Publicações do PESC Uma Contribuição ao Problema de Múltiplos Objetivos em Redes

UMA CCINTRIBUIÇXO AO PROBLEMA DE MúLTIPLOS O B J E T I V O S EM REDES

L ú r e n a de1 C a r m e n Pradenas K o j a s

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇXO iXS PROGRAMAS

DE PDS-GRADUACXJ DE ENGENHARI A DA UNI VEESI DADE FEDERAL DC) R I O DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A UBTENÇãO DO GRAU DE DQüTOR E M C I Ê N C I A S EM

ENGENHARIA

DE SI STEMAS E COWUTAÇXO.

A p r ovâda por :

I

Pr

of

.

N s l son

Macfrl

an

Fl

l ho, R. Habi 1 ,

C F r e s i d e n t e 3 1 Luis Satoru t k h i , D . S c . CJ L e a l

,

i?.

I

ng. R I O DE JANEIRO, RJ

-

B R A S I L A G O S Q DE 1999

PRADENAS R O J A S , LORENA DEL CARMEN

Uma C o n t r i b u i ç ã o ao P r o b l e m a d e M ú l t i p l o s O b j e t i v o s e m R e d e s [ R i o d e J a n e i r o ! , 1990.

VI:

I . 110 p. 29.9 c m C C O P P E A J F R J

,

D. Sc.

,

E n g e n k a r i a d e

S i s t e m a s e C o m p u t a ç ã o , 19903.

Tese

-

U n i v e r s i d a d e Federal d e R i o d e J a n e i r o , COPPE.

1. P r obl e m a ã d e Múl ti p l os O b j e t i vos, Pr obl e m a s d e

M ú l t i p l o s O b j e t i v o s e m R e d e s , P r o b l e m a d e F l u x o s e m R e d e s , P r obl e m a s d e P r ogr a m a ç ã o L i n e a r

,

Pr obl e m a s De

R e d e s , P r o g r a m a ç ã o M a t e m a t i s a .

RESUMO DA T E S E APRESENTADA A C O P P E U F R J COMO P A R T E

DOS

R E Q U I S I T O S N E C E S S A R I O S P A R A A OBTENÇXO I30 GRAU D E DOUTOR EM C I E N C I A S C D . Sc. 3 UMA C O N T R I B U I Ç X O A O PROBLEMA D E M O L T I P L O S O B J E T I V O S EM R E D E S Lorena de1 C a r m e n P r a d e n a s R o j a s A g o s t o d e 1990 O R I ENTADOR: P r sf

.

N e l âon M a c u l a n F i 1 h o PROGRAMA : E n g e n h a r i a d e S i s t e m a s e C o m p u t a ç ã o .

Exi s t e m m u i t a s apl i caçSjes da p e s q u i s a oper aci o n a l C por

e x e m p l o e m t r a n s p o r t e 3 q u e t r a d i c i o n a l m e n t e t e m si do

m o d e l a d a s a t r a v & s da. teor i a d e f 1 uxos e m redes

,

c o n s i der ando s o m e n t e a o t i m i z a q ã o d e u m o b j e t i v o d e t e r m i n a d o . C o n t u d o , os p r o b l e m a s r e a i s d e s t a área, na m a i o r i a das vezes, e n v o l v e m

varioã o b j e t i v o s a s e r e m considerados para adotar u m a s o l u ~ ã o . D o u m ponto d e v i s t a p u r a m e n t e m a t e m A t i c o , s a l v o

r a r a s excec$ks, n Z o e x i s t e m a1 g o r i t m o s especi f i c o s q u e c o n s i d e r e m a s v a n t a g e m s q u e proporciona a m a t r i z d e i n c i d ê n c i a nc5-arco. N e s t a tese p r o p i - i e - s e u m m & t o d o par a

d e t e r m i n a r o c o n j u n t o exato d e s o l u ç E 3 e s não d o m i n a d o d e

u m p r ú b l e m a d e vetor m i n i m o f o r m u l ade s o b r e u m a rede. O r n é t o d o é i m p l e m e n t a d o e t e s t a d o n u m g r i c a r n e n t e para u m a s e r i e de redes geradas a1 e a t b r i a m e n t e .

ABSTRACT OF THESES PRESENTED TO COPPE/UFRS AS BARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR DEGREE OF DOCTOR OF S C I ENCE C D. S c 3 .

CONTRI BUTI ONS TO THE MULTI OBJECTI VE NETWORK PROBLEM

L o r e n a de1 C a r m e n P r a d e n a â R o j a s A u g u s t

,

i 990

Ti4ES.I S SUPERVI SOR: P r of

.

N e l s o n Macul a n F i 1 ho

DEPARTMENT: S y â t e m E n g i n n e r i ng and C o m p u t e r Sci e n c e

There a r e m a n y o p e r a t i o n s reâearch a p p l i c a t i o n s C f or i n s t a n c e i n t r a n s p o r t a t i o n 3 , w h i c h t r a d i ti o n a l l y a r e m o d e l ed

u s i n g n e t w o r k s f l o w t h e o r y t o optiinize o n e o b j e c t i v e . H o w e v e r t h e r e a l problemã of t h i s area g e n e r a l l y s t a t e sever a1 ob j e c t i veâ si m u l t a n e o u s l y f r o m which a sol u t i on must be o b t a i n e d . B u t f o r t h i s p r a b l e m , up t o f e w e x c e p t i o n s

t h e r e a r e n o s p e c i f i c a l g o r i t h m s t ã k i n g a d v a n t a g e of t h e

nodes-ares i n s i d e n c e m a t r i x . Thi s s t u d y p r e s e n t s a m e t P i o d t o d e t e r m i n e t h e âet s f n s n d o m i n a t e d s o l u t i o n s f o r a n e t w s r k vector mi n i mum probl em. T h e m e t h o d i s i m p l e m e n t e d and

CAPI TULO I

.

I n t r o d u ç ã o

...

1 CAPÍ TULO I I

.

T B o r i a e MBtodoâ d a P r o g r a m a ç ã o L i n e a r c o m

. . .

M f i l t i p l o s O b j e t i v o s

.

.

.

- 4 I I

.

1 Formal i z a ç ã o d o P r o b l e m a e n ã o D o m i n h c i a

. . .

6

. . .

1 1 . 2 Condi ç8es d e K a r u s c h Kuhn T u c k e r i'

I I

.

3 T i p o s d e F u n ç ã e s O b j e t i v o s

. . .

- 1 0 1 1 . 4 M&todos d e = l u ç ã o

. . .

11

. . .

11.4.1 Método d o s P e s o s 14

. . .

1 1 . 4 . 2 Método d a Restrição E 17 I I

.

4 . 3 Mktodo Múl ti o b j e t i vo Li n e a r d e Se1 e n y

. .

-21 ÇAPÍ TULO 1 I I

.

P r o b l e m a s L i n e a r e s d e F l u x o s e m R e d e s

. . .

- 3 0

. . .

I I I - 1 P r obl ema Mono Ob j e t i VQ -31

I I I - 1

.

1 For mul ação

. . .

.31

. . .

.

I I 1

.

I 1 . 1 Bef i n i ções B á s i c a s -31 111.1.1.2 P r o b l e m a d e F l u x o d e C u s t o Mlnimo.32

. . .

I I I - 1 - 1

.

3 P r o b l erna d e Cami n h o Má n i m o 3 4 111.1.1.4 P r o b l e m a d e F l u x o d e C i r c u l a ç ã o de C u s t o Mlni m o

. . .

35 111.1.2 M&.todos d e S a l u ç S o

. . .

- 3 7 % I I

.

1 . 2.1 M&todo Si mpl e x n a Rede

. . .

37

. . .

I P I

.

1 . 2 . 2 Método Out of K i 1 t e r -42 1 1 1 . 1 . 2 . 3 Método d e I n c r e m e n t o d e C u s t o

Ml

n i m o

. . .

46 111.1.2.4 MBtodo p a r a o P r o b l e m a d e Caminho Minimo

. . .

47

. . . .

.

. .

I I I 1 S 5 A 1 g u n s A n t e c e d e n t e s Numt-ri cos -51

. . .

1 1 1 . 2 P r o b l e m a s d e M ú l t i p l o s O b j e t i v o s 53 111.2.1 F o r m u l a ç ã ~

. . .

53

. . .

1 1 1 . 2 . 1 . 1 Def i n i ç - õ e s B á s i c a s 3 3 I I I . 2 . 1 . 2 F o r m a G e r a1

. . .

- 5 3

1 1 1 . 2 . 2 M é t o d o s d e Sol u ~ ã o

. . .

.SS I1 I

.

2 . 2 . 1 M é t o d o d e C 1 imaso

. . .

55 I I I

.

