 19

4.2. Exemplos da indu¸c˜ao na sua primeira forma 19 4.3. Exemplos da indu¸c˜ao finita na sua segunda forma 20

Cap´ıtulo 5. N´umeros primos 23

5.1. Infinidade de primos 23

5.2. Primos em progress˜oes aritm´eticas 24

5.3. Infinidade de compostos por fun¸c˜oes polinomiais 26

5.4. N´umeros de Fermat e Mersenne 27

5.5. Contando n´umeros primos 27

5.6. Fun¸c˜ao zeta 30

Cap´ıtulo 6. Aritm´etica modular 35

6.1. Aritm´etica modular 35

6.2. Crit´erios de divisibilidade 37

6.3. Contando elementos invers´ıveis 38

Cap´ıtulo 7. Sistemas de congruˆencia 39

7.1. Equa¸c˜oes diofantinas 39

7.2. Equa¸c˜oes lineares 39

7.3. Sistemas de equa¸c˜oes lineares 40

7.4. Teorema Chinˆes dos Restos 41

(4)

iv SUM ´ARIO

7.5. Aplica¸c˜ao 41

Cap´ıtulo 8. Aplica¸cões da teoria de grupos à teoria elementar dos números 43

8.1. Primalidade de n´umeros de Mersenne 43

8.2. Primalidade de n´umeros de Fermat 43

8.3. N´umeros de Carmichael 44

8.4. Teorema da raiz primitiva 45

Parte 2. Grupos 47

Cap´ıtulo 9. Teoria de Grupos I 49

9.1. Defini¸c˜ao e exemplos 49

9.2. Subgrupos 52

9.3. Classes Laterais e Teorema de Lagrange 54

9.4. Ordem de elemento e expoente de grupo abeliano 55

Cap´ıtulo 10. Teoria de grupos II 59

10.1. Subgrupos normais e grupos quocientes 59

10.2. Homomorfismo de grupos 61

10.3. Produtos de grupos 64

10.4. Grupos metac´ıclicos 68

10.5. Classifica¸c˜ao de grupos de ordem_≤11 70

Cap´ıtulo 11. Teoremas de Sylow 73

11.1. Represesenta¸c˜oes de grupos 73

11.2. Os teoremas de Sylow 75

11.3. Exemplos 77

Cap´ıtulo 12. Grupos sol´uveis 79

12.1. Teorema de Jordan-H¨older 79

12.2. Grupos sol´uveis 81

Cap´ıtulo 13. Grupos abelianos finitamente gerados 85

13.1. M´odulos sobre an´eis 85

13.2. Diagonaliza¸c˜ao de matrizes 86

13.3. Geradores e rela¸c˜oes para m´odulos 87

13.4. O teorema de estrutura 89

Parte 3. An´eis 91

Cap´ıtulo 14. An´eis de polinˆomios 93

14.1. Algoritmo da divis˜ao 93

14.2. M´aximo divisor comum de polinˆomios 95

14.3. Fatora¸cão única de polinômios 97

Cap´ıtulo 15. An´eis e dom´ınios 101

15.1. Dom´ınios euclideanos 101

15.2. Dom´ınios fatoriais 106

15.3. Fatores m´ultiplos e resultante 108

15.4. An´eis quocientes e teorema chinˆes dos restos 110

(5)

SUM ´ARIO v

Parte 4. Corpos 117

Cap´ıtulo 16. Extens˜oes finitas 119

Cap´ıtulo 17. Extens˜oes alg´ebricas 123

17.1. Elementos alg´ebricos e transcendentes 123

17.2. Extens˜oes alg´ebricas 124

17.3. Adjun¸c˜ao de ra´ızes 126

17.4. Fechos alg´ebricos 127

Cap´ıtulo 18. Extens˜oes separ´aveis 133

18.1. Corpos Finitos 137

Cap´ıtulo 19. Extens˜oes puramente insepar´aveis 139

Cap´ıtulo 20. Corpos de decomposi¸c˜ao e extens˜oes normais 143

20.1. Exemplos 146

Cap´ıtulo 21. Teoria de Galois 149

21.1. Correspondˆencia de Galois 149

21.2. Extens˜oes e subgrupos normais 152

21.3. Coeficientes e ra´ızes 153

Cap´ıtulo 22. Extens˜oes ciclotˆomicas 155

Cap´ıtulo 23. Extens˜oes c´ıclicas 159

Cap´ıtulo 24. Solubilidade por radicais 165

Parte 5. T´opicos adicionais 169

Cap´ıtulo 25. O problema inverso de Galois 171

25.1. GrupoSn 171

25.2. GrupoAn 175

25.3. M´etodo geral 175

Cap´ıtulo 26. Teoria de Galois infinita 177

26.1. Limite inverso 177

26.2. Completamento de um grupo 178

26.3. Teoria de Galois infinita 179

Cap´ıtulo 27. Teoria de transcendˆencia 181

27.1. Bases de trasncendˆencia 181

27.2. Transcendˆencia dee 181

27.3. Transcendˆencia deπ 181

27.4. Elementos de teoria de transcencˆencia 181

Bibliografia - Livros 183

Bibliografia - Artigos 185

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(7)

CAP´ıTULO 1

Preliminares

Ao longo deste livro dentoraremos porNo conjunto dos números naturais,Zo conjunto dos números inteiros, Qo conjunto dos números racionais,Ro conjunto dos números reais e C o conjunto dos números complexos. Para todo x _∈ C

denotamos por _|x_| seu valor absoluto usual, i.e., se x = a+bi com a, b _∈ R, ent˜ao _|x_| :=√a2₊_b2_{. Para todo} _x_∈_R _{denotamos seu valor absoluto usual por}

|x|:=x, sex≥0, e|x|:=−x, sex <0.

Sejam S eT conjuntos. Uma fun¸cãof : S → T é dita injetiva toda vez que x 6= y implicar f(x) 6= f(y). Isto também equivale a dizer que se f(x) = f(y), entãox=y. A fun¸cãof é dita sobrejetiva, sef(S) =T.

Lema 1.1. Sejam S′ _e _R _{conjuntos. Ent˜}_{ao existe um conjunto} _S′

1 e bije¸c˜ao ϕ0:S′_→_S′

1 tal queS1′ ∩R=∅.

Axioma 1.2 (axioma da boa ordena¸c˜ao). Todo subconjunto n˜ao vazio de N

possui um menor elemento.

Sejan_≥1 inteiro. Sejamx, yvari´aveis. Considere o produto not´avel

xn−yn= (x−y)(xn−1+xn−2y+. . .+xyn−2+yn−1.

Podemos obter dele a soma dentermos de uma progressão geométrica de razãoq. Digamos que os termos sejama, aq,· · ·, aqn−1

. Assim,

a+aq+. . .+aqn−1=aq

n −1 q−1 . Basta na f´ormula anterior tomarx=q ey= 1.

Para inteiros 1_≤m_≤ndefinimos o n´umero binomial

n m

:= n!

m!(n₋m)!, onden! :=n(n₋1). . .1.

Lembre-se [Sp, p. 632] das seguintes expans˜oes em s´eries 1

1−x = 1 +x

2₊_x3₊_{. . .}₊_xn₊_{. . .}_;

log(1₋x) =x+x 2

2! + x3

3! +. . .+ xn

n! +. . . .

Dado um n´umero real x denotamos por ⌈x⌉ a parte inteira de x, ou seja, o maior n´umero inteiro menor ou igual ax.

Para todo inteiro n ≥ 1 e número primo p, a ordem p-ádica ordp(n) de n é

definida porpordp(n)_{´e a potˆencia exata de}_p_{que divide}_n.

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2 1. PRELIMINARES

1.1. Rela¸c˜ao de equivalˆencia

Seja X um conjunto. Uma rela¸cão binária R é um subconjunto de X×X. Dado um par (a, b)∈Rdizemos queaé relacionado abe denotamos poraRb. Por exemplo, podemos tomar comoX o conjunto de retas do plano e comoRa rela¸cão de ortogonalidade.

Uma rela¸cão de equivalência em um conjuntoX é uma rela¸cão binária_∼ satis-fazendo às seguintes condi¸cões:

(1) x_∼x(reflexividade).

(2) Sex∼y, ent˜ao y∼x(simetria).

(3) Sex∼y ey∼z, ent˜ao x∼z (transitividade).

Exemplo 1.3. Seja X = Z e _∼ a rela¸cão _≡ (mod n) definida por: dados a, b _∈ Z, a _≡ b (mod n) se e somente se n _| (a₋b), i.e., existe k _∈ Z tal que a₋b=kn. Isto define uma rela¸cão de equivalência. De fato,

(1) a₋a= 0 = 0.n.

(2) Sea_≡b (mod n), ent˜ao existek_∈Ztal quea₋b=kn, logob₋a= (₋k)n eb_≡a (mod n).

(3) Sea_≡b (modn) eb_≡c (modn), ent˜ao existemk, l_∈Ztais quea₋b= kneb₋c=ln. Somando estas duas igualdades obtemosa₋c= (k+l)n, logoa_≡c (mod n).

Exemplo 1.4. Seja X =Z×Z− {0_}. Definimos dois pares (a, b),(c, d)_∈X como equivalentes, denotando (a, b) _∼(c, d) se e somente sead =bc. Isto define uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. De fato,

(1) ab=ba, logo (a, b)∼(a, b).

(2) Suponha que (a, b)∼(c, d), i.e.,ad=bc. Logocb=da, i.e., (c, d)∼(a, b). (3) Suponha que (a, b)∼(c, d) e (c, d)∼(e, f), i.e.,ad=bcecf =de. Logo

af =bc_df = bcf_d = bde_d =be, i.e., (a, b)∼(e, f).

