Metodos numéricos para equações diferenciais parciais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

BRUNO FIGUEREDO ARCENO

FLORIANÓPOLIS 2005

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Matemática – Habilitação em

Licenciatura, do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina. Orientador: Prof. Marcio Rodolfo Fernandes

BRUNO FIGUEREDO ARCENO FLORIANÓPOLIS

Dedico este trabalho a todos que sempre acreditaram em minha pessoa, em especial a meus pais que, sem dúvidas, são os grandes responsáveis, além de mim próprio, pelo êxito em minha vida profissional.

Agradecimentos

• A Deus pelo dom da vida;

• Ao professor Márcio Rodolfo Fernandes pela paciência e inestimável orientação; • Aos meus pais José Arceno Filho e Rose Helena Figueredo Arceno pelo apoio e

carinho dedicados a mim, principalmente nestes anos de luta acadêmica;

• Aos professores encontrados ao longo desta jornada pela paciência comigo e pela dedicação em seu trabalho a fim de tornar-se um bom profissional;

• A todos os colegas que encontrei ao longo do curso, que propuseram a dividir comigo muitos momentos inesquecíveis;

• A minha namorada Ariela Serafim da Silva por sua compreensão e apoio em momentos de dificuldade;

• E a todas as pessoas que sempre acreditaram em meu potencial e sempre me estimularam.

Sumário

Introdução... 07

Capítulo 1 - Classificação das Equações Diferenciais Parciais de Segunda Ordem... 08

Capítulo 2 - Equações Diferenciais Parciais Elípticas ... 11

Capítulo 3 - Equações Diferenciais Parciais Parabólicas ... 18

Capítulo 4 - Equação Diferencial Parcial Hiperbólica ... 26

Conclusão ... 32

Introdução

A principal razão para se resolver equações diferenciais é o entendimento do processo físico que tal equação modela. Uma das razões básicas da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples correspondem a modelos físicos úteis, como o crescimento e o decaimento exponenciais, os sistemas massa-mola ou os circuitos elétricos. A compreensão, ou construção, de modelos mais simples e básicos. Assim, um conhecimento profundo desses modelos, das equações que os descrevem e suas soluções é o primeiro passo indispensável na direção da solução de problemas mais complexos e realistas.

As equações diferenciais parciais têm por incógnitas funções de várias variáveis. A variedade de equações deste tipo que se pode escrever é incontável.

A origem, os objetivos e os métodos matemáticos das equações diferenciais parciais são ligados tradicionalmente a problemas de Física Matemática. Não sendo necessário, todavia, recorrer a teorias físicas muito sofisticadas e exóticas para obtermos os exemplos mais representativos das equações diferenciais parciais.

Equações diferenciais parciais precisam, em geral, de uma variedade maior de ferramentas, tanto analíticas quanto numéricas. A implementação de um procedimento numérico eficiente, para tais equações, se apóia em uma boa dose de análise preliminar – para determinar as características qualitativas da solução, ou para investigar casos limites ou especiais.

Neste trabalho, apresentamos uma introdução aos métodos numéricos para equações diferenciais cujas soluções são suaves, aplicando-os aos problemas mais representativos: equação de calor, equações da onda e equação de Poisson.

Capítulo 1: Classificação das Equações Diferenciais Parciais de Segunda Ordem

A maioria dos fenômenos físicos é descrita matematicamente através de equações, ou sistemas de equações, que envolvem derivadas parciais das funções incógnitas. Isto ocorre porque as entidades físicas que procuramos (como, por exemplo, distribuição de pressão ou de temperatura em um meio), são funções de mais de uma variável.

As taxas de variação destas unidades são representadas por suas derivadas parciais. Se elas estão presentes na modelagem matemática do fenômeno, o resultado poderá ser um conjunto de equações diferenciais parciais.

Neste vasto campo das equações diferenciais parciais, nós restringiremos às equações diferenciais de primeira e segunda ordens que envolvem funções de duas variáveis independentes.

Para efeito de classificação das equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem, pode-se usar a representação geral

g fu eu du cu bu au_xx + 2 _xy+ _yy+ _x+ _y+ = ,

onde a,b,c,d,e,f e g são constantes ou funções conhecidas das variáveis independentes

x e y .

As funções são tais que e representa a função

procurada.

c b

a ,, a2+b2+c2 ≠0 u( yx, )

Se os coeficientes a, b e c são constantes é útil usá-los numa classificação básica das equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem. Assim, em analogia com as cônicas, pode-se dizer que a equação é

Elíptica se b2−ac < 0

Parabólica se b2−ac = 0

Hiperbólica se b2−ac > 0 .

Se esses coeficientes variam com ( yx, ), esta classificação é feita ponto a ponto.

A seguir, apresentaremos alguns exemplos de equações diferenciais parciais. Os três são protótipos das equações catalogadas como elípticas, parabólicas e hiperbólicas.