2 . 2 . 2 M é t o d o d e H a r i s e n

. . .

SQ 11 I

.

2 . 2 . 3 M é t o d o d e M a l h o t r a

. . .

62 C A P S T U L O I V

.

M é t o d o Proposto para o P r o b l e m a d e M d l t i p l o s O b j e t i v o s e m R e d e s

. . .

64 I V . l U s o d e V a r i A v e i s L i m i t a d a s

. . .

. 6 4 I V

.

2 P a r t i c u l a r i aação d e R e s u l t a d o s Teóricos para R e d e s

. . .

70 I V

.

3 S u b p r o b l e m a da não D o m i n A n c i a

. . .

- 7 2 I V

.

3.1 For m u l ação

. . .

- 7 2 I V . 3 . 2 M é t o d o B u a l

. . .

73 I V

.

3 . 3 M t - t o d o dos C u s t o s A t u a i s

. . .

- 7 9 I V . 4 A l g o r i t r n o Prepaâta

. . .

83 C A P I T U L O V

.

R e s u l t a d o s N u m & r i c o s

. . .

87 C A P P T U L O V I

.

D i s c u s s ã o

. . .

89 C A P I T U L O V I I C o n c l u s õ e s e R e c o m e n d a ç õ e s

. . .

. . 9 3 R e f e r ê n c i a s B i b l i o g r á f i c a s

. . .

Q6 A p h d i c e 1

. . .

104 A p & n d i c e I1

. . .

110

C A P I T U L O I .

I NTRODUÇXO.

O p r o b l e m a d e m ú l t i p l o s o b j e t i v o s t e m a s u a o r i g e m na m o d e l a g e m d e u m a grande variedade d e si

tuaçaes

r e a i s , s e n d o

c o m u m e n t e u t i l i z a d o n a t o m a d a d e decisões de: s i s t e m a s d e

t r a n s p o r t e s , s a u d e , produção, a d m i n i s t r a ç ã s , operação e c o n t r o l e d e e m p r e s a s p r o d u t i v a s , operação d e redes, e t c . C COHON

,

1978 ; I G N I

ZI

O , 1982 ; G O I C O E C H E A , 1982 ; Z E L E N Y ,1974:

ROY e V I NCKE ,1981 ; HWANG e MASUD, 1979 ; E V A N S , 1984, e o u t r os3

A n t e s do apareci m e n t o da a n a l i se m ú l ti o b j e t i vo, o s p r e b l e m a s de decisão q u e m o d e l a v a m - s e m e d i a n t e P r o g r a m a ç ã o L i n e a r . c o n s i d e r a v a m a e x i s t ê n c i a d e u m a ú n i c a funçzo o b j e t i v o , q u e t e m a v a n t a g e m d e gerar s o l u ç õ e s m e d i a n t e u m a l g s r i t m o e f i c i e n t e , e m b o r a m u i t a s vezes não r e p r e s e n t a n d o e x a t a m e n t e a realidade. De f a t o , a s o m p a r a q ã o d e v a r i a s decisões possl vei s d i f i c i 1 m e n t e são f ei t a s s e g u i ndo s o m e n t e u m p o n t o

de v i s t a .

E m p a r t i c u l a r , os p r o b l e m a s q u e s u r g e m n a área d e

p l a n e j a m e n t o e m t r a n s p o r t e e n v o l v e m i n t r i n s i c a m e n t e vãri a s deci sões as vezes c o n f 1 i t a n t e s . N e s t e probl e m a d e v e m - s e t e r e m c o n t a , c u s t o s , t e m p o s d e v i a g e m s , d e m a n d a , n l v e l d e

s e r v i ç o , responsabi 1 i d a d e s s o c i a i s

,

relações c o m o t r a b a l h o

i n d u s t r i a l , e t c . N a p r a t i c a , t e m - s e u t i l i z a d o na m a i o r i a dos casos a t e o r i a dos f l u x o s e m redes c o m u m a ú n i c a f u n ç ã o ob j e t i vo par a m o d e l ar t a i s pr obl e m a s , consi d e r ando os

c r i t & r i os r e s t a n t e s c o m o r e s t r i ç õ e s . U m a das p r i n c i paes

r a z B e s para i s t o Q o f a t o q u e t e m - s e dado pouca atenção ao

p r o b l e m a m ~ l t i o b j e t i v o e m redes. É e s t a conclusão à q u e se chega d e p o i s d e fazer u m a rigorosa p e s q u i s a b i b l i o g r á f i c a da

q u a l s u r g e m apenas t r & s t r a b a l h o s . O do P. H A N ã E N C 1 9 8 0 3 q u e

f a z u m a a n A l i s e teiirica d e dez p r o b l e m a s b i c r i t e r i a i s n u m a

rede c o n s i d e r a n d o p r i n c i p a l m e n t e a s u a c o m p l e x i d a d e ; e s t u d o de J

.

C L I MACO e E. MARTI NãC 19823 para o p r o b l e m a da c a m i nho

m i n i m o c o m d o i s o b j e t i v o s e o de R. MALHOTRA e

M.

C . P U R I C 1 9 8 4 3 q u e f a z uma a b o r d a g e m t e b r i c a do p r o b l e m a d e

E!

a1 gor i tmo de " O u t -of - K i 1 t e r

".

Por t a n t o , nenhuma abordagem t e m s i d o f e i t a , de nosso conhecimento considerando o caso de t r & s o 'mais o b j e t i v o s .

Por o u t r o 1 ado, a p a r t i cul a r i z a ç h da Programaçzo Linear .para os problemas de redes aprovei t a a espar si dade da matriz de i nci denci a nó-arco gerando a1 gori tmos ' e f i c i e n t e s para resolve-los. Essa Area t e m s i d o amplamente estudada e rama de. suas ap1icaçSjes mais importantes e$ a que considera a f a m i l i a . d e problemas de roteariiento de veiculos

CL.

SATORU, 1 QeQ3

,

D.

PHI LLI P S e A. GARCI A

,

1 Q813

.

A d i f e r e n ~ a bAsica e n t r e u m problema de programação mono o b j e t i v o e u m problema de m ~ l t i p l os o b j e t i v o s Q que n e s t e Último se procura um conjunto de soluções vi Aveis, não tendo mais s e n t i d o o termo s o l u ~ ã o ótima e dando origem ao concei t a de s o l uções não dominadas.

para resolver o problema de m ú l ti pl os o b j e t i v o s exi s t e m tBcnicas exatas e aproximadas de geraçzo do conjunto de soluções não dominadas sendo que, os mais u t i l i z a d o s s ã o os aproximados e d e n t r e eles podemos destacar o m&todo dos pesos e o método da r e s t r i ç ã o

.

Era relação com a s tkcnicas e x a t a s ,

.

vári os pesqui nadores t e m - s e preocupado e m estudar mBtodos de geraçzo que não dependam da conversão e m u m

problema mono o b j e t i v o Ccoms os aproxi mados3, Para t r a b a l h a r

i s t o a1 guns a1 gor i tmos t e m si do desenvsl vi dos que operam diretamente com o problema de múltiplos o b j e t i v o s mas, s e m muito sucesso. Desta c l a s s e , u n s dos mais conhecidos 4 o de M. Z E L E N Y C I Q ~ ~ ~ no qual o conjunto de soluções não dominadas B gerado com uma mBtodologia baseada no simplex e u t i 1 i zando u m t a b l eau de múltiplos o b j e t i v o s , que corresponde a uma versão aumentada do t r a d i c i o n a l tableau si mpl ex. No si mpl ex m ú l ti pl os obj e t i vos movi menta-se de u m ponto extremo não dominado a pontos extremos não dominados adjacentes ate$ que todas a s soluções não dominadas sejam encontradas.

de f 1 uxos e m redes para probl emaâ de m ú l t i pl ss o b j e t i v o s ; o o b j e t i v o d e s t a tese B gerar u m método exato para obter soluções não dominadas e ' v e r i f i çar numéri camente B e f i c i B n c i a d e s t e método para d i v e r s a s redes. Para i s t o a t e s e é organizada da s e g u i n t e maneira: No c a p i t u l o I 1 se f a z uma a r A l i s e do problema de múltiplos o b j e t i v o s c l á s s i c o s . No c a p i t u l o 111 é apresentada uma formulagão para a famil i a de problemas a , estudar. No capi t u l q V o comportamento do nosso método B analisado a t r a v é s de v a r i o s t e s t e s num&ricos

. gerados a1 e a t ó r i amente.' F i na1 m e n t e , nos capi t u l o s p o s t e r i o r e s são apresentadas a discusZo e conclusões d e s t e t r a b a l h o .

