Cap 7_Integracao_Numerica

(1)

(2)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao

2 F´ormulas Fechadas de Newton-Cotes

3 _An´_{alise do Erro de Integra¸}_c˜_ao

4 Regras de Integra¸c˜ao Generalizadas

5 An´alise dos Erros das F´ormulas Generalizadas

6 M´etodo dos Coeficientes Indeterminados

7 Quadratura Gaussiana

8 Referˆencias

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(4)

Introdu¸c˜

ao

Estamos interessados em estudar métodos numéricos para calcular de forma aproximada a integral de uma fun¸cão com uma variável real em um intervalo [a, b].

O problema consiste em: encontrar

I = I (f ) = Z b

a

f (x ) dx

onde f (x ) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua com derivadas cont´ınuas no intervalo [a, b].

Seja F (x ) a fun¸cão primitiva de f (x ), tal que F0(x ) = f (x ). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) sabemos que o valor da integral é dado por

I = Z b

a

f (x ) dx = F (b) − F (a)

(5)

Introdu¸c˜

ao

Exemplo Calcular R2 0 x4 dx . Como F (x ) = x5 5 satisfaz F 0_{(x ) = x}4 _{= f (x ), pelo} TFC, temos I = Z 2 0 x4 dx = 2₅5 −05 5 = 32 5 = 6.4

Algumas observa¸c˜oes:

nem sempre conseguimos determinar a primitiva F (x ) Z b

a ex2 dx

em algumas situa¸c˜oes a manipula¸c˜ao de F (x ) pode ser complexa

em outros casos, podemos não conhecer de forma anal´ıtica a fun¸cão f (x ) que se deseja integrar e só temos os valores de f (x ) em pontos xi do intervalo (ex: experimentos)

(6)

Introdu¸c˜

ao

De forma geral, a integra¸cão numérica consiste em integrar o polinômio Pn(x ) que interpola os pontos

(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), . . . , (xn, f (xn)) onde x0, . . . , xn ∈ [a; b] Ou seja, I = Z b a f (x )dx ≈ Z xn x0 Pn(x )dx

(7)

(8)

Introdu¸c˜

ao

Considera-se inicialmente as f´ormulas de Newton-Cotes do tipo fechada, isto ´e, quando x0 = a e xn= b

Serão adotados aqui polinômios interpoladores Pn(x ) sobre nós

igualmente espa¸cados no intervalo [a; b] Assim, xi = b − a n i + a; i = 0, 1, . . . , n Além disso, h = b − a n ⇒ xi = x0+ ih; i = 0, 1, . . . , n A Forma de Lagrange do polinômio interpolador será utilizada

(9)

Regra do Retˆ

angulo

O polinˆomio mais simples ´e uma constante

f (x ) ´e aproximada pelo seu valor em x0 = a (ou em x1= b), de tal

forma que Z b a f (x ) dx ≈ Z b a P0(x ) dx = Z b a f (a)dx = xf (a) b a

= (b − a)f (a) = hf (a) = IR

(10)

Regra do Ponto M´

edio

Tamb´em pode-se aproximar f (x ) por uma outra constante tomada ao avaliar f (x ) em algum outro ponto do intervalo [a; b]

Uma escolha comum ´e o ponto m´edio do intervalo

Z b a f (x ) dx ≈ (b − a)f a + b 2 = hf a + b 2 = IM a _b

(11)

Regra do Trap´

ezio

Seja P1(x ) o polinˆomio interpolador de f (x ) que passa pelos pontos

(x0, f (x0)) e (x1, f (x1)), com x0 = a e x1= b, ent˜ao Z b a f (x )dx ≈ Z x1 x0 P1(x )dx

A Forma de Lagrange do Polinˆomio interpolador ´e dada por P1(x ) = f (x0)L0(x ) + f (x1)L1(x ) L0(x ) = x − x1 x0− x1 e L1(x ) = x − x0 x1− x0 Assim, Z x1 x0 P1(x )dx = Z x1 x0 [f (x0)L0(x ) + f (x1)L1(x )] dx

(12)

Regra do Trap´

ezio

Ent˜ao Z x1 x0 P1(x )dx = f (x0) Z x1 x0 x − x1 x0− x1 dx + f (x1) Z x1 x0 x − x0 x1− x0 dx = f (x0) Z 1 0 x0+ zh − x0− h −h hdz + f (x1) Z 1 0 x0+ zh − x0 h hdz = −f (x0) Z 1 0 (zh − h)dz + f (x1) Z 1 0 zhdz = −hf (x0) Z 1 0 (z − 1)dz + hf (x1) Z 1 0 zdz = −hf (x0) z2 2 − z 1 0 + hf (x1) z2 2 1 0 = −hf (x0) 12 2 − 1 + hf (x1) 12 2 =h 2f (x0) + h 2f (x1) = h 2(f (x0) + f (x1))

(13)

Regra do Trap´

ezio

IT =

h

(14)

Exemplo - Regra do Trap´ezio

Calcule de forma aproximada o valor da seguinte integralR₀1.2excos (x ) dx usando a regra do trap´ezio.