SejaX um conjunto e_∼uma rela¸cão de equivalência emX. Definimos a classe [a] de um elemento a_∈X por [a] =_{b_∈X_|b_∼a_}. Note que [a] é um conjunto.

Lema1.5. SejaX um conjunto e_∼uma rela¸c˜ao de equivalˆencia emX. Dados

a, b_∈X, temos quea_∼b se e somente se[a] = [b].

Demonstrac¸˜ao. Suponha que [a] = [b]. Observe que a ∈ [a], pois a ∼ a. Logoa∈[b], i.e.,b∼a, portantoa∼b.

Reciprocamente, suponhaa∼b ec∈[a], i.e.,c∼a. Por transitividade,c∼b, i.e., c ∈[b]. Suponhad ∈[b], i.e., d∼b. Por simetria, b ∼a, por transitividade,

d_∼a, i.e.,d_∈[a].

Corolário 1.6. Seja X um conjunto e ∼um rela¸cão de equivalência em X. Entãoa≁b se e somente se[a]_∩[b] =_∅.

Demonstração. Note que sea∼b, então [a]∩[b] = [a] = [b]6=∅. Por outro lado, se existisse c ∈ [a]∩[b], então c ∼ a e c ∼ b. Por simetria, a ∼ c e por

transitividadea∼b, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Corolário1.7. SejaX um conjunto e e∼um rela¸cão de equivalência emX. EntãoX =S·

a[a], onde

·

S

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1.2. LEMA DE ZORN E APLICAC¸ ˜OES 3

Demonstração. Observe que o lado direito está claramente contido no lado esquerdo. Reciprocamente, pelo corolário anterior dado x∈ X existe uma única

classe de equivalˆencia [a] tal quex∈[a].

SejaX um conjunto e e∼um rela¸cão de equivalência emX. DefinimosX := X/∼:={[a]|a∈X} como o conjunto das classes de equivalência de∼em X. No caso particular em queX =Ze_∼é_≡ (modn), denotamos a classe [a] dea_∈Z

pora. Neste caso,_X ´e denotado porZ/nZ.

1.2. Lema de Zorn e aplica¸c˜oes

Definição1.8. Um conjuntoMé dito parcialmente ordenado, se existe uma rela¸cão≤emMsatisfazendo às seguintes condi¸cões

(1) (reflexividade) a≤a, para todoa∈M.

(2) (Transitividade) Dadosa, b, c∈M, sea≤beb≤c, ent˜ao a≤c. (3) (Anti-simetria) Dados a, b∈M, sea≤beb≤a, ent˜ao a=b.

Esta ordem ser´a dita total, se para quaisquera, b∈Mtemosa≤boub≤a. Neste caso dizemos queM´e um conjunto totalmente ordenado.

Definição 1.9. Seja M um conjunto parcialmente ordenado. Um elemento m_∈Mé dito um elemento maximal deM, se dado a_∈Mtal quea_≤m, então a = m. Um elemento c _∈ M é dito um limite superior para M, se para todo a_∈Mtemosa_≤c. O conjuntoMé dito indutivo, se todo subconjunto totalmente ordenadoL_⊂Mpossui limite superior. Neste caso, M₆=_∅.

Lema 1.10 (lema de Zorn). (ver [vWa, _§69]) Todo conjunto parcialmente or-denado indutivo possui elemento m´aximo.

Lema 1.11 (lema de Krull). Seja R um anel comutativo com unidade. Todo ideal n˜ao nuloa deR est´a contido em algum ideal maximalm deR.

Demonstrac¸˜ao. Considere o conjuntoN de todos os ideaisb(Rcontendo

a. É imediato que este conjunto é parcialmente ordenado com respeito à rela¸cão de inclusão de conjuntos. SejaL_⊂N um subconjunto totalmente ordenado e

C:= [ b∈L

b.

Segue de um exerc´ıcio do cap´ıulo de dom´ınios euclideanos queCé um ideal deR. Além disto, este ideal é próprio, do contrário, existiria b_∈L tal que 1_∈b, o que contradiria b ( R. Por constru¸cão, o ideal C é um limite superior para L. Em particular, pelo lema de Zorn, existe m elemento máximo de N. Novamente por

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Parte 1

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CAP´ıTULO 2

Algoritmos Euclideanos

O objetivo deste cap´ıtulo é descrever o algoritmo euclideano que permite di-vidir um número inteiro por outro, definir a no¸cão de máximo divisor comum de números inteiros e provar o algoritmo euclideano estendido que dá uma rela¸cão de dependência linear entre o máximo divisor comum e os números inteiros através da no¸cão de ideais.

2.1. O algoritmo euclideano para n´umeros inteiros

Definição 2.1. Sejam a, b _∈Z. Dizemos que a divide b ou que b é divis´ıvel

porae denotamosa|bse existec∈Ztal que ac=b.

Proposic¸˜ao2.2. A divisibilidade satisfaz as seguintes propriedades:

(1) (Cancelamento). Se c6= 0 eac|bc, ent˜aoa|b.

(2) (Transitividade). Sea|b eb|c, ent˜aoa|c.

Demonstração. (1) Existeα_∈Ztal queαac=bc, i.e.,c(b₋αa) = 0. Mas o produto de dois inteiros é igual a zero implica em que um dos inteiros é nulo. Observe quec₆= 0, assimb=ac, i.e.,a_|b.

(2) Existem α, β ∈ Z tais que b = αa e c = βb, substituindo a primeira

igualdade na segunda, obtemosc=βαa, i.e.,a|c.

Teorema 2.3 (algoritmo de Euclides). Sejam a, b _∈ Z com b ₆= 0. Ent˜ao existemq, r_∈Ztais que

a=bq+r, onde0_{≤ |}r_|<_|b_|.

Se a, b_≥0, ent˜ao qe rs˜ao unicamente determinados por aeb.

Demonstração. Suponha inicialmente que a, b≥0. Sea < b tome q = 0 e r=a. Suponha quea_≥b. Considere o conjuntoS:=_{k_≥1 inteiro_|kb > a_}. Este conjunto é um subconjunto não vazio deN. Assim, pelo axioma da boa ordena¸cão (axioma 1.2) existeq+ 1_∈S tal que q+ 1_≤xpara todox_∈S. Logoq /_∈S, i.e., a_≥bq. Sejar:=a₋bq, portanto 0_≤r <(q+ 1)b₋b=b.

• Sea <0 eb >0, dividaa′_:=₋_a_por_b_{com quociente}_q′ _{e resto}_r′_{e tome} q:=−q′ _e_r_:=₋_r′_.

• Sea <0 eb <0, dividaa′:=−aporb′:=−b com quocienteq′ e restor′ e tomeq:=q′ _e_r_:=₋_r′_.

• Sea >0 eb <0, dividaaporb′ _:=₋_b_{com quociente}_q′_{e resto}_r′ _{e tome} q:=₋qer:=r′_.

Para provar a unicidade suponha que

a=bq1+r1=bq2+r2, onde 0≤r1, r2< b.

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8 2. ALGORITMOS EUCLIDEANOS

Basta provar quer1=r2, pois neste casobq1=bq2e comob6= 0, pela propriedade do cancelamento,q1=q2. Suponhar1< r2. Neste caso,

r2−r1=b(q1−q2)≥b, mas r2−r1≤r2< b.

Similarmente, n˜ao podemos terr1> r2.

2.2. M´aximo divisor comum

Definição 2.4. Sejam a, b ∈ Z. Dizemos que d ∈ Z é um máximo divisor comum deaeb, denotado por mdc(a, b) se

(1) d_|aed_|b; (por isto d´e dito um divisor comum deaeb.) (2) Para todod′_∈_Z_{tal que}_d′_|_a_e_d′_|_b,_d′_|_d.

Observação2.5. _• A no¸cão de mdc está bem definida a menos de sinal. De fato seefor um outro mdc deaeb, então por (2) e_|ded_|e, ou seja existem α, β _∈Z tais que d=αe=αβd, portantoαβ = 1, i.e., α_{∈ {±}1_}. Assim quando dizemosomdc deaebreferimo-nos à escolha dedpositiva.

• mdc(a, b) = mdc(−a,−b) (exerc´ıcio).

• Seb|a, ent˜ao mdc(a, b) =b(idem).

• Denote porDa,b o conjunto dos divisores comuns positivos deaeb. Note

que para qualquer x∈ Da,b temos que x≤min{a, b}. Assim, este

con-junto é finito. Fica novamente como exerc´ıcio verificar que mdc(a, b) é justamente o elemento máximo de_Da,b.

Lema 2.6. Sejama, b≥1 inteiros ea=bq+r onde0≤r < ba divis˜ao de a

porb. Ent˜aomdc(a, b) = mdc(b, r).

Demonstração. Basta mostrar que os conjuntos_Da,b eDb,r são coincidem.

De fato, neste caso seus elementos m´aximos s˜ao iguais, o que prova o lema. Seja e∈ Da,b, digamos a=eα eb=eβ para α, β∈Z. Logo r =a−bq=e(α−βq),

i.e., e|r, i.e.,e∈ Db,r, i.e.,Da,b ⊂ Db,r. Sejaf ∈ Db,r, digamosb=f β′ er=f γ

para β′_{, γ} _∈ _Z_{. Ent˜ao} _a ₌ _bq₊_r ₌ _f_(β′_q₊_{γ), i.e.,} _f _| _{a, i.e.,} _f _{∈ D}_a,b_{, i.e.,}

Db,r⊂ Da,b.