CAPÍTULQ I I

TEORIA E METQE>OS DA PROGRAMAÇ2íQ LINEAR COM MOLTI FSLQS QBJETI VOS C MQLP3

Neste c a p i t u l o são abordados os conceitos da programação

1

i near de múltiplos o b j e t i v o s e s s e n d a i s para a compreensão, t a n t o dos métodos e x i s t e n t e s como do m&todo proposto n e s t e t r a b a l ho.

O probl em de Programação Linear de múltiplos o b j e t i vos CCOHBN, 1878; IGNISIQ, 1882; GOICQECHEAs 1882; Z L E N Y 1974; ROY e VPNCKE, 1881 ; HWANG e MASUD, 1879; EVANSs 1884, &c. 3

t e m a sua origem na modelagem de uma grande variedade de si tuaç8es r e a i s

,

sendo comumente usados em pl anej amento de: alocação de recursos da produção i n d u s t r i a l , sistemas de t r a n s p o r t e s urbano, sistemas d e sabde, uso de s o l o s , produção e d i s t r i b u i ç ã o de e n e r g i a , administração, oger açZo

e c o n t r o l e de empresas, t e o r i B de portaf o1 i a s , sistemas a g r i c o l a s operação de redes, produção de gado, e t c .

Uma d i f erenqa fundamental e n t r e u m Problema de Programação Linear de Mono Objetivo CSQLP3 e u m Problema com Múltiplos Objetivos O que nesse bltimo se procura u m conjunto de soluqões vi Avei s , não tendo mais s e n t i d o usar o termo ' " s ~ l u ( ; ã o &tima"

,

dando origem no cansei t o de solugSio

não domi nada.

Para explicar e s s e conceito considere ' u m caso e m que e x i stem duas f ranç8es obgeti VOS l i neares C 2 * e 2=3 e uma

região vi Ave1 l i m i t a d a por u m conjunto de remtriç8es 1 i near e s em IR2, esquemati zada na f i g u r a I I . I . Para este caso pode-se c o n s t ~ u i r u m grAf i c o que represente a s variaç8es das funções o b j e t i v o s na região v i á v e l . I s t o determina uma

"região o b j e t i v o " mostrada na f i g u r a 11.2. Note que e x i s t e

u m a

correspondência e n t r e os pontos a, b , c , d , e e f

e m a m b a s

r e g i õ e s

.

N a r e g i ã o o b j e t i v o nZo e x i s t e nenhum p o n t o

C z

i *

z2

q u e s e j a "melhor" q u e a q u e l e s s o b r e os s e g o m e n t o s d e r e t a s a n t e r i o r m e n t e menci o n â d a s , o u s e j a nZo e x i ste nenhum p o n t o q u e m e l h o r e uma f u n ç ã o s e m p i o r a r a o u t r a . T a i s p o n t o s d e f i nendef i nen o c o n j u n t o d a s s o l u ç õ e s "não domi nadas".

:

FI GUFZA I I . 1 R e g i ã o v i Ave1

FIGURA I I . 2 Regi ão o b j e t i v o d e max Zie max Za 5

A s s i m , as s o l u ç õ e s d o c o n j u n t o n ã o dominado s ã o i n c o m p a r a v e i s e n t r e s i , d e modo q u e devemos t e r uma i n f o r m a ç ã o a d i c i o n a l d e v e se t e r e m c o n t a p a r a e s c o l h e r uma d e l a s . I s t o é comumente f e i t o com b a s e numa f u n ç ã o d e u t i l i d a d e e t a l s o l u ç Z o r e c e b e o nome d e s o l u ç ã o d e "melhor compromisso",que c o r r e s p o n d e ao p o n t o d d a f i g u r a 1 1 . 2

C

FI SHBURN

,

1 970;

KEENEY

e RAP FFA

,

18'763

,

e é d e t e r m i nada p e l o p o n t o o n d e a f u n ç ã o d e u t i l i d a d e é t a n g e n t e ao c o n j u n t o n ã o domi nado.

I I . 1 FORMALI Z A Q X l BQ PROBLEMA E NXO DBMI NâNCI A.

Formalmente o problema de múltiplos o b j e t i v o s pode s e r formulado como : Max ZCx3 = CziCx3..

. .

,z Cx33 11. l a P % . a : X E x I I . l b onde : X - C X E R " , A X = ~ X, L O ~ 11. l c

sendo A uma ; a t r i z de ordem m n de posto completa e b

E IRin.

Por o u t r o lado a definihão formal do conjunto de s o l uções não dominadas para o problema I I .1 é dada por :

Uma solução vi Ave1 x e X " é não dominada se não e x i s t e

nehum x' E

X

t a l que :

z Cx'3

>

z C 3 para algum q e P I I . 2 a

'=i

onde P = C 1

,

.

.

.

,

p3 é o conjunto de í n d i c e s do vetor ZCx3,

S

B o conjunto de s o l uçães não dominadas. O r e s t o dos pontos vi Aveis x ez

X

e x

a

S são i d e n t i f i c a d o s por soluçães dominadas. E p r a t i c a comum i d e n t i f i c a r o conjunto de nZo .domi n h c i a como não domi nado C pel os matemAti cos 3

,

ef i c i e n t e

Cpelos e s t a t i s t i c o s 3 ou ótimo de p a r e t o Cpelos economistas e

pessoal da saude3.

Deve s e r notado que a d e f i n i ç ã o de conjunto S permite e s t a b e l ecer compar ações e n t r e s o l uqões vi Avei s domi nadas e não domi nadas, por 91n é i mpl i c i tamente d e f i n i da a

i mcomparabi 1 i dade e n t r e s o l uçães não domi nadas

.

Par a v i s u a l i z a r i s t o com mais c l a r e z a considere-se u m vetor som

A doi r o b j e t i VQS

,

ZC

x 2 = C ziC x 2

,

z C x 2 2 e duas s o l uqões x e

2

x a serem comparadas

zc

xi3 = C a C x'3

,

a C x'33 e

zc

x24 =

i 2

2 i 2

Cx 3 3 x é melhor que x s s e :

Quando que : niCxi3

>

z1Cx23 e z2Cx13

<

z2C x23

I a

n e s t e caso nada pode-se concluir das solu@es x e x

.

em quanto a dominhcia de uma sobre a outra.

Portanto resolver u m problema de otimiaação de

múltiplos o b j e t i v a s c o n s i s t e em determinar o seu conjunto de S das soluções não dominadas

.

1 1 . 2 CONDIÇõES DE KARUSH KUHN TUCKER

A â condi ções neseasár i a s e âuf i centes para o t i mal i dade do problema mono o b j e t i v o apresentadas por KUHN e TCICKER

C 19513 foram tambem e s t a b e l e c i das a s condições necessAri a s

*

para u m ponto x E X s e r uma solução não dominada. A s s i m para o problema 1 1 . 1 t a i s condições são:

Exi â t e m m u l ti pl i cadores p i , i = 1,.

.

.

,m i r r e s t r i t o s e v 2 0 , j = 1 ,

. . . ,

m e u 1 0 k - 1 ,

. . . ,

p t a i s q u e :

j k

E m C 1 I . 4c3

,

o primeiro termo é uma combi nação 1 i near não negativa dos g r a d i e n t e s das p funçSies o b j e t i v o s . Quando p=l a s condi @e-: I I . 4 s ã o a s condi çEes de K. K . T. para u m pr obl ema mono ob j e t i vo.

t A s r e l a ç õ e s C I I . 4.3 sZo iiecessari a s para o ponto

x

s e r

n ã o dominado e também são s u f i c i e n t e s se as f u n ç õ e s zkCx3 são c o n c a v a s Cpara k = 1

,

. . . ,

p3 e o c o n j u n t o X convexo.

A tercei r a c o n d i çZo d e Kuhn-Tucker a p r e s e n t a d a n a

' e q u a ç ã o C 1 1 . 4 ~ 3 pode ser d e d u z i d á u t f 1 i z a n d o o c o n c e i t o d e c o n e

,

q u e B a p r e s e n t a d o no a p B n d i c e 11 e d e f i n i d o . C

ZADEH

,18633 : C o n s i d e r e o o r d e n a m e n t o p a r c i a l d e f i n i d a e m R" e a i o c i a n d o c o m c a d a x e R% o s s e g u i n t e s t r & s c o n j u n t o s d i s j u n t o s : a 3 Subcon j u n t o ' d e n o t a d o por 2 ~ x 3

,

d e t o d o s os v e t o r e s e m

IR" q u e dominan x C n e s t e c o n j u n t o x nSo B i n c l u i do3. <

b3 Subcon j u n t o d e n o t a d o por S Cx3

,

d e t o d o s os v e t o r e s e m q u e são i g u a i s ou

R

dominados por x .

c3 S u b c o n j u n t o d e n o t a d o por s m c x 3 , d e t o d o s os vetcares e m

q u e n ã o são comparAveis c o m x.