Exemplo 1 – Consideraremos equação diferencial, definida numa região R do plano tal que ) , ( yx u u_xx +u_yy = f( yx, ), (x,y)∈R. (1)

Comparando com a equação geral, vemos que a= c=1 e b=0, assim (1) é uma equação diferencial elíptica. Esta é chamada de equação de potencial, ou equação de Poisson. No caso de f(x,y)=0 é mais comum chamá-la de equação de Laplace.

A equação de Poisson é o modelo matemático de diversas aplicações: distribuição de tensões em placas carregadas, distribuição de temperatura no caso estacionário, potencial gerado por cargas elétricas, etc.

A equação (1) será o protótipo das equações diferenciais elípticas.

Exemplo 2 – Seja I =(α,β) um intervalo na reta e a( tx, ) > 0 se x∈I e > 0. t

Consideraremos a equação diferencial

a(x,t)u_xx −u_t = f(x,t) , x∈I, > 0 . (2) t

Nesta, trocamos a variável y por t , motivado pelos problemas de evolução, nos quais uma das variáveis é o tempo, t . Na simulação numérica nestes problemas, a variável tempo merece, em geral, tratamentos diferenciados com relação às variáveis espaciais, neste exemplo, x. Isso ocorre devido ao fato da equação ser, na variável tempo, um problema de valor inicial e, na variável (ou variáveis) espacial, um problema de valor de contorno. Novamente a motivação desta diferença está nas aplicações práticas.

Na equação (2) a( tx, )> 0, b= c=0 portanto como , podemos classifica-la como parabólica. Eclassifica-la é chamada de equação de calor, ou da difusão, e será o protótipo das equações diferenciais parciais parabólicas.

0

2_{− ac=} b

As equações de calor para problemas com duas ou três variáveis espaciais são, respectivamente ) , , ( ) (u u f x y t a u_t − _xx+ _yy = (x,y)∈R , t > 0 e ) , , ( ) (u u u f x y z a ut− xx + yy+ zz = (x,y,z)∈R, t > 0

Nestas equações é uma função estritamente positiva, conhecida no domínio da equação diferencial, aqui representada por R.

a

Exemplo 3 – Ainda com a( tx, ) > 0 e I =(α,β), temos outro problema de evolução

definido pela equação diferencial

a(x,t)u_xx−u_tt = f(x,t) , x∈I, t > 0 . (3) Como > 0 , b = 0 e c = -1 , > 0 e, portanto, temos o protótipo das equações hiperbólicas.

) , ( tx

a b2−ac

A equação (3) é o modelo matemático para o fenômeno de propagação das ondas e por isso ela é chamada de equação da onda.

A classificação nos três tipos acima é importante porque respeita a diferença estrutural das equações diferenciais parciais. Entretanto, ela nem de longe esgota o assunto.

Os modelos matemáticos que simulam fenômenos reais se tornam mais complexos a cada dia.

Nos capítulos seguintes, apresentaremos alguns métodos numéricos para equações diferenciais com soluções suaves, em cada um dos três tipos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas.

Capítulo 2: Equações Diferenciais Parciais Elípticas

A equação diferencial parcial elíptica que estudaremos é a equação de Poisson, 2₂ ( , ) 2₂ (x,y) f(x,y) y u y x x u u = ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ Δ (4)

em R = {( yx, )/ a < x < b , c < y < d} com u(x,y)=g(x,y) para , onde

indica a fronteira de R. Se f e g são contínuas em seus domínios, então existe uma única solução para essa equação.

S y

x, )∈

( S

Começamos selecionando os números inteiros n e e definindo os tamanhos de passo m n a b h= − e m c d

k= − , em cada direção respectivamente. Em seguida, deve-se

realizar a partição do intervalo

[

em partes iguais de largura . O próximo passo é colocar uma rede no retângulo R ao traçar linhas verticais e horizontais pelos pontos com coordenadas

]

b a, n k ) , (xi yj , onde ih a x_i = + , para todo = 0, 1, 2, ..., n i jk c y_j = + , para todo j = 0, 1, 2, ..., m

Figura 1: Malha de Diferenças Finitas

As linhas x = e xi y = são as linhas da malha, e suas intersecções são os pontos da rede. Para cada ponto interior com i = 1, 2, ..., n-1 e com

i

y

) ,

(xi yj j = 1, 2, ..., m-1 ,

, ! 4 ) , ( ! 3 ) , ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x h y u x y u x y h u x y h2 u x y h3 u y h4 u + = + _x + _xx + _xxx + _xxxx ξ_i ), , ( ! 3 ) , ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 3 2 y u h y x u h y x u h y x u y x u y h x u − = − _x + _xx − _xxx + _xxxx ξ_i onde )ξ_i∈(x_i−1,x_i+1 .

Combinando essas expressões, obtemos

( , ), 12 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ₄ 4 2 2 1 1 2 2 j i j i j i j i j i y x u h h y x u y x u y x u y x x u _ξ ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ + − (5)

De forma análoga, na variável y,

( , ), 12 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ₄ 4 2 2 1 1 2 2 j i j i j i j i j i x y u k k y x u y x u y x u y x y u _η ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ + − (6) onde )ηj∈(xi₋₁,xi₊₁ .