Teorema 2.7. Sejam a, b_≥1 inteiros. Consideremos a seqüência de divisões sucessivas:

(2.1)

a=bq1+r1, 0< r1< b b=r1q2+r2, 0< r2< r1

.. . ...

rn−2=rn−1qn+rn, 0< rn < rn−1 rn−1=rnqn+1,

ondern é o último resto não nulo na seqüência de divisões. Então mdc(a, b) =rn.

Demonstrac¸˜ao. Notemos inicialmente que em (2.1) ter´ıamos que ter um primeiro resto nulo,rn+1, pois

b > r1> r2>· · · ≥1

(15)

2.3. AN ´EIS E IDEAIS 9

Pelo lema anterior aplicado a cada linha de (2.1) obtemos

mdc(a, b) = mdc(b, r1) =_{· · ·}= mdc(rn−1, rn).

Masrn|rn−1, logorn= mdc(rn, rn−1). A fortiori,rn = mdc(a, b).

Teorema 2.8 (algoritmo euclideano estendido). Sejama, b≥1inteiros ed= mdc(a, b). Existem s, t_∈Ztais que d=sa+tb.

Demonstração. Come¸camos com a penúltima linha de (2.1),

rn=rn−2+ (−qn)rn−1, tomeA1:=₋rn−1 eB1:= 1. Da linha seguinte temos

rn−1=rn−3+ (−qn−1)rn−2, assim

rn=B1rn−2+A1rn−1=B1rn−2+A1(rn−3+ (−qn−1)rn−2). TomeA2:=B1−A1qn−1eB2:=A1. A linha seguinte nos d´a

rn−2=rn−4+ (−qn−2)rn−3. Substituindo na f´ormula anterior,

rn=B2rn−3+A2rn−2=B2rn−3+A2(rn−4+ (−qn−2)rn−3) TomeA3:=B2−A2qn−2eB3:=A2. Repetindo o mesmo argumento obtemos

rn=Bn−2r1+An−2r2.

Masr2=b+ (−q2)r1, donde

rn=Bn−2r1+An−2(b+ (−q2)r1),

tomeAn−1:=Bn−2−An−2q2 eBn−1:=An−2. Finalmente a primeira divisão nos dá,r1=a+ (−q1)be sustituindo na fórmula anterior obtemos

rn=Bn−1b+An−1(a+ (−q1)b).

Basta tomars:=An−1 et:=Bn−1−An−1q1.

2.3. An´eis e ideais

Nesta se¸cão daremos uma outra demonstra¸cão (conceitual) do algoritmo eu-clideano estendido. Para isto precisamos da no¸cão de ideais no conjunto Z dos números inteiros.

O conjuntoZdos n´umeros inteiros possui duas fun¸c˜oes. A soma + :Z×Z→Z

de n´umeros inteiros (a, b) _7→a+b que associa ao par (a, b) sua somaa+b. E o produto de inteiros _·:Z×Z→Zdada por (a, b)_7→ab que associa ao par (a, b) o seu produtoab. Dados inteirosa, b, cas seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

(1) (Associatividade da soma)a+ (b+c) = (a+b) +c. (2) (Comutatividade da soma)a+b=b+a.

(3) (Elemento neutro da soma)a+ 0 = 0.

(4) (Inverso da soma) Dadoa_∈Zexisteb_∈Ztal quea+b= 0 e denotamos b=−a.

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10 2. ALGORITMOS EUCLIDEANOS

(8) (Distributividade do produto em rela¸cão à soma)a(b+c) =ab+ac. Por satisfazer estas propriedades Zé dito um anel comutativo com unidade. Além disto a seguinte propriedade é satisfeita:

(9) (Cancelamento) Se ab = 0, ent˜ao a = 0 ou b = 0. Por satisfazer esta propriedadeZ´e dito umdom´ınio de integridade.

Observação 2.9. Poder´ıamos perguntar sobre a existência do inverso em Z

com rela¸c˜ao ao produto. Ou seja, suponhamos que a, b _∈ Z s˜ao tais que ab = 1. Suponha a _≥ 1. Neste caso b = 1

a ∈ Z tamb´em ´e um inteiro positivo, mas

a única possibilidade destra fra¸cão ser um número inteiro é a = 1 e neste caso necessariamente b= 1. Sea <0, seja a′₌₋_a_e_b′ ₌₋_{b, logo}_ab₌_a′_b′ _{= 1 e pelo} caso anterior a′ _{= 1 e}_b′ _{= 1, i.e.,} _a₌_b₌₋_{1. Assim os ´}_{unicos n´}_{umeros inteiros} que admitem inverso são_±1.

Definição 2.10. Um subconjunto I _⊂ Z de Z é dito um ideal de Z, se as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(1) 0_∈I.

(2) (Ié fechado com rela¸cão à soma) Dadosa, b_∈I,a+b_∈I.

(3) (Ié estável com rela¸cão à multiplica¸cão de elementos deZ) Dadoa∈Ie r∈Z, então ra∈I.

Fica como exerc´ıcio mostrar que os seguintes conjuntos s˜ao ideais deZ:

• I:= 2Z={2k|k∈Z}(o conjunto dos n´umeros pares).

• Sejan≥1 inteiro eI :=nZ={nk|k∈Z} o conjunto dos m´ultiplos de n.

• Sejamn1,· · · , nk ≥1 inteiros. SejaI:=n1Z+. . .+nkZ={n1a1+. . .+

nkak|a1,· · ·, ak∈Z}o conjunto dos números que são somas de múltiplos

den1 com m´ultiplos den2, etc., com m´ultiplos denk.

Proposição 2.11. Todo idealI ₆= (0) deZé da forma dZ para algumd_≥1. Por isto dizemos que Ié um ideal principale queZé um dom´ınio principal.

Demonstração. Observemos queI_∩N=6 _∅. Dadoa_∈I, se a_≥1 nada há a fazer. Senão, ou seja, dadoa <0 emI, então₋a= (₋1)a_∈I pela propriedade (3) de ideais, mas₋a_≥1. Pelo axioma da boa ordena¸cão existed_∈I_∩Ntal que d_≤kpara todok_∈I_∩N. Afirmamos queI=dZ.

(17)

CAP´ıTULO 3

Fatora¸

c˜

ao de inteiros

Neste cap´ıtulo mostramos que todo número inteiro fatora-se de forma única como produto de números primos

3.1. Existˆencia

Definição 3.1. Seja p ≥ 2 inteiro. Dizemos que pé um número primo, se para todo inteirob≥1 tal que b|p, entãob= 1 oub=p, i.e., os únicos divisores positivos de p são 1 e p. Os números inteiros que não primos são chamados de

n´umeros compostos, i.e., n_≥ 1 ´e composto se e somente se existem 1 < a, b < n tais quen=ab.

Teorema 3.2 (teorema fundamental da aritm´etica - primeira vers˜ao). Seja

n≥1 inteiro, existem p1,· · ·, pk n´umeros primos (n˜ao necessariamente distintos) tais que

n=p1· · ·pk.

Demonstração. Sené primo nada há a fazer. Suponhamos quenseja com-posto. Todo divisorddensatisfazd_≤n, assim o conjunto dos divisores positivos dené finito. Sejap1 o menor divisor positivo den. Afirmamos quep1é primo.

Sep1 n˜ao fosse primo, ter´ıamos que existem 1< a, b < p1 tais quep1=ab, em particulara_|n, mas isto contradiz a minimalidade dep1.

Sejan1:= _pn₁ < n. Sen1é igual a 1 ou primo, entãon=n1p1já é a fatora¸cão procurada. Senão, com o mesmo argumento anterior, o menor divisor positivo p2 de n1 é primo. Seja n2 := n1

p2 =

n

p1p2 < n1. Se n2 ´e igual a 1 ou primo, ent˜ao

n =n2p2p1 é a fatora¸cão procurada. Senão prosseguimos. Note que temos uma seqüência estritamente decrescente n > n1> n2>_{· · ·} de inteiros positivos, assim existek_≥1 tal quenk= 1, i.e.,n=p1· · ·pk.

3.2. Unicidade

Lema3.3. Seja p_≥2 um n´umero primo ea, b_∈Z\ {0_}. Sep_|ab, ent˜aop_|a

oup_|b.

Demonstração. Note que dado um número primo p, então mdc(a, p) = 1 equivale a p ∤ a, pois os únicos divisores positivos de p são 1 e p. Suponha que p∤a, i.e., pelo algoritmo euclideano estendido, existems, t∈Ztais que 1 =sa+tp. Multiplicando ambos os lados por b obtemos b = sab+tpb. Mas ab = αp, pois p|ab, para algumα∈Z. Logob=p(sα+tb), i.e.,p|b.

Observação3.4. O lema anterior pode ser estendido imediatamente para um produto qualquer de inteiros, i.e., se p _|a1_{· · ·}an, então existe 1≤ i ≤n tal que

p_|ai.

(18)

12 3. FATORAC¸ ˜AO DE INTEIROS

Teorema 3.5 (teorema fundamental da aritm´etica - segunda vers˜ao). Seja

n≥1 inteiro, então existem únicos números primos

p1<_{· · ·}< pr e inteirose1,· · ·, er≥1 tais que

n=pe1

1 · · ·perr.

Demonstração. Já provamos anteriormente a existência da fatora¸cão, agru-pando os primos e colocando-os em ordem temos a expressão acima. Suponha que existam outros primos

q1<_{· · ·}< qs e inteirosf1,· · ·, fs≥1

tais que

n=pe1

1 · · ·p

er

r =q f1

1 · · ·q

fs

s .