N o t e - s e q u e q u a l q u e r p o n t o viAvel p e r t e n c e a algum d o i s u b c o n j u n t o s acima e p o r t a n t o a u n i ã o d e l e s g e r a t o d o o espaGo R"

.

Desta f o r m á , uma s o l u ç ã o vi Ave1 x E X c IRn B uma s o l u ç Z o não domikada se a i n t e r s e ç ã b d e x e 2 ~ x 3 B v a z i a i s t o é. x

n

2 ~ x 3

=

+ .

*

N o t a r q u e o c o n e p o l a r C a p é n d i c e I 1 3 i n d i c a direções n a s q u a i s L *'possi v e l m e l h o r a r t o d o s o s o b j e t i v o s

*

s i m u l t a n e a m e n t e , ou s e j a : 2 ~ x 3 = c

.

A p a r t i r d o tamanho d o c o n e O p o s s i v e l o b t e r a l g u m a s " i n f o r m a ç õ e s t a i s c o m o . d e q u e um c o n e pequeno a p r e s e n t a g r a n d e s s o n f 1 i t o s n o s o b j e t i v o s C

COHON

,

19783

.

O u t r a s

e n c o n t r a d a s e m YU C 9'974.3. PHI LI

P

C 1 9 7 2 3

,

u t i 1 i za o c o n e formado p e l o s g r a d i e n t e s d a s f u n ç ã e s o b j e t i v o s p a r a i d e n t i f i c a r sol uçBes n ã o domi n a d a s ao 1 ongo d a f r o n t e i r a d a r e g i ã o v i á v e l . P o n t o s n a f r o n t e i r a são i d e n t i f i c a d o s c o m o s o l u ç ã e s n ã o d o m i n a d a s de um h i p e r p l a n o q u e p a s s a a t r a v h d o s p o n t o s s e p a r a n d o o c o n e e a r e g i ã o v i á v e l , c o n t u d o o mktodo 4 c o m p u t a c i o n a l m e n t e t r a b a l h o s o e nSo t e m s i d o a p l i c a d a

A

p r o b l e m a s d& g r a n d e p o r t e . C o n s i d e r e - s e o exemplo c u j a r e g i ã o v i a v e 1 é d a d a n a f i g u r a 11.3 com d u a s f u n ç ã e s o b j e t i v o s 2 Cx3 e z Cx3 com c i. i. 2 2 e s s e n d o os g r a d i e n t e s d e t a i s f u n ç ã a s . Por a d e f i n i ç ã o o Q p o n t o e B n ã o dominada p o i s a i n t e r s e ç ã o d e S'CX 3 e X é rlc v a z i a , o c o n e n ã o i n c l u e t a l p o n t o o u seja : x g S'C x*3

.

t FI

GURA

I I . 3 S o l u ç ã o n ã o dominada. Quando a r e g i ã o v i A v e l é c o n v e x a , um p o n t o n a f r o n t e i r a x E

X

B uma s o l u ç ã o n ã o dominada se é p o s s i v e l p a s s a r um h i p e r p l a n o a t r a v é s d e X s e p a r a n d o X e

S > C X ~ .

_{S e j a y} o #t . v e t o r normal ao h i p e r p l a n o s e p a r a d o r e m x n a d i r e ç ã o a o l o n g o d a r e g i S o ' v i A v e 1 n o m e s m o e s p a ç o a o q u a l ~ ' C x 3

*

p e r t e n c e . e n t ã o , y : f i c a n o c o n e p o l a r d e S'CX 3 v i s t o q u e _y >

*

f o r m a um â n g u l o a g u d o com t o d o s os v e t o r e s e m S C x 3 e, y k i. 2 uma combinaçSo 1 i n e a r n ã o n e g a t i v a d e c e c

.

I g u a l m e n t e a c o m p o n e n t e n e g a t i v a d a normal -y p e r t e n c e

a o c o n e g e r a d o p e l o s g r a d i e n t e s n e g a t i v o d a s u n i õ e s d a s restrições : g3Cx3

XB,

X

2 O

2

Csmbi nando as r e l ações C I I . 73 t e m - s e :

A relação 11.8 & c o n d i ç z o n e c e s s a r i a p a r a q u e o p o n t o

Q

x seja uma s o l u ç ã o n ã o dominada e

a

g e n e r a l i z a ç ã o p a r a p o b j e t i v o s e m r e s t r i ç o & s p r o p o r c i o n a a t e r c e i r a c o n d i ç S a d e Kuhn T u c k e r .

1 I . 3 TI POS DE FUNÇe(ES OBJETI VOS.

E

i n t e r e s a n t e a n a l i s a r o s t i p o s d e r e l a ç ã o q u e podem e x i s t i r e n t r e as f u n c õ e s o b j e t i v o d e um problema a começar p e l o caro d e o b j e t i v o s s i m p l e s . a 3 MONO OBJETPI VO Quando e x i s t e uma u n i c a f u n ç ã o o b j e t i v o , e x i s t e um ú n i c o g r a d i e n t e q u e compõe a t i n i c a componente d o c o n e d o g r a d i e n t e : O c o n e f o r m a d o & um r a i o s i m p l e s e ~ ' C x 3 B u m e s p a ç a d e f i n i d o p e l a h i p e r p l a n o a o q u a l 82 & s r t o g o n a l

.

O h i p e r p l a n o c o r r e s p o n d e ao c o n t o r n o d a f u n ç ã o o b j e t i v o . C f i g u r a I I . Q a 3 . . FIGURA I I . 4 T i p o s V Z 2 C X3

v z y

x3 S'C x3

\<,

s'cx3=*r

/

J:

PSiC X3 b3 c 3 d e f u n ç õ e s o b j e t i vos

b3 BBJETI VOS COLI NEARES SEM NENHUM CONFLI TO. N e s t e casa o s g r a d i e n t e s d a f u n ç ã o a b j e t i v o apontam na m e s m a d i r e ç ã o . S ' ~ x 3 é um e s p a ç o d e f i n i d o peb o h i p e r p l a n o no q u a l VzaCx3 e VzzCx3 são o r t o g o n a i s . E s t a s i t u a ç ã o 4 i d e n t i c a a o c a s o a n t e r i o r ou s e j a , quando o s o b j e t i v o s nZo s ã o c o n f l i t a n t e s e o problema é e q u i v a l e n t e a o problema com b n i c o o b j k t i v o , f i g u r a I I . 4 b .

c 3 OBJETI VOS COLI NEARES COM CONFLP TO COMPLETO.

Se o s o b j e t i y o s são d i a m e t r a l m e n t e o p o s t o s , a c o n j u n t o

S ' C ~ é v a z i o , i s t o quer d i z e r q u e a i n t e r s e q ã o d e S ' C X ~ com x. B também v a z i a p a r a q u a l q u e r x E X . Conclue-se q u e t o d a

soluçZ?o v i á v e l é nãodomi n a d a , a p a r ti r d i sts pode-se d i z e r q u e quando e x i s t e m o b j e t i v o s conf l i t a n t e s o

compr emi ssa é i mpossi v e l

,

F i g u r a I I . 4 c .

0s. d o i s ubtimoâ c a s o s podem ser g e n e r a l i z a d o s p a r a o b j eti v o s d e p e n d e n t e s .

ESte o g r a d i e n t e d e uma f u n ç ã o o b j e t i v o pode ser e x p r e s s o come uma cambi n a ç ã o 1 i n e a r d o s o u t r o s o b j e t i v o s r e s t a n t e s .

E n t ã o , a1 guma d a s d u a s s e g u i n t e s c o n d i ç õ e s a c o n t e c e :

a 3

Se

ak L 9 , V k l o g o @ o b j e t i v o r pode ser e l i m i n a d o .

b3 Se o s a m a t 6 r i o a n t e r i o r & n e g a t i v o e ak# O

V

k # r

e n t Z o , t o d a sal u ç ã a v i Ave1 é n ã o dominada C c a s o I I . 4c3.

A s c a r a t e r i s t i c a s d o s p r o c e s s o s d e tomada d e d e s i ç õ e s que s ã o u t i l i z a d o s p a r a d e f i n i r os métodos d e MOLP são :os

f l u x o s d e i n f a r m a q ã o e o c o n t e x t o d a tomada d e d e c i s õ e s . 0s p r i m e i r o s são i m p o r t a n t ' e s p o i s d e t e r m i n a n a s f u n ç B e s q u e o a n a l i s t a t e m n o p r o c e s s o d e p l a n e j a m e n t o . Oã s e g u n d o s d e f i n e m as m e t a s d a s a n á l i s e s . Os d o i s t i p o s d e f l u x o s d e i n f a r mação sSlo : d e s d e os d e c i s o r e s p a r a os a n a l i s t a s c

"

top-down "3 e d o s a n a l i s t a s p a r a os deci sore,sC *' bottom-up "3. N e s t e u1 ti m o t e m - s e r e s u l t a d o s d o c o n j u n t o n ã o domi nado, a1 t e r n a t i v a s n ã o domi n a d a e s

,

e s e u s i mpactcis n a s cihj eti v o s

.