Solu¸c˜ao do Exemplo

Temos a = x0= 0 e b = x1 = 1.2, logo h = x1− x0= 1.2. Calculando os

valores da fun¸c˜ao em x0 e x1 temos

f (0) = e0cos (0) = 1 f (1.2) = e1.2cos (1.2) = 1.20

logo

I = 1.2₂ [f (0) + f (1.2)] = 0.6[1 + 1.20] = 1.32

(15)

Solu¸c˜ao do Exemplo 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 f(x)=exp(x)*cos(x) p1(x)

(16)

Regra 1/3 de Simpson

Aproximando f (x ) por um polinˆomio interpolador P2(x ), ent˜ao

Z b a f (x )dx ≈ Z x2 x0 P2(x )dx

A Forma de Lagrange do Polinˆomio interpolador ´e dada por

P2(x ) = f (x0)L0(x ) + f (x1)L1(x ) + f (x2)L2(x ) L0(x ) = (x − x1)(x − x2) (x0− x1)(x0− x2) L1(x ) = (x − x0)(x − x2) (x1− x0)(x1− x2) L2(x ) = (x − x0)(x − x1) (x2− x0)(x2− x1)

(17)

Regra 1/3 de Simpson

Assim, Z x2 x0 P2(x )dx =f (x0) Z x2 x0 (x − x1)(x − x2) (x0− x1)(x0− x2) dx+ f (x1) Z x2 x0 (x − x0)(x − x2) (x1− x0)(x1− x2) dx+ f (x2) Z x2 x0 (x − x0)(x − x1) (x2− x0)(x2− x1) dx Sabe-se que x1 = x0+ h e x2 = x0+ 2h

Cada integral da soma ´e ent˜ao determinada trocando

x = x0+ zh; z ∈ [0; 2]

(18)

Regra 1/3 de Simpson

Z x2 x0 (x − x1)(x − x2) (x0− x1)(x0− x2) dx= Z 2 0 (x0+ zh − x0− h)(x0+ zh − x0− 2h) (−h)(−2h) hdz = Z 2 0 (zh − h)(zh − 2h) 2h dz = h 2 2h Z 2 0 (z − 1)(z − 2)dz = h 2 Z 2 0 (z2− 3z + 2)dz = h 2 z3 3 − 3z2 2 + 2z 2 0 = h 2 (2)3 3 − 3(2)2 2 + 2(2) = h 6(8 − 18 + 12) = h 3

(19)

Regra 1/3 de Simpson

Z x2 x0 (x − x0)(x − x2) (x1− x0)(x1− x2) dx= Z 2 0 (x0+ zh − x0)(x0+ zh − x0− 2h) (h)(−h) hdz = Z 2 0 (zh)(zh − 2h) −h dz = h 2 −h Z 2 0 z(z − 2)dz = −h z 3 3 − 2z2 2 2 0 = −h (2) 3 3 − (2) 2 = −h 3 (8 − 12) = 4h 3

(20)

Regra 1/3 de Simpson

Z x2 x0 (x − x0)(x − x1) (x2− x0)(x2− x1) dx= Z 2 0 (x0+ zh − x0)(x0+ zh − x0− h) (2h)(h) hdz = Z 2 0 (zh)(zh − h) 2h dz = h 2 2h Z 2 0 z(z − 1)dz =h 2 z3 3 − z2 2 2 0 =h 2 (2)3 3 − (2)2 2 = h 12(16 − 12) =h 3

(21)

Regra 1/3 de Simpson

Sendo Z x2 x0 P2(x )dx =f (x0) Z x2 x0 (x − x1)(x − x2) (x0− x1)(x0− x2) dx+ f (x1) Z x2 x0 (x − x0)(x − x2) (x1− x0)(x1− x2) dx+ f (x2) Z x2 x0 (x − x0)(x − x1) (x2− x0)(x2− x1)

Obt´em-se ent˜ao Z x2 x0 P2(x )dx = f (x0) h 3+ f (x1) 4h 3 + f (x2) h 3 = h 3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

(22)

Regra 1/3 de Simpson

I_1/3S = h

3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

(23)

Exemplo - Regra 1/3 de Simpson

Vamos calcular o valor da integral R₀1.2excos x dx . Temos que

h = x2− x0 2

Pela f´ormula ´e preciso calcular o valore de f (x ) em x0, x1 e x2.

f (x0) = f (0) = e0cos (0) = 1 f (x1) = f (0.6) = e0.6cos (0.6) = 1.50 f (x2) = f (1.2) = e1.2cos (1.2) = 1.20 assim I = 0.6 3 [1 + 4(1.50) + 1.2] = 0.2(8.2) = 1.64

(24)

Regra 3/8 de Simpson

Aproximando f (x ) por um polinˆomio interpolador P3(x ), ent˜ao

Z b a f (x )dx ≈ Z x3 x0 P3(x )dx

A Forma de Lagrange do Polinˆomio interpolador ´e dada por P3(x ) = f (x0)L0(x ) + f (x1)L1(x ) + f (x2)L2(x ) + f (x3)L3(x ) L0(x ) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) (x0− x1)(x0− x2)(x0− x3) L1(x ) = (x − x0)(x − x2)(x − x3) (x1− x0)(x1− x2)(x1− x3) L2(x ) = (x − x0)(x − x1)(x − x3) (x2− x0)(x2− x1)(x2− x3) L3(x ) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) (x3− x0)(x3− x1)(x3− x2)