Pela observa¸c˜ao anterior temos que existe algum 1 ≤j ≤s tal que p1 | qj. Mas

ambos s˜ao primos, logo p1 = qj. O mesmo argumento acima mostra que existe

1 _≤i _≤rtal que q1 =pi. Afirmamos quej = 1. Caso contr´ario, ou seja j >1,

q1 = pi ≥ p1 = qj, o que contradiz a ordena¸c˜ao dos n´umeros primos q’s. Logo

j= 1. Afirmamos tamb´em quee1=f1. Suponha, por exemplo, quee1> f1. Neste caso, cancelandopf1

1 dos dois lados da equa¸c˜ao acima obtemos

pe1−f1

1 p

e2

2 · · ·perr =q f2

2 · · ·qsfs.

Repetindo a argumenta¸c˜ao anterior obtemos que q2 = pi para algum 1< i ≤ r.

Mas dessa forma, o fator primo p1 do lado esquerdo n˜ao cancelar´a com nenhum fator primo do lado direito. Portanto,e1=f1.

Isto nos fornece a igualdade

pe2

2 · · ·perr =q f2

2 · · ·qfss.

Pelo mesmo argumento anterior, p2 = q2 e e2 = f2. Assim sucessivamente con-cluimos que o n´umero de fatores primos em ambos os lados ´e igual, i.e., r =s e

para cada 1_≤i_≤r,pi=qi eei=fi.

3.3. MDC e fatora¸c˜ao

Proposic¸˜ao3.6. Sejama, b_≥1 inteiros,

a=pe1

1 · · ·p

ek

k eb=p f1

1 · · ·p

fk

k

suas fatora¸c˜oes, comei, fi≥0 para0≤i≤k. Seja gi= min{ei, fi} e

d=pg1

1 · · ·p

gk

k . Ent˜aod= mdc(a, b).

Demonstração. Notemos quedé um divisor comum deaeb, pois

a=dpe1−g1

1 · · ·p

ek−gk

k eb=dp f1−g1

1 · · ·p

fk−gk

k ,

uma vez que para cadai,fi−gi, ei−gi≥0. Sejad′≥1 um divisor comum deae

b, i.e.,

d=ph1

1 · · ·p

hk

k

para 0_≤hi≤ei, fi. Em particular,hi≤gi. Assim,

d=d′pg1−h1

1 · · ·p

gk−hk

k .

(19)

3.4. APLICAC¸ ˜OES 13

3.4. Aplica¸c˜oes

Proposição3.7. Seja p≥2 um número primo. Então √p /∈Q.

Demonstração. Seja x_∈ Q\ {0_}. Entãox = a_b com a, b_∈ Z\ {0_}. Note quea =da′ _e_b ₌_db′_{, onde} _d_{= mdc(a, b) e que mdc(a}′_{, b}′_{) = 1. Simplificando} _d obtemos quex= a_b′′. Assim, dividindo pelo mdc, suporemos sempre que dado um

n´umerox∈Q\ {0},x´e da forma a_b com mdc(a, b) = 1.

Suponha que √p_∈Q, i.e., existema, b_∈Z tais que√p= a

b e mdc(a, b) = 1.

Logoa2₌_pb2 _e_p

|a2_{. Pelo lema 3.3 concluimos que}_p

|a, digamosa=pα, para algumα_∈Z. Substituindo na igualdade anterior concluimos quep2_α2₌_pb2_{, i.e.,} pα2₌_b2_{. Mas isto implica em}_p

|b2_{. Novamente, pelo lema 3.3, obtemos que}_p

|b,

mas isto ´e imposs´ıvel pois mdc(a, b) = 1.

Definição3.8. Sejan_≥1 inteiro. Dizemos quenélivre de quadrados se sua fatora¸cão é da forma

n=p1_{· · ·}pk.

Lema3.9. Sejan≥1inteiro, ent˜ao existemQ, a≥1inteiros tais quen=a2Q, ondeQ´e livre de quadrados.

Demonstrac¸˜ao. Fatoramosncomo

n=pe1

1 · · ·pekk.

Pelo algoritmo euclideano, para cada 1_≤ i_≤ k, existem qi, ri ∈ Z tais que ei =

2qi+ri, onde 0≤ri<2. Assim

n=p2q1

1 p

r1

1 · · ·p 2qk

k p rk

k

e tomandoQ:=pr1

1 · · ·p

rk

k , excluindo os primos com expoente zero, temos queQ´e

livre de quadrados. O que sobra ´ea2 _com_a_:=_pq1

1 · · ·p

qk

k , i.e.,n=a2Q.

Proposição3.10. Seja n≥1 inteiro livre de quadrados, então√n /∈Q.

Demonstrac¸˜ao. Suponha que√n= a_b coma, b_∈Ze mdc(a, b) = 1. Seja n=p1_{· · ·}pk

a fatora¸c˜ao den. Ent˜ao

a2=p1_{· · ·}pkb2.

Logo para cada 1_≤i_≤r temos quepi|a2. Pelo lema 3.3 concluimos que pi |a,

digamosa=piαi paraαi∈Z. Substituindo na igualdade anterior obtemos

p2

iα2i =p1· · ·pkb2.

Simplificandopina igualdade acima, obtemos

piα2i =p1· · ·pi−1pi+1· · ·pkb2=cb2,

ondec:=p1· · ·pi−1pi+1· · ·pk. Como pi∤ c, poispi n˜ao pode dividir nenhum dos

fatores decuma vez quep1<· · ·< pk, ou seja s˜ao todos distintos, concluimos que

pi|b2. Novamente pelo lema 3.3 temos quepi|b, o que contradiz mdc(a, b) = 1.

(20)

Demonstrac¸˜ao. Suponha que √f_p₌a

b coma, b∈Ze mdc(a, b) = 1. Ent˜ao

af =pbf ep_|af_{. Pela observa¸c˜}_{ao 3.4 concluimos que}_p

|a, digamosa=pα. Substituindo na igualdade anterior obtemos

pf_αf ₌_pbf_,

simplificando a igualdade anterior porp, concluimos que pf−1αf =bf.

Como f _≥ 2 temos que p aparece na fatora¸c˜ao do lado esquerdo, em particular, p _| bf_{. Novamente, pela observa¸c˜ao 3.4 concluimos que} _p

| b, mas isto contradiz

mdc(a, b) = 1.

Definição 3.12. Sejam n _≥ 1 e f _≥ 2 inteiros. Dizemos que n é livre de

f-potências se a fatora¸cão dené da forma n=pe1

1 · · ·pekk

com 1_≤ei< f para todo 1≤i≤k.

Lema 3.13. Seja n_≥1 inteiro, ent˜ao existem Q, a_≥1 inteiros tais quen= af_Q_com_Q_{livre de}_f_{-potˆencias.}

Demonstrac¸˜ao. Seja

n=pe1

1 · · ·pekk

a fatora¸c˜ao den. Pelo algoritmo euclideano, para cada 1_≤i_≤k, existemqi, ri∈Z

tais queei=f qi+ri, onde 1≤ei< f. Assim escrevemos

n=pf q1

1 p

r1

1 · · ·p

f qk

k p rk

k .

Como anteriormente Q := pr1

1 · · ·p

rk

k ´e livre de f-potˆencias e tomando a :=

pq1

1 · · ·p

fk

k concluimos quen=afQ.

Proposição3.14. Sejamn_≥1ef _≥2 inteiros. Suponhamos quenseja livre def-potências. Então √f_{n /}

∈Q. Demonstrac¸˜ao. Seja

n=pe1

1 · · ·p

ek

k

a fatora¸c˜ao den, onde 1_≤ei< f para todoi≤i≤k. Suponhamos que √fn= ab

coma, b_∈Ze mdc(a, b) = 1. Ent˜ao af =pe1

1 · · ·pekkb f_.

Logo para cada 1 _≤ i _≤ k pi | af. Pela observa¸c˜ao 3.4 concluimos que pi | a,

digamosa=piαi paraαi∈Z. Substituindo na igualdade anterior obtemos

pf_iαf_i =pe1

1 · · ·pekkb f_.

Cancelandopei

i em ambos os lados da igualdade acima e denotando

c:=pe1

1 · · ·p

ei−1

i−1p

ei+1

i+1 · · ·p

ek

k ,

obtemos

pf−ei

i α f i =cbf.

Como anteriormente pi ∤ c uma vez que pi n˜ao divide nenhum fator de c. Logo

pi | bf. Novamente pela observa¸c˜ao 3.4 concluimos que pi |b, mas isto contradiz

(21)

3.5. FUNÇ ÕES ARITMÉTICAS ELEMENTARES 15

3.5. Fun¸c˜oes aritm´eticas elementares

Para todo n´umero inteiro n ≥ 1 denotemos por ν(n) o n´umero de divisores inteiros positivos dene porσ(n) a soma de todos estes divisores, i.e.,

ν(n) := #_{d_≥1_|d_|n_}eσ(n) := X

d≥1,d|n

d.

Utilizaremos a fatora¸cão única para obter fórmulas expl´ıcitas para estes dois n´ u-meros.

Proposic¸˜ao 3.15. Seja n=pa1

1 · · ·parr a fatora¸cão de n em números primos. Então

ν(n) = (a1+ 1)· · ·(ar+ 1) eσ(n) = p a1+1

1 −1

p1₋1 · · · par+1

r −1

pr−1

.

Demonstrac¸˜ao. Note qued_|nse e somente se dfatora-se como d=pb1

1 · · ·p

br

r com 0≤bi≤ai para todo 1≤i≤r.

Assim, os divisores positivos dencorrespondem bijetivamente asr-uplas (b1,_{· · ·}, br)

satisfazendo a 0 _≤ bi ≤ ai para todo 1 ≤i ≤r. A quantidade destas r-uplas ´e

exatamente (a1+ 1)· · ·(ar+ 1).

Para a segunda igualdade observe que

σ(n) = X

(b1,···,br)

pb1

1 · · ·pbrr = X

b1

pb1

1

!