O p r i m e i r o o c o r r e quando os t o m a d o r e s d e d e c i s E o e x p l i c i t a m e n t e a r t i c u l a m p r e f g r e n c i a s d e modo q u e , a s o l u ç ã o d e

"

b e s t - compromi se

"

p o s s a ser i d e n t i f i c a d a . E x i s t e m m u i t o s m&todos q u e l e v a e m c o n t a somente um t i p o d e f l u x o s d e i n f o r m a ç ã o mas, o u t r o s Cm&todos i t e r a t i v o s 3 u t i l i z a m ambos os f l u x o s no d e s n c o l v i mento d a s o l uqão.

relação a o c o n t e x t o d a s tomadas d e d e c i s B e s , podem e x i s t i r d o i s t i p o s d e problemas : d e m u l t i p l o s o b j e t i v a s e p r o b l e m a s d e m ú l t i p l a s d e c i ãSies. No p r i m e i r o t e n t a - s e i n c l u i r a q u e l a s s i t u a ç õ e s n a s q u a i â e x i s t e um p l a n e j a d a r ou um c o n j u n t o d e p l a n e j a d o r es q u e d i s t r i b u i si m i 1 ar mente o h j et i vo se p r e f e r e n c i a s e g e r a n d o um problema c o m m u i t o s o b j e t i v o s 8s v e z e s c o n f l i t a n t e s . No s e g u n d o & d i r i g i d o i A q u e l e s casos n o s q u a i s e x i s t e m m u i t o s p l a n e j a d o r e s o u g r u p o s i n t e r e s s a d o s , c a d a um d o s q u a i s t e m s e u s p r b p r i os o b j e t i v o s c o n f 1 i t a n t e s . N a tomada d e d e c i s B e s de, m u l t i p l o s o b j e t i v o s a

m e b a

a n a l i t i c a B a s ú l u q ã a d e

" B e s t -compr o m i se

"

,

q u e & p r o c u r a d a a t r a v e s d a resol u q ã a d o s c o n f l i t o s i n t e r n o s d a q u e l e s q u e t o m a m as d e c i s a e s . N a o u t r o c a s o , quem d e c i d e d e v e resol v e r c ú n f l i t o s i n t e r n o s e n t r e o b j e t i v o s e e s t a n d o c o n s c i e n t e . d a s c s n f 1 i t o s e x i s t e n t e s c o m o u t r o s p l a n e j a d o r e s

.

E d i f i c i l d i s t i n g u i r os d i f e r e n t e s c o n t e x t o s d a tomada d e d e c i s B e s , d e f a t o , os d o i s n ã o s K o mutuamente e x c l u s i v o s e p o r t a n t o m u i t o s problemas na tomada d e d e c i s õ e s são t r a t a d o s c o m o si mpl es p r a b l e m a s d e múl ti p l os o b j e t i v o s .

Os métodos a n a l l t i c ú s são divididos em t r & s t i p o s dependendo da tomada de decisões e do fluxo de informação: esses são : mgtodos de geração

,

m&todos que incorporam pr ef er&nci a s e m&todos de milil ti pl os p l ane j adores

.

No presente estudo analisam-se somente os m&todos de geração por serem os que o a n a l i s t a deve deçenvol ver. A meta a n a l i t i c a nZo i urna a r d i s e p p l l t i c a senão, a geragão e aval i ação de a1 t e r nati vas vi ~ v e i s

.

Neste caso e fluxo de informação & do t i p o "bettom-up".

O a n a l i s t a a p l i c a uma t & c n i ~ a de geração para procurar uma representação exata ou aproxi mada do conjunto não ciomi nada no espaso de decisão e no espaço objetivo. Tais r e s u l t a d s s são apresentados aos encarregados de tomar decis8e.s e a l e s escolhem a solução de "best

-

compr omi se". Note-se que as pref êrenci a s não são a r t i s u l adas expl i c i tamente embora, o

proceso de escolha não possa ser colocado s e m as

considerações das prefgrenci a s dos objetivos por p a r t e de quem decide.

As pref ergnci a s podem ser a r t i c u l a d a s de di versas maneiras ; assumidas pelos a n a l i s t a s

,

e l e s podem ser gr evi amente i nf armados par a o e s t s b e l eci mento de1 a s

e os "tradeoff" e n t r e os objetivos ou, pedem s e r a r t i c u l a d a s progressi vamente a t r a v k da i nteração com a

computador e o anal i s t a .

As pref êrenci a s podem ser representadas por : esquemas de pesos, r e s t r i ç õ e s

,

metas, funçzes u t i l i d a d e

,

e t c .

Todos os m&todos baseados nas p r e f e r h c i a s tem em conta o o b j e t i v o de i d e n t i f i c a r a solução de

"best-tompromise" e alguns destes mgtedos precisam de :

a3 Estabelecimento a p r i o r i dos pesos.

B3 Lkf i n i ção geomgtri ca da solução deUbest-compromi se". Neste caso, primeiramente define-se uma solução ideal e com

métodos computaci onai s grocur am-se sol uções vi Avei s que s e aproximem da i d e a l . O 'método mais importante deste t i p o denomina-se "Goal Programmi ng" C

G

PS2 e f o i proposLo por CHARNES e COOPER

,

1861. Nos 131 ti mos anos e s t o r métodos tem si do muito estudados C I GNI

ZI

O, 1982; ROMERO, 19863. IGNISIO C10833 resolve o problema de

GP

Cproblerna de programação l i n e a r de simples objetivo3

,

u t i l i z a n d o a teor i a de redes gener a1 i zadas GLOVER

,

1 978 g GLOVER

,

1 879 neste caso o problema é representado como uma rede com ganhos.

c3 TOcnicas i n t e r a t i v a s , os métodos mais c l a s s i c o s são: m4todo STEP CBENAYOUN et a l i i

,

19713, i t e r a t i v o s G

P

C BYER

,

10723

,

métodos de GEOFFRI ON et a1 i i C f 8722

,

métodos de ZIONTS e WALLENIUS C10763, STEUER C10773,

FP CHEFET C 18763

,

%I ONTS e WALLENI US C 18833

,

STEUER

e SHULER ClQ782, MARLOTTE e S L A N D C19853, SLOWINSKI e WARCZYNãKI C19843 Todos os métodos i n t e r a t i v o s são baseados no mecanismo formal no qual o p l anejador i nterage diretamente com o computador ou com o a n a l i s t a . Aqui o procedimento c o n s i s t e em s a i r de uma solução não dominada atO outra em direções definidas pelo planejador e acaba quando e l e f i c a s a t i s f e i t o ou quando não s e pode continuar. WIN e RAVINDRAN

C 19873 apresentam uma completa revi são dos mgtodos.

Por úutrú lado também existem métodos nos quain o a n a l i s t a serve simultaneamente a vári os c1 i entes C nos métodos a n t e r i o r e s e x i s t e sb u m c l i e n t e 2 e ainda com objetivos c o n f l i t a n t e s . Neste caso o a n a l i s t a deve s e r sensi vel par â os mI3l ti pl os i nter esses o denemi nam-se grobl emas de "Mul ti pl e - b c i si ons-Maker

".

11.4.1 METODO DOS PESOS.

Designar pesos aos objetivos para obter soluções

n%o dominadas é a tkcnica de solu~âlo de m ú l ti pl os objetivos mais antiga. O mgtodo s e o r i g i n a na condição necessgr i a de não domi nânci a desenvel vi da por kar u s h Kuhn Tucker C19513. G A S

e

SAATY C19553 mostraram como sofuções

não dominadas podem ser geradas para problemas com dois objetivos variando param&tricamente os coeficentes da funçâo objetivo. ZADEH

C

18633 f o i o primeiro a recomendar a u t i l i zação dos peses para aproximar o conjunto não

dominado MARGLIN C18683 e MAYOR C18B83 discutiram a

u t i l i d a d e dos pesos em problemas de mGltiplos objetivos de investimento p~3blico. u m exemplo encontra-se em BANA e COSTA C 18883. Uma apl i cação para o problema de determi nar o

caminho de menor custo que atende a maior demanda B

apresentado por

CUXRRENT

et a1 i i C18853.

Depois que pesos são designados aos objetivos e l e s sâo combi nados numa função mono ob j e t i vo

,

var i ando paramBtricamente os pesos e gerando o conjunto de s o l u ~ ã e s nzo domi nadas.