(25)

Regra 3/8 de Simpson

Novamente, pode-se utilizar o polinˆomio interpolador na Forma de Lagrange

A Regra 3/8 de Simpson ´e definida como

I_3/8S = 3h

(26)

Exemplo - Regra 3/8 de Simpson

Podemos calcular novamente R₀1.2excos (x ) dx , agora pela regra 3/8 de Simpson. Para tal, sabemos que h = 1.2−0₃ = 0.4 e assim calculamos

f (0) = 1, f (0) = 1.37 f (0.8) = 1.55, f (1.2) = 1.2

logo

I = 3(0.4)

8 [1 + 3(1.37) + 3(1.55) + 1.2] = 1.6465

(27)

(28)

Introdu¸c˜

ao

Vamos considerar agora o erro cometido ao usar as regras de quadratura apresentadas at´e agora.

Em todos os casos aproximamos f (x ) por um polinˆomio interpolador Pn(x ) de grau n no intervalo [a, b]

Calculamos a integral de Pn como aproxima¸c˜ao para a integral.

Erro cometido ´e dado por

E = Z b

a

[f (x ) − Pn(x )] dx

Como vimos no estudo de interpola¸c˜ao, o erro ´e dado por

f (x ) − Pn(x ) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)

f(n+1) (η(x )) (n + 1)! onde η(x ) ´e um ponto entre [a, b] e x0, . . . , xn s˜ao os pontos de

interpola¸c˜ao.

(29)

Erro cometido na integra¸c˜

ao num´

erica

Assim de forma geral temos que

E = _(n+1)!1 Z b

a

(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f(n+1)(η) dx

Antes de continuar vamos enunciar um resultado do qual faremos uso na dedu¸cão das fórmulas dos erros cometidos na integra¸cão numérica.

Teorema Valor M´edio para Integrais

Sejam h(x ) e g (x ) fun¸cões cont´ınuas em [a, b] tal que h(x ) não muda de sinal, então existe ξ ∈ [a, b] tal que

Z b a h(x )g (x ) dx = g (ξ) Z b a h(x ) dx

(30)

An´

alise do erro na Regra do Retˆ

angulo

Nesse caso n = 0 e x0 = a, portanto

ER =

Z b

a

(x − a)f0(η(x )) dx

Aplicando o teorema do valor m´edio para integrais temos

ER = Z b a (x − a)f0(η(x )) dx = f0(ξ) Z b a x − a dx = f0(ξ) h x2 2 − ax i b a = f0(ξ) h b2 2 − ab − a2 2 + a 2i = f 0_(ξ) 2 b 2_{− 2ab + a}2 isto ´e ER = f0(ξ) 2 (b − a) 2

(31)

An´

alise do erro na Regra do Retˆ

angulo

ER =

f0(ξ)

2 (b − a)

2

Devido a dificuldade de determinar o ponto ξ, em geral trabalhamos com um limitante superior para o erro, o qual ´e dado por

|ER| ≤

M1

2 (b − a)

2

onde M1 ´e um limitante para |f0(x )| em [a, b], isto ´e

M1= max a≤x ≤b|f

(32)

An´

alise do erro na Regra do Trap´

ezio

Para a regra do trap´ezio temos n = 1 e x0 = a e x1 = b, assim temos

ET = 1 2 Z b a (x − a)(x − b)f00(η(x )) dx

Como (x − a)(x − b) n˜ao muda de sinal, usamos o teorema do valor m´edio para integrais e obtemos

ET = f00(ξ) 2 Z b a (x − a)(x − b) dx

que ap´os integra¸c˜ao resulta em

ET = − f00(ξ) 12 (b − a) 3 _{⇒ |E} T| ≤ M2 12(b − a) 3

onde M2 ´e um limitante para a segunda derivada de |f00(x )| no intervalo

[a, b].

(33)

An´

alise do erro na Regra do Trap´

ezio

Para a regra do trap´ezio temos n = 1 e x0 = a e x1 = b, assim temos

ET = 1 2 Z b a (x − a)(x − b)f00(η(x )) dx

Como (x − a)(x − b) n˜ao muda de sinal, usamos o teorema do valor m´edio para integrais e obtemos

ET = f00(ξ) 2 Z b a (x − a)(x − b) dx

que ap´os integra¸c˜ao resulta em

ET = − f00(ξ) 12 (b − a) 3 _{⇒ |E} T| ≤ M2 12(b − a) 3

onde M2 ´e um limitante para a segunda derivada de |f00(x )| no intervalo

(34)

Resumo: an´

alise do erro dos m´

etodos de integra¸c˜

ao

Regra do Retˆangulo

ER =f 0 (c) 2 (b − a) 2 ou ER =f 0 (c) 2 h 2

Regra do Trap´ezio

ET =−f 00 (c) 12 (b − a) 3 ou ET =−f 00 (c) 12 h 3

Regra do Ponto M´edio

EM= f 00 (c) 24 (b − a) 3 ou EM =f 00 (c) 24 h 3 Regra 1/3 de Simpson E1/3S= −f (4) (c) 2880 (b − a) 5 ou E1/3S=−f (4) (c) 90 h 5 Regra 3/8 de Simpson E3/8S=−f (4) (c) 6480 (b − a) 5 ou E3/8S= −3f (4) (c) 80 h 5