A utilização destas fórmulas na equação (4) permite expressar a equação de Poisson nos pontos (xi,yj)como

2 1 1 2 1 1, ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( k y x u y x u y x u h y x u y x u y x u i+ j − i j + i− j ₊ i j+ − i j + i j− ), , ( 12 ) , ( 12 ) , ( ₄ 4 2 4 4 2 j i j i j i x y u k y x u h y x f ξ η ∂ ∂ + ∂ ∂ + =

para todo i = 1, 2, ..., n-1 e j = 1, 2, ..., m-1, e as condições de contorno como ) , ( ) , (x₀ y_j g x₀ y_j u = e u(x_n,y_j)=g(x_n,y_j) para todo j = 0, 1, ..., m; ) , ( ) , (x y₀ g x y₀ u _i = _i e u(x_i,y_m)=g(x_i,y_m) para todo i = 0, 1, ..., n-1.

Isto resulta num método de Diferenças Finitas com o erro local de truncamento da ordem de ( 2 2):

k h

2 1 ( ) ( ) 2 ( , ), 1 , 1 , 2 , 1 , 1 2 j i j i j i j i j i ij w w h f x y k h w w w k h _{+ =−} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + (7) para todo i = 1, 2, ..., n-1 e j = 1, 2, ..., m-1, e ) , ( ₀ 0j g x yj w = e w_nj =g(x_n,y_j) para todo j = 0, 1, 2, ..., w (8) ) , ( ₀ 0 g x y wi = i e wim =g(xi,ym) para todo = 1, 2, ..., n-1; i onde w_ij aproxima u(x_i,y_j).

A equação em (7) envolve aproximações de u( yx, ) nos pontos )

,

(xi−₁ yj , , , e , conforme pode ser visto na figura 2.

) ,

(xi yj (xi+1,yj) (xi,yj−1) (xi,yj+1)

Figura 2: Reprodução dos pontos da Malha de Diferenças Finitas

Se utilizarmos a informação das condições de contorno (8) sempre que for conveniente em (7), teremos um sistema linear quadrado de ordem cujas incógnitas são as aproximações de .

), 1 )( 1 (n− m− j i

w

_, u(xi,yj)

O sistema linear que contém essas incógnitas será expresso mais eficientemente em cálculos matriciais se for introduzida uma reenumeração dos pontos interiores da rede. Isso pode ser feito através de

) , ( i j l x y

P = e wl =wi_{, j},

onde para todo l =i+(m−1− j)(n−1), i=1,2,…,n−1 e j=1,2,…m−1. que marca

exemplo, com n = 4 e m = 5, reenumeração se obtém uma rede cujos pontos são mostrados na Figura 3. Ao marcar os pontos desse modo, se garante que o sistema necessário para determinar

w

_i,j seja uma matriz de banda com uma largura de banda de, no máximo,

. 1 2n−

Figura 3: Reenumeração dos Pontos da Malha

Exemplo 1 – Considerar o problema da determinação do estado estacionário da distribuição do calor em uma placa quadrada metálica delgada, com dimensões 0,5 m por 0,5 m. nas fronteiras x=0 e y=0, a placa é mantida a 0ºC, enquanto nas demais

fronteiras a temperatura aumenta linearmente de 0ºC, em um canto, para 100ºC no lugar onde ambos os lados se encontram. O problema pode ser expresso como

0 ) , ( ) , (x y +u x y = uxx yy

para (x,y) no conjunto R ={(x, ) / 0 y < x < 0,5, 0 < y < 0,5}, com as condições de fronteira 0 ) , 0 ( y = u , u(x,0)=0, u(x;0,5)=200x u(0,5;y)=200y.

Se n = m = 4, o problema tem a rede mostrada na figura 4 e a equação de diferenças (7) é

, 0 4wi_,j −wi+_1,j−wi−_1,j−wi_,j−₁−wi_,j+₁=

As equações, para cada ponto reenumerados, são dadas por: P_i , 4 : , 4 : , 4 : , 4 : , 0 4 : , 4 : , 4 : , 4 : , 4 : 1 , 4 0 , 3 6 8 9 9 0 , 2 5 7 9 8 8 0 , 1 1 , 0 4 8 7 7 2 , 4 9 3 5 6 6 8 2 4 6 5 5 2 , 0 7 1 5 4 4 4 , 1 3 , 4 6 2 3 3 4 , 2 5 1 3 2 2 4 , 1 3 , 0 4 2 1 1 w w w w w P w w w w w P w w w w w P w w w w w P w w w w w P w w w w w P w w w w w P w w w w w P w w w w w P + = − − = − − − + = − − = − − − = − − − − = − − − + = − − = − − − + = − −

onde o lado direito da equação é obtido a partir das condições de fronteira.