MatemAti camente e s t e procedi m i e n t s é formulado como :

Neste caso o problema d e MOLP f o i transformado num problema de SOLP para o qual existem m&todos de soluqão. O coef i cente w. operando na i -@si m a função obJ e t i vo r . C x3 4 denominado peso e pode s e r interpretado como : "o peso r e l a t i v o ou valor " de u m o b j h v o quando comparado com os

outros

.

Se os pesos dos diversos objetivos sa"o

i nterprctados como representando a s pref &renci a s r e l a t i vas de quem toma decisões então,a solução para o problema

C I I . 103 corresponde

A

solução de "best-compromise" e portanto B uma solução não dominada s e todas os pesos são positivos Cprobl. d e max. 3 f i g u r a 1 1 . 5 mostra u m exemplo do método dos peses no espaqo decisão.

C : m e l hor -comar , o m i

F I G U R A I I . 5 Metodo d o s p e s o s

O c o n j u n t o liso dominado aproximado o b t i d o com o

m&todo d o s p e s o s a p a r e c e n a f i g u r a I I . 6, o b s e r v a - s e q u e o s o p o n t o s n a l i n h a segmentada BD <aproximação3 s ã o v i á v e s

m a s , domi n a d o s por p o n t o s d o c o n j u n t o n ã o dominada real

.

1

FI GURA I I .6 Con j u n t o n ã o domi nado a p r o x i mado

Geral mente p a r a u t i 1 i z a r o método r e q u e r -se um g r a n d e c o n j u n t o de p e s o s p a r a o b t e r u m bBa r e p r e s e n t a ç ã o d a s sol u ç õ e s n ã o domi n a d a s . P a r a començar B recomendavel c s t i m i a a r c a d a o b j e t i vo i n d i v i d u a l mente e d e p o i s r e s o l v e r problemas p o n d e r a d o s com p e â s o s i g u a i s a : C 1

,

O , 0.

. . .

, O >

,

1 O . .

.

O , < 0 , 0 1 , .

.

.

O , .

.

.

C O , O O , .

.

1 t o d e t e r m i n a p o n t o s t e r m i n a i s d o c o n j u n t o n ã o domi nado.

Cada p e s o pode v a r i a r d e z e r o a t e um "upper-bound" c o n h e c i d o , d e a c o r d o com un c e r t o tamanho d e p a s s o e p a r a c a d a novo c o n j u n t o d e p e s o s uma s o l u ç ã o n ã o dominada é

e n c o n t r a d a

.

P o r t a n t o , c a d a vez d e v e ser r e s o l v i d o um novo p r o b l e m a 1 i n e a r

.

I s t o pode s e r a c e l e r a d o u t i 1 i z a n d o

programação param&tri cê.

Se e x i s t e u m x que s a t i s f a z a s condições de Karush k u h n Tucker e n t r o deve ser solução Qtima do problema :

Max ZCx,w2 =

2

O k Z k

k-A

De f a t o :

?

A s condiçães de Kuhn Tucker para mono objetivo

Lambem sXo s a t i s f e i t a s .

A motivação do rnétodo dos pesos provém da seguinte observação :

S k u m prsbl ema de pesos do t i p o I I . I 1 & resolvi do com

w

=1 e w =O,Q j#k

,

com solução ótima x então, para ser não

k j

dominada devemos t e r w

>

O , V k

.

k

I

I.

4.2 METODO DA RESTRI ÇXO E

.

Bos rn&todos de geração ,o metodo da r e s t r i ç ã o & o m a i s i n t u i t i v o

,

opera otimizando u m objetivo enquanto os outros são r e s t r i t o s a u m valor f i x o .

Max zhCx2

O h-ésimo objetivo f o i arbitrariamente escolhido para maxi m i zação do problema C I I . 1 3 3 que corresponde a uma

f ermul a ~ ã o de h i co ob j e t i vo

,

podendo s e r r e s o l vi da por métodos convenci nai s C si mpl ex3. A s o l uqãobti ma é uma soluqZo nSo dominada para o problema o r i g i n a l de m6ltiplos s b j e t i vos

.

O s vá1 o r e s de E devem s e r escol h i dos de moda que

k

B problema de simples o b j e t i v o tenha seluqso viave1

.

Outra

condição na escolha dos G é que todas a s r e s t r i ç õ e s

k

correspoiidentes a funções o b j e t i v o deven e s t a r a t i v a s na solução b t i ma do problema r e s t r i t o . Se nSo f õ r assim e

se e x i s t e &Amo a l t e r n a t i v o para o problema r e s t r i t o então a1 gumas s o l uções b t i mas podem s e r s o l u ~ a e s domi nadas par a o pr obl ema de m61 ti pl os ob j e t i vo or i g i na1

.

Essa si tuação & equivalente a se t e r peso algum z e r o no método dos pesos.

A s s i m como o método dos pesos é uma ferramenta somputaci onal que pode s e r u t i 1 i zada para i ncor por a r pesos aos d i f e r e n t e s o b j e t i v o s , o m&todo da r e s t r i ç ã o G permite ao a n a l i s t a e s p e c i f i c a r l i m i t e s para os o b j e t i v o s de maneira sequencial mas o método se d i r i g e a t e uma s o l u ~ ã o domi nada para o problema or i gi na1 s e a s condi çSies previ a s s ã o s a t i s f e i t a s .

Vários a u t o r e s t e m u t i l i z a d o e s t e método au variaçSies e m d i v e r s a s si tuaçõeâ: problemas de investimento p&l i co g l ane j amenta e admi n i s t r a ~ ã o de águas, e t c

.

No si mpl ex que os c u s t o s reduzi dos par a a s var i Avei s de f olga indicam a mudança na função o b j e t i v o que poderia acontecer se uma ou mais unidades dos recursos representados p e l a r e s t r i çãù e s t ã o di sponivei S . Tais c u s t o s reduzi dos são denami nados v a r i á v e i s duals ou preFos sombras para a r e s t r i ~ ã o na qual a variável de f o l g a é associada.

Seja a r e s t r i ç ã o no k-ésimo o b j e t i v o do problema 11.1

II.

1 4

Quando o problema r e s t r i t o é r e s o l v i d o e a r e l a c ã s v

CII.143 é a t i v a , a variável de f o l g a x' = O Cvariável de

f olga não e s t á na base3

,

sendo o seu c u s t o reduzido w não

k

negativo posto que corresponde A âoluc$ío 6tima de um problema de maximização. Se o a n t e r i o r f o s s e posslvel

,

t e r x' negativo, poderia s e r i n t e r e s s a n t e diminuir x ' a t é algum valor negativo aumentando som i s t o o valor da função o b j e t i v o z C I s t o é equivalente a reduzir ok

.

A s s i m uk

h

i n d i c a a quantidade na qual z C x3 poderia aumentar para uma

h

d i m i n u i qão de uma u n i dade de akC x3.

Observa-se que se E B u t i l i z a d o no problema r e s t r i t o

k

Conde z & maximizado3 e o preçosombra r e s u l t a n t e

h c5 O k

então, w pode s e r u t i l i z a d o n o problema dos pesos Ccom

k.

w =13 para obter a mesma soluqão não dominada. I s t o mostra

k

que e x i s t e uma e s t r e i t a r e l a ç ã o e n t r e ambos os m&todos.

Ao c o n t r a r i o do método dos pesos que pode s e r d e s c r i t o e m poucos passos, o mBtodo da r e s t r i ~ ã o é mais elaborado p o r t a n t o , u m a1 g a r i t m s formal B apresentado CCBHON ,18783.

ALGORITMO Cmétodo da r e s t r i q ã o c 3

PASSO 1 : Seja o domi n i o X c [R" das s o l uçzes vi ávei S. Passs 2 : Oti m i zar cada o b j e t i v o individual

.

Seja x k

t a l que : k zkCx 3 = max z C x3 k

.

X E X define-se : k E = < x

,

k G I Cl,pl)=<conj. max. i n d i v i d u a l ) ' k C X 3 m i n = m i n zkCx3

x e E

PASSO 3 : Defini mos o i n t e r v a l o de v a r i a ~ ã o ck por :

k

% k C x 3 m i n 0 ,r k 5 zkCx 3

PASSO 4 : Escolher r : numere de valores d i f e r e n t e s de E

k

a serem u t i l i z a d o s na geração.

PASSO 5 : Determinar os r valores de de cada

ab j e t i vo

,

segundo

k

Ek = z Cx3

+

Ct/Cr-2.3136 CzkCx 3

-

z Cx3 1

t

=

O b i , *

. .

, r - 1

PASSO 6 : Par a cada combi n a ~ ã o possi vel das v a l o r e s de

E k

,

k = 1

, . . .