(35)

(36)

Introdu¸c˜

ao

Quando o intervalo é grande, pode não ser conveniente aumentar o grau do polinômio interpolador

Uma ideia ´e dividir o intervalo original em diversos subintervalos e aplicar uma regra de integra¸c˜ao em cada subintervalo

Essas s˜ao as chamadas regras repetidas

generalizadas compostas

(37)

Regra do Retˆ

angulo Generalizada

Dividindo o intervalo [a; b] em m subintervalos, com x0 = a, xm = b e

xi = a + ih para i = 0, . . . , m, ent˜ao I = Z b a f (x )dx = m X i =1 Z xi xi −1 f (x )dx

Sendo a Regra do Retˆangulo dada por

IR = hf (a)

Ent˜ao a regra generalizada fica como

IRR = m

X

i =1

(38)

Regra do Retˆ

angulo Generalizada

IRR = m X i =1 hf (xi −1)

(39)

Regra do Ponto M´

edio Generalizada

Dividindo o intervalo [a; b] em m subintervalos, com x0 = a, xm = b e

xi = a + ih para i = 0, . . . , m, ent˜ao I = Z b a f (x )dx = m X i =1 Z xi xi −1 f (x )dx

Para o caso do ponto m´edio tem-se que

IM = hf xi −1+ xi 2 ⇒ I_MR = m X i =1 hf xi −1+ xi 2

(40)

Regra do Ponto M´

edio Generalizada

IMR = m X i =1 hf xi −1+ xi 2

(41)

Regra do Trap´

ezio Generalizada

A Regra do Trap´ezio ´e dada por

IT =

h

2[f (x0) + f (x1)]

Subdividindo o intervalo de integra¸c˜ao [a; b] em m subintervalos iguais ent˜ao ITR = Z b a f (x )dx = m X i =1 Z xi xi −1 f (x )dx =h 2[f (x0) +f (x1)] + h 2[f (x1)+ f (x2)] + · · · + h 2[f (xm−2) +f (xm−1)] + h 2[f (xm−1)+ f (xm)] =h 2[f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f (xm−1) + f (xm)]

(42)

Regra do Trap´

ezio Generalizada

Assim, ITR = h 2[f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f (xm−1) + f (xm)] =h 2 m X i =0 cif (xi) onde c0 = cm= 1 e ci = 2, para i = 1, . . . , m − 1

(43)

Regra do Trap´

ezio Generalizada

ITR = h 2 m X i =0 cif (xi)

(44)

Exemplo: Aplicar a regra do trap´ezio generalizada para calcular:

Z 1,2

0

excos(x )dx ,

utilizando os dados da tabela a seguir:

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 excos(x ) 1 1,197 1,374 1,503 1,552 1,468 1,202 Z 1,2 0 excos(x )dx = h 2[f (x0) + 2(f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x4) + f (x5)) + f (x6)] = 0, 2 2 [1 + 2(1, 197 + 1, 374 + 1, 503 + 1, 552 + 1, 468) + 1, 202] = 0, 1[1 + 2(7, 094) + 1, 202] = 0, 1[1 + 14, 188 + 1, 202] = 0, 1[16, 39] = 1, 639

(45)

Regra 1/3 de Simpson Generalizada

Sendo a Regra 1/3 de Simpson dada por

I1/3S =

h

3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Subdividindo o intervalo de integra¸cão [a; b] em m (múltiplo de 2) subintervalos iguais então

I1/3SR = h 3[f (x0) +4f (x1)+f (x2)] + h 3[f (x2)+4f (x3)+f (x4)] + h 3[f (x4)+4f (x5)+ f (x6)] + · · · + h 3[f (xm−2) +4f (xm−1)+ f (xm)] =h 3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + · · · + f (xm]

(46)

Regra 1/3 de Simpson Generalizada

Portanto, I_1/3SR =h 3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + · · · + f (xm] =h 3 m X i =0 cif (xi) onde c0 = cm= 1

caso contr´ario (i = 1, . . . , m − 1)

ci = 4, se i for ´ımpar ci = 2, se i for par

(47)

Regra 1/3 de Simpson Generalizada

I_1/3SR = h 3 m X i =0 cif (xi)

(48)

Exemplo: Aplicar a regra 1₃ de Simpson generalizada para calcular:

Z 1,2

0

excos(x )dx ,

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 excos(x ) 1 1,197 1,374 1,503 1,552 1,468 1,202 Z 1,2 0 excos(x )dx = h 3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + 4f (x5) + f (x6)] = 0, 2 3 [1 + 4(1, 197 + 1, 503 + 1, 468) + 2(1, 374 + 1, 552) + 1, 202] = 0, 2 3 [1 + 4(4, 168) + 2(2, 926) + 1, 202] = 0, 2 3 [1 + 16, 672 + 5, 852 + 1, 202] = 0, 2 3 [24, 726] = 1, 6484

(49)