Figura 4: Malha para o Exemplo 1

De fato, as condições de contorno implicam em w_1,0 =w_2,0 =w_3,0 =w_0,1=w_0,2 =w_0,3 =0, , 25 1 , 4 4 , 1 = w = w w_2,4 = w_4,2 =50 e w_3,4 = w_4,3 =75.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 25 0 0 50 0 0 150 50 25 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 w w w w w w w w w

Na tabela 1 são apresentados os valores de obtidos ao se aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss.

9 2 1,w , ,w w … i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i w 18,75 37,50 56,25 12,50 25,00 37,50 6,25 12,50 18,75

Tabela 1: Tabela para o Exemplo 1

As respostas anteriores são exatas porque a verdadeira solução, u( yx, )= 400xy, tem

0 4 4 4 4 ≡ ∂ ∂ = ∂ ∂ y u x u ,

e, portanto o erro de truncamento é zero em todos os passos.

Exemplo 2: Seja a equação diferencial

y x sen u

uxx + yy =−2 π cosπ

com as seguintes condições: ( ,0) ₂ π πx sen x u = , u(0,y)=u(1,y)=u(x;0,5)=0, sendo 0 < x < 1 e 0 < y < 0,5

Figura 5: solução para o exemplo 2 com m=n=32

Exemplo 3: Seja o problema: 0 = + _yy xx u u 1 < x < 2 0 < y < 1 u(x,0) = 2lnx u(x,1) = ln(x2 +1) 1 ≤ x ≤ 2 u(1,y) = ln(y2 + 1) u(2,y) = ln(y2 + 4) 0 ≤ y ≤ γ

Figura 6: solução para o problema 3 com m=n=32 Capítulo 3: Equações Diferenciais Parciais Parabólicas

Para introduzir métodos numéricos destinados a problemas transientes, usaremos inicialmente a equação do calor que representa o protótipo das equações parabólicas:

( , ) ₂ ( , ), 2 2 t x x u t x t u ∂ ∂ = ∂ ∂ _α 0< x < l , t > 0 , (9) sujeita às condições , 0 ) , ( ) , 0 ( t =u l t = u > 0 t e ) ( ) 0 , (x f x u = , 0≤x≤l.

A equação de calor também chamada equação da condução do calor, surge em problemas de condução do calor através de uma barra reta, de seção transversal uniforme e de material homogêneo. A constante α depende do material da barra e encontra-se tabelada.

Iniciamos selecionando um número inteiro m > 0 e definindo h = l/m. Depois, escolhemos k, o passo no tempo. Os pontos de rede para esse caso são (x_i,t_j), onde x_i = ih

para = 0, 1, 2, ..., m, e i tj = jk, para j = 0, 1, 2, ....

O método de diferenças finitas é obtido a usarmos série de Taylor em t: , 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x t h u x t u x t k u x u k2 u + = + _t + _{tt j} onde ui∈(tj,tj₊₁). Assim, ( , ), 2 ) , ( ) , ( ) , ( ₂ 2 j i j i j i j i x t u k k t x u k t x u t x t u _μ ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ (10) para algum μj∈(tj,tj₊₁).

Do capítulo anterior, já sabemos que

), , ( 12 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ₄ 4 2 2 2 2 j i j i j i j i j i t x u h h t h x u t x u t h x u t x x u _ξ ∂ ∂ − − + − + = ∂ ∂ (11) onde ).ξi∈(xi₋₁,xi₊₁

Desta forma, isto é, a equação diferencial parcial parabólica (9) implica que nos pontos interiores da rede, isto é, (xi,tj)para todo = 1, 2, ..., m-1 e i j = 1,2, ... teremos

, 0 ) , ( ) , ( ₂ 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∂ ∂ j i j i x t x u t x t u _α

e, assim o método que utiliza os quocientes de diferenças (10) e (11) é , +1− ₋ 2 +1, −2 ₂ + −1, ₌0, h w w w k w w_{i j ij i j ij i j} α (12) onde wij aproxima u(xi,tj).

O erro local de truncamento para essa equação de diferenças é ( , ). 12 ) , ( 2 4 4 2 2 2 2 j i j i ij t x u h x t u k _{μ α ξ} τ ∂ ∂ − ∂ ∂ = (13)

Podemos explicitar a equação (11) parawi_,j₊₁ obtendo

1 2 2 ₂ ( _{1, 1,} ), 2 2 1 ,j ij i j i j i w w h k w h k w _{+ ⎟⎟} + ₊ + ₋ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = α α (14) para todo i = 1, 2, ..., m-1 e j = 1, 2, 3, ...