· · · X br

pbr

r !

e que cada soma no segundo membro ´e a soma dos termos de uma progress˜ao

geom´etrica, disto segue a f´ormula paraσ(n).

3.5.1. Fun¸c˜ao de Mœbius. Definimos a fun¸c˜ao de Mœbiusµ:N\ {0_{} →}Z

por µ(1) := 1, µ(n) := 0, se n não é livre de quadrados, caso contrário, i.e., n=p1_{· · ·}pr, onde ospi’s são primos distintos definimosµ(n) := (−1)r.

Proposição3.16. Se n >1, então X

d≥1,d|n

µ(d) = 0.

Demonstrac¸˜ao. Seja n = pa1

1 · · ·parr a fatora¸c˜ao de n. Pela defini¸c˜ao de µ

temos que

X

d≥1,d|n

µ(d) = X (ǫ1,···,ǫr)

µ(pǫ1

1 . . . pǫrr),

onde osǫi’s s˜ao 0 ou 1. Portanto,

X

d≥1,d|n

µ(d) = 1₋r+

_r 2 − _r 3

+. . .+ (₋1)r_{= (1}

−1)r_{= 0.}

Para entender melhor a fun¸c˜ao de Mœbius precisamos introduzir a multi-plica¸c˜ao de Dirichlet. Sejamf, g:N\ {0_{} →}C, definimos

f_◦g(n) := X

d1,d2≥1,d1d2=n

(22)

Este produto ´e associativo. Isto segue do seguinte exerc´ıcio

f◦(g◦h)(n) = (f ◦g)◦h(n) = X

d1,d2,d3≥1,d1d2d3=n

f(d1)g(d2)h(d3).

Definimos a fun¸cão1:N\ {0_{} →}Zpor1(1) := 1 e1(n) := 0, sen >1. Segue da defini¸cão que para toda fun¸cãof :N\ {0_{} →}Ctemosf _◦1=1_◦f =f. Defina também a fun¸cãoI:N\ {0} →ZporI(n) := 1 para todon. Novamente, por esta defini¸cão obtemosf ◦I(n) =I◦f(n) =P

d≥1,d|nf(d).

Lema3.17. I_◦µ=µ_◦I=1.

Demonstração. E claro que´ µ_◦I(1) = µ(1)I(1) = 1. Se n > 1, então µ_◦I(n) =P

d≥1,d|nµ(d) = 0. A prova paraI◦µé idêntica. Teorema 3.18 (teorema de inversão de Mœbius). Seja

F(n) := X

d≥1,dmind

f(d).

Ent˜ao

f(n) = X

d≥1,d|n

µ(d)F(n/d).

Demonstração. Por defini¸cãoF =f◦I. Logo,F◦µ= (f◦I)◦µ=f◦(I◦µ) = f◦1=f, i.e.,

f(n) =F_◦µ(n) = X

d≥1,d|n

µ(d)F(n/d).

O teorema de inversão de Mœbius tem diversas aplica¸cões, dentre elas a fun¸cão φde Euler definida da seguinte forma. Seja n ≥1 inteiro, φ(n) denota o número de inteiros positivosd_≤ntais que mdc(d, n) = 1. É claro que sepfor um número primoφ(p) =p₋1.

Proposic¸˜ao3.19.

X

d≥1,d|n

φ(d) =n

Demonstração. Consideremos asnfra¸cões 1/n,2/n,_{· · ·} ,(n₋1)/n, n/n. Po-demos reduzir cada uma delas a forma m´ınima cancelando os fatores primos comuns do numerador e denominador. Assim, cada uma delas será igual a uma fra¸cãoa/b com mdc(a, b) = 1. Os denominadores serão sempre divisores den. O número de fra¸cões na forma m´ınima com denominadord, pela defini¸cão da fun¸cãoφ, é igual a

φ(d). Disto segue a proposi¸c˜ao.

Proposic¸˜ao3.20. Se n=pa1

1 . . . parr, ent˜ao

φ(n) =n

1₋ 1 p1

. . .

1₋ 1 pr−1

.

Demonstrac¸˜ao. Como

n= X

d≥1,d|n

(23)

3.5. FUNÇ ÕES ARITMÉTICAS ELEMENTARES 17

pelo teorema de invers˜ao de Mœbius temos

φ(n) = X

d≥1,d|n

µ(d)n/d=n₋X

i

n pi

+X

i<j

n pipj

+. . .

=n

1₋ 1 p1

. . .

1₋ 1 pr−1

(24)

(25)

CAP´ıTULO 4

Indu¸

c˜

ao finita

Neste cap´ıtulo apresentamos o método da indu¸cão finita. Este método é uti-lizado em diversas circunstâncias em matemáticas para provar afirmativas que de-pendem “indutivamente” dos números naturais.

4.1. Enunciados

Axioma 4.1 (princ´ıpio da indu¸c˜ao finita na sua primeira forma). Seja A(n) uma afirmativa sobre n´umeros naturaisn_∈N. Suponha que

(1) exista n0_∈Ntal que A(n0) seja verdadeira.

(2) Dado k _≥n0, toda vez que A(k) for verdade, então A(k+ 1) também o será.

Ent˜ao para todon_≥n0 a afirmativaA(n) ´e verdadeira.

Axioma 4.2 (princ´ıpio da indu¸c˜ao finita na sua segunda forma). Seja A(n) uma afirmativa sobre n´umeros naturaisn_∈N. Suponha que

(1) exista n0_∈Ntal queA(n0) seja verdadeira.

(2) Se A(k) é verdadeira para todo n0 _≤ k < nentão A(n) também é ver-dadeira.

Logo para todon_≥n0 a afirmativaA(n) ´e verdadeira.

4.2. Exemplos da indu¸c˜ao na sua primeira forma

Exemplo 4.3. Para todo inteiron_≥1 temos

n X

i=1

i= n(n+ 1)

2 .

Demonstração. (1) Para n= 1 temos que 1 =1.2 2 . (2) Suponha que Pn_i₌₁i= n(n₂+1). Então

n+1

X

i=1 i=

n X

i=1

i+ (n+ 1) = n(n+ 1)

2 + (n+ 1) =

(n+ 1)(n+ 2)

2 .

Lema4.4. Seja pum número primo e 1_≤i < pinteiro, então o binomial p_i é divis´ıvel porp.

Demonstração. Por defini¸cão

_p

i

= p(p−1)· · ·(p−i+ 1) i(i−1)· · ·1 ∈Z.

(26)

20 4. INDUC¸ ˜AO FINITA

Note que p n˜ao divide nenhum dos fatores do denominador, pois i < p. Logo podemos colocarppara fora da fra¸c˜ao e o que sobra

(p₋1)_{· · ·}(p₋1 +i) i(i₋1)_{· · ·}1

tamb´em ´e inteiro.

Exemplo 4.5. Sejapum n´umero primo. Para todo inteiron_≥1 temos quep dividenp

−n.

Demonstrac¸˜ao. (1) Para n= 1 temos quepdivide 1p−1 = 0. (2) Suponha que p_|(np

−n). Ent˜ao

(n+ 1)p₋(n+ 1) =

p−1

X

i=1

p i

ni+ (np₋n).

Pelo Lema 4.4 e pela hip´otese de p | (np−n) concluimos que p| ((n+ 1)p

−(n+ 1)).

Teorema4.6 (pequeno teorema de Fermat). Sejapum n´umero primo ea_∈Z. Ent˜aop|(ap₋_a)_.

Demonstração. O exemplo mostra o teorema para inteiros positivos. Seja m < 0 inteiro, digamos m = ₋n para n _≥ 1. Suponha p > 2. Neste caso, mp₋_m_{= (}₋_n)p₋₍₋_{n) =}₋_(np₋_{n) que é divis´ıvel por}_{p. No caso de}_p_{= 2 temos}

que sen2₋_n_{= 2α, ent˜ao} _m2₋_m₌_n2₊_n₌_n_{+ 2α}₊_n_{= 2(α}_{+ 1).}

Observação4.7. O teorema anterior é na verdade equivalente para um inteiro anão divis´ıvel porpap_|(ap−1

−1). De fato, suponha queap

−a=a(ap−1

−1) =αp paraα_∈Z. Sep∤a, ent˜ao pelo Lema 3.3 concluimos quep_|(ap−1

−1).

4.3. Exemplos da indu¸c˜ao finita na sua segunda forma Ordenamos os n´umeros primos

p1= 2< p2= 3< p3= 5_{· · ·}< pn· · ·,

ondepn denota o n-ésimo número primo. SejaP o conjunto dos números primos. Teorema 4.8 (Euclides). O conjunto_P é infinito.

Demonstrac¸˜ao. Suponhamos que_P seja finito, digamos com kelementos,

P ={p1<· · ·< pk}.

Seja

M :=p1· · ·pk+ 1.

Notemos queM > p1_{· · ·}pk≥2pk > pk, logoM tem que ser um n´umero composto.

Pelo teorema fundamental da aritmética M é produto de números primos. Logo os únicos primos que podem aparecer na sua fatora¸cão sãop1,_{· · ·}, pk, digamos que

pi|M, i.e., existeαi ≥1 inteiro tal queM =αipi. Retornando `a defini¸c˜ao de M

obtemos

pi(αi−p1· · ·pi−1pi+1· · ·pk) = 1.

(27)

4.3. EXEMPLOS DA INDUC¸ ˜AO FINITA NA SUA SEGUNDA FORMA 21

o lado esquerdo é pelo menos 2, enquanto o lado direito é 1, o que é imposs´ıvel. A contradi¸cão vem do fato de termos supostoP finito, portantoP é infinito.

No próximo cap´ıtulo daremos outras demonstra¸cões deste teorema bem como discutiremos em maior profundidade os números primos.

