Otimização de Problemas de Múltiplos Objetivos

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Otimização de Problemas Otimização de Problemas Otimização de Problemas Otimização de Problemas

de Múltiplos Objetivos de Múltiplos Objetivos de Múltiplos Objetivos de Múltiplos Objetivos

Problemas Multi-objetivos

Aplicações reais de otimização muitas vezes envolvem múltiplos critérios de avaliação:

múltiplos objetivos

^Exemplos:

− Para um produto comercial, minimizar o custo e maximizar a qualidade

− Para um circuito elétrico, minimizar a área ocupada e a potência dissipada e maximizar o ganho

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Problemas Multi-objetivos

Otimizar cada objetivo separadamente não produz bons resultados: a otimização de um único objetivo pode levar os demais objetivos a não serem satisfeitos

Técnicas tradicionais de otimização, como Simulated Annealing, Gradient Descent e Algoritmos Genéticos exigem uma avaliação global única

Como comparar soluções?

^{Solução 1}

− Objetivo 1: 50% satisfeito

^{Solução 2}

Qual a melhor?

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Como comparar soluções?

Uma estratégia consiste em combinar as avaliações de cada objetivo para obter uma avaliação global para cada solução:

Aptidão = F ( f₁, f₂, … , f_n)

Métodos de Avaliação

Agregação de Objetivos

Estratégia de Pareto

Minimização da Distância ao Objetivo

Minimização de Energia (ICA)

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Agregação de Objetivos

onde w_i representa o peso dado para cada objetivo

Ex: para pesos w_i=1:

− Solução 1: 30+50 = 80

− Solução 2: 40+45 = 85

∑

₌

= ⁿ

i

i i f w F

1

Consiste na soma ponderada dos objetivos

Agregação de Objetivos

^Vantagens

− Simplicidade de implementação

− Pode ser usada em técnicas tradicionais de otimização

Desvantagens

− Fraca performance na prática: exige aplicação de conhecimentos específcos do problema para o ajuste ótimo dos pesos w_i

− Requer que as avaliações sejam normalizadas para a soma de valores comparáveis entre si

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Estratégia de Pareto

Compara soluções sem combinar as avaliações

Conceito de dominância:

Uma solução v domina outra solução u se:

− Para nenhum objetivo é verificado que a avaliação de v seja pior que a de u

− Para pelo menos um objetivo é verificado que a avaliação de v é superior a de u

− Supondo problema de minimização, temos:

(∀i) (v_i≤ u_i) Λ(∃i) (v_i< u_i)

Estratégia de Pareto

Exemplo: Produtor deseja minimizar custos de produção (f₁) e distribuição (f₂):

− Solução A: f₁=2, f₂=10

− Solução B: f₁=4, f₂=6

− Solução C: f₁=8, f₂=4

− Solução D: f₁=9, f₂=5

− Solução E: f1=7, f2=8

0 5 10 15

10

5

A- (2,10)

D-(9,5) C-(8,4) E-(7,8)

B-(4,6)

A, B e C são boas soluções (embora nenhuma seja melhor em ambos os critérios); A, B e C são não-dominadas porque não há soluções melhores em ambos os critérios.

D e E são dominadas por outras soluções: B<E e C<D.

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Estratégia de Pareto

Define-se o conjunto Pareto-Ótimo como sendo o conjunto de todas as soluções que não são dominadas por nenhuma outra

Qualquer que seja o critério para a avaliação global, é garantido que a melhor solução faz parte desse conjunto

Estratégia de Pareto

Evolução é feita privilegiando os indiv íduos que não estão dominados por nenhum outro

Avaliação final de uma solução pode levar em consideração o número de indivíduos na população que ela domina

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Estratégia de Pareto

^Vantagens

− Não exige que as avaliações sejam normalizadas pois não combina avaliações de diferentes objetivos

Desvantagens

− Maior complexidade de implementação

− Necessita de um critério adicional para a escolha da solução ótima dentre as pertencentes ao conjunto Pareto-Ótimo