A condição inicial u(x,0) = f(x), para todo 0≤x≤l, implica que wi,o = f(x), para i = 0, 1,

2, ..., m. Podemos usar esses valores na equação (14) para calcular o valor de wi,1 para todo

i = 1, 2, 3, ..., m-1. As condições adicionais u(0,t)=0e implicam que

e, portanto, podemos determinar todos os elementos da forma . Se voltarmos a aplicar o procedimento uma vez, quando são conhecidas todas as aproximações

, podemos obter, de maneira similar, os valores E assim por diante. 0 ) , (l t = u 0 1 , 1 , 0 =wm = w wi_,1 1 , i w wi_,2.

Conhecidos os valores de w no passo de tempo j, podemos calcular seus valores no tempo . por isso, tal método é classificado como explícito. A natureza explícita do método de diferenças implica que a matriz de ordem

1 +

j

) 1

(m− quadrada associada a esse sistema pode ser escrita da forma tridiagonal

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = λ λ λ λ λ λ λ λ 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 2 1 A

onde ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ₂ h k α λ . Se fizermos

(

)

t m x f x f x f w(0) = ( ₁), ( ₂),…, ( ₋₁) e

(

t j m j j j w w w w( ) = ₁ , ₂ ,…, _−1,

)

para todo j = 1, 2, ...

então a solução aproximada é dada por , ) 1 ( ) (j ₌ j− Aw w para todo j = 1, 2, ...

portanto, é obtido por uma multiplicação matricial. Essa técnica é conhecida pelo nome de método de Diferenças Progressivas. Se a solução da equação diferencial parcial tem quatro derivadas parciais contínuas em x e duas em t, então a Equação (13) implica que o método é da ordem de . ) ( j w ) ( 2 h k O +

Exemplo – Vamos considerar a equação de calor

, 0 ) , ( ) , ( 2₂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ t x x u t x t u 0 < x< , 0 ≤ , l t

com as condições de contorno

0 ) , ( ) , 0 ( t =u l t = u , >0 t e as condições iniciais ), sen( ) 0 , (x x u = π 0 ≤ x ≤ . l A solução deste problema é dada por

= ) , ( tx

u e−π2tsen(πx)

A solução em = 0,5 será aproximada por meio do método de Diferenças Progressivas, primeiro com = 0,1, = 0,0005 e λ = 0,05 e, depois, com = 0,1,

t

h k h

i x u(x_i,0,5) 1000 , i w k = 0,0005 u(xi,0,5)−wi,1000 50 , i w k = 0,01 u(xi,0,5)−wi,50 0,0 0 0 0 0,1 0,00222241 0,00228652 6,411 . 10-5 8,19876.107 8,199.107 0,2 0,00422728 0,00434922 1,219.10-4 -1,55719.108 1,557.108 0,3 0,00581836 0,00598619 1,678.10-4 2,13833.108 2,138.108 0,4 0,00683989 0,00703719 1,973.10-4 -2,50642.108 2,506.108 0,5 0,00719188 0,00739934 2,075.10-4 2,62685.108 2,627.108 0,6 0,00683989 0,00703719 1,973.10-4 -2,49015.108 2,490.108 0,7 0,00581836 0,00598619 1,678.10-4 2,11200.108 2,112.108 0,8 0,00422728 0,00434922 1,219.10-4 _-1,53086.108 _1,531.108 0,9 0,00222241 0,00228652 6,511.10-5 8,03604.107 8,036.107 1,0 0 0 0

Tabela 2: Tabela para o Exemplo apresentado

No exemplo se espera um erro de truncamento da ordem de . Ainda que isso seja obtido com = 0,1 e = 0,0005, o mesmo não ocorre quando = 0,1 e

) ( 2 h k O + h k h

k = 0,01. Para explicar essa dificuldade, devemos observar a estabilidade do método de Diferenças Progressivas. Se se comete um erro e

(

e e em

)

t 0 1 0 2 0 1 ) 0 ( _{, , ,} −

= … ao representar os dados iniciais

(

)

t m x f x f x f w(0) = ( ₁), ( ₂),…, ( ₋₁) , um erro de (0) se propaga em , já que

Ae w(1) . ) ( (0) (0) (0) (0) ) 1 ( Ae Aw e w A w = + = +

Esse processo continua. No enésimo passo de tempo, o erro de devido a é Em conseqüência, o método é estável precisamente quando esses erros não aumentam ilimitadamente enquanto n cresce. Mas isso é verdade se e somente se para qualquer erro inicial tivermos

) (n w e(0) . ) 0 ( e An ) 0 (

e Ane(0) ≤ e(0) para todo n. Isso significa que A ≤ 1, n

condição que, requer que Assim, o método Diferenças Progressivas será estável apenas se

. 1 )) ( ( ) ( n = n ≤ A A ρ ρ 1 ) (A ≤ ρ .

Pode-se demonstrar que os autovalores de A são

, 2 sen 4 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m i i π λ μ para todo i = 1, 2, ..., m-1.

1 2 sen 4 1 ) ( 2 1 1 ⎟⎟_⎠ ≤ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − ≤ ≤ _m i máx A m i π λ ρ , que é equivalente a 2 1 2 sen 0 2 ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ m iπ λ , para todo i = 1, 2, ..., m-1.