* l , I b + l ,

. . . ,

p, resolver o

problema CII.133

Cexi stem r

"'

combi na~Sies3.

PASSO 7 : V e r i f i s a r a v i a b i l i d a d e de cada uma das soluç25es do passo a n t e r i o r . Se e x i s t e v i a b i l i d a d e e se todas a s r e s t r i ç õ e s o b j e t i v o s são a t i v a s então uma solução nLio dominada deve e x i s t i r

.

Observa-se que cada u m dos r problemas r e s t r i t a s requer a s o l u ~ ã o de u m problema l i n e a r mno o b j e t i v a .

0s çitimos de cada u m dos p problemas i n d i v i d u a i s representam "pontos termi nai s " do conjunto nZo dominado de MOLP

.

Tal aproximação g a r a n t e a v i a b i l i d a d e e não d o m i n h c i a do problema r e s t r i t o

.

Um case de d o i s o b j e t i v a s

O mostrado na f i g u r a 1 1 . 7 A s e g u i r

: .

+

FIGURA 1 1 . 7 Método da r e s t r i ç z o E

A seguir apresenta-se a base t e ó r i c a para o mgtodo à

p a r t i r das c o n d i ~ õ e â de Kuhn Tucker, a t e r c e i r a condição na L

Supondo q u e w

>

O e n t ã o C I I .1Q3 pode ser i n t e r pr e t a d a h

toma 'a c o n d i ç ã o d e o t i mal i d a d e p a r a o problema SQLP:

w é p o s i t i v a p o r t a n t o o problema f i c a i n a l t e r a d o se :

h

E s t a f ormul a ç ã o c o r r e s p o n d e ao p r o b l e m a d a r e s t r i ção.

1 I . 4 . 3 METODO MULTI OESJETI V 0 LINEAR

DE

ZELENY

Muitos p e s q u i s a d o r e s t e m - s e p r e o c u p a d o e m e s t u d a r métodos d e g e r a ç ã o q u e n ã o dependem d a c o n v e r s ã o e m um problema d e mono o b j e t i v o , p a r a i s t o a1 guns a l g o r i tmos t e m si d o desenvoAvi d o s p a r a o p e r a r e m d i r e t a m e n t e c o m o problema d e m b l t i p l o s o b j e t i v o s mas, a t & a g o r a i s t o não

t e m

s i d e c o n s e g u i d o p l e n a m e n t e .

uma caracter i zac;ão m a t e m A t i ca d e s o l u ç õ e s n ã o domi n a d a s e e1 a b o r a r a m as b a s e s p a r a a1 g o r i tmos q u e i d e n t i f i quem t a i s

s o l u ç õ e s . HOLL C19733

V A N S

e STEWER C19733 e ZELENY C19743 t e m c r i a d o s a l g o r i t m o s b a s e a d o s no s i m p l e x p a r a a g e r a ç ã o d e s o l u q õ e s não dominadas. .

A s e g u i r a p r e s e n t a - s e o m4todo mais c o n h e c i d o d a q u e l e s menci o n a d e s a n t e r i o r menteque 4 o m4todo d e ZELENY

.

CONCEI TUAGXO

MATEMATI

CA

E s t e m4todo g e r a uma r e p r e s e n t a ç ã o e x a t a d o c o n j u n t o n ã o domi nado. I s t o & r e a l i z a d o movi mentando-se matemãticamente d o um p o n t o e x t r e m o n ã o dominado p a r a p o n t o s e x t r e m o s não dominados a d j a c e n t e s

ate

q u e t o d a s as s o l u ç õ e s

s e j a m e n c o n t r a d a s . O metodo u t i l i z a o t a b l e a u d e m f i l t i p l o s o b j e t i v o s q u e é a v e r s ã o aumentada d o t a b l e a u d e s i m p l e s o b j

etf

v o , f i g u r a C 1 1 - 8 3 com C n+ml v a r i Avei s d e d e c i s ã o

,

C s e n d o m t v a r i A v e i s d e f o l g a 3 n r e s l r i ç õ e s o p o b j e t i v o s .

P

C c P ₁ c P ₂

. .

.

c p _li O

. . .

8 O l i n h a s associ adas à s col unas bAsi cas

f2

l

f:

. . .

f 2

n n + i .

-

f2 f 2 = Z

j nim o a

fP

j f' 1 f P 2

. . .

fP n f P n i i f P nim f P Q

=

s P

FI GURA 1 I . 8 Tabl eau mbl ti p l o s o b j e t i v o s

N a figuraCII 8 3 a s l i n h a s associadas à s colunas b k i c a s aparecem e m branco para e v i t a r deixar confuso o têbleau.

Cada variãyel tem u m conjunto , de c u s t o reduzidos asociados : f

.

j

Ao i n t r o d u z i r uma variãvel C . não bAsica na base J

x t e m - s e uma mudança no o b j e t i v o k ,dado por :

A r e l a ç ã o a n t e r i o r e s t a b e l e c e que s e x Cque 4

j

atualmente i g u a l a zero3 B aumentada em

e

e o o b j e t i v o k k

muda e m C - e f . 3. x . incrementa o o j e t i v o k somente se f k

<

O

J J j

No t a b l e a u a s l i n h a s d e c u s t o s r e d u z i d o s p r o p o r c i o n a m informaçSies q u e podem ser u t i l i z a d a p a r a d e t e r m i n a r a não d o m i n a n c i a d a b a s e a t u a l e d a s b a s e s v i z i n h a s . A s e g u i r a p r e s e n t a m - s e t r ê s t e o r e m a s f o r mul a d o s por ZELENY C 4

,

q u e u t i 1 i zam a s 1 i n h a s d e c u s t o s r e d u z i d o s d o t a b l e a u . Seja

B

a m a t r i z d a s c o l u n a s b á s i c a s . \ TEOREMA I I . 1

Seja uma b a s e v i á v e l a t u a l . Se e x i s t e uma c o l u n a n ã o b a s i c a a . j

e

E3

,

d e m a n e i r a q u e f k 5 O

.

k = 1

. . .

p e

j j

fk< O p a r a a o menos um o b j e t i v o k e n t Z o , a s o l u ç Z o b a s i c a J

v i á v e l a t u a l & DOMNADA.

O t e o r e m a r e v e l a q u e uma v a r i á v e l x pode ser t r a z i d a j

a t & a b a s e com um v a l o r p o s i t i v o d e maneira q u e t o d o s o s s b j e t i v o s aumentem C c a s o d e maxi m i zaQção2 si mul t a n e a m e n t e c ou a o menos um d e l e s

a s o l u q ã o a t u a l

x

aumente s e m p r e j u d i c a r o s o u t r o s 2 ent'ão,

& dominada a o c o l o c a r a c o l u n a x na b a s e . j

Seja x a s o l u ç ã o bAsica a t u a l . I n t r o d u z i n d o a j-&sima c o l u n á na b a s e obtem-se a nova s o l u ç ã o a d j a c e n t e

x B

e : k z'Cx'3 = z k C 3

-

e

sk

m a s . d e v i d o q u e

e

>

O e f . 5 O com

k

J f.< O p a r a a o menos um k . i s t o i m p l i c a q u e z'Cx'3

>

z Cx3 1 k k " p a r a t o d o k e z;CxS3

>

z Cx2 p a r a a o menos um k = c . p o r t a n t o . k X' domina a x.

Seja uma s o l u ç ã ~ bAsica viAvel a t u a l . Se e x i s t e uma c o l u n a n ã o b a s i c a a

,

j

e

B

d a modo q u e f k Z O com k =

j j

1 , p e f k

>

O p a r a a o menos um o b j e t i v a k e n t ã o . a j

i n t r o d u ç ã o d e a n a b a s e produz uma s o l u ç S o dominada. j

O t e o r e m a e s t a b e l e c e q u e se uma v a r i á v e l n ã o b á s i c a e n t r a na b a s e e t o d o s o s o b j e t i v o s se mantem ou d i m i n u i r e m

C caso de maxi m i zação3 si m u l taneamente

,

ou di m i n u i r a l guns o b j e t i v o s sem incrementar os o u t r o s n e s t e s casos, a nova solução s e r i a pior que a a t u a l

,

ou s e j a , a nova solução s e r i a DOMINADA.

Novamente, acrescentando a j-ésima coluna na base, o k novo ponto extremo adjacente é obtido e : a'Cx'3 = zkCx3-9f

.

k k j

Dado q u e e > O e f k 2 O c o m f .

>

O p a r a a o m e n o s u m k .

j J

Portanto, x' domina a x.

Para o teorema s e g u i n t e , s e existem duas v a r i á v e i s Cx

,

x 3 nZo basicas a serem cohsideradas e

e.

o valor que

j ct J

a variável x. poderia assumir s e e l a f o r i n t r o d u z i d a na base J

e 8 o valor de x

.