Exemplo 4.9. Para todo inteiron_≥1 temospn≤22

n

.

Demonstrac¸˜ao. (1) Observe quep1= 2_≤22_{= 4.} (2) Suponha que para todo 1≤m < ntenhamospm≤22

m

. A demonstra¸cão do teorema de Euclides mostra queM :=p1· · ·pn−1+ 1 não pode ser di-vis´ıvel por nenhum dos primosp1,· · ·, pn−1. LogoM só pode ser divis´ıvel por primos maiores quepn−1, em particular,pn≤M. Assim,

pn≤p1· · ·pn−1+ 1≤22

2

+. . .2n−1+ 1.

Mas 22₊_{. . .}_{+ 2}n−1_{= 2(1 +}_{. . .}_{+ 2}n−2_{) = 2}2n−1

−1

2−1 = 2n−2. Portanto, pn ≤22

n

−2_{+1. Basta mostrar que 2}2n

−2₊₁

≤22n

, i.e., 4_≤22n₊₂

−22n

= 22n

(4₋1), o que ´e verdade.

Exemplo 4.10 (algoritmo de Euclides). Sejab≥1 inteiro. Para todo inteiro n≥1 existemq, r∈Ztais quen=bq+rpara 0≤r < n.

Demonstrac¸˜ao. (1) Sen < btomeq= 0 er=n. Sen=btomeq= 1 er= 0.

(2) Suponhamos quen > b. Então 1_≤n₋b < n. Por hipótese de indu¸cão, para todo 1_≤m < n existem qm, rm ∈Ztais que m=bqm+rm, onde

0 _≤rm < n. Em particular, existemq′, r′ ∈Z tais quen−b =q′b+r′

onde 0_≤r′_{< b. Logo}_n_{= (q}′_{+ 1)b}₊_r′ _{e basta tomar}_q₌_q′_{+ 1 e}_r₌_r′_.

(28)

(29)

CAP´ıTULO 5

N´

umeros primos

No cap´ıtulo anterior provamos que o conjunto dos números primos é infinito. Daremos 3 outras demonstra¸cões para este fato. Cada qual tem seu mérito próprio. A prova apresentada no cap´ıtulo sobre indu¸cão finita é a original de Euclides. Provaremos também que existe uma infinidade de números primos em certas progre-ssões aritméticas e que fun¸cões polinomiais não lineares produzem uma infinidade de números compostos.

5.1. Infinidade de primos SejaP o conjunto dos n´umeros primos.

Teorema 5.1 (Euclides). O conjunto_P ´e infinito.

2a. Demonstrac¸˜ao. Suponhamos que _P seja finito, digamos _P =_{p1,_{· · ·} , pk}. Seja n ≥ 1 inteiro. Pelo Lema 3.9, n = mQ2, com m, Q ≥ 1 inteiros e m

livre de quadrados. Por um lado a quantidade de números inteiros positivos aténé exatamenten. Por outro,m=pe1

1 · · ·pekk, ondeei ∈ {0,1}, para 1≤i≤k. Assim,

escolher m ´e equivalente a escolher os expoentes ei, e como tenho duas escolhas

para cadai, o número de escolhas poss´ıveis paramé no máximo 2k_{. Observemos}

também queQ_≤√n, logo o número de escolhas paraQé no máximo√n, portanto, o número de escolhas para né no máximo 2k√_{n, i.e.,} _n _≤₂k√_{n, i.e.,}√_n _≤₂k_,

i.e.,n≤22k_{. Mas}_k_{é fixo, é a cardinalidade do conjunto de n´}_{umeros primos, e}_n_é

um inteiro qualquer, i.e., estamos mostrando que o conjunto dos inteiros positivos é limitado, o que é imposs´ıvel. Portanto,P é infinito.

3a. Demonstrac¸˜ao. Seja F(n) := 22n

+ 1 o n-ésimo número de Fermat. Mostramos anteriormente (exerc´ıcio do cap´ıtulo sobre algoritmo de Euclides) que sen > m≥1, então mdc(F(n), F(m)) = 1. Come¸camos escolhendo um fator primo q1deF(1). Pelo resultado anterior, todo fator primo deF(2) é distinto deq1, escol-hemos um destes fatores primos, digamosq2. Suponhamos que para todo 1_≤m < n tenhamos escolhido para cada F(m) um fator primo distinto. Novamente pelo re-sultado anterior todo fator primo deF(n) é distinto deq1,_{· · ·} , qn−1, escolhemos um destes fatores primos, digamosqn. Provamos assim (via a Indu¸cão na sua segunda

forma) que para todon_≥1 temos um n´umero primo qn fator deF(n) distinto de

q1,_{· · ·}, qn−1. Produzimos assim um subconjunto infinito {q1,· · · , qn,· · · } ⊂ P de

P. Em particular,_P ´e infinito.

Uma quarta demonstra¸cão é conseqüência do seguinte teorema.

Teorema 5.2 (*). A s´erie

X

p∈P 1 p

(30)

24 5. N ´UMEROS PRIMOS

diverge.

Para a no¸cão de divergência de série veja [Li, Cap´ıtulo IV].

Demonstração. Sejam n_≥1 inteiro e p1,_{· · ·}, pl(n) os números primos me-nores ou iguais an. Seja

λ(n) :=

l(n)

Y

i=1 1 1₋pi

.

Segue das Preliminares que

1 1−pi

= X

ai≥0

1 pai

i

,

logo

λ(n) = X

(a1,···,al(n))

1 pa1

1 . . . p

al(n)

l(n) ,

onde al(n)-upla (a1,_{· · ·} , al(n)) ´e formada de inteiros n˜ao negativos. Em particular,

como

1 +1

2 +. . .+ 1

n < λ(n),

concluimos que λ(n) → ∞ quandon → ∞ (ver [Li, Cap´ıtulo IV, Exemplos 23]). Em particular,_P ´e um conjunto infinito.

Calculando o logartimo deλ(n) (ver Preliminares) obtemos

log(λ(n)) =₋

l(n)

X

i=1

log(1₋pi) = l(n)

X

i=1

X

m≥1 1 mpm

i

= 1

p1 +. . .+ 1 pl(n)

+

l(n)

X

i=1

X

m≥2 1 mpm i . Note que X

m≥2 1 mpm

i

< X

m≥2 1 pm i = 1 p2 i 1 1₋p−_i1 ≤

2 p2

i

.

Logo,

log(λ(n))< 1

p1 +. . .+ 1 pl(n)

+ 2 1 p2

1

+. . .+ 1 p2

l(n)

!

.

Segue de [Li, Cap´ıtulo IV, Exemplo 29] queP

n≥1n−2converge, a fortiori o mesmo vale paraP

i≥1p− 2

i . Dessa forma, se P

p∈Pp−1convergisse, existiria uma constante M tal que log(λ(n))< M, i.e.,λ(n)< eM_{, mas}_λ(n)

→ ∞, quandon_{→ ∞}. Assim,

P

p∈Pp−1 n˜ao pode convergir.

5.2. Primos em progress˜oes aritm´eticas

(31)

5.2. PRIMOS EM PROGRESS ˜OES ARITM´ETICAS 25

Lema 5.3. Existem infinitos n´umeros primos da forma 4n+ 3 com n ≥ 1

inteiro.

Demonstração. Seja p > 2 um número primo. Comecemos analisando os poss´ıveis restos da divisão de ppor 4. Pelo algoritmo da divisão existem q, r_∈Z

tais que p= 4q+r com 0≤r <4. Comopé primo as únicas possibilidades para rsão 1 e 3.

SejaP4,3o conjunto dos n´umeros primos maiores ou iguais a 7 da forma 4n+ 3. Suponha queP4,3seja infinito, digamos P4,3={p1<· · ·< pk}. Seja

M := 4p1_{· · ·}pk+ 3.

Observe que M deixa resto 3 na divisão por 4. Observe também que M > 4p1_{· · ·}pk > 4pk > pk, logo (como pk é o maior número primo que deixa resto

3 na divisão por 4) M é composto. Pelo teorema fundamental da aritmética M fatora-se em um produto de primos.

Note que sea, b≥1 são inteiros que deixam resto 1 na divisão por 4, então o mesmo ocorre paraab. De fato, sea= 4x+ 1,b= 4y+ 1, então

ab= 4(4xy+x+y) + 1.

Fica como exerc´ıcio verificar (utilizando a primeira forma da indu¸c˜ao finita) que o mesmo vale para um produto finitoa1_{· · ·}ande inteiros positivos cada qual deixando

resto 1 na divis˜ao por 4.

Assim, não é poss´ıvel que todo fator de M deixe resto 1 na divisão por 4, i.e., existe algum 1 _≤ i _≤ k tal que pi | M, i.e., M =piαi para αi ≥1 inteiro.

Retornando `a defini¸c˜ao deM obtemos

pi(αi−4p1· · ·pi−1pi+1· · ·pk) = 3.

No lado esquerdo temos um produto de um número inteiro positivo por outro cujo produto também é um inteiro positivo, logo o número inteiro entre parentêses é um inteiro positivo. Comop1_≥7, o lado esquerdo é pelo menos 7, o que é imposs´ıvel.

Portanto_P4,3 ´e infinito.

Lema 5.4. Existem infinitos n´umeros primos da forma 6n+ 5 com n ≥ 1

inteiro.

Demonstração. Seja p > 2 um número primo. Pelo algoritmo da divisão existemq, r∈Ztais quep= 6q+rcom 0≤r <6. Comopé primo,rsó pode ser 1 ou 5.

SejaP6,5o conjunto dos n´umeros primos maiores ou iguais a 11 da forma 6n+5 paran≥1 inteiro. Suponha queP6,5 seja finito, digamos P6,5={p1<· · ·< pk}.