Como a estabilidade requer que essa condição de desigualdade se conserve quando , ou, de forma equivalente, quando

0 → h m→∞, o fato de que 1 2 ) 1 ( sen lim 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ → _m m m π

significa que a estabilidade ocorrerá somente se

2 1

0≤λ≤ . Uma vez que ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ₂ h k α λ , essa

desigualdade requer que se selecione e , de modo que h k

2 1 2 2 _≤ h k α .

No mesmo exemplo, temos α =1, de modo que essa condição é satisfeita quando h= 0,1 e k = 0,0005. Mas, quando aumentamos para 0,01 sem um aumento correspondente de h, a razão foi k 1 ) 1 , 0 ( 01 , 0 2 = > ₂ 1 ,

e os problemas de estabilidade se tornam aparentes.

Por isso o método de Diferenças Progressivas é dito condicionalmente estável, isto é, o método converge para a solução da Equação (9) com a taxa de convergência de

, dada a condição de que ) ( 2 h k O + 2 1 2 2 _≤ h k α

e que satisfaçam as condições de continuidade requeridas.

Para obter um método que seja incondicionalmente estável, consideraremos um método de diferenças implícitas que é obtido ao usarmos o quociente de diferenças regressivas para (xi,tj) t u ∂ ∂ , na forma

), , ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ₂ 2 1 j i j i j i j i x t u k k t x u t x u t x t u _μ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ −

onde μ_j está em (t_j−1,t_j). Ao substituirmos essa equação junto com a Equação (11) para

2 2 x u ∂ ∂

, na equação diferencial parcial, obtemos

2 1 1 2 1) ( , ) 2 ( , ) ( , ) , ( ) , ( h t x u t x u t x u k t x u t x u i j i j− i+ j − i j + i− j − − α ), , ( 12 ) , ( 2 4 4 2 2 2 2 j i j i t x u h x t u k _{μ α ξ} ∂ ∂ − ∂ ∂ − =

para ).ξ_i∈(x_i−1,x_i+1 O método de Diferenças Regressivas resultante é

− , −1 ₋ 2 +1, −2 ₂ + −1, ₌0, h w w w k w w_{ij i j i j ij i j} α (15) para todo i = 1, 2, ...,m-1, e j = 1, 2, ....

O método de Diferenças Regressivas inclui, em um passo típico, os pontos de rede )

,

(xi tj , (xi,tj−1), (xi−1,tj) e (xi+1,tj), e contém aproximações nos pontos mascados por x na Figura 5.

Como as condições iniciais e de contorno associadas com o problema fornecem informações nos pontos de rede marcados com um círculos, a figura mostra que não é possível utilizar procedimentos explícitos para resolver a Equação (15). Lembramos de que, no método de Diferenças Progressivas (veja figura 6) aproximações em

) ,

(xi−₁ tj , (xi,tj), (xi,tj+1) e (xi+1,tj),

foram utilizadas, de modo que um método explícito para calcular as aproximações, baseado na informação proveniente das condições iniciais e de contorno, estivesse disponível.

Figura 7: Representação do Método de Diferenças Regressivas

Figura 8: Representação do Método de Diferenças Progressivas

Se, mais uma vez, denotarmos por λ a quantidade 2 _2⎟, ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ h k α o método de Diferenças Regressivas se converge em , ) 2 1 ( + λ wij−λwi_+1,j−λwi_−1,j =wi_,j₋₁

para todo i = 1, 2, ..., m-1 e j = 1, 2, ... . Aplicando-se o fato de que para todo

i = 1, 2, ..., m-1 e para todo ) ( 0 , i i f x w = 0 , 0 ,j = j = m w

w j = 1, 2, ..., esse método de diferenças tem a

, (16) 2 1 ( 0 0 0 0 0 0 ) 2 1 ( 1 , 1 1 , 2 1 , 1 , 1 , 2 , 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − − − − + − − − − − m j j j j m j j w w w w w w λ λ λ λ λ λ λ λ ou (j)₌ (j−1) para todo w Aw j = 1, 2, ... .

Assim o método requer a resolução de um sistema linear para obtermos a partir de . A matriz A é tridiagonal e estritamente diagonalmente dominante.

) ( j w ) 1 (j− w

A razão pela qual o método de Diferenças Regressivas não apresenta os problemas de estabilidade do método de Diferenças Progressivas pode ser vista ao se analisar os autovalores da matriz A no método de diferenças Regressivas os autovalores são

, 2 sen 4 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = m i i π λ μ para cada i = 1, 2, ..., m-1,

e como λ > 0, temos μi> 1 para todo i = 1, 2, ..., m-1. Isso implica que existe A

-1 _porque

zero não é autovalor de A. Um erro ( )0

e nos dados iniciais gera um erro no

enésimo passo. Como os autovalores de A

( )

1 ( )0 e

A− n

-1 _{são os recíprocos dos autovalores de A, o raio}

espectral de A-1 é limitado superiormente por 1 e o método é estável, independentemente da

seleção de ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ₂ h k α

λ . Chamamos de incondicionalmente estável o método de Diferenças Regressivas.