Regra 3/8 de Simpson Generalizada

Sendo a Regra 3/8 de Simpson dada por

I3/8S =

3h

8 [f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)]

Subdividindo o intervalo de integra¸cão [a; b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais então

I3/8SR = 3h 8 [f (x0) +3f (x1)+3f (x2)+f (x3)] + 3h 8 [f (x3)+3f (x4)+3f (x5)+f (x6)] + 3h 8 [f (x6)+3f (x7)+3f (x8)+ f (x9)] + · · · + 3h 8 [f (xm−3) +3f (xm−2)+3f (xm−1)+ f (xm)] =3h 8 [f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + 2f (x3) + · · · + f (xm]

(50)

Regra 3/8 de Simpson Generalizada

Portanto, I_3/8SR =3h 8 [f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + 2f (x3) + · · · + f (xm] =3h 8 m X i =0 cif (xi) onde c0 = cm= 1

caso contr´ario (i = 1, . . . , m − 1)

ci = 2, se i for divis´ıvel por 3 ci = 3, caso contr´ario

I3/8SR = 3h 8 m X i =0 cif (xi)

(51)

Exemplo: Aplicar a regra 3₈ de Simpson generalizada para calcular:

Z 1,2

0

excos(x )dx ,

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 excos(x ) 1 1,197 1,374 1,503 1,552 1,468 1,202 Z 1,2 0 excos(x )dx = 3 8h[f (x0) + 3(f (x1) + f (x2)) + 2f (x3) + 3(f (x4) + f (x5)) + f (x6)] = 0, 6 8 [1 + 3(1, 197 + 1, 374) + 2(1, 503) + 3(1, 552 + 1, 468) + 1, 202] = 0, 6 8 [1 + 3(2, 571) + 3, 006 + 3(3, 020) + 1, 202] = 0, 6 8 [1 + 7, 713 + 3, 006 + 9, 060 + 1, 202] = 0, 6 8 [21, 981] = 1, 648575

(52)

An´alise dos Erros das F´ormulas Generalizadas

(53)

An´

alise dos Erros das F´

ormulas Generalizadas

Ser˜ao considerados que todos os espa¸camentos s˜ao iguais hi = h Logo, h = b − a m ⇒ m = b − a h

(54)

An´

alise do Erro – Regra do Retˆ

angulo Generalizada

Considerando a Regra do Retˆangulo, tem-se que

ER =

f0(c)

2 (b − a)

2

Somando o erro para todos os intervalos [xi −1; xi], ent˜ao

ERR = m X i =1 f0(ci) 2 h 2₌ f0(c) 2 h 2_{m =} f0(c) 2 h 2b − a h = f 0_(c) 2 (b − a)h

Al´em disso, o seguinte limitante superior do erro pode ser obtido

|ERR| ≤ |b − a|h 2 c∈[a;b]max f0(c)

(55)

An´

alise do Erro – Regra do Ponto M´

edio Generalizada

Para a Regra do Ponto M´edio

EM =

f00(c) 24 h

3

Logo, em sua f´ormula repetida

EMR = m X i =1 f00(ci) 24 h 3 ₌ f00(c) 24 h 3_{m =} f00(c) 24 h 3b − a h = f 00_(c) 24 (b − a)h 2

Assim, um limitante para o erro fica como

|EMR| ≤ |b − a|h2 24 c∈[a;b]max f00(c)

(56)

An´

alise do Erro – Regra do Trap´

ezio Generalizada

De forma similar, sabendo que para a Regra do Trap´ezio

ET = −f00(c) 12 h 3 Portando, ETR = m X i =1 −f00_(c i) 12 h 3 ₌ −f00(c) 12 h 3_{m =} −f00(c) 12 h 3b − a h = −−f 00_(c) 12 h 2_{(b − a)}

|E_TR| ≤ |b − a|h

2

12 c∈[a;b]max

f00(c)

(57)

An´

alise do Erro – Regra 1/3 de Simpson Generalizada

Para a Regra 1/3 de Simpson

E1/3S = −f(4)_(c) 90 h 5 Portanto, E1/3SR = m/2 X i =1 −f(4)_(c i) 90 h 5 ₌ −f(4)(c) 90 h 5m 2 = −f(4)_(c) 180 h 5b − a h = −f (4)_(c) 180 h 4_{(b − a)}

|E_1/3SR| ≤ |b − a|h 4 180 c∈[a;b]max f (4)_(c)

(58)

Exemplo: Determinar o menor n´umero de intervalos em que podemos dividir [0,1.2] para obter: R1.2

0 e x

cos(x )dx , pela regra do trapézio com erro ≤ 0, 5 × 10−3). Expressão do erro para a fórmula do trapézio generalizada

R(f ) = Nh 3 12 f 00 (ξ), x0< ξ < xN, ⇒ |R(f )| ≤ Nh 3 12 max |f 00 (t)|, 0 ≤ t ≤ 1, 2.

f (t) = etcos t ⇒ f00(t) = −2etsin t max |f00(t)| = 2(3, 320)(0, 932) = 6, 188. Lembrando que h =b−a

N = 1,2−0

N = 1,2

N. Assim, temos que

R(f ) ≤ 1.2h 2 12 (6, 188) ≤ 0, 5 × 10 −3 ⇒ h2≤ 0, 0000808 ⇒ h ≤ 0, 02842.