Seja

M := 6p1_{· · ·}pk+ 5.

Note queM deixa resto 5 na divis˜ao por 6. Note tamb´em que M > 6p1_{· · ·}pk >

6pk > pk. Como pk é o maior número primo que deixa resto 5 na divisão por 6

obtemos queM ´e composto.

Observe que sea, b_≥1 são inteiros que deixam resto 1 na divisão por 6, então o mesmo ocorre comab. De fato, sea= 6x+ 1,b= 6y+ 1, então

ab= 6(6xy+x+y) + 1.

Fica como exerc´ıcio mostrar que o mesmo vale para um produto finitoa1· · ·an de

(32)

Assim não é poss´ıvel que todo fator deM deixe resto 1 na divisão por 6, i.e., existe 1 ≤ i ≤ k tal que pi | M, M = piαi para αi ≥ 1 inteiro. Retornando à

defini¸c˜ao deM obtemos

pi(αi−6p1· · ·pi−1pi+1· · ·pk) = 5.

No lado esquerdo temos um produto de um número inteiro positivo por outro cujo produto também é um inteiro positivo, logo o número inteiro entre parentêses é um inteiro positivo. Comop1≥11, o lado esquerdo é pelo menos 11, o que é imposs´ıvel.

PortantoP6,5 ´e infinito.

No par´agrafo sobre fun¸c˜ao zeta a seguir enunciaremos um teorema devido a Dirichlet que generaliza os dois lemas anteriores.

5.3. Infinidade de compostos por fun¸c˜oes polinomiais

Queremos agora analisar o que ocorre se a fun¸cão considerada anteriormente for polinomial. Veremos que em geral o fenômeno se contrapõe ao caso linear, ou seja, é poss´ıvel apenas garantir uma infinidade de números compostos na imagem def.

Teorema 5.5. Seja

f(n) :=adn+ad−1nd−1+. . .+a1n+a0,

onde ad,· · · , a0 ∈Z com ad > 0. Ent˜ao existem infinitos n´umeros compostos da forma f(n).

Demonstração. Se para todo n ≥ 1, f(n) for composto nada há a fazer. Caso contrário, sejan0∈Ntal quef(n0) =pnúmero primo. Sejah≥1 inteiro e

f(n0+hp) =ad(n0+hp)d+ad−1(n0+hp)d−1+. . .+a1(n0+hp) +a0.

Note que a soma dos termos constantes (considerando a expressão acima como um polinômio emh) é igual a

adnd0+ad−1n0d−1+. . .+a1n0+a0=p.

Logo,

f(n0+hp) =p(1 +a1h+a2(2n0h+h2p) +. . .

+ad−1((d−1)n0d−2h+. . .+ (d−1)n0hd−2pd−3+hd−1pd−2) +ad(dnd0−1h+. . .+dn0hd−1pd−2+hdpd−1)).

Observe que o termo l´ıder da expressão acima como polinômio em h é igual a adpd−1p > 0. Assim para um inteiro h ≥ 1 suficiente grande a expressão entre

parênteses do lado direito menos 1 é sempre positiva, portantof(n0+hp) =p(1+α) comα_≥1 inteiro. Em particular, f(n0+hp) é sempre composto para todoh_≥1 suficientemente grande.

Para o caso d= 2 a cota para h´e h >₋(2an0+b)/(ap) (fa¸ca a conta neste

(33)

5.5. CONTANDO N ´UMEROS PRIMOS 27

5.4. N´umeros de Fermat e Mersenne

Nesta se¸cão apresentamos os números de Fermat e Mersenne e come¸camos a discussão de quando podem ser números primos. No cap´ıtulo subseqüente sobre aplica¸cões da teoria de grupos à aritmética elementar descreveremos de forma mais precisa critérios para decidir quando estes números são primos.

Para todo n _≥ 1 inteiro seja F(n) := 22n

+ 1 o n-ésimo número de Fermat. Fermat afirmava que todo número desta forma era primo. Na verdade o que deve ter ocorrido é que ele calculou os quatro primeiros que realmente são. Entretanto, Euler mostrou que 641_|F(5). Daremos uma demonstra¸cão disto posteriormente.

Para todon_≥1 inteiro sejaM(n) := 2n

−1 on-´esimo n´umero de Mersenne.

Lema5.6. Sené composto, então M(n)também é composto.

Demonstração. Suponha quen=abcom 1< a, b < n. Então 2n₋1 = (2a)b₋1 = (2a₋1)(2a(b−1)+ 2a(b−2)+. . .+ 2a+ 1)

o que mostra queM(a)|M(n).

Observação 5.7. Se quisermos que um número de Mersenne seja primo, de-vemos nos restringir àqueles números de Mersenne cujo ´ındicen seja um número primo. Mersenne produziu uma lista incompleta e incorreta deM(p)’s parapprimo tais queM(p) é primo. Novamente, produziremos a posteriori uma lista ocrreta, a menos da complexidade computacional, utilizando teoria de grupos.

5.5. Contando n´umeros primos

Para todo número realx >1 seja π(x) := #_{p_| número primo com p_≤x_}. O teorema de Euclides nos garante que limx→∞π(x) =∞(para a no¸cão de limite veja [Li, cap´ıtulo IV]). Nosso objetivo é determinar uma estimativa elementar para a fun¸cão π(x) que conta a quantidade de números primos menores ou iguais a um dado número real maior que 1. Note que se 1< x≤y, entãoπ(x)≤π(y). Sejapn

on-ésimo número primo. Entãoπ(pn) =n.

Proposição5.8. Seja log(x)o logaritmo na base e. Então

π(x)≥log(log(x)).

Demonstração. Já obtivemos anteriormente (via indu¸cão finita) que pn ≤

22n

. Para todox > 1 real fixado o conjunto _{m _≥1_| inteiro, eem

≤ x_} ´e finito. Sejan₋1 seu maior elemento, i.e.,een−1

≤x < een

. Observe que

een−1 _≥22n paran_≥4. De fato, basta mostrar que

en−1≥2nlog(2), ou seja, n−1≥nlog(2) + log(log(2)), o que ´e verdade pois log(2)<1. Logo

π(x)_≥π(een−1)_≥π(22n)_≥π(pn) =n≥log(log(x)).

(34)

Proposic¸˜ao5.9.

π(x)≥log(_{2 log(2)}⌈x⌉),

onde_⌈x_⌉denota a parte inteira dex(para a defini¸c˜ao ver Preliminares).

Demonstração. Para qualquer conjunto de números primos S denotamos por fS(x) o número de inteiros positivos n≤xtais que γ(n)⊂S. Suponha que

S seja finito de cardinalidade t. Escrevemos n =m2_s _com_s _{livre de quadrados.} Note que m _≤√x. Al´em disto temos no m´aximo 2t _{escolhas para} _{s. Portanto,}

fS(x) ≤ 2t√x. Seja m := π(x), assim pm+1 > x. Se S = {p1,· · · , pm}, ent˜ao

fS(x) =⌈x⌉. Em particular,⌈x⌉ ≤2π(x)√xe disto segue a proposi¸c˜ao.

O método acima nos dá uma nova demonstra¸cão do teorema 5.2. De fato, se

P

p∈P1/pfosse convergente, ent˜ao existirian≥1 tal que

X j>n 1 pj <1 2.

SejaS:=_{p1,_{· · ·}, pn}ex≥1 inteiro. Entãox−fS(x) é igual ao número de inteiros

positivos m_≤x tais queγ(m)_6⊂S. Em outras palavras, contamos o n´umero de inteiros 1_≤m_≤xpara os quais existej > ntal quepj |m. Para cada primopj

existem_⌈x/pj⌉m´ultiplos depj menores ou iguais ax. Portanto,

x₋fS(x)≤ X j>n _x pj ≤X j>n x pj < x 2.

A fortiori,fS(x)≥x/2. Mas,fS(x)≤2n√x. Logo, 2n ≥√x/2, o que ´e imposs´ıvel

poisné fixo exé variável.

Intimamente relacionada à fun¸cãoπ(x) temos a seguinte fun¸cão

θ(x) := X

p∈P,p≤x

log(p).

Utilizaremosθ(x) para limitarπ(x). Sejaθ(1) := 0.

Proposic¸˜ao5.10.

θ(x)<(4 log(2))x.

Demonstrac¸˜ao. Considere o binomial

_2n

n

= (n+ 1). . .2n 1.2. . . n .

Este número é um inteiro divis´ıvel por todo número primon < p <2n. Além disto, como

(1 + 1)2n₌

2n X j=0 _2n j

, ent˜ao 22n_> _2n

n

.

Em conseq¨uˆencia,

22n>

2n n

> Y

n<p<2n

p.

Calculando o logartimo,

2nlog(2)> X

n<p<2n

(35)

5.5. CONTANDO N ´UMEROS PRIMOS 29

Somando esta rela¸c˜ao paran= 1,2,4,· · ·,2m−1 _obtemos θ(2m₎_{< log(2)(2}m+1

−2)<log(2)2m+1_.

Como na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 5.8 existe m _≥1 tal que 2m−1 _{< x}

≤2m_,

donde

θ(x)_≤θ(2m)<log(2)2m+1= (4 log(2))2m−1<(4 log(2))x.

Proposic¸˜ao5.11. Existe um realc1>0 tal que

π1(x)< c1 x

log(x), parax≥2.

Demonstrac¸˜ao. Observe que

θ(x)_≥ X √

x<p≤x

log(p)_≥log(√x)(π(x)₋π(√x))_≥log(√x)π(x)₋√xlog(√x).