O erro local de truncamento dessa técnica é da ordem de o qual requer que se façam intervalos de tempo muito menores que os espaciais. Um procedimento incondicionalmente estável com erro local de truncamento de ordem de seria mais adequado. ) ( 2 h k O + ) ( 2 2 h k O +

Este é o caso do Método de CRANK-NICOLSON, que pode ser obtido a partir da média aritmética do Método de Diferenças Progressivas no j-ésimo passo em t e do método de Diferenças Regressivas no (j+1)-ésimo passo em t:

. 0 2 2 2 2 1 , 1 1 , 1 , 1 2 , 1 , 1 2 , 1 , ₌ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + − − − _{+ − + + + − +} + n w w w n w w w k w w_{i j i j} α _{i j ij i j i j i j i j}

Capítulo 4: Equação Diferencial Parcial Hiperbólica

A seguir, estudaremos a solução numérica para equação de onda que surge no estudo de fenômenos que evolvem propagação de ondas num meio contínuo: ondas acústicas, aquáticas, eletromagnéticas e de vibrações mecânicas. Trata-se de um exemplo de equação diferencial parcial hiperbólica.

( , ) ₂ ( , ) 0, 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t x x u t x t u _α 0 < x < , > 0, (17) l t sujeita às condições 0 ) , ( ) , 0 ( t =u l t = u , para > 0, t ) ( ) 0 , (x f x u = e ut(x,0)=g(x), para 0 ≤ x ≤ , l

onde α é uma constante.

Selecionamos um número inteiro m > 0 e o tamanho do passo de tempo k > 0. Com

m l

h= os pontos de rede (x_i,t_j) são definidos por

ih

xi = , e tj = jk,

para todo i = 0, 1, 2, ...,m e j = 0,1, .... A equação da onda se transforma em,

( , ) 2 2₂ ( , ) 0, 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ j i j i x t x u t x t u _α (18) se for um ponto interior da rede. (x_i,t_j)

O método de diferenças é obtido usando o quociente de diferenças centradas para as segundas derivadas parciais dadas por

), , ( 12 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ₄ 4 2 2 1 1 2 2 j i j i j i j i j i x t u k k t x u t x u t x u t x t u _μ ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ + − onde µj ∈ (tj-1,tj+1), e ), , ( 12 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ₄ 4 2 2 1 1 2 2 j i j i j i j i j i t x u h h t x u t x u t x u t x x u _ξ ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ + −

2 1 1 2 2 1 1) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) , ( h t x u t x u t x u k t x u t x u t x u _{i j+ i j i j− i+ j} − _{i j} + _{i− j} − + − α . ) , ( ) , ( 12 1 4 4 2 2 4 4 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ = _{i j i} t_j x u h x t u k μ α ξ

Desconsiderando o termo de erro

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( , ) ( , ) 12 1 4 4 2 2 4 4 2 ,j i j i j i t x u h x t u k μ α ξ τ ,

obtemos a equação de diferenças

, 0 2 2 2 , 1 , , 1 2 2 1 , , 1 , + − + − ₋ + − + − ₌ h w w w k w w wi j ij i j _α i j i j i j

onde wij é uma aproximação para u(xi,tj).

Fazendo

h k

α

λ= , podemos escrever a equação de diferenças como

wi,j+1 – 2wi,j + wi,j-1 – λ2wi+1,j + 2λ2wi,j – λ2wi-1,j = 0

e resolver para wi,j+1, para obter

wi,j+1 = 2(1 – λ2)wi,j + λ2(wi,j-1 + wi-1,j) – wi-1,j. (19)

Essa equação é aplicável para todo i = 1, 2,...,m-1 e j = 1, 2, ... usandos as condições de contorno, temos que

w0,j = wm,j = 0 para cada j = 1, 2, ... (20)

Da condição inicial, temos que

wi,0 = f(xi) para i = 1, 2, ..., m-1. (21)

(22) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − + − + + 1 , 1 1 , 2 1 , 1 , 1 , 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 1 , 2 1 , 1 ) 1 ( 2 0 0 0 0 ) 1 ( 2 0 0 ) 1 ( 2 j m j j j m j j j m j j w w w w w w w w w … λ λ λ λ λ λ λ λ

As equações (18) e (19) implicam que o (j + 1)-ésimo passo de tempo requer valores dos j-ésimo e (j – 1)-ésimo passos. Isso produz um pequeno problema, porque os valores de j = 0 são dados pela equação (20), porém os valores de j = 1, necessários na Equação (18) para calcular wi_,2, devem ser obtidos a partir da condição inicial

), ( ) 0 , (x g x t u = ∂ ∂ 0 ≤ x ≤ l.