Escolhemos h que divida exatamente o intervalo [0,1.2], ou seja, h = 0, 025 Usando N =b−a_h , obtemos Nmin= 48.

(59)

(60)

Introdu¸c˜

ao

Como vimos podemos obter uma regra para integra¸cão numérica ao integrar o polinômio interpolador do integrando.

Veremos agora uma forma alternativa de derivar as fórmulas de integra¸cão numérica até então estudadas.

Como vimos as fórmulas de integra¸cão numérica são do tipo

Z b

a

f (x ) dx ≈Xwif (xi)

onde wi são constantes e f (xi) são os valores da fun¸cão f nos pontos

xi.

Ex: regra do Trap´ezio, Simpson 1/3 IT =

h

2[f (x0) + f (x1)], IS = h

3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

(61)

No m´etodo dos coeficientes indeterminados, consideramos os pontos x0, . . . , xn dados e buscamos determinar os coeficientes w0, . . . , wn de

tal forma que a fórmula de integra¸cão numérica

Z b

a

f (x ) dx ≈Xwif (xi)

seja exata para certos tipos de fun¸cões, como por exemplo quando f (x ) é um polinômio de grau ≤ n.

Vamos ilustrar a ideia do método através de um exemplo. Procuramos uma fórmula

Z b

a

f (x ) dx ≈ w0f (x0) + w1f (x1) + w2f (x2)

que será exata para todos os polinômios de grau ≤ 2, isto é, quando f (x ) = c0+ c1x + c2x2 então a fórmula de integra¸cão numérica

(62)

Como Z b a f (x ) dx = Z b a [c0+ c1x + c2x2] dx = c0 Z b a dx + c1 Z b a x dx + c2 Z b a x2 dx

Isto é, exigir que a fórmula integre a fun¸cão f (x ) (nesse exemplo um polinômio de grau 2) exatamente é o mesmo que exigir que a fórmula integre as fun¸cões base 1, x e x2 exatamente.

Assim temos que

f (x ) = 1 ⇒ wo1 + w11 + w21 = Z b a dx f (x ) = x ⇒ wox0+ w1x1+ w2x2 = Z b a x dx f (x ) = x2 ⇒ w_ox₀2+ w1x12+ w2x22 = Z b a x2 dx

(63)

M´

etodo dos Coeficientes Indeterminados

Calculando as integrais Z b a dx = (b − a) Z b a x dx = (b 2_{− a}2₎ 2 Z b a x2 dx = (b 3_{− a}3₎ 3

assim considerando que x0 = a, x1= (a + b)/2 e x2 = b, podemos

escrever as equa¸c˜oes de forma matricial como

  1 1 1 a a+b₂ b a2 a+b₂ 2 b2     w0 w1 w2  =    b − a b2_−a2 2 b3_−a3 3   

(64)

Resolvendo esse sistema de equa¸cões lineares, chegamos a solu¸cão (coeficientes da fórmula de integra¸cão):

w0= b − a 6 , w1 = 2(b − a) 3 , w2 = b − a 6 que reconhecemos como a regra de Simpson 1/3

Is = h 3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] ⇒ b − a 6 f (x0) + 4(b − a) 6 f (x1) + (b − a) 6 f (x2) pois h = (b − a)/2.

(65)

Exemplo - M´etodo dos Coeficientes Indeterminados

Encontre a f´ormula Z 1

0

f (x ) dx ≈ w0f (x0) + w1f (x1)

que ´e exata para fun¸c˜oes da forma

f (x ) = aex+ b cos (πx₂ )

Para f (x ) = cos (πx₂ ) temos

Z 1 0 f (x ) dx = Z 1 0 cos (πx 2 ) dx = 2 sin (πx₂ ) π 1 0 = 2 π

(66)

E assim temos a equa¸c˜ao

w0f (0) + w1f (1) = Z 1 0 cosπx 2 dx = 2 π

como f (0) = cos (0) = 1 e f (1) = cos (π/2) = 0 temos

w0=

2 π

(67)

Solu¸c˜ao do Exemplo Para f (x ) = ex temos Z 1 0 ex dx = ex 1 0 = e − 1 e assim w0f (0) + w1f (1) = e − 1 ⇒ w0+ w1e = e − 1 de onde obtemos w1 = 1 − 1 e − 2 πe

(68)

Solu¸c˜ao do Exemplo E assim para I = w0f (x0) + w1f (x1) obtemos a f´ormula I = 2 πf (x0) + 1 −1 e − 2 πe f (x1) que integra Z x1 x0 [aex+ b cos (πx /2)] dx

para quaisquer valores de a e b de forma exata.

(69)

(70)

Introdu¸c˜

ao

Como vimos, as regras de integra¸c˜ao de Newton-Cotes s˜ao simples e efetivas, mas possuem algumas desvantagens:

Uso de muitos pontos para interpola¸c˜ao de alta ordem pode gerar alguns problemas

As regras de Newton-Cotes fechadas requerem a avalia¸c˜ao de f (x ) nos pontos do extremo do intervalo, onde geralmente ocorrem singularidades

As regras do tipo Newton-Cotes, não possuem um grau de precisão tão alto quanto poderiam

Veremos que algumas dessas desvantagens s˜ao contornadas pela Quadratura Gaussiana).