Logo,

π(x)_≤ 2θ(x) log(x)+

√

x_≤(8 log(2)) x log(x)+

√

x,

onde a ´ultima desigualdade segue da proposi¸c˜ao anterior. O resultado segue da

observa¸c˜ao que√x <2x/log(x) parax_≥2.

Corol´ario 5.12.

lim

x→∞ π(x)

x = 0.

Nosso objetivo agora ´e obter uma cota inferior para a fun¸c˜ao π(x). Para isto comecemos observando que

2n n =

n+ 1 1

n+ 2 2

. . .

n+n n

≥2n.

Por um exerc´ıcio deste cap´ıtulo temos

ordp

2n n

= ordp (2n)! (n!)2 = tp X j=1 2n pj −2 n pj ,

ondetpdenota o maior inteiro tal queptp≤2n. Logo,tp=⌈log(2n)/log(p)⌉. Al´em

disto,⌈2x⌉ −2⌈x⌉´e sempre 0 ou 1, assim

ordp _2n

n

≤ log(2n)_log(p) .

Proposic¸˜ao5.13 (*). Existe realc2>0tal que

π(x)> c2 x log(x).

Demonstrac¸˜ao. Pelo que foi feito anteriormente,

2n ≤ _2n n ≤ Y

p<2n

ptp_.

Calculando o logaritmo obtemos,

nlog(2)≤ X p<2n

tplog(p) = X

p<2n

_log(2n)

log(p)

(36)

Se log(p)>(1/2) log(2n), i.e., p >√2n, ent˜ao⌈log(2n)/log(p)⌉= 1. Assim,

nlog(2)_≤ X

p≤√2n

_log(2n)

log(p)

log(p) + X √

2n<p<2n

log(p)_≤√2nlog(2n) +θ(2n)

Portanto, θ(2n) ≥ nlog(2)−√2nlog(2n). Mas, limn→∞(√2nlog(2n))/n = 0. Assim, existe uma constante real T > 0 tal que para n suficientemente grande θ(2n)> T n. Toamndoxsuficientemente grande e tal que 2n≤x <2n+ 1 obtemos

θ(x)_≥θ(2n)> T n > Tx−1 2 > Cx,

para algum realC >0 conveniente. Portanto, existe realc2>0 tal queθ(x)> c2x para todox_≥2. Para completar a prova observamos que

θ(x) =X

p≤x

log(p)_≤π(x) log(x).

Portanto,

π(x)≥ _log(x)θ(x) > c2 x log(x).

5.5.1. Comentários. As duas proposi¸cões anteriores são devidas a ˘Cebychef (1852). O seguinte teorema suplanta ambas (cf. [Ap, chapter 4], este resultado depende de teoria anal´ıtica dos números).

Teorema 5.14 (teorema dos n´umeros primos).

lim

x→∞π(x) = x log(x).

O teorema dos números primos foi conjecturado por Gauss na idade de 15 ou 16 anos. A prova correta surgiu apenas em 1896 por Hadamard e de la Vallé Poussin utilizando a fun¸cão zeta de Riemann, que introduziremos no parágrafo seguinte.

Existem uma infinidade de problemas abertos sobre os n´umeros primos. Para mencionar apenas dois :

• Existem infinitos n´umeros primos da forman2_{+ 1?}

• (Primos gˆemeos) Existem infinitos pares de n´umeros primos da forma (p, p+ 2)?

Para mais problemas abertos veja [Si] e [Sh].

5.6. Fun¸c˜ao zeta

Nesta se¸cão descreveremos sem prova diversos fatos a respeito da fun¸cão zeta de Riemann (para a prova destes fatos ver [IrRo, chapter 16]). Esta fun¸cão é definida por

ζ(s) :=X

n≥1

n−s_, _onde_s

∈C,_ℜ(s)>1.

(37)

5.6. FUNC¸ ˜AO ZETA 31

Proposic¸˜ao5.15. Para ℜ(s)>1 temos

ζ(s) = Y

p∈P 1 1₋p−s.

Particularmente importante é o comportamento assintótico desta fun¸cão quan-dos_→1. Considerando queP

n≥11/ndiverge suspeitamos queζ(s)→ ∞quando s→1. Lembre queζ(s) é uma fun¸cão de uma variável complexa.

Proposição5.16. Suponha queℜ(s)>1. Então

lim

s→1(s−1)ζ(s) = 1.

A proposi¸cão na verdade diz que ζ(s) é uma fun¸cão meromorfa com um pólo simples ems= 1 (para mais detalhes ver [Ap, chapter 12]).

Corol´ario 5.17. Quandos→1 temos

log(s)

(log(s₋1))−1 →1.

Proposic¸˜ao5.18.

ζ(s) =X

p∈P 1

ps +R(s),

ondeR(s)fica limitada quando s→1.

Dado um subconjunto S do conjunto dos n´umeros primos P, dizemos que S

tem densidade de Dirichlet se o limite

lim

s→1

P p∈Sp−s (log(s₋1))−1

existe. Neste caso este limite ´e denotado por d(S) e ´e chamado a densidade de Dirichlet deS. Esta densidade satisfaz as seguintes propriedades.

Proposição5.19. SejaSum subconjunto do conjuntoP dos números primos. Então

(1) Se S ´e finito, ent˜ao d(S) = 0.

(2) Se S contém todos os números primos, exceto um número finito deles, então d(S) = 1.

(3) Se S=S1∪ S2 comS1∩ S2=∅, ent˜ao d(S1∪ S2) =d(S1) +d(S2).

Teorema 5.20 (teorema das progress˜oes aritm´eticas de Dirichlet). Sejama∈

Zem≥1inteiro tais quemdc(a, m) = 1. SejaP(a;m)o subconjunto do conjunto P dos números primos que contém os primos p tais que p≡ a (mod m). Então

d(_P(a;m)) = 1/φ(m). A fortiori,_P(a;m)´e infinito.

5.6.1. Comentários (*). Riemann propôs a seguinte conjectura (que per-manece em aberto até hoje).

Conjectura 5.21 (hipótese de Riemann). Todos os zeros da fun¸cão zeta de Riemannζ(s) estão contidos na retaℜ(s) = 1/2.

(38)

O inteiro positivo n nada mais é que a cardinalidade do anel Z/nZ da arit-mética modular (a ser introducido no próximo cap´ıtulo). Esta analogia faz com que Dedekind considere a seguinte extensão da fun¸cão zeta. SejaK uma extensão finita do corpo dos racionais Q (ver a parte referente à teoria de corpos). Existe um subconjuntoOK deKque cumpre o mesmo papel deZcom rela¸cão aQ. Este

conjunto é chamado o anel de inteiros de K. Ele tem (entre outras propriedades importantes) a caracter´ıstica que o anel quociente _OK/I (onde I é um ideal de OK, para mais sobre anel quocientes ver a parte de anéis) é um conjunto finito cuja

cardinalidade ´e denotada por N(I). Assim, Dedekind define a fun¸c˜ao zeta de K por

ζK(s) := X

I

N(I)−s_, _onde

ℜ(s)>1,

e I percorre todos os ideais de _OK. Novamente conjectura-se que os zeros desta

fun¸cão estão na reta_ℜ(s) = 1/2, o que permanece em aberto. Note queζQ nada mais é que a fun¸cão zeta de Riemann.

Nos anos 20 e 30 do século XX, E. Artin, H. Hasse e A. Weil consideraram um análogo “geométrico” desta situa¸cão. Nele o papel deQera ocupado pelo corpo de fun¸cões racionais em uma variável Fq(τ) sobre um corpo finito Fq de qelementos

(ver parte de corpos). Neste contexto,L´e uma extens˜ao finita de Fq(τ). O corpo

Lpossui tamb´em um subanel com propriedades similares a_OK (quandoK ´e uma

extensão finita de Q). Isto permite a constru¸cão de uma fun¸cão zeta associada a L. Similarmente, pode-se formular como acima uma “hipótese de Riemann” para L. Esta é chamada uma “hipótese de Riemann para curvas” porqueL nada mais é que o corpo de fun¸cões racionais de uma curva sobre um corpo finito (para mais sobre curvas sobre corpos finitos e a hipótese de Riemann neste contexto ver [Lo]). Após casos particulares da hipótese de Riemann para curvas terem sido tratados por Artin e Hasse, Weil utilizando variedades abelianas e representa¸cões ℓ-ádicas obtém em 1948 a prova da “hipótese de Riemann para curvas” de forma geral.

No ano seguinte (1949) Weil propõe uma vasta generaliza¸cão deste resultado substituindoFq(τ) por um corpo de fun¸cõesκemnvariáveis sobreFq. Neste caso

a extensão finita L de κ nada mais é que o corpo de fun¸cões de uma variedade algébrica sobre Fq (para variedades algébricas ver [Ha]). De maneira visionária

Weil percebe que uma prova da hipótese de Riemann neste contexto mais geral seria conseqüência de uma teoria de cohomologia suficientemente “rica” para re-produzir as propriedades da cohomologia singular sobre os complexos. Segundo muitos, as conjecturas de Weil foram sem sobra de dúvida o problema matemático mais profundo após a segunda guerra mundial. Na busca da cohomologia perdida, os primeiros passos foram dados por J.-P. Serre introduzindo a cohomologia de feixes de vetores de Witt. Mas foi A. Grothendieck que compreendeu que a fun¸cão zeta traz em si algo de novo que não havia sido percebido pelos gêometras algébricos, desde de os italianos do século XIX. Ela necessitava de uma base variável, ou seja, a variedade algébrica era considerada simultaneamente sobre todos os corpos finitos

Fqn. Para isto introduziu o conceito que revoluciona completamente a geometria

(39)

5.6. FUNC¸ ˜AO ZETA 33

(40)