Uma forma de contornar essa dificuldade consiste em substituir ut por uma

aproximação de diferenças progressivas, t u ∂ ∂ (xi,0) = ( , ), 2 ) 0 , ( ) , ( 2 2 1 i i i i x t u k k x u t x u _μ ∂ ∂ − − (23) onde )μ_i∈(0,t₁ .

Desta forma obtemos, ) , ( 2 ) 0 , ( ) 0 , ( ) ( ₂ 2 2 1 , i i i i i x t u k x t u k x u t x u μ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ). , ( 2 ) ( ) 0 , ( _{i i} 2 2₂ x_{i i} t u k x kg x u μ ∂ ∂ + + = Como conseqüência, ), ( 0 , 1 , i i i w kg x w = + para cada i = 1, 2, 3, ..., m-1. (24)

Contudo, isso gera uma aproximação com erro de apenas . Para obtermos uma aproximação melhor, consideremos a equação

) (k O ) , ( 6 ) 0 , ( 2 ) 0 , ( ) 0 , ( ) , ( ₃ 3 3 2 2 2 1 i i i i i i x t u k x t u k x t u k x u t x u η ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ,

para determinado η_i∈(0,t₁), que resulta da expansão de por um polinômio de Maclaurin de segundo grau em . Se existe, então

) , (x t₁ u _i t f´´ ) ´´( ) ( ) 0 , ( ) 0 , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i x f x dx f d x x u x t u _{α α α} = + = ∂ ∂ = ∂ ∂ e então ), , ( 6 ) ´´( 2 ) ( ) 0 , ( ) , ( ₃ 3 3 2 2 1 i i i i i i x t u k x f k x kg x u t x u α η ∂ ∂ + + + =

o que produz uma aproximação com erro ( 3):

k O ). ´´( 2 ) ( 2 2 0 1 i i i i f x k x kg w w = + +α

Se 4

[

0,1 mas não dispomos de , pode-se escrever

C f ∈

]

f´´(x_i) ), ( 12 ) ( ) ( 2 ) ( ) ´´( 2 (4) 2 1 1 i i i i i f h h x f x f x f x f = + − + − − ξ

[

( ) 2 ( ) ( )

]

( ). 2 ) ( ) 0 , ( ) , ( 3 2 2 1 1 2 2 2 1 f x f x f x O k h k h k x kg x u t x u _i = _i + _i + α _i+ − _i + _i− + + Se ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h kα λ , então

[

( ) 2 ( ) ( )

]

( ) 2 ) ( ) 0 , ( ) , ( 3 2 2 1 1 2 1 u x kg x f x f x f x O k h k t x u _i = _i + _i +λ _i+ − _i + _i− + +

(

3 2 2

)

1 2 1 2 2 _{( ) ( )} 2 ) ( 2 ) ( ) 1 ( − f xi + f xi + f xi +kg xi +Ok +h k = λ λ ₊ λ ₋ .

Assim, pode-se usar a equação de diferenças

( ) ( ), 2 ) ( 2 ) ( ) 1 ( 2 2 ₁ 2 ₁ 1 , i i i i i f x f x f x kg x w = −λ +λ ₊ +λ ₋ + (25)

para calcular wi_,1, para cada i = 1, 2, ..., m-1. Exemplo:

Vamos considerar o problema

0 4 ₂ 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ x u t u , < x < 1 , t > 0, 0 com condições u(0,t) = u(1,t) = 0 , t > 0,

u(x,0) = sen(πx) , 0 ≤ x ≤ 1, e ( ,0)=0, ∂ ∂ x t u 0 ≤ x ≤ 1.

A solução deste problema é dada por

t x sen t x u( , )= π cos2π .

Na tabela 3 encontramos os valores da aproximação de u(xi,1) que estão corretos para

xi wi,1 0,0 0,000000000 0,1 0,309016994 0,2 0,587785252 0,3 0,809016994 0,4 0,951056516 0,5 1,000000000 0,6 0,951056516 0,7 0,809016994 0,8 0,587785252 0,9 0,309016994 1,0 0,000000000

Tabela 3: tabela para o exemplo apresentado

Como no caso do Método de Diferenças progressivas para a Equação de Calor, o Método de Diferenças Finitas Explícitas para a Equação da Onda também apresenta problemas de estabilidade. De fato, a estabilidade é atingida se λ=α ≤γ

h k

, como pode ser verificado em [3].

Conclusão

Este trabalho contribuiu para além de aprofundar conceitos voltados às Equações Diferenciais, proporcionar novos conhecimentos envolvendo Equações Diferenciais Parciais Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas, bem como métodos numéricos para

resolução destes tipos de equações. Estes conhecimentos com certeza contribuirão para um bom desempenho de minhas atividades futuras nesse campo.

Bibliografia

[1] BURDEN, RL. e FRAIRES J.D. Análise Numérica . Thonson – 2003 [2] CUNHA, C. Métodos Numéricos. UNICAMP – 2003

[3] ISSACSON, E e KELLER, H.B. Analysis of numerical methods. John Wiley & Sons, Nova Iorque, 1961