(71)

Estamos interessados em obter uma f´ormula de integra¸c˜ao na forma

I = Z b

a

f (x ) dx = w0f (x0) + w1f (x1) + . . . + wnf (xn)

onde agora os coeficientes wi assim como os pontos xi para

i = 0, . . . , n devem ser determinados de forma a obter a melhor precis˜ao poss´ıvel.

Temos as seguintes inc´ognitas:

x0, x1, . . . , xn w0, w1, . . . , wn

(72)

Sendo assim, podemos esperar que as regras que iremos obter sejam capazes de integrar exatamente polinômios de grau ≤ 2n + 1 uma vez que estes são definidos por 2n + 2 parâmetros.

Vamos apresentar a ideia do m´etodo para o caso com 2 pontos

I = Z b

a

f (x ) dx = w0f (x0) + w1f (x1)

Vamos considerar o intervalo [−1, 1] para as regras de Quadratura Gaussiana, sem perda de generalidade, já que sempre podemos fazer uma mudan¸ca de variável para mudar do intervalo [a, b] para [−1, 1] para realizar a integra¸cão.

Antes de continuar, vejamos como podemos fazer essa mudan¸ca de intervalo.

(73)

Seja x ∈ [a, b]. Podemos fazer a seguinte mudan¸ca de vari´avel

x (t) = (b − a)t

2 +

b + a

2 , t ∈ [−1, 1]

Qualquer que seja x ∈ [a, b], existe t ∈ [−1, 1] tal que x = x (t). Sendo assim dx dt = x 0_{(t) =} b − a 2 ⇒ dx = b − a 2 dt logo usando x = x (t) e dx = x0(t) dt temos

I = Z b a f (x ) dx = Z 1 −1 f (x (t)) x0(t) dt = Z 1 −1 F (t) dt onde F (t) = f (x (t)) x0(t) = f t(b−a)₂ +b+a₂ b−a 2

(74)

Quadratura Gaussiana - 2 pontos

Assim vamos trabalhar com

I = Z 1

−1

F (t)dt ≈ w0F (t0) + w1F (t1)

onde t0, t1, w0 e w1 devem ser determinados de modo que a regra seja

exata para polinˆomios de grau ≤ 3, pois

2 pontos → determinar t0, t1, w0e w1

Uma f´ormula de Quadratura Gaussiana com os pontos t0, t1, . . . , tn,

tem grau de precis˜ao polinomial dado por:

2n + 1

Por exemplo, se tivermos 2 pontos, isto ´e, t0 e t1, a Quadratura

Gaussiana tem precis˜ao 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3.

(75)

Vamos deduzir o caso

I = Z 1

−1

F (t) dt = w0F (t0) + w1F (t1)

usando o método dos coeficientes indeterminados. Queremos encontrar w0, w1, t0 e t1, isto é, 4 parâmetros, logo, a regra de

integra¸c˜ao que vamos deduzir deve integrar exatamente um polinˆomio de grau ≤ 3.

Sendo assim, podemos escrever

F (t) = c0φ0(t) + c1φ1(t) + c2φ2(t) + c3φ3(t)

onde as fun¸c˜oes base s˜ao: φj(t) = tj.

Agora basta exigir que a regra que queremos encontrar, i.e.,

(76)

Considerando que a regra ´e

w0F (t0) + w1F (t1) =

Z 1

−1

F (t) dt

Temos que exigir que a regra integre φ0(t) exatamente. Neste caso

como F (t) = φ0(t), e assim w0φ0(t0) + w1φ1(t1) = Z 1 −1 φ0(t) dt como φ0(t) = 1 temos w01 + w11 = Z 1 −1 1 dt

De forma similar, repetimos o processo para φ1, φ2 e φ3.

(77)

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos φ0(t) = 1 ⇒ w0 1 + w1 1 = Z 1 −1 dt = t 1 −1= 2 φ1(t) = t ⇒ w0t0+ w1t1 = Z 1 −1 t dt= t 2 2 1 −1 = 0 φ2(t) = t2⇒ w0t02+ w1t12 = Z 1 −1 t2 dt = t 3 3 1 −1 = 2₃ φ3(t) = t3⇒ w0t03+ w1t13 = Z 1 −1 t3 dt = t 4 4 1 −1 = 0

Temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes n˜ao-lineares w0+ w1= 2

w0t0+ w1t1= 0

w0t02+ w1t12= 2/3

(78)

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos φ0(t) = 1 ⇒ w0 1 + w1 1 = Z 1 −1 dt = t 1 −1= 2 φ1(t) = t ⇒ w0t0+ w1t1 = Z 1 −1 t dt = t 2 2 1 −1 = 0 φ2(t) = t2⇒ w0t02+ w1t12 = Z 1 −1 t2 dt = t 3 3 1 −1 = 2₃ φ3(t) = t3⇒ w0t03+ w1t13 = Z 1 −1 t3 dt = t 4 4 1 −1 = 0

Temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes n˜ao-lineares w0+ w1= 2

w0t0+ w1t1= 0

w0t02+ w1t12= 2/3

w0t03+ w1t13= 0

(79)

Em geral precisamos recorrer a método numéricos para resolver sistemas de equa¸cões não-lineares (Método de Newton). Fazendo t0= −t1, temos

−w0t1+ w1t1 = 0 ⇒ t1(w1− w0) = 0 ⇒ w0= w1

assim w0+ w1 = 2 ⇒ w0 = w1 = 1 e ainda temos que

t₀2+ t₁2 = 2 3 ⇒ 2t 2 1 = 2 3 ⇒ t1= √ 3 3 e como t0= −t1 temos t0 = − √ 3 3

(80)

Logo como w0 = 1, w1 = 1, t0= − √ 3 3 , t1 = √ 3 3

obtemos a seguinte regra de integra¸c˜ao num´erica

I = Z 1 −1 F (t) dt = w0F (t0) + w1F (t1) = F − √ 3 3 ! + F √ 3 3 !

que é chamada de Quadratura Gaussiana. Essa fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3.

Como vimos, uma fórmula de Quadratura Gaussiana com apenas 2 pontos é capaz de integrar polinômios de grau até 3, enquanto que as fórmulas de Newton-Cotes com 2 pontos (Regra do Trapézio)

integram apenas polinˆomios de grau 1.

(81)

Para o caso com 3 pontos (t0, t1, t2→ n = 2) temos 2n + 1 = 5 e portanto essa quadratura de Gauss ´e capaz de integrar exatamente polinˆomios de grau ≤ 5.

I = Z 1 −1 F (t) dt = w0F (t0) + w1F (t1) + w2F (t2) Considerando φ0= 1, φ1= t, φ2= t2, φ3= t3, φ4= t4e φ5= t5 w0+ w1+ w2= Z 1 −1 dt = 2 w0t0+ w1t1+ w2t2= Z 1 −1 t dt = 0 w0t02+ w1t12+ w2t22= Z 1 −1 t2dt = 2/3 w0t03+ w1t13+ w2t32= Z 1 −1 t3dt = 0 w0t04+ w1t14+ w2t42= Z 1 −1 t4dt = 2/5 w0t05+ w1t15+ w2t52= Z 1 −1 t5dt = 0

(82)

A solu¸c˜ao do sistema fornece pesos pontos w0 0.555 t0 − q 3 5 w1 0.888 t1 0 w2 0.555 t2 q 3 5

Em geral as f´ormulas de Quadratura Gaussiana s˜ao dadas em forma de tabelas com os coeficientes (pesos) wi e pontos ti a serem usados

na f´ormula I = Z 1 −1 F (t) dt ≈ n X i =0 wiF (ti)

E como vimos essas regras de integra¸cão tem grau de precisão 2n + 1 por constru¸cão.

(83)

Exemplo 1

Calcule I =R3

1 3ex dx usando a Quadratura Gaussiana com 2 pontos.

Solu¸c˜ao do Exemplo 1 1. Mudan¸ca de intervalo x (t) = (b − a)t 2 + b + a 2 = t + 2 logo x0(t) = dx dt = 1 ⇒ dx = dt assim Z 3 1 3ex dx = Z 1 −1 3e(t+2) 1 dt

(84)

Solu¸c˜ao do Exemplo 1

Precisamos avaliar F (t) = 3e(t+2) em t = −√3/3 e t =√3/3:

F (−0.577350) = 3e(−0.577350+2) = 12.444292 F (0.577350) = 3e(0.577350+2) = 39.486647

Assim calculamos a integral de forma aproximada como

I = F (−0.577350) + F (0.577350) = 51.930938

Se usarmos uma regra com 3 pontos temos

I = 5 9F (− r 3 5) + 8 9F (0) + 5 9F ( r 3 5) = 52.1004

Obs: compare com o valor exato da integral: 3[e3− e] = 52.1018

(85)

Exemplo 2

Calcular a integral I =R₋₂0 (x2− 1) dx com a Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Solu¸c˜ao do Exemplo 2 Mudan¸ca de intervalo x (t) = (0 − (−2))t 2 + (0 − 2) 2 = t − 1 x0(t) = dx dt = 1 ⇒ dx = dt e portanto Z 0 −2 (x2− 1) dx = Z 1 −1 [(t − 1)2− 1] 1 dx = Z 1 −1 t2− 2t + 1 − 1 dt = Z 1 −1 [t2− 2t] dt

(86)

Solu¸c˜ao do Exemplo 2

A aproxima¸c˜ao da integral ´e dada por

I = F − √ 3 3 ! + F √ 3 3 ! = 1.488 − 0.821 = 0.66666

a qual pode ser comparada com o valor exato que ´e

Z 1 −1 [t2− 2t] dt = t 3 3 1 −1 − t2 1 −1 = 2 3 = 0.66666

De onde podemos ver que de fato a Quadratura Gaussiana de 2 pontos integra polinˆomios de grau ≤ 3 de forma exata.

(87)

Referˆ

encias

Slides das aulas do Prof. Dr. Bernardo Martins Rocha, DCC-ICE-UFJF.