− Na prática, pode não orientar a evolução no sentido desejado, levando a resultados insatisfatórios para certos problemas (falta de equilíbrio entre os objetivos)

Minimização da Distância ao Objetivo

Avalia uma so lução, calculando a distância entre o vetor de medidas e as especificações do usuário para cada objetivo

Pressão por compromisso aumenta com p que faz crescer a penalidade a soluções com baixo desempenho em um objetivo:

− para p=1, distância Manhattan

− para p=2, distância Euclidiana

− para p=∞, MinMax: F = max(|user_i - f_i|) 1≤ i ≤n

1

|

1

 ≥



 



 −

=

∑

₌ ^user ^f ^p

F

p N

i

p i i

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Minimização de Energia

Método adaptativo de agregação de objetivos

Atualiza os pesos dinamicamente ao longo do processo evolutivo

Estabelece pesos maiores para os objetivos que forem menos satisfeitos pela população como um todo

Tem como objetivo minimizar todos os pesos (medida de energia), o que

corresponderá à satisfação dos objetivos

Incorpora as especificações do usuário

Minimização de Energia

Cálculo da aptidão:

onde n é o número de objetivos,w_i é o peso associado ao objetivo i e Fnorm_i é o vetor normalizado de aptidões dado pela equação:

onde o denominador representa a média das avaliações

∑

=

= ⁿ

i

i iFnorm w

F

1

i i

i f

Fnorm = f

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Minimização de Energia

Atualização dos pesos:

− É baseada na equação de atualização de pesos

implementada no algoritmo de retropropagação de redes neurais

^k1e k₂são constantes de normalização

α é uma constante análoga ao termo de momento utilizado em redes neurais: introduz memória, aumentando a estabilidade do sistema

^ei,té o erro percentual entre a especificação do usuário para o objetivo i e a aptidão média da população para o objetivo i no instante t

t i t

i t

i_, ₁ k₁.

α

.

ω

_, k₂.(1

α

).e_,

ω

₊ = + −

Minimização de Energia

Cálculo do erro:

− diferença entre a especificação do usuário para o objetivo i e a avaliação média no tempo t

Cálculo da energia E do sistema:

− diminui a medida que a avaliação se aproxima da especificação

i t i i t

i user

f e_, user − ^,

=

∑

₌

= ⁿ

i

wi

E

1 2

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Minimização de Energia

∑

₌ ⁼

= ⁿ

i

t e t

i t

w k e k S

S

1

, 3 ,

3 ,

Cálculo das constantes

−permite definir E, baseada na soma dos pesos, como medida de convergência do sistema

−sem considerar o primeiro termo da equação de

atualização de pesos, cada w_i,té proporcional ao erro e_i,t

−considerando o primeiro termo, a soma de pesos deve ser proporcional à soma dos erros em qualquer t

t i t

i t

i_, ₁ k₁. . _, k₂.(1 ).e _,

O algoritmo é inicializado escolhendo-se valores aleatórios para os pesos S_w0que determinam k3

Para a soma de pesos deve ser proporcional à soma dos erros em qualquer t devemos ter,

0 0 3

e w

S k = S

t w t

w S

S k

k = ^, ∴ = ^,

Minimização de Energia

∑

₌

= ⁿ

i i

w w

S

1 0 , 0

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Minimização de Energia

^Vantagens

− Simplicidade de implementação comparado aos métodos baseados em estratégias de Pareto

− Adapta a orientação da evolução aos problemas encontrados durante o processo

− Aplicação bem-sucedida a problemas de síntese de circuitos eletrônicos através de GA

Minimização de Energia

Desvantagens

− Tal como o método tradicional de agregação de objetivos, ainda exige que as avaliações sejam normalizadas para valores comparáveis entre si

− Pode provocar speciation, que corresponde ao surgimento, em meio à população, de diferentes grupos (espécies) especializados em satisfazer cada objetivo

− requer a especificação de um valor target para cada objetivo i (user specification)

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Conclusões

Área ainda em estudo

Diferentes métodos se mostram mais

adequados em diferentes casos, sem que se tenha obtido um método ideal para problemas multi-objetivos