A r e l a ç ã o CIP.203 é :

'4 'l

TEOREMA I

I.

3

S e j a uma s o l ugão vi Ave1 a t u a l

,

se existem duas colunas não basicas d i f e r e n t e s : a e a

,

com j ,q

e

B

s e :

j 4

Então a solução bAni ca vi Ave1 r e s u l t a n t e ao i n t r o d u z i r

a na base a t u a l s e r i a WMNADA em relagão a base formada

ct

por a

.

j

S e j a x a solução a t u a l

,

introduzindo a j -&si m a col una k obtém-se a solução x'

'

t a l que : z '

'

Cx' ' 3 = zkCx3

-

e

f

,

k j j

acrescentando a q-&sima coluna t e m -se uma âoluçSo x' t a l - _- que : z'Cx'3 = ziCx3-e f k e como - e . f k

>

-9 f c o m - 9 . f k

kk

4 4 J j '=I q J j

>

-9 f para ao menos um k = k , z"Cx"3 1 zk Cx'3 com

q q k

z' V C ; . ; ~

>

z*CxD3 para ao menos u m k . Portanto x"

k

Observa-se que os teoremas 11.1 e 11. S relacionam a solução bfrsi ca vi ável a t u a l e s e u s vizinhos t e o r em 1 1 . 3 r e1 a c i ona doi s vi a i nhos da sol ução a t u a l

.

Oc; t r 4 s teoremas c o n s t i t u e n a base para o a l g o r i tmo de Zel eny que requer adi c i onaP m e n t e u m subpr ebl ema par a determinar a não domi n%nci a de uma solução básica vi Ave1

.

N e subprobl ema procura-se uma s o l ução vi Ave1 que melhore ao menos u m dos o b j e t i v o s e m prèjudi car os outros.

Se e s t a solução viCLvel e x i s t e , então a sol,ução a t u a l &

dominadae e m caso c o n t r a r i o s e r i a não dominada C e m r e l a ç s o Zi solução a t u a l 3 .

Definem-se n + m v a r i 6 v e i s de decisão da soluqSo a t u a l

C

, . . . ,

X ' 3 X '

>

O , j = l ,

. . . ,

m e x'. =O, j = m + i

, . . . ,

n

n + m j J

+- rn. A s restriçSies para o subproblema siio :

Onde a primeira, requer que a s r e s t r i ç õ e s do problema o r i g i n a l sejam s a t i s f e i t a s e a segunda que a nova solução viave1 melhore ao menos u m o b j e t i v o sem prejudicar os

-

o u t r o s , z- Cx3

>

z; Cx'3 para algum k = k .

k

O subproblema t e m como o b j e t i v o melhorar o mAximo @ossi veP cada o b j e t i v o de seu a t u a l n i vel

.

Equi valentemente i s t o pode s e r f e i t o transformando a bltima r e s t r i ç ã o numa i gual'dade.

onde :

Logo o subproblema é :

P

s . a :

X E X

A se1 uc$h bAsi ca vi Ave1 do pr ebl ema m ú l ti pb os o b j e t i v o s o r i g i n a l x' é não dominada se V =O é a solução ótima do ãubpr obl ema

.

I s t o quer d i z e r .que nSo e x i s t e nenhuma o u t r a soluçSo vi Ave1 que melhore o valor o b j e t i v o C 6

>

O3 de a1 guma

k função z o b j e t i v o sem prejudicar os outros.

k

ALGORI TMO DE ZELENY C Pr obl em de maxi m i zação3

I N I C1 ALI ZAÇãO :

Determinar .uma base vi Aveb :

B

Se base viável não e x i s t e : STOP. S n Z o : h = 1 , r = O

PASSO 1 :

PASSO 2 :

Determinar xh Csol. a t u a l 3

V e r i f i c a r s e si solução a t u a l aumei-ata algum

o b j e t i v o : k

Se f .2 O para algum k , V j GO TO PASSO 14 J

S n ã o : PASSO 3 :

V e r i f i c a r se e x i s t e alguma coluna não b&sica com todos os c u s t o s reduzidos negativos :

Se f

<

O para algum j

e

B"

Csol. a t u a l &

j

dominada3 GO TO PASSO 13

Senão :

PASSO 4 :

V e r i f i c a r s e solução a t u a l é nZo dominada, r e s o l v e r subprohlema de não dominAncia e :

Se x h é dominada GO TO P A S O 6 S e n ã o : PASSO 5 : S o l u ç ã o a t u a l é n ã o dominada , l o g o i n c r e m e n t a r c o n t a d o r : r = r + i . PASSO 6 : P r ù c u r a - s e d i r e ç ã o p a r a c o n t i n u a r C TEOREMA 33 1 o g o , v e r i f i c a - s e se e x i âte col una domi n a n t o p a r a e n t r a r n a b a s e : ~g

e . f

.S

e

f

,

V q E E" e algum j GO TO J J 4 4 PASSO 13 4 S e n ã o : PASSO 7: PASSO 8: PASSO 9:

Sg nenhuma c o l u n a não b á s i c a domina :

Se x h n ã o dominada GO TO PASSO 11 Çenão : E x i s t e q u a l q u e r c o l u n a n ã o b a s i c a f n ã o j compar ave1 c o m z e r o : Çe n ã o e x i s t e f GO TO PASSO 11 j

.

S e n ã o : PASSO 10:

Armazenar t a d a col una j q u e l e v o a t é uma b a s e

não e x p l ùr a d a . PASSO l i : V e r i f i c a r s e g u i m e n t o d e t o d a a s d i r e ç S j e s p r ùnii s s b r i as : Se n ã o e x i s t e o u t r a b a s e armazenada : STOP S e n ã o : P A S O 12: I n t r o d u z i r a n a b a s e Eh" , h = h +1 J

W

TO PASSO 1 P A S O 13 : S a l e v a a b a s e j 1 2 S e n ã o GO TO PASSO n ã o e x p l o r a d a GO TO PASSO

PASSO 1 4 :

Se x & u n i c a Ctodes os c u s t o s r e d u z i d o s d a s var i á v e i s nao b á s i cas s ã o e s t r i tamente p o s i t i v i s 3 GO TO PASSO 5

S e n s o : g o t o p a s s o 1 8

PASSO

15 :

existe á t i m o a l t e r m a t i v o . Procurar não dominada maximo d e z GC3 'I'O PASSO 5.

A t e o r i a de f l u x o s e m redes tem s i d o ú t i l para modelar uma s & r i e de s i t u a ç õ e s que se apresentam em d i v e r s a s Areas de engenharia, como por exemplo e m engenhar i a de: transpor t e , produto, ou e l & t r i c a . A c a r a c t e r i s t i c a comum a todas e l a s &

que uma rede & considerada para representar a s l i g a ç õ e s p o s s i v e i s que unem o conjunto de elementos do si =tema< nhr5

,

e n t r e a s quai s "f 1 u e m " uma ou v á r i a s moda1 i dades C pessoas

,

vei s u l o s , e t s 9 . Em qualquer caso

4

funções são associ adas a cada 1 i gação representando d i v e r s o s t i p o s de c u s t o s ou l u c r o s de u t i l i z a ç ã o . A s s i m por exemplo num caso de fluxo de veiculas numa rua CligaçZo3 pode s e r considerada uma funqão que indique o p r e j u i z o causado a& meio ambiente. No caso geral t a i s funções podem t e r e s t r u t u r a não l i n e a r .

E m p a r t i c u l a r , quando é consi derada somente uma f u n ~ ã o ' não l i n e a r para cada 1 f gação,surgem os problemas d e

programaqão não l i n e a r e m r e d e s , que não são abordados nesse estudo e que t e m s i d o extensamente estudados para o caso de fluxos e m redes d e t r a n s p o r t e Cver por e x e i p l o os t r aba1 hos de SHEFFI ,1985 e POTTS & LI VER, 1 9783.

Para o caso em que a s funçaes das l i g a ~ õ e s s ã o l i n e a r e s t e m - s e os problemas d e m ú l t f plos o b j e t i v o s , que embora tenham s i d o amplamente estudados para o caso geral Cver c a p i t u l o I 1 5 ,pouquisima atenção t e m s i d o dada ao caso par ti cul a r de redes

,

limitando-se apenas a u n s poucos estudos sobre o problema de Caminhos Minimos quando são consideradas duas funções C Br ogr amação B i -Ob j e t i v03

.

Por ú l timo, o caso mais simples, i s t o é ,quando e x i s t e uma Única função, t e m - s e f a m i l i a s de problemas t a l & o caso por exemplo, dos problemas de rotoamento sobre os q u a i s

exi stem centenas de estudos C SATQRU, 18895 ou o